试题8(天津大学线性代数试题)

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2020(2)线性代数检测题答案

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)4301301330133101011011r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr rr r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)111111111111022281111002211110002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+ 或221223310010010110101(1)(1)1010101101010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理. 天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.(2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫--⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.(3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A (2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆.(3)()102100102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u u u u u u r A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A . 天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫---⎪⎛⎫⎪⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭A . 2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A .四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ； (2) ()()()()111211111n n -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M B ，()100n ⨯=LC ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L LL M M M M L PAQ ，或()11101000--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M B P ，()()112100n c c c -==L LC Q ，则=A BC .“⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u u u r u u u u u u u r A b 由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x xx x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++L εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++=L A αAαAα0，则1122()s s k k k +++=L A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++==L αααA 00. 再由12,,,s L ααα线性无关，知120s k k k ====L ，即向量组12,,,s L A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα. 2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

天津大学线性代数答案

解方程组为
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习题一
1/4
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3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

天津科技大学线性代数期末考试题一

天津科技大学线性代数期末考试题【一】一、填空题（共24分，每小题4分）1. 设n 阶可逆矩阵A 满足 5,A kA k =＞0，则k ＝ .2. 设2300110000310021A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则1A -= . 3. 已知三阶方阵A 的特征值为1，－1，2，则1A E -+的特征值为 .4. 行列式1111234549162582764125＝ .5.齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解的充要条件是λ为 .6. 设123,,ααα为三个三维列向量，方阵()123,,A ααα=，方阵()2113,,B αααα=-,且 3A =,计算 A B +＝二、设A 是三阶方阵,10A =,计算行列式11132A A -*⎛⎫- ⎪⎝⎭ （6分）三、求非齐次线性方程组2132344352x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩ 的通解 (12分)四、求解矩阵方程 341022113330278X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ (8分)五、求向量组()11,3,2,3,α=-()23,5,1,1α=-，()31,1,5,7α=--，()47,9,7,9α=-的一个极大无关组，并把其余向量表示为这个极大无关组的线性组合。

(8分)六、已知四元非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解向量123,,ηηη满足()11,2,3,4T η=, ()232310,5,0,10Tηη+=, 又知 ()3r A =，求线性方程组的通解。

(7分)七、设向量 12,,,S ααα 线性相关，其中任意1S -个向量均线性无关。

证明存在一组全不为零的数 12,,,S k k k ，使 11220S S k k k ααα+++= (8分)八、用施密特正交化方法把向量组123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121＝2，＝2，＝－1－113正交化。

天津大学线性代数试题

试题8(天津大学线性代数试题)一、单项选择题（本题12分，每小题3分）1．二次型222123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--的标准形为（A ）2310y ；（B ）22212310y y y ++；（C ）22212310y y y ---；（D ）22212310y y y --.2．若12,,,(2)m m ααα≥线性相关，那么向量组内（）可由向量组的其余向量线性表示.（A ）任何一个向量;（B ）没有一个向量 ;（C ）至少有一个向量; （D ）至多有一个向量.3．设A 为正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积为（A ）0 ;（B ） 1 ;（C ） 2 ;（D ）3.4．设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则*A 等于（A ）1234-⎛⎫⎪-⎝⎭;（B ）1324-⎛⎫ ⎪-⎝⎭;（C ）4231⎛⎫ ⎪⎝⎭;（D ）4231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 二、填空题（本题12分，每小题4分）1．设向量(1,,)a b α=与向量12(2,2,2),(3,1,3)αα==都正交，则_____a =，____b =.2．设,A B 为3阶方阵，且1,2A B =-=，则'122()____A B -=.3．设矩阵121231411A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则齐次线性方程组0AX =的解空间的维数是____.三、（本题15分）设422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵C ，使得'1C AC C AC -=为对角形.四、（本题8分）已知三阶方阵A 的特征值为3，2，1，它们对应的特征向量为1232202,2,2022X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .五、（本题15分）问,a b 为何值时，下列方程组有解，并求出方程组的通解.12345123452345123451,3230,2263,5433.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩六、（本题10分）设向量组1234(1,2,1,2,2),(4,1,2,1,3),1(2,5,4,1,0),(1,1,1,1,).3αααα=---==-= （1）证明向量组1234,,,αααα线性相关；（2）求向量组1234,,,αααα的一个极大线性无关组；（3）将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合.七、（本题12分）设1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭和 123411111110,,,11100000B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22R ⨯的两组基，定义2210(),02A A A R σ⨯⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）试证：σ是22R ⨯上的线性变换.（2）求由基11122122,,,E E E E 到基1234,,,B B B B 的过渡矩阵.（3）求σ在基1234,,,B B B B 下的矩阵.八、（本题8分）设B 是n 阶可逆矩阵，A 是n 阶方阵，且满足220A AB B ++=，试证明A 与A B +均为可逆矩阵.九、（本题8分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231, 4.2λλλ===- （1）证明：*2E A -是可逆矩阵；（2）设*2*()44B A A E =-+，试证B 是正定矩阵.。

