1.9闭区间上连续函数的性质

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ch1-9闭区间上连续函数的性质

则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理，由零点定理，得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
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定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理上连续
第二类间断点
处的左、如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
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3
对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义，定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义，若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ，那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续，为的连续点。在点 x0 连续，称 x0 为的连续点。定义2 内有定义, 定义设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例证明方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (－3,－2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
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10
例2 证明方程 x + e x = 0 在区间 ( − 1, 1)内 )内

闭区间上连续函数性质的证明.

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直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x )在其中任何一个闭区间[a n , bn ]上都是无界的 . 根据闭区间套定理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间 [an , bn ], 并且
＝ lim an lim bn
n n
因为ξ [a, b]，而f(x)在点 ξ连续，
由连续函数的局部有界性定理，
存在M 0, 0, 对于一切x O ( , ) [a , b], 成立
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8
f ( x) M .
由于 lim an lim bn , 我们又可知道对于充分大的n
n n
[an , bn ] O( , ) [a, b],
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由于 x ( y )是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立 , 只需 f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 即f ( x0 ) f ( x0 ) y y0 f ( x0 ) f ( x0 )
证明：不妨假设 y f ( x) 在 [a, b] 是严格单增且连续的 .
我们已经证明了反函数的存在性和单调性，现在只需要证明：
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1)函数 y f ( x) 的值域是 [ , ] ； 2) 反函数 x ( y) 在 [ , ] 上连续 . 证明如下
x x0
和数列极限的关系可得
lim f ( xn ) lim f ( x) f ( x0 ) .
k
k
x x0
即证明了 f ( x)有最大值，同理可证 f ( x)有最小值 .

110闭区间上连续函数的性质 (2)

September 2011
1.10 闭区间上连续函数的性质 3
A
f (a)
a
f (x)
B
f (b)
b
f(x) 在开区间 (a, b) 上连续但在闭区间 [a, b] 上不连续
lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)
xa
xb
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[a, b] such that f ( ) C
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介值定理的几何解释
1.10 闭区间上连续函数的性质 18
f (x)
M
C
m
a
b
C m C M [a, b]
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1.10 闭区间上连续函数的性质 31
若有一步有
ci

1 2
(ai
bi ),
例如，江泽坚：《数学分析》（上册）66页
证明
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B
A
a
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f (x)
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定理 1‘（最值定理）
1.10 闭区间上连续函数的性质 7
在闭区间 [a, b] 上的连续函数 f(x)一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。
O
1
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又如
1.10 闭区间上连续函数的性质 10
函数 y =1/x 在开区间（0, 1）上连续，但无界:

