2010年上海市大屯一中高一第二学期期末数学试卷(附解答)

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高一数学期末考试测试卷参考答案

高一数学期末考试测试卷参考答案1．B【详解】因为，所以，则，所以复数所对应的向量的坐标为.故选：B 2．A【详解】，故选：A.3．D【详解】向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.故选：D.4．C 【详解】由题意，可得，即因为，所以，即，故△ABC 是直角三角形故选：C 5．A【详解】由可得：，故，解得，故 ,故选：A 6．C【详解】根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.即.故选：.7．D【详解】对于A ，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A 错误；对于B ，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B 错误；对于C ，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C 错误；12i z z +=⋅()2i 11z -⋅=()()112i 12i 12i 2i 12i 112i 555z ----====------z 12,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()441414333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=-+=-+ a b ·cos 3a π ab 1·cos ·232b a b b b π=⨯= 1cos 22a b C a ++=⨯cos b C a=2222b a b c a ab+-=222a b c =+90A =︒sin 2sin B C =2b c =22222567cos 248b c a c A bc c +--===2,4c b ==11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯ 3331115162312p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C对于D ，如图，在长方体中，当所在直线为所在直线为时，与相交，当所在直线为所在直线为时，与异面，若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D 正确.（8题）故选：D8．A【详解】在△ABC 中，b cos A ＝c﹣a ，由正弦定理可得sin B cos A ＝sin C ﹣sin A ，可得sin B cos A ＝sin （A +B ）﹣sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣sin A ，即sin A cos B ＝sin A ，由于sin A ≠0，所以，由B ∈（0，π），可得B＝，设AD ＝x，则CD ＝2x ，AC ＝3x ，在△ADB ，△BDC，△ABC 中分别利用余弦定理，可得cos ∠ADB＝，cos ∠CDB ＝，cos ∠ABC ＝，由于cos ∠ADB ＝﹣cos ∠CDB ，可得6x 2＝a 2+2c 2﹣12，再根据cos ∠ABC ＝，可得a 2+c 2﹣9x 2＝ac ，所以4c 2+a 2+2ac ＝36，根据基本不等式可得4c 2+a 2≥4ac ，所以ac ≤6，当且仅当a ＝c 所以△ABC 的面积S ＝ac sin ∠ABC ac A ．9．AC【详解】对于A ，是纯虚数，故A 正确；对于B ，，对应的点的坐标为，位于第四象限，故B 错误；对于C ，复数的共轭复数为，故C 正确；对于D ，，故D 错误.故选：AC10．BC ABCD A B C D -''''A B ',a BC 'b a b A B ',a B C 'b a b 12121212121cos 2B =3π2244x c x +-22448x a x +-22292a c x ac+-12122z 12(1i)2i 13i z z -=--=-(1,3)-1z 11i z =+12(1i)2i 2i 2z z =-⋅=+11．【详解】对于A ，由,则,故A 错误；对于B ，与相互独立，则与相互独立，故,故B 正确；对于CD ，互斥，则,,故C 正确，D 错误.故选：BC11．BC【详解】对于A 选项，由图形可知，直线、异面，A 错；对于B 选项，连接，因为，则直线与所成角为或其补角，易知为等边三角形，故，因此，直线与所成的角为，B 对；对于C 选项，分别取、的中点、，连接、、，因为四边形为正方形，、分别为、的中点，所以，且，又因为，则四边形为矩形，所以，，且，同理可证，且，因为平面，则平面，因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因此，平面与平面所成二面角的平面角为，因为平面，平面，所以，，又因为，故为等腰直角三角形，故，因此，平面与平面所成二面角的平面角为，C 对；对于D 选项，易知，又因为且，则四边形为等腰梯形，分别过点、在平面内作、，垂足分别为、，()()0.2,0.6P A P B ==()()1P A P B+≠A B A B ()()()()()()10.48P AB P A P B P A P B ==-=,A B ()()()0.8P A B P A P B ⋃=+=()()0P AB P =∅=AM BN 1AD 1//MN CD MN AC 1ACD ∠1ACD △160ACD ∠= MN AC 60 AB CD E F ME MF EF ABCD E F AB CD //AE DF AE DF =AD AE ⊥AEFD EF AB ⊥//EF AD 1//MF DD 12MF DD ==1DD ⊥ABCD MF ⊥ABCD AB ⊂ABCD AB MF ⊥EF MF F ⋂=EF MF ⊂EMF AB ⊥EMF ME ⊂EMF AB ME ⊥AMB ABCD MEF ∠MF ⊥ABCD EF ⊂ABCD MF EF ⊥2MF EF ==MEF 45MEF Ð=o AMB ABCD 45 BN ===1A M =1//MN A B 112MN A B =1A BNM M N 1A BNM 1MP A B ⊥1NQ A B ⊥P Q因为，，，所以，，所以，，因为，，，则四边形为矩形，所以，，所以，所以，，由A 选项可知，平面截正方体所得的截面为梯形，故截面面积为，D 错.故选：BC.12．2【详解】.故答案为：2.13．【详解】在中，由正弦定理可得，，又由题知，所以，整理得，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故答案为：.14．【详解】由题意，恰有一个人面试合格的概率为：，甲签约，乙、丙没有签约的概率为；1A M BN =1MA P NBQ ∠=∠190MPA NQB ∠=∠= 1Rt Rt A MP BNQ △≌△1A P BQ =//MN PQ 1MP A B ⊥1NQ A B ⊥MNQP PQ MN ==112A B PQ A P BQ -====MP ===BMN 1A BNM ()1922A B MN MP +⋅==()2202a kb b a b kb k k -⋅=⋅-⇔-=⇔= π3ABC sin sin sin C c A B a b =++sin sin sin a b C a c A B -=-+a b c a c a b-=-+222b a c ac =+-ABC 2222cos b a c ac B =+-1cos 2B =()0,B π∈3B π=3π49793113113114(1)(1(1(1)(1)(14334334339P =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=13112(1)4333P =⨯-⨯=甲未签约，乙、丙都签约的概率为甲乙丙三人都签约的概率为，所以至少一人签约的概率为.故答案为：；.15．【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，则测评成绩的第分位数落在区间上，所以测评成绩的第分位数为；（3）依题意，记事件 “抽到的学生分数小于30”，事件 “抽到的学生是男生”，因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；所以“抽到的学生是男生”的概率为，因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，所以“抽到的学生分数小于30” 的概率为，因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，所以，因为，所以这两个事件不相互独立.16．【详解】（1）由，，故，由余弦定理可得，即，即，13111(143336P=-⨯⨯=3311143312P =⨯⨯=2117336129++=4979()0.020.040.02100.8++⨯=10.80.2-=0.20.40.875%[)70,8075%0.35701078.750.4+⨯=A =B =()35P B =()25P A =AB ()15P AB =()()()P A P B P AB ≠sin θ=π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==2222cos 54413BD AB AD AB AD θ=+-⋅=++=BD CD ==sin sin AB BD ADB θ=∠sin sin AB ADB BD θ∠=⋅==则故有，故，；（2），，故，则，其中，则当，即ABCD 的面积最大，此时，即此时小路BD.17．【详解】（1）取棱的中点，连接、、，则就是所求作的线，如图：在正方体中，连，是的中点，为的中点，则，且，于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面，因此平面，πcos cos sin 2ADC ADB ADB ⎛⎫∠=+∠=-∠= ⎪⎝⎭2222cos 4132225AC AD CD AD CD ADC ⎛=+-⋅∠=+-⨯= ⎝5AC =22111117sin 222222ABCD ABD BCD S S S AB AD BD θ=+=⋅+=+⨯= 1sin 2ABD S AB AD θθ=⋅= 2222cos 549BD AB AD AB AD θθθ=+-⋅=+-=-21922BCD S BD θ==- ()995sin 22ABCD ABD BCD S S S θθθϕ=+=+-=-+ sin ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2θϕ-=πcos cos sin 2θϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭2917BD ⎛=-= ⎝1DD F AF CF AC ,,FC FA CA 1111ABCD A B C D -EF E 1CC F 1DD EF CD BA ∥∥EF CD BA ==ABEF AF BE ∥BE ⊂1BD E AF ⊄1BD E AF 1BD E又，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，于是有平面，而，平面，从而得平面平面，所以就是所求作的线.（2）在正方体中，连接，如图，且，则四边形为平行四边形，有，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.18．【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：分.（2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为，所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为，从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有，共有12个基本事件；其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个，所以概率为.（3）解：甲最终获胜的可能性大.理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是，1FD CE ∥1FD CE =1CED F 1CF ED ∥1ED ⊂1BD E CF ⊄1BD E CF 1BD E CF AF F ⋂=,CF AF ⊂AFC AFC 1BD E ,,FC FA CA 1111ABCD A B C D -11111,,,,,,AD BC EA EB EC ED AC 11AB C D ∥11AB C D =11ABC D 1112ABC D ABC S S = △1E ABC -111111112()21233263E ABC A BC E BC E V V S AB BC C E AB --==⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯= 11E ABC D -111423E ABC D E ABC V V --==(650.01750.015850.045950.03)1084.5x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[)60,700.1[]90,1000.3[)60,70[]90,100[)60,701a []90,10031,2,3()()()()(),1,,2,,3,1,2,1,3,a a a ()()()()()()()2,3,1,,2,,3,,2,1,3,1,3,2a a a []60,70()()()1,,2,,3,a a a 31124P ==4750可得，其中，解得，则甲的2分或3分的概率为：，所以乙得分为2分或3分的概率为，因为，所以甲最终获胜的可能性更大.19．【详解】（1）由题知，，所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ．因为，所以AO ⊥平面，所以OC 是AC 在平面内的射影，在四边形ABCD是等腰梯形中，，高得，，在和中，，所以，，所以，因为AO ⊥平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以（2）由（1）知，，所以⊥平面AOC ．设，过点E 作于点F ，连接，因为，所以平面，因为平面，所以所以是二面角的平面角．由（1）知得，，高得，．所以，，12471(1)(1)(1)2550p ----=01p ≤≤45p =1241241241243(1(1(12552552552555P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯=253255>1OA OO ⊥1OB OO ⊥1OO OB O = 1OBCO 1OBCO 3AB CD =h =tan A =6AB =2CD =1OO =1Rt OO B 1Rt OO C △11tan OB OO B OO ∠==111tan O C O OC OO ∠===160OO B ∠=︒130O OC ∠=︒1OC BO ⊥1OBCO 1BO ⊂1OBCO 1AO BO ⊥AO OC O = 1BO ⊥AOC AC ⊂AOC 1AC BO ⊥1AC BO ⊥1OC BO ⊥1BO 1OC O B E ⋂=EF AC ⊥1O F 1EF O B E = AC ⊥1O EF 1O F ⊂1O EF 1O F AC⊥1O FE ∠1O AC O --3AB CD =h =tan A =6AB =2CD =3OA =1OO =11O C =所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，因为平面，所以所以又所以二面角1O A =AC =1AOO D ⊥1BOO C 1AOO D 11BOO C OO =11OO CO ⊥1CO ⊥1AOO D 1AO ⊂1AOO D 11CO AO ^111O A O C O F AC ⋅=11sin30O E OO =⋅= 111sin O E O FE O F ∠==1O AC O --。

