数模3

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数模和模数

数模和模数数模和模数是数学中的两个重要概念。

数模是指数的模，即对一个数进行取模运算后得到的余数。

模数是指用来取模运算的除数。

在数学中，数模和模数的概念被广泛应用于各个领域，例如密码学、计算机科学、代数学等等。

下面将分别介绍数模和模数的定义、性质和应用。

一、数模的定义、性质和应用数模是指一个数对另一个数进行取模运算后得到的余数。

例如，对于数a和数b，a对b取模的结果记作a mod b。

数模有以下一些性质：1. 数模运算是整除运算的一种推广。

当a能够整除b时，a mod b 的结果为0。

2. 数模运算的结果总是小于模数。

即对于任意的整数a和正整数b，有0 ≤ a mod b < b。

3. 数模运算满足加法和乘法运算的结合律和分配律。

4. 数模运算具有周期性。

例如，对于任意的整数a和正整数b，有a modb = (a + kb) mod b，其中k为任意整数。

数模在密码学、计算机科学和代数学等领域有着广泛的应用。

在密码学中，数模被用于构建加密算法和密钥交换协议，以保护数据的安全性。

在计算机科学中，数模被用于优化算法和数据结构的设计，提高计算效率。

在代数学中，数模被用于研究整数的性质和结构，解决一些数论问题。

二、模数的定义、性质和应用模数是指用来进行取模运算的除数。

在数学中，模数通常是一个正整数。

模数有以下一些性质：1. 模数决定了数模运算的结果范围。

对于任意的整数a和正整数b，a mod b的结果范围在0到b-1之间。

2. 模数可以是一个素数或合数。

当模数是一个素数时，数模的性质更加丰富，具有更多的应用。

3. 模数不可以为0。

对于任意的整数a，a mod 0是没有定义的。

模数在数论、代数学和计算机科学等领域有着重要的应用。

在数论中，模数被用于研究整数的性质和结构，解决一些数论问题。

在代数学中，模数被用于研究环和域的性质，构建代数结构。

在计算机科学中，模数被用于实现整数运算、高精度计算和数据压缩等算法。

2023年数模高教杯b题

2023年数模高教杯b题
2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题题目如下：
B题数字化助力绿色发展
问题1：在数据支撑下，分析我国在能源消耗、资源利用、污染物排放等方面的数字化发展现状，找出其中存在的问题，并提出针对性的解决措施。

