2021届高考数学核按钮【新高考广东版】5.4函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用

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2021版高考数学苏教版：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案

教课资料范本2021版高考数学苏教版： 4.5函数 y＝Asin （ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用含答案编辑： __________________时间： __________________第五节函数 y＝ Asin( ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[最新考纲 ] 1.认识函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象、认识参数 A、ω、φ对函数图象变化的影响 .2.会用三角函数解决一些简单实质问题、领会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型．1．y＝Asin(ωx＋φ)的相关观点y＝ Asin(ωx＋φ)(A ＞0、振幅周期频次相位初相ω＞0、x≥0)表示一个简2π 1 ω谐运动A T＝ωf＝T＝2πωx＋φφ2.用五点法画y＝ Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时、要找五个重点点、以下表所示：φπ－φπ－φ32π－φπ－φx－ω2ωω2ωωωx＋φ0ππ3ππ222y＝ Asin(ωx＋0A0－A0φ)3.由 y＝sin x 的图象变换获得y＝Asin(ωx＋φ)(此中 A ＞0、ω＞ 0)的图象[ 常用结论 ]1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减、上加下减”．φ2．由 y＝sin ωx到 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0、φ＞0)的变换：向左平移ω个单位长度而非φ个单位长度．一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×” )(1)利用图象变换作图时“先平移、后伸缩”与“先伸缩、后平移”中平移的单位长度一致．()ππ将＝的图象左移个单位后所得图象的分析式是y ＝ 3sin2x ＋(2) 4 .y 3sin 2x4()(3)y ＝ sinπ的图象是由 y ＝ sin x ＋ π 的图象向右平移 πx － 4 个单位获得的．4 2( )(4)函数 y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T 、那么函数图象的两个相邻对称中T心之间的距离为 2.()[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材改编1 π的振幅、频次和初相分别为．＝x －()1 y2sin 23A ． 2,4 π、πB ．2、 1、π 34π 31 ππC ． 2、 4π、－ 3D ． 2,4 π、－ 31 ω1 πC[由题意知 A ＝ 2、 f ＝T ＝2π ＝ 4π 、初相为－3 .]．为了获得函数y＝2sin 2x－π的图象、能够将函数 y＝2sin 2x 的图象 ()23πA ．向右平移6个单位长度πB．向右平移3个单位长度πC．向左平移6个单位长度πD．向左平移3个单位长度ππA [y＝2sin 2x－3＝2sin 2 x－6 .]3.如图、某地一天从6～14 时的温度变化曲线近似知足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b、则这段曲线的函数分析式为________．π3πy＝10sin 8 x＋4＋20、x∈[6,14][从图中能够看出、从6～14 时的是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋ b 的半个周期11因此 A＝2×(30－10)＝ 10、b＝2×(30＋10)＝20、1 2ππ又2×ω＝14－ 6、因此ω＝8 .π3π又8×10＋φ＝2π＋ 2kπ、 k∈ Z 、取φ＝4、π3π因此 y ＝10sin 8 x ＋ 4＋ 20、x ∈[6,14]． ]4．某地农业监测部门统计发现：该地域近几年的生猪收买价钱每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计状况：月份12 3 4x收购价格y(6 7 6 5元/斤)采用一个函数来近似描绘收买价钱( 元 /斤 ) 与相应月份之间的函数关系为________．πy ＝6－cos 2 x [ 设 y ＝Asin(ωx＋φ)＋ B(A ＞0、 ω＞0)、由题意得 A ＝1、B ＝ 6、＝、由于 T ＝ 2π、因此 ω＝π 、因此 y ＝sin πx ＋φ ＋6.由于当 x ＝ 1 时、 y ＝ T 4 ω 2 2ππ π6、因此 6＝ sin2 ＋φ ＋6、联合表中数据得 2 ＋φ＝2k π、k ∈Z 、可取 φ＝－ 2 、π π π因此 y ＝sin 2x －2 ＋ 6＝ 6－ cos 2 x.]考点 1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(1)y ＝ Asin(ωx＋φ) 的图象可用“五点法”作简图获得、可经过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数 y＝sin x的图象经过变换获得 y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条门路：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”．π已知函数 y＝ 2sin 2x＋3 .(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；π(2)[ 一题多解 ]说明 y＝2sin 2x＋3的图象可由y＝sin x 的图象经过如何的变换而获得．[ 解](1)描点画出图象、以下图：(2) 法一：把 y＝ sin x 的图象上全部的点向左平移π个单位长度、获得y＝3sin x＋π的图象；3π1再把 y＝sin x＋3的图象上全部点的横坐标缩短到本来的2倍(纵坐标不变)、π获得 y＝ sin 2x＋3的图象；最后把 y＝ sin 2x＋π上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 )、即3可获得 y＝2sin 2x＋π的图象．31法二：将 y＝sin x 的图象上全部点的横坐标缩短为本来的2倍(纵坐标不变 )、获得 y＝ sin 2x 的图象；π再将 y＝sin 2x 的图象向左平移6个单位长度、获得 y＝＝sin 2x＋π的图象；3π2 倍(横坐标不变 )、再将 y＝sin 2x＋的图象上全部点的纵坐标伸长为本来的3即获得 y＝2sinπ的图象．2x＋3三角函数图象变换中的 3 个注意点(1)变换前后、函数的名称要一致、若不一致、应先利用引诱公式转变为同名函数．(2)要弄清变换的方向、即变换的是哪个函数的图象、获得的是哪个函数的图9/27(3)要弄准变换量的大小、特别是平移变换中、函数 y ＝ Asin x 到 y ＝Asin(x ＋φ)的变换量是 |φ|个单位、而函数 y ＝Asin ωx 到 y ＝ Asin(ωx＋φ)时、变换量是φω个单位．π1.要获得函数 y ＝sin 5x － 4 的图象、只要将函数 y ＝cos 5x 的图象 ()A ．向左平移 3π个单位B ．向右平移 3π个单位20 203πD ．向右平移 3πC ．向左平移 4个单位4 个单位π ＝sin 5 x ＋ π 、B [ 函数 y ＝cos 5x ＝sin 5x ＋102π πy ＝sin 5x － 4 ＝sin 5 x －20 、设平移 φ个单位、ππ则 10＋φ＝－ 20、解得 φ＝－ 3π 、故把函数 y ＝ cos 5x 的图象向右平移 3π个单位、可得函数 y20 20＝sin 5x － π 的图象． ]42 ．若把函数 y ＝ sin ωx －π 的图象向左平移π6个单位长度、所获得的图象3与函数 y ＝cos ωx 的图象重合、则 ω的一个可能取值是 ()32 1A ． 2B.2C.3D.2ω π和函数 y ＝cos ωx 的图象重合、可得 ω π－ π ＝πA [y ＝sin ωx ＋ 3 π－3 6 26＋2k π、k ∈Z 、则 ω＝6k ＋ 2、 k ∈ Z.∴ 2 是 ω的一个可能值． ]．将函数f(x)＝ sin 4x ＋ π 的图象向左平移 φ(φ＞ 0)个单位后、获得的图象关33π于直线 x ＝12对称、则 φ的最小值为 ________．54x ＋π的图象向左平移 φφ＞ 0)个单位后、 24π [把函数 f(x)＝ sin3(可得 y ＝sin 错误 ! ＝sin 错误 ! 的图象、πππ π∵ 所得图象对于直线 x ＝ 12对称、 ∴ 4× 12＋4φ＋ 3 ＝ 2 ＋ k π(k ∈Z)、 ∴φ＝k π π4 －24(k ∈ Z)、5π∵φ＞ 0、 ∴φmin ＝ 24 .]考点 2由图象确立 y ＝Asin(ωx＋φ)的分析式确立y ＝ Asin(ωx＋φ)＋ B(A ＞0、ω＞0)的分析式的步骤M－m M＋ m(1)求 A、 B、确立函数的最大值M 和最小值 m、则 A＝2、B＝2.2π(2)求ω、确立函数的周期T、则ω＝T .(3)求φ、常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入 ( 此时要注意该点在上涨区间上仍是在降落区间上 )或把图象的最高点或最低点代入．② 五点法：确立φ值时、常常以找寻“五点法” 中的特别点作为打破口．详细以下：“第一点”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为ωx＋φ＝0；“第二π点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝2；“第三点” (即图象降落时与x 轴的交点 )3π为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝2；“第五点”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为ωx＋φ＝ 2π.(1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①所示、则f(x)＝________.图①图②(2)(20xx ·重庆六校联考 )函数f(x) ＝Asin(ωx＋φ) A，ω，φ是常数， A＞ 0，ω＞ 0，0＜φ＜π的部分图象如图②所示、则2f －π＝________.3π6(1)2sin 2x－6(2)－2[(1) 由题图可知、 A＝2、T＝ππ＝π、因此ω＝2、由五点作图法可知2×3＋φ＝2、π因此φ＝－6、π因此函数的分析式为y＝2sin 2x－6.