高二数学第一学期期末统一考试

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2023-2024学年西安市高二数学第一学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年西安市高二数学第一学期期末考试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线350x +=的倾斜角为（）A ．30B ．60C ．120D ．1502．已知()F 为双曲线22:14x y C m -=的一个焦点，则C 的渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=3．已知数列{}n a 的首项13a =，且122n na a +=-，则9a =（）A ．3B ．2-C ．43D ．3-4．在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 的中点，则PM =（）A ．1122BA BC BP ++B ．1122BA BC BP +- C ．111222BA BC BP +-D ．111222BA BC BP++ 5．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.6m ，深度为0.7m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A ．2.1mB ．2.8mC ．4.2mD ．56m .6．若直线10ax by +-=与圆22:1O x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与椭圆22165y x +=的交点个数是（）A ．0或1B ．0C ．1D ．27．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（）A ．8B ．12C ．18D ．248．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F .过2F 的直线交双曲线C 右支于,A B 两点，且2213,AF F B AB AF ==，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C 2D 3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．若非零向量a ，b，c 满足a b ⊥ ，c b ⊥ ，则a c∥ B ．若对空间中任意一点O ，有121236OP OA OB OC=+- ，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．若空间向量()0,1,1a =，()1,1,2b =，则a 在b 上的投影向量为11,,122⎛⎫⎪⎝⎭D ．已知直线l 的方向向量为()2,1,1a =-，平面α的法向量为()2,1,5b =---，则l α∥或l ⊂α10．已知圆22:60M x y x +-=和圆22:80,N x y y P ++=是圆M 上一点，Q 是圆N 上一点，则下列说法正确的是（）A ．圆M 与圆N 有四条公切线B ．两圆的公共弦所在的直线方程为340x y +=C ．PQ的最大值为12D ．若(2,P ，则过点P 且与圆M 相切的直线方程为60x -+=11．已知数列{}n a 满足126a =，132n n a a +=-，n S 为{}n a 的前n 项和，则（）A ．{}1n a +为等比数列B ．{}n a 的通项公式为4131n n a -=-C ．{}n a 为递减数列D ．当4n =或5n =时，nS 取得最大值12．已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，M ，N 分别为AF ，BF 的中点，O 为坐标原点，若60MON ∠=︒，则椭圆C 的离心率可能为（）A ．2B ．910C ．12D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若直线l 与直线10x y +-=关于直线2y =对称，则直线l 的一般式方程为.14．已知空间中的三点()()()0,0,0,0,1,1,1,0,1O A B ，则点A 到直线OB 的距离为.15．已知()4,1A ，()3,0B ，M 是抛物线C ：212y x =上的一点，则MAB △周长的最小值为．16．如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设na 是第n 行数字1的个数，nb 是第n 行数字2的个数，则67a a +=，221n n a b ++=.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知圆C 过点()2,0A 和()0,0B ，且圆心C 在直线:0l x y -=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)经过点()2,1-的直线l '与l 垂直，且l '与圆C 相交于,M N 两点，求MN.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25n S n n =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一动圆经过点()0,2F 且与直线=2y -相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标为()2,2，求直线l 的方程．20．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC=，E 为AB的中点．(1)证明：1//BC 平面1A EC．(2)求平面1A EC与平面11C CBB 夹角的余弦值．21．已知{}n a 是首项为1的等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且12b a =，24b a =．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在{}n a 中，对每个正整数k ，在ka 和1k a +之间插入k 个kb ，得到一个新数列{}n c ，设n T 是数列{}n c 的前n 项和，比较66T 与20000的大小关系．22．已知椭圆()2222:10x y a b C a b =>>+的上、下顶点分别是,A B ，点P （异于,A B 两点），直线PA 与PB的斜率之积为49-，椭圆C 的长轴长为6．(1)求C 的标准方程；(2)已知(0,1)T ，直线PT 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且直线AP 与BQ 相交于点D ，证明点D 在定直线上.1．C【分析】根据直线方程可得斜率，进而可知倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为α，则0180α≤<，由题意可得：直线350x +=的斜率为k =则tan α=120α=.故选：C 2．B【分析】根据题意求,,a b c ，即可得渐近线方程.【详解】由题意可知：2,a c ==x 轴上，可得b =所以C 的渐近线的方程为by x a =±=0y ±=.故选：B.3．A【分析】求出2345,,,a a a a ，发现周期，根据周期来求解.【详解】由题可得22a =-，312a =，443a =，53a =，故{}n a 是以4为周期的周期数列，故913a a ==．故选：A.4．B【分析】连接BM ，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】连接BM ，根据向量的运算法则，可得1122PM BM BP BA BC BP=-=+-.故选：B.5．B【分析】建立平面直角坐标系，得到()0.7,2.8A ，代入抛物线方程，求出 5.6p =，从而得到答案.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则()0.7,2.8A ，将()0.7,2.8A 代入22y px =，故22.8 1.4p =，解得 5.6p =，所以该抛物线的焦点到顶点的距离为 2.82p=m.故选：B 6．D【分析】由直线与圆相离得221a b +<，则点(),P a b 在椭圆22165y x +=的内部，由此即可得解.【详解】由题意直线10ax by +-=与圆22:1O x y +=相离，所以圆心到直线的距离1d r=>=，即2201a b <+<，而2222116555b a a b ++≤<<，即点(),P a b 在椭圆22165y x +=的内部，所以过点(),P a b 的直线与椭圆22165y x +=的交点个数是2.故选：D.7．D【分析】直接由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意1353468636,312a a a a a a a a ++==++==，解得362,4a a ==，所以()()188368446242a a S a a ⨯+==+=⨯=.故选：D.8．A 【分析】设2F B n=，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出14BF a=，18AF AB a==，由余弦定理求出11cos 4F BA ∠=，进而得到2c a =，得到答案.【详解】由已知可设2F B n=，则23AF n=，故2124AF AB A B nF F +===，由双曲线的定义有122a AF AF n=-=，故22F B n a==，148AF AB n a===，故1224BF a BF a=+=，在1AF B△中，由余弦定理得22222211111664641cos 22484BF AB AF a a a F BA BF AB a a ∠+-+-===⋅⨯⋅.在12BF F △中，由余弦定理得22212121212cos F F BF BF BF BF F BA=+-⋅∠，即222141622444a a a a c +-⋅⋅⋅=，解得224c a =，即2c a =，故C 的离心率为2.故选：A 9．BCD【分析】根据a，c 的方向不确定判断A ；根据空间向量共面定理判断B ；根据投影向量定义判断C ；利用4150a b ⋅=--+=，可得a b ⊥ ，从而判断D ．【详解】对于A ，非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥ ，c b ⊥ ，a ，c 的方向不确定，则a，c 不一定平行，故A 错误；对于B ，121236OP OA OB OC =+- ，1211236+-=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ，因为=01+11+12=3a b ⋅⨯⨯⨯ ，22221+1+2=6b = ，所以a 在b上的投影向量为111,,1222a b b b bb ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为直线l 的方向向量为()2,1,1a =-，平面α的法向量为()2,1,5b =---，所以4150a b ⋅=--+=，所以a b ⊥ ，则l α∥或l ⊂α，故D 正确．故选：BCD.10．BCD【分析】对于A ，判断两圆的位置关系即可；对于B ，两圆方程相减即可；对于C ，由max M NMN P r r Q =++验算即可；对于D ，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算.【详解】对于A ，圆()22:39M x y -+=、()22:416N x y ++=的圆心、半径依次分别为()()3,0,3,0,4,4M N M r N r =-=，圆心距满足157N M M N r r MN r r -=<==<+=，所以两圆相交，圆M 与圆N 有两条条公切线，故A 错误；对于B ，两圆()22:39M x y -+=、()22:416N x y ++=方程相减得，698167x y -+--=-，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为340x y +=，故B 正确；对于C ，由题意max 53412M N P MN r r Q ++==++=，当且仅当,,,P Q M N 四点共线，PQ取最大值，故C 正确，对于D ，()(22239-+=，即点(2,P 在圆22:60M xy x +-=上面，又22023PM k ==--P 且与圆M相切的直线方程为)2y x -=-，化简并整理得，过点P 且与圆M相切的直线方程为60x -+=，故D 正确.故选：BCD.11．AC【分析】利用构造法得()1311n n a a ++=+，判断出{}11n a ++为首项为27，公比为13的等比数列，判断A 选项；利用等比数列通项公式求出1n a +通项公式，得出4113n n a -骣琪=-琪桫，判断B 选项；根据函数4113x y -骣琪=-琪桫是减函数，判断C 选项；令n a =，解得4n =，判断D 选项.【详解】因为132n n a a +=-，所以1331n n a a ++=+，即()1311n n a a ++=+，11113n na a ++=+，又因为126a =，所以1127a +=，所以{}11n a ++为首项为27，公比为13的等比数列，A 正确；141112733n n n a --骣骣琪琪+=´=琪琪桫桫，所以4113n n a -骣琪=-琪桫，B 错误；因为函数4113x y -骣琪=-琪桫是减函数，所以{}n a 为递减数列，C 正确；令0n a =，即41103n -骣琪-=琪桫，解得4n =，所以4n ≤时，n a ≥，5n ≥时，n a <，所以当3n =或4n =时，nS 取得最大值，D 错误.故选：AC 12．