9.4矩形、菱形、正方形(17.正方形与弦图)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

合集下载

9.4矩形、菱形、正方形上-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下讲义

18.正方形与组图（上）（解题课，难度★★★）核心考点知识梳理掌握正方形组图的一些结论：典例剖析1.如图，四边形 ACDE、BAFG 是以△ABC 的边 AC、AB 为边向△ABC 外所作的正方形．求证：（1）EB = FC；（2）EB⊥FC．⑴⑵2. 如图，分别以△ABC的边 AB、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE，连接 EG．求证：S△AGE=S△ABC．GE基础练1.如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作正方形ABDE、ACFG,连接BG、CE相交于点O，求证：BG⊥CE①如图，下列说法错误的是( )A. ∠EAC= ∠BAGB.AB=AEC. ∠DEC= ∠BGFD.AC=AG②根据已知，可以得到下列那一组全等关系？（）A.△EAC≌△BAGB.△EAC≌△BCF③由△EAC≌△BAG可以得到( ) ,通过如图的八字型倒角证得∠EOB = ∠EAB = 90° ,即EC 丄 BG.A. ∠AEC = ∠AGBB.∠AEC = ∠ABG2.如图,以△ABC的两边AB、AC分别向外作正方形ABDE、ACFG,连接EG,求证:S△ABC = S△AEG①如图，过C作CI⊥AB于l,过G作GH⊥EA, 交EA的延长线于H,下列说法错误的是( )A.AC=AGB.∠1=∠3C.∠2=∠3D.∠GAC=∠HAB②判定△GAH≌△CAI的依据为( ).A.AASB. HLC. SSS③由△GAH≌△CAI可以得到( ),结合AB=AE,可证明S△ABC = S△AEGA.∠AGH=∠ACIB.GH=CIC.AH=AID.GH=AC提高练1.以点为A顶点作等腰 Rt△ABC与等腰Rt△ADE,其中∠BAC = ∠DAE = 90°,如图1所示放置，一直角边重合，连接BD、CE,延长BD交CE于点F.⑴试判断BQ、CE的关系，并说明理由；⑵把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.2.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD外作正方形CEEG,连接 BG, DE.⑴猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并证明；⑵将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.3.如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作正方形ABDE、ACFG,连接BG、CE相交于点O,求证：BG ⊥ CE.18.正方形与组图（上）答案基础练：1.①C ②A ③B2.①C ②A ③B提高练1.2. 3.。

初中数学苏教版八年级下册《9.4.4矩形、菱形、正方形》课件

对角线长的乘积的一半．
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
已知：
A
求证：
B
D
C 你有什么结论？
菱形判定定理一：
四边相等的四边形是菱形． A
B
D
符号语言：
C
∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形.
我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线相互垂直．反过来，对角线相互垂直的平行四边形是菱形吗？
例2 如图，已知：△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB ，
DF∥AC．求证：四边形AEDF是菱形．
A
F E
B
D
C
1. 书P81 练习1，2
2. □ABCD的对角线AC与BD相交于点O， (1)若AB＝AD，则□ABCD是_____形； (2) 若AC＝BD，则□ABCD是_____形； (3) 若∠ABC是直角，则□ABCD是____形； (4) 若∠BAO＝∠DAO，则□ABCD是____形．
9.4.4
矩形、菱形、正方形（4）
苏教版八年级数学下
1. 平行四边形有哪些性质?矩形、菱形与平行四边形比较有哪些特别的性质?
边: 对边平行且相等
平行四边形
角: 对角相等邻角互补
对角线: 对角线相互平分
角: 四个角是直角矩形对角线: 对角线相等
菱形
边: 四条边都相等对角线: 对角线相互垂直
已知：
A
求证：
B
O
D
C 你有什么结论？
菱形判定定理二：
对角线相互垂直的平行四边形是菱形． A
B
O

9.4矩形、菱形、正方形(20.构造直角三角形斜边中线)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

