自考线性代数(经管类)PPT第16讲- 实对称矩阵的相似标准形
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实对称矩阵的标准形
•又由A实对称，有
5
•考察等式， •由于 是非零复向量，必有
•故
6
•引理2 设A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间 上
•定义一个线性变换 如下：
•则对任意
有
•或
7
•证：取 的一组标准正交基，
•则 在基
下的矩阵为A，即
•任取
8
•即
•于是
•又
是标准正交基，
9
•又注意到在 中 •即有
•二、对称变换
•1．定义
8
•事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T
•取正交矩阵 •则 是正交矩阵且 •同时有
9
•② 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与
•实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的． •③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可
•用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
•设
为实对称矩阵A的所有特征值
•2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形
•1）正交线性替换
•如果线性替换
X=CY
•的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.
•从而
就是 的一组标准正交基，
•又都是 的特征向量．•即结论成立．
•3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
•设 •(i) 求出A的所有不同的特征值：
•其重数
必满足
;
•(ii) 对每个 ，解齐次线性方程组
9
•求出它的一个基础解系：
•它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．
•把它们按
正交化过程化成 的一组标准
•对 的维数n用归纳法． •n=1时，结论是显然的． •假设n－1时结论成立，对
设其上的对称变换
实对称矩阵的标准形PPT课件
第22页/共47页
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基． i
V i
把它们按
Sch正m 交i化d过t程化成 的一组标准 V i
正交基
i1, i2, , in.
(3) 因为 1,互2,不...相同r ，
所以 Vi Vj (ij)
r
且
di mVi n
i1
第23页/共47页
1 1 ,1 2 ,,1 n 1 , ,r 1 ,r 2 ,,r n r 就是V的一组
解：先求A的特征值．
1 1 1 0 1 1 1 2
|
EA|
1 1
1
1
1 1
0 0
1
0
0
1
1 1
1 1 1 1 1 1
第25页/共47页
1 1 12
1 1 1
1 0 1 (1)3 1 0 1
0 1 1
01 1
(1)3(3)
A的特征值为
（三1重）1,
2 3
其次求属于
1|11|1(
1, 2
1,0,0) 2
2|12|2(1 6,1 6,
2,0) 6
3| 1 3|3(1 1 2,
1, 1 2
1, 1 2
3) 1 2
这是特征值
(三1重)的1三个单位正交特征向量，
也即是特征子空间 的一组标V 准 1 正交基．
第29页/共47页
再求属于
的2 特征3向量，即解方程组
0 (0 ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) (0 ) (0 ) 0
第4页/共47页
由于 是非零复向量，必有
x 1 x 1 x 2 x 2 x n x n 0
实对称矩阵的标准型
0 1
则 在基 1, 2 ,..., n 下的矩阵为A，即
(1, 2 ,..., n ) (1, 2,..., n ) A
任取
x1
x2
,
xn
§9.6 对称矩阵的标准形
y1
y2
Rn,
yn
即 x11 x2 2 ... xn n (1, 2 ,..., n ) X , y11 y2 2 ... yn n (1, 2 ,..., n )Y ,
则 ( ) A , ( ) A ,
由 ( ), , ( )
§9.6 对称矩阵的标准形
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正交．
W W Rn, dimW n 1
又对 , W , 有
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
所以
是
W
W
上的对称变换．
由归纳假设知 W 有n－1 个特征向量 2 ,3 , ,n
于是
( ) (1, 2,..., n ) X (1, 2,..., n ) AX ,
( ) (1, 2 ,..., n )Y (1, 2,..., n ) AY , 又 1, 2 ,..., n是标准正交基，
( ), ( AX )Y ( X A)Y X AY
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
或
矩阵的相似标准形139页PPT
Fra bibliotek谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
矩阵的相似标准形
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
矩阵的相似标准形
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
16实对称矩阵的相似对角化-线性代数重点
实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,),,,(,)(21T n n n ij a a a a A ==⨯αTA A A A ==为实对称阵，故由于性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