闭区间上连续函数性质的研究

闭区间上连续函数性质的研究1 引言连续函数在闭区间上的性质是深入了解连续函数性质的一个重要方面，是不可忽略的基石．掌握闭区间上连续函数的性质可帮助我们制作机器零件，可应用到建筑生活中去．20世纪分析学的一个特征是多变量函数的整体性质，但要以闭区间上连续函数性质为基础．闭区间上连续函数的性质将随着数学发展终将成为世人皆知的常识．19世纪柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起严格极限理论后，数学家们对连续函数做出了纯数学的精确表述．连续函数在以后的数学研究中起着举足轻重的作用．它在闭区间上的性质可以结合几何用来解决介值问题、求根问题、多元函数极值问题，也可由此得知反函数、初等函数的相关性质．然而，文献中多为孤立表述数学分析中闭区间上连续函数的性质，与其它数学知识结合较少．本文将把数学分析与实变函数相联系加以陈述．2 整体性质及其证明方法归纳在数学分析中，对于闭区间上连续函数的几个重要性质的证明，不同的教科书上所采用的方法大致相同．选择证法通常是考虑这样几点：一要容易想到；二要简单；三是着眼于推广．本部分内容分别使用区间套定理，有限覆盖定理和致密性定理来证明闭区间上连续函数的四个重要性质．2.1 有界性定理定理若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界．证明[证法一]（应用区间套定理）假设()f x 在[],a b 上无界．考察[],a b 的两个闭子区间,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可以断定()f x 至少在一个闭子区间上无界，我们记这闭子区间为[]11,a b ．然后以[]11,a b 代替[],a b ，重复上面的讨论，又可得到闭子区间[]22,a b ，函数()f x 在这闭子区间上无界．继续这样的手续，我们得到一个闭区间列[]{},n n a b 满足条件1）[][]11,,a b a b ⊃⊃…[],n n a b ⊃⊃…， 2）02n n n b ab a -<-=，且函数()f x 在[],n n a b （1,2,n =…）上无界．由区间套定理，闭区间套[],n n a b 收缩于唯一的一点[]lim lim ,n n c a b a b ==∈．因为函数()f x 在c 点连续，所以存在0η>使得()f x 在(),U c η上是有界的：(),(,)f x K x U c η≤∀∈．又可取m 充分大，使得,m m a c b c ηη-<-<．这时就有[](),,m m a b U c η⊂，因而有[](),,m m f x K x a b ≤∀∈．但这与闭子区间[],m m a b 的选取方式矛盾（按照我们的选取方式，函数()f x 应在闭子区间[],m m a b 上无界）．这一矛盾说明：所作的反证法假设不能成立．函数()f x 在闭区间[],a b 上应该是有界的．[证法二]（应用有限覆盖原理）由连续函数的局部有界性，对每一点[],x a b '∈，都存在邻域(,)x U x δ''及正数x M '，使得[](),(,),x x f x M x U x a b δ'''≤∈I ．考虑开区间集[]{(,)|,}x H U x x a b δ'''=∈，显然H 是[],a b 的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集[]{(,)|,,1,2,i i i H U x x a b i δ*=∈=…,}k覆盖了[],a b ，且存在正数1M ，2M ，…，k M ，使得对一切[](,),i i x U x a b δ∈I 有()i f x M ≤，i =1，2，…，k ，令1max i i kM M ≤≤=，则对任何[],x a b ∈，x 必属于某(,)()i i i U x f x M M δ⇒≤≤．这就证得()f x 在[],a b 上有界．[证法三]（应用致密性定理）倘若()f x 在[],a b 上无上界，则对任何正整数n ，存在[],n x a b ∈，使得()n f x n >，依次取1,2,n =…，则得到数列[],n x a b {}⊂．由致密性定理，它含有收敛子列k n x {}，记lim k n k x ξ→∞=．由k n a x b ≤≤及数列极限的保不等式性，[],a b ξ∈．利用()f x 在点ξ连续，推得lim ()()k n k f x f ξ→∞=<+∞ (1)另一方面，由n x 的选取方法又有()lim ()k k n k n k f x n k f x →∞>≥→+∞⇒=+∞，这与(1)式矛盾．所以()f x 在[],a b 上有上界．类似的可证()f x 在[],a b 上有下界，从而()f x 在[],a b 上有界．2.2 最大、最小值定理定理若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有最大值与最小值．证明（应用确界原理）由于已证得()f x 在[],a b 上有界，故由确界原理，()f x 的值域[](,)f a b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[],x a b ∈都有()f x M <．令[]1(),,()g x x a b M f x =∈-．易见函数()g x 在[],a b 上连续，故()g x 在[],a b 上有上界．设G 是()g x 的一个上界，则[]10(),,()g x G x a b M f x <=≤∈-．从而推得[]1(),,f x M x a b G≤-∈．但这与M 为[](,)f a b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=，即()f x 在[],a b 上有最大值．同理可证()f x 在[],a b 上有最小值． 2.3 介值性定理定理设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>），则存在()0,x a b ∈，使得0()f x μ=．证明[证法一]（应用确界原理）不妨设()()f a f b μ<<．令()()g x f x μ=-，则()g x 也是[],a b 上的连续函数，且()0g a <，()0g b >．于是定理的结论转化为：存在()0,x a b ∈，使得0()0g x =．