20.构造直角三角形斜边中线（解题课，难度★★★）核心考点知识梳理构造中位线中点线角转化构造斜边中线典例剖析1.如图9.57，在△ABC中，点D是 AB边的中点，M在△ABC内，且∠MBC = ∠MAC，过点 M 作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接 DE、DF．求证：DE = DF．证明：取AM 中点G, BM 中点H, 连接 DG 、DH 、FG 、EH,∵D 是AB 中点，ME ⊥BC. MF ⊥AC∴DH=21AM=FG, DG=21BM =EH, DG//BM, DH//AM, ∴四边形DGMH 为平行四边形,∴∠1=∠2, ∵GF=21AM=AG, ∴∠MAF=∠GFA, ∠3=∠MAF ＋∠GFA= 2∠MAF 同理，∠4=2∠MBE, ∠MAF=∠MBE, ∠3=∠4, ∴∠DGF=∠1＋∠3=∠2+∠4 =∠DHE, 在△DHE 与△FGD 中DH=FG∠ DHE=∠DGF ,∴△DHE ≌△FGD ,DE=DFEH=DG2. 在 △ABC 中，D 为AB 的中点，分别延 CA 、CB 到点E 、F ，使DE = DF.过 E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ，连接 AP 、BP ．求证：∠PAE = ∠PBF ．证明：取AP 中点G,BP 中点H, 连接 DG 、DH 、FH 、EG, ∵D 是AB 中点，PE ⊥AE, PF 丄BF∴DH=21AP=EG,DG=21BP=FH,在△DEG 与△FDH 中DG=FHEG=DH ∴△DEG ≌△FDH,∴∠DGE=∠DHF,DE=DF∵DG//BP ,∠1 =∠APB, 又∵DH//AP, ∠2=∠APB , ∴∠1=∠2∴∠3 = ∠DGE -∠1= ∠DHF -∠2 =∠4, ∵∠3 = 2∠APE , ∴∠4= 2∠BPF ∴∠APE=∠BPF ,∵PE ⊥AC ，PF 丄BC, ∴∠PAE=90º-∠APE,∠PBF=90º-∠BPF ∴∠PAE=∠PBF基础练1.已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA = BC, DA = DE,连接EC, 取EC 的中点M ，连接BM 和DM 证明：BM = DM.⑴取AC ， AE 的中点F 、Q,分别连接 PB 、PM. QD 、QM,下列相等关系错误的是（）A. MP = DQ = 21AE B. QM = BP=21 AC C. QM = BP=21CE⑵下列关于角的条件中，可以用来进一步判定△QDM ≌△PMB 的条件的是( )A. ∠DEA = ∠BCA = ∠BACB. ∠CPM = ∠CAE = ∠MQE①欲证DP = DQ,只需要证明（）A. ∠NQD = ∠MPDB.∠NDQ = ∠MDPC. △DNQ ≌△DMP②NQ =21___ , MP=21_____.③欲证△NDM 为等边三角形，只需证明( )A.∠DNM = 60°B. ND = NMC. ND = NM, ∠DNM = 60°④证明△NGD ≌△NCM,GD=21_____, CM =21_____,∠GNC =______°,∠NGD + ∠4 = ______º, ∠4 + ∠5 = ______º证明△NGD ≌△NCM 的判断依据是_______20.构造直角三角形斜边中线答案基础练：1.①C ②B ③A证明：取AC 、CE 的中点P 、Q,分别连接PB 、PM 、QD 、QM在Rt △ABC 中，P 是斜边AC 的中点， ∴BP =21，在Rt △CDE 中，Q 是斜边CE 的中点∴DQ = 21CE ， ∵Q 、M 分别是△AEC 中边CE 、AE 的中点， ∴QM ∥AC ， QM =21 AC ∵P 、M 分别是△AEC 中边AC 、AE 的中点, ∴MP//CE, MP =21CE∴ MP = DQ=21CE, QM = BP = 21AC ，∵QM //AC ， ∴∠MQE = ∠ACE∵PM ∥CE ，∴∠APM = ∠ACE ， ∠APM = ∠ACE = ∠MQE ， ∵∠APB = ∠DQE = 90° ∴∠APM + ∠APB = ∠MQE+∠DQE ， ∴∠MPB =∠DQM ， ∴△QDM ≌△PMB(SAS)，∴BM = DM2.①C ②CE; CE; ③ C ；④ BC ； CE; 60；240； 240； SAS.取AC 的中点G,连接NG, DG①证△NGD ≌△NCM先证明NG = NC 及△GNC 为等边三角形.∵点N 、 G 分别是CF 、AC 的中点∴GN = 21AF ， ∵△ACF 为等边三角形∴AC = CF = AF ∴GN = NC = CG∴△GNC 为等边三角形再证明 ∠NGD = ∠5∠1 = ∠2 = ∠GNC = 60°∵点D 是AB 的中点， ∴ GD =21CB, GD//CB ∴∠3 +∠4 = 180°∴∠1 +∠ 3 + ∠4 = 240° ，∴∠NGD + ∠4 = 240°∵△BCE 为等边三角形， ∴∠6 = 60°, BC = EC ，∠4 + ∠5 + ∠2 + ∠6 = 360° ∴∠4 + ∠5 = 240°，∴∠NGD = ∠5证明GD= CM点M 是CE 的中点，∴CM = 21CE ， ∵GD = 21CB, CB = CE ，∴GD = CM∴△NGD ≌△NCM(SAS)②证等边三角形∴ND = NM, ∠7 = ∠8， △NDM 为等腰三角形 ∵∠GNC = 60°，∠7 + ∠9 = 60°∴∠DNM = ∠8 + ∠9 = 60°， ∴△NDM 为等边三角形。