BD【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形1AF BF为平行四边形，由60MON ∠=︒可得1120FAF ∠=︒，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关,a c 的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.【详解】根据题意，图象如图所示：设1F 为椭圆C 的左焦点，因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，所以由椭圆的对称性得OA OB =，又1OF OF =，于是四边形1AF BF 为平行四边形.因为M ，N 分别为AF ，BF 的中点，O 是1F F 中点，所以1//AF OM ，1//BF ON ，平行四边1AF BF 中160AF B MON ∠=∠=︒,1120FAF ∠=︒，在1AF F 中，2221112cos 120F F AF AF AF AF =+-∠()()()()2222111113AF AFAF AF AF AF AF AF AF AF ++=+-≥+-=.因为直线y kx =斜率存在，所以A ，B 两点不在y 轴上，即1AF AF ≠，又在2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，112,2AF AF a FF c +==，所以，()221134AF AFF F +>，即2243c a ≥，又a c >，所以22314c a <<，即e <1<.综上所述，2e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；因为1,222⎛⎫∉ ⎪⎪⎝⎭，故A ，C错误；22758191210010010⎛⎛⎫=<=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即910⎫∈⎪⎪⎝⎭，故B 正确；1244=<<，即42⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD ．13．30x y -+=【分析】在直线l 上任取一点(,)M x y ，则点M 关于直线2y =对称点(,4)M x y '-在直线10x y +-=上，即可求解.【详解】设直线l 上任意一点(,)M x y ，则点M 关于直线2y =对称点(,4)M x y '-，因为直线l 与直线10x y +-=关于直线2y =对称，所以(,4)M x y '-在直线10x y +-=上，即410x y +--=，得到直线l 的一般式方程为30x y -+=故答案为：30x y -+=14．2【分析】由题意得OA OB === OA OB OB ⋅，结合勾股定理即可得解.【详解】由题意得()()0,1,1,1,0,1OA OB ==，所以OA OB ===22OA OB OB ⋅==，所以点A 到直线OB2.故答案为：.15．77【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题可知()3,0B 为抛物线C 的焦点，C 的准线方程为3x =-．设d 为点M 到C 的准线的距离，则MA MB +=7MA d +≥．又AB =MAB △周长的最小值为7故答案为：716．1612n +【分析】由题意可知：112,n n n n a b b a ++==，且21212,21a b b a ====，进而可得22n n a a +=，结合等比数列运算求解.【详解】由题意可知：112,n n n n a b b a ++==，且21212,21a b b a ====，则2122n n n a b a ++==，可得12222n n n a a -=⋅=，2122n n n b a +==，所以1671221888816,2n n n a a a a b +++=+=+=+=.故答案为：16；12n +.17．(1)()()22112x y -+-=【分析】（1）由题意得(),C c c ，()2222222CA c c c c CB =-+=+=，由此即可得解.（2）首先得经过点()2,1-且与l 垂直的直线l '为1y x =-+，由弦长公式即可得解.【详解】（1）由题意设圆心(),C c c ，又圆C 过点()2,0A 和()0,0B ，所以()2222222CA c c c c CB =-+=+=，解得1c =，所以圆心()1,1C，半径为r CB ==所以圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=.（2）由题意经过点()2,1-且与l 垂直的直线l '为()12y x +=--，即1y x =-+，又圆心()1,1C 到直线1y x =-+的距离为d =，r =所以MN ==18．(1)*24,N n a n n +∈=(2)()*,N 33n nT n n =∈+【分析】（1）由,n n a S 的关系即可得解.（2）由裂项相消法即可得解.【详解】（1）由题意116a S ==，当*2,N n n ≥∈时，所以()()()212155121524n n n a S S n n n n n n -⎡⎤-+-⎦==+-+--==+⎣，又1246=+=a ，所以{}n a 的通项公式为*24,N n a n n +∈=.（2）由题意()()14411242623n n n b a a n n n n +===-++++，所以()111111113445233333n n T n n n n =-+-++-=-=++++ .所以数列{}n b 的前n 项和()*,N 33n nT n n =∈+.19．(1)28x y=(2)220x y -+=．【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C 的方程.（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点()0,2F 的距离到直线=2y -的距离相等．又点()0,2F 不在直线=2y -上，所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以()0,2F 为焦点，=2y -为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28x y =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122288x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212128x x y y -=-，即1212128y y x xx x -+=-．因为线段AB 的中点坐标为()2,2，所以124x x +=，则121212y y x x -=-，即直线l 的斜率为12，所以直线l 的方程为()1222y x -=-，即220x y -+=，经检验，直线:l 220x y -+=与曲线:C 28x y =相交，满足题意，所以直线l 的方程为220x y -+=.20．(1)证明见解析；(2)；【分析】（1）利用中位线性质构造线线平行即可证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角.【详解】（1）连接1AC ，与1A C 交于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点．因为E 为AB 的中点，所以1//EF BC ，又1BC ⊂/平面1A EC ，EF ⊂平面1A EC ，所以1//BC 平面1A EC ．（2）取11A B 的中点D ，连接ED ，则1//DE AA ，CE AB ⊥．又1AA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥底面ABC ，CE ⊂底面ABC ，所以DE CE ⊥，则可以E 为原点，,,EC EB ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令11AA =，则()0,0,0E，C ⎫⎪⎪⎝⎭，110,,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以EC ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，110,,12EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()10,0,1BB =，1,02CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z = ，则1102302n EA y z n EC ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，取20,1y x z =⇒==，即()0,2,1n = ．设平面11C CBB 的法向量为(),,m a b c =，则101022m BB c m CB b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取10a b c =⇒==，即()m = ，则cos ,m n m n m n ⋅=== ，即平面1A EC 与平面11C CBB夹角的余弦值为．21．(1)n a n =，2n n b =(2)6620000T <【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；（2）根据题意分析可知6612111210()(210)T a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为1224b a b a =⎧⎨=⎩，则111213b d b d =+⎧⎨=+⎩，解得112d b =⎧⎨=⎩，所以11n a n n =+-=，1222n n n b -=⨯=．（2）因为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+=，当10k =时，(1)552k k +=，可知6612111210()(210)T a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，且1211(111)11662a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，令{}n nb 的前n 项和为n S ，则234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，可得234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减得()231112(21)22222212221n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯=-⨯--，即1(1)22n n S n +=-⨯+，可得111210210922b b b ++⋅⋅⋅+=⨯+，所以1166922661850020000T =⨯++=<．22．(1)29x +24y ＝1(2)证明见解析【分析】（1）设11(,)P x y ，根据斜率之积和点P 在椭圆上整理可得椭圆C 的标准方程；（2）设直线PT 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程消去y ，利用P ，Q 坐标表示出直线PA 与PB 的方程，求解出点D 的坐标，然后用韦达定理化简即可得证．【详解】（1）由题意可得(0,),(0,)A b B b -，且26a =，则3a =.设11(,)P x y ，则1111,PA PB y b y b k k x x -+==，所以22121PA PB y b k k x -⋅=*，因为点P 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，所以()2221212b y a x b -=，代入*式得()222122221249PA PB y b b k k a b y a b -⋅==-=--，由29a =代入得24b =，故椭圆C 的标准方程为：29x +24y ＝1；（2）设22(,)Q x y ，00(,)D x y ，显然直线PT 不垂直于x 轴，故可设直线PT 的方程为1y kx =+，由221,1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，因为点(0,1)T 在椭圆C 的内部，则直线PT 与椭圆恒有两个交点，所以12122218279494,kx x x x k k -+==-++，由（1）知，(0,2),(0,2)A B -,所以直线AP 的方程为1122y y x x -=+，直线BQ 的方程为2222y y x x +=-，由直线AP 与BQ 相交于点00(,)D x y ，则100120022222y y x x yy x x -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，消0x 得()()()1200212222x y y y x y ++=⋅--①，由（1）知11112249y y x x -+⋅=-，得()11112492y x x y -=-+，可得()()()()12121221121229229(3)(3)244x y y y kx kx x y x x x x +++++=-=--()2222121212227183·939999494274494k k k k x x k x x k k x x k --+++++++=-⋅=-⨯-+()222275499493427k k k --++=-⋅=-，将()()12212=32x y x y +-代入①式得()00232y y +=-，解得04y =，即点D 在直线4y =上．【点睛】思路点睛：应用韦达定理解决非对称式的关键在于借助圆锥曲线斜率之积为定值，将()()122122x y x y +-转化为()()12129224y y x x ++-对称式结构再处理即可.。