问题2：基于我国数字化发展现状，预测数字化发展对未来我国能源消耗、资源利用、污染物排放等方面的影响，并评估其对绿色发展的贡献。

问题3：在数据支撑下，分析数字化发展在不同地区、不同行业、不同企业中推动绿色发展的差异，并探讨其影响因素。

问题4：根据上述分析，提出促进数字化助力绿色发展的政策建议。

请注意，这是一个模拟题目，并非真实的竞赛题目。

为了准备数模竞赛，建议学生多做历年真题，积累经验，提升自己的能力。

数模国赛评判标准

数模国赛，即全国大学生数学建模竞赛，是中国工业与应用数学学会主办的面向全国大学生的群众性科技活动。

该竞赛旨在激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。

评判标准方面，数模国赛主要围绕以下几个方面进行评判：1假设的合理性：假设是模型的基础，没有好的假设，就不可能建立好的模型。

在论文中的假设必须是必要假设，不能罗列大量无关紧要的假设。

假设的合理性是评判论文质量的重要标准之一。

评判者会检查参赛者是否根据实际情况和题目要求，提出了合理且必要的假设，以及这些假设是否能够有效地支持模型的建立和求解。

2模型的创造性：模型的创造性指的是独树一帜、标新立异，但模型的建立必须合理。

创新的模型一旦失去合理性，就失去了建立的必要性。

此外，参赛者也可以基于现有的模型加以改进或结合其它模型，从而达到解决问题的目的。

模型的创造性是评判论文质量的核心标准之一。

评判者会关注参赛者是否能够运用创新思维，提出具有独特性和创新性的模型，以及这些模型是否能够有效地解决实际问题。

3结果的正确性：一旦建立模型得到的结果与真实结果相差很大，那么建立的模型就失去了意义，因此结果一定要正确。

结果的正确性是评判论文质量的关键标准之一。

评判者会检查参赛者是否使用了正确的求解方法，并得到了与实际情况相符的结果。

此外，参赛者还需要对结果进行必要的检验和分析，以确保其正确性和可靠性。

4表述的清晰性：表述的清晰性也是评判论文质量的重要标准之一。

评判者会关注参赛者是否使用了恰当的语言和术语，以及论文结构是否清晰、逻辑是否严密。

此外，参赛者还需要注意避免使用过于复杂的数学公式和符号，以免让读者难以理解。

除了以上四个方面的评判标准外，数模国赛还会关注参赛者的综合素质和团队合作能力。

例如，评判者会考察参赛者是否具备扎实的数学基础、较强的计算能力和创新能力；同时还会关注参赛者在团队中是否能够发挥各自的优势，协同合作完成任务。

数模和模数转换

通过模数转换，将模拟信号转换为数字信号，实现过程控制和反馈控制。
自动控制系统
通过模数转换，实现模拟信号与数字信号之间的转换，构建自动控制系统。
05
数模和模数转换的挑战与未来发展
精度和分辨率的提高
总结词
随着技术的发展，对数模和模数转换的精度和分辨率的要求越来越高。
详细描述
为了满足高精度和分辨率的需求，需要采用先进的工艺、算法和校准技术，以提高转换器的性能。这涉及到对噪声抑制、非线性校正等方面的深入研究和技术创新。
重要性
实现数字信号和模拟信号之间的相互转换，使得数字系统和模拟系统能够进行有效的信息交互。
在信号处理中，数模和模数转换是实现信号滤波、放大、调制解调等操作的基础。
在通信中，数模和模数转换是实现信号传输、编解码、调制解调等操作的关键环节。
历史背景
早期的数模和模数转换器主要依赖于机械和电子元件，精度和稳
于长距离传输和低功耗应用。
Σ-Δ DAC
03
Σ-Δ DAC采用过采样和噪声整形技术，具有高分辨率和低噪声
的特点，适用于音频和其他高精度应用。
DAC的应用
音频处理
DAC可将数字音频信号转换为模拟音频信号，用于音频播放和处理。
仪器仪表
DAC可用于将数字信号转换为模拟信号，实现各种物理量的测量和输出。
测量仪器
ADC在测量仪器中应用广泛，如电压表、电流表、温度计等。
控制系统
ADC在控制系统中用于实时监测和调节系统参数，如工业控制、汽车电子等。
音频处理
ADC在音频处理中用于将模拟音频信号转换为数字信号，便于存储、传输和处理。
04
数模和模数转换的应用场景
音频处理

