数学苏教版必修3教学案:第1部分 第3章 3.4 互斥事件
2018版高中数学苏教版必修三学案:3.4 互斥事件
[学习目标] 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.知识点一互斥事件与对立事件的概念1.事件的包含关系①不可能事件记作∅,显然C⊇∅(C为任一事件);②事件2.①两个相等事件总是同时发生或同时不发生;②所谓A3.①A+B=B+A;②例如,在掷骰子试验中,事件C,C4.不能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为A.[思考](1)在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B应有怎样的关系?(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?答(1)因为1为奇数,所以A⊆B.(2)①看是不是互斥事件;②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件,则是对立事件;否则不是.知识点二概率的几个基本性质1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率在0~1之间,即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2.互斥事件的概率加法公式如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件,则A+B为必然事件,P(A+B)=1.再由互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B),得P(A)=1-P(B).题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.。
《互斥事件》教案3(苏教版必修3).doc
课题:3. 4互斥事件教学目标:1、知识与技能:(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念;(2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0 WP(A)W1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A+B)= P(A) + P(B);3)若事件A与B为对立事件,则A+B为必然事件,所以P(A+B)= P(A) + P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣。
教学重点:概率的加法公式及其应用教学难点:事件的关系与运算教学过程:一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级:优、良、中、不及格,某班5 0名学生参加了体育考试, 结果如下:优85分及以上9人良75~8415 A中10〜7421人不及格60分以下5人体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A, B, C, D.(1 )在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良?(2)从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少?二、建构数学1.即事件A与E是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件。
2.事件A, B, C, D,其中任意两个都是互斥的.一般地,如果事件A - A 2,…,A”中的任何两个都是互斥事件,就说事件A- A2,…,A”彼此互斥.3.设A, B为互斥事件,当事件A, B有一个发生,我们把这个事件记作A + B.在上述关于体育考试成绩的问题中,事件A + B就表示事件“优”或“良”,那么,事件A+B发生的概率是多少呢?由以上分析不难发现,概率必须满足如下第三个基本要求:如果事件A, B互斥,那么事件A + B发生的概率,等于事件A , B分别发生的概率的和,即P (A+B) = P(A)+ P (B).一般地,如果事件A「,A -…,A ”两两互斥,则P (A , + A2+ …+A n) = P(A,) + P (A2)+ …+P(A”).两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为A .对立事件方与A必有一个发生,故A + A是必然事件,从而P ( A ) +P (A) = P (A+A) = 1 .由此,我们可以得到一个重要公式:P ( A ) = 1 - P (A).三、数学运用1.例题例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问:事件A与B是否为互斥事件?是否为对立事件?例2某人射击1次,命中7〜1 0环的概率如表所示:命中环数10环9环8环7环概率0.120. 180. 280. 32(1 )求射击1次,至少命中7坏的概率;(2 )求射击1次,命中不足7坏的概率.例3黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示:血型A B AB 0该血型所占比%2829835已知同种血型的人可以输血,0型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给A B型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:(1 )任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2 )任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?例4 一个射于进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.例5抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P (A) =丄,P(B) = 1,求出“出现奇数点或偶数点”.2 2例6如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是丄,取到方块(事件B)的概率是丄,问:4 4(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?例7袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为得到黑球或黄球的概率是丄,得到黄球或绿球的概率也是丄,试求得到黑球、得到黄3 1212球、得到绿球的概率各是多少?2.练习课木第108页练习1, 2, 3, 4备用:1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。
高中数学 第3章 概率 3.4 互斥事件(2)教案 苏教版必修3
3.4 互斥事件及其发生的概率第2课时导入新课设计思路一:(情境导入)某公司在一次庆祝活动中,为了活跃现场气氛,在活动现场举行了一次抽奖活动.在一个箱子里装有900张奖券,奖券的号码是从100到999的三位自然数,从中抽取一张.若中奖的号码是有且仅有两个数字相同的奖券.试问该活动的中奖率是多少?设计思路二:(问题导入)在一只口袋中装有4个红球,2个白球,现从口袋中任取4个球.记事件A :至少取到2个红球;事件B :至少取到2个白球;事件C :没有取到红球:事件D :没有取到白球;事件E :至多取到2个白球.请指出以上事件中的必然事件、不可能事件和随机事件,并找出哪两个事件为互斥事件或对立事件.推进新课新知探究对于导入思路一:该抽奖活动的中奖奖券可以分为以下三种情形:(1)有两个非零数字构成的三位数,共有289⨯×2×3=216个;(2)一个零与另一个出现两次的非零数字组成的三位数,共有9×2=18个;(3)含有两个零及一个非零数字组成的三位数,共有9个.以上三种情形的每一种情形作为一个事件,则这三个事件是互斥事件,所以,抽奖活动的中奖率为P= 900243900990018900216=++=0.27. 这就是我们用上节课学习的互斥事件的概率的求法来解答的,下面,一起来回顾上节课所学的内容.上节课主要学习了以下内容:1.互斥事件的概念在一次试验中,不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果事件A 1,A 2,…,A n 中的任何两个都是互斥事件,我们就说事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥.2.互斥事件有一个发生的记法如果事件A 、B 是互斥事件,当事件A 、B 有一个发生,就记为A+B.若事件A 1,A 2,…,A n 是彼此互斥事件,我们就记为A 1+A 2+…+A n .3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A ,B 是互斥事件,那么事件A+B 发生的概率,等于事件A 、B 分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B),这个公式可以推广到n 个彼此互斥事件,即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).4.对立事件的概念如果两个互斥事件必定有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A .5.对立事件之间的概率关系由于对立事件A 与A 必有一个发生,所以A+A 是必然事件,因而有P(A)+P(A )=P(A+A )=1,所以有P(A)=1-P(A ).6.互斥事件与对立事件互斥事件不一定是对立事件,因为互斥事件可以有多于两个的事件,而对立事件只是两个互斥事件并且是其中必有一个发生.对于导入思路二:根据必然事件、不可能事件、随机事件以及互斥事件、对立事件的概念来判断.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果,这种现象就是确定性现象.在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先不能断定出现哪种结果,这种现象就是随机现象.对于在一定条件下必然要发生的事件,叫做必然事件;在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象,而随机事件反映的是随机现象事件A与B不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;一般地,如果事件A1,A2,…,A n中的任何两个都是互斥的,那么就说A1,A2,…,A n彼此互斥.根据上述概念,从4个红球,两个白球中任取4个球,红球必定至少2个,白球至多2个,所以,事件A、事件E为必然事件,事件B、事件D为随机事件,事件C为不可能事件;事件A与事件C为互斥事件也是对立事件,事件B与事件C为互斥事件但不是对立事件,事件B与事件D为互斥事件但不是对立事件,事件C与事件D为互斥事件但不是对立事件,事件C与事件E为互斥事件也是对立事件.其中的互斥事件与对立事件是上节课所学的内容,在上节课除学习了以上内容之外,还学习了互斥事件以及对立事件的概率的计算.如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和.