人教B版高中数学选修22第2章23《数学归纳法》课时作业

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(数学归纳法)人教版高中数学选修2-2教学课件(第2.3课时)

第四页，共三十一页。
新知探究
大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
•假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
2.数学归纳法两个步骤间的关系:
“第一步——归纳奠基和第二步——归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命
题递推的根据.
3.数学归纳法的适用范围：一般来说，数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.
第三十页，共三十一页。
右边 = 1(1 + 1)(2 1 + 1) = 1， 6
等式成立.
根据（1）和（2）,可知等式对任何正整数都成立.
(2)假设当n = k(k ∈ N* )时等式成立，
即12 + 22 + +k 2 = k(k + 1)(2k + 1) ， 6
那么， 12 + 22 + +k 2 + (k + 1)2
所以，当n = k + 1时猜想也成立.
+ 4k + 1 1)(3k + 4)

数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2) (2)

数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2）

第一课时 2.3 数学归纳法（一）

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程：一、复习准备：

1. 问题1：在数列{}n a 中，*111,,()1n

n n

a a a n N a +==

∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，41

a =，由此得到：*1,n a n N n =∈）

2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？

过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，

(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1

681=412是合数

3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课：

1. 教学数学归纳法概念：

① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.

不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.

人教版选修2-2第二章 3数学归纳法(上)-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学2020春(共25张

选修2-2第二章2.3数学归纳法(上)
肇庆学院附属中学
课前准备
郑瑞华老师
1、课本、练习本、双色笔、纠错本
2、分析错因，自纠学案
3、标记疑难，以备讨论
挑战极限共创佳绩
数学归纳法是什么？是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
k+2
2k+2
提示：用n=k+1时式子左边除以n=k时式子的左边就知道
( k 2 ) ( k 3 )( 2 k ) ( 2 k 1 ) ( 2 k 2 ) (k 1 )(k 2 )(k 3 ) (k k )(2 k 1 )(2 k 2 ) k 1
( k 1 ) ( k 2 ) ( k 3 ) ( k k )( 2 k 1 ) ( 2 k 2 ) k 1
左边=右边，当 n 1 时，等式成立 .
（2）假设当n＝k，n N *时，等式成立，即
1 4 2 7 3 1 0 k ( 3 k 1 ) k ( k 1 ) 2
玩法规则：①一次只移动一片；
②不管在哪根柱子上，小片必须在大片上面。
问：这个10层汉诺塔按规则①②，把圆片从A柱子全部移到C柱子，最少
需要移动多少次呢?
1个圆片的时候： 1 21 1

【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册共65页附答案)

【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）

1.2 导数的运算

1.3.1 利用导数判断函数的单调性

1.3.2 利用导数研究函数的极值

1.3.3 导数的实际应用

1.4.1 曲边梯形面积与定积分

1.4.2 微积分基本定理

2.1.1 合情推理

2．1.2 演绎推理

2.2.1 综合法与分析法

2.2.2 反证法

2.3 数学归纳法

3.1.2 复数的概念

3.1.3 复数的几何意义

3.2.1 复数的加法与减法

3.2.2 复数的乘法

3.2.3 复数的除法

1.2 导数的运算

1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．

3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．

1．基本初等函数的导数公式表

y ＝f (x ) y′＝f′(x )

(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．

【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3

x ，则y′＝13

3x ；

③若y ＝1x

2，则y′＝－2x －3

；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝

sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．

A ．(log a x )′＝a x

B ．(log a x )′＝ln 10

人教版高中数学选修2-2 归纳法课后习题

【优化设计】2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法课后习题新人教A

版选修2-2

课时演练·促提升

A组

1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为()

A.1

B.1+a+a2

C.1+a

D.1+a+a2+a3

答案:B

2.用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1时增加的是()

A. B.π C. D.2π

解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是:∠1+∠2+∠3=π,故选B.