这个简化的情形称为根的存在性定理．记{[]}()0,,E x g x x a b =>∈．显然E 为非空有界数集（[],E a b ⊂且b E ∈），故由确界原理，E 有下确界，记0inf x E =．因()0g a <，()0g b >，由连续函数的局部保号性，存在0δ>，使得在[],a a δ+内()0g x <，在(,]b b δ-内()0g x >，由此易见00,x a x b ≠≠，即()0,x a b ∈．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则又由局部保号性，存在()0,U x η()(,)a b ⊂，使在其内()0g x >，特别有00()022g x x E ηη->⇒-∈．但这与0inf x E=相矛盾，故必有0()0g x =．[证法二]（应用区间套定理）同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数()g x 在[],a b 上连续，()0g a <，()0g b >，则存在0(,)x a b ∈使得0()0g x =．将[],a b 等分为两个子区间[],a c 与[],c b ．若()0g c =，则c 即为所求；若()0g c ≠，则当()0g c >时记[][]11,,a b a c =，当()0g c <时记[][]11,,a b c b =．于是有1()0g a <，1()0g b >，且[][]()11111,,,2a b a b b a b a ⊂-=-．再从区间[]11,a b 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,a b 的中点1c 上有1()0g c =，或者有闭区间[]22,a b ，满足22()0,()0g a g b <>，且[][]22112221,,,()2a b a b b a b a ⊂-=-．将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：1）在某一区间的中点i c 上有()0i g c =，则i c 即为所求；2）在任一区间的中点i c 上均有()0i g c ≠，则得到闭区间列[]{,}n n a b ，满足()0,()0n n g a g b <>，且[][]111,,,(),1,2,2n n n n n n n a b a b b a b a n ++⊂-=-=…．由区间套定理，存在点[]0,,1,2,n n x a b n ∈=…．下证0()0g x =．倘若0()0g x ≠，不妨设0()0g x >，则由局部保号性，存在()0,U x δ，使在其内有()0g x >．而由区间套定理的推论①，当n 充分大时有[]0,(,)n n a b U x δ⊂，因而有()0n g a >．但这与[],n n a b 选取时应满足的()0n g a <相矛盾，故必有0()0g x =．２.4 一致连续性定理定理若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续．证明[证法一]（应用有限覆盖定理）由()f x 在[],a b 上的连续性，任给0ε>，对每一点[],x a b ∈，都存在0x δ>，使得当(,)x x U x δ'∈时有()()2f x f x ε'-<． (2)考虑开区间集合[]{(,)|,}2xH U x x a b δ=∈，显然H 是[],a b 的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集{(,)|1,2,2ii H U x i δ*==…，}k覆盖了[],a b ．记1min{}02i i kδδ≤≤=>．对任何[],,x x a b '''∈，x x δ'''-<，x '必属于H *中某开区间，设(,)2ii x U x δ'∈即2ii x x δ'-<．此时有222iiii i i x x x x x x δδδδδ''''''-≤-+-<+≤+= ，故由(2)式同时有()()2i f x f x ε'-<和()()2i f x f x ε''-<．由此得()()f x f x ε'''-<．所以()f x 在[],a b 上一致连续．[证法二]（应用致密性定理）用反证法．倘若()f x 在[],a b 上不一致连续，则存在某00ε>，对任何0δ>，都存在相应的两点[],,x x a b '''∈，尽管x x δ'''-<，但有0()()f x f x ε'''-≥．令1n δ=（n 为正整数），与它相应的两点记为[],,n n x x a b '''∈，尽管1x x n'''-<，但有 0()()n n f x f x ε'''-≥． (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}[],n x a b ''⊂．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]0,()k n x x a b k '→∈→∞．同时由0010()k k k k k k n n n n n n kx x x x x x x x k n '''''''''-<⇒-≤-+-→→∞，又得0()k n x x k ''→→∞．最后，由(3)式有0()()k k n n f x f x ε'''-≥，在上式中令k →∞，由()f x 的连续性及数列极限的保不等式性，得到0000()()lim ()()k k n n k f x f x f x f x ε→∞'''=-=-≥．这与00ε>相矛盾．所以()f x 在[],a b 上一致连续．3 关于闭区间上连续函数性质的探讨此部分内容对闭区间上连续函数的各个性质定理的条件加以探讨，若其中部分条件更换，结论是否成立，并以具体例子将其中差别表现出来．1）有界性定理 (i) 闭区间 (ii) 连续当条件(i)改为开区间(),a b 时，有界性定理的结论不一定成立．如1()f x x=，虽然()f x 在开区间()0,1上连续，但是当0x →时，函数值趋于+∞．所以()f x 在()0,1上无界．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证有界性定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无界．