(2)由函数的图象可得＝ 1 2π 7π π、可得ω＝2、则 2×π＋φ＝、×＝－A24ω 1233π＋2k π(∈Z)、又＜φ＜π、因此φ＝π、故f(x)＝2sin2x＋π、因此f－πk02333 6＝－2.]一般状况下、ω 的值是独一确立的、但φ的值是不确立的、它有无数个、假如求出的φ的值不在指定范围内、可2π以经过加减ω的整数倍达到目的．1.(20xx ·开封模拟 ) 假如存在正整数ω和实数φ使得函数 f(x)＝ sin2(ωx＋φ)的图象以下图 (图象经过点 (1,0))、那么ω的值为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 41 1B[ 由于 f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝2－2cos 2(ωx＋φ)、因此函数 f(x)的最小正周期 T 2ππT3T4＝2ω＝ω、由题图知2＜1、且4＞1、即3＜T＜2、又ω为正整数、因此ω 的值为 2、应选 B.]π2.(20xx 合·肥模拟 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ) A＞0，| φ| ＜2的图象以下图、则以下说法正确的选项是 ()π π2π πB[ 由题意得、 A ＝ 2、T ＝ 4× 3 － 12 ＝π、故 ω＝ π ＝2.当 x ＝ 12时获得最ππ π大值 2、因此 2＝ 2sin 2×12＋φ 、且 |φ|＜ 2 、因此 φ＝ 3 、因此函数的分析式为π7π 13π πf(x)＝ 2sin 2x ＋ 3 .当 x ∈ 12 、 12 时、 2x ＋ 3 ∈、又由正弦函数y ＝sin x 的图象与性质可知、函数y ＝ sin x 在上单一递加、故函数 f(x)在π上单一递加．当 x ∈时、 2x ＋ 3 ∈、由函数 y＝sin x 的图象与性质知此区间上不但一、应选B.]已知函数＝π＋θ | θ| ＜ π 的部分图象以下图、且1 f(x) f(0)＝－、则3.sin( x )22图中 m 的值为 ________．4 由于＝1ππ＝πx － π2、因此 θ＝－6 、因此 f(x)3[f(0)sin 2| |sin 6、π1π＝2kπ＋7π4因此 f(m)＝sin mπ－＝－、因此 mπ－66、 k∈Z 、因此 m＝ 2k＋、6234k∈ Z .又周期 T＝2、因此 0＜m＜2、因此 m＝3.]考点 3三角函数图象与性质的综合应用函数零点 (方程根 )问题已知对于 x 的方程 2sin2x－ 3sin2x ＋－＝在π，π上有两个不一样的实数根、则m 的取值范围是 ________．m 1 02(－2、－1)[方程 2sin2x－ 3sin 2x＋ m－1＝0 可转变为 m＝ 1－2sin2x＋ 3sin2x＝cos 2x＋ 3sin 2xππ＝ 2sin 2x＋62，π .设 2x＋π＝t、则 t∈7π，13π、666m713因此题目条件可转变为2＝sin t、t∈6π，6π有两个不一样的实数根．因此 y1＝m713的图象有两个不一样交点、如图：和 y2＝sin t、t∈π，π266m1由图象察看知、2的取值范围是－1，－2、故 m 的取值范围是 (－2、－ 1)．][ 母题研究 ] (变条件 )将本例中“有两个不一样的实数根”改为“有实根”、则m 的取值范围为 ________．[ －2,1) [由例题可知、m2∈、∴ －2≤m＜1、即 m 的取值范围为.]18/27三角函数的零点问题可转变为两个函数图象的交点问题．三角函数图象与性质的综合问题π已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋3π(ω＞0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 2 .(1)求函数 f(x)的分析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m＞ 0)个单位长度获得函数g(x)的图象恰巧经过π点－3，0 、求当 m 获得最小值时、 g(x)在上的单一递加区间．[ 解](1)函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为π2、π2π得函数 f(x)的最小正周期为 T＝2×2＝2ω、得ω＝ 1、π故函数 f(x)的分析式为 f(x)＝ 3sin2x＋3 .(2)将 f(x)的图象向左平移m(m＞ 0)个单位长度获得函数g(x)＝sin2(x＋m)＋3ππ3＝ 3sin的图象、依据 g(x)的图象恰巧经过点－3，0、可得3sin －2π＋2m＋π ＝、即sin2m－π＝、33030πkππ因此 2m－3＝kπ(k∈Z)、m＝2＋6 (k∈Z)、由于 m＞ 0、π因此当 k＝ 0 时、 m 获得最小值、且最小值为 6 .2π此时、 g(x)＝3sin 2x＋3.2π由于 x∈、因此2x＋3∈.2π当 2x＋3∈、即x∈时、g(x)单一递加、2π当 2x＋3∈、即x∈时、g(x)单一递加．综上、 g(x) 在区间上的单一递增区间是和.研究y＝ Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体、利用换元法和数形联合思想进行解题．1.(20xx ·津高考天 )已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 0、ω＞0、 |φ|＜π)是奇函数、将y＝ f(x)的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍(纵坐标不变 )、所得图象对应的函数为g(x)．若 g(x)的最小正周π3π期为 2π、且 g 4 ＝2、则 f8＝()A．－ 2B．－ 2C. 2D． 2C[∵ f(x)＝ Asin(ωx＋φ)为奇函数、∴φ＝ kπ、 k∈Z 、又 |φ|＜π、∴φ＝ 0、ωω2π∴f(x)＝Asin ωx、则 g(x)＝ Asin 2 x .由 g(x)的最小正周期 T＝2π、得2＝T＝1、ππ2∴ω＝2.又 g 4＝Asin 4＝2 A＝2、∴ A＝ 2、∴f(x)＝ 2sin 2x、3π3π∴ f 8＝2sin 4 ＝2、应选 C.]2．(20xx ·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝sin ωx＋π(ω＞ 0)、已知 f(x)在[0,2 π]有且仅5有 5 个零点．下述四个结论：①f(x)在 (0,2 π)有且仅有 3 个极大值点；② f(x)在 (0,2 π)有且仅有 2 个极小值点；π1229③f(x)在 0，10单一递加；④ω的取值范围是 5 ，10.此中全部正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④D [如图、依据题意知、 x A ≤2π＜x B 、依据图象可知函数 f(x) 在(0,2 π)有且仅有 3 个极大值点、因此 ①正确；但可能会有 3 个极小值点、因此 ② 错误；依据24π29π、得 1229∈ 0， π时、 A ≤ π＜ B 、有≤2π＜≤ω＜、因此 ④ 正确；当 xx2 x5ω 5ω5 10 10ππ ωπ π1229ωπ π 49π π 5 ＜ωx＋ 5 ＜ 10 ＋ 5 、由于 5 ≤ω＜ 10、因此 10＋ 5＜ 100＜ 2、因此函数f(x)在 0，π单一递加、因此 ③ 正确．10]课外修养提高 ⑤ 逻辑推理与数学运算 —— 三角函数中 ω确实定方法数学运算是解决数学识题的基本手段、经过运算可促使学生思想的发展；而逻辑推理是获得数学结论、建立数学系统的重要方式．运算和推理贯串于研究数学识题的一直、可交替使用、相辅相成．三角函数的周期 T 与 ω的关系【例 1】为了使函数 y ＝sin ωx (ω＞ 0)在区间 [0,1] 上起码出现 50 次最大值、则ω的最小值为 ()197199A ． 98π B. 2π C. 2πD．100π1197 B[ 由题意、起码出现 50 次最大值即起码需用 494个周期、因此4 T＝197 2π197·≤1、因此ω≥π .]4 ω22π[ 评析 ]解决此类问题的重点在于联合条件弄清周期T＝ω与所给区间的关系、进而成立不等关系．三角函数的单一性与ω的关系π2π【例 2】若f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间－2、3上是增函数、则ω的取值范围是 ________．π2πωπ2πω[法一：由于 x∈－2、3 (ω＞0)、, 因此ωx∈ －2、3、,πππ2π－2ω≥－2，2ππ由于 f(x)＝ 2sin ωx在－2、3上是增函数、 , 因此故 03ω≤ 2，ω＞ 0，3＜ω≤4.法二：画出函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞ 0)的图象以下图．π 2π要使 f(x)在－ 2 、 3 上是增函数、ππ－2ω ≤－ 2 ，需(ω＞ 0)、2ππ3≤2ω3即 0＜ω≤4.[ 评析 ] 依据正弦函数的单一递加区间、确立函数 f(x)的单一递加区间、依据函数 f(x)＝2sin ωx (ω＞0)在区间上单一递加、成立不等式、即可求 ω的取值范围．【例 3】ω＞ 2、若函数 f(x)图象的任何一条3 (1)已知 f(x)＝ sin ωx－cos ωx对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 ( π、 2π)、则 ω 的取值范围是________．(结果用区间表示 )(2)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx 在区间上的最小值为－ 2、则 ω的取值范围是 ________．(1)(2)[(1)f(x)＝ sin ωx－cos ωx＝ 2πsin ωx － 4 、π π3π k π令 ωx－ 4 ＝ 2 ＋k π(k ∈ Z)、解得 x ＝4ω ＋ ω (k ∈ Z)．当 k ＝0 时、 3π 3 4ω ≤π、即 4≤ω、3ππ7当 k ＝1 时、 4ω ＋ ω≥2π、即 ω≤8.3 7综上、 4≤ω≤ 8.(2)明显 ω≠0、分两种状况：ππ若 ω＞0、当 x ∈时、－ 3 ω≤ωx≤ 4 ω.π因函数 f(x) ＝2sin ωx 在区间上的最小值为－ 2、因此－ 3 ω≤－π32 、解得 ω≥ 2.若 ω＜0、当 x ∈ππ时、 4 ω≤ωx≤－ 3 ω、ππ因函数 f(x)＝ 2sin ωx在区间上的最小值为－2、因此4ω≤－2、解得ω≤－2.3综上所述、切合条件的实数ω≤ －2 或ω≥2.][ 评析 ]这种三角函数题除了需要娴熟掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单一性外、还一定了解一个周期里函数最值的变化、以及何时取到最值、函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】5.5 三角恒等变换

