2020届山东省新高考质量测评联盟高三5月联考数学试题(wd无答案)

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山东省青岛市2020届高三5月模拟检测数学试题 Word版含解析

山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】【分析】将集合A ，B 化简，再求出U A ð，根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>．故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i -=(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==，所以)1422i z i ===+，所以12z i =，所以z的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b r r ，则sin x =（）A.45B.35C.25D.【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-，又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=，即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题. 4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ；对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（） A. 229x y += B.227x y += C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=，则OACV 的面积为（）A.B.23C.D.43【答案】A 【解析】【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ，可得BO OD =u u u r u u u r ，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u u u r u u u r △即可求出ABC S V .【详解】在ABC V 中，由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r，所以BO OD =u u u r u u u r，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△，因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r，所以83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以183123||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △，所以1233233=AOC S =⨯△. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（） A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m e >【答案】B 【解析】【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=，当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<，所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减，所以当12max ()()2e g x g e -==，所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>，所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=，所以222log ()log ab b >，故A 正确；对B ，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误；对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<，所以1b aa b<<，故C 正确；对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误；所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π，此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可，不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2，故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--u u u r ，1(2,0,4)A B =-u u u r ，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ，所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =r，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r，故不存在实数λ使得n λm =r u r，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ，解得22a -≤≤. 答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25- 【解析】【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______．【答案】10x y -+= 【解析】【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f xf x x x--=--=-=-，所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==，所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=，所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =，则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______．【答案】 (1). 28y x = (2). 2．【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224|3|2p =+-+，整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合，过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =，所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-，所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3，所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=，所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______．给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q，即可求出n a ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】(1)方案一：选条件①．因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，所以()()22222q q q+=++，解得2q =或0q =（舍），所以1112n n n a a q --==()N n *∈，(2)由（1）得12n n a -=()N n *∈，所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪，方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥，因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥，当1n =时，122a a =，212a a =适合上式，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S 的最大值.【答案】(1)4C π=；（2）)361【解析】【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4C π=，故要求ABC V 面积S 的最大值，只需求出ab 的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-，所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=，所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=，即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=， ①若cos sin C C =，则4C π=，②若cos sin 10C C +-=，则sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=，综上，4C π=或2C π=.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所以4C π=，因为(222221442cos 224c a b ab a b ab ab π==+-=+-≥=，即(722ab ≤=（当且仅当a b =等号成立），所以()11sin sin 72236122444S ab C ab π===≤+=，即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；6 【解析】【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ，()20,,1n a =-u u r，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-u u u r ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CD CC C =I ，1,CD CC ⊂平面11DCC D ，所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ，所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ，所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ，()1,1,0EB =u u u r ，()10,0,ED a =u u u u r．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-u r，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，()1,0,0CB =u u u r ，()10,1,CC a =u u u u r．由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r u r u u r ，解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin 323CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表：质量不优秀质量优秀总计甲地乙地试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？附：临界值表其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关，即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25，以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P81256 2764 27128 364 1256ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤【解析】【分析】(1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围．【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，因为四边形1122A B A B 的面积为1222a b ⨯⨯=又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△，当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===，因为3t >，所以1103t <<，所以304r << 综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MN F S V 的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：122ln x x a +<．【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析【解析】【分析】(1)求()x f x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0xg x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-()0a >，则()221a a a aϕ-'=-=，当()0,2a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当()2,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=->所以()0a ϕ>，即2ln a a >，从而ln 2aa a <<，2a e a > 所以()20ag a e a =->，又因为()010g =>，所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(),e +∞．(2)不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+，则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=，当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立．所以函数()p x 在R 上单调递增．由2ln x a >，可得()()2ln 0p x p a >=，即()()222ln 0g x g a x -->，又因为1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，所以()()12g x g x =，所以()()122ln g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，构造函数证明不等式，同时考查极值点偏移问题，属于难题.。

山东新高考质量测评联盟5月联考试数学试题(PDF版含答案)