2) 最大、最小值定理 (i) 闭区间 (ii) 连续开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到最大（小）值．例 ()f x x =在(0,1)连续而且有界，因而有上确界和下确界：{}(0,1)sup()1x M f x ∈==，{}(0,1)inf()0x m f x ∈==．但是，()f x 在区间(0,1)取不到1M =与0m =．当条件(ii)不成立，即()f x 在[],a b 上不连续时，不能保证最大、最小值定理的结论成立．如()tan f x x =在[]0,π上不连续，显然()f x 在[]0,π上无最值．由此可知，两个条件缺一不可．此定理只是一个充分条件，逆定理不成立．反例：定义在[]0,1上的狄利克雷函数虽然有最大值1和最小值0，但是函数在定义域上处处不连续．3) 介值性定理，定理逆命题不成立．即：若()f x 在闭区间[],a b 上有定义，且()()f a f b ≠，μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x μ=．这些条件不能保证()f x 在[],a b 上连续．反例 [](],0,1()1,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩在[]0,2上有定义．(0)0,(2)1f f ==-．对于介于1-和1之间的任意数μ，总存在[]00,2x ∈，使得0()f x μ=．满足定理中条件，但()f x 在点1x =处不连续．4) 一致连续性定理 (i) 闭区间若()f x 在开区间(),a b 上每一点都连续，并不能得到()f x 在(),a b 上一致连续．例证明函数1y x=在()0,1内不一致连续．证明若证函数()f x 在区间()0,1上不一致连续，只需00,ε∃>0,,(0,1)x x δ'''∀>∃∈．尽管x x δ'''-<，但0()()f x f x ε'''-≥．对于函数1y x =，可取01ε=．对1()2δ∀<，只需取x δ'=和2x δ''=．虽有 2x x δδ'''-=<，但1111x x δ-=>'''．所以1y x=在()0,1内不一致连续．该定理为充要条件，一致连续则必定连续，逆定理成立．4 特殊例子闭区间上连续函数的性质是高等数学中非常重要的一部分内容，并且有很多应用．1975年，李天岩与James A ·Yorke 发表在《美国数学月刊》上的论文《周期3蕴涵混沌》(Period Three ImpliesChaos)，正是闭区间上连续函数性质的巧妙应用．我是想通过若干例子，刻画一下这些性质的应用，进而提高人们对这些性质的认识．例[1](74)1P 设函数()(),lim ()x f x C R f x →∞∈=+∞．证明()f x 在R 上可取到最小值．分析直接使用条件中的()()f x C R ∈，这一结论未必易证．关键是要将无穷区间的问题“转移”到有限闭区间上来考虑．考虑常数(0)f ．利用条件lim ()x f x →±∞=+∞可以看出必定存在0a <及0b >，使对(][),,x a b ∀∈-∞+∞U 都有()(0)f x f ≥成立．由此不难判定()f x 在有限闭区间[],a b 上的最小值即为所求．例[2](104)2P 设()f x 在[)(],(,)a a +∞-∞上连续，且()()()f x f a x →→+∞，(()()())f x f a x →→-∞，则()f x 必达到其在[)(],(,)a a +∞-∞上的最大、最小值，且至少有一个在内点达到．证明若()f x 在[),a +∞上恒为常数：()()f x f a ≡，则结论显然．设()()f x f a ≠，则必存在()1,x a ∈+∞，使得1()()f x f a >或1()()f x f a <．现设前者发生，来证()f x 必在[),a +∞的某一内点达到最大值．因为()()()f x f a x →→+∞，所以对10()()02f x f a ε-=>，存在0A a >，使得当0x A ≥时有101()()()()()2f x f a f x f a f x ε+<+=<于是，在[]0,a A 上，()f x 连续，必达到其最大值，但由上所证，有()10,x a A ∈，使得101()(),()()f a f x f A f x <<所以()f x 在[]0,a A 上的最大值不可能在端点达到，故存在0(,)a A ξ∈，使得[]01,()max ()()x a A f f x f x ξ∈=≥又因为当0x A ≥时有1()()f x f x <，所以[)()max ()(,)f f x x a ξ=∈+∞再来证()f x 在[),a +∞上必达到其最小值．若[),x a ∀∈+∞，有()()f a f x ≤，则[)()min ()(,)f a f x x a =∈+∞结论成立．现设至少存在0(,)x a ∈+∞，使得0()()f x f a <，因为()()()f x f a x →→+∞，所以对01()()02f a f x ε-=>，存在0B a >，使得当0x B ≥时有000()()()()()2f x f a f x f a f x ε+>-=>于是，对闭区间[]0,a B 上的连续函数()f x 有000()(),()()f a f x f B f x >>，故其最小值不能在端点a 与0B 处达到，即必存在()0,a B η∈，使得[]00()min ()()(,)f f x f x x a B η=≤∈又因为当0x B ≥时有0()()f x f x >，所以[)()min ()(,)f f x x a η=∈+∞．同理可证(],a -∞的情形．例[2](103)3P 证明方程30(0)x px q p ++=>有且仅有一个实根．证明设3()(0)f x x px q p =++>，则()f x 在(,)-∞+∞上连续，且因为0p >，所以对足够大的,0A B >，有2()()0f A A A p q =++> 2()()0f B B B p q -=-++<由连续函数介值定理，至少存在(,)B A ξ∈-，使得()0f ξ=，即方程()0f x =有实根(,)(,)B A ξ∈-⊂-∞+∞．为证唯一性，只要证()f x 在(,)-∞+∞上严格单调即可，因为12,(,)x x ∀∈-∞+∞，当12x x >时，有33121212()()()()0(0)f x f x x x p x x p -=-+->>所以()f x 在(,)-∞+∞上严格单调增．