数模预测题目

数模预测题目
1. 使用数学模型预测股市涨跌
- 基于历史股市数据和相应的经济指标，建立时间序列模型，
如ARIMA模型，来预测股市的涨跌趋势。

- 利用机器学习模型，如支持向量机（SVM）、随机森林（Random Forest）等，训练股市数据和经济指标的历史数据，来预测未来股市的涨跌。

2. 使用数学模型预测人口增长趋势
- 基于历史人口数据，建立增长模型，如指数增长模型，来预
测未来人口的增长趋势。

- 综合考虑出生率、死亡率、迁移率等因素，建立计量经济模型，如人口生命周期模型，来预测未来人口的增长。

3. 使用数学模型预测环境污染水平
- 基于环境监测数据，建立回归模型，如线性回归模型，来预
测环境污染水平与污染源、气象条件等因素的关系。

- 利用神经网络模型，如多层感知机（MLP）、卷积神经网络（CNN）等，训练环境监测数据的历史记录，来预测未来环
境污染水平。

4. 使用数学模型预测销售量
- 基于历史销售数据，建立时序模型，如季节性分解模型，来
预测销售量的周期性变化。

- 利用分类模型，如逻辑回归、决策树等，训练销售数据的历
史记录，来预测未来销售量的分类情况。

5. 使用数学模型预测天气变化
- 基于气象观测数据，建立时间序列模型，如ARIMA模型，来预测未来天气的变化趋势。

- 利用深度学习模型，如循环神经网络（RNN）、长短期记忆网络（LSTM）等，训练气象观测数据的历史记录，来预测未来天气的变化。

数模第三版习题答案解读

《数学模型》作业解答第一章（2008年9月9日）4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使()()000=-θθg f .又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ,单位时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻t 的人口数为()t x （一般()t x 是很大的整数）,且设()t x 为连续可微函数.又设()00|x t x t ==.任给时刻t 及时间增量t ∆,因为单位时间内人口增长量与)(t x x m -成正比, 假设其比例系数为常数r .则t 到t t ∆+内人口的增量为：()()()t t x x r t x t t x m ∆-=-∆+)(. 两边除以t ∆,并令0→∆t ,得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(x x x x r dtdxm 解为rtm m e x x x t x ---=)()(0如图实线所示，当t 充分大时 m x 它与Logistic 模型相近.0x t9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（4）某人家住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟.问他步行了多长时间？（5）一男孩和一女孩分别在离家2 km 和1 km 且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4 km/h 和2 km/h 的速度步行回家.一小狗以6 km/h 的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,两天都在0t 时刻经过0d 地点.方法二：设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇. 0d t早8 0t 晚5方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221≤- ，则需赛k 轮.（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.（5）放学时小狗奔跑了3 km .孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.10*. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从乙地到甲地的路函数为)(t g ,并设甲地到乙地的距离为a (a >0).由题意知：,0)9(=f a f =)18(,a g =)9(,0)18(=g . 令)()()(t g t f t h -=,则有0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)18()18()18(>=-=a g f h 由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]18,9[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)16()16()16()16(>=-=f g f h .（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ，其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ，其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲i P 定理得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ，其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g l t =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mg kl =π ∴)(2/12/1mg kl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1g m l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l mm '='时，就有 ll l g g l tt '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rTc T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC，解得 rc c T 21*2= ⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl由rT Q = ，得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC，得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆ni Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ，分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TT t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC，解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 925002+-=TdT dC又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲 5 2 20 乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和32ll1x1l2x个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s（2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0 .01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ.0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈　ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.02k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ．即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ． 2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h Ex()x f由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ，（1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2<αβ与207P 的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-=则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2）从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4）当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5）从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y k k k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x k k k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为 48)(22,1αβαβαβλ-±-= ---------------（4）当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5）从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．。

2024国赛数模评价指标

2024国赛数模评价指标2024年中国大学生数学建模竞赛（以下简称国赛）数模评价指标是对参赛队伍数学建模过程中的方案设计、模型建立、算法选择、结果分析等多个方面进行综合评价的一套指标体系。

