高职数学期末复习

的定义域是
． 即 x>2 且 x≠3
解： 对函数的第一项， 要求 x − 2 > 0 且 ln( x − 2) ≠ 0 对函数的第二项，要求 4 − x ≥ 0 即 x ≤ 4 取公共部分，得函数定义域为 ( 2 , 3) U (3 , 4]
1.1 函数 3 导数应用 1.2 极限 45 积分 2 导数与微分 6 常微分方程 填空 选择
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形．
1.1 函数 3 导数应用
1.2 极限 45 积分
2 导数与微分 6 常微分方程
填空 选择
要点 练习
基本初等函数指以下几种类型：
常数函数: 幂函数：
高 职 应
y=c
y = xα
y =ax
(α 为实数 )
( a > 0 , a ≠ 1)
指数函数：
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第一章 2
•
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极限与连续
• • • • •
⑴了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限）， 知道数列极限的“ε－Ｎ”定义和函数极限的描述性定义， 会求左右极限； ⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其 与无穷大量的关系； ⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握 求简单极限的常用方法； ⑷了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念， 知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性； ⑸了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别 函数间断点的类型； ⑹了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭 区间上的连续函数的几个性质。
同理
1 1 2 1 − 6x 2 f( ) = ( ) −6 = x x x2
f (2) = 2 2 − 6 = −2
1.1 函数 3 导数应用
1.2 极限 45 积分
2 导数与微分 6 常微分方程
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要点 练习
⒊判断下列函数的奇偶性：
y = 3 x 3 − 5 sin x ⑴
高
⑵ lg
1− x 1+ x
要点 练习
⒊设 f (x) 的定义域为 ( −∞ , + ∞) 则函数 f ( x ) + f ( − x ) 的图形关于
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对称
解：设 F(x) = f (x) + f (−x)
则对任意 x 有
F (− x ) = f ( − x ) + f ( −(− x )) = f ( − x ) + f ( x ) = F ( x )
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2 导数与微分 6 常微分方程
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要点 练习
第二章 导数与微分
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⑴理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几 何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关 系； ⑵熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的 四则运算法则； ⑶熟练掌握复合函数的求导法则； ⑷掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法； ⑸知道一阶微分形式的不变性； ⑹了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
取公共部分， 得函数定义域为 ( −1, 0) U (0 , 4] ⑵对
2 2 − 3x 2 要求 2 − 3 x ≥ 0
即 x≤
6 3
得函数定义域为 [−
6 6 , ] 3 3
⑶对 arcsin( x + 1) 要求 x + 1 ≤ 1 得函数定义域为 [−2 , 0]
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用 数 学
对数函数：
Ⅲ Ⅲ
y = log a x
( a > 0 , a ≠ 1)
三角函数：
sin x , cos x , tan x , cot x
反三角函数： arcsin x , arccos x , arctan x ⒋了解复合函数、初等函数的概念， 会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数 y = e
x ∈ ( −1, 1)
⑶
y = x
解： 对任意
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x
有
f (− x) = 3(− x) 3 − 5 sin( − x ) = −(3 x 3 − 5 sin x) = − f ( x)
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2 导数与微分 6 常微分方程
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要点 练习
第三章 导数的应用
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⑴了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日 定理证明简单的不等式； ∞ ⑵掌握洛比塔法则，能用它求“ 0 ”、“ ”型不定式 ∞ 0 极限； ⑶掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包 括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知 道极值点与驻点的区别与联系； ⑷掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会 求曲线的拐点； ⑸会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线； ⑹掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法， 以几何问题为主。
即 F (x ) 是偶函数， 故图形关于 y 轴对称．
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1.2 极限 45 积分
2 导数与微分 6 常微分方程
填空 选择
要点 练习
二、单项选择题
⒈下列各对函数中，（
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）是相同的． B.
A.
f ( x) = ( x ) 2 , g( x) = x
3Hale Waihona Puke x轴C.y 轴
D.坐标原点
解： 设 F ( x ) = f ( x ) − f ( − x )
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则对任意
x
有
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2 导数与微分 6 常微分方程
F (− x) = f (− x) − f (−(− x)) = f (− x) − f ( x) = −( f ( x) − f (− x)) = −F ( x)
arctan 2 x
可以分解 y = e
u
u = arctan v
v = w
1 2
w=2x
分解后的函数前三个都是基本初等函数， 而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积． ⒌会列简单的应用问题的函数关系式．
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即 F (x ) 是奇函数， 故图形关于原点对称．选项D正确． 3．设函数 f (x) 的定义域是全体实数， 则函数 f ( x ) ⋅ f ( − x ) 是（ ）． A.单调减函数； C.偶函数； B.有界函数； D.周期函数
解： A, B, D三个选项都不一定满足。 设 F ( x) = f ( x) ⋅ f ( − x) 则对任意
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1.2 极限 45 积分
2 导数与微分 6 常微分方程
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要点 练习
第一章 (1)
函数
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⑴理解函数概念，掌握函数的两要素 ;定义域和对应关系，会判断两 函数是否相同； ⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值； ⑶了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性），知 道它们的几何特点； ⑷熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和 图形； ⑸了解复合函数概念，会对复合函数进行分解； ⑹了解初等函数的概念； ⑺了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法； ⑻会列简单应用问题的函数关系式。
1.1 函数 3 导数应用
1.2 极限 45 积分
2 导数与微分 6 常微分方程
填空 选择
要点 练习
第六章 常微分方程
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• • • • •
⑴了解微分方程，阶，解（特解、通解），线 性，初值问题等概念； ⑵掌握变量可分离微分方程的解法； ⑶熟练掌握一阶线性方程的解法； ⑷了解特征方程和特征根概念，熟练掌握求二 阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法； ⑸掌握二阶线性常系数非齐次方程（特殊自由 项）的特解待定系数法，能求此类方程的通解
三、计算题
⒈求下列函数的定义域：
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⑴
y=
4− x ln( x + 1)
2 ⑵ y = 2 − 3x
⑶
y = arcsin( x + 1)
解：
⑴ 对 4 − x 要求 4 − x ≥ 0 对 ln( x + 1)
即 x≤4
要求 x + 1 > 0 且 ln( x + 1) ≠ 0 即 x > −1 且 x ≠ 0
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第四章 不定积分
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⑴理解原函数与不定积分概念，了解不定积分 的性质以及积分与导数（微分）的关系； ⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法； ⑶熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； ⑷掌握第二换元积分法。
1 1 2 1 − 6x 2 由此得 f ( ) = ( ) − 6 = x x x2
f (2) = 2 2 − 6 = −2
方法二： f ( x + 1) = x 2 + 2 x − 5 = x 2 + 2 x + 1 − 1 − 5 = ( x + 1) 2 − 6 将