湖北省武汉市洪山高中2019-2020学年高一下学期线上期中考试数学试题
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知（x，3），（3，1），且∥，则x＝（）A．9B．﹣9C．1D．﹣12．若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A．2B．C．D．43．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33B．72C．84D．1895．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．6．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B 的大小为（）A．B．C．D．7．下列命题正确的是（）A．若，则B．，则0C．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量D．若与是单位向量，则18．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，x y，且3，则（）A．x，y B．x，y C．x，y D．x，y9．已知△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里12．已知函数，则（）A．2018B．2019C．4036D．4038二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为三角形．14．若向量、满足，，且与的夹角为，则．15．数列{a n}的前n项的和S n＝3n2+n+1，则此数列的通项公式．16．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为．三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．18．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．19．已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．20．已知数列{a n}满足a1＝1，．（1）求证数列为等差数列；（2）设b n＝a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b ﹣a）sin B＝0．（1）求C；（2）若c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，求△ABC的面积．22．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n＝a n a n，S n＝b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1．已知（x，3），（3，1），且∥，则x＝（）A．9B．﹣9C．1D．﹣1【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵向量∥，∴9﹣x＝0，解得x＝9．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．2．若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A．2B．C．D．4【分析】本题根据向量在方向上的投影公式为，然后代入进行向量的计算可得正确选项．解：由题意，可知向量在方向上的投影为2．故选：C．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．1【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．解：∵a＝3，b＝5，sin A，∴由正弦定理得：sin B．故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33B．72C．84D．189【分析】根据等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21故3+3q+3q2＝21，∴q＝2，∴a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝21×22＝84故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用．5．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．解：△ABC中，∵∠A＝90°，，，∴2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．6．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B 的大小为（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2ac，由余弦定理可得cos B，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sin B，sin A，sin C，∵，可得：，整理可得：c2+a2﹣b2ac，∴由余弦定理可得：cos B，∵B∈（0，π），∴B．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．下列命题正确的是（）A．若，则B．，则0C．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量D．若与是单位向量，则1【分析】当时，可得A、C不正确，把平方可得0，得到B正确，根据1×1cos，可得D不正确．解：当时，成立，而的大小和方向都是不确定的，故A不正确．由可得，∴0，故B正确．当时，与是共线向量，与是共线向量，但与的大小和方向都是不确定的，故C不正确．若与是单位向量，则1×1cos cos，故D不正确．故选：B．【点评】本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．8．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，x y，且3，则（）A．x，y B．x，y C．x，y D．x，y【分析】由3，利用向量三角形法则可得，化为，又x y，利用平面向量基本定理即可得出．解：∵3，∴，化为，又x y，∴，y．故选：D．【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．解：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴5＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝2（bc）2﹣3bc，解得bc，或bc＝﹣1（舍去），∴S△ABC bc sin A，故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5（尺），S30＝9×40+30＝390（尺），设公差为d（尺），则30×5390，解得d．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【分析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，由此能求出这艘船的速度．解：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是10（海里/小时）．故选：C．【点评】本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12．已知函数，则（）A．2018B．2019C．4036D．4038【分析】根据题意，求出f（1﹣x）的解析式，进而可得f（1﹣x）+f（x）＝2，又由f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（），分析可得答案．解：根据题意，函数，则f（1﹣x）＝（1﹣x）+3sin（x）x﹣3sin（x），则f（1﹣x）+f（x）＝2，f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝1009×2＝2018．故选：A．【点评】本题考查函数值的计算，注意分析f（x）+f（1﹣x）的值，属于基础题．一、选择题13．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形．【分析】利用余弦定理即可得出．解：∵c2＜a2+b2，∴cos C0，∴C为锐角．∵a＜b＜c，∴C为最大角．∴△ABC为锐角三角形．故答案为：锐角．【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．14．若向量、满足，，且与的夹角为，则13﹣6．【分析】根据条件可求出，然后进行数量积的运算即可求出的值．解：∵，，且与的夹角为，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．数列{a n}的前n项的和S n＝3n2+n+1，则此数列的通项公式．【分析】首先根据S n＝3n2+n+1求出a1的值，然后根据a n＝S n﹣S n﹣1求出当n≥时数列的递推关系式，最后计算a1是否满足该关系式．解：当n＝1时，a1＝5，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n2+n+1﹣3（n﹣1）2﹣n+1﹣1＝6n﹣2，故数列的通项公式为，故答案为．【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用a n＝S n﹣S n﹣1求出数列的通项公式，此题难度一般．16．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为3．【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．解：由题意，根据向量的减法有：，，∵∴（）+（）＝﹣m；∴（m﹣2），∵，∴m﹣2＝1，∴m＝3．故答案为：3【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．【分析】设，则cos cos可得，解方程可求解：设，则cos cos∴∴或∴，【点评】本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．【分析】（Ⅰ）根据2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C，可得2sin B cos A＝sin（A+C），从而可得2sin B cos A＝sin B，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b＝2，c＝1，A，可求a的值，进而可求B，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C∴2sin B cos A＝sin（A+C）∵A+C＝π﹣B∴sin（A+C）＝sin B＞0∴2sin B cos A＝sin B∴cos A∵A∈（0，π）∴A；（Ⅱ）∵b＝2，c＝1，A∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝3∴b2＝a2+c2∴B∵D为BC的中点，∴AD．