方法二由题意可知
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高三数学试题答案第 ( 页共 8 页
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山东2020届高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)文科数学 (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（文科）（6月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1 B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A．无法确定小周是否参加医庁队B．甲没参加医疗队C．无法确定两名护护士是否参医疗队D．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x+π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A．[136，83)B．(136，83]C．[3112，83)D．(3112，83]7．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ke﹣x+2sin x，则a=f(log234)，b=f(log445)，c= f(log889)的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．14B．√24C．√34D．√229．已知椭圆C1：x 28+y24=1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2=2px(p＞0)的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为．15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝，若b ＝2，则△ABC 的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；，求四棱（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 B 型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A 型车和一辆开了4年的B 型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：p （K 2≥k 0）0.05 0.010 0.001 k 03.8416.63510.82820．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34．（1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．（1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2．（1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣1} 【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i +i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1 B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=3=15．15故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加，而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加，但是无法确认小周是否参加，故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（） A ．[136，83)B ．(136，83]C ．[3112，83)D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值；ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）＝e x﹣ke﹣x+2sin x，则a=f(log234)，b=f(log445)，c= f(log889)的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝e0﹣ke0+2sin0＝1﹣k＝0，解可得k的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f（x）为R上的增函数，由对数的运算性质可得log234＜log445＜log889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝e0﹣ke0+2sin0＝1﹣k＝0，解可得k＝1，即f（x）＝e x﹣e﹣x+2sin x，其导数f′（x）＝e x+e﹣x+2cos x≥2√e x×e−x+2cos x＝2+2cos x≥0，则函数f（x）为R上的增函数，又由log445=log2√45=log2√5，log889=log2√893=log2√93，则有log234＜log445＜log889，又由函数f（x）为R上的增函数，则a＜b＜c；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．14B．√24C．√34D．√22【分析】设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD=√2r，∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，由此能求出异面直线OC与PD所成角的余弦值．解：设OP＝r，过点D作OC的平行线交与CD于行的半径于点E，则OE＝OC＝CD＝OD＝r，PC＝PD=√2r，∴∠PDE（或其补角）为其异面直线OC与PD所成角，在△PDE中，PE＝PO=√2r，DE＝r，∴cos∠PDE=r22r=√24．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C1：x 28+y24=1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2=2px(p＞0)的准线l过点F1，设P是直线l与椭圆C1的交点，Q是线段PF2与抛物线C2的一个交点，则|QF2|＝（）A．12(3−2√2)B．12(4−2√2)C．√2D．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ．计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2．过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）．故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】分别求得f （x ）＝2+k sin x 和y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1的导数，可得f （x ）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l 与函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的相切的切点为（m ，n ），可得k ，m ，n 的方程组，解方程可得所求值．解：函数f （x ）＝2+k sin x 的导数为f ′（x ）＝k cos x ，y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1的导数为y ′＝3x 2﹣2x ﹣3，可得f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线的斜率为k ，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a＝sinα+cosα=√2sin(α+π4)，b＝sinβ+cosβ=√2sin(β+π4)，由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)，所以1≤a≤b≤√2．则：1≤ab≤2．故①②正确．由1≤a≤b≤√2，构造平面区域如图所示：令2a﹣b＝t，可得b＝2a﹣t．由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2），当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 12．设双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H为MN的中点，在直角三角形HF1F2中，可得4c2＝4a2+（2a+2√2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即c=√3a，因为|HF2|=12|MN|＝2a，所以|HF1|=√|F1F2|2−|HF2|2=2√c2−a2，所以直线l的斜率为|HF2||HF1|=22=√22，故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=11 18．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为[1，2] ．【分析】先求出a的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f（2x﹣2）≥f（0），求出x的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，∴a＝1，f（x）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f（2x﹣2）≥f（0）=12，结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤x≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝π3，若b＝2，则△ABC的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0， ∴可得cos B =12，∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2√85=√122+h2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r=√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2+(3√3)2，解得R=438；所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm2）．故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题设条件列出d的方程，解出d，a1，求出通项公式；（2）由（1）求得a2n−n，再使用分组求和求出T n，研究其单调性，求出满足T n大于2020的最小自然数n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则S3＝3a1+3×22d=15，∴a1+d＝5，a4＝5+2d，a13＝5+11d，∵a1，a4，a13成等比数列，∴（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），解得d＝0（舍）或d＝2，故a1＝5﹣d＝3．所以a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；（2）根据（1）知a2n−n=2（2n﹣n）+1＝2n+1﹣（2n﹣1），∴T n＝（22+23+…+2n+1）﹣[1+3+…+（2n﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n2=2n+2﹣n2﹣4．∵2n﹣n＞0，∴a2n−n=2（2n﹣n）+1＞0，∴T n单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√3，求四棱4锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，△P′AD，即∠P′AD＝120°或60°．∴sin∠P′AD=√32由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√3．2∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V=13×√32×12×(12+1)×1=√38．P′−ABCD【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A 型B 型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A 型车和一辆开了4年的B 型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：p （K 2≥k 0）0.05 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90，因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34．（1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD．【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a +(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y 2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a 2=34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1，联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 2，y 1y 2=−92，所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m 2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ，所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值；（2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞），所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e ，所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e ，所以f （x ）的单调递增区间为（1e，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e ，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ，因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x，设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0，所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0，所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e）=2e−cos 1e＜2e−cosπ6=2e−√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点，综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．（1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k 2，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|=2√4−d2=2√3，解得d＝1．所以：|PD|=√|PC1|2−1，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据|PC1|=|−1+0−4|2=5√22，所以|PD|min=√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=13（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷(5月份) (解析版)

