《2.2圆内接四边形的性质与判定定理》同步练习2.docx

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高中数学二圆内接四边形的性质与判定定理专项测试同步训练

高中数学二圆内接四边形的性质与判定定理专项测试同步训练 2020.031,设)(x f y =是一次函数，1)0(=f ，且)13(),4(),1(f f f 成等比数列，则f (2)f (4)f (2n)+++=L ______________．2,已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112,a b ==454b =,12323a a ab b ++=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前10项和10S ． 3,设函数)()(],2,2[,sin )(21x f x f x x x x f >-∈=若ππ，则下列不等式一定成立的是（）A ．021>+x xB ．2221x x >C ．21x x >D ．2221x x <4,函数31xf (x)x ln11x +=++- （x ∈R ）,若f(a)=2,则f(-a)的值为（）A ．3B ．0C ．-1D ．-25,已知向量()m sin B,1cos B =-u r, 向量()n 2,0=r，且m u r 与n r的夹角为3π，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角．（1）求角B 的大小；（2）求 C A sin sin +的取值范围． 6,已知()()32f x ax x bx c a,b,c R a 0=-++∈≠且在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程()0=x f 有三个实根．（1）求b 的值；（2）求实数a 的取值范围7,如图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为___________________8,如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．9,解: （1）∵()b x ax x f +-='232()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0 (2) ∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a ≠0 ∴()b x ax x f +-='232=0的两根分别为.32,021a x x ==又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立由二次函数的性质可知3320≥>a a 且∴920≤<a . 故实数a 的取值范围为2(0,]9∵方程()0=x f 有三个实根∴f |0f |0>>极大值极小值且由前面知：2f |f (0)c 024f |f ()c 03a 27a ==>⎧⎪⎨==-+<⎪⎩极大值极小值∴当0c <≤20a 9<≤当c >时，0a 9c <≤10,若数列{}n a 的前n 项和为：221n S n =-，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．42n a n =-B ．42n a n =+C ．1 14 2 2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ D ．1 14 2 2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩11,已知直线则平面平面,,//,//b a a =βαβαI a 与b （） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．共面或异面12,已知集合{}2,0x M y y x ==>，{N y y ==，则则M N I 等于__________ 13,不等式||22>++x x x x 的解集是（）A ．(2,0)-B ．(2,0]-C ．RD ．(,2)(0,)-∞-+∞U14,已知非零向量AB u u u r与AC u u u r 满足().0ABAC BC AB AC+=u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r 且1..2AB AC AB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r 则ABC ∆为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形15,如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA//平面EFG ；（2）求证：GC PEF ⊥平面；（3）求三棱锥P EFG -的体积．答案1, 22n 3n +2, 解（1）132-⨯=n n b（2）29010=S 3, B 4, B5, 解：（1）Θ m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3π，∴ 3sin cos 1=-B B∴cos 1B B +=∴21)6sin(=+πB又Θπ<<B 0∴ 6766πππ<+<B∴656ππ=+B∴32π=B（2）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ， ∴ 3233πππ<+<A∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23， ∴ C A sin sin +⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23 6, 解: （1）∵()b x axx f +-='232()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0(2) ∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a ≠0 ∴()b x ax x f +-='232=0的两根分别为.32,021a x x ==又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数. ∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立由二次函数的性质可知3320≥>a a 且∴920≤<a . 故实数a 的取值范围为2(0,]9∵方程()0=x f 有三个实根∴f |0f |0>>极大值极小值且由前面知：2f |f (0)c 024f |f ()c 03a 27a ==>⎧⎪⎨==-+<⎪⎩极大值极小值∴当0c <≤20a 9<≤当c >时，0a 9c <≤7, 328π+8, 2；-2 9, 解：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立,∴2)2(=f .（2）∵⎩⎨⎧=+-=++024224c b a c b a∴,124==+b c a ∴1142,==-b c a .又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立. ∴0)41(4)121(,02≤---=∆>a a a ，解出：21,21,81===c b a , ∴212181)(2++=x x x f .（3）由分析条件知道，只要)(x f 图象（在y 轴右侧）总在直线412+=x m y 上方即可，也就是直线的斜率2m小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=4122121812x m y x x y∴221-≤m .解法2：),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=x x m x x g 在必须恒成立,即 ),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立.①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ;②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m10, D 11, C12, φ 13, A 14, A15, 解（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ， ∵,E F 分别为,PC PD 的中点， ∴EF CD P ．∵,G H 分别为,BC AD 的中点， ∴GH CD P ． ∴EF P GH ．∴,,,E F H G 四点共面． ∵,F H 分别为,DP DA 的中点， ∴PA FH P ．∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA P 平面EFG ．证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点， ∴EF CD P ，EG PB P ． ∵CD AB P ， ∴EF AB P ．∵PB AB B =I ，EF EG E =I ， ∴平面EFG P 平面PAB ． ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA P 平面EFG ．（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ， ∴GC PD ⊥．∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥． ∵PD CD D =I ， ∴GC ⊥平面PCD ． ∵112PF PD ==，112EF CD ==， ∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=．∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=。