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．19．已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式可得S n，再利用一元二次不等式的解法即可得出．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）当a n＝2时，S n＝2n，不存在正整数n，使得S n＞60n+800．当a n＝4n﹣2时，S n2n2，假设存在正整数n，使得S n＞60n+800，即2n2＞60n+800，化为n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，∴n的最小值为41．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足a1＝1，．（1）求证数列为等差数列；（2）设b n＝a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}满足a1＝1，．整理得a n a n+1＝2a n﹣2a n+1，故（常数），所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以，故所以，则：2．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b ﹣a）sin B＝0．（1）求C；（2）若c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C 的值．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b﹣a）sin B＝0．利用正弦定理得：（a﹣c）（a+c）+（b﹣a）b＝0，整理得：a2﹣c2+b2﹣ab＝0，即，由于0＜C＜π，所以：C．（2）由于2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，整理得2sin2A+sin（2π﹣2A﹣C）＝sin C，化简得：，所以，由于，所以．故或，解得或，①当A时，由于C，所以B，且c＝2，则利用勾股定理设a＝x，b＝2x，故：（2x）2﹣x2＝4，解得x，所以．②当A时，C，所以B．同理解得b．所以．综上所述：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n＝a n a n，S n＝b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【分析】（Ⅰ）根据数列是一个各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，注意数列是一个正项数列，得到a n+1﹣2a n＝0，得到数列是一个等比数列，写出通项．（Ⅱ）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n＝0，即a n+1＝2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4＝2a3+4，∴2a1+8a1＝8a1+4，∴a1＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n得，b n＝﹣n•2n，∵S n＝b1+b2++b n，∴S n＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n＝2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．【点评】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．。
湖北省武汉市洪山高中2019-2020学年第二学期高一年级下学期数学线上期中考试试卷答案(评分标准)
=0 ,..............10 分
即 2k 1 6k 5 0 ,则 8k+29 0 ,k 29 .............12 分
8
19．解：因为 ADC ADB CDB 60 ， ACD 60 ，
所以 DAC 60 ，所以 AC CD 3 km ...............4 分 2
所以不等式 f x bx2 2ax 5 可化为 x2 2x2 6x 5 ，
即 x2 6x 5 0 ，解得 x 1或x 5 ,
所以原不等式的解集为 x x 1或x 5 ...............10 分
18．
解(1)
AB=
1,
5
,
CD=
1,
y
1
,..............4
bc
b2
c2
a2 ． a2
(b
c)2
3bc
9
3bc
9 3(b
2
c )2
9 4
，..............10
分
a 3 ．所以 a 的最小值为 3 ..............11 分
2
2
当且仅当 b c 3 时取等号．..............12 分 2
21．解：(1)因为购买电脑时，货主欠商店 的货款，即 6000× ＝4000(元)，
，
，∴
. ..............7 分
．..............8 分
∴
……③，
∴
……④，.............9 分
③ ④得：
， ..............10 分
设
……⑤，
∴
……⑥，..............11 分
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题1-附答案(已审阅)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附答案(已纠错)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附答案(已审阅)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
数学试卷
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
【解析】
【分析】
由 ，都有 ，可得 ，再根据等差数列的性质即可判断.
【详解】 等差数列 的公差 ， ，都有 ，
，
.
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
12.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由
又 所以 .
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得 ，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19.设 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值及此时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最大值为
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 的最大值以及取最大值时 的值.
20.已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】
试题分析：
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．
湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题+Word版含答案
数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。
【精准解析】湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．) 1.数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】16256()6()6(39)636222a a a a S +⋅+⋅+⨯====.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.2.若向量a →，b →满足()5a a b →→→⋅-=，||2a →=，1b →=，则向量a →，b →的夹角为（ ） A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5a a b →→→⋅-=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】222()55cos 5221cos 5a a b a a b a a b a b a b →→→→→→→→→→→→→⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅〈⋅〉=⇒-⋅⋅〈⋅〉=，即12cos ,[0,],23a b a b a b ππ→→→→→→〈⋅〉=-〈⋅〉∈∴〈⋅〉=-.故选：C【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A.6π B.3πC.6π或56π D.3π或23π 【答案】D 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ． 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意． 4.在ABC ∆中，12BD DC =，则AD =（ ） A.1344AB AC B. 2133AB AC +C.1233AB AC + D.2133AB AC - 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】11121()().33333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=+-+=+故选：B【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共线向量的性质，属于基础题.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意可知：每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为{}{}(1,2,3,4,5,6)n a n ∈，所以第一天走的路程为1a ，设6天共走的路程为6S ，则有61611[1()]2378192112a S a -==⇒=-，因此第4天走的路程为：34111()1922428a a =⋅=⨯=.故选：B【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式，考查了数学运算能力和数学阅读能力.6.