抽屉原理2

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《抽屉原理》 2

的应用。
抽屉原理简介
义务教育课程标准实验教科书(人教版)数学六年级下册
把4枝笔放进3个文具盒中,可以怎么放？有几种情况？
把4枝笔放进3个盒子里
不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。
把4枝笔放进3个盒子里不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。
4÷3=1（枝）‥‥‥1（枝） 1+1=2（枝）
四种花色
抽牌
导指
谢
谢
把5枝笔放进4个文具盒中,不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝笔，为什么呢？
假设每个文具盒先放1枝笔，最多可放 4枝，剩下的1枝还要放进其中一个文具盒，所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。
把6枝笔放进5个文具盒里不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。
把7枝笔放进6个文具盒子里不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。把10枝笔放进9个文具盒里不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。把100枝笔放进99个文具盒里不管怎么放，总有一个盒子至少放2枝笔。
不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔。
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里，为什么？
假如一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进5只鸽子，还剩下2只鸽子。所以，无论怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个笼子里。
把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么？
至少有（3）个鸽子要飞进
同一个鸽舍里。 8÷3=2‥‥‥2 2+1=3
601÷12=3‥‥‥5 3+1=4
张叔叔参加飞镖比赛，
投了5镖，成绩是41环。张叔
叔至少有一镖不低于（9）环。 41÷5=8‥‥‥1 8+1=9
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总有两张牌是同一花色的？

抽屉原理(2)

情感与态度与价值观：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力
重点、难点
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，会用有余数的除法解决“抽屉原理”的实际问题。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教法学法
运用启发式和问题目标教学法
教具学具
备课专用稿纸
课题
抽屉原理（2）
总第27时
主备教师
崔荷红
备课时间
课型
新授
授课教师
授课时间
授课班级
教学目标
知识与技能：通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，发现规律，建立数学模型，渗透“建模”思想。会用“抽屉原理”解决实际问题。
过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
小黑板
教学过程
学生活动
时间
一、复习引入
1.三个小朋友同行，其中必有两个小朋友性别相同。为什么？
2.你们13个人中至少有几个人属相相同。为什么？
3.我们班共55人，至少几个人的属相相同？为什么？
二、探究新知
学习例2
1.把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进几本书？学生动手摆一摆，说一说。
2.汇报思维过程。
（1）枚举法：根据摆放情况：有（5,0），（4,1），（3,2）三种情况。
（2）假设法：如果每个抽屉放2本，放了4本书。剩下的1本还要放进其中一个抽屉，所以至少有1个抽屉放进3本书。
（3）5÷2=2……1（至少放2+1本）不难得出，总有一个抽屉至少放进3本。
3.自主探究，合作交流如果把7本书放进2个抽屉会有什么情况呢？9本呢？

第一讲抽屉原理(二)

抽屉原理(二)把所有整数按照除以某个自然数m 的余数分为m 类，叫做m 的剩余类或同余类，用[0],表示. 每一个类含有无穷多个数，例如中含有[1]m −[1],[2],[3],...,[1]1,21m m ++3m 1,1+,，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n +1个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数.1. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.2. 求证: 从47个正整数中，一定可以找到两个正整数的差是46的倍数．3. 求证: 存在正整数使得. i N47|111i "个4. 从任意13个自然数中，总可以找到若干个数，它们的和是13的倍数． 1213,,,a a a "5. 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.6. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.7. 对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.8. 证明：17个整数中，必可找到5个数，这5个数之和为5的倍数.9. 任给12个整数，证明：其中必存在8个数，将它们用适当的运算符号连起来后运算的结果是3 465的倍数.10. 对任给的63个互异的正整数，试证：其中一定存在四个正整数，仅用减号，乘号和括号将它们适当地组合为一个算式，其结果是1984的倍数．1,,a a "6311. 试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个正整数，仅用减号、乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数。

12. 郑老师和肖同学是足球迷，同时又对趣味数学题感兴趣. 一次在看足球比赛时，肖同学说：我知道红方有20名队员，编号恰好是1到20,，今天上场的11名队员中，一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。