即P(A+B)=P(A)+P(B).一般地,如果事件A1,A2,…,A n彼此互斥,那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1,A2,…,A n中有一个发生)的概率,等于这个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).如果两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的,它们有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥的事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生,但不可能同时发生.所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.由于对立事件A与A必定有一个发生,因此A+A是必然事件,所以P(A)+P(A)=P(A+A)=1,由此,可以有如下的重要公式P(A)=1-P(A).应用示例例1 下列命题中,真命题的个数是()①将一枚硬币抛两次,设事件A:“两次出现正面”,事件B:“只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件A.1B.2C.3D.4分析:根据互斥事件的概念即不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;以及对立事件的概念即如果两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.解:由互斥事件和对立事件的概念可知,①事件A与事件B不可能同时发生,因此,事件A 与事件B 是互斥事件,但由于事件A 与事件B 不满足必定有一个发生的条件,所以事件A 与事件B 不是对立事件,因而是假命题;②由于对立事件的前提是两个事件是互斥事件,因此,两个事件是对立事件必定是互斥事件,所以,是真命题;③互斥事件要成为对立事件必须还要满足两个事件中必有一个发生,所以,互斥事件不一定是对立事件,所以是假命题;④两个事件是对立事件则这两个事件中必有一个发生,因此,“若事件A 与B 为对立事件,则事件A +B 为必然事件”是真命题.综上所述,本题应该选择B.点评:互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不能同时发生之外,还要求满足这两个事件必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.此外,还需注意对关键词语“至多”“至少”等的深入理解.例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对分析:根据互斥事件与对立事件的概念及其相互关系来判断.解:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选C.点评:本题易错选A ,本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,二者的联系与区别主要体现在:①两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;②互斥概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件;③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.例3 用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.试问:(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少?(2)个体a 在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是多少?(3)在整个抽样过程中,个体a 被抽到的概率是多少?分析:首先判断所求事件之间的关系,是否为互斥事件,如果是,则运用互斥事件概率的求解方法来解.解:(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是P=81; (2)个体a 在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是P=817817=⨯⨯; (3)由于个体a 在第一次被抽到与第二次被抽到是互斥事件,所以,在整个抽样过程中,个体a 被抽到的概率是P=418181=+. 点评:当直接求某一个事件的概率较为繁杂时,可以考虑所求的事件是否可以看作几个互斥事件有一个发生的问题,如果可以,则可以运用公式P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )来求解.例4 某射手射击一次,(1)若事件A“射手射击一次,中靶”的概率为0.95,则事件A 的概率是多少?(2)若事件B“射手射击一次,中靶环数大于5”的概率为0.7,那么事件C“射手射击一次,中靶环数小于6”的概率是多少?事件D“射手射击一次,中靶环数大于0而小于6”的概率是多少?分析:根据题意可以运用对立事件的概率之和等于1的关系来求解.解:(1)因为P(A)=0.95,所以P(A )=1-P(A)=1-0.95=0.05;(2)事件B与事件C是对立事件,又因为P(B)=0.7,所以P(C)=P(B)=1-0.7=0.3;P(D)=P(C)-P(A)=0.3-0.05=0.25.点评:如果某事件A发生包含的情况比较多,而它的对立事件即事件A不发生所包含的情形较少,这时可以利用公式P(A)=1-P(A)来计算事件A的概率比较简便.对于(2)中,事件C的发生可以看作事件D和事件A有一个发生的情形,而事件D和事件A是互斥事件,所以P(C)=P(D)+P(A),即P(D)=P(C)-P(A),从这里可以看出,不仅要会直接运用公式,也要会运用公式的变形形式.知能训练1.从存放号码分别为1,2,3…10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:A.0.53B.0.5C.0.47D.0.372.如果事件A、B互斥,那么()A. A+B是必然事件B. A +B是必然事件C. A与B一定互斥D. A与B一定不互斥3.1人在打靶中连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A.至多有一次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有一次中靶4.战士小王在一次射击中命中9环的概率是0.27,命中8环的概率是0.21,命中7环的概率是0.24,不够7环的概率是0.19,试求:(1)该战士在一次射击中命中7环或8环的概率;(2)该战士在一次射击中命中10环的概率;(3)该战士在一次射击中命中8环或8环以上的概率.5.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是31,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率也为125,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 6.甲、乙两个人下棋,和棋的概率为21,乙获胜的概率为31,求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.解答:1.A2.B3.C4.(1)射中7环或8环的概率为0.21+0.24=0.45;(2)射中10环的概率为1-0.27-0.21-0.24-0.19=0.09;(3)8环或8环以上的概率为0.21+0.27+0.09=0.57.5.设“取红球”为事件A ,“取黑球”为事件B ,“取黄球”为事件C ,“取绿球”为事件D ,则由题意知:6.(1)甲获胜的概率为1-21-31=61;(2)甲不输的概率为1-31=32. 课堂小结这节课我们继续学习了互斥事件以及对立事件的概念及概率的计算.在运用公式时,我们一定要先判断是否符合互斥事件以及对立事件的概念,然后再根据判断的结果进行解答.特别是互斥事件有一个发生的概率公式,对立事件的概率的和为1,这些公式的运用必须先要考查是否具备各事件彼此互斥和两个事件是对立事件的前提条件.在求较为复杂的事件的概率时,通常有以下两种方法:第一种方法是直接求解法,可以将所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和,分解后的每一个事件的概率的计算可以通过等可能事件的概率来解,其关键是确定事件是否互斥.第二种方法是间接求解法,先求出所求事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A )来计算,也就是运用逆向思维的思想方法.另外注意文字叙述的含义,例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”等类型的概率时都采用间接求解的方法.作业课本习题3.4 7、8.设计感想在求解随机事件的概率时,可以根据题目的条件,先判断所求事件的概率类型,然后根据相应的概率类型,采用相应的概率计算公式来求解.在运用概率公式求解互斥事件有一个发生的概率以及对立事件的概率时,首先要考查是否具备各事件彼此互斥和两事件对立的前提条件,因此,要搞清楚互斥事件和对立事件的区别和联系,互斥事件是指两事件不能同时发生,对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.在求较为复杂的事件的概率时,通常采取两种方法:一是将所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一个发生的问题,二是先求所求事件的对立事件的概率.习题详解习题3.41.(1)记A={摸出红球},B={摸出黄球},C={摸出蓝球},D={摸出红球或黄球},因为事件A 与B 互斥,运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.45+0.33=0.78.(2)因为事件C 与D 对立,运用对立事件概率公式得P(C)=1-P(D)=1-0.78=0.22. 答:(1)摸出红球或黄球的概率为0.78;(2)摸出蓝球的概率为0.22.2.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.4-0.2=0.4.3.运用互斥事件及对立事件概率公式得P (至多2人排队等候)=0.1+0.16+0.3=0.56,P (至少3人排队等候)=1-0.56=0.44.4.分别记“这台彩电是一等品”“这台彩电是二等品”“这台彩电是次品”为事件A 、B 、C ,则事件A 、B 、C 两两互斥.(1)记D={这台彩电是正品},运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.9+0.08=0.98;(2)记E={这台彩电不是一等品},则事件E 与A 对立,运用对立事件概率公式得 P(E)=1-P(D)=1-0.9=0.1.答:这台彩电是正品的概率为0.98;这台彩电不是一等品的概率为0.1.5.(1)记A={投中红色扇形区域},B={投中蓝色扇形区域}.根据几何概型的概率公式可得P(A)=6136060=,P(B)= 6136060=. (2)记C={投中红色或蓝色扇形区域}.因为事件A 与B 互斥,运用互斥事件概率加法公式得,P(C)=P(A)+P(B)=316161=+. (3)记D={投中白色扇形区域}.因为事件D 与C 对立,运用对立事件概率公式得 P(D)=1-P(C)=1-3231=. 答:分别投中红色、蓝色扇形区域的概率均为61,投中红色或蓝色扇形区域的概率为31,投中白色扇形区域的概率为32. 6.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.54-0.22-0.12=0.12.7.(1)12张牌中抽出2张的方法为66种,其中两张都是A 的方法有6种,故所求概率为111666=;(2)余下10张,抽取2张的方法为45种,其中两张都是A 的方法有6种,故所求概率为152456=. 8.(1)得一等奖的概率=7101;(2)如果一等奖号码为1234567,则二等奖号码可以为X234567(X 不等于1)及123456X (X 不等于7)共有18种可能,三等奖的号码为XY34567(Y 不等于2)或X23456Y (X 不等于1且Y 不等于7)或12345XY (X 不等于6)共有90+81+90=261种可能,故得三等奖及以上奖的概率为67102810261181=++.。