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以由23159********()8882a a a a a a a a a a ⋅⋅=-⇒⋅⋅=-⇒⋅=-⇒=-⇒=-，又因为数列{}n b 是等差数列，所以由2582855555332333b b b b b b b b b b πππππ++=⇒++=⇒+=⇒=⇒=，46523752222sinsin sin sin()sin sin()sin 11143333b b b a a a ππππππ+∴===-=-=--=-=---【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.7.钝角三角形ABC 的面积是2，2AB =，3BC =，则AC =（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可.【详解】因为钝角三角形ABC 的面积是，所以有1sin sin 2AB BC B B ⋅⋅=⇒=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=或23B π=.当3B π=时，AC ===2AB =，3BC =，所以最长边为BC ，于是有222cos 02AB AC BC A AB AC +-===>⋅，因此三角形ABC 的最大内角A 是锐角，这与已知三角形ABC 不符合，故舍去；当23B π=时，AC ===. 故选：D【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的性质，考查了数学运算能力.8.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2cos aB c=，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由2cos a B c =及余弦定理得22222222a c b a c b aac ac c+-+-⨯==，整理得22c b =， ∴b c =，∴ABC ∆为等腰三角形． 故选A ．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择． 9.如图，已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A. 为定值10B. 为定值6C. 最大值为18D. 与P 的位置有关【答案】A 【解析】 【分析】设(01)BP BC λλ=≤≤，根据平面向量数量积运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设(01)BP BC λλ=≤≤.()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+，因为()()()()22BC AB AC BA AC AB AC AC ABλλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅=. 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.在ABC ∆中，三边长可以组成公差为1形的面积为（ ）A.1516B.16C.154D.4【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设ABC ∆最小边的边长为a ，由题意可知，另个二个边的边长分别为：1,2a a ++，显然三边不相等，且边长为2a +的边为最长边，它所对的角为最大角，设为α. 因为最大角sin (0,),ααπ=∈∴3πα=或23πα=. 当3πα=时，因为最大角为3π，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去； 当23πα=时，由余弦定理可知：22222(2)(1)2(1)cos2303a a a a a a a π+=++-+⇒--=，解得32a =或1a =-（舍去），因此三边长分别为：357,,222，因此三角形面积为：135222⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查了数学运算能力.11.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 56B. 106C. 102D. 202【答案】A 【解析】 【分析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力.12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A. 9-B. 8C. 1019-D. 1018【答案】B 【解析】 【分析】 分别令1,2,3,4,,2019,2020n =代入等式()()1211n n n n a a n +++=⋅-中，得到2020个等式，把2020个等式相加，再根据这些等式，求出2020S 的表达式，最后结合已知20211001S =进行求解即可.【详解】因为()()1211n n n n a a n +++=⋅-，所以有：121,(1),a a +=-，2334452,(2),3,(3),4,(4),,a a a a a a +=-+=+=201920202019,(2019)a a += 202020212020,(2020)a a +=，(1)(2)(3)(4)(2019)(2020)++++++，得：20202021120202021150542020S S a S S a +-=⨯⇒+-=，(1)(3)(2019)+++，得：20201010S =，因此12021202020201001101020209a S S =+-=+-=-，而121a a +=-，因此2118a a =--=. 故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于基础题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上．)13.已知,a b 为单位向量，其夹角为120︒，则a b -=______. 【解析】 【分析】 由公式2||a a =将a b -看成一个整体，即2||()a b a b -=-直接进行运算.【详解】由题意得：2221||()222()2a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⋅-=.【点睛】本题考查向量模的求解、数量积的运算，考查运算求解能力，求解时注意夹角为120︒余弦值为12-，不能符号弄错. 14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =_________．【答案】n 453+【解析】 【分析】运用累加法，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】当2n ≥时，2(1)11124n n n n n a a a ----=+=+，所以有： 121122111()()()44434(14)453,143n n n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++-+=+=-当1n =时，也上适合上式，所以n a =n 453+.故答案为：n 453+【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15.若等比数列*{}()n a n N ∈满足1330a a +=，2410a a +=，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为____． 【答案】729 【解析】 【分析】求出基本量1a ，q 后可得数列的通项，判断1n a ≥、01n a <<何时成立可得n 取何值时有12...n a a a ⋅⋅⋅的最大.【详解】设公比为q ，因为1330a a +=，2410a a +=，所以241313a a q a a +==+，所以111309a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得127a =，所以1412733n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 当14n ≤≤时，1n a ≥；当5n ≥时，01n a <<，故12...n a a a ⋅⋅⋅最大值为32106123123433729a a a a a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅===，故填729. 【点睛】正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，其公比为q （1,0q q ≠>）（1）若101a <<，则当1q >时，n T 有最小值0n T 无最大值，且0011,1n n a a +≤≥；当01q <<时，n T 有最大值1T ，无最小值.（2）若11a >，则当01q <<时，n T 有最大值0n T 无最小值，且0011,1n n a a +≥≤；当1q >时，n T 有最小值1T ，无最大值.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为_________．【答案】4【解析】 【分析】根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C 的大小，最后根据基本不等式和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由(sin sin )(3)()sin ()(3)()(3)(3)(),C B b a b A c b b a b a b b a b a -+=+⇒-+=+⇒-+=+化简得：229a b ab ++=，而由余弦定理可知；22292cos c a b ab C ==+-⋅，因此12cos ,(0,),23C C C ππ=-∈∴=.222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），923ab ab ab -≥⇒≤.设ABC ∆面积为S ，于是有112sin sin 22344S ab C ab ab π===≤.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】（Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）根据n a 的正负性，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意：245,,a a a 是等比数列，所以有()()()210104103d d d -+-+=-+ 解得：2d =或0（舍去）， 所以212n a n =-；（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有2(10212)112n n n nT S n n -+-=-=-=-；当7n ≥时，0n a >，662(10212)(100)62116022n n n n T S S S n n -+--+⨯=--=-⨯=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力19.