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时，取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

2022-2023学年山东省郓城第一中学高二上学期期末考试数学试题(含解析)

郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题考试时间120分钟，满分150分一、选择题（每题5分，共40分）1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2S ，3S ，5S 成等差数列，且110a =，则{}n a 的公差d =( ) A.2B.1C.-1D.-22、在空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A ，()2,1,6B --，(3,2,1)C ，(4,3,0)D ，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3、已知直线()1:220l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为( ) A.1-或2B.0或2C.2D.1-4、设AB 是椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于1P ，2P ，…，99P ，1F 为椭圆的左焦点，则111121991F A F P F P F P F B +++++的值是( ) A.98aB.99aC.100aD.101a5、若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()0,2,1=--a ，()2,0,4=b ，则异面直线1l 与2l 所成角的余弦值等于()A.25-B.25C.6、在正数等比数列{}n a 中，若2a =418=，则该数列的前10项和为( )A.2-1112-7、已知数列{}n a 满足2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n ∈N ，且对任意*n ∈N 都有12111...n t a a a +++<，则t 的取值范围为( ) A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为()B.13C.12二、多项选择题（每题5分，共20分，部分选对得2分，有选错的不得分）9、已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点,()A a b ，则下列说法正确的是() A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切10、己知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--，则下列结论正确的是( )A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP 是平面ABCD 的一个法向量D.AP BD ∥11、抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是() A.121x x = B.43PQ k =-C.25||4PQ =D.1l 与2l 之间的距离为412、素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛。

高二数学第一学期期末统一考试(数学理)