2020年山东新高考质量测评联盟高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（﹣1，0]∪[1，3）D．（﹣1，0]∪（1，3）2．若复数z满足z（﹣1+2i）＝|1﹣i|2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．−45B．45i C．45D．−45i3．已知直线l：y−√22=k（x+√22），则“k＝1”是“直线l与圆x2+y2＝1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示．在梯形ABCD中，∠A=π2，AB∥CD，AB＝2，CD＝1．AD＝2，E，F分别为边CD，BC的中点，则AE→⋅AF→=（）A．54B．114C．3D．45．函数f（x）=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．设函数f(x)={(x+1)4，x＞1√x3+1，x≤1，则当0＜x＜1时，f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大值为（）A．32B．.4C．.24D．.67．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（） A ．8991B ．291C ．98125D ．19278．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A ．这五年，2015年出口额最少B ．这五年，出口总额比进口总额多C ．这五年，出口增速前四年逐年下降D ．这五年，2019年进口增速最快10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√212．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立 B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝a sin x +2（a ∈R ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣x +2，则a ＝． 14．已知a ＞1，b ＞0，且1a−1+1b=1，则a +b 的最小值是．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|= ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于，球O 2的表面积等于．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列．（1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______．（1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝2√2，PA =√3，E 为CD 中点，PA ⊥BD ．（1）求证：平面四PAE ⊥平面PBD ；（2）若PE ＝3，求二面角D ﹣PC ﹣A 的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，且经过点A （√32，√32）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM →+ON →=λOA →，求△MON 面积最大时直线l 的方程．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |y =√1−x }，B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（） A ．[1，3）B ．（1，3）C ．（﹣1，0]∪[1，3）D ．（﹣1，0]∪（1，3）【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出（∁R A ）∩B ．解：集合A ＝{x |y =√1−x }＝{x |1﹣x ≥0}＝{x |x ≤1}＝（+∞，1]；集合B ＝{x |（x +1）（x ﹣3）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3），则∁R A ＝（1，+∞）；所以（∁R A ）∩B ＝（1，3）．故选：B ．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．若复数z 满足z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．−45B ．45iC ．45D ．−45i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z （﹣1+2i ）＝|1﹣i |2=(√2)2=2，得z =2−1+2i =2(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=−25−45i ， ∴复数z 的虚部为−45．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知直线l ：y −√22=k （x +√22），则“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2=1，解得k ．即可判断出结论．解：直线l 与圆x 2+y 2＝1相切，可得：|√22k+√22|√k 2+1=1，解得k ＝1．∴“k ＝1”是“直线l 与圆x 2+y 2＝1相切”的充要条件．故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图所示．在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点，则AE →⋅AF →=（）A ．54B ．114C ．3D ．4【分析】先根据向量的三角形法则把所求向量都用AD →，DC →表示出来，再代入数量积即可求解．解：因为在梯形ABCD 中，∠A =π2，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1．AD ＝2，E ，F 分别为边CD ，BC 的中点，则AE →⋅AF →=（AD →+DE →）•12（AB →+AC →）=12（AD →+12DC →）•（AD →+DC →+AB →） =12（AD →+12DC →）•（AD →+3DC →）=12（AD →2+72AD →⋅DC →+32DC →2）=12（22+0+32×12） =114．故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的数量积以及三角形法则和平面向量基本定理，属于中档题目．5．函数f （x ）=(e x −1)ln|x|e x +1的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性可排除AC ，利用f(12)＜0，可排除D ，进而得出正确选项．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−x)=(e −x −1)ln|−x|e −x +1=(1−e x )ln|x|1+e x=−f(x)，则函数f （x ）为奇函数，可排除AC ；又f(12)=(√e−1)ln 12√e+10，可排除D ．故选：B ．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题． 6．设函数f(x)={(x +1)4，x ＞1√x 3+1，x ≤1，则当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式的展开式中二项式系数最大值为（） A ．32B ．.4C ．.24D ．.6【分析】先由题设条件求出当0＜x ＜1时，f （f （x ））表达式，再利用二项式定理求出结果．解：由题设条件知：当0＜x ＜1时，f （x ）=√x 3+1＞1，∴当0＜x ＜1时，f （f （x ））＝（√x 3+2）4．由二项式定理可知：展开式中二项式系数最大值为C 42=6．故选：D ．【点评】本题主要考查分段函数及二项式定理的内容，属于基础题．7．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片、“思元270”、赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为（） A ．8991B ．291C ．98125D ．1927【分析】基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率．解：第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，基本事件总数n ＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率P ＝1−1033375=1927．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知直线y =√3x 与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．√3+12【分析】由题意设A ，B 的坐标，代入直线和双曲线的方程可得A ，B 的坐标，再由AF ⊥BF ，可得数量积FA →⋅FB →=0，可得a ，c 的关系，进而求出离心率．解：由题意设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），F （﹣c ，0），则x 02a 2−y 02b 2=1，①因为AF ⊥BF ，所以FA →⋅FB →=0，即（x 0+c ，y 0）•（﹣x 0+c ，﹣y 0）＝0，可得c 2﹣x 02＝y 02，② 因为AB 在直线y =√3x 上，所以y 0x 0=√3，③由①②③可得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4+2√3，所以e =√3+1，故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质，及直线的垂直用数量积为0表示，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分・9．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快【分析】根据条形统计图，结合选项判断即可．解：对于A，2015出口额最少，故A对；对于B，这五年，出口总额比进口总额多，故B对；对于C，2015﹣2016出口速率在增加，故C错；对于D，根据实线斜率可知，2019年进口速度最快，故D对．故选：ABD．【点评】本题考查条形统计图的应用，考查了数据分析能力这一核心素养，基础题． 10．将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π12个単位，得到f （x ）的图象，下列说法正确的是（） A ．点（π6，0）是函数f （x ）图象的对称中心B ．函数f （x ）在（0，5π12）上单调递减 C ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）＝2sin （2x +2π3）+1的图象相同 D ．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π的整数倍【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数y ＝2cos x +l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2cos2x +1的图象；再向左平移π12个単位，得到f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 的图象，令x =π6，求得f （x ）＝1，故排除A ．在（0，5π12）上，2x +π6∈（π6，π），故f （x ）＝2cos （2x +π6）+1 单调递减．故B 正确． ∵f （x ）＝2cos （2x +π6）+1＝2cos （﹣2x −π6）+1＝2sin[π2−（﹣2x −π6）]+1＝2sin （2x +2π3）+1＝g （x ），显然，g （x ）的周期为2π2=π，故C 正确．若x 1，x 2是函数f （x ）的零点，则x 1﹣x 2是π2 的整数倍，故D 不正确，故选：BC ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．11．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√2【分析】直接利用几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用求出结果．解：已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，对于选项A ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故错误．对于选项B ：平面α分正方体所得两部分正好把几何体一分为二，根据对称性的应用，无论点F 和E 在哪个位置，都平分几何体的体积，故正确．对于选项C ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，EF ⊥BD ，EF ⊥BB 1，所以：面α⊥平面DBB 1，故错误．对于选项D ：当点F 与A 重合时，点E 与C 1重合时，四边形BFD 1E 面积的最大，且最大值为值为√2×1=√2，故正确．故选：BD ．【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积分割法的应用，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 12．对于函数f(x)={cosπx ，x ∈[−12，32]12f(x −2)，x ∈(32，+∞)，下列结论正确的是（） A ．任取x 1，x 2∈[−12，+∞)，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2恒成立B ．对于一切x ∈[−12，+∞)，都有f （x ）＝2k f （x +2k ）（k ∈N *）C ．函数y ＝f （x ）﹣ln （x −12）有3个零点D ．对任意x ＞0，不等式f （x ）≤k x 恒成立，则实数k 的取值范围是[12，+∞）【分析】先在坐标系中画出y ＝f （x ）的图象，再画出y ＝ln （x −12）与y =k x图象，由数形结合选出正确选项．解：函数f （x ）的图象如上图所示，由图象可知f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，∴A 选项正确；又由图可知f （x +2k ）＝（12）k f （x ）（k ∈N *）即f （x ）＝2k f （x +2k ），∴B 选项正确；由图象知y＝f（x）与y＝ln（x−12）有3个交点，∴C选项正确；又由图象知对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立须k2n≥（12）n在n∈N*时恒成立，即k≥1，故D选项错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝a sin x+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，则a＝﹣1．【分析】对原函数求导，然后令x＝0处的导数为﹣1，即可求出a的值．解：由题意f′（x）＝a cos x，因为f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+2，∴f′（0）＝a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，抓住切点处的导数等于切线斜率列方程是本题的关键．属于基础题．14．已知a＞1，b＞0，且1a−1+1b=1，则a+b的最小值是5．【分析】根据条件由a+b＝[（a﹣1）+b]（1a−1+1b）+1，利用基本不等式求出a+b的最小值即可．解：∵a ＞1，∴a ﹣1＞0． ∵1a−1+1b=1，∴a +b ＝[（a ﹣1）+b ]+1＝[（a ﹣1）+b ]（1a−1+1b ）+1＝3+b a−1+a−1b ≥3+2√b a−1⋅a−1b =5，当且仅当b a−1=a−1b，即a ＝3，b ＝2时取等号，∴a +b 的最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．