高中数学教案必修三:3.4 互斥事件(2)
教学目标:1.能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件;2.了解两个互斥事件概率的加法公式;3.了解对立事件概率之和为1的结论;4.会用相关公式进行简单概率计算.教学重点:用相关公式进行简单概率计算;教学难点:含“至多,至少”等量词的简单概率计算.教学方法:谈话、启发式.教学过程:二、学生活动互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.一般地,如果事件A1,A2,…,A n中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件A1,A2,…,A n彼此互斥.对立事件:必有一个发生的互斥事件互称对立事件.对立事件必互斥,互斥事件不一定对立.三、建构数学1.概率的计算:一般地,如果事件A1,A2,…,A n彼此互斥,那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1,A2,…,A n中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+A n) =P(A1)+P(A2)+…+P(A n)对立事件的概率的和等于1 ,即P(A)+P(A)=1在求某些复杂事件(如“至多、至少”)的概率时,通常有两种方法:(1)将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和;(2)求此事件的对立事件的概率.四、数学运用1.例题.例1某人射击1次,命中7~10环的概率如下表所示:(1)求射击1次,至少命中7环的概率;(2)求射击1次,命中不足7环的概率.解:记“射击1次,命中k环”为事件Ak(k∈N,且k≤10),则事件Ak两两互斥.(1)记“射击1次,至少命中7环”为事件A,则当A10,A9,A8或A7之一发生时,事件A发生.故P(A)=P(A10+ A9+ A8+A7)= P(A10)+P(A9)+P(A8)+P(A7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9 (2)事件“射击1次,命中不足7环”为事件A的对立事件,即A表示事件“射击1次,命中不足7环”.故P(A)=1-P(A)=1-0.9=0.1.答:此人射击1次,至少命中7环的概率为0.9,命中不足0.7环的概率为0.1.例2黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何血型的人可以输给AB血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?分析:在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和,二是先去求此事件的对立事件的概率.2.练习.练习1 一只口袋有大小一样的5只球,其中3只红球,2只黄球,从中摸出2只球,求两只颜色不同的概率.解:从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10.记:“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A ,“从5只球中任意取2只红球”为事件B ,“从5只球中任意取2只黄球”为事件C ,则A =B +C .,53106)(==A P ,103)(=B P ,101)(=C P ,52101103)()(=+=+=∴C B P A P则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率为: ()()123155P A P A ==-=- 答:从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为53 . 练习2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球的概率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.解:有放回地抽取3次,所有不同的抽取结果总数为33,(1)3只全是红球的概率为271 ; (2)3只颜色全相同的概率为 91273= ; (3)“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”.故“3只颜色不全相同”的概率为 98911=- . 思考:“3只颜色全不相同”概率是多少?若:红球3个,黄球和白球各两个,其结果又分别如何?五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:2.在求某些复杂事件(如“至多、至少”)的概率时,通常有两种方法:(1)将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和;(2)求此事件的对立事件的概率.。
高中数学第三章概率3.4互斥事件学案苏教版必修3(new)
3.4 互斥事件学习目标1。
理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义,能根据定义辨别事件的互斥、对立关系;2.掌握互斥事件的概率加法计算公式.知识点一互斥事件思考一粒骰子掷一次,记事件A:点数大于4;事件B:点数小于3,则事件A,B可能在一次试验中同时发生吗?梳理互斥事件的概念:________________的两个事件称为互斥事件.知识点二事件A+B思考一粒骰子掷一次,A:点数为奇数;事件B:点数大于3,则A,B至少有一个发生包含哪些基本事件?梳理一般地,事件“A,B至少有一个发生"记为A+B.如果事件A,B互斥,那么事件A+B 发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=__________________.一般地,如果事件A1,A2,…,A n两两互斥,那么P(A1+A2+…+A n)=________________。
知识点三对立事件思考在“知识点一思考”中,一次试验里,A,B是否必有一个发生?你能定义一个事件C,使A,C必有一个发生吗?梳理对立事件及其概率公式:如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为错误!;对立事件概率公式P(错误!)=__________.类型一互斥、对立的判定例1 判断下列各对事件是不是互斥事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)“恰有1名男生"和“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生";(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.反思与感悟如果A、B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.跟踪训练1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C :命中环数小于6环;事件D :命中环数为6、7、8、9、10环.类型二互斥、对立概率公式例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是错误!,取到方块(事件B)的概率是错误!,问:(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?反思与感悟事件C是事件A与事件B的并事件,且事件A与事件B互斥,因此可用互斥事件的概率加法公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).跟踪训练2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是错误!,得到黑球或黄球的概率是错误!,得到黄球或绿球的概率也是错误!,试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少?类型三事件关系的简单应用例3 某人外出去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘交通工具的概率为0。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.4 互斥事件》
互斥事件及其发生的概率班级________姓名________【学习目标】1.了解互斥事件和对立事件的概念,能判断某两个事件是否为互斥事件,进而判断它们是否为对立事件2.了解互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率和为13.运用互斥事件概率和公式及对立事件的概率和进行简单的概率计算【预学单】〔一〕问题情境问题1:一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取 1个小球。
求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;3得到红球或绿球的概率想一想:“得到红球〞和“得到绿球〞这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗事件得到“红球或绿球〞与上两个事件又有什么关系它们的概率间的关系如何【研学单】〔二〕建构数学1.互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.一般地,如果事件中的任何两个都是互斥的,那么就说事件彼此互斥.2.互斥事件的概率如果事件,互斥,那么事件发生的概率,等于事件,分别发生的概率的和,即.一般地,如果事件两两互斥,那么问题2:互斥事件一定不能同时发生,那么是否可以同时不发生?举例说明问题3:“从盒中摸出1个球,得到的不是红球〔即绿球或黄球〕〞与“得到是红球〞之间有什么关系?3.对立事件两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件.事件的对立事件记为.对立事件和必有一个发生,故是必然事件,从而.因此,我们可以得到一个重要公式.备注:对立事件是互斥事件的特殊情形;前者两个事件都可以不发生,但后者两个事件必有一个发生概念理解问题4、抛掷一颗骰子一次,记“向上的点数是4,5,6〞为事件A,“向上的点数是1,2〞为事件B,“向上的点数为1,2,3〞为事件C,“向上的点数是1,2,3,4〞,为事件D,判别以下每件事件是不是互斥事件1A与B 〔2〕A与C 〔3〕A与D问题5、判断以下给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由。