5.5 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝____________________. (2)cos(α±β)＝____________________. (3)tan(α±β)＝____________________.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝____________________. 3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sin α＝____________________； 1＋cos α＝____________________；1－cos α＝____________________． (2)降幂公式：sin 2α＝____________________；cos 2α＝____________________．(3)tan α±tan β＝______________________； tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝_________________，sin φ＝_______________，或tan φ＝________________，φ角所在象限与点(a ，b )所在象限_______________，φ角的终边经过点(a ，b )．自查自纠1．(1)sin αcos β±cos αsin β(2)cos αcos β∓sin αsin β (3)tan α±tan β1∓tan αtan β 2．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α (3)2tan α1－tan 2α 4．(1)⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22 2cos 2α2 2sin 2α2(2)1－cos2α2 1＋cos2α2(3)tan(α±β)(1∓tan αtan β)(4)a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 b a 相同1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝ ( ) A.－2－ 3 B.－2＋ 3 C.2－ 3 D.2＋3 解：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3.故选D. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＋cos α＝－33，则cos2α＝ ( )A.53B.－53C.223D.－223 解：因为sin α＋cos α＝－33，所以1＋sin2α＝13，所以sin2α＝－23.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＋cos α＝－33，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos2α＝1－49＝53.故选A.3．(陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2020届高三上学期10月月考)若函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，则f (x )的递增区间为 ( ) A.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤－5π6＋2k π，π6＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )解：f (x )＝sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x ＋32cos x ＋12sin x＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，解不等式－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为[－2π3＋2k π，π3＋2k π](k ∈Z )．故选B.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知0<α<2π，点P (1－tan π12，1＋tan π12)是角α终边上一点，则α的值是________．解：tan α＝1＋tan π121－tan π12＝tan π4＋tanπ121－tan π4tanπ12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝tan π3，因为0<α<2π，且点P 在第一象限，所以α为锐角，所以α的值是π3.故填π3.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3的值为________．解：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2(π3＋α)＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.故填78. 类型一非特殊角求值问题例1 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ ( )A.－5B.5C.－7D.7解：因为sin α＝－35，且α为第四象限角，则cos α＝45，tan α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7.故选D. (2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝________.解：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2×⎝⎛⎭⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.故填1.(3)已知cos 2α＝sin α，则cos2α＝( )A.5＋12B.3－52C.12D.5－2解：由cos 2α＝sin α＝1－sin 2α，可得sin α＝5－12或－1－52(舍去)，可得cos2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝5－2.故选D. 点拨解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．变式1 (1)已知x ∈R ，sin x －3cos x ＝5，则tan2x ＝ ( )A.43B.34C.－34D.－43解：因为sin x －3cos x ＝5，及sin 2x ＋cos 2x ＝1，得()5＋3cos x 2＋cos 2x ＝1，即5cos 2x ＋35cos x ＋2＝0，解得cos x ＝－255或cos x ＝－55，所以当cos x ＝－255时，sin x ＝－55，tan x ＝12，tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×121－14＝43；当cos x ＝－55时，sin x ＝255，tan x ＝－2，tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×（－2）1－4＝43.综上知，tan2x ＝43.另解：将sin x －3cos x ＝5两边平方后，左边分母作“1”的代换，进而求解．故选A.(2)3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝________. 解：3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝3（sin12°－3cos12°）2cos24°sin12°cos12°＝23sin （12°－60°）12sin48°＝－43故填－4 3.(3)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于 ( )A. 3B.33C.－33D.－3解：因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D.类型二给值求值问题例2 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.故填3. (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝__________．解：因为sin α＋cos β＝1 ①， cos α＋sin β＝0 ②，所以①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.故填－12.(3)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝( )A.－79B.79C.89D.－89解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－cos(2α－π6＋π2)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79.故选B. 点拨给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等．必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12＜35＜22，及余弦函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减可知45°＜α＜60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等．另外，注意下面的三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等．②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”⎝⎛⎭⎫如1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．其中角的变换居核心地位．变式2 (1)(河北邢台2020届高三上学期第二次月考)设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π10＝15，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π10＝( )A.－35B.35C.－2325D.2325解：设β＝α＋π10，则α＝β－π10，所以2α－3π10＝2β－π2.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π10＝15，所以cos β＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π2＝－cos2β＝1－2cos 2β＝1－2×125＝2325.故选D.(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( )A.15B.55C.33D.255解：因为2sin2α＝cos2α＋1，所以4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α>0，sin α>0，所以2sin α＝cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B .(3)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于 ( )A.－12B.12C.－13D.2327解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，sin2α＝1－cos 22α＝429.而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.故选D.类型三给值求角问题例3 已知A ，B 均为钝角，sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( )A.3π4B.5π4C.7π4D.7π6解：由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝1010. A ，B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B ＝－31010，cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22>0，那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π4.故选C. 点拨一般给值求角问题，其本质仍是给值求值问题，即通过求所求角的某一三角函数值确定角的大小，因此其关键除了求值外，还在于确定角的范围： (1)在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角．确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围(详见例2“点拨”)．(2)已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：①已知正切值，常选正切函数；②已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；③若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫π，3π2，常选正、余弦函数；④若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，常选正弦函数；⑤若角的范围是(0，π)，常选余弦函数．变式3 (2019·安徽六安一中高考模拟)已知0<β<α<π2，点P (1，43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝ ( )A.π12B.π6C.π4D.π3解：因为|OP |＝7，所以sin α＝437，cos α＝17.由已知，sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝3314，即sin αcos β－cos αsin β＝3314，所以sin(α－β)＝3314，因为0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，因为0<β<π2，所以角β＝π3.故选D.类型四三角恒等变换与三角函数性质的综合应用例4 (2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 点拨化简时要注意特殊角的三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负．变式4 已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋3cos2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos2x －1 ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得，f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )的图象与函数y ＝m ＋2的图象有两个交点，画出两函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象如图，由图知3≤m ＋2＜2，即3－2≤m <0.故实数m 的取值范围是[3－2，0)．1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sin α±cos α)2有并项的功能，cos2α＝cos 2α－sin 2α有升幂的功能，sin2α＝2sin αcos α有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等． 2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的． 3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4．熟知一些恒等变换的技巧 (1)公式的正用、逆用及变形用． (2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α等．(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．(2019·重庆一中高三期中)计算sin15°sin75°的结果是 ( ) A.12 B.14 C.6－24 D.6＋24解：因为sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝ 12sin30°＝14.故选B. 2．(传统经典题)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.故选C.3．(河南南阳第一中学2018届第二十次考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为 ( ) A.－79 B.79C.13D.－13解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.故选A.4.设a ＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b解：a ＝－sin40°sin37°＋cos40°cos37°＝cos(40°＋37°)＝cos77°＝sin13°， b ＝22(sin56°－cos56°) ＝22sin56°－22cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°， c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°，因为函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为单调递增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a >c >b.故选D.5．(2020届湖北百校高三10月联考)已知cos27°＝0.891，则2(cos72°＋cos18°)的近似值为( ) A.1.77 B.1.78 C.1.79 D.1.81 解：cos72°＋cos18°＝sin18°＋cos18°＝2sin(18°＋45°)＝2sin63°＝2cos27°，2(cos72°＋cos18°)≈2×0.891＝1.782，所以2(cos72°＋cos18°)的近似值为1.78.故选B.6．若α，β∈R 且α≠k π＋π2，β≠k π＋π2(k ∈Z )，则“α＋β＝2π3”是“(3tan α－1)(3tan β－1)＝4”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：(3tan α－1)(3tan β－1)＝4，即3tan αtan β－3tan α－3tan β＋1＝4，即3tan αtan β－tan α－tan β＝3，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，即tan(α＋β)＝－3，所以α＋β＝2π3＋k π，当k ＝0时，α＋β＝2π3，所以“α＋β＝2π3”是“(3tan α－1)(3tan β－1)＝4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018届福建闽侯高三开学考试)若2cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos2α的值为( )A.－78B.－158C.1D.158解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，cos α<0，因为2cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，所以2(cos 2α－sin 2α)＝22(sin α－cos α)．所以cos α＋sin α＝－24，①①式平方得1＋2sin αcos α＝18，则2sin αcos α＝－78，则(cos α－sin α)2＝1－2sinαcos α＝1＋78＝158，所以cos α－sin α＝－304，②联立①②，解得cos α＝－30＋28，所以cos2α＝2cos 2α－1＝158.故选D.8.【多选题】(山东省聊城市2020届高三上学期期中)已知3π≤θ≤4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ的可能值为 ( ) A.10π3 B.19π6 C.13π4 D.23π6解：因为3π≤θ≤4π，所以3π2≤θ2≤2π，所以cos θ2>0，sin θ2<0，所以1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32，所以θ2＋π4＝π6＋2k π或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋4k π或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ，因为3π≤θ≤4π，所以θ＝23π6或19π6.故选BD.9．(天津市和平区一中2020届高三上学期10月月考)已知0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝55.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________；sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．解：因为0<α<π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，所以tan α＝13，所以sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝3＋4310.故填2；3＋4310.10．若对任意x ∈R ，不等式sin2x ＋2sin 2x －m <0恒成立，则m 的取值范围是________．解：不等式sin2x ＋2sin 2x －m <0，即m >sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的最大值为2＋1，所以m >2＋1.故填()2＋1，＋∞.11．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12．(2018·合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tan α－1tan α.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，则由(1)知cos2α＝－32，所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.另解：由(1)知2α＋π3＝7π6，所以α＝5π12，所以tan α－1tan α＝tan 2α－1tan α＝－2tan2α＝23.13.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos(x ＋3π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)已知x 1，x 2是函数y ＝f (x )－12的两个零点，求|x 1－x 2|的最小值．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝sin 5π6cos2x －cos 5π6sin2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos(x＋π－π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由y ＝f (x )－12＝0得f (x )＝12，因为x 1，x 2是函数y ＝f (x )－12的两个零点，则由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12得2x 1－π6＝2k 1π＋π6，k 1∈Z ， ①2x 2－π6＝2k 2π＋5π6，k 2∈Z ， ②②－①得，2(x 2－x 1)＝2(k 2－k 1)π＋2π3，k 1，k 2∈Z ，即(x 2－x 1)＝(k 2－k 1)π＋π3，k 1，k 2∈Z ，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（k 2－k 1）π＋π3，k 1，k 2∈Z ，则当k 1＝k 2时，||x 1－x 2取得最小值，且最小值为π3. 附加题如图，正方形OABC 的边长为1，以B 为圆心，BA 为半径在正方形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OC ，垂足分别为M ，N ，求四边形OMPN 面积的最大值．解：由题意，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点P 位于第三象限，设P (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则四边形OMPN 的面积S ＝|PM |·|PN |＝(1＋cos α)(1＋sin α)＝cos α＋sinα＋cos αsin α＋1，令cos α＋sin α＝t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－2，－1)，则cos αsin α＝t 2－12.所以S ＝g (t )＝t 2－12＋t ＋1＝（t ＋1）22∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，()2－122.所以四边形OMPN 面积的最大值为()2－122.。