15．已知抛物线y 2＝4x 焦点为F ，过点F 斜率为√3的直线l 交该抛物线于点A ，B （点A 在第一象限），与该抛物线的准线交于点C ，则|CB||AB|=12．【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A 、B 的坐标，进一步求出|BC |，|AB |的值即可．解：如图，由条件可得F （1，0），则直线l 的方程为：y =√3x −√3，联立{y =√3x −√3y 2=4x ，解得{x =3y =2√3或{x =13y =−2√33，即A （3，2√3），B （13，−2√33），且有C （﹣1，﹣2√3），所以|BC |=83，|AB |=163，则|CB||AB|=83163=12，故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，其内有2个不同的小球，球O 1与三棱锥A ﹣CB 1D 1的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣CB 1D 1的三个面和球O 1都相切，则球O 1的体积等于43π ，球O 2的表面积等于 π ．【分析】根据条件得到三棱锥A ﹣CB 1D 1为正三棱锥，且棱长均等于2√6，作出三棱锥，设出两球的半径，利用平面几何知识可得两圆的半径，进而可得到答案．解：根据条件可得AC ＝AB 1＝AD 1＝B 1D 1＝CD 1＝CB 1＝2√3×√2=2√6，如图，取三棱锥A ﹣CB 1D 1，设球O 1半径为r 1，球O 2的半径为r 2，E 为CD 1中点，球O 1与平面ACD 1、B 1CD 1切于F 、G ，球O 2与平面ACD 1切于H ，作截面AB 1E ，设正四面体A ﹣CB 1D 1的棱长为a ，由平面几何知识可得1√36a =√63a−r 1√32a ，解得r 1=√612a =√612×2√6=1，同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a =√624×2√6=12，则球O 1的体积等于43πr 13=43π，球O 2的表面积等于4πr 22＝4π×14=π．故答案为：43π；π．【点评】本题考查了四棱锥、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列．（1）数列{a n }的通项公式；（2）记b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【分析】（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n ，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2+1，a 3+1成等差数列，可得2（a 2+1）＝a 1+a 3+1，即2（1+q ）＝2+q 2，解得q ＝2（0舍去），则a n ＝a 1q n ﹣1＝2n ﹣1；（2）b n ={a n ，n 为奇数log 2a n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，前2n 项和T 2n ＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+5+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+12n （1+2n ﹣1）=4n 3−13+n 2．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．在①a =√3csinA −acosc ，②（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√3而且 _______．（1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．【分析】（1）选①，先利用正弦定理化简可得sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ，进而得到√3sinC −cosC =1，结合C 的范围即可求得C =π3；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得cosC =12，结合C 的范围即可求得C =π3；（2）由余弦定理可得a 2+b 2﹣ab ＝3，再利用基本不等式可得a +b ≤2√3，进而求得△ABC 周长的最大值．解：（1）选①，∵a =√3csinA −acosc ， ∴sinA =√3sinCsinA −sinAcosC ， ∵sin A ≠0，∴√3sinC −cosC =1，即sin(C −π6)=12，又0＜C ＜π，∴−π6＜C −π6＜5π6，故C −π6=π6，即C =π3；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ， ∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，∵0＜C ＜π， ∴C =π3；（2）由（1）可知，C =π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝3，即a 2+b 2﹣ab ＝3， ∴(a +b)2−3=3ab ≤3(a+b)24，∴a +b ≤2√3，当且仅当那个a ＝b 时取等号， ∴a +b +c ≤3√3，即△ABC 周长的最大值为3√3．【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，AD＝2，AB＝2√2，PA=√3，E为CD 中点，PA⊥BD．（1）求证：平面四PAE⊥平面PBD；（2）若PE＝3，求二面角D﹣PC﹣A的余弦值．【分析】（1）先根据题设条件可得∠ABD＝∠DAE，进一步可证得BD⊥AE，而BD⊥PA，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD及平面PAC的法向量，利用向量公式即可得解．解：（1）证明：在Rt△ABD中，22√2=√22，在Rt△DAE中，tan∠DAE=√22，∴tan∠ABD＝tan∠DAE，∴∠ABD＝∠DAE，又∵∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠ABD＝90°，∴BD⊥AE，又∵BD⊥PA，PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，又BD在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面PAE；（2）在Rt△ADE中，AE=√6，又PA=√3，PE=3，由勾股定理可得PA⊥AE，又∵PA⊥BD，且BD与AE相交，∴PA⊥平面ABCD，分别以AD，AB，AP所在直线x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(2，0，0)，P(0，0，√3)，C(2，2√2，0)，A(0，0，0)，∴DP→=(−2，0，√3)，PC→=(2，2√2，−√3)，AC→=(2，2√2，0)，设平面PDC的一个法向量为m→=(x，y，z)，则{m→⋅DP→=−2x+√3z=0m→⋅PC→=2x+2√2y−√3z=0，则可取m→=(√3，0，2)，同理可得平面PAC的一个法向量为n→=(√2，−1，0)，∴cos＜m→，n→＞=√6√7⋅√3=√147，由题意可知，二面角D﹣PC﹣A为锐二面角，∴二面角D﹣PC﹣A的余弦值为√14 7．【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，且经过点A（√32，√32）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足OM→+ON→=λOA→，求△MON面积最大时直线l的方程．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M （x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k值，写出三角形面积公式，得到关于m的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN的方程．解：（1）由题意得，{ c a =√6334a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a 2=3b 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx +m （m ≠0）， M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 23+y 2=1y =kx +m，得（3k 2+1）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0．△＝36k 2m 2﹣4（3k 2+1）（3m 2﹣3）＝12（3k 2+1﹣m 2）＞0，① x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3m 2−33k 2+1． ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 3k 2+1．∵OM →+ON →=λOA →，∴{x 1+x 2=−6km 3k 2+1=√32λy 1+y 2=2m3k 2+1λ，得k =−13．代入①得，−2√33＜m ＜2√33，且m ≠0．∴S △OMN =12|m|⋅|x 1−x 2|=12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12|m|•√12(3k 2+1−m 2)3k +1=3|m|√4−3m 24=√3⋅√3m 2(4−3m 2)4≤√34⋅3m 2+4−3m 22=√32．当且仅当3m 2＝4﹣3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意． ∴直线MN 的方程为y =−13x ±√63．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21．2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018﹣2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者・（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性辱民至少多少人？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)l(+d)(a+c)(b+d)，其n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程y=b x+a，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知y=15∑5i=1y i=40，∑5i=1x i2=90，∑5i=1x i y i=885．请利用所给数据求t和回归直线方程y=b x+a；附：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（3）用（2）中所求的以性回归方程得到与x i对应的日垃圾分拣量的估计值yi．当分拣数据y i与估计值yi 满足|yi−y i|≤2时，则将分拣数据（x i，y i）称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记X表示取得“正常数据”的个数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）设被调查的女性居民人数为5x，然后补充完整2×2列联表，再根据K2的公式计算出观测值，并与附表中的临界值进行对比列出关于x的不等式，解之即可得解；（2）结合表格中的数据、参考数据和参考公式计算出t、a、b即可得解；（3）把x1＝2，x2＝3，x3＝4，x4＝5，x5＝6分别代入（2）中得到的回归直线方程求出对应的yi ̂，再求出|y i −y i |，并与2比较大小后判断出是否属于“正常数据”，然后确定X 的可能取值为1，2，3，结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设被调查的女性居民人数为5x ，则2×2列联表如下所示，不喜欢人数喜欢人数合计男 3x 2x 5x 女 x 4x 5x 合计4x6x10x∴K 2=10x⋅(3x⋅4x−2x⋅x)25x⋅5x⋅4x⋅6x=5x 3，∵犯错误的概率不超过0.010，∴5x 3≥6.635，解得5x ≥19.905，故被调查的女性居民至少有20人．（2）由表可知，x =2+3+4+5+65=4，y =15(25+30+40+45+t)=40，∴t ＝60．∴b =∑ 5i=1x i y i −nxy ∑ 5i=1x i2−nx2=885−5×4×4090−5×16=8.5，a =y −b x =40﹣8.5×4＝6， ∴回归直线方程为y =8.5x +6．（3）将x 1＝2，x 2＝3，x 3＝4，x 4＝5，x 5＝6分别代入回归直线方程得， y 1̂=23，y 2̂=31.5，y 3̂=40，y 4̂=48.5，y 5̂=57， ∴|y 1̂−y 1|=|23−25|=2≤2，属于“正常数据”， |y 2̂−y 2|=|31.5−30|=1.5≤2，属于“正常数据”， |y 3̂−y 3|=|40−40|=0≤2，属于“正常数据”， |y 4̂−y 4|=|48.5−45|=3.5＞2，不属于“正常数据”， |y 5̂−y 5|=|57−60|=3＞2，不属于“正常数据”， ∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，P （X ＝1）=C 31C 22C 53=310，P （X ＝2）=C 32C 21C 53=35，P （X ＝3）=C 33C 53=110， ∴X 的分布列为X 123 P31035110数学期望E（X）=1×310+2×35+3×110=95．【点评】本题考查独立性检验、线性回归方程、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣ln2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cos x+ln2在（−π2，+∞）上的零点个数．【分析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f（x）的单调性；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g（x）的零点个数，从而得到g（x）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，因为f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞lna；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；（2）由已知得g（x）＝e x﹣2x﹣cos x，x∈（−π2，+∞），则g'（x）＝e x+sin x﹣2，①当x∈(−π2，0)时，因为g'（x）＝（e x﹣1）+（sin x﹣1）＜0，所以g（x）在（−π2，0）上单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（x）在（−π2，0）上无零点，②当x∈[0，π2]时，因为g'（x）单调递增，且g'（0）＝﹣1，g'（π2）＝eπ2−1＞0，所以存在x0∈(0，π2)，使得g'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈(x0，π2)时，g'（x）＞0，所以g （x ）在[0，x 0]上单调递减，且g （0）＝0，所以g （x 0）＜0，又因为g （π2）=e π2−π＞0，所以g （x 0）⋅g(π2)＜0，所以g （x ）在（x 0，π2）上存在一个零点，所以g （x ）在[0，π2]上有两个零点，③当x ∈（π2，+∞）时，g '（x ）＝e x +sin x ﹣2＞eπ2−3＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上单调递增，因为g （π2）＞0，所以g （x ）在（π2，+∞）上无零点，综上所述，g （x ）在（−π2，+∞）上的零点个数为2个．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．。