从40张扑克牌〔红桃、黑桃、梅花、方块点数从1~10各10张〕中,任取一张〔1〕“抽出红桃〞与“抽出黑桃〞;〔2〕“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞;〔3〕“抽出的牌的点数为5的倍数〞与“抽出的牌的点数大于9〞问题6、一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球,从中任意摸出2只球。
高中数学苏教版必修三教学案:第3章 3.4 互斥事件-含答案
2016年春节前夕,南京市某超市进行有奖促销活动,有一等奖与二等奖奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率是0.25,假设每位顾客只有一次机会.问题1:假设顾客甲获奖,说明什么?提示:说明顾客甲中一等奖或二等奖.问题2:通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生?提示:不能同时发生.问题3:在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗?提示:必有一个发生.1.互斥事件(1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)如果事件A1,A2,…,A n中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,…,A n彼此互斥.(3)规定:设A,B为互斥事件,若事件A、B至少有一个发生,我们把这个事件记作A+B.2.互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).(2)如果事件A1,A2,…,A n两两互斥,则P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).3.对立事件(1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为A.(2)性质:P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A).1.从集合的角度理解互斥事件与对立事件.设两个事件分别为A和B,则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示.(2)事件A和B对立可用图(2)表示.2.运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件,是否为对立事件.并说明道理.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断.[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件.道理是:在所选的两名同学中,“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.(2)不可能是互斥事件.从而也不是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,它们可同时发生.(3)不可能是互斥事件.也不是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.(4)是互斥事件.也是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.[一点通]对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件,在确定了两个事件互斥的情况下,就要看这两个事件的和是不是必然事件,这是判断两个事件对立的基本方法.1.下列说法:①将一枚硬币抛两次,设事件A:“两次正面朝上”,事件B:“只有一次反面朝上”,则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件其中,正确的个数是________.解析:由对立事件与互斥事件的定义知,只有②④正确.答案:22.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环.事件B:命中环数为10环.事件C:命中环数小于6环.事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.解:事件A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥.又因为事件C与事件D 至少有一个发生,所以C与D也是对立事件.[例2] (12分)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等。
高中数学 3.4《互斥事件的概率》学案 苏教版必修3
3.4.1 互斥事件及其发生的概率学习要求1、了解互斥事件及对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件,进而判断它们是否是对立事件.2、正确理解两个互斥事件的概率加法公式,会用相关公式进行简单概率计算.【课堂互动】自学评价案例:体育考试的成绩分为四个等级:优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下:问题:在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良?从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少?【解】体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为D C B A ,,,.在同一次体育考试中,同一人不能同时既得优又得良,即事件B A ,是不可能同时发生的.在上述关于体育考试成绩的问题中,用事件B A +表示事件“优”和“良”,那么从50人中任意抽取1个人,有50种等可能的方法,而抽到优良的同学的方法有 9+15种,从而事件B A +发生的概率50159)(+=+B A P . 另一方面509)(=A P ,5015)(=B P ,因此有)()()(B P A P B A P +=+. 1.互斥事件:不能同时发生的两个事件称为互斥事件.2.互斥事件的概率 : 如果事件A ,B 互斥,那么事件B A +发生的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率的和,即)()()(B P A P B A P +=+.一般地,如果事件n A A A ,,,21 两两互斥,则1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++=+++ . 3.对立事件:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A . 对立事件A 和A 必有一个发生,故A A +是必然事件,从而1)()()(=+=+A P A P A A P . 因此,我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=.【经典范例】例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A ,摸出1只白球和1只黑球为事件B .问事件A 和B 是否为互斥事件?是否为对立事件?【解】7环的概率. 【解】例3 从装有4只红球、4只白球的黑袋中任意取出3只球, 记事件A :取出3只红球;记事件B :取出2只红球和1只白球;记事件C :取出1只红球和2只白球;记事件D :取出3只球中至少有1只白球.,指出上列事件中哪些是对立事件?试问事件B 指什么? 试问事件A B +指什么? 【解】例4 有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名,求恰好是2名男生或2名女生的概率. 【解】追踪训练1、下列说法中正确的是( )A .事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 B .事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C .互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D .互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 2、连续掷3次硬币,那么互为对立的事件是( )A 、至少一次是正面和最多有一次正面;B 、最多有一次正面和恰有两次正面;C 、不多于一次正面和至少有两次正面;D 、至少有两次正面和恰有一次正面.3、一射手进行一次射击,给出4个事件:①命中的环数大于8,②命中的环数大于5,③命中的环数小于4,④命中的环数小于6,其中互斥事件的有( )A 、1组 B 、2组 C 、3组 D 、4组4、在一批产品中,有多于4件的次品和正品,从这批产品中任意抽取4件,事件A 为抽取4件产品中至少有一件次品,那么A 为( )A 、抽取的4件产品中至多有1件次品;B 、抽取的4件产品中恰有1件次品;C 、抽取的4件产品中没有次品;D 、抽取的4件产品中有多于4件的次品. 5、某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.课后作业:课本P108 1,2,3,43.4.2互斥事件及其发生的概率学习要求1、进一步巩固两个互斥事件的概率加法公式.2、提高两个互斥事件的概率加法公式的综合应用能力。
高中数学第3章概率3.4互斥事件共同成长学案苏教版必修3(2021学年)
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3。
4 互斥事件共同成长见仁见智关于互斥事件和等可能事件,几个同学各自发表了自己的看法.甲:互斥事件是指不能同时发生的2个或多个事件。
乙:在一次试验中,由于某种对称条件,使得若干个随机事件发生的可能性相同,这些事件称为等可能事件,在数量上可为2个或多个.丙:互斥事件在实际生活中大量存在,如在十字路中“向左拐”与“向右拐”是互斥事件,“去学校”与“不去学校"也是互斥事件.由于在十字路中“向左拐”与“向右拐”可能性相等,它也是等可能事件,因此有些互斥事件也是等可能事件。
丁:互斥事件和等可能事件是意义不同的两个概念。
你对互斥事件和等可能事件的看法如何呢?合作共赢请你和你的同学先阅读下列资料,然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.一次梅某和赌友掷骰子,各押赌注32个金币.双方约定,如果梅某先掷出三次6点或赌友先掷出三次4点,就算赢了对方。
赌博进行了一段时间,梅某已经两次掷出了6点,赌友已经一次掷出了4点。
这时梅某接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.(1)如果再掷一次骰子,赌友掷得了一个4点。
请问两个人应该怎样分这64个金币?(2)如果赌博就此中断了,请问两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。
苏教版数学高一-必修3教学案 3.4互斥事件
事件?是否为对立事件?