中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，135A =︒，30C =︒，c =20，则边a 的长为A． B． C． D2．不等式(9)0x x ->的解集是A ．(0,9)B ．(9,)+∞C ．(,9)-∞D ．(,0)(9,)-∞+∞3．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)n n a a n -=->，则5a = A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3 4．设函数f (x )的图象如右图所示，则导函数f '(x )的图象可能为)'()f x5．四个不相等的正数a 、b 、c 、d 成等差数列，则下列关系式一定成立的是A．2a d +< B．2a d +> C．2a d + D．2a c+ 6．命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的真假判断及该命题的否定为A ．真； 0x ∃∈R ，20010x x -+>B ．假； 0x ∃∈R ，20010x x -+>C ．真； x ∀∈R ，210x x -+>D ．假； x ∀∈R ，210x x -+>7．我市某企业在2009年元月份为战胜国际背景下的金融危机，积极响应国务院提出的产业振兴计划，对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中，需要采用一个七进制计数器，所谓七进制即“逢七进一”，如(7)1203表示七进制数，将它转换成十进制形式，是321017270737⨯+⨯+⨯+⨯= 444，那么将七进制数126666(7)转换成十进制形式是A ．1377-B ．1277-C ．1271-D ．1171-8．椭圆C ：221259x y +=的焦点为12F F ，，有下列研究问题及结论： ① 曲线221(9)259x y k k k+=<--与椭圆C 的焦点相同； ② 一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为26x y =±；③ 若点P 为椭圆上一点，且满足120PF PF =，则12PF PF +=8. 则以上研究结论正确的序号依次是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ． ①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上）9．如果双曲线22136100x y -=上一点P 到焦点1F 的距离等于7，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 .10．已知函数2()(2)x f x x e =+，则'(0)f = .11．已知向量OA =（2，－1，2），OB =（1，0，3），则cos OAB ∠= .12．当x y 、满足不等式组0201x y y x ≤≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是 .13．数列{}n a 的前n 项和为2n n S c =+，其中c 为常数，则该数列{}n a 为等比数列的充要条件是 .14．为迎接2010年11月12日至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.8810h t t t =-++. 则该运动员在2t =秒时的瞬时速度为 /m s ，经过秒后该运动员落入水中.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）已知函数1()sin ,(0,)2f x x x x π=-∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 的图象在点3x π=处的切线方程.16．（13分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m 、90 m 、120 m . （1）求该三角形区域最大角的余弦值；（2）求该三角形区域的面积.17．（13分）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD 是正方形，13,2CC CD ==,且1160C CB C CD ∠=∠=︒.（1）设1,CD a CB b CC c ===，，试用,,a b c 表示1AC ；（2）O 为四棱柱的中心，求CO 的长；（3）求证：1AC BD ⊥.18．（13分）斜率为43的直线l 经过抛物线22y px =的焦点(1,0)F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求该抛物线的标准方程和准线方程；（2）求线段AB 的长；19．（14分）某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为20 m ，，试求冷却塔的高应当设计为多少？（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？20. （14分）已知函数213()324f x x x =--. 定义函数()f x 与实数m 的一种符号运算为()()[()()]m f x f x f x m f x ⊗=+-.（1）求使函数值()f x 大于0的x 的取值范围；（2）若27()4()2g x f x x =⊗+，求()g x 在区间[0,4]上的最大值与最小值；（3）是否存在一个数列{}n a ，使得其前n 项和274()2n S f n n =⊗+. 若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由.中山市2009—2010学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：BABC BDCC二、填空题：9. 19； 10. 5； 11. ； 12. 5； 13. 1c =-； 14. 11.2-，2.5 . 三、解答题： 15. 解：1'()cos 2f x x =-. ……（2分）（1）由(0,)x π∈及1'()cos 02f x x =->，解得(0,)3x π∈.∴ 函数()f x 的单调递增区间为(0,)3π.……（6分）（2）1()sin 33236f ππππ=-⨯=-. ……（8分）切线的斜率1'()cos0332k f ππ==-=. ……（10分）∴ 所求切线方程为：6y π=-.……（13分）16. 解：（1）设a =70 m ，b =90 m ，c =120 m ，则最大角为角C . ……（2分）根据余弦定理的推论，得2222227090120cos 227090a b c C ab +-+-==⨯⨯……（5分） 19=-.……（7分）（2）sin C ==，……（9分）11s i n 700522S a b C ∆==⨯⨯= ……（12分）所以该三角形区域的面积是2m .……（13分）17. 解：（1）由1,CD a CB b CC c ===，，得1CA a b c =++. ……（2分）所以，1AC a b c =---.……（3分）（2）O 为四棱柱的中心，即O 为线段1A C 的中点.……（4分）由已知条件，得||||2a b ==，||3c =，0a b =，,60a c <>=︒，,60b c <>=︒. ……（5分）根据向量加减法得BD a b =-，1CA a b c =++.22222211||()222CA CA a b c a b c a b b c a c ==++=+++++2222230232cos60232cos6029=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=. ……（8分） ∴ 1A C所以CO =.……（9分）（3）∵ 221()()CA BD a b c a b a a c b b c =++-=+--22223cos60223cos600=+⨯⨯︒--⨯⨯︒=，……（12分） ∴ 1CA BD ⊥.……（13分）18. 解：（1）由焦点(1,0)F ，得12p=，解得2p =. ……（2分）所以抛物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-，……（4分）（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .直线l 的方程为4(1)3y x =-.……（5分）与抛物线方程联立，得24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ……（7分）消去y ，整理得241740x x -+=， ……（9分）由抛物线的定义可知，121725244AB x x p =++=+=. 所以，线段AB 的长为254.……（13分）19. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.由题意可知，12a =，12c c e a ===，解得c =…（2分）从而2222212400b c a =-=-=.……（3分） ∴ 双曲线方程为221144400x y -=.……（4分）A B将13x =代入，解得25||3y =；20x = 代入，解得80||3y =. ……（6分）所以，冷却塔的高为2580105()333m +=. ……（7分）（2）n 年后的年平均减排收益为2(1)600[3020]40001058040002n n n n n n n n--+⨯--+-= ……（9分）40010()58010580180n n n n=-++≤-⨯+=.……（11分）当且仅当400n n=即20n =时等号成立. ……（12分）所以，20年后报废该套冷却塔系统比较适合.……（13分）20. 解：（1）由()0f x >，得2133024x x -->，……（1分）即221230x x -->，解得3x <或3x >. 所以，x 的取值范围为 42(,3(3)-∞-++∞.……（3分）（2）27()4()2g x f x x =⊗+22221313137(3){[(4)3(4)](3)}2424242x x x x x x x =--+-+----+ 2213117(3)(81634)24222x x x x =--⨯+⨯-⨯+ 22137(3)(44)242x x x x =---+32212932x x x =-++.……（5分）对()g x 求导，得2'()62193(3)(21)g x x x x x =-+=--.令'()0g x =，解得12x =或3x =. ……（6分）当x 变化时，'()g x 、()g x 的变化情况如下表：所以，()g x 在区间[0,4]上的最大值为418，最小值为212-. ……（10分）（3）存在.由（2）得274()2n S f n n =⊗+32212932n n n =-++. ……（11分）当2n ≥时，323212121(293)[2(1)(1)9(1)3]22n n n a S S n n n n n n -=-=-++----+-+ 2221432(331)(21)962722n n n n n =-++-++=-+ 当1n =时，321121721191322a S ==⨯-⨯+⨯+=.……（13分）所以，27(1)243627(2)2n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩.……（14分）1题：教材必修⑤P10 1（1）改编，考查正弦定理.2题：教材必修⑤P80习题A组第1（4）题，考查一元二次不等式.3题：教材必修⑤P31练习第2题，考查递推数列.4题：教材选修1-1 P91例1改编，考查导数与函数单调性.6题：教材选修1-1 P27 习题A组第3（3）题，考查特称命题的否定及一元二次不等式. 8题：教材选修1-1 P68 习题A组第3题改编，考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、向量运算.9题：教材选修2-1 P42 练习第1题改编，考查双曲线定义.11题：教材选修2-1 P98 习题3.1 A组7题改编，考查空间向量的运算.14题：教材选修1-1 P79 习题3.1 A组第2题改编，考查导数的物理意义、一元二次不等式的应用问题.15题：教材选修1-1 P91 例2（3）改编，考查导数的几何意义、利用导数研究函数单调性.16题：教材必修⑤P17 例8改编，考查余弦定理、三角形面积计算.17题：教材选修2-1 P105 例1改编，考查向量法.18题：教材选修1-1 P61 例4改编，考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物线相交的弦长计算.19题：教材选修1-1 P51 例4改编，考查双曲线标准方程及几何性质、等差数列、基本不等式的应用.20题：教材必修⑤P81 习题3.2 B组第3题改编，考查一元二次不等式、利用导数研究最大（小）值.。