山东新高考质量测评联盟5月联考试题数学试题答案

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2020年山东新高考质量测评联盟5月联考试题解析

14．河流两岸水分条件好，发育了沿河呈条带状的河谷草场，草类资源丰富。河流还能为人畜提供饮用水源。河流支流发源于海拔较ห้องสมุดไป่ตู้的山区，沿着支流游牧，可以直抵河谷上端的夏季牧场，不会迷失方向。阿勒泰地区为山地牧场，不同季节牧场不同，牧草和水源是影响迁移路线的关键因素。故答案选A。
15．地域文化是特定区域的生态、民俗、传统、习惯等文明表现。它在一定的地域范围内与环境相融合，因而打上了地域的烙印，具有独特性。“哈萨克族人的游牧生活形成了我国最典型、最纯正的游牧文化” 。从图中可以看出夏季牧场在高海拔的山上，冬季牧场在低海拔的山麓地带，且“一年中迁徙要搬40多次家”，所以“在垂直方向上迁移的次数多”A对，D错。“每一家都保留了五畜，在游牧中各起不同的作用”，B对。“循着牧草的生长规律” 四季轮转，C对。故答案选D。
1．改革开放以来，中外合资企业发展迅速，但随着 “2018年我国宣布取消专用车、新能源汽车外资股比限制”，外商独资品牌陆续落地，体现了我国持续的开放战略的进一步发展。故答案选B。
2．特斯拉在上海的建设体现了上海制造业的优化升级，但不足以改变上海的城市等级和服务范围，也没有替代大气污染企业，因此不能体现空气质量改善。故答案选D。
12．澳大利亚火灾对新西兰的影响主要是借助了盛行风，如下图所示的区域位置，新西兰应处于澳大利亚盛行风的下风向。结合纬度位置，可知是盛行西风，把澳大利亚的烟尘带到新西兰，故答案选 A。
13．“追逐水草，山牧季移”。开春后，气温上升，积雪从低海拔到高海拔地带，依次融化，草类复苏，故“开春羊赶雪”；入冬后，气温下降，风雪交加，牧民要转场到山脚下，故“入冬雪赶羊”。故答案选B。
8．新冠肺炎病毒爆发于冬季，因此，温度低不是优势条件；而冰岛虽是远离大陆的岛屿，但人员流动依然可以导致疫情爆发。冰岛新冠肺炎控制得力，主要在于人为的努力。故答案选D。