,的特征值阶实对称矩阵是设A n λ（1）两端取转置，得：T T T A αλα =α两端同时右乘ααλααλT T =⇒ λλααα=∴≠=02T 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
T n a a a ),,,(21 =α，即是对应的特征向量αλα =A ,两边取共轭，得：)1(αλα =A T T A αλα =⇒ααλααT T A =⇒0)(=-⇒ααλλT的特征向量。
的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），，（），，（个特征值，的是三阶实对称方阵，，例：设11122,111311121-==-A A A TT αα,13213T x x x A ），，（的特征向量为的属于特征值设=-α正交，与213,ααα ⎩⎨⎧=++=++⇒0220321321x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→100111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100011⎩⎨⎧=-=⇒0312x x x T ），，（0113-=⇒α0,,2313==∴）（）（αααα性质3：实对称矩阵A 的k 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k 个。
由此推出：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A 一定与对角矩阵相似。
为对角阵。
，使求正交阵为对角阵。
，使求可逆阵，：设例AQ Q Q AP P P A 11)2()1(2424222211--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=λλλλ-------=-242422221E A 2)2)(7(-+-=λλ定理2：实对称矩阵A 一定与对角矩阵正交相似。
高等代数实对称矩阵的标准形
. .. . . ..
实对称矩阵的性质
因为
Aξ = λ0ξ ⇒ Aξ = λ0ξ = λ0ξ¯ ⇒ (Aξ)′ = λ0ξ¯′ ⇒ λ0ξ¯′ξ¯ = (Aξ)′ξ = (A¯ ξ¯)′ξ = ξ¯′A¯ ′ξ = ξ¯′Aξ = ξ¯′λ0ξ = λ0ξ¯′ξ ⇒ λ0 = λ0, λ0 ∈ R
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实对称矩阵的性质
命题 设 A = (aij), B = (bij), aij, bij ∈ C，令 A¯ = (a¯ij), B¯ = (b¯ij)，则
1 A = B ⇔ A¯ = B¯ ； 2 A + B = A¯ + B¯ ； 3 AB = A¯ B¯ ； 4 kA = ¯kA¯ ； 5 (A¯ )′ = A¯′.
. .. . . ..
实对称矩阵的对角化
数域 P 任一个对称矩阵合同于一个对角矩阵，即存在 C 可逆，
使得
C′AC = d1
d2
...
.
dn
称为 A 的合同标准形，其中 di 不必是 A 的特征值. 对实对称矩阵 A 也有类似结论，对于实对称矩阵 A，问题是 C
是否更好一点？这一节的主要结果是：
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实对称矩阵的性质
命题 设 A = (aij), B = (bij), aij, bij ∈ C，令 A¯ = (a¯ij), B¯ = (b¯ij)，则
1 A = B ⇔ A¯ = B¯ ； 2 A + B = A¯ + B¯ ； 3 AB = A¯ B¯ ； 4 kA = ¯kA¯ ； 5 (A¯ )′ = A¯′.
实对称矩阵的相似矩阵
4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2x1
x2
x3
0 0
,
得基础解系
x2 x3 0
0
1
1 1
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A022
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0 | A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵.
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征
值的特征向量, 即 Ax =x,
用 表示的共轭复数, 用 x表示x的共轭复向量.
AxAx A xxx.
0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
22xx11
2x2 3x2
2x3
0 0,
2x2 4x3 0
得基础解系 1
2 2 1
.
对2=1,由(A–E)x=0, 得
实对称阵的相似矩阵共18页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
实对称阵的相似矩阵
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
实对称阵的相似矩阵
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
实对称矩阵的相似矩阵
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
即
Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量,
则 Ax x , A x x, 即A x x
于是有 xT Ax xT Ax xT x xT x,
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
1
0
2 0,
3 1.
2与
恰好正交
3
,
0
1
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
5.将求出的n个正交规范的特征向量构成矩阵P， 则P为正交矩阵使得P1AP 。
其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 P 中列向量的排列顺序相对应.