线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案

解：
有无穷多解
同其中
3、求非齐次线性方程组的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
4、求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为导出组的基础解系为，
全部解为其中
（2）写出对应的二次型，并判定的正定性。
解：
（1）
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
（2）
正定从而正定
4、设求正交矩阵，使为对角形。
解：
对于解得，
已正交单位化
对于解得
单位化令则
七、1、设为阶方阵且满足，证明可逆。（证明略）
2、设阶方阵若，证明不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组，，，的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组基础解系为
通解为其中
2、求齐次线性方程组的基础解系及通解。
A、 B、 C、或 D、
三、解矩阵方程
1、设，求矩阵，使得。
解：由，可逆
2、设，求矩阵，使得。
解：由，
可逆
3、设，求矩阵，使得
解：由，
可逆
4、设，求矩阵，使得。

天津大学线代模拟2

模拟试题2一、填空题(每小题3分，共15分)1. 向量组[][][][，，，，，，，，215，4，3，24，3，2，11111TT T 1-====432αααα T1]2-，的秩为_____，一个极大无关组为______________.2. 设2/1||33=⨯A ，则______|)(2)3(|2*12=--A A .3. 设n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111A ，则||A 的所有代数余子式之和为_____. 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，n λλλ，，， 21为B 的n 个特征值，且存在可逆矩阵P ，使E PAPAP P B +-=--11，则_____1=∑=ni i λ.5. 设二次型31212322213212224)(x x x tx x x x x x x f --++=，，是正定的，则t 的取值范围为___________.二、选择题(每小题3分，共15分)1. 设矩阵A 与⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31130000110011B 相似，则=-+-+)2()()(E A E A A r r r ( ). (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 102. 设0||=A ，21αα，是AX 0=的一个基础解系，0≠=33ααA ，则( )不是A 的特征向量.(A) 21αα+ (B) 212αα- (C) 313αα+ (D) 32α3. 设A ，B 均为n 阶方阵，且2)(2)(n/r n/r <<B A ，，则齐次线性方程组0=AX 与0=BX ().(A) 没有相同的非零解 (B) 同解(C) 只有相同零解 (D) 有相同的非零解 4. 设n n ⨯∈R A ，n m )r(<=A ，则下列说法不正确的是( ). (A) A 可经过初等行变换化为][O E m ，(B) 对任意m 为列向量β，方程组β=AX 必有无穷多解 (C) 若m 阶矩阵B ，满足O BA =，则O B = (D) T AA 为正定矩阵5. 设矩阵A 与)(diag 21n d d d ，，，相合，则必有( ). (A) n r =)(A (B) A 是正定矩阵(C) n d d d ，，， 21是A 的特征值(D) 二次型AX X T 有标准形2222211n n y d y d y d +++三、(10分) 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++02)1(4022)2(02321321321x x a x x x x a x ax x ，，有非零解，且三阶矩阵A 的三个特征值为224，，-，对应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112121321321a a a a a a X X X ，，. 试确定参数a ，并求矩阵A .四、(8分) 设][3214αααα，，，=A ，非齐次线性方程组β=AX 的通解为[][]TT201-11111，，，，，，k +，其中k 为任意常数.1. 1α能否由432ααα，，线性表示？说明理由.2. 3α能否由421ααα，，线性表示？说明理由.五、(8分)已知[][][]4T3T2T111153113201αααα，，，，，，，，，，，，a -=== [][]TT5116421，，，，，，，b a =+=β，问a ，b 取何值时，1. β不能由4αααα，，，321线性表示；2. β可由4αααα，，，321线性表示，并写出该表达式.六、(8分)设实线性空间V 的一个基为(Ⅰ)：xx x x e e e e 24231====αααα，，，x x 2.定义V 的线性变换σ：V x f x f x f ∈∀=)()('))((，σ.1. 求σ在基(Ⅰ)下的矩阵A ；2. 问是否存在V 的基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵？并说明理由.七、(16分)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242221baa A 实对称，2为A 的特征值. 1. 求a ，b 的值；2. 求正交矩阵S 及对角矩阵Λ，使得ΛAS S =T ；3. 二次型X A X X 2T )(=f 是否为正定二次型？八、(1题6分，2题5分，3题5分，共16分)1. 设A ，B 均为n 阶正交方阵，n 为奇数，求证B A +与B A -至少有一个不可逆；2. 