郑老师听后点点头，接着说：我还知道红队上场队员中每四名队员中，必定有两名队员号码之差是3的倍数。

第24讲抽屉原理二—完整版

第24讲抽屉原理二内容概述抽屉原理在数字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用。

能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子。

兴趣篇1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7个解析：红球有60个，而白球只有8个，那么排在一起时白球就把红球分割成了9个部分．60÷9 =6……6，根据抽屉原理，在这9部分中至少有一部分包含6+1=7个红球，因此至少有7个红球连在一起，2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3名解析：3道题一共有2×2×2 =8种不同的答案．把17个同学分成8组，由抽屉原理可知，至少有一组中有3个同学，因此在考试中至少有3个同学的答案一样．3．将1至6这6个自然数随意填在图24 -1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。

答案：1+2+3+4+5+6=21．所以每行平均数为7，第一行最大为6，小于7．所以至少有一行大于7解析：如果三行中每行的数字和都小于8，那么每行的数字和只能都是7．在第一行中只有一个圆圈，必须要在其中填人数字7，但是我们可以选择的只有1至6，这就出现了矛盾．究其原因，“每行的数字和都小于8”是错误的，因此至少有一行的数字之和不小于8．4．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1．答案：(1)构造50个抽屉：(1.51)，(2，52)．(3.53)．…．,(50，100)，51个数至少有2个数落入同一个抽屉(2)构造50个抽屉：(1，2)，(3.4)，(5，6)，…，(99，100)，51个数至少有2个教落入同一个抽屉解析：(1)我们把这100个数分成50组：(1，51)，(2，52)，…，(50，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差就是50.(2)我们按照如下方式把这100个数分成50组：(1，2)，(3，4)，…，(99，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差恰好是1．5．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12个解析：将这些数分成12组：(1，5)，(2，6)，(3，7)，(4,8),(9,13),(10,14),(11,15),(12,15),(17, 21)，18，19，20.每组中最多有一个数被选中，否则将有两个数的差为4，因此为了让每两个数的差都不等于4，最多从这21个数中选出12个．而选出12个是可以的：1，2，3，4，9，10，11，12, 17, 18, 19, 20.6．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？答案：7个解析：把和为12的两个数分成一组，这样就把这11个数分成6组：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8),(5，7)，6．要保证一定有两个数的和为12，就要保证至少有两个数属于同一组．由抽屉原理可知，从这12个数中选出7个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是12．如果我们从6组中各取一个数，则取出的这6个数中，没有两个数的和是12，因此本题的答案就是至少选出7个不同的数.7．100个数都不能被19整除，那么这些数除以19得到的100个余数中至少有几个是相同的？答案：6个解析：这些数除以19的余数有18种可能，100÷18=5……10，根据抽屉原理，至少有6个是相同的．8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？答案：(1)自然数除以3的余数一共只有0，1，2三种，所以4个自然数中一定有两个数除以3同余，(2)8个解析：(1)我们把除以3的余数为0的自然数分成一组，余数为1的分成一组，余数为2的分成一组．这样一来，我们就把所有的自然数分成了三组．根据抽屉原理，从中选出4个自然数，必有两个数属于同一组．由分组的方法可知，属于同一组的两个数的差就是3的倍数，因此任给4个自然数，就必有两个数的差是3的倍数．(2)把自然数分成了7组，每组中的数除以7的余数分别是O，1，2，3，4，5，6．如果从每组中取出一个数，就恰好取出了7个数，其中两两的差都不是7的倍数．如果从中取出8个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一组，那么这两个数的差就是7的倍数．因此要保证必有两个数的差是7的倍数，就要至少选出8个数．9．A 6个朋友都住在同一条胡同里．如果这个胡同有200米长，请说明一定有两个朋友的家相距不超过10米．答案：这条200米的胡同分成5段，每段40米，根据抽屉原理，必然有两家处在同一段，他们相距不超过40米10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．答案：构造4个抽屉，5个点中一定有2个落入同一个小等边三角形中，其距离不大于1解析：如图所示，我们把三角形分成大小形状都相同的4个部分，每一部分都是边长为1厘米的等边三角形．在每个等边三角形中，任何两点的距离都不大于1厘米.一共要从大三角形中选出5个点，分属于4个小三角形．由抽屉原理可知，必有两个点在同一个小三角形中，那么这两个点之间的距离一定不大于1厘米．拓展篇1．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．1、答案：从六位数中共能截出五个两位数，但一共只有11，12，21，22四种情况解析：一个六位数截取相邻两位，有5种不同的截取方法．截取后得到的5个两位数都由数字1，2组成．由数字1，2组成的两位数一共有2×2=4个不同的数，根据抽屉原理，截取得到的5个数中必有两个相等．2．如图24-2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的。

