2010年数学建模D题的答案

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

D题对学生宿舍设计方案的评价

学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。

经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。

舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。

安全性：人员疏散和防盗等。

附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。

对学生宿舍设计方案的评价

摘要

本文主要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合量化和比较。在评价过程中，主要运用了模糊决策和层次分析法，并利用MATLAB 软件进行求解。

由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数据进行预处理，从中提取与评价相关的因素，然后利用层次分析法确定各准则对目标的权重，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。具体结果为：

（1）经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面的的组合权向量为： )1668.0,2265.0,5627.0,0440.0(，根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出：方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后为方案2。

（2）舒适性方面：得到组合权向量为：)1999.0,1576.0,5301.0,1124.0(，根据指标越大，优先选择程度越大的准则得出：方案2是舒适度最高的，其次为方案4、方案3，最后为方案1。

（3）安全性方面：得到组合权向量为：)2223.0,2684.0,4158.0,0935.0(，利用和（2）同样的准则，得出了方案2是安全性最强的，其次为方案3、方案4，最后为方案1。

（4）综合分析方面：得到组合权向量为：)1813.0,2111.0,5398.0,0678.0(，由此得出方案2是综合指标最高的，其次为方案3、方案4、最后为方案1。

最后，对以上建立的模型进行合理化的评价和深入的探讨，分析了模型的优缺点，并提出了进一步的改进方向。

关键词：评价模型 层次分析法 权重 MATLAB

1.问题重述

现如今的学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。

请用数学建模的方法，从经济性、舒适性、安全性方面对附件中给出的四种学生宿舍的设计方案作出综合量化和比较。

2.问题分析

本问题要解决的问题是对四种典型的学生宿舍设计方案进行评价与比较。

题目中的数据比较模糊，具有隐藏性，而且是用图表的方式展示给我们的，因而解决这一问题的关键点有两个：（1）如何把附件中四个平面设计图中所隐藏的数据量化；（2）在建立评价比较模型时如何确定各个因素之间的权重与影响。

因而我们采用模糊决策和层次分析法相结合的方法构架评价模型，来评判各个宿舍设计方案的优劣。

3.模型假设

1) 我们以附件中的四个图片作为研究的对象；

2) Design1、Design2、Design3和Design4分别对应层次结构中的方案层P；

3) 假设收集到的数据与理论根据是准确合理的；

4) 不考虑宿舍未住满、设施损毁等情形；

5) 单位面积内的建设成本我们假设为定值。

4.符号说明

5.模型的建立与求解

5.1经济性方面

在这个层面上，把经济性设为目标层，把建设成本、运行成本、收费标准设为准则层，四种方案设为决策层，层次结构图如图2所示。

在这里我们的评价准则为：指标越小，优先选择程度越大，也就是说，所需的经费越少。

目标层1A 准则层1B 决策层1P 图2

得到其相对应的成对比较矩阵如下面所示： 第二层对第一层的成对比较矩阵为：

1B =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1464/1126/12/11 求得其最大特征根为0092.3max =λ，经一致性检验： =--=1

)(n n A CI λ00458.0

查找相应的平均随机一致性指标（见上表3）RI ，计算一致性比率为：

=CR 1.00079.058

.000458.0<==RI CI CR 说明矩阵1B 的不一致程度是可以接受的，矩阵1B 的权向量为：

T W )7010.0,1929.0,1061.0(1=

第三层对第二层的成对比较矩阵为：

1C =⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛15/15/155

12/17521

95/17/19/11 2C =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛13/15/153

13/1753195/17/19/11 3C =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛114/15113/1543195/15/19/11 通过MATLAB 编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量1W 、最大特征根λ

与一致性指标CR ，具体求解结果见下表4：

上述一致性比率CR 均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得出，单在经济性方面上四种设计方案的组合权向量为：

T W )1668.0,2265.0,5627.0,0440.0(1=

作出综合评价结论为：方案1在经济性上的权重占0.0440，方案2占0.5627，方案3占0.2265，方案4占0.1668。

因而方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后是方案2。 5.2 舒适性方面

同上面的方法，建立了舒适性方面如图3所示的层次结构图。

在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，舒适性就越好。

从而得到其相对应的成对比较矩阵如下所示： 第二层对第一层的成对比较矩阵为：

2B =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛114/15/1113/13/14312/15321

第三层对第二层的成对比较矩阵为：

4C =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛12/53/12/95/214/1534179/25/17/11 目标层2A 准则层2B 决策层2P 图3