2010-2011学年上海市浦东新区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)

2010-2011学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若lg2＝a，则lg5＝（用含有a的代数式表示）．2．计算：sin39°cos9°﹣cos39°sin9°＝．3．函数y＝tanωx（ω＞0）的最小正周期T＝π，则ω＝．4．若sinα=12且π2＜α＜π，则sin（π2+α）＝．5．若tanα＝1，则sin2α+cos2α＝．6．函数f（x）＝log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）＝．7．若函数f（x）＝cos（x+ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数，则ϕ＝．8．在△ABC中，a＝4，b＝9，C＝150°，则S△ABC＝．9．若sinα=35且π2＜α＜π，则tanα2=．10．若函数f（x）＝log a（x2+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的值域为．11．已知函数f（x）＝sin2x﹣sin x cos x+cos2x，当f（x）取最小值时，x＝．12．已知函数y＝f（x）（定义域为D，值域为C）有反函数y＝f﹣1（x），则方程f（x）＝0有解x＝x0，且f（x）＜x（x∈D）的充要条件是y＝f﹣1（x）满足．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．2sin1D．2sin1 14．函数y＝lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递增函数B．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数C．是奇函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数D．是偶函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数15．为了得到y＝sin2x的图象，可以将y＝cos2x的图象（）A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位16．把a sin θ+b cos θ（a •b ≠0）化成√a 2+b 2sin （θ+ϕ）的形式，下面给出关于辅助角ϕ的说法：①辅助角ϕ一定同时满足sin ϕ=b√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b；②满足条件的辅助角ϕ一定是方程tan x =b a的解； ③满足方程tan x =b a的角一定都是符合条件的辅助角ϕ； ④在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角ϕ的终边都重合．其中正确有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．解方程：log 5(x +1)−log 15(x −3)=1．18．已知cos(α−β2)=−√33，sin(α2−β)=4√29，其中π2＜α＜π，0＜β＜π2．求cosα+β2的值．19．如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2）的图象经过点（0，1）（1）求函数f （x ）的解析式；（2）写出函数f （x ）的单调递增区间；（3）若f （x ）=√2，求自变量x 的值．20．如图，甲船在A 处测得：“乙船位于北偏东75°，距离为10海里的C 处，并正沿着北偏东135°的方向，以每小时12海里的速度驶去．”经过半小时，甲船在B 处追上了乙船．求：（1）甲船的行驶速度；（2）甲船的行驶方向（精确到0.1°）21．如图，在单位圆和x轴上各有动点A、B，它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P0处，A处沿逆时针方向旋转θ=π4得到A1，B点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B1，分别过A1、B1作x轴的平行线和垂线相交于P1（x1，y1），A1点再沿逆时针方向旋转θ=π4得到A2，B1点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B2，分别过A2、B2作x轴的平行线和垂线相较于P2（x2，y2），…，如此下去得到P n（x n，y n）（n为正整数）（1）求点P1的坐标；（2）计算：y1+y2+…+y2011的值；（3）由点P0，P1，…P n连成的折线与x轴、P n B n所围成的区域面积记为S n，求S8．2010-2011学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若lg 2＝a ，则lg 5＝ 1﹣a （用含有a 的代数式表示）．【分析】直接利用对数的运算性质即可进行求解解：∵lg 2＝a ，则lg 5＝lg102=1﹣lg 2＝1﹣a故答案为：1﹣a2．计算：sin39°cos9°﹣cos39°sin9°＝12．【分析】逆用两角差的正弦公式即可得答案．解：∵sin39°cos9°﹣cos39°sin9° ＝sin （39°﹣9°）＝sin30° =12，故答案为：12．3．函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T ＝π，则ω＝ 1 ．【分析】利用函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T =πω求解即可．解：函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T =πω，由T ＝π得出ω＝1 故答案为：14．若sin α=12且π2＜α＜π，则sin （π2+α）＝ −√32．【分析】利用诱导公式以及已知条件，直接求解即可．解：因为sin α=12且π2＜α＜π，所以cos α=−√1−(12)2=−√32，sin （π2+α）＝cos α=−√32．故答案为：−√32．5．若tan α＝1，则sin2α+cos2α＝ 1 ．【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出．解：∵tan α＝1，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+1−tan 2αtan 2α+1=2+1−11+1=1．故答案为1．6．函数f （x ）＝log 2x （x ≥1）的反函数f ﹣1（x ）＝ y ＝2x （x ≥0）．【分析】根据对数的定义，将对数式化为指数式，得x ＝2y ，再结合原函数的值域就是反函数的定义域，可得要求的反函数．解：因为函数y ＝log 2x （x ≥1）所以y ≥0，所以函数y ＝log 2x （x ≥1）的反函数是y ＝2x （x ≥0）．故答案为：y ＝2x （x ≥0）．7．若函数f （x ）＝cos （x +ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数，则ϕ＝ π2．【分析】通过是奇函数，求出ϕ的值，即可得到结果．解：因为函数f （x ）＝cos （x +ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数，所以ϕ＝k π+π2，k ∈Z ，∵0＜ϕ＜π，所以ϕ=π2．故答案为：π2．8．在△ABC 中，a ＝4，b ＝9，C ＝150°，则S △ABC ＝ 9 ．【分析】代入三角形的面积公式S △ABC =12ab sin C 可求三角形的面积解：由三角形的面积公式可得，S △ABC =12ab sin C =12×4×9×12=9．故答案为：9．9．若sin α=35且π2＜α＜π，则tanα2= 3 ．【分析】由π2＜α＜π⇒α2∈（π4，π2）⇒tan α2＞0，依题意，可求得cos α，由正切的半角公式及可求得答案．解：∵sin α=35且π2＜α＜π，∴cos α=2α=−45，α2∈（π4，π2），∴tanα2=√1−cosα1+cosα=√1+451−45=3．故答案为：3．10．若函数f （x ）＝log a （x 2+1）（a ＞0且a ≠1）在（0，+∞）上是增函数，则函数f （x ）的值域为 [0，+∞）．【分析】由题意可得a ＞1，再由y ＝x 2+1≥1可得，f （x ）＝log a （x 2+1）≥log a 1＝0，由此求得函数f （x ）的值域．解：由于函数y ＝x 2+1、函数f （x ）＝log a （x 2+1）（a ＞0且a ≠1）在（0，+∞）上都是增函数，故a ＞1．再由y ＝x 2+1≥1可得 f （x ）＝log a （x 2+1）≥log a 1＝0，故函数f （x ）的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．11．已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣sin x cos x +cos 2x ，当f （x ）取最小值时，x ＝π4+kπ（k ∈Z ）．【分析】根据三角恒等变换公式，化简得到f （x ）＝1−12sin2x ，可得当sin2x ＝1时，f （x ）有最小值12，由此结合三角函数的图象与性质，即可得到本题的答案．解：∵sin 2x +cos 2x ＝1，sin x cos x =12sin2x∴函数f （x ）＝sin 2x ﹣sin x cos x +cos 2x ＝1−12sin2x当sin2x ＝1时，即2x =π2+2kπ（k ∈Z ）时，即x =π4+kπ（k ∈Z ）时，f （x ）＝1−12sin2x 有最小值12故答案为：π4+kπ（k ∈Z ）12．已知函数y ＝f （x ）（定义域为D ，值域为C ）有反函数y ＝f ﹣1（x ），则方程f （x ）＝0有解x ＝x 0，且f （x ）＜x （x ∈D ）的充要条件是y ＝f ﹣1（x ）满足 f ﹣1（0）＝x 0，f ﹣1（x ）＜x ，x ∈C ．或 y ＝f ﹣1（x ）的图象在直线y ＝x 的下方，且与y 轴交与点（0，x 0）．【分析】利用反函数和原函数的定义域和值域互换的性质，直接转化即可确定它的一个充要条件．