2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解

2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。

2023-2024学年唐山市高二数学第一学期期末试卷附答案解析

2023-2024学年唐山市高二数学第一学期期末试卷试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1．抛物线y2＝x 的焦点坐标是（）A．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知向量(0,1,2)AB =，则AB =（）A．1D．53．记nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36S =，621S =，则12S =（）A．27B．36C．45D．784．已知圆224x y +=与圆22(5)9x y -+=，则两圆公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．45．已知{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11a =，12b =，335a b +=，则20232023a b +=（）A．2026B．2025C．2024D．20236．线段AB 长度为4，其两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 中点的轨迹所围成图形的面积为（）A．2B．4C．2πD．4π7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC所成角的大小为（）A．60︒B．90︒C．105︒D．75︒8．已知M 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.MN 垂直椭圆的长轴，垂足为N，若22NA NB MN⋅=，则该椭圆的离心率为（）A．12B．C．34D．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.9．已知直线1:(2)330l a x y +++=与22:0x y l --=，则（）A．若1a =，则两直线垂直B．若两直线平行，则5a =C．直线1l恒过定点(0,1)-D．直线2l在两坐标轴上的截距相等10．数列{}n a 满足：10a =，112n n a a +=-+，则（）A．212a =-B．316S =C．{}n a 为单调递减数列D．11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列11．已知双曲线22:12x C y -=，直线:l y kx =与C 交于A，B 两点，点P 是C 上异于A，B 的一点，则（）A．CB．直线PA 与PB 的斜率之积为2C．过C 的一个焦点作弦长为4的直线只有1条D．点P 到两条渐近线的距离之积为2312．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P，Q 分别是棱AB ，11B C 上的动点（含端点），则（）A．四面体11PQA D 的体积是定值B．直线1A P 与平面11A B CD 所成角的范围是ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．若P，Q 分别是棱AB ，11B C的中点，则PQ D．若P，Q 分别是棱AB ，11B C 的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知等比数列{}n a 的公比为q，且01q <<，22a=，135a a +=，则q =.14．已知(2,1,3)a =- ，(4,2,)b x =- ，且//a b，则x =.15．已知直线l 与圆()22:12C x y +-=相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l 的方程为.（写出一个满足条件的方程即可）16．已知点(2,1)M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，则p =；过点M 作两条互相垂直的直线MA ，MB分别交C 于A，B 两点（不同于点M），则直线AB 经过的定点坐标为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线:3410l x y --=与圆22:420C x y x +-+=相交于A，B 两点.(1)若P 为圆C 上一点，求点P 到直线l 的最大距离；(2)求弦AB 的长度.18．数列{}n a 是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足3223a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a n +的前n 项和n T .19．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，===2AD AB DC ，4BC =，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB的中点.(1)证明：//AE 平面PDC ；(2)求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20．数列{}n a 满足11a =，24a =，2122n n n a a a ++-+=.(1)求3a ，4a ；(2)证明：数列{}1n n a a +-是等差数列；(3)若12n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 和11ABB A 均为正方形，12AA =，1AB 交1A B 于点O，D 为11A C中点，AB AD ⊥.(1)证明：AB AC ⊥；(2)设(01)CE CB λλ=<<，当λ为何值时，平面ODE 与平面11A ACC 夹角的余弦值等于63？22．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右顶点分别为A，B，离心率为32，长轴长为4，过点(1,0)D -的直线l 交Γ于M，N 两点（M 在x 轴上方）.(1)求Γ的方程；(2)记AND △的面积为1S ，BMD 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.1．B【解析】可以先确定开口方向，再根据方程得2p 的值，进而得到焦点坐标.【详解】由y2＝x 知抛物线的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =,∴124p =，∴焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选:B．【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下：2y ax =的焦点坐标,0 4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线方程4a x =-；2x ay =的焦点坐标0, 4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线方程4a y =-.2．C【分析】根据向量模长的坐标运算即可得出答案.【详解】0145AB =++=故选：C.3．D【分析】根据等差数列{}n a 的前n 项和n S 的性质：对于0,N m m >∈，23243,,,,m m m m m m m S S S S S S S --- ,成等差数列，取3m =,列出方程组求解即得.【详解】因nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，则36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，于是633962()()S S S S S -=+-，代入36S =，621S =，解得：945S =，又96631292()()()S S S S S S -=-+-,代入上述值，解得：1278S =.故选：D.4．C【分析】考查圆与圆的公切线问题，先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.【详解】两圆圆心分别为(0,0),(5,0)，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，故选：C 5．B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由于{}n a ，{}n b 均为等差数列，则{}n n a b +为等差数列，因此113a b +=，335a b +=，所以{}n n a b +的公差为1，故20232023a b +=33202012025a b ++⨯=，故选：B6．D【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.【详解】OA OB ⊥ ，设P 为线段AB 中点，∴1||||22OP AB ==，设(,)P x y 2=，即224x y +=．则线段AB 中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；故线段AB 中点的轨迹所围成图形的面积为4π.故选：D 7．B【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA=- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a= ，则||||BA BC ==，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅2cos 600a ==，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B 8．B【分析】设()00,M x y ，根据点在椭圆上结合22NA NB MN⋅=得到方程组222221a b ba ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解出即可得到离心率.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b +=，()0,0N x ，00,NA x a NB a x =+=-，MN y =，因为22NA NB MN⋅=，即()()20002x a a x y +-=，整理得222002a x y -=，即222200221x a x b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()2222202220022222b a x b x a x b a a --=-=，由题可知2200a x -≠，则222a b =，即()2222a a c =-，则222a c =，则212e =，则2e =，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，根据题意得到()()20002x a a x y +-=，再结合M 点在椭圆上即可得到离心率.9．AC 【分析】由121k k =-，判断A；由平行关系求出a ，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D.【详解】当1a =时，1:10l x y ++=，121,1k k =-=，则121k k =-，所以两直线垂直，A 正确；若两直线平行，则()(2)1310a +⨯--⨯=，解得5a =-，经检验，当5a =-时，两直线平行，B 错误；由1:(2)330l a x y +++=，即()31(2)y a x+=-+，所以直线1l恒过定点(0,1)-，C 正确；由22:0x y l --=，与两坐标轴的截距分别为2,2-，不相等，D 错误.故选：AC 10．ACD【分析】根据递推关系可证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，且公差为1，即可利用等差数列的通项求解11n a n =-，结合选项即可逐一求解.【详解】由112n n a a +=-+可得121111111112n n n n n a a a a a ++===++-++++，因此11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，且公差为1，故D 正确，由于11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，且公差为1，所以()11111n n n a =+-⨯=+，故11n a n =-，故{}n a 为单调递减数列，C 正确，211122a =-=-，故212a =-，A 正确，312133a =-=-，31231270236S a a a ⎛⎫⎛⎫=++=+-+-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，B 错误，故选：ACD11．AD【分析】求出双曲线渐近线方程为0x =，焦点为(0,，设()00,P x y ，由点到直线距离公式可判断A、D；由双曲线和直线:l y kx =的对称性可设()11,A x y ，()11,B x y --，由两点的斜率公式可计算0101010112PA PB y y y y k k x x x x -+=⋅=-+，B 错误；联立方程组，由弦长公式判断C.【详解】对A，由已知得渐近线方程为0x =，焦点为(0,，则焦点到渐近线的距离d ==，A 正确；对B，由双曲线和直线:l y kx =的对称性可设()11,A x y ，()11,B x y --，()00,P x y ，则01010101,PA PB y y y yk k x x x x -+==-+，所以220122010101222201010101112212PA PBx x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪-+-⎝⎭=⋅===-+--，故B 错误；对C，过C 的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2；当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大；综上，过C 的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为[)2,+∞，又由双曲线的对称性可知，过C 的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C 错误；对D，点()00,P x y 到两条渐近线0x =的距离之积：2200223x y -==，D 正确.故选：AD..12．ABC【分析】由体积公式计算判断A;由线面角公式判断B;由距离计算判断C;由截面做法及计算判断D.【详解】因为四面体11PQA D 的体积为1113A D Q V S h=⋅ ，h 为P 到底面ABCD 的距离为定值2，111422A D Q S =⨯= 为定值,故四面体11PQA D 的体积是定值，A 正确；连接111,,A D B C BC ，易得//,AB CD AB ⊄平面11A B CD，故//AB 平面11A B CD，则P 到平面11A B CD的距离即为B 到平面11A B CD的距离；又11BC B C⊥，1111111,,BC A B B C A B B ⊥⋂=111,B C A B ⊂平面11A B CD，则1BC ⊥平面11A B CD ，则B 到平面11A B CD的距离为12B C=易得12,A P ⎡∈⎣，则直线1A P 与平面11A B CD所成角的正弦值为11,22A P ⎡∈⎢⎣⎦，所以直线1A P 与平面11A B CD 所成角的范围是ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B正确；若P，Q 分别是棱AB ，11B C的中点，易得PQ =C 正确；取11A B 中点M,1MB 中点N,连接1,,,,,PM C M PN NQ CQ ，易知11////,PM BB CC 故四边形1PMC C为平行四边形，则1//PC MC ，易知1//NQ MC ，故//NQ PC ，故经过P，Q，C 三点作正方体的截面，截面为梯形PNQC ，如图：又易得PN =，PC NQ CQ ===，作,QH PC ⊥,NT PC ⊥易得NQHT 为矩形，设CH x =，则PT PC HC NQ x x =--=-，由,NT HQ =则=x =故QH =故四边形PNCQ的面积为24⎝⎭=，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查正方体性质，线面角及截面问题，明确截面形状是解决D 的关键.13．12##0.5【分析】根据等比数列，得225q q +=，求出q 的值即可.【详解】因为等比数列{}n a 的公比为q，且01q <<，22a=，135a a +=，所以21325a a a a q q +=+=，即225q q +=，即22520q q -+=，解得12q =或2q =（舍），故答案为：12.14．6-【分析】根据//a b列出比例式，求解即可.【详解】因为//a b ，所以42213x -==-，解得6x =-.故答案为：6-.15．10x y --=或10x y ++=或30x y -+=或30x y +-=（任写一个都对）【分析】根据直线与圆的位置关系找出圆上所有符合题意的切点，求出切线斜率即可求得切线方程.【详解】易知圆C 的圆心为点()0,1，半径为r =圆C 经过的整点有4个，即()1,0，()1,0-，()1,2，()1,2-.①切点为()1,0时，圆心与切点连线的斜率为01110k -==--，则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为10x y --=；②切点为()1,0-时，圆心与切点连线的斜率为01110k -==--，则切线斜率为1-，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为10x y ++=；③切点为()1,2时，圆心与切点连线的斜率为21110k -==-，则切线斜率为1-，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为30x y +-=；④切点为()1,2-时，圆心与切点连线的斜率为21110k -==---，则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为30x y -+=；故答案为：10x y --=或10x y ++=或30x y -+=或30x y +-=（任写其一）16．2(2,5)-【分析】由抛物线过点求出p ；设直线AB 的方程为：y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立24x y y kx b ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，利用韦达定理，通过1MA MB k k ⋅=-，转化求解出直线方程，推出直线AB 经过的定点.【详解】因为点(2,1)M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，所以42p =，解得2p =；抛物线2:4C x y =，由题意知，直线AB 斜率不存在时，不符合题意，设直线AB 的方程为：y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立24x y y kx b ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，所以1212Δ0+44x x k x x b >⎧⎪=⎨⎪⋅=-⎩，因为MA MB ⊥，所以1MA MB k k ⋅=-，1111224MA y x k x -+==-，2221224MB y x k x -+==-，所以1222144x x ++⋅=-，即()1212+2200x x x x ++=，所以48200b k -++=，即25b k =+，验证()()()()()222244416162516140k b k b k k k ⎡⎤∆=---=+=++=++>⎣⎦，所以()+252+5y kx b kx k k x ==++=+，直线AB 经过的定点坐标为(2,5)-，故答案为：2；(2,5)-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.1(2)2【分析】（1）计算圆心到直线的距离，加上半径即为最大距离；（2）由圆中弦长公式可解.【详解】（1）圆22:(2)2C x y -+=，圆心(2,0)C，半径r =圆心到直线的距离60115d +-==，所以点P 到直线l1+.（2）2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2212AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2AB =.18．(1)13n n a -=(2)23122n n n -++【分析】（1）根据等比数列的通项公式，代入等量关系即可求解；（2）利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式进行分组求和即可.【详解】（1）因为3223a a =+，11a =，所以223q q =+，3q =或1-，又因为0q >，所以3q =，所以13n n a -=.（2）13n n a n n -+=+，则01213132333n n T n -=++++++++ 0121(3333)(123)n n -=+++++++++ 213(1)3113222n n n n n n -+-+=+=+-.19．(1)证明见解析(2)265【分析】（1）根据“由中点找中点”得到//AE DF ，易得//AE 平面PDC ；（2）根据题设建系，求出相关点和向量的坐标以及平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，取PC 的中点F，连结EF ，DF .因为E 为PB 的中点，所以//EF BC ，12EF BC =.因为//AD BC ，12AD BC =，所以//EF AD ，EF AD =.即四边形AEFD 是平行四边形，所以//AE DF ，又因为AE ⊄平面PDC ，DF ⊂平面PDC ，所以//AE 平面PDC .（2）如图，取AD 的中点O，BC 的中点G，连结PO ，OG ，则OG AD ⊥，因为PAD 为等边三角形，所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OG ⊂平面ABCD ，故PO OG ⊥.分别以OG ，OD ，OP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，32PO AD ==(0,1,0)P A -，2,0)B -，C ，故PC =，AP =，1,0)AB =-，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0APn y AB n y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1x =，则1)n =-设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,PC n PC n PC n θ⋅===⋅.即直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为265.20．(1)39a =，416a =(2)证明见解析(3)31142224n n --++【分析】（1）令1n =，2n =，结合递推关系即可求解；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）先用累加法求出n a ，然后用裂项相消法求出n T .【详解】（1）令1n =，得231213222928a a a a a a -+==++=-⇒=-；令2n =，得4324322222184126a a a a a a +=++=⇒--=-=.（2）()()21211222n n n n n n n a a a a a a a +++++-+=⇒--=-，所以{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，2为公差的等差数列.（3）由（2）得132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(21)(23)(25) (31)n n n =-+-+-+++()22112n nn -+⋅==，所以()211111122222n n b a n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪++⋅++⎝⎭，所以1111111111113111...12324352221242224n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-++-=⋅+--=-- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭.21．(1)证明见解析(2)12λ=【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，进而根据线面垂直的性质求证线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）因为AB AD ⊥，1AB AA ⊥，1AD AA A ⋂=，1,AD AA ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为AC ⊂平面11A ACC ，所以AB AC ⊥.（2）如图，以1AA ，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,1)D ，(1,1,0)O ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，故(1,1,1)DO =-- ，(0,2,2)CB =-，由()0,2,2(01)CE CB λλλλ==-<<，得(0,2,22)E λλ-，得(2,2,12)DE λλ=--，设平面DEO 的法向量为(,,)m x y z =.由0,0,m DE m DO ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得()22120,0,x y z x y z λλ⎧-++-=⎨-+-=⎩取(1,23,22)m λλ=---，取平面11A ACC 的一个法向量为(0,1,0)n = .设面ODE 与面11A ACC 夹角为θ，则cos cos ,3m n m n m n θ⋅=〈〉== ，即24410λλ-+=，解得12λ=..22．(1)2214x y +=(2)1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据长轴长确定2a =，根据离心率得到c =（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设出直线方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定122113S y S y =-⋅，计算212124()03y y y y +-<<，设21y k y =，解不等式41203k k -<++<得到答案.【详解】（1）已知长轴长为4，则24a =，解得2a =，因为Γ的离心率为，所以c a=，解得c =2221b a c =-=，所以Γ的方程为2214x y +=.（2）(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)D -，①当l 斜率不存在时，31,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1213AD S S BD ==，②当l 斜率存在时，显然斜率不为零，设:1(0)l x ty t =-≠，111(,)(0)M x y y >，222(,)(0)N x y y <，联立22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)230t y ty +--=，()22Δ41240t t =++>，所以12224t y y t +=+，12234y y t =-+，2212211111()12213322AD y y S y S y BD y y -===-⋅，因为2222212212224()4414(4)343(4)3314t y y t t y y t t t ++=-=-=-⋅>-+++，所以212124()03y y y y +-<<，又22212121212121221()22y y y y y y y y y y y y y y +++==++，设21y k y =，则0k <，41203k k -<++<，解得133k -<<-且1k ≠-，所以12211111,,13933S y S y ⎛⎫⎛⎫=-⋅∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：12S S 的取值范围为1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是常考的方法，需要熟练掌握.。