人教A版数学选修4第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理课时作业(含答案解析).docx

1．只有一对边平行的圆内接四边形一定是( ) A ．正方形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．矩形解析：选C.只有一对边平行的四边形为梯形且又为圆内接四边形．故四边形一定是等腰梯形．2．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BAD 和∠BCD 的度数分别为( )A ．50°，130°B ．30°，130°C ．100°，130°D ．100°，50°解析：选A.由圆周角定理，得∠BAD ＝12∠BOD ＝50°.根据圆内接四边形的性质定理，得∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∴∠BCD ＝130°，故选A.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOD＝( )A．75°B．90°C．100°D．120°答案：C4．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于( )A.33a B.62aC.12a D.13a解析：选A.∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝33a.5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝CD ＝5，AC ＝7，BE ＝3，下列命题错误的是( )A ．△ABE ≌△DCEB ．∠BDA ＝45°C ．S 四边形ABCD ＝24.5D ．图中全等的三角形共有2对解析：选D.在△ABE 和△CDE 中，∠CAB ＝∠CDB ，∠AEB ＝∠DEC ，AB ＝CD ， ∴△ABE ≌△DCE ，故A 正确；据此，也可得AE ＝DE ，BE ＝CE ＝3，∴AE ＝DE ＝4.∵在△ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴AC ⊥BD . ∵AE ＝DE ，∴∠BDA ＝45°，故B 正确； S 四边形ABCD ＝2S △ABE ＋S △BEC ＋S △ADE＝2×12×3×4＋12×32＋12×42＝24.5，故C 正确；在该图形中，有3对全等三角形，故D 错误．6．过点P (－1,0)，作⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆的方程为________．解析：∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴P 、A 、B 、C 四点共圆，且PC 是其直径，故此圆的方程为x 2＋(y －1)2＝2，即为过A 、B 、C 的圆方程．答案：x 2＋(y －1)2＝2.7．如图，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，则AC＝________，BD＝________. 解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝AB22＝5 2.答案：6 5 28．正方形ABCD的中心为O，面积为50 cm2，P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝3∶4，则PB＝________.解析：如图，连接OA，OB，则∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OPB＝45°.∴A，B，O，P四点共圆．∴∠APB＝∠AOB＝90°，即△APB为直角三角形．∴AP2＋PB2＝AB2＝50.又∵PA∶PB＝3∶4，∴2516PB 2＝50，即PB ＝4 2 (cm)．答案：4 2 cm9．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别是AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°. ∴cos ∠B ＝－cos ∠D .根据余弦定理，得AC 2＝22＋62－2×2×6cos ∠B ＝22＋62＋2×2×6cos ∠D ， AC 2＝42＋42－2×4×4cos ∠D ，∴cos ∠D ＝－17，sin ∠D ＝sin ∠B ＝4 37.∴四边形ABCD 的面积＝12×AB ×BC ×sin ∠B ＋12×AD ×DC ×sin ∠D ＝8 3.10．如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：A ，I ，H ，E 四点共圆； (2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．解：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°. 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI . 在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°，得∠IEH ＝25°.11．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°， BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB .∴FB FD ＝FA FB，∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝2 3 (cm)． ∴AD ＝2AC ＝4 3 (cm)．。

圆内接四边形的性质判定定理习题及答案

17.已知：如图所示，平分. (1)求AC和DB的长； (2)求四边形ACBD的面积.
18.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足. 求证：E、B、C、F四点共圆.
19.如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G. (1)求⊙O的半径； (2)设，请写出之间关系式，并证明.
12.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .
三、解答径，⊙O交AB、AC于D、
E，求证：.
14.求证：在圆内接四边形ABCD中，. 15.在等边三角形ABC外取一点P,若，求证：P、A、B、C四点共圆.
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，M为CD中点，N为AB中点，于点 E，连接ON、ME，并延长ME交AB于点F.求证：.
角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 查四点共圆的判定方
上,且AE=AF. (1)证明:B,D,H,E四点共圆; (2)证明:CE平分∠DEF.
法及利用四点共圆的
性质证明角相等问题. 2.处理过程:第(1)小题
只要证明四边形BDHE
的内对角互补即可,但
该小题的的难点恰在
于如何证明内对角互
5.圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则
图中相似三角形有
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为
A. B.8 C. D.
T6
T7
T12
7.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接
题
共圆问题,引导学生作