抽屉原理2

至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2 个同色的，最少要摸出几个球？想一想： 1、在这道题中，什么是“物体”？什么是“抽屉”？什么是“至少数 ”？ 2、从题目可知，问题相当于求抽屉原理中的（物体）？怎样求？
3
1、如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒子里摸出两个同色的球，至少要摸出几个球？
2、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么?
盒子里有红袜子和黑袜子各6只。要想摸出的袜子一定能配成一双，最少要摸出几只？物体：？只袜子抽屉：2种颜色至少数：2
（３）要保证取出的彩球中至少有两个是同色的，则至少应取出多少个球？
物体：57位同学
抽屉：12个月
57÷12=4……9 4+1=5（人）
2、把15个球放进4个箱子里，至少有（ 4 ）个球要放进同一个箱子里。物体：15个球
抽屉：4个箱子
15÷4=3……3 3+1=4（个）
3、把红、黄两种颜色的球各6 个放到一个袋子里，任意取出5 个，至少有（3）个同色。
物体：5个球抽屉：2种颜色
抽屉原理(二）
把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔.
2、把27个苹果放在4个筐,不管怎么放，总有一个筐里至少放进( ）个苹果。
计算绝招
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n =b …… c

抽屉原理(2)

例1 ①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？例2 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？例3 一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有5张牌的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。

例4 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

例5 把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。

例6 在边长为3米的正方形内，任意放入28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。

分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面积为1平方米的9个小正方形（如右图）。

例1 平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。

例2 从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系.请你证明在这个学校的17名校友中.至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。

例3 用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。

例4 如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。

例5 对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

例6 用黑、白两种颜色将一个5×5的长方形中的小方格随意染色.求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

小学奥数精讲第十二讲抽屉原理(二)

