2020届云南省昆明市高考数学模拟试卷(文)(有答案)(已审阅)

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2020年云南省高考数学(文科)模拟试卷(5)

）
A ．平行四边形
B ．矩阵
C．菱形
D ．以上都不对
5．（ 5 分）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周）
，则该几何
体的体积为（
）
A ．32﹣ 4π
B ．32﹣ 2π
C． 64﹣ 4π
6．（ 5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（
）
D． 64﹣2π
第 1页（共 19页）
A ．4
B．5
7．（ 5 分）已知函数 f（ x）＝ ex+e﹣x，则（
C． 6 ）
D．7
A ．??(- √2) ＜f（ e）＜ f（ √5 ）
B． f（ e）＜ ??(- √2) ＜f （√5）
C． f（√5 ）＜ f（e）＜??(- √2)
D． ??(- √2) ＜f （ √5）＜ f （e）
S＝ 6，T=
3 ，i ＝ 4； 2
S＝ 10， T= 85， i ＝5；
S＝ 15， T=
5， i ＝6； 3
S＝ 21， T=
5 3
+
1 21
，
i＝
7；跳出循环，输出结果
i＝ 7，
故选： D ．
7．（ 5 分）已知函数 f（ x）＝ ex+e﹣x，则（
）
A ．??(- √2) ＜f（ e）＜ f（ √5 ）
边形，故选： D ．
5．（ 5 分）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周）体的体积为（ Nhomakorabea）
，则该几何
第 6页（共 19页）
A ．32﹣ 4π
B ．32﹣ 2π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)

2020年云南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={x|x=1}，T={x|ax=2}，若S∩T=T，则常数a的值为()A. 0或2B. 0或1C. 2D. 122.已知复数z=1−1i，则z在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设向量a⃗=(3x,−2)，b⃗⃗═(−6,2)，若a⃗//b⃗⃗，则x=()A. −29B. 29C. −2D. 24.为了得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，只需把函数y=3sin2x的图象上所有的()A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度C. 向右平移π3个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度5.执行如图所示的程序框图．若输入的S=0，则输出的S=()A. 20B. 40C. 62D. 776.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的体积为()A. 32−4πB. 32−2πC. 64−4πD. 64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z =2x +y 的最大值等于( )A. 10B. 12C. 16D. 228. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，经过点Q(−1,0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为( )A. √33B. √22C. 12D. 19. 已知tanα=2，则sin4αcos2α=( )A. ±85B. ±45C. 85D. 4510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3.若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 32π C. 36√3π D. 32√3π 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √52C. √31−12D. √33−1212. 已知f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1,1)单调递减，则m 的取值范围为( ) A. [−3,3] B. (−3,3) C. [−5,5] D. (−5,5)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 对总数为N 的一批零件抽取一个容量为40的样本．若每个零件被抽取的概率为0.2，则N 等于______． 14. 已知f(x)=a⋅2x +3a+52x +1，若函数f(x)的图象关于原点成中心对称图形，则常数a 的值为______．15. 已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C.若sin 2A +sin 2B +sinAsinB =sin 2C ，则C 的值是______．16. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =23π，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则∣∣→AF ∣∣的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩(单位：分)，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．成绩优良人数成绩非优良人数总计男生 30 女生 20 总计50附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87918. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n =a n+1，设b n =S n(1+Sn )(1+S n+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求T n ．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，M 、N 、D 分别是A 1B 1、A 1C 1、BC 的中点，设M到平面ADN 的距离为m ，A 到平面MDN 的距离为n ． (1)求证：AD ⊥MN ；(2)若三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，AB =AA 1，∠ABC =π6，求mn 的值．20. 已知函数f(x)=ax−lnx+bx．(1)当a =−1，b =5时，求曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线方程；(2)当a >1，b ≤−1−ln (a −1)时，求证：曲线y =f(x)与y =1有公共点．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为√32，F 1、F 2分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，线段F 1P 与y 轴交于点B ，且|F 1P|⋅|F 1B|=6．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.求证：动直线l 与圆x 2+y 2=45相切．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos2θ−sin2θ．(1)直接写出曲线C2的普通方程；(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．23.已知f(x)=|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．(1)求m；(2)若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵S∩T=T，∴T⊆S，且S={1}，T={x|ax=2}，①a=0时，T=⌀，满足T⊆S，②a≠0时，T={2a }，则2a=1，解得a=2，∴a=0或2．故选：A．根据S∩T=T可得出T⊆S，从而可讨论a：a=0时，显然满足题意；a≠0时，可得出2a=1，从而可得出a的值．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：复数z=1−1i =1−ii2=1+i，故z在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A．化简复数可得z=1−1i =1−ii2=1+i，故可得z在复平面上对应的点所在的象限．本题为复数的化简运算和复数在复平面的位置，属基础题．3.答案：D解析：解：向量a⃗=(3x,−2)，b⃗⃗═(−6,2)，若a⃗//b⃗⃗，则2×3x−(−2)×(−6)=0，解得x=2．故选：D．根据平面向量的共线定理，列方程求出x的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：由y=3sin(2x−π3)=3sin2(x−π6)，即把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，故选：D．由三角函数图象的平移可得：把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，得解．本题考查了三角函数图象的平移，属简单题． 5.答案：B解析：解：由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和， ∴S =2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．故选：B ．本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和．套公式计算即可．本题考查了程序框图与数列求和问题，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力．难度不大． 6.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π．故选：C ．由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4.再由棱柱与圆柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7.答案：B解析：解：如图：作出可行域，目标函数：z =2x +y ，则y =−2x +z ，当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25解得A(5,2)Z max =2x +y =12．故z =2x +y 的最大值为：12；故选：B ．先根据约束条件画出可行域，设z =2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z =2x +y 可行域内的点B 时，从而得到z =2x +y 的最值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8.答案：B解析：解：设AB 的斜率为k ，直线方程为：y =k(x +1)，与抛物线y 2=4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2=1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4，点F 在以AB 为直径的圆上，FA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，可得(x 1−1,y 1)⋅(x 2−1,y 2)=0，即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0，即1+2k 2−4k 2+1+4=0，解得k =±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22．故选：B ．设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由tanα=2，则sin4αcos2α=2sin2αcos2αcos2α=2sin2α =4sinαcosα =4sinαcosαsin 2α+cos 2α=4tanαtan 2α+1=4×222+1=85．故选：C ．由题意，利用三角恒等变换和弦化切公式，计算即可．本题考查了三角恒等变换以及三角函数求值问题，是基础题． 10.答案：A解析：解；设正△ABC 的外接圆半径r ，由正弦定理可得，2√3sin60°=2r ，故r =2，由球的性质可知，R 2=r 2+d 2=4+5=9，所以球的表面积S =4π×9=36π．故选：A ．由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2=r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求．本题主要考查了球的性质及球的表面积公式的简单应用，属于基础试题． 11.答案：D解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2，可得：8a 2=c 2+ac ，e 2+e −8=0，e >1，解得e =√33−12．故选：D ．椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题． 12.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1,1)单调递减， ∴当x ∈(−1,1)时，f′(x)=x 2+mx −6≤0恒成立， ∴{f′(−1)≤0f′(1)≤0，即{1−m −6≤01+m −6≤0，解得：−5≤m ≤5，∴m 的取值范围为[−5,5]．故选：C ．依题意得，x ∈(−1,1)时，f′(x)=x 2+mx −6≤0恒成立，得到{f′(−1)≤0f′(1)≤0，解之即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到{f′(−1)≤0f′(1)≤0是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题． 13.答案：200解析：解：对总数为N 的一批零件抽取一个容量为40的样本．每个零件被抽取的概率为0.2，则N =400.2=200．故答案为：200．利用等可能事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：−54解析：解：根据题意，f(x)=a⋅2x +3a+52x +1，则f(−x)=a⋅2−x +3a+52−x +1=a+(3a+5)⋅2x1+2x，函数f(x)的图象关于原点成中心对称图形，即函数f(x)为奇函数，有f(−x)+f(x)=0，则有a⋅2x +(3a+5)2x +1+a+(3a+5)⋅2x1+2x=0，变形可得(4a +5)=0，解可得a =−54；故答案为：−54．根据题意，由函数的解析式可得f(−x)的表达式，结合函数奇偶性的定义可得函数f(x)为奇函数，有f(−x)+f(x)=0，进而可得a⋅2x +(3a+5)2x +1+a+(3a+5)⋅2x1+2x=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意对函数奇偶性的定义，属于基础题．15.答案：2π3解析：解：由sin 2A +sin 2B +sinAsinB =sin 2C ，正弦定理可得：a 2+b 2+ab =c 2，由余弦定理cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，∵C ∈(0,π)， ∴C =2π3．故答案为：2π3．利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理即可求解角C 的大小．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 16.答案：√5解析：解：如图，连接AE ，E 为线段BC 的中点，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(56−λ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且E ，F ，D 三点共线， ∴λ+56−λ2=1，解得λ=13，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∵平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =23π， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin 23π=√32|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=9√3， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=18， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2536AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+59|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos 2π3=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2−5≥2×13×56|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−5=5，∴|AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为√5．故答案为：√5．可画出图形，连接AE ，从而根据条件可得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(56−λ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，然后根据E ，F ，D 三点共线即可求出λ=13，从而得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，而根据条件可得出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=18，从而可得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2−5≥5，从而可得出|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，三点A ，B ，C 共线且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗时，λ+μ=1，不等式a 2+b 2≥2ab 的应用，考查了计算能力，属于中档题．(2)根据列联表中数据，计算K 2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．解析：(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意，可知S n =a n+1=S n+1−S n ，即S n+1=2S n ， ∵S 1=a 1=2，∴数列{S n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴S n =2⋅2n−1=2n ，n ∈N ∗．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ={2,n =12n−1,n ≥2．(2)由(1)知，S n =2n ，则b n =S n(1+Sn )(1+S n+1)=2n(1+2n )(1+2n+1)=11+2n −11+2n+1， ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =11+21−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n −11+2n+1 =11+21−11+2n+1=13−11+2n+1．解析：本题第(1)题先通过公式a n+1=S n+1−S n ，可得到S n+1=2S n ，则数列{S n }是以2为首项，2为公比的等比数列，即可计算出S n 关于n 的表达式，再根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2可得数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 19.答案：解：(1)∵D 是BC 的中点，AB =AC ， ∴AD ⊥BC ，∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴MN//B 1C 1，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1， ∴MN//BC ， ∴AD ⊥MN ；(2)设AB =2a ，由题设得，AD =a ，AN =DN =√5a ，S △ADN =√19a 24，在Rt △ABD 中，BD =√3a ，∴MN =BD =√3a ，由题设可得MD =DN =√5a ，S △MDN =√51a 24，∵V M−ADN =V A−MDN ，∴13m ⋅S △ADN =13n ⋅S △MDN ，即13m ⋅√19a 24=13n ⋅√51a 24，∴m n =√51√19=√96919．解析：(1)根据条件可得出AD ⊥BC ，MN//B 1C 1，且BC//B 1C 1，从而可得出AD ⊥MN ；(2)可设AB =2a ，从而得出AD =a ，AN =DN =√5a ，S △ADN =√19a 24，同样根据条件可求出S △MDN =√51a 24，容易知道V M−ADN =V A−MDN ，从而可得出13m ⋅√19a 24=13n ⋅√51a 24，从而可得出m n 的值．本题考查了三角形中位线的性质，三棱柱和直三棱柱的定义，三角形面积的求法，直角三角形边角的关系，三棱锥的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．20.答案：解：(1)当a =−1，b =5时，f(x)=−x−lnx+5x，∴f′(x)=lnx−6x ，∴f′(1)=ln1−61=−6，∴曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线斜率k =−6，∴曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线方程为6x +y −10=0．(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)=1⇔(a −1)x −lnx +b =0．设g(x)=(a −1)x −lnx +b ，则x >0，g′(x)=a −1−1x=(a−1)(x−1a−1)x．∵a >1，∴当x ∈(0,1a−1)时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1a−1)上单调递减；当x ∈(1a−1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(1a−1,+∞)上单调递增，∴当x =1a−1时，g(x)取得最小值，即g(x)min =g(1a−1)=1+b +ln (a −1)．∵b ≤−1−ln (a −1)，∴1+b +ln (a −1)≤0，即g(x)min ≤0．又∵e b >0，g(e b )=(a −1)e b −lne b +b =(a −1)e b >0， ∴曲线y =g(x)与y =0有公共点，即方程g(x)=0有实数解， ∴方程f(x)=1有实数解，即曲线y =f(x)与y =1有公共点，∴当a >1，b ≤−1−ln (a −1)时，曲线y =f(x)与y =1有公共点．解析：(1)将a =−1，b =5代入f(x)中，求出f(x)的导函数，然后求出曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线斜率，再求出切线方程；(2)由f(x)=1可得(a −1)x −lnx +b =0，设g(x)=(a −1)x −lnx +b ，然后求出g(x)的最小值，再得到方程g(x)=0有实数解，进一步证明曲线y =f(x)与y =1有公共点．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想，属中档题．21.答案：解：(1)设椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|=2c ，因为∠BF 1O =∠PF 1F 2，∠F 1OB =∠F 1PF 2=π2，所以△F 1BO∽△F 1F 2P ，所以 |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，所以|F 1P|⋅|F 1B|=|F 1O|⋅|F 1F 2|=2c 2=6，可得c =√3，又e =c a=√32，所以a =2，b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)证明：①当动直线ld 的斜率不存在时，设l 的方程为x =t ，M(t,y 1)，N(t,y 2)，由{x =tx 2+4y 2=4可得：4y 2+t 2−4=0，因为直线与椭圆有两个交点，所以方程4y 2+t 2−4=0由两个不相等的实数根，所以t 2<4，y 1y 2=t 2−44，因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以t 2+y 1y 2=0，即t 2+t 2−44=0，解得|t|=2√55，因为一些O 到直线x =t 的距离d =|t|=2√55，所以直线与圆x 2+y 2=45相切；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y =kx +m ，即kx −y +m =0，设M(x 1,kx 1+m)，N(x 2,kx 2+m)，联立直线与椭圆的方程：{y =kx +mx 2+4y 2−4=0，整理可得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，△=64k 2m 2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，整理可得4k 2+1−m 2>0，x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)(4m 2−4)1+4k 2−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，化简可得1+k 2=5m 24，因为原点到直线l 的距离d =√1+k 2=√5m 24=2√55=r ，所以直线与圆x 2+y 2=45相切，综上所述动直线l 与圆x 2+y 2=45相切．解析：(1)设椭圆的方程，由线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，线段F 1P 与y 轴交于点B ，可得F 1OB =∠F 1PF 2=π2，进而可得三角形相似，可得|F 1P|⋅|F 1B|=|F 1O|⋅|F 1F 2|=2c 2=6，求出c 的值，再由离心率求出a ，再由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0可得x 1x 2+y 1y 2=0，进而解得参数之间的关系，求出圆心到直线的距离可得恰好等于半径，即证直线与圆相切．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和证明直线与相切的方法，属于中难题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程ρ=2.3ρ2+3ρ2cos 2θ=4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．(2)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =sin α(α为参数).转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，所以该曲线是以C(2,0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cosθ,2sinθ)，则|BC|=√(cosθ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cosθ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cosθ+8 =√−3(cosθ+23)2+283，当cosθ=−23时．|BC|max =√283=2√213，所以求|AB|的最大值为2√213+2．解析：1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：(1)由绝对值不等式的性质得f(x)=|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|=2，又∵f(−1)=2，∴m=2；(2)证明：∵a>0,b>0,a+b=√3ab，∴1a +1b=√3，∴1b =√3−1a，∴1b2=1a2−2√3a+3，∴1a2+2b2=3a2−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，∴1a2+2b2≥2=m．解析：(1)利用绝对值不等式的性质可得m=2；(2)根据题意1b =√3−1a，进而1a+2b=3a−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，由此得证．本题考查绝对值不等式的性质，以及利用配方法证明不等式，考查了换元思想，函数思想的运用，属于基础题．。