2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件

π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1

2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．

高三数学正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习试题

第4讲正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【2021年高考会这样考】1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．根底梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下： (1)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝xk(其中 ωxk ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk ＋φ＝kπ，k ∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M ，最小值为m ，那么A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.简谐运动f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的局部图象如下图，那么该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x(x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，那么g(x)的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如下图，那么ω＝________.考向一作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．(1)“五点法〞作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．【训练1】函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？考向二求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【例2】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的局部图象如下图，那么f(0)的值是________．解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一局部如下图．(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．考向三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f(x)的值域．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的间隔为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．标准解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否那么容易产生错误．(2)主要题型：①求三角函数的值域(或者最值)；②根据三角函数的值域(或者最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或者最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝b a2＋b2，将原式化为y ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或者最值)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或者最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a(t2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例如】►(此题满分是12分)函数f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(4分) 所以f(x)的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)获得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)获得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或者转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？假设存在，求出对应的a 值？假设不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a24＋58a －12，当0≤x≤π2时，0≤cos x≤1，令t ＝cos x ，那么0≤t≤1，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a24＋58a －12，0≤t≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a≤2时，那么当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．ymax ＝a24＋58a －12＝1，解得a ＝32或者a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，那么当t ＝0，即cos x ＝0时， ymax ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，那么当t ＝1，即cos x ＝1时， ymax ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021届高三新高考数学人教A版一轮复习：第四章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

12
6
12π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为 f(x)＝5sin2x－π6.
(2)由(1)知 f(x)＝5sin2x－π6，得 g(x)＝5sin2x＋2θ－π6. 因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z). 令 2x＋2θ－6π＝kπ，k∈Z，解得 x＝k2π＋1π2－θ(k∈Z). 由于函数 y＝g(x)的图象关于点51π2，0成中心对称，所以令k2π＋1π2－θ＝51π2(k∈Z)，
解析由题图可得 A＝2 3，T2＝6－(－2)＝8， ∴T＝2ωπ＝16，∴ω＝π8，则 f(x)＝2 3sinπ8x＋φ. ∵函数 f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增，
∴34π＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－34π＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<π，则 φ＝－34π，故 g(x)＝cos－3πx＋π8. 答案 g(x)＝cos－3πx＋π8
个单位长度.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) 将函数
y ＝ 3sin
2x
的
图
象
左
移
π 4
个
单
位
长
度
后
所
得
图
象
的
解
析
式
是
y＝
3sin2x＋4π.(
)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一
致.( )
(3)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间
所有的点向左平移π6个单位长度.

2021年高考数学考点19函数y=Asin(ωxφ)的图像必刷题理

考点19 函数y=Asin〔ωx+φ〕的图像1．函数f〔x〕=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数，其中，那么函数g〔x〕=cos〔2x-φ〕的图象〔〕A．关于点对称 B．关于轴对称C．可由函数f〔x〕的图象向右平移个单位得到 D．可由函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到【答案】A2．设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，那么的最小值是〔〕A． B． C． D． 3【答案】D【解析】∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3应选：D．3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象〔〕A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】,故应向右平移个单位长度.应选B.4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点〔〕A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】B5．将函数y=3sin〔2x+〕的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点〔，0〕中心对称A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B6．把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为〔〕A． B．C． D．【答案】B【解析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin〔2x+〕，即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到y=cosx的图象；应选：B．7．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，那么a的值可以为〔〕A． B． C． D．【答案】C8．如图，己知函数的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；那么以下是g(x)的单调递增区间的为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】由图象可知，因为的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，9．函数，的局部图象如下图，以下说法正确的选项是〔〕A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．假设方程在上有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是【答案】D10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，那么的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向右平移哥单位后，得到的图象，根据所得图象与函数的图象重合，可得，令时，，应选B.11．函数的最小正周期为，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数的图象〔〕A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】C12．函数〔其中〕的图象如下图，为了得到的图象，那么只要将的图象〔〕A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C13．函数其中〔〕的图象如下图，为了得到的图象，那么只需将的图象〔〕A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平衡个长度单位【答案】A14．函数的周期为，假设将其图象沿x轴向右平移a个单位，所得图象关于原点对称，那么实数a的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】15．为了得函数的图象，只需把函数的图象〔〕A．向左平移个单位 B．向左平移单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象。

新课改地区2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形正弦型函数y=Asinωxφ及三角函数模型的简单应用