于是方程()0f x =在(,)-∞+∞上有且仅有一个实根．例[2](111)4P 证明方程ln (0)ax x a =<在(0,)+∞内有且仅有一根．证明设1()(0)af x x a =<，2()ln f x x =．因为12,(0,)x x ∀∈+∞，1112()()f x f x ≠，2122()()f x f x ≠且1122(1)1(2),(1)0(2)f f f f =>=<．因为1()f x 在(0,)+∞上严格单调减，2()f x 在(0,)+∞上严格单调增，故若方程12()()f x f x =有解，必唯一；令12()()()F x f x f x =-，则()F x 在(0,)+∞上连续，且(1)10F =>，()()F x x →-∞→+∞．故存在1A >，使()0F A <，由连续函数介值定理知，存在(1,)A ξ∈，使()0F ξ=，即12()()f f ξξ=．例[1](74)5P 设函数()f x 在[],a b 上定义，且()f x 的每个值恰好取到两次，证明()f x 在[],a b 上必不连续．分析用反证法．若[](),f x C a b ∈，由条件()f x 在[],a b 上可在两处取到最大值，两处取到最小值．因此，这四处最值点中至少有两处在(),a b 内，不失一般性，可记()()[](){}0000,max ,x a b f x f x f x a x x b ∈''==<<≤现在(),a b 内取三点()12310230,,x x x x x x x x '<<<<．记()()()()123max ,,A f x f x f x =，(),a b 内至少有三处()f x 取值相同且都等于A ，这与题设条件矛盾．用介值定理不难写出完整的证明．例6 设函数()(),f x C a b ∈，若{}{}(),,n n x y a b ∃⊂，满足lim lim n n n n x y a →∞→∞==，且有()()lim ,lim n n n n f x A f y B →∞→∞==，则对λ∀（λ介于,A B 之间），证明存在{}(),n z a b ⊂，使lim n n z a →∞=且()lim n n f z λ→∞=．分析不失一般性可令A B λ<<．利用函数极限的局部保号性，可证明当n 充分大时恒有()n f x λ<，而()n f y λ>．只要在闭区间[](),,n n x y a b ⊂（或[](),,n n y x a b ⊂）上应用连续函数的介值定理，则此时总可以找到介于,n n x y 之间的n z ，使得()n f z λ=恒成立．例7 设周期函数()()f x C R ∈且以0T >为其周期，证明()f x 在R 上一致连续．证明因()()f x C R ∈，故()f x 在[](),0T T T ->上一致连续，于是()0,0T εδδ∀>∃<<，使得[](),,y y T T y y δ''''''∀∈--<有()()f y f y ε'''-<．对(),x x R x x δ''''''∀∈-<，由()f x 的周期性必[],,y y T T '''∃∈-以及n Z ∈，使得,x nT y x nT y ''''''=+=+．此时有y y δ'''-<，于是()()()()()()f x f x f nT y f nT y f y f y ε''''''-=+-+'''=-<．从而()f x 在R 上一致连续．例8 ()f x 在[],a b 上连续，1a x <<…n x b <<．证明：存在[]1,n x x ξ∈，使得11()()nk k f f x n ξ==∑证明令[1max (),M f x =…],()n f x ，[1min (),m f x =…],()n f x ，则必存在{,1,2,i j ∈…},n ，使得(),()i j f x M f x m ==，记[]11()()(),,nk k F x f x f x x a b n ==-∈∑则有[]1111()()()()0n ni i k k k k F x f x f x M f x n n ===-=-≥∑∑[]1111()()()()0n nj j k k k k F x f x f x m f x n n ===-=-≤∑∑因为()f x 在[],a b 上连续，故()F x 在[]1,,i j n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ⎡⎤⊂⎣⎦）上连续．若()0i F x ≥或()0j F x ≤中有一个等号成立，则命题得证．现设()0i F x >且()0j F x <，由连续函数介值定理，至少存在[]1,,i j n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦（或[]1,,j i n x x x x ξ⎡⎤∈⊂⎣⎦），使得11()()()0nk k F f f x n ξξ==-=∑即11()()nk k f f x n ξ==∑例9 设()f x 在[],a b 上有定义，且满足条件 (i) 在[],a b 上单调有界；(ii) 函数值充满[](),()f a f b （或[](),()f b f a ），证明()f x 在[],a b 上连续．证明不妨设()f x 在[],a b 上单调增．现假定在题设条件下，结论不成立，即至少存在[]0,x a b ∈，使()f x 在0x 处间断．由条件（i ）及单调有界变量必有极限知，()f x 在0x 处发生第一类间断．1）若0x a =，则()(0)f a f a ≠+发生．由单调增性，当[],x a b ∈时，()()()f a f x f b ≤≤，故(0)lim ()()x af a f x f a +→+=≥，由假设，等号不成立．即有()[](),(0)(),()f a f a f a f b +⊂，且[](),,()(),(0)x a b f x f a f a ∀∈∉+，这与条件（ii ）矛盾．2）现假定()0,x a b ∈，则至少有00(0)()f x f x +≠与00(0)()f x f x -≠之一发生，不妨设前者发生，同１）讨论，由单调增性，必有00()(0)f x f x <+发生，且当[]0,x a x ∈时，0()()f x f x ≤，当[]0,x x b ∈时，()[]00()(),(0)(),()f x f x f x f a f b ∉+⊂，即[]()[]00,,()(),(0)(),()x a b f x f x f x f a f b ∀∈∉+⊂，矛盾．