2020届云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)(有答案)(加精)

云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=_______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为_______．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为_______．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，求得PC 的最小值，可得PA 的最小值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由圆心C （a ，0）到直线l 的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜，即0＜tan ∠APC ＜1，在Rt △APC 中，tan ∠APC==，可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，当PC ⊥l 时，PC 取得最小值，且为，即有1＜，解得a ＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5，=78，（x i﹣）（y i﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6，=﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是：=﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，=﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3，=，=.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时，g（x）＞0，0＜x＜1时，g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l 的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．k l=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），k l==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S△GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．。

2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(文科)(5月份)

定义域为的偶函数满足＝，当时，，给出下列四个结论：
① ；
②若＝，则＝；
③函数在内有且仅有个零点；
其中，正确结论的序号是________．
三、解答题（共5小题，满分60分）
已知三棱柱，底面为等边三角形，侧棱平面，为中点，＝，和交于点．
（1）证明：平面；
【解答】
证明：如图所示，取的中点，连接，．在中，为的中点，为的中点，
∴ ，．
∵ 为的中点，∴ ．且．
∴ ，＝．
∴四边形为平行四边形．
∴ ，
而平面，平面．
∴ 平面．
∵ ＝，与为等边三角形，＝＝＝．
∴ ＝．
∵侧棱平面，
∴ ＝＝，＝，
可得．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的左、右顶点，点为直线＝上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]
∴ ，＝．
∴四边形为平行四边形．
∴ ，
而平面，平面．
∴ 平面．
∵ ＝，与为等边三角形，＝＝＝．
∴ ＝．
∵侧棱平面，
∴ ＝＝，＝，
可得．
．
点到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
则，
∴ ，
解得．
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面平行

2020年昆明一中高考数学模拟试卷(文科)(含答案解析)