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
定理5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P
使 P 1 AP ，其中 是以 A 的 n 个特征值为对
角元素的对角矩阵。
三. 实对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
上述由线性无关向量组a1 ,,ar构造出正交 向量组b1 ,,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例3 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向
量正交化；(4)最后单位化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
1
2
n
相似,则1, 2 ,, n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
实对称矩阵相似矩阵PPT学习教案
A
它们的重数依次为
其中
r1 r2
A
1,2 , ,s
r1, r2 , , rs rs n
由定理3，对应于特征值
恰有 个线性无关的特征向量，
又由定理2及
知， 有 个线性无关的特征向量，
i (i 1, 2, , s),
ri
r1 r2
从而 与对角矩阵相似。
rs n A
An
第6页/共26页
定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵
0
0
3 1 2.
1 2
第14页/共26页
于是得正交阵
0 1 0
P
1
,2
,3
1
2
0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P
1
AP
0
4
0.
0 0 4
第15页/共26页
利用对角化可求方阵的幂
例2 设 为3阶实对称矩阵, 的特征值为 求
A
1 2 1,3 1.
A A2008 .
第1页/共26页
于是有
xT Ax xT Ax xT x xT x,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0 0,
i 1
P 1
AP
Er 0
0 0
,
其中Er是r阶单位阵.
从而
det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
16 对称矩阵的相似矩阵
1 η3 = 2 2 − 2 2 1 1 1 2 , 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 3 − 1 − 2 2 则 4 0 0 −1 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
3 3 . 3
则
（二）、已知矩阵的特 ）、已知矩阵的特 征性质，反过来求矩阵A. 征性质，
例2 设实对称矩阵 A的特征值为 λ1 = 4, λ 2 , 3 = −2,
且对应于 λ1的特征向量为 ξ1 = [1, 2, − 1]T , 求A.
解法一由实对称矩阵的性质知 ，对应于 λ 2， = − 2 3
必有两个线性无关的特 征向量，且它们都与 ξ 1 征向量，
解法三
是实对称矩阵知， 由A是实对称矩阵知，可设 正交矩阵 P = [ε 1 , ε 2 , ε 3 ],
使P −1 AP = P T AP = Λ = diag[4, − 2, − 2], 其中 1 6 ξ1 , ε1 = = 2 6 ξ1 − 1 6 则 P T ( A + 2 I ) P = diag[6, 0, 0], 于是
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x + x = 0 2 3
2 解之得基础解系 ξ 2 = 1 . − 2
对 λ3 = −2,由( A + 2 E ) x = 0, 得
1 − 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x − 2x = 0 2 3
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
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T
T
令P 1 2
1 2 2 3 2 1 0 2 0 1
7 1 P AP 2 2
7
1 2 2 T 1 （ ，， ）. 将1 (1 ， 2， 2) 单位化，得： 3 3 3
1 , 1 , , n为A的特征值； n
P 1 AP
反之，若 A与对角阵相似且已知 A的特征值及特征向 1 A P P 量，也就是已知 P与，也可以求出矩阵 A.
11
例1：设三阶方阵A满足Ai ii , i 1,2,3.
P 1
2 2 1 1 2 2 1 A PP 1 9 2 1 2
0 2 7 1 5 2 0 3 2 2 6 12
例2：设1， 1， 1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
T T 1 （ 1， 1， 1） , 2 （2， 2， 1） 是A的属于特征值 1的
1 (1,2,2)T , 2 (2,2,1)T , 3 (2,1,2)T , 求A.
解: Ai ii , i 1,2,3.
1, 2 , 3是A的属于特征值 1,2,3的特征向量。 A与对角阵相似。
1 2 3
1 2 2 P (1 , 2 , 3 ) 2 2 1 2 1 2
2
例：设1， 1， 1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
T 1 （ 1， 1， 0） 是A的属于特征值 1的特
解:
与1正交， （ , 1） 0
x y 0
三元方程
T
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。 T 设A的属于特征值 1 的特征向量为 （x, y, z） ,
对2 3 2, (解( A 2E ) X O)
1 2 2 1 2 2 A 2E 2 4 4 0 0 0 2 0 4 4 0 0
x1 2 x2 2 x3
基础解系: 2 (2,1,0) , 3 (2,0,1)
征向量 i1 , i 2 , , iri ； (i 1,2, , m ),由性质知 ri n.