综合1），2），()f x 在[],a b 上任一点不可能发生右间断，同理可证，()f x 在[],a b 上任一点不可能发生左间断．5 与实变函数相联系向量值函数在一点连续，它在这点近旁所具有的局部性质，除没有局部保号性定理外，其他都与实值连续函数相类似．以下是实值连续函数在有界闭域（或有界闭集）上的整体性质在向量函数形式下的推广． 5.1 有界性定理的推广定理设n D R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →为D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个有界闭集．证明先用反证法证()f D 为有界集．倘若()f D 无界，则存在点列{}k x D ⊂，使(),1,2k f x k k >=，…．由于D 是有界闭集，因此存在{}{}j k k x x ⊂，使0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在点0x 连续，故()f x 在点0x 局部有界，这与(),1,2,j k j f x k j j >≥=…相矛盾．再证()f D 为闭集，即若0y 为()f D 的任一聚点，欲证0()y f D ∈．设0()(),lim k k k k y f x f D y y →∞=∈=，由于{}k x D ⊂有界，因此存在收敛子列{}{}j k k x x ⊂，0lim j k j x x D →∞=∈．又因()f D 在0x 连续，从而有00lim lim ()()()j j k k j j y y f x f x f D →∞→∞===∈．上定理指出：连续映射把有界闭集映射为有界闭集．5.2 最大、最小值定理的推广定理设n D R ⊂为一有界闭集，若:mf D R →为D 上的连续函数，则()f D 的直径是可达的，即存在,x x D '''∈，使1212,()()sup ()()x x Df x f x f x f x ∈'''-=-．证明 1）先证1m =，即()f D 为实值函数的情形．由上定理已知()f D 为有界数集，故存在inf (),sup ()s f D S f D ==．可证必有一点x D '∈使()f x S '=（同理可证存在x D ''∈，使()f x s ''=）．倘若不然，对任何x D ∈，都有()0S f x ->，则对于正值连续函数1()()F x S f x =-，F 在D 上亦有界．另一方面，因()f D 在D 上不能达到上确界S ，所以存在收敛点列{}k x D ⊂，使lim ()k k f x S →∞=．于是有lim ()k k F x →∞=+∞，导致与F 在D 上有界的结论相矛盾．从而证得()f D 在D 上能取得最大值S 和最小值s ；也就是说，()f D 的直径S s -是可达的．2）对于2m ≥，()f D 为向量值函数的情形，只需考察1212(,)()()g x x f x f x =-，它是定义在2nD D R ⨯⊂上的一个实值函数．由于D D ⨯仍为一有界闭集，因此由上面已证得的（i ），g 在D D ⨯上存在最大值，即有,x x D '''∈，使得1212,(,)()()sup ()()x x g x x f x f x f x f x ''''''=-=-，故命题结论成立．5.3 介值性定理的推广定理设n D R ⊂是一道路连通集，则D 中任意两点之间能用一条完全含于D 的连续曲线把它们连接起来．若()f D 是D 上的连续函数，则()mf D R ⊂必定也是一个道路连通集．证明任给,()y y f D '''∈，必有,x x D '''∈，使(),()y f x y f x ''''''==．因为D 是道路连通的，所以存在连线曲线[](),,x t D t ϕαβ=∈∈，(),()x x ϕαϕβ'''==．由复合函数的连续性定理知，复合函数[]:,mf R ϕαβ→g 也是连续的，且[](())(),,f t f D t ϕαβ⊂∈，(()),(())f y f y ϕαϕβ'''==．这表示在()f D 中存在连续曲线(())y f t ϕ=[],,t αβ∈，能把y '和y ''连接起来，即()f D 也是道路连通集．上定理是实值连续函数具有介值性的推广．5.4 一致连续性定理的推广定理设nD R ⊂为一有界闭集．若:mf D R →是D 上的连续函数，则()f D 在D 上必定一致连续，即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要,x x D '''∈，且满足x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<．证明这里用致密性定理来证明．倘若()f D 在D 上连续而不一致连续，则存在某个00ε>，对于任何0δ>，例如1,1,2k k δ==，…．总有相应的点,k k x x D '''∈，虽然1k k x x k'''-<，但是0()()k k f x f x ε'''-≥．由于D 为有界闭集，因此存在收敛子列{}{}jk k x x ''⊂，使0lim j k j x x D →∞'=∈．再在{}k x ''中取出与{}j k x '下标相同的子列{}j k x ''，由于()110,j j k k j x x j k j'''-<≤→→∞，因此有 0lim lim j j k k j j x x x →∞→∞'''==．利用()f D 在0x 连续，得到00lim ()()()()0j j k k j f x f x f x f x →∞'''-=-=．而这与0()()0j jk k f x f x ε'''-≥>相矛盾，所以()f D 在D 上为一致连续[6].6 小结在这篇论文中，我陈述了闭区间上连续函数的四种性质，并且把这些性质通过例题表现出来．在这里，我们领会到：1）要善于准确的使用概念，从定义、性质出发进行论证．2）要会构造合适的辅助函数，利用辅助函数进行论证．3）要恰当的使用反证法，利用已知条件推出矛盾，证明命题．从这篇论文中，闭区间上连续函数性质的满足条件在第三部分中一目了然，能帮助我们更深刻的理解和学习连续函数．我把闭区间上的连续函数由有界闭集延拓到有界闭域，展现出数学相通的思想，也使我的学习更加全面．这就是我在参阅资料及写作论文中的想法和启示．。

