江西省吉安市新干县新干中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】

'ABC B'D'江西省吉安市新干县新干中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆与圆的位置关系是( )1)2()2(:221=-++y x C 16)5()2(22:2=-+-y x C A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切2．设、是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )a b αβ、A ．若则； B ．若则；,a b a α⊥⊥//b α//,,a ααβ⊥a β⊥C ．若则 D ．若，则,,a αββ⊥⊥//a α,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥3．已知两条直线，且，则=( )01:1=-+y x l 023:2=++ay x l 21l l ⊥a A ．-3 B ． C ． D ．331-314．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( )A ．y ＝－2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，，则10a =( )420S =A ．25 B ．32 C ．35 D ．406．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥中，，侧棱A BCD -40BAD ∠=︒，2AB =平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的BD C αα周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．248．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设F O C AB OF AB ⊥，，则该图形可以完成的无字证明为( )AC a =BC b =A ．)0,02a b a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a bC ．)20,0ab a b a b ≤>>+D ．)0,02a b a b +≤>>9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( )A ．4B ．5C ．10D ．1510．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.B C D ．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是( )A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC 与BD 所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°．④三棱锥M ACN -．以上所有正确结论的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是.14.已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为 . 15.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）O 的外接球， ，，点在线段上，且，过点作圆A BCD -3BC=AB =E BD 3BD BE =E 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .O 16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题共10分）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．l y 2-210x y --=（1）求直线的方程；（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，l l A B OAB C 求圆的方程．C 18.（本题共12分）已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n *=∈N ，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）令nn n a c b =，求{}n c 的前项和n T ．19.（本题共12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值．20.（本题共12分）如图，PA 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=，AD=1，点F ⊥3是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ．⊥21.（本题共12分）如图，在中，，点在线段上，过点作Rt ABC ∆4AB BC ==E AB E 交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得//EF BC AC F AEF ∆EF PEF ∆A P ．（1）求证：；060PEB ∠=⊥平面C B 平面EF PBE （2）试问：当点在何处时，四棱锥的侧面的面积最大？并求此时四棱锥E P EFCB -PEB 的体积及直线与平面所成角的正切值．P EFCB -PC EFCB 22．（本题共12分）已知圆C ：，直线过定点.22:(3)(4)4C x y -+-=1l (1,0)A （1）若与圆相切，求的方程；1l 1l （2）若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为1l ,P Q PQ M 1l 2:220l x y ++=，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.N •AM AN数学考试参考答案1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC13. A>B 14. 0324=--y x 15.16. (8，0).[]24π,π17．解：（1）设直线的方程为．∵直线的斜率为，所以直线l 2y kx =-210x y --=12的斜率．则直线的方程为．l 2k =-l 22y x =--（2）设圆的一般方程为．由于是直角三角形，C 220x y Dx Ey F ++++=OAB 所以圆的圆心是线段的中点，半径为；由，得C C AB 12AB(1,0)A -(0,2)B -，；故，解得，，．1,12C ⎛⎫--⎪⎝⎭AB =12212D E ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=1D =2E =0F =则圆的一般方程为：．C 2220x y x y +++=18．解：（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴21()n a n n *=-∈N ，…3分234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q =，∴12()n n b n -*=∈N …6分（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++ ，①∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++ ，②①-②得1211222212313222222n n n n n n T --+=++++-=- ，∴123662n n n T -+=-<…12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴中，PBC ∆ ……3分.又 ……4分PC EF //，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵，PA=AB=，点F 是PB 的中点∴等腰中，，又AB PA ⊥3PAB ∆PB AF ⊥，且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线BC PA ⊥BC AB ⊥∴BC 平面PAB 又.∴ …… 9分⊥PAB AF 平面⊂BC AF ⊥又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴ …… 11分PBC AF 面⊥又 ∴PBC PE 平面⊂PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF 成立． ……12分⊥21．解：（1）证明：∵且，//EF BC BC AB ⊥∴，即．又，EF AB ⊥,EF BE EF PE ⊥⊥BE PE E = ∴平面，又平面， ……4分EF ⊥PBE ⊂EF CBEF ⊥平面C B 平面EF PBE（2）设，则．,BE x PE y ==4x y +=∴21sin 22PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤=当且仅当时，的面积最大，此时，． ……6分2x y ==PEB S ∆2BE PE ==由（1）知平面，平面平面．EF ⊥PBE EFCB ⊥PBE 在平面中，作于，则平面．即为四棱锥的PBE PO BE ⊥O PO ⊥EFCB PO P EFCB -高．又．01sin 602(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=∴分163P BCFE V -=⨯=∵，∴，在中，01cos 60212OE PE =⋅=⨯=1BO =Rt OBC ∆平面，∴就是与平面OC ===PO⊥EFCB PCO ∠PC所成角．∴EFCB tanPO PCO OC ∠===故直线与平面 ……12分PC EFCB 22．解：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意 ……2分1l1x =②若直线斜率存在，设直线为，即．1l 1l (1)y k x =-kx y k 0--=由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，1l 2解之得．所求直线方程是，． ……5分34k =1x =3430x y --=（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由得．又直线CM 与垂直，由220{0x y kx y k ++=--=223(,2121k k N k k --++1l (也可以通过直线与圆联立消去y,得到{14(3)y kx ky x k =--=--22221(286)8210.+-+++++=（）x k k k x k k 而求出M 坐标).得2122286+=1+++k k x x k 22224342(,)11+++++k k k k M kk AM AN ⋅=为定值． 故是定值，且为6．6=AM AN ⋅。