在四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =BC ．【答案】；（Ⅱ）3BC =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （Ⅱ）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 6ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（Ⅱ）由题设及（1）知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）29n a n =-；（Ⅱ）n T =()727nn --．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列{}n a 的前n 项n S 最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是7-＋3d ≤0，7-＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数，因此d ＝2．故数列{a n }的通项公式为29n a n =- （2） ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运算能力.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）9+．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可；（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和（Ⅰ）中结论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+． 由正弦定理可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 122a b c C ab +-==，(0,),3C C ππ∈∴=；（2）1sin 2ABC S ab C ∆=4ab ==20ab =，因为222c a b ab =+-，c =，所以2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9+【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算能力.22.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ；（Ⅱ）[332，+∞）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）对递推关系21444n n a S n +=++再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为2、公差为2的等差数列， 所以22(1)2na n n =+-=；（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272n n m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272n n -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.。
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列中，，，则的值为A. B. C. 5 D. 以上都不对2.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是A. B.C. 且D.3.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为A. 1B.C. 2D.6.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.7.已知数列中，且单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D.8.在中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围是A. B. C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则A. B. C. D.12.给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，，则的最小值为A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确的有______填序号两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若，，则；若，，则14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设是数列的前n项和，且，，______．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．若，且，求的坐标；若，且与垂直，求与的夹角．18.在中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且．求角B的大小；若，，求的面积．19.设为等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式：求的最大值及此时n的值．20.已知向量，且．求及；若，求的最大值和最小值．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求角A的大小；若，求的取值范围．22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且，，成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式；证明中的猜想；设，为数列的前n项和，求．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，，，，，则，即，即数列是周期为3的周期数列，，，故选：B．根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：；与的夹角为钝角；，且不平行；；，且．故选：C．可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得，从而可得或或舍去．【解答】解：，，由正弦定理得：，，，，或，或或舍去，故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的应用，是基础题．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合，求得，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，则．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．【解答】解：平面向量是非零向量，，，，即，即，向量在向量方向上的投影为．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【解答】解：，若，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故选D．7.答案：B解析：解：数列中，且单调递增对于恒成立即对于恒成立对于恒成立，即故选：B．该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得对于恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.答案：A解析：解：在中，当时，三角形ABC有两组解，所以，，，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足，即．故选：A．有两组解，所以，代入数据，求出x的范围．本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．9.答案：C解析：解：根据题意画出图形，如图所示；易知在中，海里，，，根据正弦定理得，解得海里．故选：C．由题意画出图形，利用正弦定理直接求解即可．本题考查了正弦定理的实际应用问题，关键是转化出条件，是基础题．10.答案：B解析：解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11.答案：D解析：解：等差数列的公差，，都有，，，．故选：D．由，都有，可得，，，再根据等差数列的性质即可判断．本题考查等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：给定两个单位向量，，且，则，建立如图所示的坐标系，则，，即，设，，则，因为，则，，所以，因为，，，，所以有最小值．故选：B．建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．13.答案：解析：解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确；在平行四边形ABCD中，，，所以一定有，所以正确；显然正确；零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故不正确．故答案为：．根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案．本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，，，故答案为：．利用数列的递推式得到，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，从而求出结果．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．【解答】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为，由正弦定理可得：，，，解得，的面积为，，解得，，由对勾函数的性质可知，当时，，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．17.答案：解：设，，，，解得或，或．与垂直，，即，，，与的夹角为．解析：设，根据条件列方程组解出即可；令求出，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量平行与垂直，属于中档题．18.答案：解：由正弦定理得：，，，将上式代入得，即，即，，，，即，，，为三角形的内角，．将，，代入余弦定理得：，即即，，．解析：根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．19.答案：解：设的公差为d，由可得，由，可得，所以，所以；由，解得，所以当时，有最大值，此时最大值为．解析：根据已知条件列出关于，d的方程组，求解出，d即可求出通项公式；利用对应为递减等差数列，根据确定出n的取值，从而的最大值以及取最大值时n的值都可求．