全等三角形综合(二)

1第10讲 全等三角形综合（二）小测试 总分10分 得分___________如图，点F 、G 分别在△ADE 的AD 、DE 边上，C 、B 依次为GF 延长线上两点，AB ＝AD ，∠BAF ＝∠CAE ，∠B ＝∠D ．（1）求证：BC ＝DE ；（2）若∠B ＝35°，∠AFB ＝78°，直接写出∠DGB 的度数．【教学目标】1．能熟练利用全等三角形的判定及性质判断两个三角形全等； 2．能够熟练利用全等三角形证明两个角或线段相等；3．能够结合题目特点适当的添加辅助线，证明两个三角形全等或两个角相等或线段相等．【教学重难点】重点：中考题中利用全等三角形的判定及性质的有关问题； 难点：体会作辅助线的一般规律．【例1】在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝12(AB ＋AD)，则∠ABC与∠ADC 间有何关系？为什么？【变式】如图，AE 是△ABC 中∠BAC 的外角平分线，D 是AE 上一点．求证：BD ＋DC ＞AB ＋AC ．【例2】已知△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证AM ＜12(ABEA B2＋AC)．【变式】如图，AD 平分BAC ∠，DE CD =，EF ∥AB ，求证：AC EF =．【例3】以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt △ACE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，︒=∠=∠90CAE BAD ．M 是BC 的中点，连接AM 、DE ．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图1，当BAC ∠为直角时，AM 与DE 的位置关系是______________；线段AM 与DE 的数量 （2）如图2，当BAC ∠不为直角时，（1）中的两个结论是否发生改变？请说明理由．【例4】（2016蒙城县模拟）已知，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与A 、B 重合），分别过A 、B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E 、F 、Q 为斜边AB 的中点．A B C E D F DD M B C A EM B C E A图2图13（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【例5】如图1，△ABC 的边BC 在直线l 上， AC ⊥BC ，且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP 、BQ ．补全图形后，猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP 、BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【例6】已知：△ABC 的两条角平分线BD 、CE 相交于点O ． （1）如图1，若∠BAC ＝60°，求证：OD ＝OE ； （2）如图2，若∠BAC ＝40°，∠ABC ＝60°，求证：AC ＋BE ＝2BC ．A AEDOOEDPF E C B AllP F E QC BAPC (F )B A (E )l 图1图2图34（1）在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF ∵∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120° ∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB ＝60° ∴∠BOC ＝120°，∠BOE ＝∠COD ＝60° ∵BF ＝BE ，∠OBF ＝∠OBE ，BO ＝BO ∴△BOF ≌△BOE∴OF ＝OE ，∠BOF ＝∠BOE ＝60° ∴∠COF ＝60°，∴∠COF ＝∠COD 又OC ＝OC ，∠OCF ＝∠OCD ∴△COF ≌△COD ，∴OF ＝OD ∴OD ＝OE（2）作EG ⊥AC 于G ，EH ⊥BC 于H∵CE 平分∠ACB ，∴EG ＝EH ∴△CEG ≌△CEH ，∴CG ＝CH∵∠BAC ＝40°，∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝80° ∴∠ACE ＝40°，∴∠BAC ＝∠ACE∴EA ＝EC ，∴AG ＝CG ∵∠ABC ＝60°，∴BE ＝2BH∴AC ＋BE ＝2CG ＋2BH ＝2CH ＋2BH ＝2BC【例7】已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边．于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终．．