答案:B

3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则()

A.该命题对于n>2的自然数n都成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与k取值无关

D.以上答案都不对

解析:因为2与k+2均为偶数,故选B.

答案:B

4.用数学归纳法证明1++…+<k+1(n∈N*),由n=k(k∈N*)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()

A.2k

B.2k-1

C.2k+1

D.2k-1

解析:当n=k时,左边有2k项,当n=k+1时,左边有2k+1项,故增加的项数为2k+1-2k=2k.

答案:A

5.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N*且n>1)时,假设当n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.

答案:1++…++…+<k+1

6.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是.

人教B版高中数学选修2-2 第二章2.3.1数学归纳法-教案

2.3 数学归纳法

2.3.1 数学归纳法

【提出问题】

观察下面几个关系式：

1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

1+3+5+7+9+11=36=62

……

请归纳提出一个一般性的命题。

观察后我们得出：1+3+5+……+（2n-1）=n2。

我们知道归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是它不能用来证明数学结论。那么，我们得到的命题如何证明呢？

【获得新知】

对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法就叫做数学归纳法．

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．

【概念领悟】

①第一步验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题意的要求，有时可以为2或3等．

②在利用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，这两步缺一不可，缺少哪一步结论也不一定正确．

③在证明n＝k＋1成立时，必须要用到n＝k时成立这个归纳假设，否则推理无法进行或推理无效，这样就不是数学归纳法了.

【经典例题】

例1用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n2

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法教材习题

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法教材习题点拨新人

教A 版选修2-2

练习

1．证明：先证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . (1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1＋(1－1)d ＝ a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时命题成立．

(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d .那么，

a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a k ＋[(k ＋1)－1]d .

所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．

根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *

都成立．再证明：该数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋

n n －1

d .

(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1，右边＝1×a 1＋1×

1－1

d ＝ a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝ka 1＋

k k －1

d .那么，

S k ＋1＝S k ＋a k ＋1

＝ka 1＋

k k －1

d ＋a 1＋[(k ＋1)－1]d ＝(k ＋1)a 1＋k [k －1

2＋1]d

＝(k ＋1)a 1＋

k k ＋1

d .

所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．

根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *

都成立．

点拨：利用数学归纳法证明时，应注意分两步作证，尤其要注意第二步． 2．证明：先证明首项是a 1，公比是q 的等比数列的通项公式是a n ＝a 1q n －1

人教B版数学·选修2-2练习第2章 2.3 Word版含解析

第二章

一、选择题

．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝(∈*，≠)

)

．＋

．＋＋．＋＋＋

答案]

解析]左边＝＋＋＋＝＋＋.故选.

．用数学归纳法证明(＋)(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈

*))

．

答案]

解析]

＝

＝.故选.

．用数学归纳法证明＋＋…＋>(≥，∈*)

)

．增加了一项

．增加了两项＋

．增加了中两项但减少了一项

．以上各种情况均不对

答案]

解析]＝时，左边＝＋＋…＋，＝＋时，左边＝＋＋…＋＋＋

∴增加了＋，减少了一项.

故选.

．设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为(

)，则(＋)与())

．(＋)＝()＋－

．(＋)＝()＋＋

．(＋)＝()＋

答案]

解析]因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加个交点，

故交点个数为()＋.

．某个与正整数有关的命题，如果当＝(∈

*)时该命题成立，则可推得＝＋时该命题也成立，现已知＝时命题不成立，那么可推得

)

．当＝时该命题不成立

．当＝时该命题成立

答案]

解析]由命题及其逆否命题的等价性知选.

．等式＋＋＋…＋＝(－＋)

．为任何正整数都成立

．仅当＝时成立

．当＝时成立，＝时不成立

．仅当＝时不成立

答案]

解析]经验证，＝时成立，＝，…不成立．故选.

．(·枣庄一模)用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝

)

．＋

．(＋)

．(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)

答案]

解析]∵当＝时，左边＝＋＋＋…＋.