2020年昆明一中高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|y =ln(−x)}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {x|x <0}C. {x|−1<x <0}D. {x|0<x <1}2. 若z +2z =3−i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率4. 若θ∈(π4,π2)，sin 2θ=4√29，则cosθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. 895. 已知x ，y 满足{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9，则z =2x −y 的最大值是( )A. 152B. 92C. 94D. 26. 函数f(x)=sinx(sinx +√3cosx)的最大值为( )A. 2B. 1+√3C. 32D. 17.函数y=1−1x−1的图象是()A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 49.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()A. 4πB. 43π C. 163π D. 34π10.在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=∠ADC=π2，则下列是直角的为()A. ∠BCDB. ∠BDCC. ∠CBDD. ∠ACD11.若a≥√2，则双曲线x2a2−y23=1的离心率的取值范围是()A. [√102,+∞) B. (√102,+∞) C. (1,√102] D. (1,√102)12.函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2]B. [2−√2, 2]C. [2, 2+√2]D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，若m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，则m等于______ ．14.已知△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，则角A等于______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为√3.若C上一点P满足|PF1|−|PF2|=2√3，则C的方程为______．16.已知函数f(x)=|x|+cosx，若方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，则实数a的取值范围为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>0,a2a3=8a1，且a4,36,2a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2na n，求数列{b n}的前{b n}的前n项和T n．18.某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100(1)若全小区节能意识强的人共有360人，则估计这360人中，年龄大于50岁的有多少人⋅(2)按表格中的年龄段分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．19.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AD=a，G是EF的中点，且AF=12(1)求证平面AGC⊥平面BGC；(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．20.如图，已知抛物线C：x2=2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0,−1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B．(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线A′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)求函数f(x)的最值；(2)证明：lnx ≤x −1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|1−2x|+|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a−|1+x|<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的有关概念和复数的运算．z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，根据复数相等的意义即可求解；解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，依题意知a+bi+2(a−bi)=3−i，即3a−bi=3−i，根据复数相等的意义得a=b=1，于是z=1+i，所以|z|=√2．故选B;3.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．4.答案：A解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得cos2θ，进而利用二倍角公式可求cosθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．解：由θ∈(π4,π2)，sin2θ=4√29，得2θ∈(π2,π)，可得cos2θ=−√1−sin 22θ=−79，所以cosθ=√1+cos2θ2=13．故选：A ．5.答案：B解析：解：作出不等式组{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD 及其内部，其中A(32,34)，B(3,32)，C(3,4)，D(0,3)设z =F(x,y)=2x −y ，将直线l ：z =2x −y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,32)=2×3−32=92故选：B ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD 及其内部，再将目标函数z =2x −y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =32时，目标函数z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =2x −y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：f(x)=sinx(sinx +√3cosx)=sin 2x +√3sinxcosx =12(1−cos2x)+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， ∴当sin(2x −π6)=1时，函数取得最大值1+12=32，故选：C ．利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数最值的求解，利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：把y =1x 的图象向右平移一个单位得到y =1x−1的图象，把y =1x−1的图象关于x 轴对称得到y =−1x−1的图象，把y =−1x−1的图象向上平移一个单位得到y =1−1x−1的图象．故选：B ．把函数y =1x 先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位．本题考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力．8.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数， ∴n =1，2，4，8，16，32，64，故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能9.答案：B解析：本题考查了球的表面积和体积公式的运用，属于基础题．由球O的表面积值为4π，求出半径r的值，然后求出体积．解：S球=4πr2=4π，得r=1，所以V球=43πr3=43×π×13=43π，故选B．10.答案：B解析：解：∵在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=π2，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵∠ADC=π2，∴CD⊥AD，∵AB∩AD=A，∴CD⊥平面ABD，∴∠BDC=π2．故选：B．在四面体ABCD中，由∠ABC=∠ABD=π2，知AB⊥平面BCD，从而得到AB⊥CD，由∠ADC=π2，知CD⊥AD，从而得到CD⊥平面ABD，所以∠BDC=π2．本题考查直角的判断，是基础题，解题时要注意直线与平面垂直的判断与应用．11.答案：C解析：解：根据题意，双曲线x2a2−y23=1中a≥√2，则c=√a2+3，则双曲线的离心率e=ca =√a2+3a=√1+3a2，又由a≥√2，则有1<e≤√102，即双曲线的离心率e的取值范围是(1,√102]故选：C．根据题意，由双曲线的标准方程可得c的值，进而由双曲线的离心率公式可得e=ca =√a2+3a=√1+3a2，结合a的范围，分析可得答案．本题考查双曲线的几何意义，关键是掌握双曲线的离心率计算公式．12.答案：C解析：解：∵函数f(x)=(1−x)|x−3|={−x 2+4x−3,x≥3x2−4x+3,x<3，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，当x≥3时，f(x)=−x2+4x−3=−1，解得x=2+√2，当x<3时，f(x)=x2−4x+3=−1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+√2．故实数a的集合是[2,2+√2].故选：C．由零点分段法，我们可将函数f(x)=(1−x)|x−3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．13.答案：65解析：解：∵向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，∴m a⃗+b⃗ =(2m−1,3m+2)a⃗−2b⃗ =(4,−1)又∵m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，∴(m a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )=4(2m−1)−(3m+2)=5m−6=0，解得m=65．故答案为：65．根据平面向量的坐标运算，利用m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，数量积为0，求出m的值．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．14.答案：π3解析：解：△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，cosA=b2+c2−a22bc =12，A是三角形内角，∴A=π3．故答案为：π3．直接利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求解A的大小．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．15.答案：x23−y26=1解析：解：由双曲线的定义可知a=√3，由e=ca=√3，得c=3，则b2=c2−a2=6，所以双曲线C的方程为x23−y26=1．故答案为：x23−y26=1．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．16.答案：(2√3,4)解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用换元法将方程进行转化是解决本题的关键．利用换元法，将方程，转化为关于t的一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可得到结论．解：设t=f(x)，则方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，做出f(x)的图象等价为t 2−at +3=0有两个不同的解，且两个根t 1，t 2都大于1，，即{△=a 2−12>01−a +3>0a2>1，解得2√3<a <4，∴实数a 的取值范围为(2√3,4)，故答案为(2√3,4)．17.答案：解：(1)由a 2a 3=8a 1得：a 1q 3=8 即a 4=8又因为a 4，36，2a 6成等差数列所以a 4+2a 6=72 将a 4=8代入得：a 6=42 从而：a 1=1，q =2所以：a n =2n−1 (2)b n =2n =2n ⋅(1)n−1 T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×(12)0+2((12)1+(12)2+⋯+(12)n−1)−2n ⋅(12)n=2+2×12×(1−(12)n−1)1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1 ∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式．(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．18.答案：解：(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的有3645×360=288人．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有5×936+9=1人，∴年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，从这5人中，任取2人，所有的可能情况有10种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{c,d}，{c,e}，{d,e}，设事件A表示“恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁”，则事件A包含的基本事件有4种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，∴恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率P(A)=410=25．解析：本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，由此能估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的人数．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有1人，年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，利用列举法能求出恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率．19.答案：(1)证明：∵正方形ABCD，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，CB⊂面ABCD，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=√2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，BG，BC⊂面CBG，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．(2)解：如图，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，由(Ⅰ)知面AGC⊥面BGC，且交于GC，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt △CBG 中BH =BC⋅BG CG=BC⋅BG √BC 2+BG 2=2√33a ，又BG =√2a ，∴sin∠BGH =BH BG=√63．解析：(1)由面面垂直的性质证明CB ⊥AG ，用勾股定理证明AG ⊥BG ，得到AG ⊥平面CBG ，从而结论得到证明．(2)由(Ⅰ)知面AGC ⊥面BGC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，故∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角，解Rt △CBG ，可得GB 与平面AGC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，体现转化的思想，属于基础题．20.答案：解：(1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)设直线l 的方程为y =kx −1，又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)，由{y =x 24,y =kx −1,得x 2−4kx +4=0，则Δ=16k 2−16>0，x =4k±√16k2−162，x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，所以k A′B =y 2−y 1x 2−(−x 1)=x 224−x 124x1+x 2=x 2−x 14，于是直线A′B 的方程为y −x 224=x 2−x 14(x −x 2)，所以y =x 2−x 14(x −x 2)+x 224=x 2−x 14x +1，当x =0时，y =1，所以直线A′B 过定点(0,1)．解析：本题考查抛物线的方程与抛物线与直线的位置关系，属于中档题． (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，即可求解，(2)设直线l 的方程为y =kx −1，又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)，直线方程与抛物线方程联立，求得x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，写出直线A′B 的方程，整理即可求解． 21.答案：解：(1)由题设，函数f (x )的定义域为(0,+∞)，，令，；当x 变化时，，f (x )的变化情况如下表：因此，当x =1，函数f (x )有极大值即为最大值，且最大值为f (1)=0，没有最小值; (2)证明：由(1)可知函数f (x )在x =1处取得最大值，且最大值为0，即f (x )=lnx −x +1≤0⇒lnx ≤x −1，证毕．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)由(1)和函数的单调性证明结论即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos α=−4cos α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)=|1−2x|+|1+x|，故f(x)≥4，即|1−2x|+|1+x|≥4，∴{x <−11−2x −x −1≥4①或{−1≤x ≤121−2x +x +1≥4②或{x >122x −1+x +1≥4③，解①求得x ≤−43，解②求得x ∈⌀，解③求得x ≥43，综上，可得不等式的解集为．(2)关于x 的不等式a 2+2a −|1+x|<f(x)恒成立，即a 2+2a <|1−2x|+|2x +2|，而|1−2x|+|2x +2|≥|1−2x +2x +2|=3，故有a 2+2a <3，求得3<a <1，即实数a 的取值范围为(−3,1)．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥4的解集； (2)绝对值三角不等式的应用．。

2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)

