2018-2019学年高一数学人教B版必修一课时分层作业：8 函数的单调性

课时分层作业(八)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是()
A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝1
x在定义域内是减函数
D．y＝1
x在(－∞，0)上是减函数
D[当k<0时，y＝kx在R上是减函数；y＝x2在R上不单调；函数y＝1 x只
可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在定义域内为减函数，只有D正确．]
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()
A．y＝x2－2B．y＝3 x
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2 C[函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；
函数y＝3
x在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；
y＝1＋2x在R上都是增函数，
所以在(－∞，0]上是增函数；
y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．]
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是()
A．增函数B．减函数
C ．不增不减函数
D ．既增又减函数
B [∵(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2<0，f (x 1)－f (x 2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－x 2>0，
f (x 1)－f (x 2)<0.
即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)． 不论哪种情况，都说明f (x )在(a ，b )上为减函数．]
4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是
( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(2，＋∞)
D ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，167
D
[由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，8(x －2)>0，
x >8(x －2)
⇒2＜x ＜16
7，
选D.]
5．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
A [由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
m 8，＋∞上递增，
由题设只需m
8≤－2，即m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.应选A.] 二、填空题
6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，0<x <1，
x ，x ≥1
的递减区间是________.
(0,1) [f (x )＝1
x 在(0,1)上是减函数，f (x )＝x 在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )
＝⎩⎨
⎧
1
x ，0<x <1，x ，x ≥1
的单调减区间是(0,1)．]
7．函数y ＝1－3m
x 在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，＋∞ [∵函数y ＝
1－3m x 在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m ＜0，解得m ＞1
3.]
8．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的实数x 的取值
范围为________．
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－1，12 [由题设得⎩⎨⎧
－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <1
2.]
三、解答题
9．作出函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x －3，x ≤1
(x －2)2
＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间. [解] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －3，x ≤1
(x －2)2
＋3，x >1
的图象如图所示．
由图可知：函数的单调减区间为(－∞，1]，(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)． 10．判断函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
[解] y ＝
x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
证明：设x 1>x 2>－1，
则y 1－y 2＝x 1
x 1＋1－x 2
x 2＋1＝x 1－x 2
(x 1＋1)(x 2＋1)，
∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 1－x 2
(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝
x x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数
C [∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如：f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x
2＋2为增函数；
当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．]
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(2b －1)x ＋b －1，x >0，
－x 2＋(2－b )x ，x ≤0是(－∞，＋∞)上的增函数，
则实数b 的范围是( )
A ．[1,2]
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2
C ．(1,2]
D ．(1,2)
A [f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，首先分段函数在每段上都是增函数，则需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2b －1>0，2－b
2≥0，
即1
2<b ≤2，其次，还需满足在x ＝0时，(2b －1)×0＋b
－1≥－02＋(2－b )×0，即b ≥1，综上实数b 的范围是1≤b ≤2，故选A.]
二、填空题
3．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．
⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫1，32 [由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，
x －2<1－x ，
解得1≤x <32，
故满足条件的x 的取值范围是1≤x <3
2.] 4．函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2
(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ [函数f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2， 由于f (x )存在增区间， 所以1－2a <0， 即a >12.] 三、解答题
5．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在R上是减函数.
[解](1)∵x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，当x＜0时，f(x)＞1，令x＝－1，y ＝0，
则f(－1)＝f(－1)f(0)．
∵f(－1)＞1，∴f(0)＝1.
(2)证明：若x＞0，－x＜0，
∴f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)，
∴f(x)＝
1
f(－x)
∈(0,1)，
故x∈R，f(x)＞0，
任取x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)，∵x2－x1＞0，
∴0＜f(x2－x1)＜1，∴f(x2)＜f(x1)．
故f(x)在R上是减函数.。