解析几何 第三版 课后答案(吕林根 许子道 著) 高等教育出版社

第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]： （1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为 2 的两点 A 2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、
[证明]： 如图 1-2， 连结 AC, 则在ΔBAC 中， 中，NM KL
1 AC. KL 与 AC 方向相同； 在ΔDAC 2
1 AC. NM 与 AC 方向相同，从而 2
KL ＝ NM 且 KL 与 NM 方向相同，所以 KL ＝
NM .
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量： (1) AB 、 CD ; (2)
AC // CB ,
且有 m≠－1, 使 AC ＝m CB ,
OC － OA ＝m ( OB － OC ),
(1+m) OC ＝ OA ＋m OB ,
OC ＝
1 m OA ＋ OB . 1+ m 1+ m
图 1-10
但已知 OC ＝ λ OA ＋ μ OB . 由 OC 对 OA , OB 分解的唯一性可得
F
OF 、 AB 、 BC 、 CD 、
DE 、 EF
和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中， 相等的矢量对是：
B E C
O
图 1-1
OA和EF； OB和FA； OC和 AB； OE和CD； OF和DE.
Ｂ 、 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ｄ 、 3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边Ａ Ｄ Ａ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：因为 OM ＝
1 ( OA + OC ), OM ＝ 2 1 ( OB + OD ), 2
所以 2 OM ＝
1 ( OA + OB + OC + OD ) 2
所以
OA + OB + OC + OD ＝4 OM . 6. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2…An 的中心，证明:
OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
PE ＝
从而
1 ( PA + PB ). 2
CP ＝2 PE .
BP ＝2 PG , AP ＝2 PF .故 P 为△ABC 的重心. b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ， c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，
同理可证
4. 证明三个矢量 a ＝－ e1 +3 e2 +2 e3 ,
⎧ − λ + 4 μ − 3v = 0, ⎪ 12v = 0, ⎨ 3λ－6 μ＋ ⎪2λ + 2 μ + 11v = 0. ⎩
λ＝－10，μ＝－1，v＝2. 由于 λ＝－10≠0，所以 a 能用 b , c 线性表示
解得
a ＝－
1 1 b＋ c. 5 10
5. 如图 1-10， OA, OB , OC 是三个两两不共线的矢量，且 OC ＝λ OA +μ OB ，试证 A, B, C 三点共线的充要条件是 λ+μ＝1. [证明]： “ ⇒ ”因为 A，B，C 共线，从而有
1 m , μ＝ 1+ m 1+ m 1 m + ＝1. 从而 λ+μ＝ 1+ m 1+ m
λ＝
“ ⇐ ” 设 λ+μ＝1. 则有 OC ＝λ OA ＋μ OB ＝λ OA ＋(1－λ) OB = OB +λ( OA － OB ),
OC － OB ＝λ( OA － OB ),
所以
BC ＝λ BA ,
| BT | | e1 | ＝ , | TC | | e1 |
BT 与 TC 方向相同， |e | 所以 BT ＝ 1 TC . | e2 |
由上题结论有
图 1-8
| e1 | e2 | e | e + | e1 | e2 | e2 | AT ＝ ＝ 2 1 . | e1 | | e1 | + | e2 | 1+ | e2 | 3. 用矢量法证明： P 是 △ ABC 重心的 充要条件是 e1 +
1
2 2
− 4 ＝0,所以 −1
a , b , c 三矢量共面, a，
又因为 a , b 的对应坐标成比例，即 a // b ，但 c
故不能将 c 表成 a , b 的线性组合. 1 2 3 (2) 因为 2 − 1 0 ＝0,所以
a , b , c 三矢量共面. b，
0
5
6
又因为 a , b 的对应坐标不成比例，即 a 故可以将 c 表成 a , b 的线性组合. 设
所以
OP － OA ＝λ ( OB － OP ),
(1+λ) OP ＝ OA +λ OB ,
图 1-7
从而
OP ＝
OA + λOB . 1+ λ
2. 在△ABC 中，设 AB ＝ e1 ， AC ＝ e2 ，AT 是角 A 的平 分线（它与 BC 交于 T 点） ，试将 AT 分解为 e1 , e2 的线性 组合. [解]：因为 且
AE 、 CG ;
(3) AC 、 EG ; (4) AD 、 GF ; (5) BE 、 CH . 图 1—3 [解]：相等的矢量对是 （2） 、 （3）和（5） ； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4） 。
§1.3
数量乘矢量
1.要使下列各式成立，矢量 a, b 应满足什么条件？ （1） a + b = a − b ; （3） a + b = a − b ; （5） a − b = a − b . [解]： （1） a, b 所在的直线垂直时有 a + b = a − b ； （2） a, b 同向时有 a + b = a + b ; （3） a ≥ b , 且 a, b 反向时有 a + b = a − b ; （4） a, b 反向时有 a − b = a + b ; （5） a, b 同向，且 a ≥ b 时有 a − b = a − b . 2. 设 L、 M、 N 分别是ΔABC 的三边 BC、 CA、 AB 的中点， 证明： 三中线矢量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. [证明]： （2） a + b = a + b ; （4） a − b = a + b ;
图 1-4
由于 (OA + OC ) ∥ AC , (OB + OD) ∥ BD, 而 AC 不平行于 BD ，
∴ OA + OC = OD + OB = 0 ，
从而 OA=OC，OB=OD。 5. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
c ＝λ a + μ b , 从而
亦即{0, 5, 6}＝λ{1, 2, 3}+μ{2, －1, 0}
⎧λ + 2 μ = 0, ⎪ ⎨2λ − μ = 0, ⎪ 3λ = 6. ⎩ λ＝2，μ＝－1, 解得 所以 c ＝2 a － b . 3.证明： 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点， 且这点到顶点的距离是它到对面重 心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明]：设四面体 A1A2A3A4,Ai 对面重心为 Gi, 欲证 AiGi 交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
1 ∵ AL = ( AB + AC ) 2 1 BM = ( BA + BC ) 2 1 CN = (CA + CB) 2 1 ∴ AL + BM + CN = ( AB + AC + BA + BC + CA + CB ) = 0 2 从而三中线矢量 AL, BM , CN 构成一个三角形。
OA + OB + OC = OL + OM + ON .
OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
1. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝λ PB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OA + λ OB 1+ λ [证明]：如图 1-7，因为
OP ＝
AP ＝ OP － OA , PB ＝ OB － OP ,
其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. [证明]：由于矢量 e1 , e2 , e3 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式
λ a +μ b +v c ＝ 0 ，即
λ (－ e1 +3 e2 +2 e3 )+μ (4 e1 －6 e2 +2 e3 )+v (－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 )＝ 0 , 或 (－λ+4μ－3v) e1 +(3λ－6μ＋12v) e2 +(2λ+2μ＋11v) e3 ＝ 0 . 由于 e1 , e2 , e3 线性无关，故有
从而 BC // BA . 故 A，B，C 三点共线. §1.5 标架与坐标