江苏省张家港市第一中学八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质课件 (苏科版)

A
D
O
┓ 90°
B
C
问题探究
从边、角、对角线三方面进行考虑，你能发现矩形有什么特有的性质吗？
┒
A
矩形性质:
O
┒ B
┒
┒
D
A
CB
D O
C
平行 AD∥BC; AB∥ CD
对边：
(1)边：
相等 AB＝CD; AD＝BC
(共性) (共性)
邻边：互相垂直 AB⊥BC; AB ⊥ AD (个性)
(2)角：四个角都是直角
解:在矩形ABCD中，∠ABC ＝ 90°，
AC ＝ AB2 BC2
A
D
E
＝ 32 42
B
C
＝ 25 ＝ 5(勾股定理)．
又∵
S△ABC ＝
1 2
AB·BC＝
1 2
AC·BE，
∴
BE
＝
AB·BC AC
＝
3×4 5
＝ 2.4
小结：矩形：有一个角是直角的特殊平行四边形。
矩形的性质：
矩形具有平行四边形的所有性质；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；另外：
即 AB+BC+CD+DA+2(AC+BD) ＝86
又∵ AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）
∴ AB+BC+CD+DA ＝ 86－2(AC+BD)
＝ 86－2×2×13 ＝ 34(cm) 即矩形ABCD的周长等于34cm。
如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC ＝ 4， BE⊥AC于E．试求出AC、BE的长．
矩形的四个内角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分。

9.4矩形、菱形、正方形(3.证明矩形的性质)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

3.证明矩形的性质（概念课，难度★☆☆）知识梳理证明：12.下方用勾股定理的方法证明：基础练：1.补全证明“矩形的对角线相等”的过程，横线上依次填入的是（）在Rt△ABC中，AC²=____ +BC²在Rt△DCB中，BD² = CD²+_____∵AB = CD∴____________________(AC. BD > 0)∴AC = BDA AB², BC², AC² = BD² B.AD², AB², AC²=BD²C.AB², BC², OA²= OB²D.AD², AB², OC²=OD²2.矩形的对角线一定具有的性质是（）A 互相垂直B 互相垂直且相等C 相等D 互相垂直平分3.如图，在矩形ABCD中，AB = 2, BC = 3,对角线AC的垂直平分线分别交AD, BC于点E、F，连接CE，则CE=________4.如图，矩形ABCD中,AC与BD交于点O,作BE⊥AC于点E, CF⊥BD于点F,求证：BE = CF.思路分析：要证BE = CF只须证△OBE≌△_________即可要证两三角形全等只须再证0B =______即可由矩形性质可得AC=BD从而问题得证提高练：1.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方, 点Q 在矩形内，则∠ABP=______°,∠PCQ =________°.2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点 O, AC = 8, ∠AOB = 60° ,若 AC = BD, 则平行四边形ABCD 面积为________.3.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O,且分别交AB 、CD 于点E 、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）A.51B.41C.31D.614.如图.在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，折叠矩形的一边AD ,使得D点落在BC边上点F 处，求：EC的长5.在平行四边形ABCD中，AD=6cm,AB=8cm,当∠DAB为何值时，平行四边形ABCD的面积最大。

江苏省滨海县第一初级中学七年级数学下册复习讲义02 苏科版

复习讲义02班级：姓名：学号：_________ 学习目标:1、进一步理解各种类型的乘法运算法则，会运用运算法则进行计算；2、了解乘法公式的几何背景，并用乘法公式熟练进行计算；3、通过具体的例子熟悉计算的算理，发展符号感，发展有条理的思考和表达能力。