设n E AB =，求证A 的行向量组线性无关；3. 设n n B A ⨯∈R ，对称，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b ，求证B A +的特征值全大于b a +.模拟试题2答案一、填空题1. 3，421ααα，，(或431ααα，，，或432ααα，，)；2. 541-；3. 1；4. n ；5. )22(，-.二、选择题1. (C)；2. (C)；3. (D)；4. (A)；5. (D).三、33⨯齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为0，即0)1)(2(21422212=+--=--+a a a a a ，得2=a 或1-.若2=a ，则21X X =，与21X X ，是A 的属于不同特征值的特征向量矛盾！故1-=a . 当1-=a 时，][][]T3T2T1101012321，，，，，，，，=-=-=X X X ，显然32X X ，线性无关，从而321X X X ，，线性无关.令][321X X X S ，，=，则S 可逆，且)224diag(1，，-=-AS S ，因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-163222123)224d i a g (1S S A ，，. 四、由题设，知[]T201-1，，，是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则314)(=-=A r ，且0=+-4212ααα.1. 432120αααα-+=，则1α可由432ααα，，线性表示.2. 设3α可由421ααα，，线性表示，则)()(34214321ααααααα，，，，，r r ==，因此421ααα，，线性无关.与0=+-4212ααα矛盾！故3α不能由421ααα，，线性表示.五、令44332211ααααβx x x x +++=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+-=+++.5)6(53432121432143214324321x a x x x b x ax x x x x x x x x x ，，，对其增广矩阵作初等行变换，可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=01301001211011111561534321211011111~a b a a b a A . 当1=a 且3≠b 时，)~(32)(A A r r =<=，则方程组无解，此时β不能由1α ，4ααα，，32 线性表示.当1≠a 时，4)~()(==A A r r ，则方程组有唯一解，此时β可由，，，321ααα4α线性表示，且表示法唯一.1)3(2141301234---=--+=--==a b x a b a x a b x x ，，，4321013141)3(2ααααβ+--+--++---=a b a b a a b当1=a 且3=b 时，42)~()(<==A A r r ，方程组有无穷多解，此时β可由4αααα，，，321 线性表示，但表示法不唯一.431432221x x x x x x +-=-+=，其中43x x ，任意取值，则4231221121)21()2(ααααβk k k k k k ++-+++-=，其中21k k ，任意常数.六、1. 由σ的定义，有，，，，424322311122)(22)()()(αααααααααα==+=+=+=+===xxx2xx2xe σe x x σxee σe σe从而σ在基(Ⅰ)下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=20010*********A . 2. A 的全部特征值为214321====λλλλ，.对于三重特征值1，有-43134)(≠=-=-E A r ，因此A 不能对角化，从而σ不能对角化，即不存在V 的基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵.七、1.由A 对称，知4=b .又2是A 的特征值，则0)2(44444221|2|2=-=-----=-a aaE A ，得2=a .2. A 的特征多项式为)7()2(242422221||2+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+--=-λλλλλλA E ，则72321===λλλ，.A 的对应于特征值722，，的特征向量为[][][].22，11，22212T3T2T1-=-==，，，，，，X X X将321X X X ，，单位化，得正交矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21222112231S ，且 ΛAS S =-=)722diag(T ，，八、 1. 由B A ，正交，知E B B E AA ==T T ，，则⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-+=+=+BB A A B AA B AB B A B B A A B AA B AB B A T T T TT T )()(于是||||||||)1(||||22B A B A B A B A B A n -+-=-+(n 为奇数)，即0||||)||||1(22=-++B A B A B A因此0||||=-+B A B A ，故0||=+B A 或0||=-B A ，从而B A +与B A -至少有一个不可逆.2. 由n E AB =，知}m i n {)()(s n r n r ，≤≤=A AB (s为A 的列数)，因此)(A rn =，故A 的行向量组线性无关.3. 实对称矩阵E A a -，E B b -的特征值全为正，则E A a -，E B b -均正定，因此E B A E B E A )()()(b a b a +-+=-+-也正定，故B A +的特征值全大于b a +.。