《2.2 圆内接四边形的性质与判定定理》导学案(新部编)2

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2 圆内接四边形的性质与判定定理》导学案2学习目标1．理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题．2．理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．学习重点、难点1．用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆．2．用圆内接四边形的性质定理解决相关问题．教学过程1．圆内接多边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做，这个圆叫做多边形的外接圆．(2)同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为，这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的两个性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的．(2)定理2：圆内接四边形的外角等于．3．圆内接四边形的判定定理(1)圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)圆内接四边形的判定定理的推论如果四边形的一个外角等于，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)判断四点共圆的常用方法①如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．试一试：判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆； (4)正多边形有外接圆．提示 (1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．难点知识探究题型一用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题【例1】在⊙O 中，AC ＝AB ，E 是弦BC 延长线上的一点，AE 交⊙O 于点D.求证：AC2＝AD·AE.[思维启迪] ∠EDC ＝∠B ――→等腰三角形及等量代换∠ACB ＝∠EDC ――→相似三角形的判断△ADC ∽△ACE ――→对应边成比例结论证明反思感悟要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含AC 、AD 、AE 的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等．【变式1】如图所示，AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，AD 与三角形的外接圆⊙O 交于点D.求证：DB ＝DC.证明题型二利用圆内接四边形的性质定理求角【例2】如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于F、G.求证：∠CFG＝∠DGF.[思维启迪] 已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.下面易证∠CFG＝∠DGF.证明反思感悟利用圆内接四边形的性质定理求角(1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角；(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角．(3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明．【变式2】如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD.∠BAD＝72°，求四边形其余的各角．解知识综合运用：题型三利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题【例3】如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．[思维启迪] (1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．证明反思感悟(1)判断四点共圆的步骤：①观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；②判断四点与这一定点的关系；③判断四边形的一对对角的和是否为180°；④判断四边形一外角与其内对角是否相等；⑤下结论．(2)注意事项：在证明一个命题成立时，要根据命题中的条件和结论画出图形，并且写出已知和求证．【变式3】已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．证明方法技巧综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决问题【示例1】已知CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆．[思维启迪] 首先，连接PQ，要证A、B、P、Q四点共圆，只要利用判定定理或推论即可．而由题目中的垂直条件易得Q、F、P、C四点共圆，再考虑利用圆内接四边形的性质．证明反思感悟熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论．【示例2】(2011·辽宁高考)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[思维启迪] 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明．证明。

2.2圆内接四边形的性质与判定定理(人教A版选修4-1)

而ABC D 1800.
C
EBC D.
性质定理2
A
（2）
B
E
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中，正确的个数有( B ) ①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A ＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 1∶2∶3∶4.
D C
A
B
E
2．圆内接四边形判定定理的推论的证明．已知：如图所示，四边形ABCD，延长AB到E，∠EBC＝∠CDA. 求证：A、B、C、D四点共圆．
证明：因为∠EBC＝∠CDA，且 ∠EBC＋∠ABC＝180°，所以∠CDA＋∠ABC＝180°. 由圆内接四边形的判定定理知A、B、C、D四点共圆．
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A D A D A D A D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：
如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？
我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从中发现这些四边形的共同特征吗？
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
2．圆内接平行四边形一定是( D ) A．正方形 C．等腰梯形 B．菱形 D．矩形
1.【圆内接四边形的性质】
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考: 任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么? 等腰梯形呢?为什么? 需要具备什么样的条件呢？