知识点一、单项式乘单项式（1）)3()5(32a b a -•-（2）[][]32)(2)(3y x y x --•-（3）bc b a b a 41)()2(222•-•-（4）322)3()2(ab a -•-(5) )106()102(23⨯⨯⨯(6))(4)2(52223xy y x y y x -•--•知识点二、单项式乘多项式（1）)232(2122x xy xy -•（2）)14()3(2-•-a a（3）222)6()2331(xy x y xy -•---（4）)31(5)25(3x x x x +--（5）)1(4)2(322+--xy xy xy（6）)13(2)21(322+-+-x x x x x知识点三、多项式乘多项式（1）)2()2(y x y x +•- （2）)32()1(2--•+x x x（3）)2()1)(3(+--+x x x x （4）)16)(2()13)(12(--+-+y y y y知识点四、乘法公式完全平方公式：__________________________________________________________________平方差公式： _________________________________(1) 2)12(+x （2）2)12(-x （3）)12)(12(-+x x(4) 2)1(--a (5) )13)(13(--+-a a (6) 2102(7) ))((c b a c b a +--- (8) 10199⨯(9) )1)(1)(1(2++-a a a (10) 22)32()32(y x y x +-课后作业1、若3223m n x y x y -与是同类项，则)3(223y x y x n m -•＝____________.2、.已知m ，n 满足│m +1│+（n －3）2=0，化简（x －m ）（x －n ）=_________．3、.若（x －8）（x +5）=x 2+bx +c ，则b =____ __，c =____ ___．4、.当a =－1时，代数式)3)(2()2)(1(+---+a a a a 的值等于5、若4x 2－Mxy +9y 2是两数和的平方,则M 的值是__________6、计算：(1) (－ab +2) (ab +2) (2) (4m －3)2+ (4m +3)(4m －3)(3) –(3m 3－n )(3m 3+n ) （4）22111()()()339x y x y x y +-+(5) (x －2y +4)(x +2y －4) (6)(3x －4y )2－(3x +4y )2－xy7、先化简，再求值：（1） 32112[3(1)]23x x x x ---，其中x =12-（2） 25365(21)4(3)24a a a b a a b --+-+---，其中2,1=-=b a（3） (x －5y )(－x －5y )－(－x +5y )2,其中x =0.5,y =－1;（4）2111(1)(1)(1)222x y x y x y ---+---,其中x =1.5, y =3.9 .6、已知26xy =-，求3725(3)xy x y x y y ---8、若（mx +y ）（x －y ）=2x 2+nxy －y 2，求m ，n 的值．9、已知(a +b )2=7, (a －b )2=3,求: (1) a 2+b 2; (2) ab 的值.。

江苏省连云港市八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形(第3课时)教案苏科版

9.4 矩形、菱形、正方形第3课时一、教学目标：知识目标:理解菱形的定义。

2。

掌握菱形的性质.能力目标：1.经历探索菱形的概念与性质的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法。

2。

了解菱形的现实应用。

情意目标：1。

在操作活动过程中,加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣。

2.在学习过程中,体会菱形的图形美和内在美。

二、教学重点和难点：重点：菱形的性质.难点:菱形性质和直角三角形的知识的综合应用三、教学方法:引导与自主探索相结合四、教学过程教师活动学生活动个人修改意见一．课前预习与导学：1．菱形具有而矩形不一定具有的特征是( ）A、四条边相等；B、四个内角都相等C、对角线互相平分；D、对角线互相垂直。

2．菱形既是对称图形,又是通过课前预习与导学，发现学生对此部内容的学习存在哪些问题。

学生通过探究可以发现:四边形ABCD是中心对称图形,是平行四边形，并且有一组邻边相等，为引入菱形的概念做好铺垫。

2.给出菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（三）。

教学菱形的性质1。

按课本的《思考》、《讨论》两个环节展开.具体活动分为四个层次：第一层次：使学生理解，既然菱形是特殊的平行四边形，那么它就应该具有平行四边形的一切性质。

第二层次：通过思考，使学生理解，由于菱形比平行四边形多了一个特殊条件：有一组邻边相等,因此菱形应具有一些特殊的性质.探索菱形的特殊性质,要从这一特殊之处（有一组邻边相等）入手。

第三层次：借助于图形直观，引导学生通过合情推理去探索，发现结论。

第四层次：在合情推理的基础上，引导学生说理（分别从菱形的定义与中心对称性两个方面）,发展有条理的表达能力.2。

给出菱形的特殊性质菱形的四条边相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（四)例题讲解：P79例 3 ①熟悉、应用菱形的有关性质；②由于菱形的对角线互相垂直平分,菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义教学