2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合S={1,3}，T={2,3}，则S∩T=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗−b⃗ =()A. (−3,−6)B. (3,−2)C. (−1,6)D. (3,6)4.函数y=sin(2x−π6)的最小正周期是()A. π4B. π2C. πD. 2π5.执行如图所示的程序框图，若输入a=−7，d=3，则输出的S为()A. S=−12B. S=−11C. S=−10D. S=−66.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为()A. 1B. 2πC. 1−π4D. 1−π27. 已知xy 满足约束条件{x +2y −7≤0x −y ≤0x ∈N,y ∈N，则z =2x +y 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知过抛物线y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，以AF 为直径的圆过点Q(0,4)，则|BF|的值为( )A. 52B. 92C. 109D. 109. 已知α满足sin α=13，则cos 2α=( )A. 79B. 718C. −79D. −71810. 已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB =BC =CA =3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 4πC.274π D.272π11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 在C 的右支上，|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，且∠PF 1F 2=120°，则该双曲线的离心率是( )A. 32B. √3C. 2D. 312. 已知函数f(x)=3x 3−ax 2+x −5在区间[1,2]上单调递减，则a 的取值范围是( )A. [5,374] B. (−∞,5)∪(374,+∞) C. [5,+∞)D. [374,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从含有500个个体的总体中，一次性抽取25个个体，假设其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中某个个体被抽到的概率为_______． 14. 如果函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则a =______．15. 在△ABC 中，若sin 2B+sin 2C−sinBsinCsin 2A=1，则A 等于______ ．16. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP ⃗⃗⃗⃗ |=√3，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠ACB =2π3，则____.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与不参与总计男大学生 30女大学生50 总计45100(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；(2)能否有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.82818.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S5=31．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=(2n+1)a n，求{b n}的前n项和T n．19.如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．20.已知函数f(x)=2lnx−x，若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线是y=kx−2，求k的值．21. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为34，且|MF 2|=35|MF 1|． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知直线l ：y =kx +t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切，求OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(O 为坐标原点)22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,0≤θ<2π)，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |⋅|OB |=6，点B 的轨迹为C 2． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)设点C 的极坐标为(2,0)，求△ABC 面积的最小值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：S={1,3}，T={2,3}；∴S∩T={3}．故选：A．进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：∵平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，∴−2×2−m=0，解得m=−4．∴a⃗−b⃗ =(1,2)−(−2,−4)=(3,6)．故选：D．利用向量共线定理和向量的坐标运算即可得出．本题考查了向量共线定理和向量的坐标运算，属于基础题．4.答案：C解析：本题主要考查三角函数周期的求法，属于基础题．直接利用正弦函数的周期公式求解即可．解：函数y =sin(2x −π6)周期为2π2=π，故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，a +d 的值，当a +d =2时满足条件a +d >0，退出循环，输出S 的值为−12．解：模拟程序运行： a =−7，d =3，S =0，第一次循环S =−7，a +d =−4<0，不满足；第二次循环a =−4，S =−7−4=−11，a +d =−1<0，不满足；第三次循环a =−1，S =−11−1=−12，a +d =2>0，满足，退出循环，输出S =−12，故选A ．6.答案：C解析：本题考查了几何体的三视图；属于中档题．由三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱，间接法求体积即可．解：由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱，正方体的体积为1，14圆柱的体积为14π×12×1=π4，所以所求几何体的体积为1−π4．故选C ．7.答案：C解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x，y满足约束条件{x+2y−7≤0x−y≤0x∈N,y∈N作出可行域如图：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图形可知A(2,2)，当直线y=−2x+z过A(2,2)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故选：C．8.答案：A解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．求出抛物线的焦点坐标，由k AQ⋅k QF=−1求得A的坐标，设直线AB方程为y=k(x−2)，与抛物线方程联立，可求得B的横坐标，即可求解|BF|的值．解：由抛物线方程为：y2=8x，可得2p=8，p=4，可得焦点F(2,0)，设A(x A,y A)，由以AF为直径的圆过点Q(0,4)，可得AQ⊥QF，k AQ⋅k QF=−1，可得y A −4x A⋅(−2)=−1，同时由y A 2=8x A ，解得x A =y A =8，即A(8,8)，直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y =k (x −2)，与抛物线方程联立，可得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0，则x A ⋅x B =4，可得x B =12，则|BF|=12+2=52，故选A ．9.答案：A解析：本题考查利用二倍角公式求三角函数值，属于基础题．利用cos2α=1−2sin 2α公式代入求值即可．解：sin α=13，则cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79．故选A ．10.答案：D解析：解：设球的半径为r ，O′是△ABC 的外心，外接圆半径为R =√3， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 2−19r 2=3，得r 2=278．球的表面积S =4πr 2=4π×278=272π.故选：D ．设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．11.答案：A解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则∵点P在C的右支上，∴m−n=2a，∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，∴2n=m+2c，∴m=4a+2c，n=2a+2c，∵∠PF1F2=120°，∴(4a+2c)2=(2c)2+(2a+2c)2−2⋅2c⋅(2a+2c)cos120°，整理得3a2+ac−2c2=0，∴2e2−e−3=0，∵e>1，∴e=32．故选：A．利用双曲线的定义，结合等差数列的性质，求出|PF1|、|PF2|，再利用余弦定理，建立a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：D解析：【试题解析】先求出导函数，欲使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减可转化成f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题解：f′(x)=9x2−2ax+1∵f(x)=3x3−ax2+x−5在区间[1,2]上单调递减，∴f′(x)=9x2−2ax+1≤0在区间[1,2]上恒成立．即a≥9x2+12x =12(9x+1x)，令g(x)=9x +1x ，∴g(x)在[1,2]递增，∴在[1,2]上，g(x)max =g(2)=372， ∴a ≥12×372=374，故选：D ．13.答案：120解析：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题．根据题意，即可求出结果．解：根据题意，从含有500个个体的总体中，一次性抽取25个个体，其中每个个体被抽到的概率相等，所以总体中每个个体被抽到的概率为：p =25500=120，故答案为120．14.答案：2解析：本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法求参数的方法，考查运算能力，属于中档题．由奇函数的定义可得，f(−x)+f(x)=0，再化简整理，即可得到a ．解：函数f(x)=a⋅3x +4−a4(3x −1)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a 2+3x 1−3x +13x −1=0，即a2=1，故a =2．故答案为：2 15.答案：60°解析：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理化简表达式，然后利用余弦定理求解A 即可．解：在△ABC 中，若sin 2B+sin 2C−sinBsinC sin 2A =1，由正弦定理可得：b 2+c 2−bca 2=1，即b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ：可得cosA =12，∴A =60°．故答案为60°． 16.答案：6解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据|CP ⃗⃗⃗⃗ |=√3计算|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，再计算的值．解：∵点P 是边AB 的中点，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴3=4+12×4×|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 2π3+14×|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×2×cos 2π3=−4， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×16+12×(−4)=6．故答案为6． 17.答案：解：(1)表格如下(2)K 2=100×(30×35−15×20)245×55×50×50=10011≈9.09>7.879，所以有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．18.答案：解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，前n 项和为S n ，a 1=1，S 5=31，显然q ≠1，即有1−q 51−q =31，解得q =2，则a n =2n−1；(2)b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅2n−1，则前n 项和T n =3⋅1+5⋅2+7⋅4+⋯+(2n +1)⋅2n−1，2T n =3⋅2+5⋅4+7⋅8+⋯+(2n +1)⋅2n ，相减可得−T n =3+2(2+4+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=3+2⋅2(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n ，化简可得T n=1+(2n−1)⋅2n．解析：(1)等比数列{a n}的公比设为q，由等比数列的求和公式，解方程可得q=2，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=(2n+1)a n=(2n+1)⋅2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及运算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，，∴CD⊥平面ABD．(Ⅱ)解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=12，∵M为AD的中点，∴S△ABM=12S△ABD=14，∵CD⊥平面ABD，∴V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD=112．解析：本题考查线面垂直，考查三棱锥A−MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键，属于中档题．(Ⅰ)要证明CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面，V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD，即可求出三棱锥A−MBC的体积．20.答案：解：函数f(x)=2lnx−x的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2x−1．由题意可知：f(x0)=2lnx0−x0，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为k=f′(x0)=2x−1，∴切线方程为y −f(x 0)=(2x 0−1)(x −x 0)，即y −(2lnx 0−x 0)=(2x 0−1)(x −x 0)，整理得y =(2x 0−1)x +2lnx 0−2，又∵切线方程为y =kx −2,∴2ln x 0−2=−2,∴x 0=1，∴曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k =2x 0−1=1．解析：本题主要考查了导数的几何意义，考查运算化简的能力，属于中档题．先对函数进行求导，得出f(x 0)=2lnx 0−x 0，利用曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程及y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线是y =kx −2，即可求得．21.答案：解：(Ⅰ)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，∵直线MF 1在y 轴上的截距为34，∴ON =34，∵MF 2⊥x 轴，∴在△F 1F 2M 中，ON−//12MF 2，∴|MF 2|=32， ∵|MF 1|+|MF 2|=2a ，且|MF 2|=35|MF 1|．∴|MF 2|=34a =32，解得a =2， ∵|MF 2|=b 2a ，∴b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，联立{y =kx +1x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2，x 1x 2=4t 2−123+4k 2，△=(8kt)2−4(3+4k 2)(4t 2−12)=144−48t 2+192k 2>0，解得t 2<3+4k 2，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+t)(kx 2+t)=(1+k 2)x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=(1+k 2)(4t 2−12)3+4k 2−8k 2t 23+4k 2+3t 2+4k 2t 23+4k2 =7t 2−12(1+k 2)3+4k 2，∵直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切，∴b√1+k 2=√127， ∴1+k 2=712b 2，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =7b 2−12⋅712b 24⋅712b 2−1=0．解析：(Ⅰ)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，推导出ON =34，|MF 2|=32，由|MF 1|+|MF 2|=2a ，且|MF 2|=35|MF 1|，得a =2，由|MF 2|=b 2a ，得b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．(Ⅱ)联立{y =kx +1x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积、直线与圆相切、椭圆性质，结合题设条件能求出OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．本题考查椭圆方程的求法，考查向量积的求法，考查韦达定理、根的判别式、向量的数量积、直线与圆相切、椭圆性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1．转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．设点B 的极坐标方程为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，由于：满足|OA|⋅|OB|=6，则：6ρ=2sinθ，整理得：ρsinθ=3．(2)点C 的极坐标为(2,0)，则：|OC|=2，所以：S △ABC =12|OC||ρB sinθ−ρA sinθ|=|3−2sin 2θ|．当sinθ=1时，S △ABC 的最小值为1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3，即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m+4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

2020年云南省高考数学(文科)模拟试卷(4)

