二次曲线的离心率问题

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例谈二次曲线的类型判断

例谈二次曲线的类型判断作者：李彬来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接触到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型.容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况：问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程.问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径.注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型.下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式：注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解：其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作参考文献[1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.。

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ．解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|．又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2，图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54．图２点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332．又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1，整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ．点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1．解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)，则e 2≥32． ∴33≤e ≤1．点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1．点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1，即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+．又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围．解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ，图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ．设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43，解得7≤e ≤10．故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。

二次曲线的基本概念与性质

二次曲线的基本概念与性质二次曲线是数学中重要的曲线类型之一，具有独特的性质和应用。

本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用二次曲线。

一、二次曲线的定义与分类二次曲线是由二次方程表示的曲线，其一般形式为 ax^2 + bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为实数且a和c不同时为0。

二次曲线的形状和性质与a、b、c的值相关。

根据二次曲线的系数等特征，我们可以将其分为以下三种类型：1. 椭圆：当b^2 - 4ac < 0时，二次曲线为椭圆。

椭圆是一种闭合的曲线，具有两个焦点和长短轴，常用于描述行星轨道、电子轨道等。

2. 抛物线：当b^2 - 4ac = 0时，二次曲线为抛物线。

抛物线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有顶点和对称轴，常用于物体抛体运动、天文学中的折射等问题。

3. 双曲线：当b^2 - 4ac > 0时，二次曲线为双曲线。

双曲线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有两个分支和渐进线，常用于电磁波传播、双曲线函数等领域。

二、二次曲线的性质1. 零点与轴：二次曲线与x轴和y轴的交点称为零点。

根据二次方程的特性，二次曲线最多有两个零点。

而对于抛物线、椭圆和双曲线，还存在零点在无穷远处的情况，分别称为开口朝上、朝下和双曲线的渐进线。

2. 对称性：二次曲线通常具有对称性质。

椭圆和双曲线具有轴对称性，抛物线具有顶点对称性。

这种对称性便于在计算和应用中进行分析和求解。

3. 焦点和准线：对于椭圆和双曲线，存在两个焦点和两条准线。

焦点与准线是二次曲线的重要特性，与曲线的形状和离心率相关。

焦点和准线的性质在物理光学、电磁学等领域有广泛的应用。

4. 椭圆离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，表示椭圆形状的圆形程度。

离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。

离心率的大小对椭圆的性质和应用有重要影响。

三、应用与拓展二次曲线作为数学中的经典对象，广泛应用于各个领域。

求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

离心率的五种求法

A． B． C． D．
7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出，求解
已知标准方程或易求时，可利用离心率公式来求解。
例1.过双曲线C：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）
A. B. C. D.
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又 ,∴ ,两边平方，得，整理得，
得或，又，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设的中点为，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足的点总在椭圆内部，所以c<b.
4.设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）
，又，
在中，由余弦定理，得 ,
即，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为 ,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