2020届山东新高考质量测评联盟5月联考试题数学试题及答案解析

13.函数 f(x)=asinx+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=-x+2,则 a=
.
11
14. 已知 a>1,b>0,且 + =1 ,则 a+b 的最小值是 .
1
2
15. 已知抛物线 y =4x 焦点为 F，过点 F 斜率为 3的直线 l 交该抛物线于点 A,B（点 A 在第
||
2
1
k
*
B.对于一切 x∈ − , +∞ ,都有 f（x）=2 f(x+2k)（k∈N ）
2
1
C.函数 y=f(x)-ln(x- )有 3 个零点
2
1
D.对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立，则实数 A 的取值范围是［ , +∞）
2
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.
.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）已知数列{an}是等比数列，且 a1=1，其中 a1,a2,a3+1 成等差数列. (1) 数列{an}的通项公式；
多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分・
9. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓,中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是

2020届高三数学5月质量检测试题文含解析

x x
103 170
0.618
，解得
x
5.4
厘米.
故选：A
【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5. 若双曲线 C : x2 y2 1的离心率 e 2, 2 ，则实数 m 的取值范围为（）. m3
-2-
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D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可知函数为奇函数，通过构造函数 g x x sin x 0 x π ，可得 x sin x ，进一步可得
x2 1 sin x x ，即 f x 1，结合图象可得结果.
【详解】由
f
x
x sin x x2 1
-7-
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求得实数 a 的取值范围.
【详解】由 f x g x h x 2x1 ，
有
f
x
g
xபைடு நூலகம்
hx
g
x
hx
2 2x
，
解得 g x 2x 2x ， h x 2x 2x ， h x2 ag x 1
7. 已知数列 an 满足 an1 an 1 ，且 a1 1 ，a2 3 ，则数列an 前 6 项的和为（）.
A. 115
B. 118
C. 120
D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
由题干条件求得 2 ，得到 an1 2an 1 ，构造等比数列可得数列 an 的通项公式，再结