江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义教课4. 利用旋转性质解决最值问题（解题课，难度★★★）知识梳理解决最值问题，可以考虑使用三角形三边关系和垂线段最短这种熟习的结论⒈从旋转出发，找基本图形和基本结论⒉将不确立的元素尽可能的转变成确立的元素⒊利用熟习的几何最值解决问题典例分析例 .如图，在锐角△ ABC中， AB=4, BC=5,∠ACB=45°,将△ ABC绕点 B 按逆时针方向旋转 , 获得△A?BC?,点 E 为线段 AB 的中点，点 P 是线段 AC上的动点，在△ ABC绕点 B 按逆时针方向旋转中，点 P 的对应点是点 P?,求线段 EP?长度的最大值和最小值 .分析：①②基础练1. 如图，在△ ABC中 , ∠ ACB= 90o, ∠ A=30o,AC = 4 3 ,BC的中点为D,将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度（ 0o? 180 o）获得△ FEC, EF的中点为 G,连接 DG,求在旋转过程中DG的最大值 .⑴如图，连接 CG,旋转过程中，关于DG与 CG、CD的大小关系正确的选项是（）A. DG≤CG- CDB. DG≤CG+CD⑵由 DG≤CG+ CD可知，旋转过程中，当 ______时， DG取最大值，此时 ________.( )A.DG = CG+CD；点 G在线段 DC的延长线上B.DG = CG- CD；点 G在线段 CD的延长线上⑶在旋转过程中 DG的最大值是 ________.提升练1.已知等边三角形 ABC边长为 2, 两极点 A、 B 分别在平面直角坐标系的 r 轴负半轴、 y 轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC,则线段 OC长的最小值是 _________.第1题第2题1.如图，点 P 是平行四边形 ABCD对角线上的动点，点 M为 AD的中点，已知 AD = 8, AB= 10,∠ABD = 45° ,把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P 的对应点是点 Q,则线段 MQ的长度的最大值与最小值的差为___________.3.如图，在△ ABC中 , ∠ ACB= 90o, ∠A=30o,BC=6,BC 的中点为 D, 将△ ABC绕点 C 顺时针旋转任意一个角度（ 0o? 180 o）获得△ FEC, EF的中点为 G,连接 DG,求在旋转过程中DG的最大值 .4.⑴发现：如图 1, 点 A 为线段 BC外一动点，且 BC=a, AB=b.当点 A 位于 ___时, 线段 AC的长获得最大值，且最大值为 ___________（用含 a, b 的式子表示） .（ 2）应用：点 A 为线段 BC外一动点，且 BC = 3, AB = 1,如图2所示，分别以AB,AC 为边作等边三角形ABD和等边三角形 ACE,连接 CD, BE.①图中与 BE相等的线段，是线段 ______.②线段 BE长的最大值 =_______________.⑶拓展 : 如图 3, 在平面直角坐标系中 , 点 A 的坐标为（ 2,0 ），点 B 的坐标为（ 5,0 ），点 P 为线段 AB外一动点 , 且 PA=2,PM=PB,∠ BPM= 90° , 则线段 AM长的最大值 =______, 此时点 P 的坐标为 __________.4.利用旋转性质解决最值问题答案基础练：① .B② .A③ .2+ 2 3提升练：1.2.3.①②4.11/1312/1313/13。

中考一轮复习--第21讲矩形、菱形、正方形

考法1
考法2
考法3
对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为( D )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
考法1
考法2
考法3
对应练2(2019·内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线
∵AD2+AB2=BD2,∴64+AB2=4AB2,
8 3
.
3
∴AB=
考法1
考法2
考法3
对应练3
(2018·甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点
F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
∴OD= 2,
∴直线 l∥AC 并且到 D 的距离为 3,同理,在点 D 的另一侧还有一条
直线满足条件,
故共有 2 条符合题意的直线 l.故选 B.
考法1
考法2
考法3
矩形的性质和判定
例1(2018·合肥行知学校模拟)如图,已知▱ABCD,延长AB到E使
BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.
AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的
8 3
长为 3
.
解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=DO,∵AE平分∠BAO,
∴∠BAE=∠EAO,且AE=AE,∠AEB=∠AEO,
∴△ABE≌△AOE(ASA),
∴AO=AB,且AO=OB,

苏科版八年级数学下册课件：9.4矩形、菱形、正方形(5)正方形2(共35张PPT)

直角三角形.
7.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的有
一点，且CE=AC.求∠E的度数.
A
D
B
C
E
8.已知:如图,四边形ABCD是正方形,以对角线
AC为一边作菱形AEFC.求∠FAB的度数.
DC
F
A
BE
9.已知:如图, E、F是正方形ABCD的对角线AC 上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是菱形.
（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？
A O (A')
D
F
D'
B
E
C
A O (A')
B
E
B'
D
F D'
C
B'
C'
C'
练习：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图
所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A．
（1）A、B、C的对应点分别是什么？
（2）△ABC可通过怎样的变换得到△ADC？
A
（3）从对称性看，四边形
ABCD是什么图形？ B
O
D
正方形实际是等腰直角三角形
绕其底边上的中点旋转180°
而形成的中心对称图形.
C
四边形ABCD有哪些特点？
四边形ABCD是中心对称图形,又是轴对称图形；
是平行四边形
A
A
D
F
OE
B
C
平行四边形
矩正菱形方形
形
挑战第二关具备什么条件的平行四边形是正方形？
正方形的判别方法：