4.5 正弦型函数y=Asin（ωx+φ）及三角函数模型的简单应用核心考点·精准研析考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换1.若函数f (x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是( )A. B. C. D.3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________.4.已知函数f(x)=4cos x·sin +a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)画出f(x)在[0,π]上的图象.【解析】1.选A.f (x)=cos=sin=sin=sin 2,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1=sin 2x+cos 2x= sin,向左平移φ个单位可得y= sin,因为y= sin是偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是.3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin=sin,把f(x)的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin=sin,根据题意可得y=sin和y=sin的图象重合,故+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cos xsin+a=4cos x·+a=sin 2x+2cos 2x+a=sin 2x+cos 2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期T==π.(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:x 0 ππ2π2x+1 2 0 -2 0 1f(x)=2sin画图如图所示:1.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C 检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图象.考点二由图象求解析式【典例】1.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为 ( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为______.【解题导思】序号联想解题看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求1φ.2 由图象的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.【解析】1.选C.T=2=π=,所以ω=2,所以f(x)=sin (2x+φ).由五点作图法知A是第二个点,得2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,f(x)=sin.由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为是一个对称中心,=-=,所以全部对称中心为(k∈Z),等价于(k∈Z).2.由题图知A=,=-=,所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又对应五点法作图中的第三个点,所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sinB.f(x)=sinC.f(x)=sinD.f(x)=sin【解析】选D.由图象可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.【解析】由图象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).答案:x=+(k∈Z)考点三函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用命题精解读考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图象与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与三角函数图象与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等. 新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.学霸好方法三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.三角函数模型的应用【典例】如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.【解析】以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,因为大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒旋转一周,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t),又周期T=12,所以θ=·2π=t,f(t)=3+2sin=3-2cos t(t≥0),当t=40时,f(t)=3-2cos=4(米).答案:4方程根(函数零点)问题【典例】已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+(2sin2ωx-1)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k ∈Z),整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象; 所以g(x)=2sin 2x+1.令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.方程的根与函数图象的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.综合应用问题【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在上单调递增④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】选D.①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.③函数f(x)=sin的增区间为-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),<x<.取k=0,当ω=时,单调递增区间为-π<x<π;当ω=时,单调递增区间为-π<x<π,综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),所以x=,因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.所以当k=5时,x=≤2π,当k=6时,x=>2π,解得≤ω<,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.本题考查哪些知识?提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃.【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos,所以当x=10时,f(10)=23+5cos=23-5×=20.5.答案:20.52.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图象上相邻的两个最高点之间的距离为________.【解析】由题意知,函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.答案:π3.已知关于x的方程2sin 2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.【解析】方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:由图象知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).答案:(-2,-1)1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值等于( )A. B.2+2C.+2D.-2【解析】选A.由图象知A=2,φ=0,T=8,所以=8,即ω=,所以f(x)=2sin x.因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin+2sin+2sin +2sin π+2sin+2sin=.2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间单调递减,故②错误.当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点:0,π;当-π≤x<0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有一个零点:-π,故f(x)在[-π,π]有3个零点:-π,0,π,故③错误.当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确.【秒杀绝招】画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,由图象可得①④正确.。

专题23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习

专题23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【考点总结】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 【常用结论】1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【易错总结】(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．例1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D.例2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得．答案：y ＝sin 12x例3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：32例4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6【考点解析】【考点】一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【变式】1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.【变式】2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D.【变式】3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52【考点】二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例1、 (1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B. (2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式】1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 【变式】2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A. 【考点】三、三角函数图象与性质的综合应用角度一三角函数图象与性质的综合问题例1、(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0，又x ＝11π12在函数f (x )的单调递增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的单调递增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质．角度二函数零点(方程根)问题例2、(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2【解析】由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根．画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根．令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A. 【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．【变式】1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象．因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C.【变式】2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示，由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22，故0≤m <2，故选A.。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】第五章三角函数与解三角形单元测试卷

第五章三角函数与解三角形单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(吉林省吉林市2020届高三上一调)函数y＝3sin(4x ＋π3)的最小正周期是 ( )A.2πB.π2C.π3D.π解：因为ω＝4，所以T ＝2π|ω|＝2π|4|＝π2.故选B.2．已知角θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2的终边在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由题意，角θ是第三象限角，所以－π＋2k π＜θ＜－π2＋2k π，k ∈Z ，则－π2＋k π＜θ2＜－π4＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，θ2是第四象限角；当k 为奇数时，θ2是第二象限角，则由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，知θ2是第四象限角．故选D.3．(山东省济南市章丘区2020届高三上期中)若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝23，则 ( )A.tan α＝313B.tan α＝337C.tan2α＝2337D.tan2α＝7323解：因为tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝23－31＋23×3＝37，所以tan2α＝2371－349＝7323，即选项A ，B ，C 错误，选项D 正确．故选D.4．(2019·山西高考模拟)函数f (x )＝|sin x |＋cos2x 的值域为 ( )A.⎣⎡⎦⎤1，98B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.[0，1] D.⎣⎡⎦⎤0，98 解：f (x )＝|sin x |＋1－2sin 2x ＝－2|sin x |2＋|sin x |＋1＝－2⎝⎛⎭⎫||sin x －142＋98∈⎣⎡⎦⎤0，98.故选D. 5．(2019年天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝0，所以f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin 12ωx ，所以T ＝2π12ω＝2π，所以ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin2x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2.故选C. 6．(2019·黑龙江高考模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －π3)(ω>0，x ∈[0，π])的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1，则ω的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤13，53B.⎣⎡⎦⎤56，1 C.⎣⎡⎦⎤56，53 D.(0，＋∞)解：由于0≤x ≤π，所以－π3≤ωx －π3≤ωπ－π3，由于f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以π2≤ωπ－π3≤4π3，解得56≤ω≤53.故选C.7．(浙江省五校2019－2020学年高三上联考)函数f (x )＝sin2x ＋2cos x (0≤x ≤π)，则f (x )( )A.在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增B.在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减C.在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上单调递减D.在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递增解：由f ′(x )＝2cos2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x－1)＞0⇒(2sin x －1)(sin x ＋1)＜0，故－1＜sin x ＜12⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π上单调递增，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6上单调递减．故选C. 8．(2018·广州调研改编)如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 处和D处，已知CD ＝6 000m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是( )A.2 00042mB.1 00042mC.3 0002mD.2 0006m解：在△ACD 中，因为∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，所以∠CAD ＝60°，由正弦定理可得AD sin45°＝CD sin60°，所以AD ＝6 000×2232＝2 0006(m)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin30°＝CDsin135°，所以BD ＝12×6 00022＝3 0002(m)，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2＝BD 2＋AD 2，所以AB ＝（3 0002）2＋（2 0006）2＝ 1 00042(m)．故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．若△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83.则下列结论正确的是 ( )A.B ＝60°B.B ＝60°或120°C.S △ABC ＝32 3D.S △ABC ＝163或32 3解：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，则B ＝60°或120°，当A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°时，此时△ABC 是直角三角形；当A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°时，此时△ABC 不是直角三角形，所以S △ABC ＝163或323.故选BD.10．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论，其中所有正确的结论是( ) A.函数f (x )是最小正周期为π的奇函数B.函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3 C.函数f (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0D.函数f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，A错；f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，B 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sin π＝0，C 正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，D 正确．综上知正确结论是BCD.故选BCD.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A.sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6B.△ABC 是钝角三角形C.△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877解：因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x ＞0)，解得：a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（4x ）2＋（5x ）2－（6x ）22×4x ×5x ＝18＞0，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝（6x ）2＋（5x ）2－（4x ）22×6x ×5x＝34，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos2A ＝cos C ，由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：2A ∈(0，π)，C ∈(0，π2)，所以2A ＝C ，所以C 正确；由正弦定理得：2R ＝csin C，又sin C ＝1－cos 2C＝378，所以2R ＝6378，解得：R ＝877，所以D 正确．故选ACD.12．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论，其中所有正确的结论是( ) A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增C.f (x )在[－π，π]有4个零点D.f (x )的最大值为2解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故A 正确；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故B 不正确；f (x )是偶函数，且0≤x ≤π时，f (x )＝2sin x ，故f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故C 不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故D 正确．综上，正确的结论是AD.故选AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin α＝13，则sin(2 021π－α)＝________. 解：sin(2 021π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13.故填13. 14．(云南省曲靖一中2020届质监)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－12x 上，则cos 2α－sin2α的值为________．解：因为在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－12x 上，所以tan α＝－12，则cos 2α－sin2α＝cos 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2α＋1＝85.故填85. 15．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝________．解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－435，所以32sin α＋12cos α＝－45.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.故填45.16．(2019年浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上，若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解：如图，在△ABD 中，由正弦定理有：ABsin ∠ADB＝BDsin ∠BAC，而AB ＝4，∠ADB ＝3π4，在Rt △ABC中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，sin ∠BAC ＝BC AC ＝35，cos ∠BAC ＝AB AC ＝45，所以BD ＝1225.cos ∠ABD ＝cos(∠BDC －∠BAC )＝cos π4cos ∠BAC ＋sin π4sin ∠BAC ＝7210.故填1225；7210.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2019·黑龙江高三月考)已知函数f (x )＝4tan x sin(π2＋x )cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－2. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)因为f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－2.所以x ≠k π＋π2，k ∈Z ，函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ， f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－2 ＝22(sin x cos x ＋sin 2x )－2 ＝2(sin2x －cos2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，即k π－π8≤x≤k π＋3π8，k ∈Z ，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z ，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，即k π＋3π8≤x≤k π＋7π8，k ∈Z ，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋7π8，k ∈Z .记A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z ， C ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋7π8，k ∈Z . 则A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π4，A ∩C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π8. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π8上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π4上单调递增． 18．(12分)(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sinC. (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a. 又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a.由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14.(2)由(1)得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 19．(12分)(2020届山东枣庄期末调研)在①3(b cos C －a )＝c sin B ；②2a ＋c ＝2b cos C ；③b sin A ＝3a sin A ＋C 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，b ＝23，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选①，由正弦定理，得3(sin B cos C －sin A )＝sin C sinB.由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，得－3cos B sin C ＝sin C sinB.由0＜C ＜π，得sin C ≠0.所以－3cos B ＝sinB.又cos B ≠0(若cos B ＝0，则sin B ＝0，sin 2B ＋cos 2B ＝0，这与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾)，所以tan B ＝－3. 又0＜B ＜π，得B ＝2π3.由余弦定理及b ＝23，得(23)2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝(a ＋c )2－ac.将a ＋c ＝4代入，解得ac ＝4.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝3.若选②，由2a ＋c ＝2b cos C 及正弦定理，得 2sin A ＋sin C ＝2sin B cosC. 又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以有2cos B sin C ＋sin C ＝0.因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0. 从而有cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，所以B ＝2π3. 由余弦定理及b ＝23，得(23)2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝(a ＋c )2－ac.将a ＋c ＝4代入，解得ac＝4.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝3.若选③，由正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A sin π－B2.由0＜A ＜π，得sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B2.由二倍角公式，得2sin B 2cos B 2＝3cos B2.由0＜B 2＜π2，得cos B 2≠0，所以sin B 2＝32.所以B 2＝π3，即B ＝2π3.由余弦定理及b ＝23，得(23)2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝(a ＋c )2－ac.将a ＋c ＝4代入，解得ac ＝4.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝3.20．(12分)(2019·安徽合肥一中高考模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin B －sin C ＝sin(A －C )．(1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．解：(1)因为sin B －sin C ＝sin(A －C )，所以sin(A ＋C )－sin C ＝sin(A －C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C －sin C ＝sin A cos C －cos A sin C ，C 为△ABC 内角，则sin C ＞0，所以cos A＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由(1)得C ＝2π3－B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以3sinπ3＝b sin B ＝c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b ＝23sin B ，c ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b ＋2c ＝23sin B ＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝23(2sin B ＋3cos B )＝221sin(B ＋φ)，其中tan φ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，存在B 使得B ＋φ＝π2，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.21．(12分)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝sin2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是[－π4＋k π，π4＋k π](k ∈Z )；单调递减区间是[π4＋k π，3π4＋k π](k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.22．(12分)(上海市普陀区2019届高三二模)如图所示，某城市有一条从正西方AO 通过市中心O 后向东北OB 的公路，现要修一条地铁L ，在OA ，OB 上各设一站A ，B ，地铁在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，设地铁在AB 部分的总长度为y km .(1)按下列要求建立关系式：(Ⅰ)设∠OAB ＝α，将y 表示成α的函数； (Ⅱ)设OA ＝m ，OB ＝n ，用m ，n 表示y.(2)把A ，B 两站分别设在公路上离中心O 多远处，才能使AB 最短？并求出最短距离．解：(1)(Ⅰ)过O 作OH ⊥AB 于H ，由题意得，∠AOH ＝π2－α，∠AOB ＝3π4，则∠BOH ＝3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝π4＋α，且0<α<π4，tan ∠AOH ＝AH10，即AH ＝10tan ∠AOH ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝10cos αsin α，tan ∠BOH ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝BH10，即BH ＝10tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.所以AB ＝BH ＋AH ＝10tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋10cos αsin α＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αsin α＋sin α＋cos αcos α－sin α ＝10sin αcos α－sin 2α＝20sin2α＋cos2α－1＝202sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1.所以y ＝202sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(Ⅱ)由S △AOB ＝12·AB ·10＝12mn sin 3π4得，AB ＝y ＝2mn20.(2)解法一：［选择(1)(Ⅰ)的函数］当α＝π8时，|AB |min ＝20(2＋1)，此时OA ＝OB ＝10sin π8，而cos π4＝1－2sin 2π8＝22，则sin π8＝2－22，所以OA ＝OB ＝104＋22，此时AB 最短，且最短距离为20(2＋1)km ．解法二：［选择(1)(Ⅱ)中的关系式］因为∠AOB ＝3π4，由余弦定理得，AB 2＝m 2＋n 2－2mn cos 3π4＝m 2＋n 2＋2mn ≥()2＋2mn ，所以AB 2≥20()2＋1AB ，即AB ≥20()2＋1(当且仅当m ＝n ＝104＋22时取等号)．所以当OA＝OB ＝104＋22时，AB 最短，且最短距离为20(2＋1)．。