离心率问题探究

隔10m ．树苗全都集中放在某一定点位置，为了使每位学生从各自树坑出发前来领取树苗所走路程和最小，树苗应该放在哪个树坑位置，这个最小和为多少？解答过程中，首先应该想到二次函数的转化，设放到第a 个树坑，每个树坑到第a 个树坑的距离和为S ，此时可以列式为：S =（a －1）ˑ10+（a －2）ˑ10+…+（a －a ）ˑ10+［（a +1）－a ］ˑ10+…+（20－a ）ˑ10，化简为10（a 2－21a +210），当a =10或11时，S 的取值最小，具体为1000，往返路程为2000．在此类题型解答中，二次函数形式的构造起到了关键性作用，通过建立函数解析式，研究函数性质解决实际问题．3．函数与方程思想方法解题突破函数与方程是离不开的，两者不仅知识涉及广泛，知识点交汇多，而且在解题过程中有很具体的体现，像创新题型的变式转化、解答题的综合应用等，都是大型题目的解题法宝．在新课标改革下，高中数学教学也增加了函数与方程教学内容，可见其重要性．在问题解答中主要考查含参数方程讨论、构造方程求解、函数与方程之间的转化等，在教学中教师要特别注重此部分知识讲解．例3直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2+y 2－2x =0相切，则a 的值为多少？此类题目在解答过程中可以直接将直线方程代入圆方程中，消去y ，得关于x 的一元二次方程，结合题意位置关系相切，利用判别式Δ=0求出结果a．该解题过程体现了方程思想的运用，也可以转化为求函数与x 轴交点的个数，体现了函数与方程思想．综上所述，函数思想作为数学思想的重要组成部分，贯穿整个高中知识学习．在高中数学解题教学中，教师要重视函数思想的渗透，以此为解题工具，拓展学生思路，提高解题效率．使学生通过问题分析、解答掌握函数知识本质，了解数学学习魅力，培养数学学科核心素养．参考文献：［1］王海青．巧用函数思想妙解数学问题［J ］．名师在线，2018（36）：28－29．［2］刘海东．巧妙运用函数思想，打造高中数学解题中的万能钥匙［J ］．中学数学研究（华南师范大学版），2016（23）：44－45．［3］韩云霞，马旭．浅谈函数思想在高中数学解题中的应用［J ］．宁夏师范学院学报，2016，37（03）：92－95．［责任编辑：李璟］离心率问题探究李化周（山东省淄博第一中学255200）摘要：离心率问题是高考中考查的一个重点内容，解答离心率问题的过程对学生形成数学核心素养有积极的作用．但学生对这一部分问题往往感觉无从下手，理不出头绪．在大量高考题、模拟题、习题的基础上，笔者把离心率问题涉及的知识点及解决策略进行了分类，抽象出七大模型．学生心中有了模型，解决这类问题也就变得有章可循．关键词：椭圆离心率；双曲线离心率；关于a ，b ，c 的方程中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2020）10－0012－02收稿日期：2020－01－05作者简介：李化周（1981．2－），男，山东省沂水人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究．新的课程改革强调将提升学生核心素养作为根本目标．圆锥曲线这部分，包含了直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线．通过寻找图形与图形的关系，从图形中抽象出数量关系，总结规律，体验直观想象的过程．或将生活中的数学问题转化为解析几何问题，借助图形使问题得到解决．在这个过程中，可以很好地训练学生的数学抽象与直观想象能力．此外，椭圆、双曲线的离心率是高考的核心考点，出现的频率非常高．离心率问题以中档题为主，它可以与很多知识产生联系，有很多载体，如三角函数、数列、方程等都可以与离心率结合．离心率问题有时灵活性较强，不容易入题；有时运算量大，学生不容易得出正确结论；有时多个知识点相互交融，学生理不出头绪．通过对离心率问题的深入研究，笔者归纳整理了离心率的基本知识，常见的类型及一般的解决策略．让离心率问题有章可循．一、直接法求离心率例1椭圆x 29+y 24=1的离心率是（）．A．槡133B．槡53C．23D．59—21—分析由方程可得，a =3，c 2=a 2－b 2=9－4=5，所以c=槡5，所以，离心率e =c a =槡53，选B ．二、利用椭圆、双曲线定义求离心率例2已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 24=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线E 上，PF 1与x 轴垂直，sin ∠PF 2F 1=13，则双曲线E 的离心率为（）．槡A．2B．32槡C．3D．2分析Ｒt △PF 1F 2中，因为sin ∠PF 2F 1=13，设|PF 1|=m ，则|PF 2|=3m ，2c =|F 1F 2|=槡22m．根据双曲线定义得，2a =2m．故离心率e =2c 2a =槡22m2m =槡2，选A ．三、利用比例关系求离心率例3若双曲线x 2a 2－y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分别为5ʒ3两段，则此双曲线的离心率为．分析由题意得F （b 2，0），c +b 2c －b2=53，故c =2b ，所以a =槡3b ，故e =c a =2b 槡3b=槡233．四、利用三角知识求离心率例4已知椭圆x 2a 2－y 24=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为（）．A．（0，槡2－1）B．（槡22，1）C．（0，槡22）D．（槡2－1，1）分析根据正弦定理，|PF 2|sin ∠PF 1F 2=|PF 1|sin ∠PF 2F 1，故|PF 1||PF 2|=c a，所以，|PF 1|=ca |PF 2|．根据椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以，|PF 2|=2a 2a +c．因为点P 不在长轴上，故a －c ＜|PF 2|＜a +c ，即a －c ＜2a 2a +c，得到c 2+2ac －a 2＞0．两边同除以a 2得，e 2+2e －1＞0，解得e ＜－1－槡2或e 槡＞2－1．因为0＜e ＜1，所以槡2－1＜e ＜1，选D ．五、利用图形几何性质求离心率例5过双曲线x 2a 2－y 2b2=1（b ＞a ＞0）的左焦点F （－c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长PE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE → =12（OF → +OP →），则双曲线的离心率为（）．A．3+槡32B．1+槡32C．槡52D．1+槡52分析抛物线的焦点坐标与双曲线右焦点重合为F 2（c ，0）．因为OE → =12（OF → +OP →），所以E 是FP 的中点．因为O 是FF 2中点，故OE ∥PF 2，PF 2=2OE =2a．又E 是切点，所以OE⊥FP ，故PF 2⊥FP ，PE =OF 2－OE 槡2=c 2－a 槡2=b ，故PF =2b．因为点P 在抛物线上，故MP =2a．Ｒt △PFM 中，MF =PF 2－MP 槡2=2b 2－a 槡2．Ｒt △PFF 2中，S △PFF =12ˑ2c ˑ2b 2－a 槡2=12ˑ2a ˑ2b ，所以c 2（b 2－a 2）=a 2b 2，即c 2（c 2－2a 2）=a 2（c 2－a 2）．整理得c 4－3a 2c 2+a 4=0，即e 4－3e 2+1=0，解得e 2=3+槡52，所以e =1+槡52，选D ．在离心率问题的解决过程中，学生经历着图形、向量、三角函数、直线等与离心率之间的联系与融合，由形到数，由数到形，对学生数学素养培育有积极有效的作用．离心率问题虽涉及的情境各不相同，出现的形式异彩纷呈，感觉乱花渐欲迷人眼，其实是花不醉人人自醉．只要我们将遇到的问题模型化，归纳总结其特征及其解决的思路，针对具体问题擦亮眼睛，静下心来，将题中的条件想办法转化为圆锥曲线中a ，b ，c 的关系，离心率问题即可迎刃而解．参考文献：［1］吴世朗．全国卷中离心率求值问题的解题策略［J ］．高考，2019（23）：41．［2］曹丽．“一题多变性”变式在高三数学复习中的应用———以“求圆锥曲线的离心率”为例［J ］．中学数学，2019（11）：31－32．［3］玉云化．圆锥曲线离心率范围再探［J ］．中学数学杂志，2010（03）：61－62．［责任编辑：李璟］—31—。