高二数学第一学期期末考试试卷数学(普通中学)

期末考试试卷数学一、选择题（每题3分；共10题） 1．下列各命题中正确的是（）ba b c>>a A.如果，那么c ac bc <<B.如果，那么a b0a b <<<22C.如果，那么a b 22ac bc <<D.如果，那么a b 2. 过(0；2)和(1；1)两点的直线的倾斜角是( )A 150 0B 1350C 900D 450 3．12:3510:440l x y l x y -+=--=直线与直线所成的角大小是（）2.3A π .3B π .4C π .6D π4.220x y x y m m +-++=方程表示一个圆，则的取值范围是（） .2Am ≤ 1.2B m < .2C m < 1.2D m ≤ 5．以点为圆心的圆与直线相离；则圆的半径的取值范围是（）.(0,2)A 5)B .(0,25)C .(0,10)D6．22132516x y p +=已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则p 到椭圆的另一个焦点的距离是（）A.2B.3C.5D.77．22110036x y p +=椭圆上的点到左准线的距离为10，则点p 到右焦点的距离是（） .10A .6B .12C .20D 8.219x -=2y 双曲线的准线方程是（）1616.5A y =±. B x = 16. 5C x =± . D y = 9.22y x =抛物线的焦点坐标为（）1.(0,)8A 1.(0,)4B 1.(0,)2C 1.(,0)2D10.1y =函数）.A 抛物线的一部分 .B 椭圆的一部分.C 双曲线的一部分 .D 圆的一部分二．填空题（5题共20分）11.20, l x y l -+=已知直线:3则经过点p(2,-1)且垂直于的直线方程为。