当＝＋时，左边＝＋＋＋…＋＋(＋)＋…＋(＋)，

∴当＝＋时，左端应在＝的基础上加上(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋).

2020高中数学 2.3数学归纳法课标分析新人教B版选修2-2

课标分析

数学归纳法是高中数学选修2-2第二章《推理与证明》中介绍的证明的最后一种方法，在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理）的基础上，又有必修五数列中递推数列的底子，这一部分是归纳法知识的螺旋式上升的升华与最终成果。这一节要求学生明白数学归纳法的原理，会使用数学归纳法证明一些与自然数有关的简单问题。

效果分析

结合学生在课上及课后的反馈情况，学生对数学归纳法的原理的理解还是不错的，数学归纳法证明的步骤也实施较好，这说明本节课对于这两部分的设计比较成功，效果明显。但是新的问题是学生们在第二步n=k+1的证明过程中有许多问题，突出表现在有些学生没有思路，不会证，不会化简；这反映他们在计算能力方面有待加强和提高。

教材分析

这一节分两个小节，第一小节主要介绍数学归纳法的基本思想及其实施步骤，并在证明等式的过程中简单应用；下一节要在证明不等式问题（用到放缩法）、证明整除问题及几何等问题中显示其巨大的威力。

本课选取第一小节，主要为学生介绍清晰数学归纳法的思想及实施步骤，使学生明白其原理，并会简单操作，证明等式问题。其中为了帮助学生理解数学归纳法，本课借助了多米诺骨牌等学生比较熟悉的例子引入，主要为学生阐述明白递推这一难于理解的原理。应用举例主要选取学生比较熟悉的自然数的一些运算公式用数学归纳法加以证明，主要让学生熟悉操作步骤。并为下一节的深化应用做好准备和铺垫。

人教B版高中数学选修(2-2)-2.3典型例题：数学归纳法

数学归纳法

考点1 数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，则还需证明

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B

试一试：

1.用数学归纳法证明),1(1112

2*+∈≠--=++++N n a a a a a a n n

，在验证n=1时，左边计算所得的式子是

A. 1

B.a +1

C.21a a ++

D. 421a a a +++

[解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a +1，故选B

2.用数学归纳法证明不等式24

1312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是

[解析]求)()1(k f k f -+即可当 n=k 时，左边k k k k ++++++=

12111 ， n=k+1时，左边)

1()1(13121++++++++=k k k k , 故左边增加的式子是

11221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 考点2 数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）

[例2 ]用数学归纳法证明不等式2)1(2

1)1(3221+<+++⋅+⋅n n n [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立

高二数学选修2-2(B版)_同步练习：数学归纳法2

数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q

q －1

(n ∈N *，q ≠1)，在验证n

＝1等式成立时，等式左边的式子是( )

A ．1

B ．1＋q

C ．1＋q ＋q 2

D ．1＋q ＋q 2＋q 3

[答案] C

[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.

2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )

A.12k ＋1

B ．

122k ＋1

C.2k ＋1

k ＋1

D ．

2k ＋3

k ＋1

[答案] B [解析] k ＋1k ＋2k ＋3…k ＋k k ＋1＋1

k ＋1＋2…k ＋1＋k ＋1

＝k ＋1k ＋2k ＋3…2k k ＋2k ＋3…2k 2k ＋12k ＋2

＝

2k ＋1

.故选B.

3．用数学归纳法证明

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )

A ．增加了一项12k ＋1

B ．增加了两项

12k ＋1＋12k ＋2

C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1

D ．以上各种情况均不对 [答案] C

[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3

＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2

∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)

(60分钟100分)

基础对点练

基础考点分组训练

知识点1用数学归纳法证明等式

1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)

(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()

A．1B．1＋2

C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n2

，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()

A．k2＋1

B．(k＋1)2

C．(k＋1)4＋(k＋1)2

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．

知识点2用数学归纳法证明不等式

4.(5分)用数学归纳法证明：1

22＋1

32＋…＋

(n＋1)2

2－

n＋2，假设n＝k时，

不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．

1 22＋1

32＋…＋

(k＋1)2

＋

(k＋2)2

2－

k＋3

5.(10分)证明不等式1＋1

＋

＋…＋

<2n(n∈N*)．

知识点3用数学归纳法证明整除问题

6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.