以下将对国赛数模评价指标进行详细介绍。

一、问题分析与建模问题分析与建模是国赛数模评价的第一部分，该部分占总分的比重较大。

主要考察参赛队伍对问题的理解和分析、建立数学模型的能力。

评价指标如下：1.问题分析的全面性和深度：探究参赛队伍对问题背景、问题需求、可行性等方面的全面分析和理解程度。

2.问题涉及因素的分析和辨别能力：考察参赛队伍识别问题中各种因素，分析它们的相互关系和影响程度的能力。

3.数学建模过程的合理性：评估参赛队伍建模过程中所使用的数学理论和方法的合理性和适用性。

4.模型的创新性和实用性：评估参赛队伍的模型在解决实际问题中的创新性、实用性和可操作性。

二、模型分析与求解模型分析与求解是国赛数模评价的第二部分，该部分主要考察参赛队伍对建立的数学模型进行分析和求解的能力。

评价指标如下：1.模型的准确性：评估参赛队伍建立的数学模型能否准确反应问题的变化和规律。

2.模型分析的逻辑性和严谨性：考察参赛队伍对建立的数学模型进行分析论证的逻辑思维和严谨性。

3.算法选择的恰当性：评估参赛队伍在模型求解过程中所选择的算法的合理性和适用性。

4.解的合理性和可行性：考察参赛队伍模型求解结果的合理性和可行性。

三、结果分析与评价结果分析与评价是国赛数模评价的第三部分，该部分主要考察参赛队伍对数学模型求解结果的分析和评价的能力。

评价指标如下：1.结果的合理性和有效性：评估参赛队伍给出的结果是否合理、有效，并对结果进行解释。

2.结果的可行性和可操作性：考察参赛队伍给出的结果是否可行，且是否具有实际操作性。

3.结果的灵敏度分析：评估参赛队伍对模型参数的变化和不确定性的灵敏性分析。

4.问题的深入探究和进一步拓展：考察参赛队伍对问题的进一步探索和拓展的能力。

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

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6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