人教A版选修4-1配套练习第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理 Word版含解析

第二讲直线与圆的位置关系圆内接四边形的性质与判定定理级基础巩固一、选择题．圆内接平行四边形一定是( )．菱形．正方形．矩形．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案：．已知，是⊙的两条直径，则四边形一定是( )．菱形．矩形．等腰梯形．正方形解析：，均为⊙的直径，故四边形的四个角均为直角，且对角线＝，所以四边形为矩形．答案：．四边形内接于圆，∠∶∠∶∠＝∶∶，则∠等于( )．°．°．°．°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠＋∠＝°.又由∠∶∠＝∶，设∠＝，∠＝，则＝°，即＝°，所以∠＝＝°.故∠＝°－∠＝°.答案：.如图所示，四边形是⊙的内接四边形，为的延长线上一点，∠＝°，则∠等于( )．°．°．°．°解析：因为四边形是圆内接四边形，且∠＝°，由圆内接四边形性质知∠＝∠＝°，又由圆周角定理知∠＝∠＝°.答案：．如图所示，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠＝°，则∠的度数为( )．°．°．°．°解析：如图所示，连接，则△是直角三角形，∠＝°，则∠＝°－∠＝°，根据同弧所对的圆周角相等，∠＝∠＝°.答案：二、填空题.如图所示，四边形是圆的内接四边形，延长与相交于点.若＝，。

人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-1练习2.二圆内接四边形的性质与判定定理 (2)

1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝() A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.由题意可知：在Rt△AHD中，∠D＝60°，由圆内接四边形的对角互补可知，∠B＝120°.2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(也可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例，此时四边形可能为矩形或正方形)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和所占的份额相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．3.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°解析：选C.由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝72°.又由圆周角定理知：∠BOD＝2∠A＝144°.4．如图，⊙O与⊙O′相交于A、B，过A点引直线CD、EF，分别交两圆于C、D、E、F，EC、DF的延长线相交于P，则∠P＋∠CBD＝________.解析：连接AB.如图，由同弧上的圆周角相等知：∠ABC＝∠AEP.由圆内接四边形的性质知，∠PFA＝∠ABD，∴∠P＋∠CBD＝∠P＋∠ABC＋∠ABD＝∠P＋∠AEP＋∠PFA＝180°.答案：180°5．如图，在△ABC中，∠BAC为直角，BD＝DC，若AB＝AC，过点D，C的圆与AC 交于点E，BE与圆相交于F点，若AF＝4 cm，EF＝3 cm，则AE＝________.解析：由已知可知∠BAD＝∠DCA＝45°，连接DF，由圆内接四边形的性质知：∠BFD ＝∠DCA＝∠BAD＝45°.∴A、B、D、F四点共圆．由圆周角定理知：∠AFB＝∠ADB＝90°，∴△AFE为直角三角形．∴AE＝42＋32＝5(cm)．答案：5 cm。