离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

抛物线的性质与像变化规律

抛物线的性质与像变化规律抛物线是数学中一个重要的曲线，具有许多独特的性质和像变化规律。

本文将深入探讨抛物线的性质以及与其相关的像变化规律。

一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上一种特殊的二次曲线，其定义为到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（离心率）。

而这个常数称为离心率e。

根据这个定义，抛物线具有以下性质：1. 抛物线是对称的：抛物线关于其对称轴对称。

对称轴是一条垂直于抛物线的直线，通过抛物线的顶点。

2. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是指到定点距离与到抛物线上任意一点的距离之比为常数。

焦点与离心率密切相关，离心率越大，焦点与顶点的距离越远。

3. 抛物线的直径：抛物线上任意两个与焦点对称的点构成的线段称为抛物线的直径。

直径与顶点之间垂直。

以上是抛物线的一些基础性质，接下来我们将研究抛物线的像变化规律。

二、抛物线的像变化规律1. 随着抛物线开口方向的改变，像也会发生变化。

当抛物线开口向上时，图像在顶点上方向上递增，并在顶点下方向上递减。

当抛物线开口向下时，像的变化规律则相反。

2. 焦点与顶点的位置也会对抛物线的像变化产生影响。

当焦点位于抛物线的顶点上方时，像在开口的侧边产生曲线。

当焦点位于抛物线的顶点下方时，像在开口的侧边上有一段直线。

当焦点与顶点重合时，像是一个顶点。

3. 离心率的大小也会对抛物线的像变化产生影响。

离心率越大，像的形状越扁平，曲线趋于水平。

离心率越小，像的形状越尖锐，曲线趋于垂直。

通过对抛物线性质与像变化规律的研究，可以更好地理解和应用抛物线。

抛物线在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如抛物线反射的光线轨迹、抛物线形状的电波传播等等。

总结：抛物线具有对称性和焦点的独特性质，它的像变化规律与开口方向，焦点与顶点的位置以及离心率的大小有着密切关系。

通过理解抛物线的性质和像变化规律，我们可以更好地应用于实际问题中，丰富数学的应用领域。

以上就是关于抛物线的性质与像变化规律的讨论。

希望本文可以对读者理解抛物线提供有帮助的解释和指导。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（） A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a==双曲线，)c e a==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A. 35B. 34 C. 45D. 23分析：本题已知b a =34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。