2020年云南省高考数学（文科）模拟试卷（4）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足z •i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A ．2﹣iB ．2+iC ．l ﹣2iD ．i ﹣22．（5分）已知集合A ={x|3x ≥1}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝（） A ．{x |0＜x ≤3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}3．（5分）下列说法正确的是（）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a ∥b ，b ⊈α，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b ⊈α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线4．（5分）在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，且AD →=14AB →，则CD →=（）A ．34CA →+14CB →B ．−34CA →−14CB →C ．−34CA →+14CB →D ．14CA →+34CB →5．（5分）非零向量a →，b →满足；|a →−b →|＝|a →|，a →⋅(a →−b →)=0，则a →−b →与b →夹角的大小为（） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°6．（5分）如图所示的框图，若输出的结果为2，则输入的实数x 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知某班学生的数学成绩x （单位：分）与物理成绩y （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑ 5i=1x i =475，∑ 5i=1y i =320，设其线性回归方程为：y =0.4x +a ．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（） A ．66B ．68C ．70D ．729．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝﹣6，则S 5＝（） A ．18B ．10C ．﹣14D ．﹣2210．（5分）函数f （x ）＝（3x +3﹣x ）•lg |x |的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|．若直线PF 1与圆x 2+y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．312．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ）满足f （1）＝1，且2f '（x ）＞1，当x ∈[−π2，3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin 2x2＞32的解集为（） A ．（π3，4π3） B ．（−π3，4π3） C ．（0，π3）D ．（−π3，π3）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则2a+3b的最小值为．14．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝xy ，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为，实数m 的取值范围为．15．（5分）在圆O ：x 2+y 2＝4内任取一点P ，则P 到直线x +y ＝1的距离大于√22的概率为． 16．（5分）平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD =√2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知向量a →=（sin x ，cos x ），b →=（√3cos x ，cos x ），f （x ）=a →•b →．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a =√7，sinB =3sinC ，若f （A ）＝1，求△ABC 的周长．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a第3组[70，80）200.400.08第4组[80，90）合计（1）求出a，b，x，y的值；（2）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率．19．（12分）已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求点C到平面ADE的距离．20．（12分）已知P 是圆F 1：(x +1)2+y 2=16上任意一点，F 2（1，0），线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点M(−√3，0)的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程． 21．（12分）设函数f （x ）＝﹣x 2+ax +lnx （a ∈R ）．（I ）若a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设函数f （x ）在[13，3]上有两个零点，求实数a 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知直线l ：ρsin(θ+π3)=√32m ，曲线C ：{x =1+√3cosθy =√3sinθ（1）当m ＝3时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）若曲线C 上存在到直线l 的距离等于√32的点，求实数m 的范围．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣2|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥7的解集；（2）若f （x ）≤|x ﹣4|+|x +2a |的解集包含[0，2]，求a 的取值范围．2020年云南省高考数学（文科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足z •i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A ．2﹣iB ．2+iC ．l ﹣2iD ．i ﹣2【解答】解：∵z •i ＝1+2i ，∴z =1+2i i =(1+2i)ii2=2﹣i ， ∴z 的共轭复数为：2+i ，故选：B ．2．（5分）已知集合A ={x|3x≥1}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝（） A ．{x |0＜x ≤3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}【解答】解：∵集合A ={x|3x≥1}={x |0＜x ≤3}， B ＝{x |x ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤3}．故选：A ．3．（5分）下列说法正确的是（）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a ∥b ，b ⊈α，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b ⊈α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线【解答】解：若直线l 平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线是平行线时，l 与α不一定平行，故A 不正确；若直线a 在平面α外，则a ∥α或a 与α相交，故B 不正确；若直线a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，故C 不正确；若直线a ∥b ，b ⊂α，则a 平行αa 或a ⊂α， ∴a 平行于平面α内的无数条直线，故D 正确．故选：D ．4．（5分）在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，且AD →=14AB →，则CD →=（）A ．34CA →+14CB →B ．−34CA →−14CB →C ．−34CA →+14CB →D ．14CA →+34CB →【解答】解：作DE ∥BC ，DF ∥AC ，又AD →=14AB →，CD →=CE →+CF →=34CA →+14CB →，故选：A ．5．（5分）非零向量a →，b →满足；|a →−b →|＝|a →|，a →⋅(a →−b →)=0，则a →−b →与b →夹角的大小为（） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°【解答】解：根据题意，设a →=OA →，b →=OB →，则a →−b →=OA →−OB →=BA →，若|a →−b →|＝|a →|，a →⋅(a →−b →)=0，即|BA →|＝|OA →|，且OA →⊥BA →，则△OAB 为等腰直角三角形，则a →−b →与b →的夹角为180°﹣45°＝135°，故选：A ．6．（5分）如图所示的框图，若输出的结果为2，则输入的实数x 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y ={x −1，x ≤1log 2x ，x ＞1的值，当x ≤1时，y ＝x ﹣1＝2，x ＝3，不存在，当x ＞1时，y ＝log 2x ＝2，x ＝4即输出结果为2时，则输入的实数x 的值是4．故选：D ．7．（5分）设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ．当a ＝b ＝G ＝0时，满足G 2＝ab ，但a ，G ，b 不能构成等比数列，所以“G 2＝ab ”是“G 是a ，b 的等比中项”的必要不充分条件．故选：B ．8．（5分）已知某班学生的数学成绩x （单位：分）与物理成绩y （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：∑ 5i=1x i =475，∑ 5i=1y i =320，设其线性回归方程为：y =0.4x +a ．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（） A ．66B ．68C ．70D ．72【解答】解：由题意知，x =15∑ 5i=1x i =15×475＝95，y =15∑ 5i=1y i =15×320＝64，代入线性回归方程y =0.4x +a 中，得64＝0.4×95+a ，解a =26；所以线性回归方程为y =0.4x +26，当x ＝105时，y =0.4×105+26＝68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68．故选：B ．9．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝﹣6，则S 5＝（） A ．18B ．10C ．﹣14D ．﹣22【解答】解：根据题意得，q≠1∴a1+a2＝2 ①a3＝﹣8 ②又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8∴q2＝﹣4﹣4q解得q＝﹣2，a1＝﹣2∴S5＝﹣22故选：D．10．（5分）函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|＝f（x），则函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x＞1时，f（x）＞0，排除A，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，故选：D．11．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．2D ．3【解答】解：设PF 1与圆相切于点M ，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以△PF 1F 2为等腰三角形，N 为PF 1的中点，所以|F 1M |=14|PF 1|，又因为在直角△F 1MO 中，|F 1M |2＝|F 1O |2﹣a 2＝c 2﹣a 2，所以|F 1M |＝b =14|PF 1|① 又|PF 1|＝|PF 2|+2a ＝2c +2a ②， c 2＝a 2+b 2③由①②③可得c 2﹣a 2＝（c+a 2）2，即为4（c ﹣a ）＝c +a ，即3c ＝5a ，解得e =ca =53．故选：B ．12．（5分）定义在R 上的可导函数f （x ）满足f （1）＝1，且2f '（x ）＞1，当x ∈[−π2，3π2]时，不等式f(2cosx)+2sin 2x2＞32的解集为（） A ．（π3，4π3）B ．（−π3，4π3）C ．（0，π3）D ．（−π3，π3）【解答】解：令g （x ）＝f （x ）−12x −12，则g ′（x ）＝f ′（x ）−12＞0， ∴g （x ）在定义域R 上是增函数，且g （1）＝f （1）−12−12=0，∴g （2cos x ）＝f （2cos x ）﹣cos x −12=f （2cos x ）﹣cos x −12，令2cos x ＞1，则g （2cos x ）＞0，即f （2cos x ）＞12+cos x ，又∵x ∈[−π2，3π2]，且2cos x ＞1∴x ∈（−π3，π3），故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则2a+3b 的最小值为256．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax +by ＝z （a ＞0，b ＞0）过直线x ﹣y +2＝0与直线3x ﹣y ﹣6＝0的交点（4，6）时，目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）取得最大12，即4a +6b ＝12，即2a +3b ＝6，而2a +3b=(2a+3b )2a+3b6=136+(b a+a b)≥136+2=256．故答案为：256．14．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝xy ，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为 8 ，实数m 的取值范围为（﹣4，2）．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，x +2y ＝xy ， ∴2x +1y=1，∴1=2x +1y ≥2√2x ⋅1y， ∴xy ≤8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号， ∴x +2y ≥2√2xy ≥8（当x ＝2y 时，等号成立）， ∴m 2+2m ＜8，解得﹣4＜m ＜2 故答案为：8；（﹣4，2）15．（5分）在圆O ：x 2+y 2＝4内任取一点P ，则P 到直线x +y ＝1的距离大于√22的概率为 3π−24π．【解答】解：设直线x +y +c ＝0，则到直线x +y ﹣1＝0的距离d =|c+1|√2=√22，c ＝0或者c ＝﹣2，作两条平行直线x +y ＝0，x +y ＝2，如图，根据题意，P 到直线x +y ＝1的距离大于√22的区域面积为2π+（π﹣2）＝3π﹣2，圆的面积为4π，根据几何概型公式概率为3π−24π，故答案为：3π−24π．16．（5分）平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD =√2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积 3π ．【解答】解：由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，△BCD 和△ABC 都是直角三角形，所以BC 的中点就是球心，所以BC =√3，球的半径为：√32所以球的表面积为：4π⋅(√32)2=3π．故答案为：3π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知向量a →=（sin x ，cos x ），b →=（√3cos x ，cos x ），f （x ）=a →•b →．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a =√7，sinB =3sinC ，若f （A ）＝1，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）因为a →=（sin x ，cos x ），b →=（ √3cos x ，cos x ），f （x ）=a →•b →=√3sin x cos x +cos 2x =√32sin2x +12cos2x +12=sin （2x +π6）+12，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，可得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是：[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z，（2）由题意可得：sin（2A+π6）=12，又0＜A＜π，所以π6＜2A+π6＜13π6，所以2A+π6=5π6，解得A=π3，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以a＝BC=√7，又sin B＝3sin C，可得b＝3c，故7＝9c2+c2﹣3c2，解得c＝1，所以b＝3，可得△ABC的周长为4+√7．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a第3组[70，80）200.40第4组[80，90）0.08第5组[90，100]2b合计（1）求出a，b，x，y的值；（2）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率．【解答】解：（1）由题意可知，b =250=0.04； ∴[80，90）内的频数为2×0.080.04=4， ∵样本容量n ＝50，∴a ＝50﹣8﹣20﹣4﹣2＝16，又[60，70）内的频率为1650=0.32，∴x =0.3210=0.032， ∵[90，100]内的频率为0.04，∴y =0.0410=0.004．……（4分）（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a 1，a 2，a 3，a 4，第5组的2人分别为b 1，b 2，则从中任取2人，所有基本事件为：（a 1，a 2）、（a 1，a 3）、（a 1，a 4）、（a 1，b 1）、（a 1，b 2）、（a 2，a 3）、（a 2，a 4）、（a 2，b 1）、（a 2，b 2）、（a 3，a 4）、（a 3，b 1）、（a 3，b 2）、（a 4，b 1）、（a 4，b 2）、（b 1，b 2），共15个．……（7分）又至少一人来自第5组的基本事件有：（a 1，b 1）、（a 1，b 2）、（a 4，b 1）、（a 4，b 2）、（b 1，b 2）、（a 2，b 2）、（a 3，b 1）、（a 3，b 2）、（a 2，b 1）共9个，…．（9分） ∴P =915=35．故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为 35．…（12分）19．（12分）已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求点C 到平面ADE 的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD 中，AD ＝CD ＝2，AB ＝4，所以AC =2√2，又由题意得BC =2√2，所以AC 2+BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC ．因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ．又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面BCE ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥平面ABCD ，V E−ACD =13EB ⋅S △ACD =43．因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD ，又AB ⊥AD ，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥平面ABEF ，又AE ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AE ，又AE =√AF 2+EF 2=2√5，所以S △ADE =12AD ⋅AE =2√5．设h 为点C 到平面ADE 的距离，则V C−ADE =13ℎ⋅S △ADE =2√53ℎ，又V E ﹣ACD ＝V C ﹣ADE ，从而ℎ=25√5，即点C 到平面ADE 的距离为25√5．20．（12分）已知P 是圆F 1：(x +1)2+y 2=16上任意一点，F 2（1，0），线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点M(−√3，0)的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．【解答】解：（1）由已知|QF 1|+|QF 2|＝|QF 1|+|QP |＝|PF 1|＝4，所以点Q 的轨迹为以为F 1，F 2焦点，长轴长为4的椭圆，则2a ＝4且2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1；（2）设直线l 的方程为x ＝ty −√3与椭圆x 24+y 23=1交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程消去x ，得（3t 2+4）y 2﹣6√3ty ﹣3＝0，则y 1+y 2=6√33t 2+4，y 1y 2=−33t 2+4，则S △AOB =12|OM |•|y 1﹣y 2|=√32•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√32•√(6√33t 2+4)2+4⋅33t 2+4=63t 2+4√3t 2+1，令3t 2+2＝u ，则u ≥1，上式可化为6uu +3=6u+3u≤2√3=√3，当且仅当u =√3，即±√63时等号成立，因此△AOB 面积的最大值为√3，此时直线l 的方程为x ＝±√63y −√3．21．（12分）设函数f （x ）＝﹣x 2+ax +lnx （a ∈R ）．（I ）若a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设函数f （x ）在[13，3]上有两个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（I ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣x 2﹣x +lnx （x ＞0），则f ′(x)=−2x −1+1x=−2x 2+x−1x =−(x+1)(2x−1)x，令f ′（x ）＞0，解得0＜x ＜12，令f ′（x ）＜0，解得x ＞12， ∴函数f （x ）的单调递增区间为(0，12)，单调递减区间为(12，+∞)；（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），令f （x ）＝0，即﹣x 2+ax +lnx ＝0，即a =x −lnxx ，依题意，函数g(x)=x −lnxx 与函数y ＝a 的图象在[13，3]上有两个交点，又g ′(x)=1−1−lnx x 2=x 2−1+lnx x2，令h （x ）＝x 2﹣1+lnx ，x ∈[13，3]，则ℎ′(x)=2x +1x ＞0，∴h （x ）在[13，3]上单调递增， ∴ℎ(13)=19−1+ln 13=−ln3−89＜0，ℎ(3)=8+ln3＞0，h （1）＝0， ∴当x ∈[13，1]时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（1，3]时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴g(x)min =g(1)=1，g(13)=13−3ln 13=13+3ln3，g(3)=3−13ln3，又13+3ln3＞3−13ln3，∴1＜a ≤3−13ln3．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知直线l ：ρsin(θ+π3)=√32m ，曲线C ：{x =1+√3cosθy =√3sinθ（1）当m ＝3时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）若曲线C 上存在到直线l 的距离等于√32的点，求实数m 的范围．【解答】解：（1）直线l ：ρsin(θ+π3)=√32m ，展开可得：ρ(12sinθ+√32cosθ)=√32m ，化为直角坐标方程：y +√3x =√3m ， m ＝3时，化为：y +√3x ﹣3√3=0，曲线C ：{x =1+√3cosθy =√3sinθ，利用平方关系化为：（x ﹣1）2+y 2＝3．圆心C （1，0）到直线l 的距离d =|√3−3√3|2=√3=r ，因此直线l 与曲线C 相切．（2）∵曲线C 上存在到直线l 的距离等于√32的点， ∴圆心C （1，0）到直线l 的距离d =|√3−m √3|2≤√3+√32，解得﹣2≤m ≤4．∴实数m 的范围是[﹣2，4]．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣2|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥7的解集；（2）若f （x ）≤|x ﹣4|+|x +2a |的解集包含[0，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）={−2x +1，x ≤−13，−1＜x ＜22x −1，x ≥2，当x ≤﹣1时，由f （x ）≥7得﹣2x +1≥7，解得x ≤﹣3；当﹣1＜x ＜2时，f （x ）≥7无解；当x ≥2时，由f （x ）≥7得2x ﹣1≥7，解得x ≥4， ∴f （x ）≥7的解集为：{x |x ≤﹣3，或x ≥4}；（2）f （x ）≤|x ﹣4|+|x +2a |的解集包含[0，2]等价于|x +a |﹣|x +2a |≤|x ﹣4|﹣|x ﹣2|在[0，2]上恒成立，当x ∈[0，2]时，|x +a |﹣|x +2a |≤|x ﹣4|﹣|x ﹣2|＝2等价于（|x +a |﹣|x +2a |）max ≤2恒成立，而|x +a |﹣|x +2a |≤|（x +a ）﹣（x +2a ）|＝|a |，∴|a |≤2，∴﹣2≤a ≤2，故满足条件的a 的取值范围为：[﹣2，2]．。