2021年广东省新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

2021年广东省新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.结合具体实例，了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示向左平移φω个单位长度．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z )．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二教材改编2．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象向平移个单位长度．答案右 π63．[P56T3]y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为．答案 2，14π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．题组三易错自纠5．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度． 6．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为．答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 7．(2018·长沙模拟)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是．答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8．(2018·沈阳质检)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则。

2021届新课改版高考一轮复习精品课件第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
新课程标准
考向预测
1．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意
1．“五点法”作图及
义；能借助计算器或计算机画出y
图象变换
＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数命题 2．求函数y＝Asin(ωx
A 、 ω 、 φ 对函数图象变化的影角度＋φ)的解析式
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3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
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(1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|ωφ|(ω>0) 个单位长度． (2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自变量 x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
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5．将函数 y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象
对应的函数为________．
解析：函数 y＝2sin2x＋π6的周期为 π，将函数 y＝2sin2x＋π6的
图
象
向
右
平
移
1 4
个
周
期
即
π 4
个
单
位
长
度
，
所
得
函
数
为
y＝
2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3．
答案：y＝2sin2x－π3
返回
[解析] (1)函数 f(x)＝cos2x－π6＝sinπ2＋2x－π6＝sin2x＋π3，
返回
3．(必修 4P62 例 4 改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月

2021年高考数学一轮复习 5-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用检测试题(2)文

年高考数学一轮复习 5-4函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及应用检测试题（2）文一、选择题1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析：由图像的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案：A2．将函数y ＝cos2x 的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图像，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 解析：平移后的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1C.53D ．2解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ4.又∵函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，∴ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为2.答案：D4．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图像如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3解析：由图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.答案：C5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 解析：由函数的图像可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π，则ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.答案：D6．[xx·福建]将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：∵f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴sin θ＝32. 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由题知g (x )＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π3，又图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32. 当φ＝5π6时满足g (0)＝32，故选B.答案：B 二、填空题7．若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，则ω的最小值为__________．解析：依题意，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω＞0)，它的图像与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝74.答案：748．给出下列六种图像变换方法：(1)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图像向右平移π3个单位；(4)图像向左平移π3个单位；(5)图像向右平移2π3个单位；(6)图像向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→4y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→2y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→2y ＝sin 12x ――→6y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.答案：(4)(2)(或((2)(6)))9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图像关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为__________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位后变为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后，得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4－2φ，其图像关于直线x ＝π4对称，则4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，φ的最小正值为38π.答案：38π10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，且函数f (x )的最小正周期为2π.现将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再把函数图像向右平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )＝__________.解析：由函数f (x )的最小正周期为2π且ω＞0，可得2π＝2πω，∴ω＝1.又函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，则A ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1， ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3三、解答题11．[xx·石家庄质检一]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4.(1)求函数f (x )的最大值；(2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值．解析：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. ∴f (x )的最大值为2.(2)令4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π16(k ∈Z )．∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴， ∴m ＝k π4＋π16(k ∈Z )．答案：(1)2；(2)m ＝k π4＋π16(k ∈Z )． 12．[xx·吉林五校联考二]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2. (1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．解析：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|＜π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋m ＋π4.g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.答案：(1)π4 (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 π12 创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．[xx·浙江]把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )A BC D解析：把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图像；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图像；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图像；结合各选项中的图像可知其图像为选项A 中的图像，故应选A.答案：A2．[xx·信阳调研]先将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图像向右平移π6个单位，则所得函数图像的解析式为( )A ．f (x )＝2sin xB ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin4xD ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，再向右平移π6个单位，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 答案：B3．[xx·潍坊三县检测]已知简谐振动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的振幅为32，图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，则该简谐振动的频率与初相分别为( )A.16，π6B.18，π6C.π4，π6D.16，π3解析：由题意知A ＝32，∵图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋32＝5，解得T ＝8，∴f ＝18，ω＝π4，由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫0，34且|φ|＜π2，得φ＝π6，故选B.答案：B4．[xx·蚌埠质检]以下关于函数f (x )＝sin2x －cos2x 的命题，正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π上单调递增 B ．直线x ＝π8是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心 D ．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π8个单位，可得到y ＝2sin2x 的图像解析：f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，将f (x )的图像向左平移π8个单位为y ＝2sin2x ，故选D.答案：D5．[xx·眉山诊断]若把函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度，使点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，则m 的最小值是( )A.π2 B.π6C.π3D ．π解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m ＋1，∵⎝⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，∴π3＋π3－m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m 的最小值是π6. 答案：B6．[xx·西安调研]已知平面向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin θ，－cos θ)，其中0＜θ＜π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求θ的值；(2)将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)a·b ＝cos θcos x ＋sin θsin x ＝cos(θ－x )，b·c ＝cos x sin θ－sin x cos θ＝sin(θ－x )，∴f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x ＝cos(θ－x )cos x ＋sin(θ－x )sin x ＝cos(θ－x －x ) ＝cos(2x －θ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1，而0＜θ＜π，∴θ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12x －π3，即g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π3≤x －π3≤π6， ∴12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.。