9.4矩形、菱形、正方形(14.正方形与全等三角形)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

14.正方形与全等三角形 (解题课,难度★★☆)知识梳理利用正方形性质找全等①轴对称是正方形的一条重要性质②找旋转全等是正方形中常用技巧③作垂线构造全等也是常用技巧例1.如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB = 140◦，求∠AFE的度数．证明：∵ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=CD，∠BCE=∠DCE=45º, ∠BAE=∠DAE=45º在△BEC与△DEC中，BC=DC∠BCE=∠DCE ，∴△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DECCE=CE∴∠BED=∠BEC+∠DEC=2∠BEC，∵∠BED=140º, ∴∠BEC=70º∴∠AEF=∠BEC=70º, ∴∠AFE=180º-∠AEF -∠DAE=65º例2.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OD、OC 上，且 DE = CF，连接 DF、AE，AE 的延长线交 DF 于点 M．求证：AM⊥DF．证明：∵ABCD为正方形，AC、BD是对角线，∴∠ADE=∠DCF=45º,AD=DC，在△ADE与△DCF中，AD=DC∠ADE=∠DCF, ∴△ADE≌△DCF, ∴∠1=∠2DE=CF∵∠2+∠ADM =∠ADC=90º, ∴∠1+∠ADM=90º, ∴∠ADM=90º∴AM⊥DF例3.如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AD、AB、BC、CD 边上的点，CG > DE，BF > CH，连接 EG、FH．（1）如果 EG ⊥FH，证明：EG = FH；（2）如果 EG = FH，证明：EG⊥FH．⑴⑵1.如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O, E、E分别是边AD、CD上的点. 若AE = 8,CF = 6,且OE 丄 OF,求EF.①一一（判定全等）判定△OAE≌△ODF的依据为（）A ASAB SAS②一一在_______中，利用勾股定理，得到EF=__________。

江苏省连云港市八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形(第1课时)教案苏科版

9。

4 矩形、菱形、正方形第1课时一、教学目标知识目标：理解矩形的概念，掌握矩形的性质；能力目标：1．经历探索矩形的概念与性质的过程,在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想。

情意目标：1、在操作活动过程中,加深对矩形的的认识,并以此激发学生的探索精神。

2.通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美。

二、教学重点和难点;重点:矩形的性质的理解和掌握难点:矩形的性质的综合应用。

三、教学方法：引导与自主探索相结合四、教学过程：教师活动学生活动个人修改意见一．课前预习与导学:（1）________的平行四边形叫做矩形，每一个矩形最少有______条对称轴．(2）在对称性方面，矩形与一般平行四边形相比较，相同之处是：•二者都是_____对称图形．不同之处是：只有_______是____________对称图形(3）如图3,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB•的延长线于点E．AC和CE相等吗？为什么？二．课堂学习与研讨(一）情境创设：情境1:组织学生观察课本P74节首的两幅图片。

情境2：通过多媒体课件展示一些含有矩形的图片，引导学生观察.问题（1）上面的图片中有你熟悉的图形吗？（2）你能举出生活中类似的图形的吗？（3）矩形的结构特征是什么？（二)新知探索1．操作题：BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线，画出△ABC关于点O对称的图形。

操作分为以下二个步骤：第一：画出Rt△ABC关于点O对称的图形，得出四边形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心的结论.让学生感受到特殊的平行四边形就在自己的身边，有利于激发学生的学习兴趣及探索精神.操作—--观察—-—探索从而得出矩形的定义.引导学生加深对矩形的认识.演示平行四边形活动框架,引导学生观察第二:探索图中的四边形ABCD的特点.学生通过探究可以发现：四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，并且有一个角是直角,为引入矩形的概念做好铺垫。

9.4矩形、菱形、正方形(2.发现矩形的性质)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

2.发现矩形的性质（概念课，难度★☆☆）知识梳理1. 矩形是特殊的平行四边形 , 所以矩形具有平行四边形的一切性质．2. 矩形的其他特殊性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等总结：基础练:1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.四个角都是直角B.对角线互相平分C.对角相等D.对边平行2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角线相等B. 对角线互相平分C.邻角互补D.对边相等3.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角相等 B .对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂4.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC,若∠EDO = 15° ,则∠COB =_____º,∠AOE =____º5.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AC = 6,则0D=_______.提高练：1.已知，矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15,则矩形的较短边长为________。

第1题第2题2.如图所示，将长方形纸片ABCD进行折叠，∠FEH = 70°,则∠BHE =________º。

3.ABCD,若AB = 60m, BC = 84m,AE= 100 m,则这条小路的面积是________m2。

第3题第4题4.如图，在矩形ABCD中, AB = 3,对角线AC, BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为________.2.发现矩形的性质答案基础练:1.A 2.A 3.B 4.60º,75º 5.34.解答提高练：1.7.5 2.70 3.240 4.33。