解：因为函数与反函数图象关于直线y＝x对称，f（x）＝0有解x＝a，故f﹣1（0）＝x0，∵f（x）＞x（x∈D），∴f﹣1（x）＜x，x∈C．即y＝f﹣1（x）的图象在直线y＝x的下方，且与y轴交与点（0，x0），故答案为：f﹣1（0）＝x0，f﹣1（x）＜x，x∈C．或y＝f﹣1（x）的图象在直线y＝x的下方，且与y轴交与点（0，x0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．2sin1D．2sin1【分析】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1sin1，弧长公式求弧长即可．解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为1sin1这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1故选：C．14．函数y＝lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递增函数B．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数C．是奇函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数D．是偶函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数【分析】根据y＝lg|x|的奇偶性及单调性，逐一分析答案，逐一比照后可得答案．解：设f（x）＝lg|x|，则f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|，故原函数为偶函数；当x＞0时，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f（x）＝lg（﹣x）在（﹣∞，0）上单调递减；对照选项，D正确．故选：D ．15．为了得到y ＝sin2x 的图象，可以将y ＝cos2x 的图象（） A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位【分析】由于 y ＝sin2x ＝cos （2x −π2）＝cos2（x −π4），再根据y ＝A sin （ωx +∅）的图象变换规律得出结论．解：∵y ＝sin2x ＝cos （2x −π2）＝cos2（x −π4），∴将y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位，即可得到 y ＝cos2（x −π4）的图象，故选：D ．16．把a sin θ+b cos θ（a •b ≠0）化成√a 2+b 2sin （θ+ϕ）的形式，下面给出关于辅助角ϕ的说法：①辅助角ϕ一定同时满足sin ϕ=b√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b；②满足条件的辅助角ϕ一定是方程tan x =b a的解； ③满足方程tan x =b a的角一定都是符合条件的辅助角ϕ； ④在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角ϕ的终边都重合．其中正确有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据辅助角公式可得sin ϕ=√a 2+b、cos ϕ=a √a 2+b，由此可得结论．解：由于a sin θ+b cos θ=√a 2+b 2（√a 22sin θ√a 2+bcos θ），令sin ϕ=√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b，可得a sin θ+b cos θ=√a 2+b 2sin （θ+ϕ），且tan ϕ=ba，故①②④正确．由于满足方程tan x =b a的角x 的终边重合或互为反向延长线，故不一定都是符合条件的辅助角ϕ，故③不正确，故选：C ．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．解方程：log 5(x +1)−log 15(x −3)=1．【分析】利用对数的运算性质可脱去对数符号，转化为关于x 的方程即可求得答案．解：∵log 5(x +1)−log 15(x −3)=1，∴log 5（x +1）+log 5（x ﹣3）＝log 55，∴（x +1）•（x ﹣3）＝5，其中，x +1＞0且x ﹣3＞0 解得x ＝4．故方程的解是418．已知cos(α−β2)=−√33，sin(α2−β)=4√29，其中π2＜α＜π，0＜β＜π2．求cos α+β2的值．【分析】首先根据角的范围和同角三角函数的基本关系求出sin （α−β2）和cos （α2−β）的值，然后由两角和与差公式展开cos α+β2=cos[（α−β2）﹣（α2−β）]，将相应的值代入即可．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2 cos （α−β2）=−√33，∴0＜β2＜π4π4＜α2＜π2sin （α−β2）=1−(−√33)2=√63cos （α2−β）=1−(429)2=79∴cosα+β2=cos[（α−β2）﹣（α2−β）]＝cos （α−β2）cos （α2−β）+sin （α−β2）sin （α2−β）=−√33×79+4√29×√63=√32719．如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2）的图象经过点（0，1）（1）求函数f （x ）的解析式；（2）写出函数f （x ）的单调递增区间；（3）若f （x ）=√2，求自变量x 的值．【分析】（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A ；再由函数的周期求得ω；再由函数的图象过点（0，1），结合|ϕ|＜π2，求得 ϕ，从而求得函数的解析式．（2）令2k π−π2≤12x +π6≤2k π+π2，k ∈z ，求得x 的范围，故函数的增区间．（3）由f （x ）=√2，求得sin （12x +π6）=√22，可得 12x +π6=2k π+π4，或 12x +π6=2k π+3π4，k ∈z ，由此求得x 的值．解：（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A ＝2，再由函数的周期为2[（x 0+2π）﹣x 0]=2πω，求得ω=12．再由函数的图象过点（0，1），可得2sin ϕ＝1，故sin ϕ=12．再由|ϕ|＜π2，可得 ϕ=π6，故函数的解析式为 f （x ）＝2sin （12x +π6）．（2）令2k π−π2≤12x +π6≤2k π+π2，k ∈z ，求得 4k π−4π3≤x ≤4k π+2π3，故函数的增区间为[4k π−4π3，4k π+2π3]，k ∈z ．（3）若f （x ）=√2，则有2sin （12x +π6）=√2，sin （12x +π6）=√22，∴12x +π6=2k π+π4，或12x +π6=2k π+3π4，k ∈z ．解得 x ＝4k π+π6，或 x ＝4k π+7π6，k ∈z ． 20．如图，甲船在A 处测得：“乙船位于北偏东75°，距离为10海里的C 处，并正沿着北偏东135°的方向，以每小时12海里的速度驶去．”经过半小时，甲船在B 处追上了乙船．求：（1）甲船的行驶速度；（2）甲船的行驶方向（精确到0.1°）【分析】（1）在△ABC中根据余弦定理，结合题中数据算出AC＝14（海里），再由航行的时间为半小时可得甲船的行驶速度；（2）根据正弦定理，算出∠BAC≈22°，从而AB的方向角∠SAB≈83°，可得甲船的航行方向．解：（1）由已知，∠ACB＝120°，AC＝10，BC＝6，…（1分）所以AB2＝AC2+BC2﹣2•AC•BC•cos∠ACB＝100+36+60＝196，…可得AB＝14（海里），…∴甲船的速度为140.5=28（海里/时），…（2）由正弦定理，△ABC中，ABsinC =BC sinA，可得14sin120°=6sinA，…解之得sin A=37sin120°=3√314，…∴∠BAC≈22°，得∠SAB≈83°…答（1）甲船的速度为140.5=28（海里/时），（2）甲船的航行方向约为南偏东83°．…21．如图，在单位圆和x轴上各有动点A、B，它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P0处，A处沿逆时针方向旋转θ=π4得到A1，B点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B1，分别过A 1、B 1作x 轴的平行线和垂线相交于P 1（x 1，y 1），A 1点再沿逆时针方向旋转θ=π4得到A 2，B 1点沿x 轴正方向移动θ=π4个单位得到B 2，分别过A 2、B 2作x 轴的平行线和垂线相较于P 2（x 2，y 2），…，如此下去得到P n （x n ，y n ）（n 为正整数）（1）求点P 1的坐标；（2）计算：y 1+y 2+…+y 2011的值；（3）由点P 0，P 1，…P n 连成的折线与x 轴、P n B n 所围成的区域面积记为S n ，求S 8．【分析】（1）根据定义求P 1的坐标．（2）根据定义寻找y n 的规律，得到纵坐标取值的周期性，并根据规律进行求和．（3）确定折现对应的图形，利用三角形或梯形的面积公式求面积．解：（1）根据定义可知点P 1的横坐标x =1+π4，纵坐标为y =1×sin π4=√22，即P 1的坐标：(1+π4，√22)．（2）由定义可知，A 沿逆时针方向旋转θ=π4后，得到每个点的纵坐标分别为√22，1，√22，0，−√22，−1，−√22，0，√22，1，√22，0，…，体现了周期性，周期数为8．且在一个周期内的和为√22+1+√22+0−√22−1−√22+0=0，所以y 1+y 2+…+y 2011=y 1+y 2+y 3=√22+1+√22=1+√2．（3）由题意知当n ＝8时，点A 沿着单位圆运动一周，此时对应的折现面积上下两部分相同．所以S8=2(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2+S梯形P2B2B3P3+S△P3B3P4)=4(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2)=4[12×π4×√22+(√22+1)×π42]=√2π4+√2π4+π2=√2π2+π2=√2+12π．。