1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3 C.5 D.6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即224b a =221145b e a∴=+=+=.2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ， 222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此，即224b a =，221145b e a∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．33 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=o 有232,b a a =即2223b a =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

二次曲线的一般式-概述说明以及解释

二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。

它由二次方程所表示，是平面上的曲线。

在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。

二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。

在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。

在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。

在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。

在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。

本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。

我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。

通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。

接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。

然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。

最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。

在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。

无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。

文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。

其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。

1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。

最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。

本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。

在我们将介绍离心率的定义和背景知识。

在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。

我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。

在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。

通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。

【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。

1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。

理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。

在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。

在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。

通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。

1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。

在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。

理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。

离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。

在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。

在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。

需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（） A.10B. 5C.310 D. 25分析：这里的21,1a cb ==+2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。

二、变用公式221)c b e a a ==+双曲线，221-()c b e a a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（） A.35 B. 34 C. 45D.23分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。

1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x=+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6 解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b，即224b a =221145b e a∴=+=+=2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r因此，即224b a =，221145b e a ∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．13【解析】因为2(,)b Pc a-±，再由1260F PF∠=o有232,b a a=即2223ba =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率确定多思维破解——以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例

㊀㊀㊀离心率确定㊀多思维破解以２０２１年高考数学乙卷理科第１１题为例◉广东省信宜市信宜中学㊀梁北永㊀㊀圆锥曲线(椭圆或双曲线)离心率取值范围的问题一直是高考的一个热点问题．此类问题创新新颖,形式各样,变化多端,难度较大．下面结合２０２１年高考数学乙卷理科试卷中的一道椭圆的离心率取值范围的确定加以剖析与总结．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学乙卷理科第１１题)设B 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则C 的离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．㊀２２,１éëêê)㊀B ．１２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀２２æèçùûúú㊀D．０,１２æèçùûúú２真题剖析该题以椭圆为问题背景,借助椭圆上的动点所对应的线段长度的不等式恒成立来设置问题,简单易懂．其实,类似的问题最早出现在２０２１年５月份东北三省三校(哈师大附中㊁东北师大附中㊁辽宁省实验中学)高考数学三模数学试卷(理科)中:问题㊀已知P 是椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)上任意一点,B 是椭圆C 的上顶点,|P B |ɤ２b 总成立,则椭圆离心率的取值范围是(㊀㊀)．A．０,㊀２２æèçùûúú㊀B ．㊀２２,１éëêêöø÷㊀C ．０,㊀３２æèçùûúú㊀D．㊀３２,１éëêêöø÷该问题与以上高考真题几乎一致,都以选择题的形式出现,题干基本一样,选项有些许不同,所选结果也是一样的．３真题破解方法１:二次函数的图象与性质法．解析:由题意可得B (０,b )．设P (x ０,y ０),则y ０ɪ[－b ,b ]．由x ２０a ２＋y ２０b ２＝１,可得x ２０＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷．那么|P B |２＝x ２０＋(y ０－b )２＝a ２１－y ２０b ２æèçöø÷＋y ２０－２b y ０＋b ２＝－c ２b ２y ２０－２b y ０＋a ２＋b ２＝－c ２b２y ２０＋２b ３c２y ０æèçöø÷＋a ２＋b ２．根据题目条件|P B |ɤ２b 恒成立,则知当y ０＝－b 时,|P B |２取得最大值(２b )２＝４b ２．结合二次函数的图象与性质,可知对称轴y ＝－b３c２ɤ－b ．整理得b ２ȡc ２,即a ２－c ２ȡc ２,解得a ȡ㊀２c ,故椭圆的离心率e ＝c a ɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e ＜１,则有０＜e ɤ㊀２２．故选择答案:C ．点评:设出动点P 的坐标,根据其满足椭圆方程进行合理变换,利用两点间的距离公式,合理消参,转化为含有参数y ０的二次函数问题．根据题目条件中|P B |ɤ２b 恒成立,转化为二次函数的图象与性质问题,建立对应的关系式．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．合理转化,把问题转化为二次函数问题来处理,是破解此类问题最常用的基本方法之一．方法２:椭圆与圆的位置关系法．解析:由C 上的任意一点P 都满足|P B |ɤ２b ,则知以B (０,b )为圆心,２b 为半径的圆与椭圆至多有一个交点．联立x ２a ２＋y ２b２＝１,x ２＋(y －b )２＝４b ２,{消去参数x 并整理,得(a ２－b ２)y ２＋２b ３y ＋３b ４－a ２b ２＝０．所以判别式Δ＝４b ６－４b ２(a ２－b ２)(３b ２－a ２)＝０,化简整理可得(a ２－２b ２)２＝０,解得a ＝㊀２b ．则椭圆的离心率e ＝c a ＝㊀１－b ２a２＝㊀２２．３４２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀结合椭圆离心率e的几何意义可知,当eң０时,此时椭圆越圆,满足条件．所以０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,转化为对应的圆与椭圆的位置关系问题．通过联立圆与椭圆的方程,消参转化为含y的二次方程,利用判别式为０确定对应参数的关系,进而求解此时所对应的椭圆离心率．再利用椭圆离心率e的几何意义确定离心率的取值范围．等价转化,结合圆与椭圆的位置关系,借助方程的判别式法来处理,思维巧妙．方法３:三角参数法．解析:由题意可得B(０,b)．根据点P是椭圆C:x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０)上的任意一点,可设P(a c o sα,b s i nα)(０ɤα＜２π)．由于|P B|ɤ２b恒成立,则有a２c o s２α＋(b s i nα－b)２ɤ４b２．整理可得(a２－b２)s i n２α＋２b２s i nα＋３b２－a２ȡ０．即[(a２－b２)s i nα＋３b２－a２](s i nα＋１)ȡ０．又s i nα＋１ȡ０恒成立,则(a２－b２)s i nα＋３b２－a２ȡ０,整理得s i nαȡa２－３b２a２－b２．由于|s i nα|ɤ１,则有a２－３b２a２－b２ɤ－１恒成立．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据点P是椭圆C上任意一点进行三角参数换元处理,结合题目条件中|P B|ɤ２b恒成立建立对应的不等式．通过十字相乘法加以因式分解,利用三角函数的图象与性质,结合不等式恒成立加以转化,建立含参的不等式问题．再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理．通过三角参数进行换元处理,引入三角函数,借助三角函数的相关知识来分析与处理,也是一种非常不错的破解方法．图１方法４:数形结合法．解析:由题意可得B(０,b),作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,如图１所示．设A为圆上任意一点,设øA B O＝θ(０ɤθ＜π),则知A(２b s i nθ,－２b c o sθ＋b)．由C上的任意一点P都满足|P B|ɤ２b,则知点A必在椭圆C外(包括椭圆上),即(２b s i nθ)２a２＋(－２b c o sθ＋b)２b２ȡ１．㊀㊀㊀①当s i nθ＝０时,①式显然成立．当s i nθʂ０时,由①式可得b２a２ȡc o sθ－c o s２θs i n２θ＝c o sθ－c o s２θ１－c o s２θ＝c o sθ１＋c o sθ＝１－１１＋c o sθ恒成立．而c o sθ＜１,则有１－１１＋c o sθ＜１２,从而b２a２ȡ１２,即b２a２ȡ１２．整理得２b２ȡa２,即２a２－２c２ȡa２,解得aȡ㊀２c．故椭圆的离心率e＝caɤ㊀２２．结合椭圆的离心率满足０＜e＜１,则有０＜eɤ㊀２２．故选择答案:C．点评:根据题目条件作出以点B为圆心,以２b为半径的圆,通过题目条件中|P B|ɤ２b恒成立,数形结合转化为圆上任意一点A必在椭圆C外(包括椭圆上)．结合点A坐标的确定并代入椭圆方程,分离系数转化为三角函数关系式,结合不等式恒成立以及三角函数的取值范围建立不等式,再利用椭圆离心率的限制条件来分析与处理．数形结合处理,直观形象,合理转化,巧思妙想,也是一种不错的精彩解法．４教学启示破解圆锥曲线中离心率取值范围问题的常见策略技巧:(１)借助题目条件合理切入,直接利用题目条件中的不等信息建立对应的不等式(组),并利用圆锥曲线中离心率的取值限制条件加以综合与应用．(２)抓住平面几何数形直观,结合平面几何图形的基本性质,如三角形㊁圆等的基本性质,综合圆锥曲线的几何性质,数形结合,直观想象．(３)利用三角参数巧妙转化,合理利用题目条件引入三角函数,将目标问题转化为对应的三角函数问题,结合三角恒等变换以及三角函数的图象与性质等来确定对应的取值范围．(４)结合端点效应进行特殊处理,根据圆锥曲线中在极端位置时所对应的离心率,通过动与静的结合来确定离心率的取值范围．对于具体的圆锥曲线离心率的取值范围问题,灵活应用,或一种策略独领风骚,或多种策略齐心协力,或另辟蹊径,合理转化,巧妙破解．Z４４命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

