高中数学：第2章 数列 §2.2-第2课时

第2课时等差数列的性质
1.等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数且c≠0)
A.是公差为d的等差数列
B.是公差为cd的等差数列
C.不是等差数列
D.以上都不对
解析a n＝a1＋(n－1)d，
则ca n＝ca1＋(n－1)cd，
所以ca n＋1－ca n＝cd.
★答案★ B
2.在数列{a n}中，a1＝2，2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为
A.49
B.50
C.51
D.52
解析由条件可得a n＋1－a n＝1
2，故{a n}是等差数列，从而a101＝a1＋(101－1)×
1
2＝2＋
50＝52.
★答案★ D
3.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于
A.15
B.30
C.31
D.64
解析因为a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.
在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，
所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.
★答案★ A
4.在等差数列{a n}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
解析因为a1＋a15＝a4＋a12＝2a8，
而a1＋a15－(a4＋a8＋a12)＝2，
即2a8－3a8＝2，所以a8＝－2，
所以a3＋a13＝2a8＝－4.
★答案★－4
5.{a n}为等差数列，若a3＋a11＝10，则a6＋a7＋a8＝________.
解析因为a3＋a11＝a6＋a8＝2a7＝10，
所以a6＋a7＋a8＝3
2(a3＋a11)＝15.
★答案★15
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为
A.5
B.6
C.8
D.10
解析由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.
★答案★ A
2.设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于
A.0
B.37
C.100
D.－37
解析设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
所以{c n}的公差d＝c2－c1＝0.
所以c37＝100.
★答案★ C
3.下列说法中正确的是
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析 因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，
所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，
即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，
所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列.
★答案★ C
4.若等差数列{a n }的公差为整数，首项为19，从第6项开始为负值，则公差为
A.－5
B.－4
C.－3
D.－2
解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ∈Z)，依题意得a 6＝a 1＋5d ＝19＋5d ＜0，即d ＜－195；a 5＝a 1＋4d ＝19＋4d ≥0，即d ≥－194，所以－194≤d ＜－195
.又d ∈Z ，所以d ＝－4. ★答案★ B
5.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13
a 11的值为 A.14 B.15 C.16 D.17
解析 ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，
∴a 8＝24，a 9－13a 11＝a 1＋8d －13a 1－103d ＝23a 1＋143d ＝23(a 1＋7d )＝23a 8＝23
×24＝16. ★答案★ C
6.(能力提升)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题
目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17
是较小的两份之和，则最小的1份为
A.53
B.56
C.103
D.116
解析 设最小的一份为a 1，公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝100，
则a 3＝20，又17(a 3＋a 4＋a 5)＝a 1＋a 2，即17×3a 4＝a 1＋a 2，∴37
(a 3＋d )＝a 3－2d ＋a 3－d ， 即37(20＋d )＝40－3d ，解得d ＝556，∴a 1＝a 3－2d ＝20－553＝53
. ★答案★ A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.如果等差数列{a n }中，a 4＋a 5＋a 6＝15，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＋a 9＝________. 解析 ∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5，∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝15，∴a 5＝5，
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＋a 9＝(a 1＋a 9)＋(a 2＋a 8)＋(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5
＝9a 5＝9×5＝45.
★答案★ 45
8.等差数列{a n }中，a 2 000＝－15，a 2 015＝15，则a 2 060＝______.
解析 ∵a 2 015－a 2 000＝15d ，∴15d ＝30，即d ＝2.
a 2 060＝a 2 000＋60d ＝－15＋60×2＝105.
★答案★ 105
9.(能力提升)已知实数a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a x ，x <3，ax ＋b ，x ≥3.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是等差数列，则a ＝________，b ＝________.
解析 a 1＝a ，a 2＝a 2，a 3＝3a ＋b ，a 4＝4a ＋b ，所以等差数列{a n }的公差为a 4－a 3＝a ，则a 2－a 1＝a 2－a ＝a ，解得a ＝2，则a 1＝2，a 2＝4，a 3＝6＋b ＝6，所以b ＝0.
★答案★ 2 0
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10.(11分)在等差数列－5，－312，－2，－12
，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列.
(1)求新数列的通项公式；
(2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
解析 (1)原数列的公差d ＝－312－(－5)＝32，所以新数列的公差d ′＝12d ＝34
， 故新数列的通项公式为a n ＝－5＋34(n －1)＝34n －234
. (2)设28是新数列的第n 项，则
3n 4－234
＝28，解得n ＝45∈N ＋，所以28是新数列中的第45项.
11.(12分)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件.
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
解析 设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a 1，a 2，…，a 10，利润分
别为b 1，b 2，…，b 10，
则{a n }，{b n }均为等差数列，
且a 1＝60，d 1＝－3，b 1＝8，d 2＝2，
所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，
b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6，
所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864. 显然，当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.
答：在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
12.(12分)(能力提升)已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1
(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1
(n ∈Z *). (1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项.
解析 (1)证明 因为a n ＝2－
1a n －1(n ≥2，n ∈Z *)， 所以a n －1＝
a n －1－1a n －1， 所以
1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1， 即1a n －1－1a n －1－1
＝1. 因为b n ＝
1a n －1，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈Z *). 又a 1＝14，b 1＝1a 1－1
＝－43， 所以{b n }是以b 1＝－43为首项，1为公差的等差数列.故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73
，n ∈N *.
(2)由(1)得a n ＝1
n －73＋1＝1＋33n －7， 当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n ＞1.
又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52
，
5
所以在数列{a n}中，最大项为a3＝
2，最小项为a2＝－2.。