大屯一中小题精选10套

2010上海大屯一中高三数学堂堂清小题精选（一）一．填空题：1．设A 、B 是非空数集，定义：{|,}A B a b a A b B ⊕=+∈∈，若{1,2}A =，{3,4,5}B =，则B A ⊕的子集个数为 ___________ ；2．若函数()f x ax b =+(0)a ≠有一个零点是1，则2()g x bx ax =-的零点是 ___________；3．已知tan 2α=，则2211sin cos 23αα+=___________ ； 4．若等差数列{}n a 的前5项和5S =25，且7a=13，则1a =_____；5．已知数列{}n a 满足=n a 4 (1,2,3,4) ( 5 ,)n n n a n n N -=⎧⎨-≥∈⎩ ，则2009a =___________；6．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q 满足_______； 7．设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意x R ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为；8．将函数tan(3)4y x π=-的图像上的各点经过怎样的平移_________________，可以得到函数tan3y x =-的图像？9．已知函数)sin(ϕω+=x y (0)ω>与直线21=y 的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么ω=________；10．数列}{n a 满足122,1a a ==，并且n n n n n n n n a a a a a a a a ⋅-=⋅-++--1111(2≥n )，则数列的第100项为 ______；11．lim[2(3)]1n n n a n →∞⋅+-=，则实数a 的值为 ___________；12．已知函数()f x 在定义域R 上为增函数，且()0f x <，则()()2g x x f x =在（, 0-∞）的单调性为_________________； 13．设非常值函数()f x 是R 上的偶函数，对任意的x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+，试写出同时满足上述两个条件的一个函数解析式___________；14．用n 个不同的实数a1，a2，…，an 可得n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i 行ai1，ai2，┄，ain ，记bi= -ai1+2ai2-3 ai3+…+（-1）nnain ， i=1，2，3，…，n! ．例如，用1，2，3可得数阵如右，由于此数阵中每一列 2 33 21 3 3 1 123 2 1各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=-12+2⨯12-3⨯12=-24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， b1+b2+…+b120= ．二．选择题：15．“22ab>”是 “22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件16．函数f(x)＝sin(x ＋θ)3＋θ)的图像关于点（5，0）对称，则θ的值是（）A ．－23π－10；B ．－3π－5；C ． 2kπ－23π－10（k ∈Z ）；D ． kπ－3π－5（k ∈Z ）17．若函数2121x xy -=+的值域为M ，则只能以M 或M 的子集为定义域的函数可以是（） A ．1lg1xy x -=+； B ．11x y x -=+； C ．11y x x =-++ D ．21y x =-18．设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（）A ．1对；B ．3对；C ．5对；D ．无数对。

上海高一高中数学期末考试带答案解析

上海高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知幂函数的图象过点，则的值为__________．2.设、是非空集合，定义，，，则________________。

3.关于的不等式（a）的解集为_____________。

4.函数的反函数是_______________________。

5.已知集合，，那么命题“若实数，则”可以用集合语言表述为“”。

则命题的逆否命题可以用关于的集合语言表述为_______________________。

6.已知关于的方程有一个正根，则实数的取值范围是_________。

7.定义在上的奇函数也是减函数，且，则实数的取值范围为_____________。

8.若偶函数在单调递减，则满足的取值范围是____。

9.作为对数运算法则：（）是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：.那么，对于所有使（）成立的应满足函数表达式为．10.已知函数的图像与函数及其反函数的图像分别交于、两点，若，则实数为____________。

11.若函数无零点，则的取值范围为_____________。

12.求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解。

类比上述解题思路，方程的解集为____________。

二、选择题1.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么（）A．B．C．D．2.已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3.已知函数的定义域为，只有一个子集，则（）A．B．C．D．4.已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三、解答题1.已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值。

2.已知集合，，其中，全集R。

（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。

高一数学必修二期末测试题及答案(K12教育文档)

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(A)（B ）(C)(D)图１高一数学必修二一、选择题（8小题,每小题4分,共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是( ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（） (A)１条（B ）２条（C)３条（D ）４条3．如图2,已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝( )（A)32（B)35(C ） 32 (D ）322 4．下列命题中错误．．的是（） A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β图２B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B （4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（） (A ）531(B ）532 (C) 533（D ）534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）6．如图,在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变; ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值．其中正确说法是．7．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1,若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为．8．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点,则三棱锥D 。

上海市大屯一中2010年高二数学下学期期中考试沪教版新课标

上海市大屯一中2010高二数学下期中试题2010.4一．填空题：（每小题3分）1.已知直线l 的一个方向向量为（2，-3），且过点（1，0）求直线l 的点方向式方程_ .2. 直线cos 80()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是_______________.3. 抛物线24x y =的准线方程为 .4. 已知复数z 满足1(z i iz i +=-是虚数单位)，则z =_____________．5. 已知423)1()43()3(i i i z +++-=，求z =6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m .7. 经过点(3,4)P 且与圆2225x y +=相切的直线方程是．8.若直线)(1R k kx y ∈+=与双曲线122=-y x 有一个公共点，求实数k 的取值集合9、若AB 为过椭圆192522=+y x 中心的一条弦，1F 是椭圆的一个焦点，则△B AF 1的面积的最大值为10、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B （－1，3），若点C 满足OC =OA α+OB β，其中,αβ∈R ，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为二、选择题(满分12分,每小题3分) 11.若复数iia +-12(a ∈R, i 为虚数单位)为纯虚数,则a= （） A 2 B －2 C 4 D 312.若复数z=a+bi(a 、b ∈R),则下列正确的是（）A 2z >2zB 2z =2zC 2z <2z D 2z =z 213. 若集合A ={（x,y ）|x 2+y 2≤16}, B ={（x,y ）|x 2+(y-2)2≤a-1},且B B A = ，则a 的取值范围是（）A ．a 1≤B a 5≥C ．15≤≤aD ． a 5≤14. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA 则|FA|+|FB|+|FC|=（）(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3三．解答题： 15.（本题8分）已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线192162=-y x 上的动点，求ΔF 1F 2P 的重心G 的轨迹方程。

高一期末的数学试卷含答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 0C. 1.5D. -2.1答案：B2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 x 的值为（）A. 4B. 2C. -1D. -4答案：A3. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，则 f(2) 的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A4. 下列命题中，正确的是（）A. 函数 y = 2x + 1 在 R 上单调递增B. 函数 y = x^2 在 R 上单调递减C. 函数 y = |x| 在 R 上单调递增D. 函数y = √x 在 R 上单调递增答案：C5. 在等差数列 {an} 中，a1 = 3，d = 2，则第10项 an 的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2 - 1B. y = |x|C. y = x^3D. y = 2x答案：C7. 若sin α = 0.6，cos α = 0.8，则sin 2α 的值为（）A. 0.48B. 0.96C. 0.28D. 0.12答案：A8. 在直角坐标系中，点 P(2, 3) 关于直线 y = x 对称的点的坐标为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案：A9. 已知 a，b 是方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的两个根，则 a + b 的值为（）A. 4B. 2C. 3D. 1答案：A10. 若等比数列 {an} 的公比 q = -2，首项 a1 = 6，则第5项 an 的值为（）A. -24B. 24C. -12D. 12答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 若 |x - 2| + |x + 3| = 5，则 x 的值为______。

答案：-1 或 512. 函数 y = (x - 1)^2 + 3 的最小值为______。

上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)

a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。

上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共3套)