数模和模数

数模和模数数模和模数是数学中常见的概念。

数模是指对某个数或一组数进行取模运算，而模数则是取模运算的除数。

在数学和计算机科学中，数模和模数有着广泛的应用。

首先来看数模。

数模是一种将数值映射到一定范围内的运算。

在数学中，我们常常使用取模运算来对数进行数模操作。

取模运算是指将一个数除以模数，并取得余数。

例如，对于数值10和模数3，取模运算的结果是1，即10 mod 3 = 1。

这意味着10可以被3整除一次，余数是1。

数模运算常常用于周期性计算、编码和密码学中。

数模的应用非常广泛。

在计算机科学中，数模常常用于处理循环结构和周期性问题。

例如，我们可以使用数模运算来判断一个数是否为偶数，只需对该数进行2的数模运算，如果结果为0，则说明该数是偶数。

另外，在编码和密码学中，数模也扮演着重要的角色。

通过数模运算，我们可以将明文转化为密文，从而保证数据的安全性。

接下来我们来讨论模数。

模数是取模运算的除数。

模数可以是任意正整数，常用的模数有2、10和16等。

不同的模数对应着不同的数模运算结果。

例如，在模数为10的情况下，数模运算的结果就是数的个位数。

而在模数为2的情况下，数模运算的结果只有0和1两种可能，用于表示二进制数。

模数在计算机科学中有着重要的应用。

在计算机中，我们常常使用二进制表示数据。

二进制是一种基于模数为2的数模运算的表示方法，非常适合计算机的电子元件。

通过模数为2的数模运算，计算机可以快速高效地进行逻辑运算、数据存储和传输等操作。

模数为2的数模运算也是计算机科学中最基础的运算之一。

总结一下，数模和模数在数学和计算机科学中都有着广泛的应用。

数模是将数值映射到一定范围内的运算，常用的数模运算是取模运算。

模数是取模运算的除数，不同的模数对应着不同的数模运算结果。

数模和模数在循环结构、周期性计算、编码和密码学等领域起着重要作用。

对于计算机科学来说，模数为2的数模运算是最基础的运算之一，常用于逻辑运算、数据存储和传输等操作。

数学建模案例

变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优
决策控制。
6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实
际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性
和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶
段性和部分性符合好。
7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
四、数学建模的特点
五、数学建模的分类
1）按变量的性质分：
2、模型建立
x --第k 次渡河前此案的商人数 k yk --第k次渡河前此案的随从数 sk ( xk , yk )过程的状态 u --第k 次渡船上的商人数 k vk --第k次渡船上的随从数 d k (uk ,vk )决策 x , y 0， 1， 2， 3 k k k 1,2, S --允许状态集合 u , v 0， 1， 2 k k k 1,2, D--允许决策集合
每一件产品单位货物量的成本c ( )为 c ( ) ( a b ) / p q 1/3 . 其中p，q为正数.这就是包装量为时单位货物量总成本的数学模型.不难看出，它是包装量的减函数，表明包装增大时每件产品的单位货物量的成本将下降，与我们平时观察到的数据是一致的.
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。
5）模型分析：结果分析、数据分析。
学会联合主办。从1985年起每年举行一届， MCM，这是最早的数学建模。1987年以前的全称是 Mathe 在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到 2009 -matical Competition in 年已举行了 Modeling。25届。

全国数模abc题目

全国数模abc题目
全国数学建模竞赛（简称数模）是中国举办的一项重要学科竞
赛活动，旨在培养学生的数学建模能力和创新思维。

每年都会发布
一系列的题目供参赛选手进行解答。

以下是关于全国数模ABC题目
的一些信息：
1. 题目类型，全国数模竞赛通常分为A、B、C三个等级，每个
等级的题目难度逐渐增加。

A题通常是基础题，B题是中等难度题目，C题是较难的题目。

每个等级的题目都涵盖了数学建模的不同领域
和技巧。

2. 题目内容，数模竞赛的题目涉及广泛，包括但不限于数学、
物理、经济、环境、工程等领域。

题目可能涉及实际问题的建模、
模型求解、数据分析、优化等方面。

每个题目都有一定的背景描述
和要求，选手需要根据题目的要求进行建模和求解。

3. 题目难度，数模竞赛的题目难度较高，需要选手具备扎实的
数学基础、良好的建模思维和解决问题的能力。

难度逐级增加，C
题通常是最具挑战性的一道题目，需要选手具备较高的数学建模和
解题技巧。

4. 考试时间和形式，数模竞赛通常在规定的时间内进行，选手需要在规定的时间内完成题目的建模和求解，并提交解答报告。

竞赛形式可以是线下考试，也可以是线上提交解答。

总结起来，全国数模竞赛的ABC题目是一系列涵盖数学建模不同领域和难度的题目，要求选手具备扎实的数学基础和解题能力。

选手需要根据题目的要求进行建模和求解，并提交解答报告。

这一竞赛旨在培养学生的数学建模能力和创新思维，提高他们解决实际问题的能力。

零件、3D数模、2D图纸

零件数模图纸的升版发布对关联关系得影响
原始数据：零件100111900017（02）版; 数模100111900017（AC）版; 图纸100111900017（AB）版，并均处于发布状态。

1）.升版零件100111900017（03）版
此时预备状态下的零件数模，图纸关系是：03版零件关联AB版图纸，跟AC版数模。

2）.发布03版100111900017零件后
关联关系不变，还是03版零件下关联AB版图纸，加AV版数模
3）升版数模100111900017（AC）版
此时预备状态下的零件数模，图纸关系是：03版零件关联AB版图纸，跟AC版数模
4）将数模发布之后，关联关系改变：
即03版零件关联AB版图纸，跟AD版数模
5)升版图纸100111900017（AB）版，此时预备状态下零件数模，图纸关系是：03版零件关联AB版图纸，跟AD版数模
6)发布图纸100111900017（AC）版之后，数模零件图纸的关系改变为：
03版零件关联AC版图纸，跟AD版数模
总结：零件的升版，发布对数模图纸的关联版本没有关系；而数模跟图纸升版之后，若再发布，与之关联项会自动变成最新版本的。

教10教练机飞机三维数模

教10教练机飞机三维数模摘要：1.教10教练机简介2.教10教练机的三维数模制作意义3.教10教练机三维数模的制作过程与方法4.教10教练机三维数模的应用领域5.教10教练机三维数模对飞行训练的促进作用正文：教10教练机是我国自主研发的一款高级教练机，近年来在飞行员培训领域取得了显著的成果。