本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易．其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时n的值，属于基础题．20.答案：解：，，，，．由知：，，，，，解析：利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．利用的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．21.答案：解：，，，，B，C为锐角，可得：，，，可得：，又，可得：．当时，，由题意得，．由，得，，，为锐角三角形，，，，的取值范围是．解析：利用三角函数恒等变换的应用可求，结合角的范围及三角形内角和定理即可求出角A的大小．先求得，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到，，根据及B的范围，利用正弦函数的性质即可得到的范围．本题考查三角函数恒等变换的应用及正弦定理在解三角形中的综合应用，其中判断的取值范围是本题的难点，属于中档题．22.答案：解：依题意，由，，成等差数列，可得．当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，，，，猜想：数列的通项公式，．证明：当时，满足猜想，当时，由，可得，化简整理，得，，则，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即猜想成立．解：由知，，故数列是以8为首项，为公差的等差数列．令，，即，解得，令，，即，解得，当时，；当时，，当时，，当时，，综上所述，可得．解析：本题第题由，，成等差数列，可得，然后依次将、2、3代入表达式进行计算可得、、的值，并由此可猜想出数列的通项公式；第题可应用公式证明中的猜想；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化可发现数列是以8为首项，为公差的等差数列，然后对数列的正负性进行分析可得数列的通项公式，即当时，，；当时，，然后根据分和两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出的表达式，最后综合可得结果．本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．。
2019-2020学年武汉三中等六校高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉三中等六校高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，给出下列四个命题，其中正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则a −d <b −cB. 若ac 2>bc 2，则a >bC. 若c <b <a ，且ac <0，则cb 2<ab 2D. 若a >b ，则lg(a −b)>02. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3，向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴夹角取值范围是( )A. (0,π3)B. (π3,5π6)C. (π2,2π3)D. (2π3,5π6)3. 若向量 =(2,−3)， =(x,9)，且，则x 的值是A. −6B.C. 6D.4. 不等式的解集是( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为为锐角，，则为( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同，则S 2017为A. −2016B. −2017C. 2017D. 07. 小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①BC =12m ，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45°，④cos∠BAC =3√68，⑤∠BOC =30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )A. 10√3mB. 12mC. 12√2mD. 12√3m8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinA <cosBsinC ，则△ABC 一定为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形9. 已知，向量，向量，且，则的最小值为A. 18B. 16C. 9D. 810. 已知△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，点M 是线段BC(含端点)上的一点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. (12,2)B. [12,1]C. (1,2]D. (1,32]11. 下列说法正确的是( )A. 当x >0时，√x x ≥2B. 当x ≠kπ+π2,k ∈Z 时，cosx +1cosx ≥2 C. 当x ≥2时，x +1x 的最小值为2 D. 当0<x ≤1时，x −1x 无最大值12. 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①a 2+1a 2>0；②(a −b)2=a 2−2ab +b 2； ③若a 2=b 2，则a =±b ； ④若a 3−a 2b >0，则a −b >0．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）>2的解集是______．13.不等式1x14.若在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a+b+c=______．sinA+sinB+sinC15.15.如图，从一点引出三条射线与直线分别交于三个不同的点，则下列命题正确的是．1若，则；2若先引射线与交于两点，且恰好是夹角为的单位向量，再引射线与直线交于点(在之间)，则的面积的概率是；3若，和的夹角为，和夹角为，则；4若为中点，为线段上一点(不含端点)，且，过作直线分别交射线于，若，则的最大值是16.如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，其中x，y∈R，且|a⃗|+|b⃗ |=4，动点P(x,y)的轨迹为L．(Ⅰ)求动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)已知点F1(−1,0)，过点F2(1,0)的直线l与轨迹L相交于A，B两点，问△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．18.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=√7，∠ADC=2π；E为AD边上一点，DE=1，3EA=2，∠BEC=π3(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE的长．19.已知数列和满足，若为等比数列，且，．(1)求与；(2)设()，记数列的前项和为，求；20.已知函数，其中，，在中，分别是角的对边，且，(1)求角;(2)若，，求的面积．21.岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．22.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于A ：若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，即a −d >b −c ，故A 错误； 对于B ：若ac 2>bc 2，则a >b ，成立； 对于C ：当b =0时，不成立； 对于D ：若0<a −b <1时，不成立； 故选：B ．分别对各个选项进行判断，从而得到结论．本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．2.答案：B解析：解：由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间， 由于非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3， ∴向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6) ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是(π3,5π6)故选：B ．由题意及图可判断出−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间，结合已知可得向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6)，进而可得答案．本题考查平面向量的综合运用，考查了向量的夹角，向量的相等，解题的关键是理解题意，属中档题．3.答案：A解析：∵向量 a ⃗ =(2,−3)， b ⃗ =(x,9)，且 a ⃗ // b ⃗ ， ∴−3x −2×9=0， ∴x =−6；故选A ．4.答案：C解析：试题分析：先将不等式转化为，结合二次函数的图像可得二次不等式的解集为，选C ．考点：二次不等式．5.答案：D解析：试题分析：由已知得，所以，且，由为锐角，故，由正弦定理得，则，，展开得，，故，所以，所以是等腰直角三角形考点：正弦定理和三角恒等变形．6.答案：D解析：解：∵A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a 1009+2=2×2−1×2， 即a 1009=0，∴a 1+a 2017=2a 1009=0， ∴S 2017=20172(a 1+a 2017)=0，故选：D ．向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得a 1009=0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．本题考查了向量的数量积运算、投影，等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查的知识要点：三角形中仰角和俯角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．首先利用仰角和俯角求出OB 和OC 的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA 的长． 解：选①②③⑤， 如图所示：则∠ABO =60°，∠ACO =45°， 设OA =x ，则OA =OC =x ，OB =√3． 在△BOC 中，利用余弦定理：BC 2=122=x 2+(√3)2−2x ⋅√3√32， 整理得：x =12√3，即OA =12√3m ， 故选D ．8.