上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚；3．本试卷共 21 道试题，满分 100 分，考试时间 90 分钟．一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分．1．已知角 α 满足 sin α < 0 且 cos α < 0 ，则角 α 是第象限的角．2．在数列{a } 中，若 a = 3, a n1n +1= a + 4 ，则 a = _______________． n 53．方程 4x - 2x - 2 = 0 的解是_____________．4．函数 f ( x ) = 1 - 2sin 2 x 的最小正周期是_____________．5．若 tan x = 2 （ x ∈ (0,π ) ），则 x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数 y = sin x + cos x 的最大值是．7．函数 y = log ( x 2 - 2 x ) 的单调增区间是________________．28．若等比数列{a } 满足： a + a = 5 ，且公比 q = 2 ，则 a + a = ____________．n 13359．在 ∆ABC 中, ∠ABC = 60︒ ,且 AB = 5, AC = 7 ,则 BC =．10．若不等式 (a - 1)sin x - 1 < 0 对于任意 x ∈ R 都成立，则实数 a 的取值范围是____________．11．已知函数 f ( x ) =| log | x - 1|| （ a > 0 ， a ≠ 1 ），若 x < x < x < x ， a 1234且 f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ，则 1 2 3 4 1 1 1 1+ + + = ____________．x x x x1 2 3 412．已知递增数列{a } 共有 2017 项，且各项均不为零， an2017= 1 ，若从{a } 中任取两项na , a ，当 i < j 时， a - a 仍是数列{a } 中的项，则数列{a } 的各项和 Sijjinn2017= ___________．2 ”是“函数 f ( x) = sin( x + ϕ ) 为偶函数”的2二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分．13．“ ϕ =π（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数 y = lg(2 - ax) 在 (-1,1) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A ． (0,2)B ． (0,+∞)C ． (0,2]D ． (-∞,2]15．若数列{a } 对任意 n ≥ 2 （ n ∈ N * ）满足：(a - annn -1- 2)(a - 2a nn -1) = 0，下面给出关于数列{a } 的 n四个命题：（1）{a } 可以是等差数列；（2）{a } 可以是等比数列；n n（3）{a } 可以既是等差数列又是等比数列（4）{a } 可以既不是等差数列又不是等比n n数列．则上述命题中，正确的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个16．设函数 f ( x ) = m cos( x + α ) + n c os( x + β ) ，其中 m , n,α , β 为已知实常数， x ∈ R ，则下列命题中错误的是 ( )A ．若 f (0) = f (π) = 0 ，则 f ( x ) = 0 对任意实数 x 恒成立； 2B ．若 f (0) = 0 ，则函数 f ( x ) 为奇函数；C ．若 f (π) = 0 ，则函数 f ( x ) 为偶函数；2D ．当 f 2 (0) + f 2 (π) ≠ 0 时，若 f ( x ) = f ( x ) = 0 ，则 x - x = 2k π（ k ∈ Z ）．12 1 2三．解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分 8 分)已知 tan α = -2, tan(α + β ) = 1 π，求 cot( - β ) 的值．7 22 ] ，使等式 [ f ( x)]2 + f ( x) + m = 0 成立，求实数 m 的取值范围．为“互换函数”，当 0 ≤ x < 1 时, g ( x ) = log ( x + 1) ，且 g ( x ) 在 (-1,1) 上是偶函数,求函数18．（本题满分 8 分）在 ∆ABC 中，a, b , c 分别是 A, B, C 所对的边，若 ∆ABC 的面积是 3 15 ，b - c = 2 ，cos A = -14BC 的长．19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分．已知公差不为零的等差数列{a } 满足： a + a = 8 ，且 a , a , a 成等比数列．n12125（1）求数列{a } 的通项公式．n（2）记 S 为数列{a } 的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S > 60n + 800 ？若存 nnn在，请求出 n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分．．求已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + 3 cos x) -（1）求函数 f ( x ) 的单调减区间；3 2， x ∈ R ．（2）若存在 x ∈ [0,π21．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是定义在集合 M 上的函数，对于任意的 x ∈ M ，都有f (g ( x )) = g ( f ( x )) 成立，称函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 M 上互为“互换函数”．（1）函数 f ( x ) = 2 x 与 g ( x ) = sin x 在 M 上互为“互换函数”，求集合 M ；（2）若函数 f ( x ) = a x （ a > 0 且 a ≠ 1 ）与 g ( x ) = x + 1在集合 M 上互为“互换函数”，求证： a > 1 ；（3）函数 f ( x ) = x + 2 与 g ( x ) 在集合 M = {x | x > -1 且 x ≠ 2k - 3, k ∈ N *} 上互2g ( x ) 在集合 M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分． 1．三 2．19 3． x = 1 (填“1”也对) 4． π 5． arctan 26． 27． (2,+∞) 8． 20 9． 810． (0,2) （填“ 0 < a < 2 ”也对）解：令 t = sin x ， x ∈ R ，则 t ∈ [-1,1] ．由已知得，不等式 (a - 1)t - 1 < 0 对于任意 t ∈ [-1,1] 都成立．⎧ f (-1) < 0 ⎧(a - 1) ⋅ (-1) - 1 < 0又令 f (t ) = (a - 1)t - 1 ，则 ⎨ ，即 ⎨ ，⎩ f (1) < 0 ⎩(a - 1) ⋅1 - 1 < 0解得 0 < a < 2 ．所以所求实数 a 的取值范围是 0 < a < 2 ． 11． 2解法一：设 g ( x ) =| log | x || （ a > 0 ， a ≠ 1 ），则 g ( x ) 为偶函数，其图像关于 y 轴对称，a而函数 f ( x ) =| log | x - 1|| （ a > 0 ， a ≠ 1 ）的a图像是由 g ( x ) 的图像向右平移一个单位得到的，yf ( x )所以 f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称，f ( x ) 的大致x1Ox 2x 3 x4x图像如图所示．由已知及 f ( x ) 的图像特征可得x = 1x < x < 1 < x < x ，且 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) |=| log ( x - 1) |=| log ( x - 1) | ．1234a1a2a3a4由 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) | 得a 1a2log (1 - x ) = log (1 - x ) 或 log (1 - x ) = - log (1 - x )a 1a2a1a2即 log (1 - x ) = log (1 - x ) 或 log (1 - x ) = loga 1 a 2 a 1a 11 - x21 - x1 - 1 1 - a 1 + 1 1 + aa a 1 1 - a 1 1 + a a - 1 1 - a 1 + a 1 + a2017 22则有 1 - x = 1 - x 或1 - x =1，所以 x = x （舍）或 (1 - x )(1 - x ) = 1 ．12112122 由 (1 - x )(1 - x ) = 1 得 x x = x + x ．1 21 212由 | log (1 - x ) |=| log (1 - x ) |=| log ( x - 1) |=| log ( x - 1) | 同理得 x x = x + x ，a 1a2a3a43 434所以 1x 11 1 1 x + x + + + = 1 x x x x x2 3 4 1 22 + x + x3 x x 3 44 = 1 + 1 = 2 ．解法二：（特殊值法）令| log | x - 1||= 1，解得 x = 1 - a 1 1或 x = 1 - a 或 x = 1 +a a1 1 1 1 1 1 1 1或 x = 1 + a ．则 + + + = + + +x x x x 1 2 3 41 1 1 1 a 1 a 1= ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = 1 + 1 = 2 ．1 - 1 +a a12．1009解：由题意知， a < a < a < ⋅ ⋅ ⋅ < a 1232017 ，则 0 < a - a < a - a < ⋅⋅⋅ < a213 12017 - a ，且 a - a （ j = 2,3,⋅ ⋅ ⋅,2017 ）都是数列{a } 中的项．所以1 j 1 n a2017 - a = a1 2016 , a2016- a = a12015,⋅ ⋅ ⋅, a - a = a ，2 1 1即 a2017 - a2016= a2016 - a 2015= ⋅⋅⋅ = a - a = a ，2 1 1因此数列{a } 是以 a 为首项，以 a 为公差的一个等差数列，n111则 a = a + 2016d = 2017 a = 1 ，可得 a = d = ，2017 1 1 1 因此 S 2017 = 2017a + 1 2017 ⨯ 20162⨯ d = 1009 ，即 S 2017 = 1009 ．二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 f ( x ) = (k cos α + k cos α ) cos x - (k sin α + k sin α )sin x ．11221122若 f (0) = 0 ，则得 k cos α + k cos α = 0 ；若 f (π) = 0 ，则得 k sin α + k sin α = 0 ．11221 12 2于是当 f (0) = f (π) = 0 时， f ( x ) = 0 对任意实数 x 恒成立，即命题 A 是真命题；2当 f (0) = 0 时， f ( x ) = -(k sin α + k sin α )sin x ，它为奇函数，即即命题 B 是真命题；1122当 f (π) = 0 时， f ( x ) = (k cos α + k cos α ) cos x ，它为偶函数，即命题 C 是真命题；1 12 2tan x = k cos α + k cos α ，于是 cot( π- β ) = tan β = 3 ，所以 cot( 2 - β ) = tan β ，………………………………………………………2 分- (-2)= 7 = 7 = ⋅ = 3 ，…………………………………………………………7 分1 5 7 5π当 f 2(0) + f 2( ) ≠ 0 时，令 f ( x ) = 0 ，则2(k cos α + k cos α ) cos x - (k sin α + k sin α )sin x = 0 ，1 1221122上述方程中，若 cos x = 0 ，则 sin x = 0 ，这与 cos 2 x + sin 2 x = 1 矛盾，所以 cos x ≠ 0 ．将该方程的两边同除以 c os x 得k cos α + k cos α1 12 2 ，令 1 1 2 2 = m （ m ≠ 0 ） k sin α + k sin α k sin α + k sin α11221122则 tan x = m ，解得 x = k π + arctan m （ k ∈ Z ）．不妨取 x = k π + arctan m ， x = k π + arctan m （ k ∈ Z 且 k ∈ Z ），1 12212则 x - x = (k - k )π ，即 x - x = n π （ n ∈ Z ），所以命题 D 是假命题．121212三．解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分 8 分)解法一：由 tan(α + β ) = 1 7 得 tan α + tan β 1= ．…………………………………4 分1 - tan α ⋅ tan β 7将 tan α = -2 代入上式，得tan β - 2 1= ，…………………………………………6 分1 +2 tan β 7解得 tan β = 3 ． …………………………………………………………………………7 分π2 2- β ) = 3 ．………………………………8 分解法二：因为 cot(π又 tan β = tan[(α + β ) - α ] = tan(α + β ) - tan α 1 + tan(α + β ) ⋅ tan α…………………………………5 分1 15 15 7 1 + ⋅ (-2)7 7所以 cot( π2 - β ) =3 ． ………………………………………………………………………8 分由 ⎨解得 ⎨ bc = 24 c = 4解：（1）设等差数列 {a } 的公差为 d （ d ≠ 0 ），由题意得 ⎨1⎩(a 1 + d )2 = a 1 ⋅ (a 1 + 4d )化简，得 ⎨ ⎩ d 2 = 2a d 因为 d ≠ 0 ，所以 ⎨ ，解得 ⎨ 1 2 解：（1） f ( x ) = cos x(sin x + 3 cos x) -33 ) ………………………………………………………………3 分18．（本题满分 8 分）解：（1）由 cos A = -1 415（ 0 < A < π ）得 sin A = 1 - cos 2 A = ．………………2 分4因为 ∆ABC 的面积是 3 15 ，则1bc s in A = 3 15 ，所以 bc = 24 ．………………4 分2⎧b - c = 2 ⎧b = 6 ⎩ ⎩． ………………………………………………………………6 分由余弦定理得 BC = 1b 2+ c 2- 2bc cos A = 62+ 42- 2 ⨯ 6 ⨯ 4 ⨯ (- ) = 8 ，4即 BC 的长是 8 ．………………………………………………………………………………8 分19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分．⎧a + a + d = 81 n⎧2a + d = 811．