天津科技大学线性代数检测题答案（最新）

1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)430130133013310101010101r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr r r r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ，故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ；(2) ()()()()111211111nn -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B P ，()()112100n c c c -== C Q ，则=A BC . “⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x x x x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解；2. 0；3. 无关；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0，则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。

天大网络教育线性代数一

天大网络教育线性代数一
试卷：001011线性代数-作业
1.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D
考生答案：A
2.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D
考生答案：C
3.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：D
4.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：A
5.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：A
17.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
18.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
19.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
20.
A、A.A
B、B.B
C、C
D、D.D
11.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：D
12.
A、A.A
C、C.C
D、D.D 考生答案：D
13.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
14.
A、A.A
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
15.
B、B.B
C、C.C
D、D.D 考生答案：B
16.
A、A.A
B、B.B
天大网络教育线性代数一试卷:001011线性代数-作业 1. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d 考生答案:a 2. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d 考生答案:c 3. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:d 4. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:a 5. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:c 6. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:c 7. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 8. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:c 9. ?a,a.a ?b,b.b ?d,d.d考生答案:a 10. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:d 11. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:d 12. ?a,a.a ?c,c.c ?d,d.d考生答案:d 13. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 14. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 15. ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 16. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:a 17. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 18. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 19. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d考生答案:b 20. ?a,a.a ?b,b.b ?c,c.c ?d,d.d

天津大学数学考研真题

天津大学数学考研真题数学考研一直以来都备受考生的关注，尤其是天津大学的数学考研真题更是备受瞩目。

本文将介绍一些天津大学数学考研真题，并深入探讨其解题思路和技巧，帮助考生在备考过程中更好地应对这些真题。

1. 题目一题目描述：求函数f(x) = |x - 2| + |x^2 - 3x + 2|的最小值。

解答思路：考虑|a|的几何意义，可以得知a的绝对值是a两侧的点到原点的距离之和。

对于f(x) = |x - 2| + |x^2 - 3x + 2|，我们可以通过分段函数的概念，将其划分为几个区间进行讨论。

当x ≤ 2时，f(x) = -(x - 2) - (x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 5x - 4。

当2 < x ≤ 3时，f(x) = -(x - 2) + (x^2 - 3x + 2) = x^2 - 5x + 4。

当x > 3时，f(x) = (x - 2) + (x^2 - 3x + 2) = x^2 - x + 2。

对于这三个不同的区间，我们可以通过求导或其他方法，找到其最小值。

分别求导后可得到x = 2和x = 3两个关键点，将其代入原函数中可以得到最小值为f(2) = 0。

因此，函数f(x) = |x - 2| + |x^2 - 3x + 2|的最小值为0。

2. 题目二题目描述：已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + 4x - 4，在区间[0,1]上的最大值为2。

求实数a的值。

解答思路：我们可以通过求导来求解这个问题。

首先，求导可以得到f'(x) = 3x^2 + 2ax + 4。

由于已知函数在[0,1]上取得最大值为2，我们可以得到以下两个方程组：f(0) = 0 + a(0)^2 + 4(0) - 4 = -4f(1) = 1 + a(1)^2 + 4(1) - 4 = 2根据方程组，我们可以解得a = -2。

因此，实数a的值为-2。

通过以上两个题目的讨论，我们可以看到天津大学数学考研真题涉及了不同的数学概念和解题思路。

高等数学天大教材答案

高等数学天大教材答案高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，它包含了微积分、线性代数、概率统计等内容。