2020年云南省昆明市第十五中学高三数学文模拟试题含解析

2020年云南省昆明市第十五中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设满足约束条件，则的最大值是A.3B.4C.5D.6参考答案：【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案解析】C 解析：画出约束条件下的可行域，平移直线，得最优解是方程组的解（1,1），所以的最大值是，故选C.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数值为0的直线，得使目标函数取得最大值的最优解，进而求得目标函数的最大值.2. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为A．B．8C．2 D．6参考答案：C由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体为正方体的一部分，可在正方体中，得到该几何体，如图所示，几何体，则该几何体的体积为．3. 已知数列满足：，则的值所在区间是（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．参考答案：D考点：由图象确定函数解析式.5. 已知集合A={}，集合B为整数集，则A B=（）A. B.C. D.参考答案：D略6. 若函数的定义域为［1，8］，则函数的定文域为A．(0,3) B．[1,3)∪(3,8] C．[1,3) D．[0,3)参考答案：D7. 圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．18参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．8. 已知，则（A）（B）（C）（D）参考答案：9. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：B由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为，底面矩形的长为3底面宽为，所以该几何体的体积为，选B.10. 若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：A【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．【点评】本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．参考答案：由题意设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，解得a2=1或a2=﹣16（舍），由此可知该双曲线方程为．解：由题意知c=2．设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，得，解得a2=1或a2=﹣16（舍）∴该双曲线方程为．12. 复数（i为虚数单位），则________.参考答案：【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.【答案】【解析】13. 已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】a1=1，2S n=（n+1）a n，n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1），化为：=，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，化为：=，∴==…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 计算= ．参考答案：2【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．15. 若等比数列{a n}的公比q≠1且满足：a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值为．参考答案：3【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【分析】由已知利用等比数列的前n项和公式求得，进一步由等比数列的前n项和求得a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，等比数列{a n}的公比q≠1，∴，，∴，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=．故答案为：3．【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________参考答案：17. 已知单位向量的夹角为120°，当取得最小值时．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年云南省昆明市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)含解析【推荐】.doc

2020年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题1．设集合A={∈|≥2}，B={|0≤＜6}，则A∩B=（）A．{|2≤＜6}B．{|0≤＜6}C．{0，1，2，3，4，5}D．{2，3，4，5}2．=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣13．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（）A．25π B．50π C．100πD．200π4．AQI（Air Quality Inde，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A．3 B．4 C．12 D．215．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（）A．6 B．3 C．2 D．36．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（）A．B．C． +1 D．8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（）A．1 B．C．D．29．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（）A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.7210．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=2（≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（）A．B．6πC．8πD．16π11．已知函数f（）=，若方程f（）﹣a=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）12．设F为抛物线C：y2=8，曲线y=（＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（）A．B．C．D．二、填空题13．已知实数，y满足，则=+y的最大值为．14．已知函数f（）=sin（ω+）（ω＞0），A、B是函数y=f（）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）=．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=4n，若不等式S n+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．16．若关于的不等式a≤2﹣3+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=2，a n=2a n+2n+1．+1（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．已知动点M（，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．21．已知函数f（）=（22+）ln﹣（2a+1）2﹣（a+1）+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（）的单调区间；（Ⅱ）若f（）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系Oy中，曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，直线l的方程为+y﹣12=0，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={∈|≥2}，B={|0≤＜6}，则A∩B=（）A．{|2≤＜6}B．{|0≤＜6}C．{0，1，2，3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={∈|≥2}，B={|0≤＜6}，∴A∩B={2，3，4，5}，故选：D2．=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：A．3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（）A．25π B．50π C．100πD．200π【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积．【解答】解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，∴球的半径为，∴这个球的表面积为=50π，故选：B．4．AQI（Air Quality Inde，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A．3 B．4 C．12 D．21【考点】BA：茎叶图．【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可．【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，即空气优的概率是p==，故30天中有×30=12天是优，故选：C．5．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（）A．6 B．3C．2D．3【考点】9V：向量在几何中的应用；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【解答】解：非零向量，满足•=0，可知两个向量垂直，||=3，且与+的夹角为，说明以向量，为邻边， +为对角线的平行四边形是正方形，所以则||=3．故选：D．6．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：sin2θ+cos2θ====﹣，故选：D．7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（）A．B．C． +1 D．【考点】C：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可．【解答】解：F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐近线上，PF1⊥轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，可得：，即：b=2a，可得c2﹣a2=4a2，即e2=5，e＞1，解得e=，则C的离心率为．故选：A．8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（）A．1 B．C．D．2【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可．【解答】解：在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，可得cos∠BAC=﹣=﹣，sin∠BAC=．由余弦定理可得：BC===3，设BC边上的高为h，三角形面积为： =BC•h，h==1．故选：A．9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（）A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得ɛ=0.01，e=1，n=1执行循环体，e=2，n=2不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5+，n=4不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5++，n=5由于≈0.008＜ɛ=0.01，满足条件＜ɛ，退出循环，输出e的值为2.5++=2.71．故选：C．10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=2（≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（）A．B．6πC．8πD．16π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，4=π•22，求出=π，再求出长方体的一半的体积即可．【解答】解：由题意，4=π•22，∴=π，∴旋转体D的体积是=8π，故选C．11．已知函数f（）=，若方程f（）﹣a=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，方程f（）=a恰有两个不同实数根，等价于y=f（）与y=a有2个交点，又a表示直线y=a的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（）﹣a=0恰有两个不同实数根，∴y=f（）与y=a有2个交点，又∵a表示直线y=a的斜率，∴＞1时，y′=，设切点为（0，y0），=，∴切线方程为y﹣y0=（﹣0），而切线过原点，∴y0=1，0=e，=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故选：B．12．设F为抛物线C：y2=8，曲线y=（＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（）A．B．C．D．【考点】8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A（0，y0），根据题意可求出A（1，2），继而求出答案．【解答】解：F为抛物线C：y2=8的焦点，则F（2，0），其准线方程为=﹣2，设A（0，y0）∵y=，y0=20∴=∴y′=﹣，∴直线AF的斜率为﹣=﹣∵AF==，∴﹣=，解得0=1，∴A（1，2），∴AC=1+2=3，FD=4，∴==，∴=，∴AB=3，∴=，故选：B．二、填空题13．已知实数，y满足，则=+y的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数=+y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，有最大值为3．故答案为：3．14．已知函数f（）=sin（ω+）（ω＞0），A、B是函数y=f（）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）=．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，可得函数的解析式，即可求出f（1）．【解答】解：由题意可得=2，∴ω=，∴函数f（）=sin（+），∴f（1）=，故答案为：．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=4n，若不等式S n+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，10] ．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】先根据a n=4n得到数列{a n}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到S n=2n+2n2，原不等式转化为λ≤2（n+）+2，根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a n=4n，当n=1时，a1=4，=4n﹣4（n﹣1）=4，∵a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是以4为首项，以4为公差的等差数列，∴S n==2n+2n2，∵不等式S n+8≥λn对任意的n∈N*都成立，∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立，即λ≤2（n+）+2，∵n+≥2=4，当且仅当n=2时取等号，∴λ≤2×4+2=10，故实数λ的取值范围为（﹣∞，10]，故答案为：（﹣∞，10]．16．若关于的不等式a≤2﹣3+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=4．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】画出函数f（）=2﹣3+4的图象，可知f（）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤2﹣3+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．【解答】解：画出函数f（）=2﹣3+4=（﹣2）2+1的图象，可得f（）min=f（2）=1，由图象可知：若a＞1，则不等式a≤2﹣3+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤2﹣3+4恒成立；又∵不等式a≤2﹣3+4≤b的解集为[a，b]，∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；∴b=4，此时a=0；∴b﹣a=4．故答案为：4．三、解答题=2a n+2n+1．17．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式可得数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可．=2a n+2n+1，【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1∴﹣=﹣=+1﹣=1，∵=1，∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n，∴=2n，∴数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，故数列{}的前n项和S n==2n+1﹣218．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值；（Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；（Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m=2.06；（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有=21种，抽取的两人恰好都在一组，有=9种，故所求概率为．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC；（Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P﹣ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC；（Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN，∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，∴PM⊥DN，又E，F分别是PB，PC的中点，∴N为EF的中点，也是PM的中点，∴DN垂直平分PM，故PD=DM，又DM为△ABC的中位线，则DM==1，∴PD=1．∵BC⊥AC，则．∴三棱锥P﹣ABC的体积20．已知动点M（，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；，=λ2，（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ求证：λ1+λ2为定值．【考点】Q：圆锥曲线的定值问题；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由已知，可得动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程；（Ⅱ）设P（，y1），Q（2，y2），R（0，y0），由=λ1，，点P在曲线E上可得…①，同理可得：…②由①②可得λ1、λ2是方程2+4+2﹣2y02=0的两个根，λ1+λ2为定值﹣4．【解答】解：（Ⅰ）由+=2，可得点M（，y）到定点A（﹣1，0），B（1，0）的距离等于之和等于2．且AB，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且长轴长为2，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲线E的方程为：；（Ⅱ）设P（1，y1），Q（2，y2），R（0，y0），由=λ，（1，y1﹣y0）=λ1（1﹣1，﹣y1），∴，∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴，∴…①同理可得：…②由①②可得λ1、λ2是方程2+4+2﹣2y02=0的两个根，∴λ1+λ2为定值﹣4．21．已知函数f（）=（22+）ln﹣（2a+1）2﹣（a+1）+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（）的单调区间；（Ⅱ）若f（）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f′（）=（4+1）（ln﹣1）=0，得=e．∈（0，e）时，f′（）＜0，∈（e，+∞）时，f′（）＞0．即可得函数f（）的单调区间；（Ⅱ）由题意得f′（）=（4+1）（ln﹣a），（＞0）．可得函数f（）的单调增区间为（e a，+∞），减区间为（0，e a）即f（）≥0恒成立，b≥e2a+e a．即b﹣a≥e2a+e a﹣a，构造函数g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．可得g（t）min=g（）=．即可得b﹣a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（）=（22+）ln﹣32﹣2+b（＞0）．f′（）=（4+1）（ln﹣1），令f′（）=0，得=e．∈（0，e）时，f′（）＜0，∈（e，+∞）时，f′（）＞0．函数f（）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；（Ⅱ）由题意得f′（）=（4+1）（ln﹣a），（＞0）．令f′（）=0，得=e a．∈（0，e a）时，f′（）＜0，∈（e a ，+∞）时，f′（）＞0．函数f（）的单调增区间为（e a，+∞），减区间为（0，e a）∴f（）min=f（e a）=﹣e2a﹣e a+b，∵f（）≥0恒成立，∴f（e a）=﹣e2a﹣e a+b≥0，则b≥e2a+e a．∴b﹣a≥e2a+e a﹣a令e a=t，（t＞0），∴e2a+e a﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．当t∈（0，）时，g′（t）＜0，当t时，g′（t）＞0．∴g（t）在（0，）上递减，在（，+∞）递增．∴g（t）min=g（）=．f（）≥0恒成立，b﹣a的最小值为．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系Oy中，曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，直线l的方程为+y﹣12=0，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；H9：余弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，利用三角函数知识，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，即2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；直线l的方程为+y﹣12=0，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣12=0；（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，∴==+sin（2θ+），∵θ∈（0，），∴2θ+∈（，π），∴sin（2θ+）∈（﹣1]，∴的最大值为，此时．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用柯西不等式，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2，∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，∴1≥（am+bn+cp）2，∴|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）由柯西不等式，可得++=（++）（a2+b2+c2）≥（m2+n2+p2）2=1，∴++≥1．2017年5月22日。