2020届高三5月质量检测数学理科试卷(解析版)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|√2x−4≤2}，则B∩（∁U A）＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（3，4]D．[3，4]2．已知复数z=a2−i+1（i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．52B．−52C．0D．23．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3 4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a ＜b ？；a ＝a +a2 B ．a ＜b ？；a ＝a +2aC ．a ≥b ？；a ＝a +a2D ．a ≥b ？；a ＝a +2a6．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝4，a 9＝256，则a 8＝（） A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．647．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）A ．511B ．611C ．12D ．238．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．直线l ：x ﹣y +√2=0将圆O ：x 2+y 2＝4分成的两部分的面积之比为（） A ．（4π−√3）：（8π+√3） B ．（4π﹣3√3）：（8π+3√3） C ．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D ．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥201911．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论正确的是（）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√x ex ，f(12)=√12e ．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝． 14．二项式(1x −3x 2)6的展开式中的常数项是．（用数字作答） 15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为．16．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a −y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC=a 2b+c．（1）求角A 的大小；（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积．18．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．如图，四边形ABCD 为正方形，PA ∥CE ，AB ＝CE =12PA ，PA ⊥平面ABCD ．（1）证明：PE ⊥平面DBE ；（2）求二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值的大小．20．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点．（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值．21．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数．（1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |√2x −4≤2}，则B ∩（∁U A ）＝（） A ．[2，3] B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C ．（3，4]D ．[3，4]【分析】求出集合B ，∁U A ，由此能求出B ∩（∁U A ）．解：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}， B ＝{x |√2x −4≤2}＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， ∴B ∩（∁U A ）＝{x |3≤x ≤4}，故选：D ．2．已知复数z =a2−i +1（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则实数a ＝（） A ．52B ．−52C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，且虚部不为0列式求解．解：∵z =a2−i +1=a(2+i)(2−i)(2+i)+1=2a+55+a5i 为纯虚数， ∴{2a+55=0a 5≠0，解得a =−52．故选：B ．3．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3【分析】讨论字母m的范围，求出f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的m值．解：因为函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，当m＜1时，有f（m）＝e m，e m＝1解得m＝0满足条件；当m≥1时，有f（m）＝4﹣m2，∴4﹣m2＝1解得m=√3（−√3舍）总之，m=√3或0；故选：C．4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，m∥β或m⊂β；对于C，l与m相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α∥β．解：对于A，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l与m相交、平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，l∥n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A．a＜b？；a＝a+a2B．a＜b？；a＝a+2aC．a≥b？；a＝a+a2D．a≥b？；a＝a+2a【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解．解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a＜b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a＝a+a 2．故选：C．6．在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．64【分析】由已知结合等比数列的性质可求a 2，然后结合等比数列的通项公式即可求解．解：由等比数列的性质可得，a 1a 3=a 22=4， ∴a 2＝2或﹣2，∵a 9＝256，当a 2＝2时，q 7＝128即q ＝2，则a 8＝128，当a 2＝﹣2时，q 7＝﹣128即q ＝﹣2，则a 8＝﹣128，故选：A ．7．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）A ．511B ．611C ．12D ．23【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，由此能求出甲、乙不在同一组的概率．解：设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420， ∴甲、乙不在同一组的概率P ＝1−mn =1−420924=611．故选：B ．8．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：函数的定义域为R，且f(−x)=5[(−x)2−cos(−x)]e−x+e x =5(x2−cosx)e x+e−x=f(x)，∴函数f（x）为偶函数，故排除B选项；又f(0)=−52，故排除C选项；当|x|＞1时，x2＞cos x，故当|x|＞1时，f（x）＞0，故排除D选项．故选：A．9．直线l：x﹣y+√2=0将圆O：x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）A．（4π−√3）：（8π+√3）B．（4π﹣3√3）：（8π+3√3）C．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）【分析】根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON=2π3以及|MN|＝2√3；进而计算可得S△MON和S扇形OMN的值，据此可得直线l将圆O分成的两部分的面积，计算即可得答案．解：根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，则点O到直线l的距离|OP|=|√2|1+1=1，又由圆O ：x 2+y 2＝4的半径|OM |＝r ＝2，则∠MOP =π3，则∠MON =2π3；同时|MP |=√|OM|2−|OP|2=√4−1=√3，则|MN |＝2√3，且S △MON =12×|OP |×|MN |=√3，则S 扇形OMN =12×2π3×r 2=4π3，则劣弧对应的弓形的面积S 1=4π3−√3，另一部分的面积S 2＝πr 2﹣S 1＝4π﹣（4π3−√3）=8π3+√3，故两部分的面积之比S 1S 2=4π3−√38π3+√3=√38π+3√3=（4π﹣3√3）：（8π+3√3）；故选：B ．10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥2019【分析】由S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，可得a 1009．由无穷等差数列{a n }的各项都为正数，可得公差d ≥0．进而判断出结论．解：S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，∴a 1009＝1．∵无穷等差数列{a n }的各项都为正数，∴公差d ≥0．∴a 1010≥1． S 2016=2016(a 1+a 2016)21008（a 1009+a 1008）≤1008×2＝2016，S 2019＝S 2017+a 2018+a 2019≥2017+2＝2019，综上可得：只有C 错误．故选：C ．11．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论正确的是（）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用求出函数g （x ）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果．解：根据T =4×(7π12−π3)=π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象过（7π12，−1），所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，由于|φ|＜π2，解得φ=π3，故f （x ）＝sin （2x +π3），先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到g （x ）＝sin[13×(x +7π2)+π3]=−cos 13x ．①故函数g （x ）为偶函数，故错误．②令13x ∈[2kπ，2kπ+π]，所以x ∈[6k π，3π+6k π]，故[﹣2π，0]⊄[6k π，3π+6k π]，故错误． ③令13x =π2+kπ（k ∈Z ），解得x =3π2+3kπ（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（3π2+3kπ，0）（k ∈Z ），故错误④令13x =kπ解得x ＝3k π，当k ＝﹣1时，x ＝﹣3π，故正确．故选：D ．12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√xex ，f(12)=√12e．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【分析】由已知可得[e x f （x ）]′=√x ，结合其结构特点考虑构造函数g （x ）＝e x f （x ），结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．解：由f （x ）+f '（x ）=√xex ，可得，e x [f(x)+f′(x)]=√x ，即[e x f （x ）]′=√x ，令g （x ）＝e x f （x ），则f （x ）=g(x)e x，且g′(x)=√x ，故f′(x)=√x−g(x)e x，令h （x ）=√x −g(x)，x ＞0，则h′(x)=2x，当x ∈(0，12)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈(12，+∞)时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，故h （x ）max ＝h （12）＝0，则f ′（x ）≤0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为1a+a 8e≥√12e，当且仅当1a=a 8e即a ＝2√2e 时取等号，由题意f(x 2−x 4)≥√12e=f （12），因为f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则0≤x 2−x 4≤12，解可得，﹣1≤x ≤0或1≤x ≤2，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ﹣2 ．【分析】根据题意，用坐标表示出a →+b →，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案．解：由题，a→+b→=(2，4)，c→=(−1，λ)，∵（a→+b→）∥c→，∴2λ＝﹣4，λ＝﹣2．故答案为：﹣2．14．二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是−1352．（用数字作答）【分析】先求出其通项公式，再令x的指数为0即可求解．解：因为二项式(1x−3x2)6的展开式得通项为：T r+1=∁6r•（1x）6﹣r•(−3x2)r=（−32）r•∁6r•x2r﹣6；令2r﹣6＝0得r＝3；故二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是：（−32）3•∁63=−1352．故答案为：−135 2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝120°且AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，底面ABC的小圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．解：由题意可知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，AA 1＝4， ∴底面小圆ABC 的半径r 满足：2r =3sin30°=6，即r ＝3，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =√32+22=√13∴三棱柱的外接球的表面积为：4π•R 2＝52π；故答案为：52π．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a 2−y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 1 ．【分析】先将双曲线的方程化成标准形式，再由椭圆和双曲线的定义可得{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a，再代入|MF 1|•|MF 2|＝2，即可解得a 的值，从而得|MF 1|、|MF 2|和|F 1F 2|的长，由勾股定理可知，△MF 1F 2是直角三角形，因此S △MF 1F 2=12⋅|MF 1|⋅|MF 2|．解：将双曲线C '：2x 2a −y 2=1化成标准形式为x 2a 22−y 2=1，不妨设点M 在双曲线的右支上，则根据椭圆和双曲线的定义，有{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a． ∵|MF 1|•|MF 2|＝2， ∴2+√22a ⋅2−√22a =2，解得a ＝2或﹣2（舍负）， ∴|MF 1|=2+√2，|MF 2|=2−√2，双曲线的焦距|F 1F 2|=2√a 22+1=2√3．显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，∴△MF1F2是直角三角形，∴S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos(B+C)cosC=a2b+c．（1）求角A的大小；（2）若a=4√3，b=4√2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵cos(B+C)cosC=a2b+c=−cosAcosC，由正弦定理可得，sinA2sinB+sinC =−cosAcosC，所以2sin B cos A+sin C cos A＝﹣sin A cos C，所以2sin B cos A+sin C cos A+sin A cos C＝0，即2sin B cos A+sin（C+A）＝0，所以2sin B cos A+sin B＝0，因为sin B≠0，故cos A=−1 2，因为A 为三角形的内角，故A =2π3，（2）∵a =4√3，b =4√2，由余弦定理可得，48=32+c 2−2×4√2c ×(−12)，解可得c =2√6−2√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4√2×(2√6−2√2)×√32=12﹣4√318．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【分析】（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，求出概率．（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望即可．解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P （A ）=(23)3=827；P （B ）=(12)3=18；P （C ）=(12)3=18；（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P （X ＝0）=1927×78×78=9311728；P （X ＝1）=827×78×78+1927×18×78+1927×78×18=6581728； P （X ＝2）=827×18×78+827×78×18+1927×18×18=1311728， P （X ＝3）=827×18×18=81728．所有随机变量的分布列为：X0123P93117286581728131172881728故E（X）＝0×9311728+1×6581728+2×1311728+3×81728=59108．19．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE=12PA，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE．（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD=√5，同理解得DE=√2，要梯形PACE中，解得PE=√3，∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，∵BD ∩DE ＝D ，∴PE ⊥平面DBE ．（2）解：以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，令AB ＝1，则CE ＝，AP ＝2，∴P （0，0，2），E （1，1，1），D （1，0，0），B （0，1，0），EP →=（﹣1，﹣1，1），DP →=（﹣1，0，2），BP →=（0，﹣1，2），BD →=（1，﹣1，0），设平面DPE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EP →=−x −y +z =0n →⋅DP →=−x +2z =0，取z ＝1，得n →=（2，﹣1，1），设平面BPD 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BD →=a −b =0m →⋅DP →=−a +2c =0，取c ＝1，得m →=（2，2，1），设二面角B ﹣PD ﹣E 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√66，∴二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值sin θ=1−(66)2=√306．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF 与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值．【分析】（1）判断直线l的斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得m，进而得到所求直线方程；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，可得S1，同理可得S2，化简整理，由基本不等式，可得S1S2的最小值．解：（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1=12|PF|•|y1﹣y2|=12√(y1+y2)2−4y1y2=12√16m2+32=2√m2+2，因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为1m ，因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x ﹣2），即mx+y﹣2m＝0，联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4=4m 2+4m2，x3x4＝4，则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m|•|x3﹣x4|＝|m|•√(x3+x4)2−4x3x4=|m|•√(4m2+4m2)2−4×4= |m|m2√(4+4m2)2−16m2=1|m|√16+32m2，所以S2=12|PF|•|y3﹣y4|=12×1×1|m|√16+32m2=2|m|√2m2+1，所以S1S2＝2√m2+2•2 |m|√2m2+1=4√(m2+2)(2m2+1)m2=4√5+2m2+2m2≥4√5+2√2m2⋅2m2=4√5+2×2=12，当且仅当2m2=2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12．21．已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2＜ln(4a2)．【分析】（1）①求出f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显然a＞0，分析可知只需f（x）的最小值小于0即可满足条件，进而得解；（2）依题意，将所证不等式转化为证明(x1−x2)ex1−x22＞e x1−x2−1，再通过换元构造新函数即可得证．解：（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0），（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ，∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0，又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a+1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x 2(x 1＜x 2)，要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜e x 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以e x 2，即证(x 1−x 2)ex 1−x 22＞e x 1−x 2−1，令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t 2−e t +1＞0，令h(t)=te t 2−e t +1(t ＜0)，则h′(t)=−e t 2[e t 2−(t 2+1)]，令p(t)=e t 2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)，当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴p （t ）＞p （0）＝0，∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t 2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN |和|PQ |的长，进一步比较出结果．解：（1）曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）转换为直角坐标方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16．直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x +2y +4＝0．（2）已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1的直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．所以{x −y −1=0(x −3)2+(y −4)2=16，整理得x 2﹣8x +9＝0，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），所以中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），根据一元二次方程根和系数关系式的应用，解得x 1+x 2＝8，x 1x 2＝9，整理得：M （4，3）．联立{x +2y +4=0x −y −1=0，解得{x =−23y =−53，即N （−23，−53），所以|MN |=√(−23−4)2+(−53−3)2=14√23．根据弦长公式：|PQ |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+12⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14．由于14√23−2√14=2√2(√499−√7)＜0，所以|PQ |＞|MN |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）不等式13[f(x)+3]＞|x +1|化为|x ﹣2|＞|x +1|，去掉绝对值求出x 的取值范围；（2）画出函数f （x ）与函数y ＝mx +m 的图象，结合图象求出满足条件时m 的取值范围．解：（1）由函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3，则不等式13[f(x)+3]＞|x +1|可化为13[3|x ﹣2|﹣3+3]＞|x +1|，得|x ﹣2|＞|x +1|，等价于（x ﹣2）2＞（x +1）2，整理得6x ＜3，解得x ＜12，所以所求不等式的解集为（﹣∞，12）；（2）函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2；画出函数f （x ）={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2与函数y ＝mx +m 的图象，如图所示；由图象知函数y ＝f （x ）图象的最低点N （2，﹣3），函数y ＝mx +m 可化为y ＝m （x +1），其图象恒过点M （﹣1，0），又直线MN的斜率为−3−02−(−1)=−1，．直线y＝m（x+1）以M（﹣1，0）为中心，在直线l和MN之间转动时（含边界）满足条件；否则不满足条件；所以﹣3≤m≤﹣1，即不等式f（x）≥mx+m恒成立时，实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]．。