对于天大（天津大学）的学生们来说，掌握高等数学的知识是非常重要的。

然而，由于课程内容繁杂，有时候学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要参考教材答案来帮助自己理解和解决问题。

以下是《高等数学》天大教材中的一些习题的答案，供学生们参考和学习。

1. 微积分1.1. 极限与连续1.1.1. 习题一：(1) 设函数\[f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 2x+3, & x \geq 0\end{cases}\]，求极限\[\lim_{x \to 0} f(x)\]的值。

答案：由于\[x \to 0^- \]时，函数\[f(x) = x^2+1 \]；而\[x \to 0^+ \]时，函数\[f(x) = 2x+3 \]。

因此，\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2+1 = 1 \]，\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \]。

由左右极限相等，则\[\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = 3 \]。

1.1.2. 习题二：(1) 已知函数\[f(x) = \frac{x^2-x}{x-1} \]，求\[\lim_{x \to 1} f(x)\]的值。

答案：将函数\[f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1} \]进行因式分解，得\[f(x)= \frac{x(x-1)}{x-1} = x \]。

因此，\[\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x= 1 \]。

1.2. 导数与微分1.2.1. 习题一：(1) 求函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]的导函数。

答案：对函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]逐项求导，得\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]。

19春天津大学《线性代数(专)》在线作业二100分答案

标准选择是:C
11.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
12.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
13.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
14.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
15.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
二、判断题(共5道试题,共25分)
5.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:A
6.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D标准选择是Biblioteka C7.题面见图片A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
8.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
9.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
10.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
1.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
2.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:A
3.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
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A.错误
B.正确
标准选择是:B
5.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
《线性代数(专)》在线作业二-0001

天津大学最优化历年试题

2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0000.11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x例2. 设线性方程组b Ax =,其中 11231112341113451A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法例1. 设线性方程组b Ax =为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----221221122321x x x ααα ， 0≠α写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中b Ax =为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=-522826233213231x x xx x x x3.插值例 1. 已知,12144,11121,10100===（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位）（2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）例 2. 由下列插值条件4. Runge —Kutta 格式例写出标准Kutta Runge -方法解初值问题⎩⎨⎧==+-=1)0(,1)0(sin 2'2'''y y x y xy y 的计算格式5. 代数精度例 1. 数值求积公式形如)1()0()1()0()()(321010f A f A f A f A x S dx x xf '+'++=≈⎰试确定其中参数,,,,4321A A A A 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度. 例 2. 验证数值求积公式20120()(1(1)(1f x dx A f A f A f ≈++⎰是Gauss 型求积公式.6．Romberg 方法例对积分⎰+1021dx x ，用Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过510-并将结果填7．证明（1）设)(x ϕ为],[b a 上关于权函数)(x ρ的n 次正交多项式，以)(x ϕ的零点为节点建立Lagrange 插值基函数)}({x l i ，证明：⎰⎰==b abai i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2Λρρ证明: 设n 次正交多项式()x ϕ的零点为12,,n x x x L ，则以这n 个零点为节点建立的Lagrange 插值基函数{()},1,2,i l x i n =L 是n-1次多项式，[]2()i l x 是2n-2次多项式. 故当()f x 取()i l x 和[]2()i l x 时Gauss 型求积公式1()()()nb k k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰等号成立, 即1()()()nb i k i k iak x l x dx A l x A ρ===∑⎰221()()()nb i k i k iak x l x dx A l x A ρ===∑⎰则有 ⎰⎰==b abai i ni dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2Λρρ（2）对线性方程组b Ax =，若A 是n 阶非奇异阵，0≠b ，*x 是b Ax =的精确解，x 是b Ax =的近似解。