12.(3,1),(1,3),320A B x y ---=已知一圆经过两点且它的圆心在直线上，则此圆的方程。

石景山区2023-2024学年第一学期期末检测数学试题及答案

石景山区2023—2024学年第一学期高二期末试卷数学本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若直线l 的倾斜角为60 ，则直线l 的斜率为（）2．直线21y x =+关于x 轴对称的直线方程为（）3．已知α，β是两个不同平面，l α⊂，则“//αβ”是“//l β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的离心率是2，则b =（）5．用01234，，，，可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A ．25B ．20C ．16D ．156.在空间直角坐标系O xyz -中，点(121)A ，，，(121)B --，，，则（）A.直线//AB 坐标平面xOyB.直线AB ⊥坐标平面xOyC.直线//AB 坐标平面xOzD.直线AB ⊥坐标平面xOz7.已知直线1:370l x y +-=，直线2:20l kx y --=.若21l l ⊥，则实数k =（）8.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（）9．P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最小值（）10.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.4)2(x -的展开式中3x 的系数为___________.12．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y --=之间的距离为___________.13．已知圆22240x y x ay ++--=的半径为3，则a 的值为________.14.方程2222(3)(3)10x y x y -++++=表示的曲线是_______，其标准方程是_______.15.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，E 为棱1CC 上的一个动点，给出下列四个结论：①11A B BE ⊥；②三棱锥11E B BD -的体积为定值；③存在点E ，使得//AC 平面1BD E ；④存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E .其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．(本小题满分8分)菱形ABCD 的顶点A C ，的坐标分别为(47)A -，，5(6)C -，，BC 边所在直线过点(41)P -，．（Ⅰ）求BC ，AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）求对角线BD 所在直线的方程．17．（本小题满分8分）如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，过1A D E ，，的平面与棱1BB 相交于点F .（Ⅰ）求证：F 是1BB 的中点；（Ⅱ）求点D 到平面1AD E 的距离.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为1x =-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）直线:1l y x =-与抛物线C 交于不同的两点A B ，，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．(本小题满分8分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E F ，分别为AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面PBC ；（Ⅱ）若AD =4PD =，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求二面角E FC D --的大小.条件①：PB PC =；条件②：DE PC ⊥.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点0)A ，且离心率63e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上一点，过点F 作PF 的垂线交椭圆C 于M N ，两点，连接OP 与MN 交于点H （O 为坐标原点）.求MH HN的值.石景山区2023—2024学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CB A B CCD A D A二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由菱形的性质可知//BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以，BC 边所在直线的方程为52(6)y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为72(4)y x -=-+，即210x y ++=.…………4分（Ⅱ）线段AC 的中点为(1,1)E ，756465AC k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD ACk k =-=，所以，对角线BD 所在直线的方程为51(1)6y x -=-，即5610x y -+=.…………8分17．(本小题满分8分)证明：（Ⅰ）连接1BC .因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF 平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF .又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，故1//EF BC .又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.…………4分（Ⅱ）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(,,)x y z =m ，则1(2,0,2)220(1,2,2)20(,,)(,,2)AD x z E x y z x y z A x y z −−→−−→⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-++=⎩m m ，令1x =，得11,2z y ==-，故1(1,,1)2=-m ，点D 到平面1AD E 的距离为1|(2,0,0)(1,,1)|||2422||331114DA d −−→⋅-⋅===⨯=++m m .…………8分18．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意知12p-=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.…………3分（Ⅱ）联立24,,1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y y --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为00(,)D x y .则12124,4y y y y +==-.所以12022y y y +==,0013x y =+=.22212121212()()2[()4]8AB x x y y y y y y =-+-=+-=所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.…………8分19．(本小题满分8分)（Ⅰ）取PC 中点M ，连接,FM BM .在PCD △中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以1//,2MF DC MF DC =.在菱形ABCD 中，因为1//,2AB DC BE DC =，所以//,BE MF BE MF =.所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM .又因为EF ⊄平面,PBC BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .…………4分（Ⅱ）选择条件①：因为PD ⊥平面,,,ABCD DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB △为正三角形.又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.又因为//,AB DC DE AB ⊥.因为ADB △为正三角形且AD =3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .…………8分选择条件②：因为PD ⊥平面,,ABCD DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,,,DE PC PD PC P PD PC ⊥=⊂ 平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，又DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.连接BD ，因为//AB DC ，所以DE AB ⊥，又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB △为正三角形.因为AD =，所以3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意可得222a c e a ab c⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩椭圆C 的方程为22162x y +=.…………3分（Ⅱ）设()3,P m ，)0,2(F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（ⅰ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN=；（ⅱ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然0∆>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++.∵直线OP 的方程为3my x =，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xm y x m y 3)2(1，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN=.…………8分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）石景山区2023—2024学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CB A B CCD A D A二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由菱形的性质可知//BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以，BC 边所在直线的方程为52(6)y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为72(4)y x -=-+，即210x y ++=.…………4分（Ⅱ）线段AC 的中点为(1,1)E ，756465AC k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD ACk k =-=，所以，对角线BD 所在直线的方程为51(1)6y x -=-，即5610x y -+=.…………8分17．(本小题满分8分)证明：（Ⅰ）连接1BC .因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF 平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF .又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，故1//EF BC .又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.…………4分（Ⅱ）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(,,)x y z =m ，则1(2,0,2)220(1,2,2)20(,,)(,,2)AD x z E x y z x y z A x y z −−→−−→⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-++=⎩m m ，令1x =，得11,2z y ==-，故1(1,,1)2=-m ，点D 到平面1AD E 的距离为1|(2,0,0)(1,,1)|||2422||331114DA d −−→⋅-⋅===⨯=++m m .…………8分18．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意知12p-=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.…………3分（Ⅱ）联立24,,1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y y --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为00(,)D x y .则12124,4y y y y +==-.所以12022y y y +==,0013x y =+=.22212121212()()2[()4]8AB x x y y y y y y =-+-=+-=所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.…………8分19．(本小题满分8分)（Ⅰ）取PC 中点M ，连接,FM BM .在PCD △中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以1//,2MF DC MF DC =.在菱形ABCD 中，因为1//,2AB DC BE DC =，所以//,BE MF BE MF =.所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM .又因为EF ⊄平面,PBC BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .…………4分（Ⅱ）选择条件①：因为PD ⊥平面,,,ABCD DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB △为正三角形.又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.又因为//,AB DC DE AB ⊥.因为ADB △为正三角形且AD =3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .…………8分选择条件②：因为PD ⊥平面,,ABCD DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,,,DE PC PD PC P PD PC ⊥=⊂ 平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，又DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.连接BD ，因为//AB DC ，所以DE AB ⊥，又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB △为正三角形.因为AD =，所以3DE =.则(0,0,2),(3,0,0),F E C ，则(3,0,2),(EF EC −−→−−→=-=-，根据条件，可得平面FCD 的法向量为1(1,0,0)=n .设平面EFC 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2200EF EC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n，所以32030x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则3y z ==，所以2=n ，所以1212121,||||2c os ⋅==<>n n n n n n .所以二面角E FC D --的大小为60 .20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）由题意可得222a c e a ab c⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩椭圆C 的方程为22162x y +=.…………3分（Ⅱ）设()3,P m ，)0,2(F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（ⅰ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN=；（ⅱ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然0∆>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++.∵直线OP 的方程为3my x =，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=xm y x m y 3)2(1，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN=.…………8分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。