第12讲抽屉原理（二）同步练习：1.新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分(摸时，看不到颜色)，结果发现总有两人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人?【答案】16人【解析】两个球的颜色只有15种可能：同色有5种，异色有2510=C 种.由抽屉原理，参加取球的至少有16人.2.一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个.现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求?如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最少要取出多少个球?【答案】10,13【解析】最不利情况下，每种颜色取3个，然后再取1个肯定可以满足要求，所以至少取10个；最不利情况下，把绿球取完，剩下2种颜色每种2个，此时再取1个就满足要求，至少取13个3.口袋中有三种颜色的筷子各10根，那么，（相同颜色的两根筷子为一双）(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到?(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子?(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子?【答案】（1）21,（2）13,（3）10【解析】(1)最坏的情况是取完两种颜色，再取1根就满足要求.至少要取102121⨯+=根.(2)最欢的情况是取完一种颜色10根，另两种颜色各1根，再取1根就满足要求.1012113+⨯+=根.(3)两双颜色相同的筷子是4只，最坏的情况是每种颜色取3只，再取一根就满足要求.33110⨯+=根.4.自制的一副玩具牌共计52张(含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点、…、13点牌各一张)．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取________张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取________张牌．【答案】（1）27（2）37【解析】可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9,10，11，12，13点各2张，共13226⨯=(张)，那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．(2)有以下的搭配：(1，2，3)，(4，5，6)，(7，8，9)，(10，11，12)，(13)因而可以取1、3、4、6、7、9、10、12、13这9个数，四种花色的牌都取，9×4=36(张)牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．此时取任意1张牌，必然会出现3张牌是相邻的因此，要取37张牌.5.有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?【答案】能【解析】根据奇偶性：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数．先用列表法进行搭配．由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．6.将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．(1)任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗?(2)任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗?如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例．【答案】见解析【解析】(1)不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数．(2)一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数7.从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取_______个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【答案】999【解析】法1：把1994个数每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，……，35，36；…………………1963，1964，…，1979，1980；1981，1982， (1994)每一组中取前9个数，共取出9111999⨯=(个)数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．法2：构造公差为9的9个数列(除以9的余数){}1,10,19,28,,1990 ，共计222个数{}2,11,20,29,,1991 ，共计222个数{}3,12,21,30,,1992 ，共计222个数{}4,13,22,31,,1993 ，共计222个数{}5,14,23,32,,1994 ，共计222个数{}6,15,24,33,,1986 ，共计221个数{}7,16,25,34,,1987 ，共计221个数{}8,17,26,35,,1988 ，共计221个数{}9,18,27,36,,1989 ，共计221个数每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取1119999⨯=个数.8.如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同?并说明理由．【答案】见解析【解析】从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手.由1，2，3组成的和中最小为818⨯=，最大的为8324⨯=，8~24中共有17种结果，而8行8列加上对角线共有18个和，根据抽屉原理，必有两和是相同的，所以此题不能满足要求．9.在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除?【答案】68【解析】21223=⨯，因为3的倍数有100333⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，所以不是3的倍数的数一共有1003367-=(个)，抽取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍数.于是最少要抽取68个数(即：68张卡片)才可以保证结果.10.某商店举行抽奖活动，在箱子里放有红色、蓝色、黄色小球各100个，若50个同色小球可以换一个布偶，80个同色小球可以换一个零食包，85个同色小球可以换一个模型．每个小球只能换一次奖．小明去抽奖，每次只能从箱子中不放回地随机抽取一个小球，他最少需要抽取__________次才能保证他可以换到每种奖品各一个．【答案】259【解析】①抽光两种颜色，此时再抽50次即保证可以换到，共需250次；②抽光一种颜色，剩下两种各抽79次，此时再抽一次才可换到，共需259次；③每种各84次，此时再抽一次才可换到，共需253次；综上，需要259次才能保证．深化练习11.现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有________名同学．【答案】7【解析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况．1，一个不拿(1种情况)；2，拿四种糖果中任意一个(4种情况)；3．拿两个，都是同种糖果(4种情况)；4．拿两个且不同的糖果，随机的(6种情况)；5．拿三个，都相同(4种情况)；6．拿三个，两个相同(12种情况)；7．拿三个都不同的糖果(4种情况)；所以一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4=35种情况；因为每一种糖都超过633颗，所以第五种情况能够出现，3×211=633，足够分．所以其他六种情况也能够发生．所以，要让最多的那组人数最少就是：211÷35=6…1(余数1)；即最多的一组最少为6+1=7人．12.证明：任意给定一个正整数n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.【答案】见解析【解析】考虑如下1+n 个数：7，77，777，……，777 位n ，1777+ 位n ，这1+n 个数除以n 的余数只能为0，1，2，……，1-n 中之一，共n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n 的余数相同，不妨设为777 位p 和777 位q (>p q )，那么()777777777000--= 位位位位p q p q q 是n 的倍数，所以n 乘以适当的整数，可以得到形式为()777000- 位位p q q 的数，即由0和7组成的数．13.上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【答案】见解析【解析】因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别．为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生．又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别．问题得证．14.8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．【答案】见解析【解析】沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过8次转动后，桌面又回到原来的位置．在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有8只“苹果”．另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友与自己名字相对的情况只发生在7次转动中，这样7次转动(即7个“抽屉”)将产生8位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字．15.任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【答案】见解析【解析】把这2008个数先排成一行：1a ，2a ，3a ，……，2008a ，第1个数为1a ；前2个数的和为12+a a ；前3个数的和为123++a a a ；……前2008个数的和为122008+++ a a a ．如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，……，2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是1a ，2a ，3a ，……，2008a 中若干个数的和)是2008的倍数．所以结论成立．。