人教A版数学选修42.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测.docx

高中数学学习材料唐玲出品2.2圆内接四边形的性质与判定定理同步检测一、选择题1.四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于（）A.25°B.75°C.115°D.155°答案：D解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可2. 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若∠ADC=32°,则∠CBE等于（）A.32°B.58°C.64°D.148°答案：A解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可3. 下列四边形的四个顶点共圆的是（）A.梯形B.矩形C.平行四边形D.菱形答案：B解析：解答：根据四边形性质与判断定理可知矩形四点共圆.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可4. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC 等于（）A.20°B.40°C.80°D.100°答案：解析：解答：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得∠CBE=∠COA=40°.故选B.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据“外角等于它的内角的对角”的准确含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.5. 下列说法正确的有（）①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;②圆内接四边形的对角相等;③圆内接四边形不能是梯形;④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形.A.0个B.1个C.2个D.3个答案：B解析：解答：①是圆内接四边形的性质定理2,则①正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,则②不正确;圆的内接四边形可以是梯形,则③不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形,则④不正确分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可6. 圆内接平行四边形的对角线（）A.互相垂直B.互相垂直平分C.互相平分且相等D.相等且平分每组对角答案：C解析：解答：圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可7. 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点P,对角线AC和BD交于点Q,则图中共有相似三角形的对数为（）A.4B.3C.2D.1答案：A解析：解答：利用圆周角和圆内接四边形的性质,可得△PCD∽△PAB,△QCD∽△QBA,△AQD ∽△BQC,△PAC∽△PBD,因此共有4对.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可8. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AH⊥CD,如果∠HAD=30°,那么∠B=（）A.90°B.120°C.135°D.150°答案：B解析：解答：∵AH⊥CD,∴∠AHD=90°.∵∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.又∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠B=180°-∠D=120°.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算9. 如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,若∠DAE=80°,则∠ACD=（）A.30°B.45°C.50°D.60°答案：C解析：解答：∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DAE=∠BCD=80°.∵弦AB的长等于半径,∴弦AB所对圆心角为60°.∴∠ACB=12×60°=30°.∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理集合所给条件计算即可二、填空题10. 四边形ABCD内接于圆O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D=°.答案：120解析：解答：∵圆的内接四边形的对角互补,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.又∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可11. 如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠BAC=20°,AB=CD,AD=AE则∠DAC=°.答案：35解析：解答：∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.又∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.则在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.又∵AB=CD,∴∠DAC=∠DCA.∴∠DAC=35°.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给几何特征满足条件分析计算即可12. 如图,☉O1与☉O2相交于点A,B,且☉O2经过点O1,若∠D=40°,则∠C=°.答案：70解析：解答：如图,连接O 1A,O 1B,则四边形AO 1BD 内接于☉O 2,故∠AO 1B+∠D=180°. 又∵∠D=40°,∴∠AO 1B=140°, ∴∠ACB=12∠AO 1B=12×140°=70°. 分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可13. 如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于点PB 1PD 3=P,若,则BC AD的值为 .答案：13解析：解答：由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,则△PAD ∽△PCB,故PB BC 1PD AD 3== . 分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可14. 如图,两圆相交于A,B 两点,过点A 的直线交两圆于点C,D,过点B 的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若∠C=95°,则∠D= °.答案：85解析：解答：∵A,B,C,E 四点共圆,∴∠ABE+∠C=180°, ∴∠ABE=180°-95°=85°. 又∵∠ABE 是四边形ABFD 的外角,∴∠D=∠ABE=85°.分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件分析计算即可15. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于答案：83解析：解答：由于四点共圆,∴∠B+∠D=180°.∴cos B=-cos D.根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D,∴AC2=22+62-2×2×6cos B=22+62+2×2×6cos D,AC2=42+42-2×4×4cos D,∴cos D=-17,sin D=sin B=437.∴四边形ABCD的面积=12AB·BC·sin B+12AD·DC·sin D=83分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件根据余弦定理计算即可三、解答题16. 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证:四边形ABCD内接于圆.答案：证明：∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴四边形ABCD内接于圆.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析计算即可17. 如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P,求证:E,D,P,F四点共圆.答案：证明：如图,连接PF.∵AP⊥BC,F为AC的中点,∴PF是Rt△APC斜边上的中线.∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,∴EF∥CD,ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形.∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.∴E,D,P,F四点共圆.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,利用中点证明∠FED=∠C,利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.18. 在锐角△ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足.求证:E,B,C,F四点共圆.答案：证明：如图,连接EF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴A,E,D,F四点共圆.∴∠1=∠2.∵AD是BC边上的高,∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=180°.∴B,E,F,C四点共圆.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件最高辅助线计算即可19. 如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.答案：证明：∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EBF=∠ADE.又EF是∠AED的平分线,则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB=∠DGF.又∵∠EFB=∠CFG,∴∠CFG=∠DGF.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理分析即可20. 如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.（1）证明:若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;答案：证明：如图,连接AE,AF,AC,AD,则∠3=∠4,∠5=∠6.又∵∠1=∠2,∴AD=AE.∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD.故CE=DF.（2）证明:若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.答案：证明：由（1）得∠3=∠4,∠5=∠6.又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD,∴AD=AE,∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线证明即可21. 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.答案：证明：如图,连接EF.∵ABCD为平行四边形,∴∠B+∠C=180°.∵四边形ABFE内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C,D,E,F四点共圆.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给图像构造辅助线证明即可22. 如图,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AE·AC=AF·DE.答案：证明：如图,连接BD,∵AB∥CD,∴BD=AC. ∵A,B,D,F四点共圆, ∴∠EBD=∠F.又∵∠DEB=∠FEA, ∴△EBD∽△EFA.∴DE BDAE AF=.∴DE ACAE AF=,即AE·AC=AF·DE.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件构造辅助线计算即可23. 如图,两圆相交于A,B两点,过点A作两直线CD,EF分别交两圆于点C,D和点E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.答案：证明：如图,连接CB,BF,因为四边形ABEC为圆内接四边形,所以∠2=∠CEB.又因为∠1=∠ECB,∠1=∠2,所以∠CEB=∠ECB.所以BC=BE.又因为∠BCD=∠BEF,∠D=∠F,BC=BE,所以△CBD≌△EBF.所以CD=EF.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据连接CB,BF,要证CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF即可.24. 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,∠B=60°,点F在AC上,且AE=AF.（1）证明B,D,H,E四点共圆;答案：证明：∵在△ABC中,∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°.∵AD,CE是角平分线,∴∠HAC+∠HCA=60°.∴∠AHC=180°-∠HAC-∠HCA=120°.∴∠EHD=∠AHC=120°.∴∠EBD+∠EHD=180°.∴B,D,H,E四点共圆.（2）证明CE平分∠DEF.答案：证明：如图,连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.由（1）知B,D,H,E四点共圆,∴∠CED=∠HBD=30°,∠AHE=∠EBD=60°.又∵AE=AF,AD平分∠BAC,∴EF⊥AD.∴∠CEF=30°.∴∠CEF=∠CED.∴CE平分∠DEF.解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理构造辅助线证明即可25. 如图,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过点P作正方形的边的垂线,垂足分别为点E,F,G,H.你能判断出点E,F,G,H是否在同一个圆上吗?试证明你的猜想.答案：解：猜想:E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下:如图,连接OE,OF,OG,OH.在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH中,OB=OC=OA.∵四边形PEBF为正方形,∴BE=BF=CG=AH,∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE=OF=OG=OH.由圆的定义,可知E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上解析：分析：本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理，解决问题的关键是根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点在以O为圆心的圆上,于是连接线段OE,OF,OG,OH,再设法证明这四条线段相等.。