例2 某人射击1次,命中7~10环的概率如下图所示:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率
12.0 18.0 28.0 32.0
(1)求射击1次,至少命中7环的概率; (2)求射击1次,命中不足7环的概率.
例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:
血 型
A B AB O 该血型的人所占比/%
28
29
8
35
同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B 型血,若小明因病需要输血.
问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
巩固练习
1.判断:
(1)若B A ,是互斥事件,则B A ,中至多有一个发生,他们可能都不发生,但不可能都发生 ( )。
高中数学 3.4 互斥事件学案 苏教版必修3
3.4 互斥事件系并能正确区分、判断.1.互斥事件在一次试验中,不能同时发生的两个事件称为互斥事件.一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥.设A ,B 为互斥事件,若事件A ,B 至少有1个发生,那么我们把这个事件记作A +B .预习交流1如何从集合的角度理解互斥事件?提示:对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识,如果A ,B 是两个互斥事件,反映在集合上是表示A ,B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交,即如果事件A 与B 是互斥事件,那么A 与B 两事件同时发生的概率为0.2.互斥事件的概率计算如果事件A ,B 互斥,那么事件A +B 发生的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率的和,即P (A +B )=P (A )+P (B ).一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两互斥,那么P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).预习交流2某人射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该人击中环数大于5的概率是0.6+0.3=0.9对吗?为什么?提示:不对.该人“击中环数大于7”与“击中环数是6或7或8”不是互斥事件,不能用互斥事件的概率加法公式求解. 3.对立事件两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A .对立事件A 与A 必有1个发生,故A +A 是必然事件,从而P (A )+P (A )=P (A +A )=1,故有P (A )=1-P (A ).预习交流3对立事件一定是互斥事件吗?反之是否成立?提示:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.预习交流4(1)袋中装有除颜色外其他均相同的红球和黄球各3个,从中任取2个球,在下列事件中是对立事件的是__________.①恰有1个红球和恰有2个黄球②至少有1个红球和全是红球③至少有1个红球和至少有1个黄球④至少有1个红球和全是黄球(2)小明、小欣两人下棋,两人下成和棋的概率是0.2,小欣获胜的概率是0.5,则小欣不输的概率是__________.提示:(1)④(2)0.7一、互斥事件与对立事件的判断判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取1张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.思路分析:解答本题可先看每组中两个事件是否能同时发生,若能,则不是互斥事件,更不是对立事件;若不能同时发生,则为互斥事件,再进一步判断二者是否必有一个发生,若是,则为对立事件;若不是,则只是互斥事件,而不是对立事件.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是__________.(填序号)①至少有1个黑球与都是黑球②至少有1个黑球与至少有1个红球③恰有1个黑球与恰有2个黑球④至少有1个黑球与都是红球答案:③解析:设A=“恰有1个黑球”,B=“恰有2个黑球”.事件A与B不可能同时发生,因此事件A与B互斥.但是A与B也有可能都不发生,因此A与B不对立;“至少有1个黑球”与“都是黑球”既不互斥也不对立;“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”既不互斥也不对立;“至少有1个黑球”与“都是红球”对立也互斥.判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.若不同时发生,则这两个事件是互斥事件;若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件.判断两个事件是否为对立事件,主要看是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.如果这两个条件同时成立,那么这两个事件就是对立事件.只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.二、互斥事件的概率加法公式的应用冰箱里有5袋牛奶,其中有两袋已经过期,小明随机取出两袋,求:(1)恰好两袋都已过期的概率;(2)取到过期牛奶的概率.思路分析:弄清各个事件之间的关系是解答本题的关键,本题可利用互斥事件的概率加法公式求解.解:给每袋牛奶编号:没过期的牛奶分别记作:1,2,3号,过期的两袋牛奶分别记作:4,5号.取两袋牛奶的所有基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种,每种基本事件发生的可能性相同.(1)设“恰好两袋都已过期”为事件A ,则P (A )=0.1;(2)设“恰有一袋牛奶过期”为事件B ,则事件B 包含:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)共6种基本事件,所以P (B )=0.6.“取到过期牛奶”=A +B ,又因为A ,B 互斥,所以取到过期牛奶的概率为0.7.1.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色区域的概率为__________.答案:713解析:记事件“转盘指针分别停在红、黄、蓝、黑区域”分别为A ,B ,C ,D ,则它们两两互斥.∵P (A )=66+2+1+4=613,P (C )=16+2+1+4=113, ∴P (A +C )=P (A )+P (C )=613+113=713. 2.从一副去掉大小王混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率P (A +B )=__________.答案:726解析:52张扑克牌中红桃K 只有1张,黑桃有13张,∴P (A )=152,P (B )=1352=14. 又∵A ,B 为互斥事件,∴P (A +B )=P (A )+P (B )=152+1352=1452=726.(1)利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤是:①要确定这些事件彼此互斥;②这些事件中有一个发生;③先求出这些事件分别发生的概率,再求和.(2)概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题.该公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用.如果事件A ,B 不互斥,就不能应用公式P (A +B )=P (A )+P (B )来求概率.三、对立事件的概率甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙胜的概率为13,求: (1)甲胜的概率;(2)甲不输的概率.思路分析:由题目可知甲、乙两人下棋的结果共有三种:和棋、甲胜、乙胜.三个事件彼此互斥.解答本题时可考虑将事件分解成几个互斥事件的和事件或对立事件.解:(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为1-12-13=16. (2)设“甲不输”为事件A ,可看作是“乙胜”的对立事件,所以P (A )=1-13=23,即“甲不输”的概率是23.1.(1)小芳参加考试,她考试及格的概率是0.85,则她考试不及格的概率是__________.(2)某射手在一次射击中,击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19,则该射手在一次射击中击中不足9环的概率是__________.答案:(1)0.15 (2)0.48解析:(1)小芳考试及格与否是对立事件,考试及格的概率为0.85,所以她考试不及格的概率为1-0.85=0.15.(2)记该射手击中10环、9环的事件分别为A,B.则该射手在一次射击中击中不足9环的概率P=1-P(A)-P(B)=0.48.2.从一篮鸡蛋中取1个,如果其质量小于30克的概率为0.1,质量在30~40克的概率为0.6,则质量大于40克的概率是__________.答案:0.3解析:记“质量小于30克”的概率为P(A),“质量在30~40克”的概率为P(B),“质量大于40克”的概率为P(C),则P(A)+P(B)+P(C)=1,∴P(C)=1-0.1-0.6=0.3.3.2012年5月1日某购物中心举行“庆五·一回报顾客”的超低价购物有礼活动,某求:(2)至少30人排队的概率.解:(1)记“没有人排队”为事件A,“20人排队”为事件B,“30人排队”为事件C,A,B,C三个事件彼此互斥,所以至多30人排队的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)记“至少30人排队”为事件D,结合(1),因为事件D与事件A+B是对立事件,所以至少30人排队的概率为P(D)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.16=0.74.(1)利用对立事件求概率的方法:首先确定对立事件,求出对立事件的概率,再利用公式P(A)=1-P(A)通过求事件A 的概率P(A)来求P(A).(2)利用对立事件求概率时应注意的问题:①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率;②在计算事件的概率时,有时采用“正难则反”的逆向思维方法,直接计算事件的概率比较复杂,而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法.1.一箱机器零件中有合格品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品;③至少有1件合格品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是合格品.四组中是互斥事件的组数是__________.答案:2解析:①互斥;②不互斥;③不互斥;④互斥且对立.所以①④互斥.2.