抽屉原理2

抽屉原理2
抽屉原理，又称为鸽巢原理，是数学中的一个基本原理，它指出如果有n个物体放进m个抽屉，其中n大于m，那么至少有一个抽屉里面至少有两个物体。

这个原理在实际生活中也有着广泛的应用，不仅在数学领域，也在计算机科学、生活中的整理和分类等方面都有着重要的作用。

抽屉原理的第二个版本是指对于有限个抽屉的情况下，如果抽屉的数量小于待放入物品的数量，那么至少有一个抽屉里面放入的物品数量是相同的。

这个原理在实际生活中也有着广泛的应用。

比如，在一个班级里，如果有11个学生，而只有10个座位，那么至少有一个座位上会有两个学生。

这个原理也可以应用于生活中的其他方方面面，比如在购物时，如果有8个苹果要放进7个袋子里，那么至少有一个袋子里会有两个苹果。

抽屉原理2的应用不仅仅局限于数学和生活中，它也在计算机科学中有着重要的应用。

比如在数据结构中，如果有n个数据要放入m个存储空间，其中n大于m，那么至少有一个存储空间里面会有两个数据。

这个原理在算法设计和优化中有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和设计算法。

抽屉原理2的应用还可以延伸到生活中的整理和分类。

在家里收纳物品时，如果物品的数量大于收纳空间的数量，那么就需要合理地利用抽屉原理2，将物品进行分类整理，以便更好地利用有限的空间。

这样不仅可以让家里看起来更加整洁，也可以更方便地找到需要的物品。

总之，抽屉原理2在数学、计算机科学和生活中都有着重要的应用。

它帮助我们更好地理解和处理问题，让我们在面对大量数据和有限资源时能够更加合理地进行分类和整理。

通过合理地利用抽屉原理2，我们可以更好地提高工作效率，提高空间利用率，让生活变得更加有序和高效。

小学六年级奥数第30讲抽屉原理(二)(含答案分析)

第30讲抽屉原理（二）一、知识要点在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。

二、精讲精练【例题1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。

把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。

则364=120×3+4，4＜120。

根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。

练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。

把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。

这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？【例题2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。

最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。

根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。

即2×4+1=9（个）球。

列算式为（3—1）×4+1=9（个）练习2：1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。

最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。

当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。

抽屉原理第二

❖1、四个同学一组，拿出四本书。
❖2、相互交流摆法。 ❖3、小组汇报。 ❖4、你有什么发现？
印江自治县实验学校
印江自治县实验学校
巧解该类题的技巧
❖ 先平均分配，再把余数进行分配，得出的就是一个抽屉至少放进的数。
❖ 要把ɑ个物体放进n个抽屉，如果 ɑ÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少可以放（b+1）个物体。
数学广角
六年级数学
印江自治县实验学校
回答问题：
5只鸽子飞回4个鸽笼，至少有2只鸽子要飞回同一个鸽笼里，为什么？
印江自治县实验学校
看看有几种放法？通过观察，你发现了什么？
不管怎么放，总有一个抽屉至少放进三本
书
如果一共有7本书会怎样呢？如果一共有9本书会怎样呢？
印江自治县实验学校
小组合作摆放
人属相相同。
4
印江自治县实验学校
回答问题：
向东小学六年级共有370名学生，其中六年二班有49名学生。
六年级里一定有两人是同一天出生的。
六年二班一定有5人是同一个月出生的。
他们说的对吗？为什么？
印江自治县实验学校
回答问题：
张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环，张叔叔至少有一镖不低于9环，为什么？
印江自治县实验学校
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？还有那些疑惑？
印江自治县实验学校
印江自治县实验学校
回答问题：
从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽取5张，至少有两张是同花色的，为什么？
印江自治县实验Байду номын сангаас校
填空：
1、21封信放进6个邮筒，至

小学四年级奥数抽屉原理(二)例题、练习及答案

抽屉原理(二）这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。

先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子.道理很简单。

如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。

剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。

这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2.抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