2020年云南省高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={0，1，2}，T ={0，3}，P =S ∩T ，则P 的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 已知i 为虚数单位，则=（）A.B.C.D.3. 某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A. 抽签法B. 随机数法C. 分层抽样法D. 系统抽样法4. 已知点A （-1，1），B （0，2），若向量=（-2，3），则向量=（）A. （3，-2）B. （2，-2）C. （-3，-2）D. （-3，2）5. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于（）A.B.C.D.6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm ），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm 3）为（）A. 108+24πB. 72+16πC. 96+48πD. 96+24π7.为得到函数y=2sin（3x-）的图象，只需要将函数y=2sin（3x）的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位8.已知α，β都为锐角，若tanβ=，cos（α+β）=0，则cos2α的值是（）A. B. C. D.9.已知M是抛物线C：y2=2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x=-1相切且经过点N（1，0），设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 810.已知函数f（x）=，若f（a）=-3，则f（a-7）=（）A. B. C. D.11.双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是（）A. B. C. D.12.已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足log x y+log y x=，若log x y＞l，则x ln y的最小值为（）A. -1B.C.D. -二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（x-1，x），=（1，2），若⊥．则x=______．14.若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______．15.已知△ABC中内角A，B，C对的边分别为a，b，c，∠ABC=，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，则△ABC面积的最小值为______．16.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}中，a1=2，（n+1）（a n+1-a n）=2（a n+n+1）．（1）求a2，a3的值；（2）已知数列{a n}的通项公式是a n=n+1，a n=n2+1，a n=n2+n中的一个，设数列{}的前n项和为S n，{a n+1-a n}的前n项和为T n，若＞360，求n的取值范围．18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A、B两种不同型号的节排器性能质量有差异？附：K2=．其中n=a+b+c+d．19.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=，M，N分别为棱AP，CD的中点．（1）求证：MN∥平面PBC；（2）若PD⊥平面ABCD，PB=2AB=2，求点M到平面PBC的距离．20.已知椭圆E的中心在原点，左焦点F1、右焦点F2都在x轴上，点M是椭圆E上的动点，△F1MF2的面积的最大值为，在x轴上方使=2成立的点M只有一个．（1）求椭圆E的方程；（2）过点（-1，0）的两直线l1，l2分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且l1⊥l2，求证：12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．21.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．22.已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．（1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．23.已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵S={0，1，2}，T={0，3}；∴P=S∩T={0}；∴P的真子集为：∅，共1个．故选：B．根据集合S，T，即可求出P={0}，从而得出集合P的真子集为∅，共1个．考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义．2.【答案】C【解析】解：====故选：C．分子分母同乘以分母的共轭复数1-i，化简即可．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．3.【答案】C【解析】解：某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是分层抽样．故选：C．利用抽签法、随机数法、分层抽样、系统抽样的性质直接求解．本题考查抽样方法的判断，考查抽签法、随机数法、分层抽样、系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：；∴．故选：D．根据A，B点的坐标即可求出，又知，根据即可求出向量的坐标．考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量减法几何意义，以及向量坐标的减法运算．5.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4…第2019次运行，S=，a=2020刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体．∴该零件的体积V=π×22×6+6×6×3=108+24π．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：将函数y=2sin（3x）的图象向右平移个单位，得到：y=2sin[3（x-）+]=2sin（3x-）的图象．故选：D．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由β为锐角，且tanβ=，联立，可得sinβ=，cos．再由α，β都为锐角，可得0＜α+β＜π，又cos（α+β）=0，得α+β=，则cosα=sinβ=．∴cos2α=2cos2α-1=．故选：B．由已知求得sinβ，进一步求得cosα，利用二倍角的余弦求解cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．9.【答案】A【解析】解：设M（x0，y0），∵以M为圆心的圆与直线x=-1相切且经过点N（1，0），∴x0+1=，又y02=2px0．∴p=2．即可得抛物线方程为y2=4x．由⇒y2-4y-4b=0．y1+y2=4，∴线段PQ的中点的纵坐标为=2故选：A．设M（x0，y0），可得x0+1=，又y02=2px0．求得p=2．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得答案．本题考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=，f（a）=-3，∴当a≤1时，f（a）=2a-1-2=-3，无解；当a＞1时，f（a）=-log2（a+1）=-3，解得a=7，∴f（a-7）=f（7-7）=f（0）=20-1-2=-．故选：B．当a≤1时，f（a）=2a-1-2=-3，无解；当a＞1时，f（a）=-log2（a+1）=-3，解得a=7，由此得到f（a-7）=f（7-7）=f（0），从而能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，∠PF1F2=120°，且|PF1|=|F2F1|=2c，可得|PF2|==2c，则|PF2|-|PF1|=2a，即为2c-2c=2a，可得e===．故选：C．可设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，运用余弦定理和双曲线的定义，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：log x y+log y x=，可得log x y+=，解得log x y=2或log x y=，∵log x y＞l，∴log x y=2，∴=2，即ln y=2ln x，∴x ln y=2x lnx，令f（x）=2x lnx，x∈（0，+∞），∴f′（x）=2（1+ln x），当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=-，故x ln y的最小值为-，故选：D．由题意可得log x y=2，即可得到x ln y=2x lnx，令f（x）=2x lnx，x∈（0，+∞），求导，根据导数和函数最值得关系即可求出本题考查了导数和函数的最值得关系，考查了运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵；∴；∴．故答案为：．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y-x得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（1，3），此时z=3-1=2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15.【答案】4【解析】解：设∠A=α，则0＜α＜，∠C=π--α=-α，∵∠ABC=，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，∴∠ABD=∠CBD=在三角形ABD中，∠ADB=π--α=-α，由正弦定理可得=，∴AB==，在三角形CBD中，∠CDB=π--（-α）=+α，由正弦定理可得=，∴BC=，∴△ABC面积S=AB•BC sin=××=•=•，=（2+）=（2+），∵0＜α＜，∴＜2α+＜，∴＜sin（2α+）≤1，∴当sin（2α+）=1时，即α=时，△ABC面积S最小，最小值为=4，故答案为：4．设∠A=α，则0＜α＜，根据正弦定理表示出AB，BC，即可表示出三角形的ABC的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出本题考查了正弦定理的应用，三角形函数的化简，三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．16.【答案】16π【解析】解：如图，∵PA⊥PD，∴△APD为Rt△，∵平面PAD⊥平面ABCD，取AD中点G，在平面ABCD内，过G作AD的垂线，则四棱锥P-ABCD的外接球的球心在该垂线上，又AD=DC=AB=2，BC=4，求得∠ADC=120°，过D作AC的垂线，两垂线相交于O，则O为△ADC外接圆的圆心，也是四棱锥P-ABCD的外接球的球心，则△ADC外接圆的半径即为四棱锥P-ABCD的外接球的半径，设为R，由，得R=2．∴球O的表面积为S=4π×22=16π．故答案为：16π．由题意画出图形，可知△ADC外接圆的圆心即为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，由正弦定理求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}中，a1=2，（n+1）（a n+1-a n）=2（a n+n+1）．则：，．（2）由数列{a n}的通项公式是a n=n+1，a n=n2+1，a n=n2+n中的一个和a2=6，得到数列{a n}的通项公式为：=n（n+1）．所以：，则：=（1-）+（）+…+（）=1-．所以：．由于（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n+1-a n）=a n+1-a1，a n=n（n+1），所以：（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n+1-a n）=n（n+3）．即：，由：，整理得：n2+4n-357＞0，解得：n＞17或n＜-21故n的取值范围是：n＞17且为正整数．【解析】（1）首先利用数列的通项公式求出第二项和第三项．（2）利用裂项求和和叠加法，求出前n项和，进一步建立不等式求出n的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法和裂项求和在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）M所在的分组区间为[70，80）．（3）由于K2==≈7.352＞6.635，故有99%的把握认为A，B两种不同型号的节排器性能质量有差异．【解析】（1）根据中位数的定义进行判断即可（2）根据条件完成列联表（3）根据表中数据得到K2的值，结合独立性检验的性质进行判断即可本题主要考查独立性检验的应用，根据列联表中的数据进行计算是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】证明：（1）设PB的中点为G，连结MG，GC，∵M，G分别是AP，PB的中点，∴MG∥AB，且MG=，由已知得CN=，且CN∥AB，∴MG∥CN，且MG=CN，∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN∥GC，∵MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN∥平面PBC．解：（2）设点M到平面PBC的距离为h，由MN∥平面PBC，得点N到平面PBC的距离为h，连结BD，BN，PN，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD，由题设得PD=，，，在△PBC中，由已知得PC=2，PB=2，BC=1，，∴V N-PBC==，由V P-BCN=V N-PBC，得h=，∴点M到平面PBC的距离为．【解析】（1）设PB的中点为G，连结MG，GC，推导出四边形MGCN是平行四边形，从而MN∥GC，由此能证明MN∥平面PBC．（2）设点M到平面PBC的距离为h，由MN∥平面PBC，得点N到平面PBC的距离为h，由V P-BCN=V N-PBC，能求出点M到平面PBC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）根据已知设椭圆的E的方程为+=1，（a＞b＞0），c=，∵在x轴上方使=2成立的点M只有一个，∴在x轴上方使=2成立的点M是椭圆E的短轴的端点，当点M是短轴的端点时，由已知可得，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为+=1，证明：（2）若直线AB的斜率为0或不存在时，|AB|=2a=4，且|CD|==3，或|CD|=2a=4，且|AB|==3，由12（|AB|+|CD|）=12（3+4）=84，7|AB||CD|=7×3×4=84，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若AB的斜率存在且不为0时，设AB=k（x+1），k≠0，由可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AB|=|x1-x2|=•=，同理可得|CD|==，∴+==，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．综上所述12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．【解析】（1）由题意可知：由已知可得，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（1）=，又f（1）=，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=；（2）证明：∵F（x）=f（x）-x+，f（x）=，∴F（1）=＞0，F（2）=＜0，∴F（1）•F（2）＜0，则在（1，2）上存在x0，使得F（x0）=0成立，∵F′（x）=，∴当x≥2时，F′（x）＜0，当0＜x＜2时，由x（2-x）≤，得F′（x）≤＜0．∴F（x）在（0，+∞）上是减函数，∴若x1＞0，x2＞0，x1≠x2，则F（x1）≠F（x2），∴函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）由F（x），得F（1）=＞0，F（2）=＜0，可得（1，2）上存在x0，使得F（x0）=0成立，然后利用导数证明F（x）在（0，+∞）上是减函数，可得函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y2-8x-16=0．曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay1，y1）B（ay2，y2），由于，得到：y2-8ay-16=0，所以：y1+y2=8a，y1y2=-16，所以：：|AB|=．=，当a=0时，|AB|=8，所以|AB|的最小值为8．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|，由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3，解得：-2≤x≤4，故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}；（2）①当a＞2时，＜2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=-3，由题设得-3≥4，解得：a≥；②当a＜2时，＞2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=+3，由题设得-+3≥4，解得：a≤-，综上，a的范围是（-∞，-]∪[，+∞）．【解析】（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