……………………………………………………………………2 分⎧2a + d = 8 ⎧a = 21⎩ d = 2a 1 ⎩ d = 4…………………………………………4 分所以 a = a + (n - 1)d = 4n - 2 ，n1即数列{a } 的通项公式是 a = 4n - 2 （ n ∈ N * ）． ……………………………………5 分n n（2）由（1）可得S = na + n (n - 1)⨯ d = 2n 2 ．……………………………………7 分 n 1假设存在正整数 n ，使得 S > 60n + 800 ，即 2n 2 > 60n + 800 ，n即 n 2 - 30n - 400 > 0 ，解得 n > 40 或 n < -10 (舍) ．…………………………………9 分所以所求 n 的最小值是 41 ． ………………………………………………………………10 分20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分．3= sin x cos x + 3 cos 2 x - 2 21 1 + cos2 x3 1 3 = sin 2 x + 3 ⨯ - = sin 2 x + cos 2 x 2 2 2 2 2= s i n2(x + π所以所求函数 f ( x) 的单调减区间是 ⎢k π + 12 , k π + 7π ⎤ （2）当 x ∈ [0, ] 时， π 3 ≤ 2 x +,1] 时， t 2 + t ∈ [-由 2k π + π 2 ≤ 2 x + π3 ≤ 2k π + 3π 2（ k ∈ Z ）解得 k π + π 12 ≤ x ≤ k π + 7π 12（ k ∈ Z ）．………………………………………………5 分⎡⎣ 12 ⎥⎦， k ∈ Z ．……………6 分π2 π 3≤4π 3， - 3 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ，2 3即 -3 ≤ f ( x ) ≤ 1 ． ………………………………………………………………………8 分2令 f ( x ) = t （ t ∈ [- 3 3 ,1] ），则关于 t 的方程 t 2 + t + m = 0 在 [-2 2,1] 上有解，即关于 t 的方程 - m = t 2+ t 在 [-3 ,1] 上有解．2当 t ∈ [- 31,2] ．…………………………………………………10 分2 41 1所以 - m ∈ [- ,2] ，解得 m ∈ [-2, ] ．4 41因此所求实数 m 的取值范围是 [-2, ] ．………………………………………………12 分421．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分．解：（1）由 f ( g ( x ) = g ( f ( x )) 得 2sin x = sin 2 x化简得， 2sin x(1 - cos x) = 0 ，所以 sin x = 0 或 cos x = 1．……………………………1 分由 sin x = 0 解得 x = 2k π 或 x = 2k π + π ， k ∈ Z ，即 x = 2k π 或 x = (2k + 1)π ， k ∈ Z ．……………………………………………………2 分又由 cos x = 1解得 x = 2k π ， k ∈ Z ．……………………………………………………3 分所以集合 M = {x | x = 2k π ，或 x = (2k + 1)π , k ∈ Z } ，即集合 M = {x | x = k π , k ∈ Z } ．……………………………………………………………4 分（2）证明：由题意得， a x +1 = a x + 1 （ a > 0 且 a ≠ 1 ）．………………………………5 分变形得a x (a - 1) = 1 ，所以 a x = 1 a - 1． ………………………………………………6 分因为a x>0，则1a-1>0，所以a>1．………………………………………………8分（3）当-1<x<0，则0<-x<1，所以g(x)=g(-x)=log(1-x)．2因为函数g(x)在(-1,1)上是偶函数，则g(x)=g(-x)．所以g(x)=log(1-x)，2因此当-1<x<1时，g(x)=log(1+|x|)．……………………………………………10分2由于f(x)=x+2与函数g(x)在集合M上“互换函数”，所以当x∈M，f(g(x)=g(f(x))恒成立．即g(x)+2=g(x+2)对于任意的x∈M恒成立．即g(x+2)-g(x)=2．……………………………………………………………………11分于是有g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2，g[x+2(n-1)]-g[x+2(n-2)]=2，……g(x+2)-g(x)=2．上述等式相加得g(x+2n)-g(x)=2n，即g(x+2n)=g(x)+2n．………………13分当x∈(2n-1,2n+1)（n∈N）时,x-2n∈(-1,1)，所以g(x-2n)=log(1+|x-2n|)．2而M=(-1,1) (1,3) (3,5) ⋅⋅⋅ (2n-1,2n+1) ⋅⋅⋅，n∈N，所以当x∈M时，g(x)=g((x-2n)+2n)=g(x-2n)+2n=log(1+|x-2n|)+2n．…………………14分21．已知向量a=(2,m),b=(-1,1)，若向量a与b垂直，则m等于_______．a+a=0（n∈N*）,且a=1，a=，lim(a+a++a)=__.n12212n12．设数列{a n}是首项为0的递增数列，函数f n(x)=|sin(x-a n)|,x∈[a n,a n+1]满足：对于任意的实数金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.→→→2．不等式2x-1x+1<0的解为___．3．已知tanθ=2，θ是第三象限角，则s ecθ=．4．方程log(1-2x)=-1的解x=__________．25．函数f(x)=arccos x(1<x<1)的值域是.26．若点(4,2)在幂函数f(x)的图像上，则函数f(x)的反函数f-1(x)=.7.数列{}的通项an n=n⋅sin nπ2，前n项和为S，则Sn13=．8．若数列{a}满足2an n+21n→∞9．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)，f(x)=log(1-x)，则函数f(x)在(1,2)12上的解析式是f(x)=．10．在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列命题正确的是_____________．①总存在某个内角α，使得cosα≥12；②存在某钝角∆ABC，有tan A+tan B+tan C>0；③若2a⋅BC+b⋅CA+c⋅AB=0，则∆ABC的最小角小于π．611．如图，在直角梯形A BCD中，AB//CD,AB=2,AD=DC=1,P段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ=λDC,CP=(1-λ)CB,是线则AP⋅AQ的最大值为________．1nm∈[0,1)，fn(x)=m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是an=．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的个单位，若所得图象与原图象重合，则 f ( ) 不 a相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量 a 、 b ，“函数 f ( x ) = (ax + b )2为偶函数”是“ a ⊥ b ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数 f ( x ) = cos ω x （其中 ω > 0 ）的图象向右平移π π3 24可能等于（）A ． 0B ．1C ．22D ．3215．已知各项均不为零的数列 {a n } ，定义向量 c n = (a n , a n +1 ) ， b n = (n, n + 1) ， n ∈ N *．下列命题中真命题是( )A ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n // b n 成立，则数列{a n } 是等差数列B ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n // b n 成立，则数列{a n } 是等比数列C ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n ⊥ b n 成立，则数列{a n } 是等差数列D ．若对任意的 n ∈ N * ，都有 c n ⊥ b n 成立，则数列 {a n } 是等比数列16．函数 f ( x ) = x 3 + arctan x 的定义域为 R ，数列 { }是公差为 d 的等差数列，若na1009= -1 ， m = f (a ) + f (a ) + f (a ) + + f (a1 2 32016) + f (a2017) ，则（）A ． m 恒为负数B ． m 恒为正数C ．当 d > 0 时， m 恒为正数；当 d < 0 时， m 恒为负数D ．当 d > 0 时， m 恒为负数；当 d < 0 时， m 恒为正数三、解答题（本大题共 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 8 分.已知 | a |= 3 ， | b |= 4 ，且 a 与 b 的夹角为120 0 ．（1）求 b 在 a 上的投影；（2）求 | 2a + 3b | ．解：6 ) , sin x) ， n = (1, sin x) ， f ( x) = m ⋅ n .218．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 6 分.已知向量 m = (sin(2 x +π（1）求函数 y = f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间；B（2）记△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 f ( ) =2b = 5,c = 3 ，求 a 的值．解：2 + 1 2，19．（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 6 分.已知数列 {a n}的前 n 项和为 S n ， a = 1 ， a 1n +1= 2S + 1 ，等差数列{b }满足 b = 3, b = 9 ．n n 3 5（1）分别求数列{a n }， {b }的通项公式；n1（2）若对任意的 n ∈ N * ， (S + ) ⋅ k ≥ b 恒成立，求实数 k 的取值范围．n n解：20．（本题满分 16 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 8 分，第二小题满分 8 分.2π如图，在四边形ABCD中，已知∠A BC=π，∠A CD=，∠BAD=，AD=24，设∠BAC=θ(ππ332π12≤θ≤6)．（1）求AB（用θ表示）；（2）求AB+BC的最小值.（结果精确到0.01米）解：CBA D21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分,第二小题满分8分.给定常数c>0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|．数列a，a，a，…满足a123（1）若a=-c-2，求a及a；123n+1=f(a),n∈N*．n（2）求证：对任意n∈N*，an+1-a≥c；n（3）是否存在a，使得a，a，a，…，a…成等差数列？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说1123n1明理由．解：4． 2 2 ． -1 < x < 13． - 5 4． - 15． (0， ) 6． x 2 （ x ≥ 0 ）18．解：（1） f ( x ) =31 - q 1 - 3 2令 c = 2 3n - 6 3n 3n 3n -1 3n n -1，= c =29 9金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题π237. 78．19． log (x - 1)10．①③11． 212．1 2二、选择题13．C 14．D 15．A 1 6．A三、解答题17．解：（1） - 2（2） 6 31sin 2 x + ， 2 2n (n - 1)π2最小正周期为 π ，单调递减区间为[k π +（2） a = 1 + 3 或 a = -1 + 3 ．π 3π, k π + ], k ∈ Z ； 4 419．解：（1）由 an +1= 2S + 1 ----①得当 n ≥ 2 时 a = 2Sn nn -1+ 1----②，① - ②得 an +1- a = 2(S - S n nn -1) ，∴ an +1= 3a , ；n当 n = 1 时 a = 2a + 1 = 3 = 3a ， ∴ a = 3n -1211nb - b = 2d = 6,∴ d = 3,∴ b = 3 + (n - 3) ⨯ 3 = 3n - 6 ；5 3na (1- q n ) 1 - 3n 3n - 1（2） S = 1 = =n，3n - 1 1 3n - 6∴ ( + )k ≥ 3n - 6 对 n ∈ N * 恒成立，即∴ k ≥ 22 2 3n对 n ∈ N * 恒成立，n n n -1 ， c - c = - =3n - 6 3n - 9 -2n + 7 ，当 n ≤ 3 时， c > cn n -1，当 n ≥ 4 时， c < cn∴ (c ) n max3 2 ， k ≥ ．，得AC=由BC所以AB+BC=32sin(θ+π)sin(12≤θ≤6，所以12时，AB+BC取得最小值8+83≈21.8620．解：（1）三角形ACD中，∠CDA=θ+π6，由AD AC AD⋅s in∠CDAπ==163sin(θ+) sin∠ACD sin∠CDA sin∠ACD6πAB AC三角形ABC中，∠ACB=-θ由=3sin∠ACB sin∠ABC，得AB=32sin(θ+π6)sin(πππ-θ)(≤θ≤3126)（2）三角形ABC中，AC=sin∠BAC sin∠ABC，得AC⋅s in∠BACπBC==32sin(θ+)sinθsin∠ABC6ππ-θ)+32sin(θ+)sinθ636=16sin2θ+83因为πππ6≤2θ≤π3所以当θ=π最小值约为21.86米.21．解：（1）因为c>0，a=-(c+2)，故a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=2，12111a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=c+103122（2）要证明原命题，只需证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c⇔2|x+c+4|-|x+c|≥x+c即只需证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c>0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+c⇔x+c+4>x+c显然成立综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1-a≥cn（3）由（2）知，若{a}为等差数列，则公差d≥c>0，故n无限增大时，总有a>0n n此时，an+1=f(a)=2(a+c+4)-(a+c)=a+c+8 n n n n即d=c+8故a=f(a)=2|a+c+4|-|a+c|=a+c+8，21111即2|a+c+4|=|a+c|+a+c+8，111当a+c≥0时，等式成立，且n≥2时，a>0，此时{a}为等差数列，满足题意；1n n若a+c<0，则|a+c+4|=4⇒a=-c-8，111此时，a=0,a=c+8,,a=(n-2)(c+8)也满足题意；23n综上，满足题意的a的取值范围是[-c,+∞)⋃{-c-8}。