求解离心率的范围问题

求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解；（2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++，又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。

双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释

双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。

双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。

本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。

它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。

首先，我们将介绍双曲线的离心率。

离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。

通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。

其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。

渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。

对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。

渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。

本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。

我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。

在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。

通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。

在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。

1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。

对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。

离心率的五种求法

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

二次曲线离心率

二次曲线离心率摘要：1.二次曲线的基本概念2.离心率的定义和意义3.二次曲线的离心率计算方法4.离心率在二次曲线分类中的应用5.离心率在实际问题中的应用正文：一、二次曲线的基本概念二次曲线是数学中的一种曲线，它的方程形式为ax+by=c（其中a、b、c 为常数，且a≠0，b≠0）。

根据二次曲线的形状，它可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

在本文中，我们将重点探讨这三种二次曲线的离心率。

二、离心率的定义和意义离心率是描述二次曲线形状的一个重要参数，它定义为焦点到二次曲线顶点的距离与二次曲线顶点到直线焦点的距离之比。

离心率用e表示，公式为e=c/a（其中c为焦点到顶点的距离，a为顶点到直线焦点的距离）。

三、二次曲线的离心率计算方法1.椭圆：椭圆的离心率范围为0<e<1，可以通过公式e=sqrt(1-(b/a))计算。

2.双曲线：双曲线的离心率范围为e>1，可以通过公式e=sqrt(a+b)/a计算。

3.抛物线：抛物线的离心率等于1，因为它的顶点与焦点重合。

四、离心率在二次曲线分类中的应用1.椭圆：根据离心率的大小，椭圆可以分为两类：当0<e<1时，称为圆椭圆；当e>1时，称为椭圆。

2.双曲线：根据离心率的大小，双曲线可以分为两类：当e>1时，称为标准双曲线；当0<e<1时，称为狭双曲线。

3.抛物线：离心率为1，顶点与焦点重合。

五、离心率在实际问题中的应用1.天文学：离心率是描述行星轨道形状的重要参数，它有助于分析行星运动规律。

2.工程设计：在设计轴承时，离心率可用于确定轴承的稳定性和承载能力。

3.光学：在光学系统中，离心率可用于分析透镜的成像性能。

总之，二次曲线的离心率是一个具有重要意义的参数，它不仅能帮助我们更好地理解二次曲线的形状，还能应用于实际问题中，解决各种问题。

巧解双曲线的离心率

巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。

经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。

下面就介绍一下常见题型和巧解方法。

1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。

（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。

例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。

例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。

解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。

（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。

例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。

二次曲线的离心率问题

二次曲线的离心率问题（一）选择题（12＊5=60分）1.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点,若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．12 B ．22C. 13 D ．33【答案】D2.【2016届山东省寿光现代中学高三下学期开学检测】已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上任一点，且12F F P ⋅P 最小值的取值范围是2231,42c c ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ) A ．(2 B ．2,2⎤⎦C ．(]1,2D ．[)2,+∞ 【答案】B 【解析】设(,)P m n ，则22221m n a b-=,即2222(1)n m a b=+．因为1(,)PF c m n =---,2(,)PF c m n =--，所以22222222222221222(1)(1)n a PF PF m c n n a c n a c a c b b=-+=++-=++-≥-（当0n =时等号成立），所以12PF PF 的最小值为22a c -．由题意，得22223142c a c c -≤-≤-,即1222c a c ≤≤，所以22c e a ≤=≤,故选B ．3.过曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长FM 交曲线()23:20C y px p =>于点N ，其中曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，若点M 为线段FN 的中点，则曲线1C 的离心率的平方为（ ) A ．5 B ．52 C ．51+ D ．512+ 【答案】D4.已知抛物线C ：)40(22<<=p px y 的焦点为F ,点P 为C 上一动点，)0,4(A ，)2,(p p B ，且||PA 的最小值为15，则||BF 等于（）A ．4B ．29C ．5D ．211 【答案】B5。

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