高中数学第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理练习新人教A版选修49

又∠ A= 25°,∴∠ C= 180° -∠A= 155° .
答案 :D
2.如图 ,分别延长圆内接四边形 ABCD 两组对边相交于 E,F 两点 .如果∠ E= 30° ,∠ F= 50° ,那么∠ A
等于
()
A.55° C.45°
B.50° D.40°
解析 :由∠ A+ ∠ADC+ ∠ E= 180° ,∠A+ ∠ABC+ ∠ F= 180°,∠ADC+ ∠ ABC= 180° ,得∠ A= (180° -∠ E-∠ F)= 50° . 答案 :B 3.如图 ,四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边形 ,AH ⊥CD 于点 H.如果∠ HAD= 30°,那么∠ B= ( )
似三角形
()
P,AC 和 BD 相交于点 E,则图中共有相
A.5 对
B.4 对
C.3 对
D.2 对
解析 :由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定△ ABE∽△ DCE,△ADE ∽△ BCE,△ PAC∽△ PDB,△
PAD∽△ PCB.
答案 :B
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步
臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
A.90°
B.120°
C.135° D.150°
解析 :∵AH ⊥ CD,∴∠ AHD= 90° .∵∠ HAD= 30° ,
∴∠ D= 90° -∠ HAD= 60° .
又四边形 ABCD 内接于圆 O ,
∴∠ B=180° -∠D= 120° .
答案 :B
4.如图 ,在圆内接四边形 ABCD 中 ,BA 和 CD 的延长线交于点
∵四边形 APCH 为☉ O 的内接四边形 ,∴ ∠ A= ∠ BCH,∴

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圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为 A.62 B.63 C.65 D.66T2 T4 T54.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB ABa ∠==o，则CD =C.12aD.13a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有A.5对B.4对C.3对D.2对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD面积为 A.163 B.8 C.323D.DBT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =A.1:1B.1:2C.2:1D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k =A.-3B.3C.-6D.6 二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o，则ADC ∠= . 三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.B14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.ABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形ACBD 的面积.18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆.BC19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC 于点F,交CD 于点G. (1)求⊙O 的半径R ；(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβo之间关系式，并证明.圆内接四边形的性质与判定定理(参考答案)一、选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90o 12.110o三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=o在Rt 中， 12AD AE DE ADE ACB AC AB BC ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE,»30ABE DE∠=⇒o的度数为60o 60DOE ⇒∠=o 即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又AE BC ADE BDC AE BD AD BC AD BD⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽ACAB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则ADP ABP ABP ACD ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆 16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒= MDE DEM ⇒∠=∠90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=o17.(1)6,AC BD == (2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=o o o⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=oo法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ⇒∠=-∠=-∠=∠oo19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=o。