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解20---函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用【考纲解读与核心素养】1.了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：（1）“五点法”作图；（2）函数图象的变换；（3）三角函数模型的应用问题.（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查4.备考重点：（1）掌握函数图象的变换；（2）掌握三角函数模型的应用.【知识清单】知识点1．求三角函数解析式（1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象;+网】把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象. 伸缩变换:把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图象;把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图象.2. 由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到.知识点3．函数()sin y A x ωϕ=+的图象与性质的综合应用（1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【典例剖析】高频考点一求三角函数解析式【典例1】（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（）A ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+故选：A【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b =__________.【答案】4π38π【解析】根据函数的图象可得134884T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，所以2ω=，又因为18f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈，所以24k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以4πϕ=. 所以()sin(2)4f x x π=+，将()f x 的图象沿x 轴向右移b 个长度单位得函数()sin 2sin 2244y x b x b ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，因为函数sin 224y x b π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以242b k πππ-=+，k Z ∈，所以28k b ππ=--，k Z ∈，因为02b π<<，所以1k =-，38b π=. 故答案为：4π；38π.【规律方法】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ．(1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2； “第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+.【变式探究】1.（2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式()f x =________.【答案】2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】因为函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，所以22ππωω=∴=函数的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于原点对称，所以22()()33k k Z k k Z ππϕπϕπ-+=∈∴=+∈ 203πϕπϕ<<∴=因此()f x =2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭ 故答案为：2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【总结提升】根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定．高频考点二三角函数图象的变换【典例3】（2018·浙江镇海中学）函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．【答案】6π- 3π【解析】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈ 即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度．故答案为：6π-；3π 【典例4】（2020·浙江高一课时练习）已知函数()sin (,0)4f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则将()y f x =的图象向________平移________个单位长度可得到函数()cos g x x ω=的图象．【答案】左 8π【解析】由于T π=，则2ω=，因此()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．又因为()cos 2sin 22g x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，假设将()f x 的图象平移ϕ个单位，则()sin 2()sin 2244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故242ππϕ+=，得8πϕ=，所以只需将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度就得到函数()cos g x x ω=的图象．故答案为：左，8π.【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f (x )的图象与f (－x )的图象关于y 轴对称；－f (x )的图象与f (x )的图象关于x 轴对称；－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称；f (|x |)的图象关于y 轴对称．【变式探究】1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变 C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC 【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C正确．故选：AC2.（2019·江苏高三开学考试）将函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π4个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________．【答案】15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数5sin sin 4612y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.因此变换后所得图象对应的函数解析式为15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x 而言的，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言的．2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x 而言的，即只是自变量x 的系数发生改变，变为原来的1ω倍，而不涉及φ．3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|φω|个单位长度，这是因为由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|φω|个单位长度，即x →x ＋φω，ωx →ωx ＋φ．高频考点三三角函数模型的应用【典例5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间()024,t t ≤≤单位小时呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如下表：0 3 6 9 12 15 18 21 241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①()sin y A t ωφ=+， ②()cos b y A t ωφ=++，③sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型， 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全. 【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型，2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+∴==== 2126T ππωω==∴=0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭0.9 1.532.462.40.93 1.5612102y cos t cos cos sin πϕπϕπϕϕπϕπϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∴=--<<∴=-又函数的图象过点（，）又 0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 1.05y ≥，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1sin 62t π⎛⎫∴≥- ⎪⎝⎭()722666k t k k Z πππππ∴-≤≤+∈ 121127k t k ∴-≤≤+ 又518t ≤≤571118t t ≤≤≤≤或∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．【变式探究】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为元．【答案】6000．【解析】作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.高频考点四函数的图象与性质的综合应用【典例6】（2020·浙江高三新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题练习）【多选题】先将函数()cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列说法中正确的是（）．A ．()f x 的周期是πB ．12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()g x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AD 【解析】由题意得()f x 的最小正周期22T ππ==，A 正确； cos2112f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭为偶函数，B 错误；将()f x 的图象上所有的点向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后，得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，得212k x ππ=+，k Z ∈，令1k =，得712x π=，则()g x 的图象关于点7,212π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误；若x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2[,]662x πππ-∈-，则()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确．故选：AD.【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【典例8】（2017·山东高考真题（理））设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．2.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．【变式探究】1.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛⎫< ⎪⎝>⎭，2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（）. A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称 B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为2 C ．若3265f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45- D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()22g x x =的图像向右平移6π个单位【答案】BD【解析】由题知：函数()f x 2，所以2A =因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈. 所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ.即()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A ，0512f ππ==⎫ ⎪⎝⎭≠⎛A 错误. 对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ266x时，()f x 取得最小值2-，故B 正确.对选项C ，sin(2)2625f ππααα⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，得到3cos 25α=. 因为()()4422223sin cos sin cos sin cos cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BD2. （2020·全国高三（文））已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++．（Ⅰ）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．【答案】（Ⅰ）2[,]36k k ππππ--,k Z ∈;（Ⅱ）2ϕπ=. 【解析】（Ⅰ）由题意()11cos2442f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-．所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意()11cos2sin22222f x x x ϕϕ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最大值为32，即22112ϕϕ⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<，πϕ=故2．。

2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》

．
答案 π2＋4
解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的
距离为 π2＋4.
8．(2018·沈阳质检)若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则
π
f 4 的值为
．
答案 3
解析由题干图象可知 A＝2，3T＝11π－π＝3π， 4 12 6 4
6 ＝2sin
2m－π
(1)y＝sin
x－π 4 的图象是由 y＝sin
x＋π 4
的图象向右平移π个单位长度得到的．(
√
)
2
(2)将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数 y＝sin(ωx－φ)的图象．
(×)
(3)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T.( √ ) 2 (4)函数 y＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，所得图象对应的函数解
A．向左平移 π 个单位长度 12
B．向右平移 π 个单位长度 12
C．向左平移π个单位长度 3
D．向右平移π个单位长度 3
答案 A
4x＋π
x＋ π
解析 ∵y＝sin 3 ＝sin 4 12 ，
∴要得到 y＝sin
4x＋π 3
的图象，只需将函数
y＝sin
4x
的图象向左平移
π
个单位长度．
12
6．将函数 y＝2sin
函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】5.1 弧度制及任意角的三角函数