闭区间上连续函数的性质

y
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )o aFra bibliotekb x
使故由零点定理知, 至少有一点即必取得介于最小值与最推论: 在闭区间上的连续函数大值之间的任何值 .
定理2. ( 零点定理 )
且使至少有一点
( 证明略 )
y
y f (x)
o
a

b x
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有一点使
证: 作辅助函数
例1、证明方程一个根 . 证: 显然
在区间又使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
*三. 一致连续性
已知函数
在区间 I 上连续, 即:
一般情形, 与 , x0 都有关 . 了一致连续的概念 . 定义: 都有在 I 上一致连续 . 显然:
就引出对任意的
例如、但不一致连续 . 因为取点可以任意小
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点 , 结论不一定成立 .
例如、
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
二、零点定理与介值定理

1-9闭区间上连续函数的性质

即 f ( ) .
内蒙古工业大学
9
贾永旺
Advanced Mathematics
例 3 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至少有一个正根，并且它不超过 a b .
证：f ( x ) x a sin x b 在0，a b上连续，
取 K max{ m , M },
内蒙古工业大学
则有 f ( x ) K .
3 贾永旺
函数f ( x )在[a, b]上有界.
Advanced Mathematics
二、介值定理
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
f ( x )的零点.
定理 2(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ),
若 f ( x ) C [a , b], 则 , [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a

b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
10
贾永旺
Advanced Mathematics
小结
四个定理
最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足, 上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;

高等数学闭区间上连续函数的性质

利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是否异号。
如果异号，则根据零点存在性定理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析，如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最值性质都是重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

闭区间上连续函数的性质

这说明定理4. 定理4.
在( 0 , 1 ] 上不一致连续 .
上一致连续. 上一致连续.
学
(证明略) 证明略)
哈尔滨工程大学
备用题正根 . 证：令显然
证明
至少有一个不超过 4 的
且
在开区间根据零点定理 ,
学
内至少存在一点
原命题得证 .
例. 设 f (x) 定义在区间
哈尔滨工程大学
哈尔滨工程大学
关于最值定理的说明：关于最值定理的说明：
连续的函数, 在闭区间 [a,b] 上连续的函数一定能取得它的最大值和最小值。最小值。可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。区间内部取得最值区间端点取得最值
y y
哈尔滨工程大学
二、最值定理
定理 1(最值定理设 f ∈ C [a , b],则存在 x m , x M ∈ [a , b]使得最值定理) 则存在最值定理
f ( x m ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x M ) (a ≤ x ≤ b) ；
这里, 这里 f ( x m ) 和 xm 分别称为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上的最小值和最小值点; 分别称为和最小值点 f ( x M ) 和 x M 分别称为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上的最大值和最大值点.
例2. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a =
2 , b= e . a (1− cos x) a 1 2 − 1− cos x ~ x 提示: = 提示 f (0 ) = lim− 2 x→ 0 2 x2
学
f (0+ ) = lim+ ln (b + x2) = ln b x→0 a =1 = ln b 2

高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则．定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、（g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理．定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续，则lim [()]f x ϕ=f （A ），即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦．由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题．幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞．又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭．例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．解由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭．例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π．例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5．第十节闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值．但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0．综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０．由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理．定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

闭区间上连续函数性质的证明精编版

,
a1
2
b1
]与[a1
2
b1
,
b1
]，同样f
(
x)至少在其
中之一上无界，把它们记为[a2 , b2 ]；这样的步骤一
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7
直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x)在其中
任何一个闭区间[an ,bn ]上都是无界的. 根据闭区间套定
理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间[an , bn ],并且
证法一(应用致密性定理证明) 采用反证法
假设 f ( x)在闭区间[a,b]上非一致连续，
由于x ( y)是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立,只需
f (x0 ) f (x) f (x0 ) 即f (x0 ) f (x0 ) y y0 f (x0 ) f (x0 )
因此取 minf (x0 ) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 )，则当
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]，
若f (c) 0,则c即为所求;
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15
若f (c) 0,则当f (c) 0时记[a1,b1] [a,c]，
当f (c) 0时记[a1,b1] [c,b]，
则有f (a1) 0，f (b1) 0,
都存在一点 xn [a,b], 使得 f (xn ) n. 取n 1, 2
3,,得到一列xn，xn [a,b] 并且 f (xn ) n, 即
lim
n
f
(xn )

.
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闭区间连续函数的性质

闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。

3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。

所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。

对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。

这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。

直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。

高数闭区间上连续函数的性质

反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即假设函数在某点不连续。然后根据连续函数的性质和已知条件，推导出与假设矛盾的结论。最后得出原命题的正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$，证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求出该点的函数值。

闭区间连续函数的性质

f (0) e3 1 0
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证：令
显然 f ( x ) 在闭区间 0 , 4 上连续 , 且