答案：C解析：解：∵sinA <cosBsinC ，∴由正弦定理可得：a <ccosB ，可得a <c ⋅a 2+c 2−b 22ac，∴整理可得a 2+b 2−c 2<0，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，∵C ∈(0,π)，∴C 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 故选：C ．由正弦定理、余弦定理化简已知等式可得a 2+b 2−c 2<0，可求cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，结合范围C ∈(0,π)，可求C 为钝角，即可得解△ABC 为钝角三角形．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：试题分析：由 所以当且仅当取“=”．所以的最小值为9，选．考点：1.平面向量的坐标运算；2.基本不等式．10.答案：B解析：解：解：如图所示，建立直角坐标系． 则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y)．∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，及四边形ABDC 为矩形， ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． ∴b 2+c 2=4． ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， ∴bx +cy =1． |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2． ∵(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2， ∴4(x 2+y 2)≥1．∴√x 2+y 2≥12.即|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12．∵点M 在直线BC 上，∴x b +yc =1． ∴1=(bx +cy)(xb+yc )=x 2+y 2+cxy b+bxy c，∵b ，c >0，x ≥0，y ≥0．∴x 2+y 2≤1，即√x 2+y 2≤1(当且仅当x =0或y =0时取等号)，综上可得：12≤|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤1． 故选：B ．如图所示，建立直角坐标系，则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y).利用向量的坐标运算可得b 2+c 2=4.再利用数量积运算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， 可得bx +cy =1.利用数量积性质可得(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2，可得|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12.再利用x b +y c=1，1=(bx +cy)(x b+y c)=x 2+y 2+cxy b+bxy c，可得x 2+y 2≤1，即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11.答案：A解析：解：当x >0时，由基本不等式可得，√x+√x ≥2√√x√x =2，当且仅当√x =x 即x =1时取等号；故A 正确；当cosx <0时，cosx +1cosx <0，故B 错误；当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，故当x =2时，函数取得最小值52，故C 错误；当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值0，故D 错误． 故选：A ．当x >0时，由基本不等式可得，√x√x ≥2√√x√x =2，当cosx <0时，cosx +1cosx <0，当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值，从而可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题．12.答案：B=−2<0，①不成立；解析：解：对于①：存在非零复数a=±i使得a2+1a2对于②根据复数乘法的定义，可判断(a−b)2=a2−2ab+b2成立；对于③根据复数乘法的定义，a2=b2，则a=±b；成立；④：存在非零复数a=i，b=1+i，使a3−a2b>0，a−b<0，④不成立．答案：B．要熟悉复数的概念和性质及其基本运算本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复数的基本概念，其中根据复数运算法则，逐一判断四个命题，并得到他们是否成立，是解答本题的关键．)13.答案：(0,12解析：解：原不等式等价于1−2x>0x等价于x(2x−1)<0解得0<x<12)故答案为(0,12通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．14.答案：2√393解析：利用三角形面积公式求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，属于中档题．解：由A =60°，得到sinA =√32，cosA =12，又b =1，S △ABC =√3， ∴12bcsinA =12×1×c ×√32=√3，解得c =4，根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−4=13， 解得a =√13， 根据正弦定理asinA =b sinB=c sinC=√13√32=2√393，则a+b+csinA+sinB+sinC=2√393．故答案为：2√39315.答案：①③解析：本题综合考查了向量向量共线定理、几何概率、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 故答案为：①③．16.答案：解析：试题分析：由图可知，所以()()==，显然当时，与平行，此时取到最大值，所以的最大值是．考点：本小题主要考查向量的线性运算和向量数量积的运算，考查学生的转化能力和运算能力． 点评：当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理以及解三角形等知识．17.答案：解：(Ⅰ)由a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，且|a⃗|+|b⃗ |=4，得：√(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4．整理得：x24+y23=1；(Ⅱ)若△ABF1的内切圆的面积最大，即内切圆的半径最大，∵△ABF1的周长为椭圆x24+y23=1的长轴长的2倍为定值，则△ABF1的面积最大．设直线l的方程为x=my+1．联立{x24+y23=1x=my+1，得：(3m2+4)y2+6my−9=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4．∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√(−6m3m2+4)2−4×(−93m2+4)=√36m+36(3m+4)(3m2+4)2=√144(m+1)[3(m2+1)+1]2=√1449(m2+1)+1m2+1+6．当m2+1=1，即m=0时，|y1−y2|max=3．此时△ABF1的面积最大，最大值为12×2×3=3．设△ABF1的内切圆的半径为r，则12×4×2r=3，r=34，内切圆的面积为916π，此时直线l的方程为x=1．解析：(Ⅰ)直接由已知结合|a⃗|+|b⃗ |=4，求得动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)把△ABF1的内切圆的面积最大转化为△ABF1的面积最大，设出直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，转化为关于y的一元二次方程，由函数的单调性求得使△ABF1的面积最大的m值，进一步求得内切圆面积的最大值．本题考查由平面向量求曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是中高档题．18.答案：解：(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，得CE2=CD2+DE2−2CD×DE×cos∠CDE，得CD2+CD−6=0，解得CD=2(CD=−3舍去)．在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=√217．(Ⅱ)设∠CED=α，由题设知α∈(0,π3)，所以，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB=cos(2π3−α)=cos 2π3cosα+sin2π3sinα=−12cosα+√32sinα=−12×2√77+√32×√217=√714．在Rt△EAB中，BE=2cos∠AEB=4√7．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．(Ⅱ)设∠CED=α.由题设知α∈(0,π3)，先求，而∠AEB=2π3−α，即可求cos∠AEB=cos(2π3−α)的值，进而可求BE的值．19.答案：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，所以．解析：解：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，，所以．20.答案：(1)(2)解析：解析： 试题分析：(1)，………………………………………………7分(2)………………………………………………14分考点：解三角形点评：结合向量的知识分析解三角形，主要是对于三角恒等变换的运用和求值，同时要熟记三角形面积公式，中档题。