随着科技的发展，三维数模技术在航空领域的应用越来越广泛。

本文将介绍教10教练机的三维数模制作过程、应用领域及其在飞行训练中的重要作用。

一、教10教练机简介教10教练机是我国航空工业集团公司研制的一款高性能教练机，适用于飞行学员从基础训练到高级训练的全程培训。

该教练机采用先进的设计理念和优良的飞行性能，为我国飞行员的培养奠定了坚实基础。

二、教10教练机的三维数模制作意义三维数模是现代计算机辅助设计（CAD）的重要成果，它能直观地展示飞机的结构、性能和飞行状态。

制作教10教练机的三维数模有以下几点意义：1.提高设计效率：三维数模可以实时展示飞机各部件之间的关系，有助于设计师快速发现和解决问题。

2.优化飞行性能：通过三维数模分析飞机的气动特性，可对飞机设计进行优化，提高飞行性能。

3.方便维修与培训：三维数模可以为飞行员和维修人员提供直观的飞机结构信息，降低培训和维修的难度。

三、教10教练机三维数模的制作过程与方法教10教练机三维数模的制作过程主要包括以下几个步骤：1.收集数据：从设计图纸、实物模型等多个渠道获取教10教练机的结构、尺寸等信息。

2.建立三维模型：根据收集的数据，使用专业的三维建模软件建立教10教练机的三维模型。

3.模型优化：对模型进行简化、优化，以满足不同应用场景的需求。

4.渲染和动画：为模型添加材质、纹理，制作动画，使其更具真实感。

四、教10教练机三维数模的应用领域教10教练机的三维数模在以下领域取得了广泛应用：1.飞行训练：三维数模可以为飞行员提供直观的飞行场景，有助于提高飞行技能。

2.飞行模拟：三维数模可以模拟各种复杂的飞行环境，为飞行员提供实用的模拟训练。

全国大学生数学建模竞赛简介

全国大学生数学建模竞赛简介全国大学生数学建模竞赛是教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办、面向全国高校（包括高职高专院校）所有专业大学生的一项通讯竞赛，从1992年开始，每年一届，2013年的第22届竞赛有来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、印度和马来西亚的1326所院校、23339个队（其中本科组19892队、专科组3447队）、70000多名大学生报名参加（每队3名同学），是目前全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是也是世界上规模最大的数学建模竞赛；它是全国大学生规模最大的课外科技活动，能从一个侧面反映一个学校学生的综合能力。

竞赛2007年开始被列入教育部质量工程首批资助的学科竞赛之一。

一、什么是数学建模简而言之，数学建模就是用数学的方法解决实际问题。

当我们遇到一个实际问题时，首先对其进行分析，把其中的各种关系用数学的语言描述出来。

这种用数学的语言表达出来的问题形式就是数学模型。

一旦得到了数学模型，我们就将解决实际问题转化成了解决数学问题。

然后，就是选择合适的数学方法解决各个问题，最后将数学问题的结果作为实际问题的答案。

当然，这一结果与实际情况可能会有一些差距，所以我们就要根据实际情况对模型进行修改完善，重新求解，直至得到满意的结果。

实际上，数学建模对于同学们来讲并不是全新的事物，在中小学阶段做的数学应用题就是数学建模的简单形式。

现在，同学们学习了许多高等数学知识，所面临就是要用高等数学的知识和方法，并借助计算机来解决更接近实际的规模较大的问题。

所以参加数学建模活动是一个很有意义的科研实践机会，同时会让你认识到高等数学在实际生活中的巨大作用，提高学习数学的积极性。

二、数模竞赛的形式该竞赛每年9月(一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。

数模3讲网络最小接通时间

2006年数模集训第3讲（AMCM94-问题B ）计算机网络的最小接通时间这是一个来源于实际的计算机网络信息传输问题，原题简述如下：某公司各部门间每天都要通过网络进行信息传输（各部门都配备了计算机，信息文件表示），信息网络可以用图来表示，顶点m V V V ,,21表示计算机。