把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是__________事件.答案:互斥但不对立解析:只有一张红牌,甲、乙不能同时分得,∴两事件互斥.但有可能甲、乙都没分得红牌,而丙、丁中一人分得,∴两事件不对立.3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是__________.答案:0.3解析:事件“摸出黑球”的对立事件为:“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”,根据对立事件的公式,摸出黑球的概率为:1-0.42-0.28=0.3.4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.答案:910解析:由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球全是红球的情况有1种,所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1-110=910.(2)[8,12)(m);(3)[14,18)(m).解:记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)(m)分别为事件A ,B ,C ,D ,E .则事件A ,B ,C ,D ,E 两两互斥,由互斥事件的概率公式可得:(1)P (B +C +D )=P (B )+P (C )+P (D )=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P (A +B )=P (A )+P (B )=0.10+0.28=0.38.(3)P (D +E )=P (D )+P (E )=0.16+0.08=0.24.所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)(m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.4.1 互斥事件》1
《互斥事件》教学设计江阴市祝塘中学潘华东我有幸参加了江阴市举办的三力课堂教学大比武,课题是《互斥事件》的第一课时。
刚拿到课题感觉这节课内容简单,要把课上得精彩感觉挺难的。
我拿到课题之后首先进行一个整体的构思,一堂好的课一定要有要自己的思想,要巧妙的把自己的想法融入到课堂中去。
所谓“三力”课堂,是指“学习有动力、课堂有活力、师生长能力”的课堂样态。
我的教学设计要尽量按三力课堂的要求进行,更要符合学生的需求。
一、学情分析授课对象的学生来自江阴市第一中学,学生的学习能力较强。
面对这样的学生,我的课堂除了清晰的讲述之外,应该在问题的设置上多花一点功夫。
设置的问题要有新意,又要有一定的思维含量。
尽量多一些学生探究活动,让学生有更多的展示机会,让课堂充满活力。
二、教材分析本节课来自苏教版必修3第三章第四节《互斥事件》,在之前学生已经学习了随机事件、古典概型、几何概型等内容。
统计与概率这一块内容,从小学到初中学生一直在学习,同学已经具备了一定的概率研究的方法。
本节课的教学目标:1、使学生了解互斥事件及对立事件的概念,能判断某两个事件是否为互斥事件,进而判断它们是否为对立事件;2、使学生正确理解两个互斥事件的概率加法公式,会用相关公式进行简单概率计算。
教学重点:互斥事件的概念及概率加法公式。
本节课的教学紧紧围绕教学重、难点展开,使学生学习有动力,让课堂有活力,使学生数学学习能力有一定的提高。
三、教学过程本堂课的重、难点是互斥事件的概念及概率加法公式。
我在本堂课的教学上,更注重新知的形成。
本节课开始就抛出问题情境:掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的点数:(1)写出所有的等可能的基本事件;(2)记事件A=“点数大于3” B=“点数小于3” C=“点数等于3”D=“点数为奇数” E=“点数为偶数”问:事件A与事件B能否同时发生?事件D与事件E呢?事件A与事件D呢?本节课的前半段都始终围绕着这个问题情境展开,由于学生的有效配合,使得本堂课的前半段精彩纷呈,收到了很好的的教学效果。
高中数学第3章概率3.4互斥事件教学案苏教版必修3(1)(2021学年)
2017-2018学年高中数学第3章概率3.4 互斥事件教学案苏教版必修3(1)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017-2018学年高中数学第3章概率 3.4 互斥事件教学案苏教版必修3(1))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017-2018学年高中数学第3章概率 3.4 互斥事件教学案苏教版必修3(1)的全部内容。
错误!预习课本P112~115,思考并完成以下1.什么叫互斥事件?2.若A,B是两个事件,则A+B的含义是什么?3.互斥事件的概率加法公式是什么?4.什么叫对立事件,对立事件有什么性质?错误!1.互斥事件(1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,…,A n彼此互斥.[点睛](1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则在这些事件中,至多有一个发生,即可以有一个发生,而其他的均不发生,也可以是均不发生.(2)如果事件A与B是互斥事件,那么A与B同时发生的概率为0.(3)从集合的角度来看,事件A,B彼此互斥,是指事件A,B所含的结果组成的集合彼此不相交,也就是它们的交集是空集,所有事件结果构成全集I,如图所示.2.互斥事件的概率加法公式(1)A+B表示在一次试验中A,B至少有一个发生.(2)如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A1,A2,…,A n两两互斥,则P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).[点睛]运用上述公式必须判断事件间的互斥性,然后再判断它们当中是否必有一个发生,否则不能用公式.3.对立事件(1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为错误!。
高中数学 3_4 互斥事件学案 苏教版必修31
3.4 互斥事件系并能正确区分、判断.1.互斥事件在一次试验中,不能同时发生的两个事件称为互斥事件.一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥.设A ,B 为互斥事件,若事件A ,B 至少有1个发生,那么我们把这个事件记作A +B .预习交流1如何从集合的角度理解互斥事件?提示:对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识,如果A ,B 是两个互斥事件,反映在集合上是表示A ,B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交,即如果事件A 与B 是互斥事件,那么A 与B 两事件同时发生的概率为0.2.互斥事件的概率计算如果事件A ,B 互斥,那么事件A +B 发生的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率的和,即P (A +B )=P (A )+P (B ).一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两互斥,那么P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).预习交流2某人射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该人击中环数大于5的概率是0.6+0.3=0.9对吗?为什么?提示:不对.该人“击中环数大于7”与“击中环数是6或7或8”不是互斥事件,不能用互斥事件的概率加法公式求解.3.对立事件两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A .对立事件A 与A 必有1个发生,故A +A 是必然事件,从而P (A )+P (A )=P (A +A )=1,故有P (A )=1-P (A ).预习交流3对立事件一定是互斥事件吗?反之是否成立?提示:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.预习交流4(1)袋中装有除颜色外其他均相同的红球和黄球各3个,从中任取2个球,在下列事件中是对立事件的是__________.①恰有1个红球和恰有2个黄球②至少有1个红球和全是红球③至少有1个红球和至少有1个黄球④至少有1个红球和全是黄球(2)小明、小欣两人下棋,两人下成和棋的概率是0.2,小欣获胜的概率是0.5,则小欣不输的概率是__________.提示:(1)④(2)0.7一、互斥事件与对立事件的判断判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取1张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.思路分析:解答本题可先看每组中两个事件是否能同时发生,若能,则不是互斥事件,更不是对立事件;若不能同时发生,则为互斥事件,再进一步判断二者是否必有一个发生,若是,则为对立事件;若不是,则只是互斥事件,而不是对立事件.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是__________.(填序号)①至少有1个黑球与都是黑球②至少有1个黑球与至少有1个红球③恰有1个黑球与恰有2个黑球④至少有1个黑球与都是红球答案:③解析:设A=“恰有1个黑球”,B=“恰有2个黑球”.事件A与B不可能同时发生,因此事件A与B互斥.但是A与B也有可能都不发生,因此A与B不对立;“至少有1个黑球”与“都是黑球”既不互斥也不对立;“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”既不互斥也不对立;“至少有1个黑球”与“都是红球”对立也互斥.判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.若不同时发生,则这两个事件是互斥事件;若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件.判断两个事件是否为对立事件,主要看是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.如果这两个条件同时成立,那么这两个事件就是对立事件.只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.二、互斥事件的概率加法公式的应用冰箱里有5袋牛奶,其中有两袋已经过期,小明随机取出两袋,求:(1)恰好两袋都已过期的概率;(2)取到过期牛奶的概率.思路分析:弄清各个事件之间的关系是解答本题的关键,本题可利用互斥事件的概率加法公式求解.解:给每袋牛奶编号:没过期的牛奶分别记作:1,2,3号,过期的两袋牛奶分别记作:4,5号.取两袋牛奶的所有基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种,每种基本事件发生的可能性相同.