上海市高一下学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。

上海高一高中数学期末考试带答案解析

上海高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.角的终边经过点，则=____________________．2.已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________．3.函数的单调递减区间为____________________．4.已知，则____________________．5.函数的最小值为___________________．6.已知函数，则该函数的定义域为___________________．7.已知数列中，，则_____________．8.函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________．9.，则的形状是____________________．10.，则____________________．11.已知，若，则 ____________________．12.下列结论中：1）函数为奇函数2）函数的图像关于点对称3）函数的图像的一条对称轴为4）若，则其中正确的结论序号为____________________．二、选择题1.下列函数中，以为周期的偶函数是（）A．B．C．D．2.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3.设为任意实数，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．4.数列满足，则等于（）A．2B．C．D．1三、解答题1.解三角形方程（每小题4分）1）2）3）2.已知锐角满足，，求．（8分）3.已知1）若，求的单调递增区间2）当时，的最大值为4，求的值3）在2）的条件下，求满足且的集合4.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S的距离．5.已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．（1）求函数与的解析式；（5分）（2）若，是第一象限的角，且，求的值．（4分）上海高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.角的终边经过点，则=____________________．【答案】【解析】由三角函数定义可知【考点】三角函数定义2.已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________．【答案】【解析】【考点】扇形面积3.函数的单调递减区间为____________________．【答案】【解析】令，解不等式的单调减区间为【考点】三角函数单调性4.已知，则____________________．【答案】【解析】【考点】两角和的正切公式与正切的二倍角公式5.函数的最小值为___________________．【答案】【解析】，当时，函数取得最小值【考点】二次函数求最值6.已知函数，则该函数的定义域为___________________．【答案】【解析】【考点】反函数与函数定义域7.已知数列中，，则_____________．【答案】【解析】是等差数列，公差为3，【考点】等差数列8.函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________．【答案】【解析】由余弦函数的对称性可知，围成图形通过割补法重新拼凑后得到长为，宽为2的矩形，所以面积为【考点】余弦函数的对称性9.，则的形状是____________________．【答案】等腰或直角三角形【解析】或所以或【考点】正弦定理及三角函数基本公式10.，则____________________．【答案】【解析】【考点】三角函数诱导公式及三角函数求值11.已知，若，则 ____________________．【答案】【解析】，【考点】函数求值12.下列结论中：1）函数为奇函数2）函数的图像关于点对称3）函数的图像的一条对称轴为4）若，则其中正确的结论序号为____________________．【答案】1,3,4【解析】1），因此函数是奇函数；2）代入函数不成立，因此该点不是对称中心点；3）中当时函数取得最小值，因此对称轴为；4）中【考点】三角函数对称性奇偶性等性质二、选择题1.下列函数中，以为周期的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正余弦函数周期求解公式可知的周期为，的周期为，的周期为，的周期为，其中是偶函数【考点】三角函数周期性与奇偶性2.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，与比较可知：只需将向右平移个单位即可【考点】三角函数化简与平移3.设为任意实数，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据反三角函数的定义可知表示上正切值等于的一个角，故有，所以A项正确【考点】反三角函数4.数列满足，则等于（）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】，所以数列具有周期性，周期为3，【考点】数列周期性与数列递推公式三、解答题1.解三角形方程（每小题4分）1）2）3）【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）解三角方程时根据特殊角的三角函数值得到角的大小，（3）首先利用二倍角公式化简得到三角函数值，转化为（1）（2）的形式后求解试题解析：（1）或，解得，所以方程的解集为（2），方程的解集为（3）或，或，所以方程的解集为【考点】1．特殊角的三角函数值；2．二倍角公式2.已知锐角满足，，求．（8分）【答案】【解析】首先利用同角间的三角函数关系由，的值求得的值，将所求的角用已知两角来表示，借助于两角差的余弦公式求解试题解析：当时，当时，【考点】1．同角间的三角函数关系；2．两角和差的正余弦公式3.已知1）若，求的单调递增区间2）当时，的最大值为4，求的值3）在2）的条件下，求满足且的集合【答案】1） 2） 3）【解析】1）首先由借助于三角函数基本公式将函数式整理为的形式，求递增区间只需令，解出的范围即可；2）由得到的范围，结合函数单调性确定取得最大值的位置，代入数值可求得的值；3）由得到的值，进而解出试题解析：1）由可得2）当时，取最大值3）由可得可解得，所以集合为【考点】1．三角函数式的化简；2．三角函数单调性与最值4.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S的距离．【答案】海里【解析】将实际问题转化为数学中的解三角形问题，得到三角形中的边角，结合三角形的正弦定理可得到其他边长，即货轮到灯塔S的距离试题解析：由正弦定理可得，可得此时，货轮到灯塔S的距离为海里【考点】1．正弦定理解三角形；2．解三角形的实际应用5.已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．（1）求函数与的解析式；（5分）（2）若，是第一象限的角，且，求的值．（4分）【答案】（1），（2）【解析】（1）由函数周期得到的值，由对称中线点代入函数式可得角，因此得到函数，横坐标伸长到原来的2倍，则周期变为2倍，系数减半得，右平移个单位得；（2）将函数化简后代入得到三角函数值，进而得到，利用二倍角公式可求得的值试题解析：（1）由函数的周期为又曲线的一个对称中心为故得，所以将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可得的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以（2）得到，因为是第一象限角，所以【考点】1．三角函数性质；2．三角函数图像变换；3．三角函数基本公式。