江苏省滨海县第一初级中学七年级数学12月第二次学情调查试题苏科版

江苏省滨海县第一初级中学2015-2016学年七年级数学12月第二次学情调查试题一、选择题（本大题每题3分，共24分） 1. 在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是 ( ) A ．1枚 B ．2枚 C ．3枚 D ．任意枚2.方程212=x 的解是（） A.41-=x B.4=x C.41=x D.4-=x 3.方程8263-=+x x 移项后，正确的是（）A. 8623-=+x xB.6823+-=-x xC. 6823--=-x xD. 6823-=-x x4.若方程1314+=-x x 和12=+x m 的解相同，则m 的值为（）A ． -3B ． 1C ．21-D ．23 5. 如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）6. 下图需要再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况(图中阴影部分)，其中正确的是（）7. 下列说法正确的是（）A. 一个角的余角只有一个B. 一个角的补角必大于这个角；C. 钝角的补角一定是锐角D. 若两个角互为补角，则一个是钝角，一个是锐角8.某车间有28名工人生产螺丝与螺母，每人每天生产螺丝12个或螺母18个，现有x 名工人生产螺丝，恰好每天生产的螺丝和螺母按2:1配套，为求x ，列方程为（）A. 12x =18(28-x )B. 2×12x =18(28-x )C. 2×18x =12(28-x )D. 12x =2×18(28-x )二、填空题（本大题每题3分，共30分）9.若(2-a )x -4=5是关于x 的一元一次方程，则a 的取值范围是 .10.如果x =－1是关于x 的方程5x +2m -7=0的解，则m 的值是 .11. 人们会把弯曲的河道改直，这样能够缩短航程，这样做根据的道理是 .12. 一条直线上有A 、B 、C 、D 四个点，则图中共有条线段.13. 若∠A=62°48′，则∠A 的余角= .14. 某数x 的43%比它的一半还少7，则列出求x 的方程应是．15. 在直线上顺次取点A 、B 、C ，若 AB=9 cm,BC=10 cm,则AC= .16. 将一张长方形纸片如图方式折叠，BD 、BE 为折痕，若∠ABE=35°,则∠DBC 为 .17.已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ=_______ ___．18．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为第16题 A B C D120千米/时，乙车速度为80千米/时，相遇前经过小时两车相距50千米. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.三、简答题19.解方程：(本题每小题5分，共20分)（1）15435+=-x x （2）()432x x -=-(3) 32213+-=-x x （4）3714153x x --=-20. （本题共9分）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图。

江苏省盐城市滨海县第一初级中学凤鸣路校区2022—2023学年苏科版数学八年级上册期中综合练习07

滨海县第一初级中学凤鸣路校区八年级数学期中复习（07）一、必做题：（一）选择题1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2如图△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )A AC∥DF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠ACB=∠F3. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．5、7、9 D．5、12、134.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）．A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点5.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或206．如图AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°第2题第6题第7题第8题7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（）A．40° B．36° C．30° D．25°8. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．16秒B．18秒C．20秒D．22秒（二）填空题9．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB＝30，DF＝25，则BC为．10．角是轴对称图形，是它的对称轴．11．直角三角形斜边长为6cm,则斜边上的中线长为 cm.12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为3和4，则b的面积为 . 14．如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高线，E为AC上一点，且有AE＝AD．已知∠EDC＝12°，则∠B＝．第12题第13题第14题第15题16. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．18．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=______s 时，△POQ是等腰三角形．第18题图第16题第17题(三) 解答题19、如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.已知△ABC的三个顶点在格点上.（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C；（2）△ABC直角三角形（填“是”或“不是”）.（3）△ABC的面积是20、如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.21.如图,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求BD的长．22.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB．交AC于点E，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F．求证：F为线段CD中点．23．如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE（2）若BC=10cm,DE=6cm,求MN的长.（3）若∠A=n0，求∠DME的度数（用含n的式子表示）．二、选做题：24.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2) 若PA﹕PB﹕PC=6﹕8﹕10，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．三、拓展题：25．探索研究（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．试求∠DAE的度数．（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？并说明理由。

9.4矩形、菱形、正方形(9.菱形的判定定理)-江苏省滨海县第一初级中学苏科版八年级数学下册讲义

9.菱形的判定定理（概念课，难度★☆☆）核心考点知识梳理1.判定定理 1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（菱形最直接简单的判定定理）2.判定定理 2：四条边相等的四边形是菱形．3.判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形典例剖析例1.证明判定定理 1：有一组邻边邻边的平行四边形是菱形证明：本结论无需证明，原因: 这是菱形的定义例2.证明判定定理 2：四条边相等的四边形是菱形已知：在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA．求证：四边形 ABCD 是菱形．证明：例3.证明判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD．求证：四边形 ABCD 是菱形．证明:基础练:1.已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,添加下列哪个条件不能判定平行四边形ABCD是菱形（）A AB = ADB BD同时平分∠ABC、∠ADCC AC = BDD AC⊥BD2.已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,添加下列哪个条件不能判定平行四边形ABCD是菱形（）A AD = CDB AC = BDC DB同时平分∠ADC与∠ABCD ∠OBC + ∠ OCB = 90°3.对角线互相垂直平分的四边形是（）A 平行四边形B 矩形C 菱形D 任意四边形4.下列命题中正确的是（）A有两组邻边相等的四边形是菱形B 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C 对角线互相垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D 对角线互相垂直的四边形是菱形提高练：1.如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A 矩形B 菱形C 三角形 D平行四边形2.如图所示，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD、BC于点E, F.(1)求证：△AOE≌△COF；⑵连接AF和CE,当EF丄AC时，判断四边形 AFCE的形状，并说明理由3.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD, 下列作法中错误的是( )4.如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线 AC, BD交于点O, CE//BD, DE//AC, CE与DE交于点E,请探索DC与OE的位置关系，并说明理由.8.菱形的判定定理答案基础练:1.C 2.B 3.C 4.B 提高练:124.。