(1)设“恰好两袋都已过期”为事件A,则P(A)=0.1;(2)设“恰有一袋牛奶过期”为事件B,则事件B包含:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)共6种基本事件,所以P(B)=0.6.“取到过期牛奶”=A+B,又因为A,B互斥,所以取到过期牛奶的概率为0.7.1.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色区域的概率为__________.答案:713解析:记事件“转盘指针分别停在红、黄、蓝、黑区域”分别为A,B,C,D,则它们两两互斥.∵P(A)=66+2+1+4=613,P(C)=16+2+1+4=113,∴P (A +C )=P (A )+P (C )=613+113=713.2.从一副去掉大小王混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率P (A +B )=__________.答案:726解析:52张扑克牌中红桃K 只有1张,黑桃有13张, ∴P (A )=152,P (B )=1352=14.又∵A ,B 为互斥事件,∴P (A +B )=P (A )+P (B )=152+1352=1452=726.(1)利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤是:①要确定这些事件彼此互斥;②这些事件中有一个发生;③先求出这些事件分别发生的概率,再求和.(2)概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题.该公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用.如果事件A ,B 不互斥,就不能应用公式P (A +B )=P (A )+P (B )来求概率.三、对立事件的概率甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙胜的概率为13,求:(1)甲胜的概率; (2)甲不输的概率.思路分析:由题目可知甲、乙两人下棋的结果共有三种:和棋、甲胜、乙胜.三个事件彼此互斥.解答本题时可考虑将事件分解成几个互斥事件的和事件或对立事件.解:(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为1-12-13=16.(2)设“甲不输”为事件A ,可看作是“乙胜”的对立事件,所以P (A )=1-13=23,即“甲不输”的概率是23.1.(1)小芳参加考试,她考试及格的概率是0.85,则她考试不及格的概率是__________. (2)某射手在一次射击中,击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19,则该射手在一次射击中击中不足9环的概率是__________.答案:(1)0.15 (2)0.48解析:(1)小芳考试及格与否是对立事件,考试及格的概率为0.85,所以她考试不及格的概率为1-0.85=0.15.(2)记该射手击中10环、9环的事件分别为A ,B .则该射手在一次射击中击中不足9环的概率P=1-P(A)-P(B)=0.48.2.从一篮鸡蛋中取1个,如果其质量小于30克的概率为0.1,质量在30~40克的概率为0.6,则质量大于40克的概率是__________.答案:0.3解析:记“质量小于30克”的概率为P(A),“质量在30~40克”的概率为P(B),“质量大于40克”的概率为P(C),则P(A)+P(B)+P(C)=1,∴P(C)=1-0.1-0.6=0.3.3.2012年5月1日某购物中心举行“庆五·一回报顾客”的超低价购物有礼活动,某求:(2)至少30人排队的概率.解:(1)记“没有人排队”为事件A,“20人排队”为事件B,“30人排队”为事件C,A,B,C三个事件彼此互斥,所以至多30人排队的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)记“至少30人排队”为事件D,结合(1),因为事件D与事件A+B是对立事件,所以至少30人排队的概率为P(D)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.16=0.74.(1)利用对立事件求概率的方法:首先确定对立事件,求出对立事件的概率,再利用公式P(A)=1-P(A)通过求事件A 的概率P(A)来求P(A).(2)利用对立事件求概率时应注意的问题:①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率;②在计算事件的概率时,有时采用“正难则反”的逆向思维方法,直接计算事件的概率比较复杂,而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法.1.一箱机器零件中有合格品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品;③至少有1件合格品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是合格品.四组中是互斥事件的组数是__________.答案:2解析:①互斥;②不互斥;③不互斥;④互斥且对立.所以①④互斥.2.把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是__________事件.答案:互斥但不对立解析:只有一张红牌,甲、乙不能同时分得,∴两事件互斥.但有可能甲、乙都没分得红牌,而丙、丁中一人分得,∴两事件不对立.3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是__________.答案:0.3解析:事件“摸出黑球”的对立事件为:“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”,根据对立事件的公式,摸出黑球的概率为:1-0.42-0.28=0.3.4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.答案:910解析:由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种,所取的3个球全是红球的情况有1种,所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1-110=910.(2)[8,12)(m);(3)[14,18)(m).解:记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)(m)分别为事件A ,B ,C ,D ,E .则事件A ,B ,C ,D ,E 两两互斥,由互斥事件的概率公式可得:(1)P (B +C +D )=P (B )+P (C )+P (D )=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)P (A +B )=P (A )+P (B )=0.10+0.28=0.38. (3)P (D +E )=P (D )+P (E )=0.16+0.08=0.24.所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)(m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.。
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2016年春节前夕,南京市某超市进行有奖促销活动,有一等奖与二等奖奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率是0.25,假设每位顾客只有一次机会.问题1:假设顾客甲获奖,说明什么?提示:说明顾客甲中一等奖或二等奖.问题2:通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生?提示:不能同时发生.问题3:在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗?提示:必有一个发生.1.互斥事件(1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件.(2)如果事件A1,A2,…,A n中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1,A2,…,A n彼此互斥.(3)规定:设A,B为互斥事件,若事件A、B至少有一个发生,我们把这个事件记作A +B.2.互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).(2)如果事件A1,A2,…,A n两两互斥,则P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).3.对立事件(1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为A.(2)性质:P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A).1.从集合的角度理解互斥事件与对立事件.设两个事件分别为A和B,则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示.(2)事件A和B对立可用图(2)表示.2.运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.[例1]判断下列各对事件是否是互斥事件,是否为对立事件.并说明道理.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是男生;(4)至少有1名男生和全是女生.[思路点拨]根据互斥事件、对立事件的定义判断.[精解详析](1)是互斥事件. 不是对立事件.道理是:在所选的两名同学中,“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.(2)不可能是互斥事件.从而也不是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,它们可同时发生.(3)不可能是互斥事件.也不是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.(4)是互斥事件.也是对立事件.道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.[一点通]对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件,在确定了两个事件互斥的情况下,就要看这两个事件的和是不是必然事件,这是判断两个事件对立的基本方法.1.下列说法:①将一枚硬币抛两次,设事件A:“两次正面朝上”,事件B:“只有一次反面朝上”,则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件其中,正确的个数是________.解析:由对立事件与互斥事件的定义知,只有②④正确.答案:22.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环.事件B:命中环数为10环.事件C:命中环数小于6环.事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.