边n e e e ,,21表示两台计算机需要传输的文件，)(ex T 为文件ex 的传输时间，)(y V C 是计算机y V 可以同时传输的最大文件数目，例如)(y V C =1表示y V 每次只能与一台别的计算机进行文件传输，针对下列三种情形，该公司希望有一个最佳的传输方案，使网络的接通时间（即所有文件传输全部完成的时间）最短。

情形A ：公司有28个部门，每个部门配有一台计算机（分别用图25-1中的顶点表示），每天需传输27个文件（分别以图25-1中的边来表示）。

在该网络中，对所有的x,y ，满足)(ex T =1和)(y V C =1。

情形B ：假设网络结构未变，但各部门间所传递的文件类型和大小各不相同，传输文件所需时间如表25-1所示，每台计算机的传输容量)(y V C 仍为1。

图25-1 情形A 的网络表25-1 情形B的文件传输时间情形C：公司正考虑扩展，一方面，每天有更多的文件需要传输，另一方面，公司的计算机系统也正在升级，有些部门将得到更高级的计算机（可以同时与几个部门进行文件传输）。

这些变化分别显示于图25-2、表25-2、表25-3中。

图25-2 情形C的网络表25-2 情形C的文件传输时间表25-3 情形C的计算机传输容量(以下主要参考了中国科技大学获一等奖队的论文。

)§1 假设1、与文件传输时间相比，用于传输切换的时间（即一台计算机从一次传输转向另一次传输的时间）很小，可以忽略。

2、所有文件传输都是独立的，即不存在某个文件必须在另一个文件之前或之后传输的情形。

3、每一个文件都是以一个连续的整体被传输的。

第·十九届中国研究生数学建模

第·十九届中国研究生数学建模
摘要：
1.赛事背景与概述
2.赛事规模与创新性
3.获奖情况与荣誉
4.赛事意义与对未来研究生数学建模竞赛的展望
正文：
在中国光谷·华为杯的第十九届中国研究生数学建模竞赛中，来自全国465个研究生培养单位的63345名研究生参与了这次挑战。