说明这一原理是不难的.假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。

这与多于m×n件物品的假设相矛盾。

这说明一开始的假定不能成立.所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。

从最不利原则也可以说明抽屉原理2。

为了使抽屉中的物品不少于(m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。

这就说明了抽屉原理2。

不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。

即抽屉原理2是抽屉原理1的推广.例1某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉.今有玩具122件，122=3×40＋2.应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。

也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1,2，3，4的各有10块。

问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？分析与解：将1，2，3,4四种号码看成4个抽屉。

要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。

第2讲抽屉原理2

190 人。这些新生中，例1 今年入学的一年级新生有 181 至少有多少人是同一个月出生的？
去年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把181个新生出生的月份看做 181个苹果。
解：由于181＝15×12＋1，根据抽屉原理（原则Ⅱ），这些新生中，至少有15＋ 1=16（人）是同一个月出生的。
抽屉原理：
抽屉原理二
——常熟国际学校马思影
现在，我们很容易做出这样的判断：在13名同学中至少有2人是同一个月出生的。如果有49名同学，那么他们当中至少有几名是同一个月出生的呢？
要回答这个问题，需要运用抽屉原理的另一条原则。
原则Ⅱ 如果把m×n＋k（k≥1）件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有m＋1件东西。
解:因为要求10次所摸的结果相同，根据原则，至少要摸 9x10＋1＝9览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？
思路点拨：随意游览，可以去某地，也可以不去某地。可以假设某人去某地记作1，不去某地记作0。那么，某人游览甲、乙、内三地的方式可以有几种情况呢？有2x2x2＝8（种）。把这8种情况看做8个抽屉，把50个人看做50个苹果。
思考与练习（每题10分，共100分） 1．参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？ 2．一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有 13张，从这52张中任意抽牌，至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？ 3．六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？
总结与提示
运用抽屉原理的原则Ⅱ，关键仍然是“制造抽屉”和确定抽屉的个数。
“制造抽屉”＂的基本思路是分类，确定抽屉的个数有时需要应用计数的基本方法与原理。

六年级上册奥数第30讲抽屉原理(2)

第30讲抽屉原理（2）讲义专题简析在抽屉原理的第二条原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数＝商×抽屉数＋余数如果余数不是0，则最小数＝商＋1；如果余数正好是0，则最小数＝商。

例1、幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。

把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?练习：1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。

把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具?2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。

这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球？例2、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。

最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样?练习：1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。

最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?2、一个容器里放有10块红木块、10块白本块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。

当你被蒙上眼去取出容器中的木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块?3、一副扑克牌共54张，其中1～13点各有4张，还有两张王。

至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同?例3、某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。

活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。

问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?练习：1、某班有37名学生，他们都订阅了《小主人报》《少年文艺》《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。

其中至少有几名学生订的报刊相同?2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每名学生最多可以参加两个(也可以不参加)。

某班有52名学生。

问至少有几名学生参加课外学习班的情况完全相同?3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个。

《抽屉原理》(二)

小学数学六年级下册
（二）
最不利原则
运用抽屉原理解题时，要从最不利的情况出发，分析问题。只有用最不利条件下能实现的做法，才可以使这个任务必能完成。因此，解题时要全面分析题中条件，找出最不利的因素，再选用万无一失的方法。
【例1】有红、黄、蓝色手套各10只，最少要取出多少只才能保证其中有2双颜色不相同的手套？
【例2】一付扑克牌除了大、小王有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问至少抽多少张才能保证有4张牌是同一花色的？【分析】“除了大、小王”，也就是说被抽取的牌不包括大、小王。
从最不利的情况考虑：从这付扑克牌中先抽出了每种花色各3张牌，这时从剩下的4种花色牌中任意抽一张牌，必能和原有的同花色3张牌凑成了同一花色4张牌。
（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）（2）如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这时最多有9 +1+1+1+1 =13（只）袜子。因此至少摸出14 只才能保证有两双颜色不同的袜子。
【解析】：至少摸出11+12 + 2 + 2 +1 = 28（个）零件才能满足要求。
3．将1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和9 只绿袜子放入一个布袋里。请问：
（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）
【分析】保证有2双颜色不相同的手套，即保证有两种颜色的手套，每种颜色手套各有一双。从最不利的情况考虑：第一种颜色10只手套全取出，还缺少一双同色手套，剩下两种颜色又各取出了1只。这时在剩下两种颜色手套中任意摸出一只手套，就可以凑成第二双同色手套。