7.(10分)用数学归纳法证明：

n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．

能力提升练

能力考点适度提升

【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：2.3 习题课(含答案解析)

习题课数学归纳法明目标、知重点

1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．

2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．

1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．

2．数学归纳法

(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题；

(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；

(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．

题型一用数学归纳法证明不等式

思考用数学归纳法证明不等式的关键是什么？

答用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立．证明由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n

，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n

. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k(k≥1且k ∈N *)时不等式成立，

第二章 2.3 数学归纳法

解析：等式“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝
1－a2n＋2 1－a
(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依次递
增．当n＝k时，最高次数为(2k＋1)次，用数学归纳法证明，在验证n＝1时，左端的
计算所得项为1＋a＋a2＋a3.
答案：C
人教A版数学·选修2-2
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2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
人教A版数学·选修2-2
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方法技巧用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝ k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
人教A版数学·选修2-2
人教A版数学·选修2-2
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法一：(分析法) 下面证(*)式≥56，即3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1≥0，只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，只需证9k＋5≥0，显然成立．所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
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2019人教版高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法(共37张PPT)

备课素材
[小结]
知识
方法分类思想
数学归纳法的应用递推思想
类比思想
易错
初始值n0估计的错误
对项数估算的错误没有利用归纳递推
证明：令a＝2，b＝2n－1(n∈N*)，当n＝1时，f(2)＝2＝1×21；当n＝2时，f(2×2)＝f(22)＝2f(2)＋2f(2)＝ 2×22；当n＝3时，f(2×22)＝2f(22)＋22f(2)＝3×23； ……
猜想f(2n)＝n·2n(n∈N*)．(*)
备课素材
用数学归纳法证明如下： (1) 当n＝1时，f(2)＝1×2，(*)式成立， (2)假设n＝k时(*)式成立，即f(2k)＝k·2k，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2×2k)＝2f(2k)＋ 2kf(2)＝2×k×2k＋2k×2＝k×2k＋1＋2k＋1＝(k＋1)×2k＋1， ∴n＝k＋1时，(*)式成立. 由(1)(2)知，对n∈N*，f(2n)＝n·2n成立．所以Un＝f(2n)＝n·2n(n∈N*)．要证明结论成立，只需证明Un＋1－Un>0(n∈N*)， ∵Un＋1－Un＝(n＋1)·2n＋1－n·2n＝2n(n＋2)>0，∴Un＋1>Un.
当堂自测
5.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=1,Sn=n2an(n∈N*). (1)写出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想, 并求出an的表达式.

人教版高中数学选修2-2第二章2.3.2数学归纳法的应用习题

2014年新田一中选修2-2课后作业（十八）班级___________姓名___________学号___________

1．利用数学归纳法证明1

＋

n＋1

＋

n＋2

＋…＋

<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步

由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．

A．增加了

2k＋1

这一项

B．增加了

2k＋1

和

2k＋2

两项

C．增加了

2k＋1

和

2k＋2

两项，同时减少了

这一项

D．以上都不对

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确

C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确

D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)

3．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是

( )．

A．P(6)成立则P(5)成立

B．P(6)成立则P(4)成立

C．P(4)成立则P(6)成立

D．对所有正整数n，P(n)都成立

4．已知S n＝

1·3

＋

3·5

＋

5·7

＋…＋

(2n－1)(2n＋1)

，则S1＝________，S2＝

________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.

5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．

6．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝

3a n＋1

(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归

人教B版高中数学选修22第2章23《数学归纳法》课时作业

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