2019-2020学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面上的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )的最小值是( ) A. −2 B. −1 C. −√3 D. 02. 已知点P(x,y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点(x,y)引圆C ：(x −12)2+(y +54)2=1的切线，则此切线长等于( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 若非零向量满足//，且，则( )A. 4B. 3C. 2D. 04. 设x >0，y >0，A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y的最小值( ) A. 4 B. 2 C. 9 D. 105. 在△ABC 中，A ：B ：C =2：0.5：0.5，则a ：b ：c =( )A. 2：0.5：0.5B. √2：1：1C. √3：1：1D. 120：30：306. 设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11，则球的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 100πD. 144π7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2ccosC =bcosA +acosB ，则∠C 的值为( )A. 2π3B. 5π6C. π6D. π38. 设a >0，且a ≠1，则函数f(x)=a x +log a (x +1)+1恒过定点( )A. (0,1)B. (0,2)C. (1,1)D. (1,2)9. 在区间[−1,5]上随机地取一个实数a ，则方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根的概率为( )A. 23B. 12C. 38D. 1310. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 是a 、c 的等比中项，且c =2a ，则cosB =( )A. 14B. 34C. √24 D. √2311. 已知△ABC 中，a =4，b =4，∠A =30°，则∠B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°12. 已知向量，，如果向量与垂直，则的值为( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于______ ．14. 已知O 是边长为1正四面体ABCD 内切球的球心，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则x +y +z = ______ ．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 若2−m 与m −3同号，则实数m 的取值范围是______ ． 16. 如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为的中点，当正方形绕圆心转动，的最大值是__三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量a ⃗ =(√3,−1)，b ⃗ =(12,√32)，(1)求证：a ⃗ ⊥b ⃗ ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ⃗ =a ⃗ +(t 2−3)b ⃗ ，y ⃗ =−k a ⃗ +t b ⃗ 互相垂直，试求函数关系式k =f(t)．18.曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置．当OA自OB按顺时针方向旋转α角时，P和Q之间的距离是xcm.已知CA=25cm，AP=125cm，根据下列条件．求x的值(精确到0.1cm)：(l)α=50°；(2)α=135°．19.如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)求三棱锥E−PAD的体积；(Ⅱ)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(Ⅲ)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．20.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中c=2b−2acosC．(1)求A；(2)当a=2时，求△ABC面积的最大值．21.(12分)设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．(Ⅰ)求实数的值(Ⅱ)求函数的极值(m>0且m≠1)，22.已知函数f(x)=log m x−3x+3(I)判断f(x)的奇偶性并证明；(II)若m=1，判断f(x)在(3,+∞)的单调性(不用证明)；2(III)若0<m<1，是否存在β>α0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m(α−1)]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．由题意可得(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )≥−√3当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，即可得出答案．解：∵a⃗，b⃗ ，c⃗是平面上的三个单位向量，且a⃗⋅b⃗ =12，∴(2a⃗+c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗+c⃗⋅b⃗ −c⃗2=2×12−c⃗·(2a⃗−b⃗ )−1=−c⃗·(2a⃗−b⃗ )=−|c⃗|√4|a⃗|2−4a⃗·b⃗ +|b⃗ |2·cos<c⃗,2a⃗−b⃗ >≥−1⋅√3=−√3，∴当且仅当c⃗与(2a⃗−b⃗ )方向相同时，取等号，故选C．2.答案：D解析：解：∵x+2y=3，2x+4y=2x+22y≥2√2x+2y=4√2，当且仅当x=2y=32时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4√2时，P点的坐标为(32,34 )，点P到圆心C的距离为CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，故切线长为√CP2−R2=√5−1=2，故选：D．由条件利用基本不等式可得当2x+4y取最小值时，P点的坐标为(32,34)，再根据CP=√(32−12)2+(34+54)2=√5，大于圆的半径1，由此求得圆的切线长为√CP2−R2的值．本题主要考查基本不等式的应用，点到直线的距离公式，直线和圆相切的性质，属于基础题．3.答案：D解析：试题分析：非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以．考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.答案：C解析：解：∵A 、B 、P 三点共线且向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x +y =1， ∵x >0，y >0，∴1x+4y=(1x+4y)(x +y)=5+yx+4x y≥5+2√y x⋅4x y=9，当且仅当y x =4x y，即y =2x 时，取等号，∴1x +4y 的最小值为9．故选C ．利用三点共线，可得x +y =1，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论． 本题考查三点共线，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定x +y =1是关键．5.答案：C解析：本题主要考查正弦定理的应用，根据条件求出A ，B ，C 的大小是解决本题的关键． 根据角之间的关系求出A ，B ，C 的大小，利用正弦定理即可求出边之间的关系． 解：∵A ：B ：C =2：0.5：0.5， ∴A =120°，B =C =30°，∴根据正弦定理可知a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =sin120°：sin30°：sin30°=√32：12：12=√3：1：1．故选C ．6.答案：A解析：解：∵A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB =3，AC =4，AD =√11， ∴可以判断：以AB 、AC 、AD 为棱长的长方体，∴体对角线长为√32+42+11=√36=6，外接球的直径为6，半径为3，∴球的表面积为4π×32=36π，故选：A以AB、AC、AD为棱长的长方体，内接于球，根据体对角线长为外接球的直径，得出半径，求解面积．本题考查了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，属于中档题．7.答案：D解析：解：因为2ccosC=bcosA+acosB，由正弦定理可得，2sinCcosC=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC，，所以cosC=12∵0<C<π，π．∴C=13故选：D．由已知结合正弦定理进行化简可求cos C，进而可求C．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．8.答案：B解析：解：令x=0，则f(0)=1+0+1=2，故函数f(x)=a x+log a(x+1)+1恒过定点(0,2)，故选：B．根据指数函数和对数函数的图象与性质，即可求出f(x)所过的定点坐标．本题考查了指数函数和对数函数图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据二次函数根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．根据根与系数之间的关系，求出a 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根， 则满足{△=4a 2−4(4a −3)=4(a 2−4a +3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3，∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38， 故选C ．10.答案：B解析：解：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， 又c =2a ， ∴b 2=2a 2， 则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a×2a=34．故选：B ．由等比数列的性质可得b 2=ac ，又c =2a ，可得b 2=2a 2，利用余弦定理即可得出答案． 本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：试题分析：解：∵a =4，b =4，∠A =30°，∴根据正弦定理，，又B 为锐角，则∠B =60°或120°；故选D考点：正弦定理点评：此题考查了正弦定理，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键12.答案：C解析：试题分析：，，，由于向量与垂直，所以，故选C ．考点：1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算13.答案：2√3解析：解：由三视图知该几何体为棱锥S −ABD ，其中SC ⊥平面ABCD ； 几何体的直观图如下所示：四面体S −ABD 的四个面中SBD 面的面积最大， 三角形SBD 是边长为2√2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为√34×8=2√3．