抽屉原理2

抽屉原理（二）教学内容：教科书第72、73页及相关的练习。

教学目标：1、让学生进一步了解抽屉原理的有关知识，并解决简单的实际问题。

2、通过观察、思考和讨论，培养学生的分析、推理、归纳等能力和解决实际问题的能力。

3、通过创设问题情境，体验数学与生活的联系，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热情。

教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教学具准备：每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。

教学过程：一、创设情境，引入新课。

1、口算。

6 -3.7 -2.3 1/5+0.8 1÷1/2 -1/2÷10.6÷10 12÷0.1 1.2×0.52 、师：刚刚我们大家分别从这一前一后两扇门进入教室，你们能否知道其中较多人进入的门至少通过了几人呢？61÷2=30…1（人）师：同学们上节课的知识掌握得不错，今天再进一步研究抽屉原理，下面分小组开展活动。

二、活动探究，深入了解。

1、摸球活动。

（抽屉原理的逆思考问题）师：这个活动是，盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有两个同色，最少要摸出几个球？大家先猜一猜。

（学生猜测）师：答案有多种，这样吧，你们分组活动探索一下。

（用预先准备好的学具实际操作，讨论后汇报。

）板书：摸出两个球，有三种可能：两红、两蓝、一红一蓝。

摸出三个球，有四种可能：三红、两红一蓝、一红两蓝、三蓝。

……师：同学们分析得对，注意到球是以颜色区分的。

所以把颜色看作抽屉，大家再想想，解决这个问题是否有规律可循？学生讨论交流，师归纳总结。

板书结论：只要摸出的球比球的颜色种数至少多1，就能保证有两个球同色。

或者说：只要物体数比抽屉数至少多1，就能保证有一个抽屉至少放两个物体。

2、研究规律。

师：如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，至少从盒子里摸出几个球？才能保证有两个球是同色的。

抽屉原理(2)

抽屉原理（2）抽屉原则（2）如果把m×n＋k(k大于等于1小于n)东西放入n个抽屉中，那么必定有一个抽屉里至少有 m＋1件东西。

或：如果把n件东西放入到m个抽屉中，则至少有一个抽屉里有m分之n个或 m分之n再加1个东西。

学习例题例1．今年入学的一年级新生中，有181人是1993年出生的，这些新生中，至少有多少人是1993年的同一个月出生的？例2．某区中学生人数是11000人，其中必有多少人是同年同月同日生的？（中学生的年龄为11～20岁）例3．某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地，规定每人至少去一处，最多去三处游览，那么至少有多少人游览的地方完全相同？例4．一副扑克牌（除去大、小王）,有四种花色，每种花色都有13张牌。

现在把扑克牌洗匀，那么至少要从中抽出多少张牌，才能保证有4张牌同一花色？例5．六（2）班的同学参加一次数学考试。

满分为100分，全班最低分是75分。

每人得分都是整数，并且班上至少有3人得分相同。

那么，六（2）班至少有多少名同学？例6．袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的的，至少要摸多少次？例7．任意1002个整数中，必有两个整数，它们的和或差是2000的倍数。

例8．有20×20的小方格组成的大正方形。

把数字1～9任意填入各个方格中。

图中有许许多多的“田”字形，把每个“田”字形中的4个数相加，得到一个和数。

在这许许多多的和数中，至少有多少个相同？思考与练习1．参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？2．在62个人中，能否找到至少有6个人的属相相同？3．一副扑克牌共有54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有3种花色（大王、小王不算花色）？4．六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的是13岁，最小的是11岁。

其中必有多少名学生是同年同月出生的？5．（1）有红、黄、蓝、白4色小球各10个，混合放在一个暗盒里。

抽屉原理2

《抽屉原理》 2

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