上海高一高中数学期末考试带答案解析

上海高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.函数的定义域是___________.2.不等式的解集是___________.3.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.4.设集合、，若，则实数＝___________.5.某班共30人，其中有15人喜爱篮球运动，有10人喜爱兵乓球运动，有3人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有___________.6.已知，，则___________.7.已知二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是___________.8.若函数的定义域为R，则实数可的取值范围是___________.9.函数（）的值域是___________.10.函数()，若，则的值为___________.11.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.12.关于x的方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________.二、选择题1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（）A．B．与C．D．2.“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．4.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．无数三、解答题1.解不等式组2.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.3.已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由.4.心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?5.已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图像；（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程解的个数.上海高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.函数的定义域是___________.【答案】【解析】，即，故填.【考点】函数的定义域.2.不等式的解集是___________.【答案】【解析】，故填.【考点】分式不等式方程的解法.3.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.4.设集合、，若，则实数＝___________.【答案】-1【解析】由于，则或，得，又由集合元素的互异性可知＝.【考点】集合的概念和运算.5.某班共30人，其中有15人喜爱篮球运动，有10人喜爱兵乓球运动，有3人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有___________.【答案】12【解析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+8=30，解得x=3，所以15-x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【考点】交、并、补集的混合运算.6.已知，，则___________.【答案】【解析】由，，可知两函数定义域均为，故.【考点】函数的定义域.7.已知二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是___________.【答案】【解析】由于二次函数的单调递增区间为，则得.【考点】二次函数的单调性.8.若函数的定义域为R，则实数可的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数的定义域为R在R恒成立，当时，显然成立；当时，得；综上，.【考点】1.函数的定义域；2.二次函数的性质.9.函数（）的值域是___________.【答案】【解析】方法一(对勾函数单调性)：函数,由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，所以，故其值域为；方法二(基本不等式)：函数故其值域为.【考点】函数值域的求法.10.函数()，若，则的值为___________.【答案】-6【解析】,则，又.【考点】函数的奇偶性.11.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.12.关于x的方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】分离参数法：由题意可知，，令，则，由对勾函数的单调性可知，又方程在上有两个不同的实数根，故与，有两个不同交点，故.【考点】函数的零点问题.二、选择题1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（）A．B．与C．D．【答案】A【解析】对于A，（），与（）解析式和定义域均相同故选A；对于B，（），而（）故错；对于C，定义域为，而定义域为故错；对于D，定义域为，而定义域为故错；故选A.【考点】函数的性质.2.“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】令命题p为“”，命题q为“”解不等式得，则不能导致q成立，但，故选B.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.3.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.4.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．无数【答案】C【解析】原题等价于“函数与函数的图像交点个数为”在同一坐标系中作出两函数图像可知选C.【考点】函数的零点.三、解答题1.解不等式组【答案】.【解析】本题是一到解不等式组的基础题，先求一元二次不等式的解，再求绝对值不等式的解，再求它们的交集.试题解析：解不等式得 4分解不等式得 7分所以不等式的解为 8分.【考点】不等式得解法.2.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为2分当时满足，此时 4分当时若，则 6分当时，满足，此时 8分综合以上得：实数的取值范围,所以 10分.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.3.已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（Ⅰ）由幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数可知，得，又因为所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出，对参数a进行讨论，再利用函数的奇偶性判断方法进行判断.试题解析：（1）由于幂函数在是单调减函数，所以 1分求得因为，所以 2分因为是偶函数，所以 3分故： 4分（2）6分8分当，因为，，9分. 10分.【考点】1.幂函数的性质；2.函数的奇偶性.4.心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?【答案】（1）开讲后第5min比开讲后第20min，学生接受能力强一些.；（2）6min; （3）详见解析.【解析】此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．第二小题比较5分钟和15分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=15要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．第三小题考查分段函数图象和增减性，令f（x）=55，第一段函数解得x=6，第二段函数解得x=，关键是从图象上知道6＜x＜时，f（x）＞55，然后求出两个时间之差即-6=，其实就是持续的时间，最后和10分钟比较大小即可．试题解析：:（1） 2分开讲后第5min比开讲后第20min，学生接受能力强一些. 3分（2）当时， 4分时 5分当时， 6分开讲后10mim（包括10mim）学生接受能力最强，能维持6min.7分（3）由 9分又由， 11分故接受概念的能力在55以上（包括55）的时间为老师不能在学生一直达到所需接受能力的的状态下讲授完这个新概念12分【考点】根据实际问题选择函数类型．5.已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图像；（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程解的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）当a=2时，，作出图象；（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；（3）由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数.试题解析：（1）如图所示3分（2）单调递减区间： 4分证明：设任意的5分因为，所以于是，即6分所以函数在上是单调递减函数 7分(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数又，注意到，当且仅当时，上式等号成立，借助图像知 8分所以，当时，函数的图像与直线有1个交点； 9分当，时，函数的图像与直线有2个交点； 10分当，时，函数的图像与直线有3个交点；12分.【考点】1.绝对值的函数；2.函数的值域;3.函数的零点.。

高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

第一学期期末质量测试高一数学一、填空题（本题共36分）1. 函数)10(≠>=a a a y x且的图像均过定点____________________ 2. 请写出“好货不便宜”的等价命题：_________________. 3. 若集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{1}A B =，则实数a = ．4. 不等式01|1|2<--x 的解集是 .5. 若(1)21f x x +=-，则=)1(f .6. 不等式023≥--x x 的解集为________ 7. 设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = .8. 设1)(2+=x x x f，()g x =)()(x g x f ⋅= . 9.设5:-≤x α或1≥x ，1232:+≤≤-m x m β，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________. 10. 函数221()2x y -=的值域是 .11. 已知0ab,且14=+b a ，则11a b的最小值为__________ 12. 已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.0≥a B.0≤a C.2≥a D.2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-aaaakxf xx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga+=的图像是（）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,babbaaba，已知函数xxxf22)(⊗=，若函数kxfxg-=)()(恰有两个零点，则实数k的取值范围为（）A.(0,1)B.C.),2[+∞ D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--22162xxxx.18.已知不等式）Rmmxx∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R<<∈，函数)(2)(2Raaxxxf∈+-=.（1）求,m n的值；（2）若()y f x=在]1,(-∞上单调递减，解关于x的不等式0)23(log2<-++mxnxa.19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件．，需另投入成本为()C x，当年产量不足80件时，21()103C x x x=+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件．）的函数解析式；（2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案一、填空题（本题共36分）1. （0,1）2. 便宜没好货3. 14. )23,21( 5. 1- 6. ),3[)2,(+∞⋃-∞7. 1-8. )0()01(∞+-∈，，，xx9.3-≤m或2≥m10. (0,4]11. 912. [1,0)-二、选择题（本题共12分）13．设x取实数，则()f x与()g x表示同一个函数的是（ B ）A.22)(,)(xxgxxf== B.22)()(,)()(xxxgxxxf==C. 0)1()(,1)(-==xxgxf D. 3)(,39)(2-=+-=xxgxxxf14.已知11:<-xα，ax≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a的取值范围是( B )A.0≥a B.0≤a C.2≥a D.2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-aaaakxf xx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga+=的图像是（ A ）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,babbaaba，已知函数xxxf22)(⊗=，若函数kxfxg-=)()(恰有两个零点，则实数k的取值范围为（ D ）A.(0,1)B.]2,1(C.),2[+∞ D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--22162xxxx.解：解062≥--xx得：2-≤x或3≥x；解221>-+xx得52<<x；即不等式组的解集为)5,3[。