故答案为：2√3由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案． 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．14.答案：34；12解析：解：设正四面体的高为AM ，延长DM 交BC 于E ，则E 为BC 的中点． ∴DE =√32，DM =23DE =√33，∴AM =√AD 2−DM 2=√63． 设内切球半径为r ，则V A−BCD =13S △BCD ⋅AM =4×13×S △BCD ⋅r ．∴r =AM 4=√612.∴OM =√612 以M 为原点，建立如图所示的空间坐标系M −xyz ， 则A(0,0，√63)，B(12,−√36,0)，C(−12,−√36,0)，D(0,√33,0)，O(0,0，√612). ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−√64)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√36,−√63)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,−√63). ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{ 12x −12y =0−√36x −√36y +√33z =0−√63x −√63y −√63z =−√64，解得x =y =z =14． ∴x +y +z =34．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√64×√63=12． 故答案为：34，12．根据正四面体的性质求出棱锥的高，根据等体积法求出内切球的半径，建立坐标系，求出各向量的坐标，代入坐标运算即可解出．本题考查了平面向量在几何中的应用，属于中档题． 15.答案：(2,−3)解析：解：当2−m 与m −3同号时，(2−m)(m −3)>0，即(m −2)(m −3)<0，解得2<m <3；∴实数m 的取值范围是(2,−3)．故答案为：(2,−3)．又2−m 与m −3同号，得出(2−m)(m −3)>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．16.答案：6.解析：解：由题意可得， ∵ME ⊥MF ，，由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为故答案为6．17.答案：证明：(1)∵a⃗⋅b⃗ =√3×12−1×√32=0，∴a⃗⊥b⃗ ．解：(2)∵x⃗ ⊥y⃗，∴(a⃗+(t2−3)b⃗ )⋅(−k a⃗+t b⃗ )=0，∴−k a⃗2+t(t2−3)b⃗ 2=0．∵a⃗2=4，b⃗ 2=1，∴−4k+t(t2−3)=0，即k=t3−3t4．∴f(t)=t3−3t4．解析：(1)计算数量积，观察数量积是否为0．(2)令x⃗ ⋅y⃗=0，整理出k关于t的函数．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．18.答案：解：由题意，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP．∴在三角形APO中利用余弦定理得：AP2=OA2+OP2−OA⋅OPcosα，∴1252=252+OP2−2×25⋅OPcosα①，(1)α=50°时，将α=50°代入①式得OP≈139.6，∴x≈10.4cm．(2)α=135°时，将α=135°代入①式得OP≈106.1，∴x≈43.9cm．解析：经分析，PQ=x=OQ−OP=OA+AP−OP=150−OP，然后根据给的条件在三角形APO 中利用余弦定理列出关于x的方程，解出方程即可．本题考查了余弦定理在实际问题中的应用，将已知条件边角化，集中在一个三角形中求解是此类问题的一般思路．19.答案：解：(Ⅰ)三棱锥E−PAD的体积V=13PA⋅S△ADE=13PA⋅(12AD⋅AB)=√36.(4分)(Ⅱ)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．(5分)∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF//PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF//平面PAC.(8分)(Ⅲ)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.(10分)又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.(12分)解析：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，(Ⅰ)利用换底法求V P−ADE即可；(Ⅱ)利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；(Ⅲ)通过证明AF⊥平面PBE即可解决．无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直)，都源自于线与线的平行(垂直)，这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行(垂直)关系，再从结论入手分析所要证明的平行(垂直)关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．20.答案：解：(1)∵c=2b−2acosC，∴由正弦定理可得：sinC=2sinB−2sinAcosC，∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=2cosAsinC，又∵sinC≠0，∴cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵cosA=12=b2+c2−42bc，∴b2+c2=bc+4，又∵b2+c2=bc+4≥2bc，即：bc≤4，(当且仅当b=c=2时取等号)∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√3，可得△ABC面积的最大值为√3．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2cosAsinC，结合sinC≠0，可求cosA=12，由范围A∈(0,π)，可得A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1，故f′(x)=6x2+2ax+b，从而，从而由条件可知，解得a=3，又由于f′(1)=0，即6+2a+b=0，解得b=−12．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2−12x+1，f′(x)=6x2+6x−12=6(x−1)(x+2)，令f′(x)=0，得x=1或x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,−2)上是增函数；当x ∈(−2,1)时，f′(x)<0，f(x)在(−2,1)上是减函数；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上是增函数．从而f(x)在x =−2处取到极大值f(−2)=21，在x =1处取到极小值f(1)=−6．解析：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．(Ⅰ)先对f(x)求导，f(x)的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由f′(1)=0即可求出b ； (Ⅱ)对f(x)求导，分别令f′(x)大于0和小于0，即可解出f(x)的单调区间，继而确定极值．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)是奇函数；证明如下：由x−3x+3>0解得x <−3或x >3，所以f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞)，关于原点对称．∵f(−x)=log m −x−3−x+3=log m x+3x−3=log m (x+3x−3)−1=−f(x)，故f(x)为奇函数/(Ⅱ)任取x 1，x 2∈(3,+∞)且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=log m x 1−3x 1+3−log m x 2−3x 2+3=log m (x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)，∵(x 1−3)(x 2+3)−(x 1+3)(x 2−3)<0，∴(x 1−3)(x 2+3)<(x 1+3)(x 2−3)，即(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<1，当m =12时，log 12(x 1−3)(x 2+3)(x 1+3)(x 2−3)<0，即f(x 1)<f(x 2). 故f(x)在(3,+∞)上单调递减．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当0<m <1时，f(x)在[α,β]上单调递减．假设存在β>α>0，使f(x)在[α,β]的值域为[log m m(β−1),log m (α−1)]．则有{log m α−3α+3=log m m(α−1)log m β−3β+3=log m m(β−1)，∴{α−3α+3=m(α−1)β−3β+3=m(β−1)． 所以α，β是方程x−3x+3=m(x −1)的两正根，整理得mx 2+(2m −1)x −3m +3=0在(0,+∞)有2个不等根α和β．令ℎ(x)=mx 2+(2m −1)x −3m +3，则ℎ(x)在(0,+∞)有2个零点，{ 0<m <1．ℎ(0)>0,−2m−12m >0,ℎ(−2m−12m )<0,解得0<m <2−√34，故m 的取值范围为(0,2−√34)．解析：(Ⅰ)先判断函数的奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明；(Ⅱ)根据函数单调性的定义判断；(Ⅲ)先假设存在，然后根据函数的单调性建立方程组，将其转化为二次函数根的分布问题来求解． 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域、零点等问题，属于中档题目．。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附详细答案
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=,A=450．则角Ｂ等于（ ） A ．600 B.600或1200C.150D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ） A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。