第五章三角函数与解三角形1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念． (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．2．三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2)能推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．(4)理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x.(5)了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．(6)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．3．两角和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)能从两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．(3)能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．5．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．6．正弦定理和余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．5.1 弧度制及任意角的三角函数1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置__________到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． (2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ； ②α是第二象限角可表示为； ③α是第三象限角可表示为； ④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________________________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 _______________________________________；④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_______________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作 _______________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作 _______________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 _______________________________________． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________. 2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝____________，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝__________rad ，180°＝____________rad ，1°＝____________rad≈0.017 45rad ，反过来1rad ＝____________≈57.30°＝57°18′. (3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝____________＝____________． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝____________，cos α＝____________，tan α＝____________ (x ≠0)．sin α cos α tan α4．特殊角的三角函数值注：sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠 1．(1)旋转逆时针顺时针零角 (2)非负半轴 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z } (3)坐标轴 ②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z (4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．(1)半径长 lr (2)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π° (3)||αr 12||αr 2 12lr3．(1)y r x r y x (2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4.1．3弧度的角是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角解：因为π2<3<π，所以3弧度的角是第二象限角．故选B.2．与角－390°终边相同的最小正角是( )A.－30°B.30°C.60°D.330° 解：与－390°终边相同的角为α＝－390°＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝2时，α取得最小正值330°，所以与角－390°终边相同的最小正角是330°.故选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝ ( )A. 3B.±3C.33D.±33解：因为P ⎝⎛⎭⎫x ，32在单位圆上，所以x ＝±12.所以tan α＝±3.故选B.4．(传统经典题)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，由扇形周长公式和扇形面积公式得2r ＋αr ＝6，αr 2＝4，消去r 得36α＝4(2＋α)2，即α2－5α＋4＝0解得α＝1，α＝4.故填1或4.5．(2018·山东临沂检测)已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.解：因为π<α<3π2，所以cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，所以sin θ＋cos θ＝15.故填15. 类型一角的概念例1 若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )． (1)因为180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，故2α的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上．(2)因为45°＋k ·180°＜α2＜90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，所以α2的终边在第一或第三象限．(3)因为30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°，所以α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为：写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．变式1 (1)设集合M ＝{xx ＝k2·180°＋45°，k∈Z }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝解法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N.解法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N.故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解：如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}．故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. 类型二扇形的弧长与面积问题例2 已知扇形AOB 的圆心角为α，周长为14. (1)若这个扇形的面积为10，且α为锐角，求α的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小和弦长AB .解：(1)设扇形的半径为R ，扇形的弧长为l ，周长为C ，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝14，12lR ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，R ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝10，R ＝2.圆心角α＝l R ＝45，或α＝l R ＝102＝5(舍)．(2)由2R ＋l ＝14，得l ＝14－2R ，0＜R ＜7.所以扇形的面积S ＝12Rl ＝12R (14－2R )＝－R 2＋7R ＝－⎝⎛⎭⎫R －722＋494，当R ＝72时，S max ＝494，此时l ＝7，则圆心角α＝2，弦长AB ＝2×72×sin1＝7sin1.点拨直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．变式2 (2019兰州一中月考)已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π2×10＝5π(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×5π×10－12×102＝25π－50(cm 2)．(2)扇形的周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C 2＋α，所以S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216. 类型三三角函数的定义例3 (2020届安徽高三10月名校联盟)函数y ＝log a (x ＋4)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin θ＋cos θ＝ .解：由题意知，A (－3，2)，则cos θ＝－313，sin θ＝213，所以sin θ＋cos θ＝－1313.故填－1313.点拨三角函数定义应用问题的解题思路：①直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．②已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值．变式3 已知角α的终边经过点P (3m －9，m ＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值；(2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝2，所以P (－3，4)，所以x ＝－3，y ＝4，r ＝5.所以sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.所以5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝⎛⎭⎫－43＝0. (2)因为cos α≤0且sin α＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0.所以－2＜m ≤3.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不规范的． 3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论． 6．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．7．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α.(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)ksin α.1．(教材改编题)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为 ( )A.10πB.9πC.9π10D.10π9 解：单位圆的半径r ＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义知10π9＝lr ，所以l ＝10π9.故选D. 2.已知角α的终边经过点P (x ，－6)且tan α＝－35，则x 的值为 ( ) A.±10 B.±8 C.10 D.8解：由三角函数的定义可知，tan α＝y x ＝－6x ＝－35，解得x ＝10.故选C. 3．若θ是第三象限角，且cos θ2>0，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解：因为θ是第三象限角，所以－π＋2k π<θ<－π2＋2k π，则－π2＋k π<θ2<－π4＋k π，k ∈Z ，即θ2是第二象限或者第四象限角，因为cos θ2>0，所以θ2是第四象限角．故选D. 4.(甘肃省宁县第二中学2020届高三上学期期中测验)点P 从(－1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12解：点P 从(－1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以Q 点所在终边上的最小正角是2π3，由任意角的三角函数的定义可知Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即⎝⎛⎭⎫－12，32.故选A. 5．已知集合A ＝{x |x ＝k ×180°＋(－1)k ×90°，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k ×360°＋90°，k ∈Z }，则A ，B 的关系为 ( )A.B AB.A BC.A ＝BD.A ≠B解：集合A 中，当k 为奇数时，x ＝k ×180°－90°，k ∈Z ，终边落在y 轴的非负半轴上；当k 为偶数时，x ＝k ×180°＋90°，k ∈Z ，终边落在y 轴的非负半轴上；集合B 表示的角的终边也落在y 轴的非负半轴上．故A ＝B.故选C.6．(2018·辉县市月考)若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于 ( ) A.2 B.－2 C.－2或2 D.0解：原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，因为α的终边在直线y ＝－x 上，所以角α的终边在第二、第四象限．①当α在第二象限时，原式＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；②当α在第四象限时，原式＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.故选D.7．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan α<cos α<sinα，则P 所在的圆弧是 ( )A. B. C. D. 解：当点P 在上时，cos α＝OM ，sin α＝MP ，即cos α>sin α，故A 选项错误；当点P 在上时，cos α＝OM ，即sin α＝MP ，tan α＝AT ，AT >MP >OM >0，即tan α>sin α>cos α，故B 选项错误；当点P 在上时，cos α＝OM <0，sin α＝MP >0，tan α＝AT <0，且|OM |<|AT |，所以sin α>cos α>tan α，故C 选项正确；点P 在上且在第三象限，tan α>0，sin α<0，cos α<0，故D 选项错误．故选C.8.【多选题】下列四个选项，正确的有 ( ) A.点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第二象限角B.若三角形的两内角A ，B 满足sin A cos B ＜0，则此三角形必为钝角三角形C.扇形的周长是12cm ，面积是8cm 2，则圆心角的弧度数是1D.sin3cos4tan5＞0解：由题意知，tan α＜0且cos α＜0，所以α是第二象限角，A 正确；A ，B ∈(0，π)，若sin A cos B ＜0，则sin A ＞0，cos B ＜0，B 正确；设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝12，12αr 2＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，α＝1.C 错误；因为π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，所以sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，sin3cos4tan5＞0.D 正确．故选ABD. 9．(浙江省杭州市2018－2019学年高三下期末)质点P 的初始位置为P 1(3，1)，它在以原点为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点P 2，则质点P 经过的弧长为________；点P 2的坐标为________．(用数字表示)解：根据弧长公式可得，l ＝|α|r ＝π180×150×2＝5π3.设P 1所在终边的最小正角为θ，由tan θ＝33⇒θ＝30°，所以旋转后P 2刚好在x 轴的负半轴，所以P 2的坐标为(－2，0)．故填5π3；(－2，0)．10．分别以边长为1的正方形ABCD 的顶点B ，C 为圆心，1为半径作圆弧，交于点E ，则曲线三角形ABE (图中阴影部分)的周长为________．解：因为两圆半径都为1，正方形边长为1，所以△BCE 为正三角形，圆心角∠EBC ＝∠ECB ＝π3，＝π3×1＝π3，又∠EBA ＝π2－π3＝π6，则＝π6×1＝π6，所以曲边三角形ABE 周长是1＋π3＋π6＝1＋π2.另解：由对称性知＝，＝，则＋＝＋＝＝π2，进而求得周长．故填1＋π2.11．(2018届黑龙江齐齐哈尔八中8月月考)已知角α的终边上有一点的坐标是P (3a ，4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，所以sin α＝yr＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝3a 5a ＝35，tan α＝y x ＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，所以sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.12.如图所示，用弧度制分别表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．(1) (2)(3) (4)解：(1)将阴影部分看成是由射线OA 逆时针旋转到射线OB 所形成的，故满足条件的角的集合为{α|3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z }．(2)将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 按逆时针旋转到OB 所形成的，故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k ∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z .(4)将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为{α|2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z }．13．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，求sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值．解：因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.附加题某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角∠AOB ＝π3，该地区为打击走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内)，在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．(1)求海域ABCD 的面积； (2)现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点2019海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由．解：(1)因为∠AOB ＝π3，在海岸线外侧20海里的海域ABCD ，AB ＝100，所以AD ＝BC ＝20，OA ＝OB ＝AB ＝100，所以OD ＝OA ＋AD ＝100＋20＝120， S ABCD ＝12×π3×(OD 2－OA 2)＝16π(1202－1002)＝2 200π3(平方海里)．(2)由题意建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知，点P 在圆B 上，即(x －100)2＋y 2＝7 600， ①点P 也在圆A 上，即(x －50)2＋(y －503)2＝1 600， ②由①②组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝303或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝90，y ＝503.又区域ABCD 内的点满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≥10 000，x 2＋y 2≤14 400，由302＋(303)2＝3 600＜10 000，知点(30，303)不在区域ABCD 内，由902＋(503)2＝15 600＞14 400，知点(90，503)也不在区域ABCD 内．所以这艘不明船只没有进入海域ABC D.。