这场赛事着重瞄准原始创新，聚焦基础研究，旨在激发研究生的学术创新能力和实践能力。

赛事规模再创历史新高，参赛队伍数量达到63345支，涵盖了全国范围，包括香港、澳门在内的32个省、市、区的488所高校和全国各研究院所在内的12211队。

本届竞赛的赛题在实践性、挑战性、创新性上更为突出，取材广泛，涉及学术前沿以及重大国防和经济问题。

经过激烈的角逐，本次竞赛共评选出一等奖196支，其中“数模之星”冠亚季军各1支、“数模之星”提名奖9支、华为一等专项奖4支。

二等奖2400支，三等奖3338支。

这次能获得“数模之星”亚军，是对参赛者辛勤努力的肯定和鼓励。

赛事的成功举办得到了广泛的关注和好评，参赛师生表示，通过参加研究生数学建模竞赛，不仅提高了自己的数学素养和实际操作能力，还对团队协作和沟通能力有了更好的锻炼。

这场赛事对于激发研究生的创新精神、培养解决
实际问题的人才具有重要意义。

三维数模设计规范

三维数模设计规范三维数模设计是指通过计算机软件将物体从实体到虚拟的过程，模拟出真实的三维物体。

在三维数模设计过程中，设计规范起到非常重要的作用，可以保证设计结果的准确性和可行性。

下面是一份三维数模设计规范，详细介绍了设计过程中需要遵守的原则和步骤。

一、设计目标和要求1.设计目标：明确设计的目标和要求，包括形状、尺寸、材质等方面的要求。

二、设计流程1.前期准备：确定设计的范围和要求，明确设计的目标和所需数据。

2.设计方案：制定合理的设计方案，确定设计的整体结构和主要构件。

3.三维建模：根据设计方案，使用合适的三维建模软件进行建模，包括创建基本几何体、布尔操作、曲面造型等。

4.材质和贴图：为建模对象选择合适的材质和贴图，使其更加真实和可视化。

5.渲染和光照：通过调整光线、材质和环境等参数，进行渲染和光照效果的模拟，使设计更加逼真。

6.优化和调整：对设计进行进一步的优化和调整，确保设计的准确性和可行性。

7.输出和交付：将设计结果输出为文件或可打印的模型，进行交付和使用。

三、设计原则1.精确性：设计过程中要保持精确性，确保设计结果的准确性和可行性。

2.合理性：设计要符合实际工程要求，遵循合理性原则，不偏离实际需要。

3.可行性：设计要考虑到制造工艺和生产条件，设计结果要能够实际制造和使用。

4.可视性：设计结果要能够被直观地理解和识别，需要考虑到视觉效果和清晰度。

5.可操作性：设计过程中要注重模型的可操作性，方便后续的修改和调整。

6.可维护性：设计结果要易于维护和修改，便于对设计进行后续的优化和更新。

四、设计规范1.建模规范：-使用合适的建模软件进行建模，熟悉软件的基本操作和建模工具；-根据实际需要使用正确的建模方法，如曲线建模、表面建模等；-模型要具备清晰的层次和结构，方便后续的操作和修改；-模型要具备合适的细节和精度，以便于后续的渲染和光照仿真。

2.材质和贴图规范：-选择合适的材质和贴图，使模型更加真实和可视化；-材质和贴图要与实际设计和要求相匹配，符合设计的目标和风格；-材质和贴图要适应不同的渲染和光照条件，保持一致的视觉效果。

数模国赛abcde题目类型简介

数模国赛abcde题目类型简介1. 前言在参加数学建模国际竞赛中，了解并熟悉不同类型的题目是非常重要的。

不同的题目类型需要不同的思维方式和解题技巧。

下面我们将对数模国赛中常见的abcde题目类型进行简要介绍。

2. A题A题通常是一个实际问题，需要建立数学模型来描述和解决。

在A题中，考察的是建模能力和问题分析能力。

学生需要通过观察和分析，找出问题的本质，然后运用数学知识进行建模和求解。

这类型的题目要求学生深入理解问题背后的原理和规律，并找出最优的解决方案。

3. B题B题通常是一个优化问题，需要通过构建合适的数学模型来寻求最优解。

在B题中，学生需要灵活运用数学工具和算法，对问题进行分析和求解。

这类型的题目要求学生具备较强的计算能力和创新思维，能够找到最优解决方案并进行有效的验证。

4. C题C题通常是一个研究性问题，需要对一个科学或工程问题进行深入的研究和探讨。

在C题中，学生需要具备较强的科研素养和创新能力，能够深入挖掘问题的本质，提出新颖的观点和方法，并进行有效的论证和验证。

这类型的题目对学生的科研能力和学术水平有较高的要求。

5. D题D题通常是一个拓展性问题，需要对已有的模型或方法进行进一步改进和拓展。

在D题中，学生需要具备较强的理论素养和创新能力，能够深入理解已有的模型和方法，找出其中的不足之处，并提出改进或拓展的方案。

这类型的题目对学生的数学功底和创新能力有较高的要求。

6. E题E题通常是一个设计性问题，需要学生根据实际需求，设计出合适的方案和模型。

在E题中，考察的是学生的设计能力和实践能力。

学生需要从实际出发，考虑问题的各个方面，结合数学知识和工程技术，设计出切实可行的解决方案，并进行有效的分析和评价。

7. 总结通过以上简要介绍，我们可以看到，数模国赛中abcde题目类型各有特点，对学生的能力要求也各有侧重。

在备战数模国赛的过程中，学生需要全面、深入地了解不同类型的题目，并针对性地进行训练和提高。