云南省昆明市2020届高三数学第四次模拟统测试题文(含解析)

昆明市2020届高考模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.己知集合，，则中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】判断集合元素的属性特征，可以知道集合都是点集，所以就是求直线的交点，这样就可以确定中元素的个数.【详解】因为集合，，所以，所以中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限.【答案】D【解析】【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列的前项和为，，则（）A. 0B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】因为是等差数列，根据，可以求出，利用等差数列的性质可以求出 3. 【详解】因为是等差数列，所以,故本题选C.【点睛】本题考查了等差数列前项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为由，由推不出，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线的一个焦点坐标为渐近线方程为，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过双曲线的一个焦点坐标为可以求出，渐近线方程为，可以得到，结合，可以求出的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以有，而，所以解得，因此双曲线方程为，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.己知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是（）A.或B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据已知直线平面，，可以证明出不成立，这样就可以选出正确答案，也可以这样考虑；当直线平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，的位置关系不确定，故选项B,D 也不正确，用排除法，可以选出正确答案. 【详解】当直线平面，时，假设,过在平面内作，根据面面垂直的性质定理可知：，这样过一点有两条直线与平面垂直，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故假设不成立，所以或，故本题选A,也可以这样思考：当直线平面时，直线可以在平面内，所以选项C 不正确，的位置关系不确定，故选项B,D 也不正确，可以选出正确答案.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系、面面垂直的性质定理、线面平行的性质等. 7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A 【解析】【分析】函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：，单调递增区间：，单调递减区间：，由此可见，当时，函数在上单调递增，故本题选A.【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案.【详解】如下图所示：当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽与长的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形.在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】直线的方程为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦为,，设，垂足为，则，在中，，故本题选D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接,设外接球的半径为，所以有,球的表面积为,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数的导函数为，当时，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数，这样可以知道当时，函数的单调性，再判断函数的奇偶性，另一方面，利用奇函数的性质可以化简，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用的单调性、奇偶性可以求出实数的取值范围.【详解】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，因此有，所以是偶函数，而，可以化为，是偶函数，所以有，当时，是增函数，所以有，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件则的最小值为___________【答案】-2【解析】【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设，平移直线，找到截距最小的位置，求出的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设，平移直线，当直线经过时，有最小值为.【点睛】本题考查了求线性目标函数最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形中, ，则__________【答案】24【解析】【分析】以为一组基底，用这组基底表示,最后用数量积公式求得24.【详解】【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把看成的夹角.15.能说明“己知，若对任意的恒成立，则在上，”为假命题的一个函数__________（填出一个函数即可）【答案】.【解析】【分析】可以根据这个不等式入手，令，当时，而，显然是假命题，当然这样的函数有好多，比如，等等.【详解】因为，所以令，当时，而，所以是假命题，当然，也可以.【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的有成立，那么当时，恒成立.16.己知数列满足，则__________【答案】【解析】【分析】由递推公式得，又能得到，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由，可得，且，两式作差得，，猜想，现用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时成立，即当时，，即时，也成立，综上.【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17--2I题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，为边上一点，，，，.(1)求；(2)求的面积.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）直接运用余弦定理，求出，进而求出的大小；（2）通过（1）可以判断出的形状，根据，可以求出的面积.【详解】（1）已知，，，在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）因为，所以，因，所以为等腰直角三角形，可得，所以.18.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的点.(1)证明：；(2)若，求到平面的距离.【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，证明平面，即可证明；（2）计算三棱锥的体积，利用，可以求出到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点为，连结，，在等边三角形中，有，由是的中点，是的中位线，所以，因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，在等腰直角中，，，所以，，因为是的中点，所以，又因为，在中，，在中，，，故.设到平面的距离为，因为，所以，即，所以到平面的距离为.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线的焦点为，是上的点.(1)求的方程：(2)若直线与交于,两点，且，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）直接把代入抛物线方程中，求出；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用，求出的值.【详解】（1）因为是上的点，所以，因为，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，由抛物线的定义知，，，则，，，解得.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到201 8年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.201 2年至201 8年我国贫困发生率的数据如下表：年份() 2020 2020 2020 2020 201 6 201 7 201 8贫困发生率 (%) 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码，利用回归方程，分析2020年至2020年贫困发生率的变化情况，并预测2020年的贫困发生率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，【答案】（1）（2）0.1%.【解析】【分析】（1）设2020年至2020年贫困发生率分别为，，，，均大于5%设2020年至2020年贫困发生率分别为，，，均小于5%，列出从2020年至2020年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率;（2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出的值，代入公式，求出，的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2020年底我国贫困发生率.【详解】（1）设2020年至2020年贫困发生率分别为，，，，均大于5%设2020年至2020年贫困发生率分别为，，，均小于5%从2020年至2020年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有21种情况，两个都低于5%的情况：、、，共3种情况所以，两个都低于5%的概率为.（2）由题意可得：由上表可算得：，，，，所以，，，所以，线性回归方程为，由以上方程：，所以在2020年至2020年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%；当时，，所以，可预测2020年底我国贫困发生率0.1%.21.已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数.（2）的最小值为，求的最小值.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，单调递增，又，，所以函数有唯一零点；②当时，恒成立，所以函数无零点；③当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.当时，，所以函数无零点.综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.（2）由题意得，，则，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数.又，，所以在上存在唯一零点，且，，即.当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，的最小值.因为，所以，所以.由得，易知在上为增函数.因为，所以，，所以在上存在唯一零点，且，，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以的最小值为，因为，所以，所以，又，所以，又函数在上为增函数，所以，因为，所以，即在上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），将曲线按伸缩变换公式变换得到曲线(1)求的普通方程；(2)直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线；（2）求出直线的参数方程，与的普通方程联立，利用参数的几何意义求出，利用面积公式求出的面积.【详解】（1）依题意，的参数方程为（为参数），所以的普通方程为.（2）因为直线过点，倾斜角为，所以的参数方程为（为参数），设、对应的参数分别为，，则对应的参数为，联立，化简得，所以，即，所以. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数(1)在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集M.(2)设函数，，若，求的取值范围.【答案】（1）函数图象如下图：不等式的解集；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对时，进行分类讨论：当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围；当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围，最后确定的取值范围.【详解】（1），画出图象，如下图所示：当时，；当时，当时，，所以不等式的解集.（2）当时，当时，，显然成立；当时，要想，只需即可，也就是；当时，要想，只需，所以当时，当，的取值范围；当时，，当时，显然不成立；当时，要想，只需不存在这样的；当时，要想，只需，所以当时，当，的取值范围是，综上所述的取值范围.【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当时，；（2），，可以求出,通过图象可知：当时，在恒成立.。