西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯，由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈，则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=，即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−，同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立，所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++，解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

福建省莆田第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为，的取值范围为．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________．条件①：111n n a a n n +=++；条件②：23n nn S a +=；条件③：12n n n n T a T n ++=．请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <．（参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名：班级：考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。

第一学期高二年级期末考试试卷(数学)及答案

第一学期高二年级期末考试试卷（数学）考试时间：120分钟总分：150分注：本巻是文理综合巻，请同学们看清题，标（文）的文科做，标（理）的理科做，多做无效。

一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（）．A ．30 B.45 C.60 D.1352．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离3．原点到直线052=-+y x 的距离为（） A ．1 B ．3 C ．2 D ．54．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x5．抛物线28y x =-的焦点坐标是（）A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）6．（文）椭圆221168x y +=的离心率为A ．13B ．12CD ．26．（理）若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A. 2B. 1C. 32D.7．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（） A.x y 2±= B .x y 2±= C .x y 22±= D.x y 21±= 8．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 9．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．7410．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 ( )（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ） 221279x y -= 11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A. （41，－1）B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）12．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一1 A点，则FP OP ∙的最大值为（）A.2B.3C.6D.8二、填空题：（每小题5分，共20分）13．己知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为．14．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .15．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为。

高二第一学期期末测试卷及答案(理数)

中学高二期末测试卷（理数）时量：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数=++−i i i 1)21)(1(在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限，B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．特称命题“∃实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 A ．2,10x x ∀∈+≥R B ．2,10x x ∃∈+≥R C ．2,10x x ∀∈+<R D ．若x ∈R ，则210x +<3．下面的抽样方法是简单随机抽样的是 ( ) A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D ．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：A 、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．答案：D4.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 A ．12 B ．13 C ．14D ．165．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=−b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为开始A =1k =1B=2A+1A=Bk=k +1k >5?输出A结束是否甲乙 0 8 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 4 6 9 7 6 6 1 1 3 3 8 9 9 4 4 8 0 5 5 8 A ．31+B ．5C ．25 D ． 36．已知下面两个程序：甲： i=1 乙：i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i －1WEND LOOP UNTIL i<1 PRINT S PRINT SEND END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（）A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同7.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（） A ．4B ．33C ．43D ．88. 已知()2,0A ，()0,1B ，点()y x C ,是椭圆1422=+x y 上的点，，则使三角形ABC 的面积为21的点C 有（）个 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡对应题号后的横线上。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程；（2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0．（1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=．（1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分（3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5，解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分（2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0，则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）．所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

高二数学第一学期期末统一考试1.doc

高二数学第一学期期末统一考试数学(文科)试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔把考号及试卷类型填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷选择题共50分一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．等差数列}{n a 中，3a = 2 ，则该数列的前５项的和为（） A.32 B ．20 C ．16 D ．102．抛物线y = -2x 2的准线方程是（） A ．x=－21 Ｂ．x=21 C ．y=81 D ．y=－813. 下列命题中，其“非”是真命题的是（）A ．∀x ∈R ，x ²-22x + 2 ≥ 0B ．∃x ∈R ，3x-5 = 0C ．一切分数都是有理数D ．对于任意的实数a,b,方程ax=b 都有唯一解4. 已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+ 5方程3)1(2)3(222+-=-++y x y x 表示的曲线是 ( ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6.已知f(x) = x 2 + 2x f 1 (1) , 则f 1（0）=( )A ．0B ．－4C ．－2D ．27、设x ，y 是正实数，且满足x + 4y = 40，则lgx+lgy 的最大值是 ( )A ．2B ．4C ．10D ．408. 已知数列{a n },那么“对任意的n ∈N *,点 P n (n,a n )都在直线y=2x+1上”是“{a n }为等差数列的（）A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件9．已知x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y W 的取值范围为是（） A.〔 —1，31〕 B.〔－21,31〕 C. 〔－21,+∞ ） D. 〔－21,1） 10．设F 1，F 2是x 2+3y 2= 3椭圆的焦点，点P 是椭圆上的点，若∠F 1PF 2=900，则这样的点P 有（）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11、函数y =xx -+12的定义域为 ________________ 12、过点P(－1,2 ) 且与曲线y=3x 2—4x+ 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是13、已知m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆122=+ny m x 的离心率为_______________14、在△ABC 中∠A=600,b=1,S △ABC =3,则Aacos = 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

高二数学第一学期期末考试卷

第1页共4页第2页共4页高二第一学期期末考试卷数学12小题，每小题5分，共60分）命题”“034,00200<+->∃x x x 的否定是（） 034,0.2≥+->∀x x x A 034,0.020<+-≤∃x x x B 034,0.2<+-≤∀x x x C 034,0.020≥+->∃x x x D 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，6π=A ,4π=B ,6=a ，则=b （）32.A 263.B 33.C 62.D 已知函数x x e f x f ln )()(+'=，则=')(e f （）e A +1. 2.B e C +2. 3.D抛物线22x y =的准线方程是（）014.=+x A 014.=+y B 018.=+x C 018.=+y D 设y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--.02,022,022y x y x y x 则y x z 3-=的最小值是（）8.A 2.-B 4.-C 8.-D在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，B A b B a cos cos sin 2=,则ABC ∆的形状是）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定“31<<-m ”是“方程17122=-++my m x ”表示椭圆的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件已知命题p ：在ABC ∆中，若B A >,则B A sin sin >；命题:q 在等比数列{}n a 中，若1662=a a ，则44=a .下列命题是真命题的是（）)(.q p A ⌝∧ q p B ∨⌝)(. )()(.q p C ⌝∧⌝ q p D ∧.11. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且011211<<-a a ，则使得0>n S 成立的n 的最小值是（）11.A 22.B 21.C 12.D12. 双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，渐近线分别为21,l l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交2l 于点Q ,若F 12=，则双曲线的离心率为（）2.A3.B 2.C 3.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 椭圆246422=+y x 的短轴长是 .14. 已知0>>b a ，且2=+b a ，则ba 515+的最小值是 . 15. 从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是︒45，从该建筑物的北偏东︒30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是︒30.B A ,之间的距离是35米，则该建筑物的高为米.16. 已知)(x f '是定义在R 上的函数)(x f 的导函数，且满足xe x xf x f x 2)()(=-'，e f =)1(，则)(x f 的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知32=a ,且C a A c b cos cos )2(=-. （1）求A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为23，求ABC ∆的周长.第3页共4页第4页共4页18. （12分）已知:p 函数m ax x f -=)()0(≠a 在区间[)∞+，1上单调递增， :q 关于x 的不等式02≤++m mx x 的解集非空. （1）当3=a 时，若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当0>a 时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.19.（12分）已知ABC ∆的周长为834+且点A 、B 的坐标分别为()()0,32,0,32-，动点C 的轨迹为曲线Q . （1）求曲线Q 的方程；（2）直线l 过点)1,1(P ，交曲线Q 于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，求直线l 的方程.20. （12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，且抛物线C 与直线x y 2=的一个交点是)2,(m M .（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线)0(:≠+=n n x y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OB OA ⊥，求n .21. （12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且132a a S n n -=)(*N n ∈，数列}{n b 满足41=b ，12++=n n n na S b )(*N n ∈.（1）求}{n a 的通项公式（2）求}{n b 的前n 项和为n T .22. （12分）已知函数2)(3++-=ax x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 在[)+∞-,1上只有一个零点，求a 的取值范围.。