精品解析：山东省新高考质量测评联盟2020届高三5月联考化学试题(解析版)

山东省新高考质量测评联盟2020届高三5月联考化学试题可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5K-39 Fe-56 Co-59一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.中国科研提供抗疫“硬核力量”，在对新冠病毒的认识与防控中，化学知识起到了重要作用。

下列说法不正确的是（）A. 新冠病毒DNA分子内存在氢键，氢键具有一定的方向性和饱和性B. 聚丙烯是生产医用口罩熔喷布的主要原料，其单体分子中碳原子均以sp2杂化C. 为了防止蛋白质变性，病毒疫苗一般需要冷藏存放D. 在选用酒精消毒时，75%的酒精溶液比95%的杀菌效果好【答案】B【解析】【详解】A. 新冠病毒DNA分子内存在氢键，氢键具有一定的方向性和饱和性，故A正确；B. 聚丙烯是生产医用口罩熔喷布的主要原料，其单体分子CH2=CHCH3中碳原子采用sp3、sp2杂化，故B错误；C. 温度过高会使蛋白质变性，因此为了防止蛋白质变性，病毒疫苗一般需要冷藏存放，故C正确；D. 酒精的浓度是杀菌的主要因素，常用的浓度75%，过高过低浓度都会影响杀菌功能，过高浓度的酒精会在细菌表面形成一层保护膜，阻止其进入细菌体内，难以将细菌彻底杀死。

因此75%的酒精溶液比95%的杀菌效果好，故D正确。

综上所述，答案为B。

2.下列说法正确的是（）A. 苯和溴水在铁作催化剂的条件可以制取溴苯B. 油酸和硬脂酸可用酸性KMnO4溶液鉴别C. 顺-2-戊烯和反-2-戊烯加氢产物不相同D. 的名称为：2-氯-3-甲基-3-戊烯【答案】B【详解】A.溴应该是液溴，故A错误；B. 油酸是不饱和脂肪酸，硬脂酸是饱和脂肪酸，因此可用酸性KMnO4溶液鉴别两者，故B正确；C. 顺-2-戊烯和反-2-戊烯加氢产物都得到正戊烷，故C错误；D. 的名称为：3−甲基−4−氯−2−戊烯，故D错误。