(iii) 用施密特正交化方法将 每一个重特征值 i 所对应的 ri 个线性无关的特征向量 i1 , i 2 , , iri ； (i 1,2, , m) 先正交化再单位化为 i1 ,i 2 , ,iri ； (i 1,2, , m)， 它们仍为属于 i的特征向量。 (iv ) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个
1 2 2 例1：设A 2 2 4 ， (1)求可逆阵P，使P 1 AP为对角阵。 2 4 2 (2)求正交阵Q，使Q 1 AQ为对角阵。
1 A E 2 2 2 2 4 2 4 2
( 7)( 2)2
i 1 m
n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q AQ Q AQ 为对角阵。
1 T
9
结1:
定理5.4.4 : 两个有相同特征值的同 阶对称矩阵 一定是正交相似矩阵 .
证略！
10
结2:
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量， 从而可以 判断A能否与对角阵相似，并 在相似时求出对角阵 及相 似变换矩阵 P. P (P 1, , P n ), P 1 , , P n为A的特征向量。
T
T
T
令Q 1 2 3 ,
7 1 Q AQ 2 2
8
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： (i ) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 ,, m ; (ii ) 对每一个重特征值 i，求出对应的ri 个线性无关的特
取y 1, z 0, 2 （ 1， 1， 0） T 取y 0, z 1, 3 （0， 0， 1 ）
k2 2 k33即为A的属于特征值 1 的全部特征向量 .
(k2 , k3不全为零 .)
3
三、实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。
T
T
2 , 3为属于特征值 2的线性无关的特征向量 ；
6
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
1 7的特征向量为 1 (1， 2， 2)T .
2的特征向量: 2 (2,1,0) , 3 (2,0,1)
特征向量，求A.
x1 x2 x3 0 （ 3 ,1） （ 3 , 2） 0 2 x1 2 x2 x3 0 T 3 （ 1， 1， 0） 1
1 2 1 P (1 , 2 , 3 ) 1 2 1 1 1 0
13
2 4 5 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 x2 x3
特征向量为 1 (1， 2， 2) .
T
5
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
T
将 2 ( 2,1,0) , 3 (2,0,1) 正交化，得：
（ 3， 2） 1 2 2 ( 2,1,0) ， 3 3 2 (2,4,5)T （ 2， 2） 5 再单位化，得： 2 4 5 T 2 1 T , , ) 2 ( , ,0) ， 3 ( 3 5 3 5 3 5 5 5
1 7, 2 3 2.
4
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
1 7,
(解( A 7 E ) X O)
4 5 8 2 2 2 A 7E 2 5 4 0 9 9 2 0 18 18 4 5
5.4 实对称矩阵的相似
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向
量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
推论：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
1 1 1 2 1 1 1 1 4 2 0
T 3 （x1，x2，x3） , 解: 设A的属于特征值 1的特征向量为
1 1
P 1
A PP 1
0 1 0 1 0 0 0 0 1
T
令P 1 2
1 2 2 3 2 1 0 2 0 1
7 1 P AP 2 2
7
1 2 2 T 1 （ ，， ）. 将1 (1 ， 2， 2) 单位化，得： 3 3 3
1 , 1 , , n为A的特征值； n
P 1 AP
反之，若 A与对角阵相似且已知 A的特征值及特征向 1 A P P 量，也就是已知 P与，也可以求出矩阵 A.
11
例1：设三阶方阵A满足Ai ii , i 1,2,3.
P 1
2 2 1 1 2 2 1 A PP 1 9 2 1 2
0 2 7 1 5 2 0 3 2 2 6 12
例2：设1， 1， 1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
T T 1 （ 1， 1， 1） , 2 （2， 2， 1） 是A的属于特征值 1的
1 (1,2,2)T , 2 (2,2,1)T , 3 (2,1,2)T , 求A.