人教A版数学选修4第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理随堂自测(含答案解析).docx

高中数学学习材料唐玲出品1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝() A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.由题意可知：在Rt△AHD中，∠D＝60°，由圆内接四边形的对角互补可知，∠B＝120°.2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(也可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例，此时四边形可能为矩形或正方形)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和所占的份额相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．3.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°解析：选C.由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝72°.又由圆周角定理知：∠BOD＝2∠A＝144°.4．如图，⊙O与⊙O′相交于A、B，过A点引直线CD、EF，分别交两圆于C、D、E、F，EC、DF的延长线相交于P，则∠P＋∠CBD＝________.解析：连接AB.如图，由同弧上的圆周角相等知：∠ABC＝∠AEP.由圆内接四边形的性质知，∠PF A＝∠ABD，∴∠P＋∠CBD＝∠P＋∠ABC＋∠ABD＝∠P＋∠AEP＋∠PF A＝180°.答案：180°5．如图，在△ABC中，∠BAC为直角，BD＝DC，若AB＝AC，过点D，C的圆与AC 交于点E，BE与圆相交于F点，若AF＝4 cm，EF＝3 cm，则AE＝________.解析：由已知可知∠BAD＝∠DCA＝45°，连接DF，由圆内接四边形的性质知：∠BFD ＝∠DCA＝∠BAD＝45°.∴A、B、D、F四点共圆．由圆周角定理知：∠AFB＝∠ADB＝90°，∴△AFE为直角三角形．∴AE＝42＋32＝5(cm)．答案：5 cm。

湘教版九年级下册数学同步练习2.2.2 第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形

湘教版九年级下册数学同步练习第2课时圆周角定理推论2与圆内接四边形1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有()A．2个B．3个C．4个D．5个3.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．1204.如图，在△ABC中，AB为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是()A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤1206.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO7.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.8.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.DCBPA O9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？11.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．OBACyxM12.（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．。

高中数学 2.2圆内接四边形的性质与判断练习新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题

2．2 圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝DB，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵点A、B、C、D到O点的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．►一层练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有( )①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个 B．2个C．3个 D．4个1．B2．圆内接平行四边形一定是( )A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形2.D3．下列命题中，真命题的个数为( )①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．答案：B4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD＝________.4．30°150°►二层练习5．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对5.B6．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，那么与∠BCE 互补的角是( )A ．∠BADB ．∠ADC C ．∠CDED ．∠DEC 6.C7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 为AB 延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC 等于( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100° 7.C8．如图所示，PA 为⊙O 直径，PC 为⊙O 的弦，过AC ︵的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝6，BC ＝4，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．13C ．15D ．208．解析：连PH 及CH ，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH ＝∠A ，则△PAH ∽△HCB ，PA CH ＝HA BC，又CH ＝HA ，则PA ＝13. 答案：B9．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．9．120° 60°10．如图，⊙O 的内接四边形BCED ，延长ED 、CB 交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________，CE ＝________．10．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB ＝∠C ，∠ABD ＝∠E . 则△ABD ∽△AEC ，则AD AC ＝AB AE ＝BDCE代入数据即得DE ＝5，CE ＝27.答案：5 27 ►三层练习11．如下图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．11.1312．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，DF ⊥AB 交AC 于点F ，AE ＝EC ，EG ⊥AC 交AB 于点G .(1)求证：点D 、E 、F 、G 四点共圆； (2)求证：点G 、B 、C 、F 四点共圆．12．证明：(1)连接GF ，由DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，知∠GDF ＝∠GEF ＝90°，∴GF 中点到点D 、E 、F 、G 四点距离相等． ∴点D 、E 、F 、G 四点共圆． (2)连接DE .由AD ＝DB ，AE ＝EC ，知DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .又由(1)中点D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴∠B＋∠GFC＝180°.∴点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．13．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．14．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径．14解析：(1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.1．当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．3．圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题． 4．判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明．【习题2.2】1．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴△ABD 和△ABE 均为直角三角形．设O 是AB 的中点，连接OE ，OD ，如图所示，则OE ＝12AB ，OD ＝12AB ，∴OE ＝OD ＝OA ＝OB ，∴A ，B ，D ，E 四点共圆，∴∠CED ＝∠ABC .2．已知：如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相垂直，E ，F ，G ，H 为各边的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共圆．证明：如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，∵点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴FG ∥BD ，GH ∥AC ，又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥GH .同理可证HE ⊥EF .∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°，∴F ，G ，H ，E 四点共圆．3．证明：如图所示，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠FCE ＝∠A .∵∠CFG ＝∠FCE ＋∠CEF ，∠DGF ＝∠A ＋∠AEG ，而∠AEG ＝∠CEF ，∴∠CFG ＝∠DGF .。