在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM ＝BN ，连接CN ． （1）当∠BAC ＝∠MBN ＝90°时，①如图a ，当θ＝45°时，∠ANC 的度数为_________； ②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由； （2）如图c ，当∠BAC ＝∠MBN ≠90°时，①求证：BM ∥CN ；②直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系．（1）①45°②不变过B 、C 分别作BD ⊥AP 于D ，CE ⊥AP 于E ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠EAC ＝90°∵BD ⊥AE ，∴∠ADB ＝90°A B C F E DOAO E DB CH GM B C PNA θθ A a a a A θMB CPNB C P N (M ) 图a 图b 图c M BCP A θ aDE5∴∠ABD ＋∠BAD ＝90° ∴∠ABD ＝∠EAC又∵AB ＝AC ，∠ADB ＝∠CEA ＝90° ∴△ABD ≌△CAE ∴AD ＝CE ，BD ＝AE∵BD 是等腰Rt △BMN 斜边上的高∴BD ＝DN ，∠BND ＝45°∴DN ＝AE ，∴DN －DE ＝AE －DE 即NE＝AD ＝CE ∵∠CEN ＝90°，∴∠ANC ＝45°【例8】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，点E 为直线AC 上一点，D 为直线BC 上一点，且DA =DE ． （1）当点D 在线段BC 上时，如图1，求证：BD +AB =AE ；（2）当点D 在线段CB 的延长线上时，如图2、图3，猜想线段BD 、AB 和AE 之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【例9】已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CEF 有公共顶点C ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接BM ，EM ．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：BM ∥CF ； （2）将△CEF 绕点C 顺时针旋转45°（如图2），求证：BM ＝ME 且BM ⊥ME ； （3）将△CEF 绕点C 旋转任意角度（如图3），探究BM 与ME 的数量关系和位置关系，并加以证明．ABCE F MABMEFCA B CE FM图 2C图 3CB图 1E EFCF CB6（1）证明：延长AB 交CF 于D则△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ＝BD ，∴B 是AD 的中点又∵M 是AF 的中点，∴BM 是△ADF 的中位线 ∴BM ∥CF（2）证明：延长BM 交CF 于D ，连接BE 、DE 由题意，∠BCE ＝45°，∠ECF ＝45° ∴∠BCF ＝90°＝∠ABC ，∴AB ∥CF ∴∠ABM ＝∠FDM ，∠BAM ＝∠DFM ∵M 是AF 的中点，∴AM ＝FM∴△ABM ≌△FDM ，∴AB ＝DF ，BM ＝DM ∵AB ＝BC ，∴BC ＝DF 又∵∠BCE ＝∠DFE ＝45°，CE ＝FE∴△BCE ≌△DFE ，∴BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEF∴∠BED ＝∠BEC ＋∠CED ＝∠DEF ＋∠CED ＝∠CEF ＝90° ∴△BDE 是等腰直角三角形 ∴BM ＝ME 且BM ⊥ME （3）BM ＝ME 且BM ⊥ME证明：过F 作FG ∥AB ，交BM 延长线于G ，连接BE 、EG 则∠ABM ＝∠FGM ，∠BAM ＝∠GFM 又∵AM ＝FM ，∴△ABM ≌△GFM ∴AB ＝FG ，BM ＝GM ∵AB ＝BC ，∴BC ＝FG 过C 作CH ⊥AF 于H则∠BCH ＝∠BAM ＝∠GFM ，∠ECH ＝∠EFM∵∠BCE ＝∠BCH ＋∠ECH ，∠GFE ＝∠GFM ＋∠EFM ∴∠BCE ＝∠GFE又∵CE ＝FE ，∴△BCE ≌△GFE ∴BE ＝GE ，∠BEC ＝∠GEF∴∠BEG ＝∠BEC ＋∠CEG ＝∠GEF ＋∠CEG ＝∠CEF ＝90° ∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BM ＝ME 且BM ⊥ME【家庭作业】1．已知，如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）求证：AM 平分∠DAB ；（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．ABCE FM图1DA B CEFM图3GH ABM EFC图2D ABCDM72．正方形ABCD 中，M 是AB 上一点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N ． （1）试判断线段MD 与MN 的关系，并说明理由．（2）若点M 在AB 延长线上，其它条件不变，上述结论还成立吗？试说明理由．A B CD M ENA B CD M EN。