解: Ai ii , i 1,2,3.
1, 2 , 3是A的属于特征值 1,2,3的特征向量。 A与对角阵相似。
1 2 3
1 2 2 P (1 , 2 , 3 ) 2 2 1 2 1 2
2
例：设1， 1， 1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
T 1 （ 1， 1， 0） 是A的属于特征值 1的特
解:
与1正交， （ , 1） 0
x y 0
三元方程
T
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。 T 设A的属于特征值 1 的特征向量为 （x, y, z） ,
对2 3 2, (解( A 2E ) X O)
1 2 2 1 2 2 A 2E 2 4 4 0 0 0 2 0 4 4 0 0
x1 2 x2 2 x3
基础解系: 2 (2,1,0) , 3 (2,0,1)
征向量 i1 , i 2 , , iri ； (i 1,2, , m ),由性质知 ri n.
(iii) 用施密特正交化方法将 每一个重特征值 i 所对应的 ri 个线性无关的特征向量 i1 , i 2 , , iri ； (i 1,2, , m) 先正交化再单位化为 i1 ,i 2 , ,iri ； (i 1,2, , m)， 它们仍为属于 i的特征向量。 (iv ) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个
1 2 2 例1：设A 2 2 4 ， (1)求可逆阵P，使P 1 AP为对角阵。 2 4 2 (2)求正交阵Q，使Q 1 AQ为对角阵。
1 A E 2 2 2 2 4 2 4 2
( 7)( 2)2
i 1 m
n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q AQ Q AQ 为对角阵。
1 T
9
结1:
定理5.4.4 : 两个有相同特征值的同 阶对称矩阵 一定是正交相似矩阵 .
证略！
10
结2:
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量， 从而可以 判断A能否与对角阵相似，并 在相似时求出对角阵 及相 似变换矩阵 P. P (P 1, , P n ), P 1 , , P n为A的特征向量。
T
T
T
令Q 1 2 3 ,
7 1 Q AQ 2 2
8
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： (i ) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 ,, m ; (ii ) 对每一个重特征值 i，求出对应的ri 个线性无关的特
取y 1, z 0, 2 （ 1， 1， 0） T 取y 0, z 1, 3 （0， 0， 1 ）
k2 2 k33即为A的属于特征值 1 的全部特征向量 .
(k2 , k3不全为零 .)
3
三、实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。
T
T
2 , 3为属于特征值 2的线性无关的特征向量 ；
6
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
1 7的特征向量为 1 (1， 2， 2)T .
2的特征向量: 2 (2,1,0) , 3 (2,0,1)
特征向量，求A.
x1 x2 x3 0 （ 3 ,1） （ 3 , 2） 0 2 x1 2 x2 x3 0 T 3 （ 1， 1， 0） 1
1 2 1 P (1 , 2 , 3 ) 1 2 1 1 1 0
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2 4 5 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 x2 x3
特征向量为 1 (1， 2， 2) .
T
5
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
T
将 2 ( 2,1,0) , 3 (2,0,1) 正交化，得：
（ 3， 2） 1 2 2 ( 2,1,0) ， 3 3 2 (2,4,5)T （ 2， 2） 5 再单位化，得： 2 4 5 T 2 1 T , , ) 2 ( , ,0) ， 3 ( 3 5 3 5 3 5 5 5
1 7, 2 3 2.
4
1 2 2 A 2 2 4 特征值: 7, 2, 1 2 3 2 4 2
1 7,
(解( A 7 E ) X O)
4 5 8 2 2 2 A 7E 2 5 4 0 9 9 2 0 18 18 4 5
5.4 实对称矩阵的相似
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向
量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
推论：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
1 1 1 2 1 1 1 1 4 2 0
T 3 （x1，x2，x3） , 解: 设A的属于特征值 1的特征向量为
1 1
P 1
A PP 1
0 1 0 1 0 0 0 0 1