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2.2圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()．①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形③∠A的外角与∠C的外角互补④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F 两点，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A为()．A．55°B．50°C．45°D．40°3．圆内接平行四边形一定是()．A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形()．A．5对B．4对C．3对D．2对5．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为()．A．60°B．30°C．120°D．150°6．已知RT ABC的斜边BC的两个端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，顶点A与原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是()．A．圆B．线段C．射线D．一段圆弧二、填空题7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.8．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.三、解答题9．如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.10．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.2.2圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B二、填空题7．30° 150°8. 1或－1三、解答题 9. 证明连接BD ，因为AB ∥CD ，所以BD ＝AC . 因为A 、B 、D 、F 四点共圆，所以∠EBD ＝∠F . 因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角，所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF .所以DE AE ＝AC AF ，即AE ·AC ＝AF ·DE .10.证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B 、D 、H 、E 四点共圆．(2)连接BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由(1)知B 、D 、H 、E 四点共圆．所以∠CED ＝∠HBD ＝30°.又∵∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°，所以CE 平分∠DEF .。

课时作业3：二　圆内接四边形的性质与判定定理

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A.120°B.136°C.144°D.150°解析∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2∠ECD ＝144°.答案C2.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析四边形ABCD内接于圆，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B适合.答案B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA的延长线和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形()A.5对B.4对C.3对D.2对解析由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE ∽△BCE，△P AC∽△PDB，△P AD∽△PCB,共4对.答案B4.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝110°，那么∠BCD的度数为________.解析∵∠A＝12∠BOD＝12×110°＝55°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.答案125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D ＝________. 解析如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°， ∴∠D ＝∠ABE ＝65°. 答案 65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC . (1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长. (1)证明连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形， ∴∠BDE ＝∠BCA . 又∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DECA ，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线， ∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )， ∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.二、能力提升7.如图，AB是⊙O的弦，过A，O两点的圆交BA的延长线于C，交⊙O于D，若CD＝5 cm，则CB等于()A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm解析连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5 cm，∴CB＝5 cm.答案C8.如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC 于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴AC AE＝BCEF，∴2＝BCEF，∴EF＝3.答案39.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为________.解析如图，连接BD，易知∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝∠ACB ＝∠ACD＝60°.设∠CAD＝θ，AB＝AD＝b，则∠BAC ＝60°－θ， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ，在△ABC 中，由正弦定理可知 a sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝bsin 60°，∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2. 答案 34a 210.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD . 证明如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠EBC . 又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE ，即BE ·AD ＝BC ·CD . 11.如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明:OG ⊥CD .(1) 解连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD .所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心.所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD . 三、探究与创新12.如图，在正方体ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.(1)证明因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB ，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB ，由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.。

人教A版数学选修4 2-2圆内接四边形的性质与判定定理2.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2-2圆内接四边形的性质与判定定理2一、选择题1．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )．①如果∠A ＝∠C ，则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ，则四边形ABCD 是等腰梯形③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是1∶2∶3∶4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案 B2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD 两组对边相交于E 和F 两点，如果∠E ＝30°，∠F ＝50°，那么∠A 为( )．A ．55°B ．50°C ．45°D ．40°解析由∠A ＋∠ADC ＋∠E ＝180°，∠A ＋∠ABC ＋∠F ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝12(180°－∠E －∠F )＝50°. 答案 B3．圆内接平行四边形一定是( )．A ．正方形B ．菱形C ．等腰梯形D ．矩形解析由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案 D4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )．A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对解析由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB .答案 B二、填空题5．若BE 和CF 是△ABC 的边AC 和AB 边上的高，则________四点共圆．解析由∠BEC ＝∠BFC ＝90°，知△BCE 和△BCF 共圆．答案 B 、C 、E 、F6．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．解析四边形ABCD 内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×65＋6＋4＋3＝120°，最小角为360°×35＋6＋4＋3＝60°. 答案 120° 60°7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝60°，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________.解析由∠A ＝12∠BOD ＝30°，∠BCD ＝180°－∠A ＝150°. 答案 30° 150°8．若两条直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0，(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a ＝________.解析由圆内接四边形的性质，知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，整理得a 2＝1，∴a ＝±1.答案 1或－1三、解答题9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．证明 ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，又AC ＝DB ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD .则点A 、B 、C 、D 到点O 的距离相等，∴A 、B 、C 、D 这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上．10．如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .证明连接BD ，因为AB ∥CD ，所以BD ＝AC .因为A 、B 、D 、F 四点共圆，所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角，所以△EBD ∽△EFA .所以DE AE ＝BD AF .所以DE AE ＝AC AF，即AE ·AC ＝AF ·DE .11．(拓展深化)如图，已知△ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)证明：B 、D 、H 、E 四点共圆；(2)证明：CE 平分∠DEF .证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.。