解:事件A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥.又因为事件C与事件D至少有一个发生,所以C与D也是对立事件.[例2](12分)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)事件A、B、C的概率;(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.[思路点拨]明确事件的特征,利用互斥事件或对立事件求解.[精解详析]P(A)=11 000,P(B)=101 000=1100,P(C)=501 000=120. (3分)故事件A,B,C的概率分别为11 000,1100,120. (4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A+B+C. (5分) ∵A、B、C两两互斥,∴P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) (6分)=1+10+501 000=611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (7分)(3)法一:设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, (9分)∴P(N)=1-P(A+B)=1-(11 000+1100)=9891 000. (11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000. (12分) 法二:不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P=501 000+1 000-611 000=9891 000. (12分)[一点通]针对这个类型的题目,首先要判断所给已知事件是否为互斥事件,再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和.最后用概率加法公式求得.3.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为________.解析:记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ,则A 、B 、C 、D 、E 互斥,取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和.∴P (B +D +E )=P (B )+P (D )+P (E )=15+15+15=35.答案:354.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率: (1)[10,16)(m); (2)[8,12)(m); (3)水位不低于14 m.解:设水位在[a ,b )范围内的概率为P ([a ,b )).由于水位在各范围内对应的事件是互斥的,由概率加法公式得:(1)P ([10,16))=P ([10,12))+P ([12,14))+P ([14,16))=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)P ([8,12))=P ([8,10))+P ([10,12))=0.1+0.28=0.38. (3)P ([14,18))=P ([14,16))+P ([16,18))=0.16+0.08=0.24.[例3] 一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?[思路点拨] 用对立事件的性质去求解. [精讲详析] 从9张票中任取2张,有 (1,2),(1,3),…,(1,9); (2,3),(2,4),…,(2,9); (3,4),(3,5),…,(3,9); …(7,8),(7,9);(8,9),共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件B ,“号数全是偶数”为事件C ,则事件C 为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)(2,6)(2,8)(4,6)(4,8)(6,8)共6种取法.∴P (C )=636=16,由对立事件的性质得P (B )=1-P (C )=1-16=56.[一点通]1.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先去求对立事件的概率.2.涉及到“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解,当涉及的互斥事件多于两个时,一般用对立事件求解.5.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________.解析:由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确,故所求概率为1-(1-0.8)·(1-0.75)=0.95.答案:0.95 6.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选出一个成员,求:(1)他至少参加2个小组的概率; (2)他参加不超过2个小组的概率.解:(1)由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则A 表示“选取的成员至少参加2个小组”.于是P (A )=1-P (A )=1-6+8+1060=35.(2)用事件B 表示“选取的成员参加不超过2个小组”,用B 表示“选取的成员参加3个小组”,所以P (B )=1-P (B )=1-860=1315.1.利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率,但一定要注意公式使用前提,一是两两互斥,二是有一个发生.2.利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题,可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的.课下能力提升(十八)一、填空题1.从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球,下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________.①至少有一个红球;至少有一个白球 ②恰有一个红球;都是白球 ③至少有一个红球;都是白球 ④至多有一个红球;都是红球解析:对于①,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球,一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于②,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于③,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于④,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.答案:②2.口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.解析:∵摸出红球的概率P 1=45100=0.45,∴摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32. 答案:0.32 3.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45,则不中靶的概率是________.解析:设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A ,“命中圆环Ⅱ”为事件B ,“命中圆环Ⅲ”为事件C ,“不中靶”为事件D ,则A ,B ,C ,D 彼此互斥,故射手中靶概率为P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )= 0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事件,所以不中靶的概率P (D )=1-P (A +B +C )=1-0.80=0.20.答案:0.204.袋中有2个白球和3个黑球,从中任取两个球,则取得的两球中至少有1个白球的概率是________.解析:从5个球中任取两个球含10个基本事件, 取得的两球中没有白球的含3个基本事件,且此事件 与事件A :“取得的两球中至少有一个白球”对立, 则P (A )=1-P (A -)=1-310=710.答案:7105.事件A ,B 互斥,它们都不发生的概率为25,且P (A )=2P (B ),则P (A -)=________.解析:因为事件A ,B 互斥,它们都不发生的概率为25,所以P (A )+P (B )=1-25=35.又因为P (A )=2P (B ),所以P (A )+12P (A )=35,所以P (A )=25,所以P (A -)=1-P (A )=1-25=35.答案:35二、解答题6.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由. 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.从40张扑克牌中,任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.7.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率.解:(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A ,则事件A 的概率为P (A )=5+4+320=35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ,则事件B 的概率为P (B )=1-220=910.8.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A 表示“和为6”的事件,求P (A );(2)现连玩三次,以B 表示“甲至少赢一次”的事件,C 表示“乙至少赢两次”的事件,则B 与C 是否为互斥事件?试说明理由;(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解:(1)令x 、y 分别表示甲、乙出的手指数,则基本事件可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和. 因为S 中点的总数为5×5=25, 所以基本事件总数n =25. 事件A 包含的基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个, 所以P (A )=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件,如“甲赢一次,乙赢两次”的事件中,事件B 与C 是同时发生的.(3)由(1)知,和为偶数的基本事件数为13个,即甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1225,所以这种游戏规则不公平.。