江苏省盐城市滨海县第一初级中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题(含解析)

A．138°8．如图，在▱ABCD4，BC＝6，CE＝1 A．B．1.53二、填空题15．如图，在中，16．在矩形中，三、解答题17．解方程(1)O AD BC ⊥ABCD 2560x x -+=下的投影长为．(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影．(2)根据题中信息，求出立柱的长．20．已知二次函数．(1)将二次函数化成的形式；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(3)当时，直接写出的取值范围．21．某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱．（1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是________．（2）若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率．22．第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x 表示）：A ：，B ：，C ：，D ：，E ：，F ：，并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：6m DE EF DE 223y x x =+-2()y a x h k =-+40x -<<y 7075x ≤<7580x ≤<8085x ≤<8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤已知八年级测试成绩D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：(1)n ＝______，a ＝______；(2)八年级测试成绩的中位数是______﹔(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．23．如图，已知△ABC ，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF =45°，（1）求证：△ACF ∽△BEC ．（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF ·BE =2S ．24．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．设销售单价定为x 元.据此规律，请回答：(1)商店日销售量减少___________件，每件商品盈利___________元(用含x 的代数式表示)；(2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？25．如图，在中，，延长到点D ，以为直径作，交的延长线于点E ，延长到点F ，使．Rt ABC △90ACB ∠=︒CA AD O BA BC BF EF =(1)求证：是(2)若的半径为(3)在（2）的条件下，求26．（1）观察猜想27．“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知Q （c ，d ）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P ，Q 间的“L 型距离．已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为EF O O ABC a c b d -+-(),L P Q a c b d =-+-1y点C 在直线x ＝2上运动，且满足．(1)求L （A ，B ）；(2)求抛物线的表达式；(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．参考答案与解析1．B 【分析】此题考查了众数的定义；根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）即可求出这组数据的众数．【详解】解：在这组数据中3出现了4次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；故选：B ．2．B【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，直接根据的性质即可得出答案．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：B ．3．C(),L B C BC ≤1y 221y tx =+221y tx =+5DE =CDE 3t x t +≤≤12y y y =+()2y a x h k =-+(),h k ()2y a x h k =-+()212y x =-+()1,2在▱ABCD 中，BO ＝DO ，CD ∴CM ＝CD ＝2，OM ＝BC ∵OM ∥CF ，∴△CFE ∽△MOE ，1212∴∴∴，90AEB CHB ABC ∠=∠=︒=∠，90ABE BAE ABE ∠+∠=︒=∠+BAE CBH ∠=∠【点睛】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理，将可得，=GN GN'（2）解：∵，DF AC ∥（3）观察图象得，当时，取最小值当时，取最大值，代入函数得，当时，．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．21．（1）；（2），见解析【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；=1x -y 4x =-y ∴40x -<<45y -≤<2535∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴即：BF EF =OE OA =BEF EBF ∠=∠OEA ∠90ACB ∠=︒90EBF CAB ∠+∠=︒CAB OAE ∠=∠OEA ∠90BEF OEA ∠+∠=︒8AE =ON AE ⊥142NE NA AE ====2NO AO AN =-故答案为：．（2）由题意知和∴，∴，∵，60︒ABC 2BC AB =2BE BD =2BC BE AB BD====45°ABC DBE ∠∠∵，，∴，由①知，∴在中，射线与直线相交所成的较小角的度数为∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，=AB AC =90°BAC ∠AF ==45ABC ACB ∠∠︒BAD ∠=BCF BAD ∠∠=45BCF ∠︒ACF △=180°F BCF ∠-∠AD CE =1=AB AC =90°BAC ∠2BC ==15CBD ∠︒=45DBE ∠︒=30EBC ∠︒EH BC ⊥3BH HE =同理可求，综上所述：的长为或【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．(1)4；(2)；=33CE -CE 31-32123y x x =-++由点到直线的距离，垂线段最短知：，面积的最大值为CM ≤115222CDE S DE CM DE CN CN ∴=⨯≤⨯= ()2,3C ()0,1N ()()2220314422CN ∴=-+-=+=55225222CN ∴=⨯=CDE ∴ 52。