闭区间上连续函数的性质

则 f (x) 在[0,1] 上连续, 又 f (0) 1 0, f (1) 2 0,
由零点定理可知, 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 0, 即， 3 4 2 1 0，
方程 x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一根.
9
例 2 设 f (x) 在区间[a,b]上连续, 且 f (a) a, f (b) b.
证：设 f (x)在[a,b]上连续，由最大值最小值定理知：
1 [a,b]， x [a,b]，有 f (1) f (x)；且 2 [a,b]， x [a,b]，有 f (2 ) f (x).
令 M f (1)；m f (2)，则 m f (x) M，x [a,b].
取 K max{ m , M }，则 f (x) K，x [a,b].
y
y f (x)
y
y f (x)
1
o
x
2
f (x) sin x 在(0, )内
2 无最大值与最小值
o
12
x
x 1, 0 x 1
f
(
x)
1,
x 1
x 3, 1 x 2
在[0, 2]上无最大值与最小值.
4
定理2 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
换言之，若 f (x) 在[a,b]上连续，则，则存在常数 K 0， x [a,b]，恒有 f (x) K.
第十节闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理
1
一、有界性与最大值和最小值定理定义：设 f (x)在区间I 上有定义. 若 x0 I，使 x I 都有 f (x) f (x0 ) (或 f (x) f (x0 )) 则称 f (x0 )是 f (x)在区间I 上的最大(小)值. 如

1-10 闭区间上连续函数性质

2020年1月7日星期二
蚌埠学院高等数学
10
思考与练习
1.设 f (x) C[0, 2a] , f (0) f (2a) , 证明至少
[0, a], 使 f ( ) f ( a). 提示: 令 (x) f (x a) f (x) ,
则 (x) C[0, a], 易证 (0)(a) 0
0 x1 x0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点 .
2020年1月7日星期二
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12
f
(2
)

max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a 1 2 b x
注意:若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点,结论不一定成立 .
2020年1月7日星期二
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3
注1. 将闭区间改为开区间不一定成立. y
例如,
1
无最大值和最小值
o
1x
注2. 闭区间上函数有间断点不成立.
y
证明: (a,b), 使得 f ( ) .
证令 F(x) f (x) x, 则 F (x)在 [a,b] 上连续, 而 F(a) f (a) a 0,
F(b) f (b) b 0,
由零点定理, (a,b), 使
F( ) f ( ) 0,
o bx
几何解释: 连续曲线弧y f ( x)的两个端点位
于 x轴的不同侧则, 曲线弧与x轴至少有一个交点.
例1. 证明方程
在区间
内至少有
一个根 .

闭区间上连续函数基本性质——最值定理和有界性定理(老黄学高数第125讲)

. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
若M<A+ε0且m>A-ε0，则M>A-ε0且m<A+ε0，取εM =M-(A-ε0)=M-A+ε0>0，有正数c，使x>c时，有 |f(x)-A|<εM，即A-(M-A+ε0)<f(x)<A+(M-A+ε0)=M+ε0. 由ε0的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N，取xM=max(M,N)，则xM为f在[a,+∞)上的最大值；
A+ε0
A
A-ε0
ab
且f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若M≥A+ε0，则M为f在[a,+∞)上的最大值；
M
A+ε0

a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在. 证明：
. f在[a,+∞)上有界. 又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？
f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续,
∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
若m≤A-ε0，则m为f在[a,+∞)上的最小值；
A
A-ε0
m
a
b
1、设f在[a,+∞)上连续，且
证：定义函数F(x)=

《高等数学》闭区间上连续函数的性质

22
2
续，但它在该区间内是无界的，当然既无最大
值也无最小值（如右图）。
1
又如函数
x 1, 0 x 1
y
f (x)
1,
x 1
x 3, 1 x 2
0
1
2
x
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，该函数在闭区间[0,2]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值（如右图）。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
由零点定理知，存在 (a,b) , 使得
F(b) f (b) b 0
F( ) f ( ) 0
即
f续函数的性质
两条线：
最值定理
有界性定理
本
讲
内
容
零点定理
介值定理
小
结
应用
推论
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【思考】用零点定理证明介值定理。【练习】证明方程 x5 3x 1 至少有一个根介于1和2之间。
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
零点定理的应用——证明方程根的存在性零点定理的结论：存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 ，实际上就是方程f(x)=0有一个根是 x 。因而，只需说明函数f(x)在闭区间上连续，在区间端点函数值异号，就能证明方程f(x)=0在开区间内至少有一个根。
有最大值和最小值。
(1 )
a
0m
定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数
一定有界。
2 b x
《高等数学》 1.9.2 闭区间上连续函数的性质
【注意】如果函数在开区间内连续或在闭区间内有间断点，则函数在该区间上不一定有界，
也不一定有最大值和最小值。 y