天津大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷

天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第1 页天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第2 页天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第3 页2、求解如下线性方程组；若有无穷多解，请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++=++++=-+++-=++-+.6936,326433,54522,26554321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x四、计算(15分)设σ为3R 的线性变换，而()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100,010,001:I 321ααα； ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,011,111:II 321βββ都是3R 的基，且σ在基()I 下的矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A .1、求σ在基()II 下的矩阵B ；2、计算2006A (要有过程及结果).天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第4 页五、(18分)求一个正交替换SY X =，将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.六、(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.2005～2006学年第一学期期末考试线性代数标准答案一、填空(每小题3分，共30分) A 卷 1、40； 2、(D)； 3、3，421,,ααα(或431,,ααα或432,,ααα)；4、(C)；5、T ]24,24,12[12--=β；6、43；7～10、(B)(C)(B)(C).B 卷1、40；2、3，421,,ααα(或431,,ααα或432,,ααα)；3、T ]24,24,12[12--=β；4、43；5～10、(D)(C)(B)(C)(B)(C).二、计算行列式(每小题6=3+3分，共12分) 1、化为三角形或降阶得 274=D .2、将前n 列加到最后一列，再按最后一列展开得 n n n a a a n D 211)1)(1(-+=+. 三、(每小题10分，共20分) 1、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆. (5分) 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A E B . (5分)2、对增广矩阵做初等行变换得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=00000111000010100300011693611326433541522265111~A ， (6分)从而通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11100000110100321k k X ，其中21,k k 为任意常数.(4分)四、(15分)1、由基()I 到基()II 的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011111S ，则σ在基()II 下的矩阵(3分)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-330101011111211121112211121111311AS S B ； (5分)2、A SBS S SB SBS A 2005120051200620061200633)(====---. (A A 32=)(7分)五、(18分)1) 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242422221A ； (2分)2) A 的全体特征值为7,2321-===λλλ，对应的标准正交特征向量为 (3分)3/]2,2,1[;23/]1,1,4[,2/]1,1,0[T 3T 2T 1-=-==X X X .(10分)3) 令],,[321X X X S =，则S 为正交矩阵，二次型经过正交替换SY X =化为标准形232221722y y y -+. (3分) 六、(5分)设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，正惯性指数为p ，由A 的相合标准形到A 的相合变换矩阵为S ，则∑∑≤≤+≤≤-+=--=rj p jj pi ii 1T1TT )()0,,0,1,,1,1,,1diag(S E SS E SS S A表为r 个秩为1的实对称矩阵之和.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

天大2020年春季考试《线性代数(专)》在线作业二.doc

1.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A2.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A3.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D4.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B5.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B6.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C7.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C8.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C9.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C10.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C11.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A12.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C13.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B14.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: DA.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B16.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B17.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B18.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: B19.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: AA.错误B.正确【参考答案】: A。

2021年10月04184线性代数真题及答案

2021年10月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.已知2阶行列式D的第1行元素及其余子式都为a，则D的值为（）A.0B.a2C.−a2D.2a2【答案】A2.若A,B,C均是n阶矩阵，且满足ABC=E，则B−1=（）A.ACB.CAC.A−1C−1D.C−1A−1【答案】B【解析】ABC=E，B=(AC)−1，B−1=CA.3.设向量组(1,1,1)T，(a,1,0)T，(1,b,0)T线性相关，则数a,b可取值为（）A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1【答案】D4.设非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则（）A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，Ax=b有无穷多解C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解【答案】C5.设矩阵A=(1111)，B=(2000)，则A与B的关系为（）A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同【答案】A第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.行列式|a11a12a21a22|中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+ a12A22=_________。

【答案】07.设α1,α2,β1,β2是3维列向量，且3阶行列式|α1,α2,β3|=m，|α2,β2,α1|=n，则|α2,α1,β1+β2|=_________。

【答案】−m−n8.若a=(1,2,3,4)T，则a T a=_________。

【答案】309.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵A，则A=_________。

天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案

天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
1.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
2.题面见图片{图}
A.A
B.B{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
需要代做加微boge30619
答案:C
10.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
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答案:A
11.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
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答案:A
12.题面见图片{图}
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答案:C
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答案:C
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4.题面见图片{图}
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A.A

19秋天大《线性代数》在线作业一答案

A.A
B.B
C.C
D
【答案】:D
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A.A
B.B
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【答案】:B
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【答案】:B
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【答案】:A
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【答案】:C
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【答案】:C
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【答案】:A
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【答案】:D
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【答案】:A
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【答案】:D
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【答案】:D
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天津大学《线性代数》在线作业一