2020人教版A数学必修第二册 第10章 10.2 事件的相互独立性
高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步课件：10.2 事件的相互独立性
1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝____P_(_A_)P_(_B_)__，则称事件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质 若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与___B_，－A 与－B 也都相互独立．
■名师点拨
(1)必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
判断两个事件是否相互独立的两种方法 (1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件 发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事 件； (2)定义法：通过式子 P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独 立，若上式成立，则事件 A，B 相互独立，这是定量判断.
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正 面”，事件 B 是“第二枚为正面”，事件 C 是“两枚结果相 同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号) ①A，B；②A，C；③B，C.
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均 等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω＝ {(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基 本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(5)“至少有 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出 密码”， 所以至少有 1 个人译出密码的概率为 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
高中数学第10章概率10.2事件的相互独立性素养作业提技能含解析第二册
第十章10.2A组·素养自测一、选择题1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上",B＝“至多有一个反面向上”,则A与B的关系是(C）A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件[解析］由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的。
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是（C）A．0.64B．0。
56C．0。
81D．0。
99[解析]设A i表示“第i题做对”，i＝1，2，由题意知，A1，A2相互独立，则P（A1∩A2)＝P(A1）P（A2）＝0。
9×0.9＝0.81．3．事件A，B是相互独立的,P（A)＝0。
4，P（B)＝0。
3，下列四个式子：①P（AB)＝0.12;②P(错误!B)＝0.18；③P（A错误!)＝0。
28；④P（错误!错误!）＝0.42．其中正确的有(A）A．4个B．2个C．3个D．1个[解析]事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0。
4，P（B）＝0。
3知：在①中,P（AB）＝P(A)P(B)＝0。
4×0。
3＝0.12，故①正确；在②中，P(A B）＝P（错误!)P（B)＝0.6×0。
3＝0.18，故②正确；在③中,P(A错误!)＝P（A)P(错误!）＝0.4×0.7＝0.28,故③正确；在④中，P（错误!错误!)＝P（错误!）P（错误!）＝0。
6×0。
7＝0.42，故④正确.4．甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]甲要获得冠军共分为两种情况：（1）第一场取胜，这种情况的概率为错误!。
(2)第一场失败,第二场取胜，这种情况的概率为错误!×错误!＝错误!，则甲获得冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.5．(多选）设M，N为两个随机事件,给出以下命题正确的是（ABD)A．若P(M)＝错误!，P(N)＝错误!，P(MN)＝错误!,则M，N为相互独立事件B．若P(错误!）＝错误!，P(N)＝错误!，P（MN)＝错误!，则M，N为相互独立事件C．若P(M）＝12,P（错误!）＝错误!，P（MN）＝错误!，则M，N为相互独立事件D．若P（M)＝错误!，P（N）＝错误!，P（错误!错误!）＝错误!，则M,N为相互独立事件［解析］在A中，若P（M）＝12，P（N）＝错误!，P（MN）＝错误!，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确;在B中,若P（M）＝错误!,P（N)＝错误!,P(MN)＝错误!，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)＝错误!，P（错误!)＝错误!，P(MN)＝错误!，当M，N为相互独立事件时,P(MN）＝错误!×错误!＝错误!,故C错误;D．若P(M)＝错误!，P（N）＝错误!,P（错误!错误!）＝错误!，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N 为相互独立事件，故D正确.二、填空题6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是错误!，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__错误!__,问题得到解决的概率为__错误!__. [解析]甲、乙两人都未能解决的概率为错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝错误!。
新教材人教版高中数学必修A第二册 第10章 10.2 事件的相互独立性
10.2事件的相互独立性课后篇巩固提升基础巩固1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23,则两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23=49.2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为()A.pqB.p+qC.p+q-pqD.p+q-2pqp(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为()A.21192B.25192C.35192D.35576,每个交通灯开放绿灯的概率分别为512,712,34.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为512×712×34=35192.4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是() A.A与B,A与C均相互独立B.A 与B 相互独立,A 与C 互斥C.A 与B ,A 与C 均互斥D.A 与B 互斥,A 与C 相互独立,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A 与B ,A 与C 均相互独立.而A 与B ,A 与C 均能同时发生,从而不互斥.5.设两个相互独立的事件A ,B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率,则事件A 发生的概率P (A )是 .{[1-P (A )][1-P (B )]=19,P (A )[1-P (B )]=P (B )[1-P (A )],解得P (A )=P (B )=23.6.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是 ..902A ,B ,C ,不准确记为事件A,B,C ,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,P (C )=0.9,P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB C ,A B C ,A BC ,ABC ,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )+P (ABC )=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.7.从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋内各摸出1个球,则 (1)2个球不都是红球的概率为 . (2)2个球都是红球的概率为 . (3)至少有1个红球的概率为 . (4)2个球中恰好有1个红球的概率为 . (1)56 (2)16 (3)23 (4)12中的事件依次记为A ,B ,C ,D ,则P (A )=1-12×13=56;P (B )=13×12=16;P (C )=1-(1-12)×(1-13)=23; P (D )=13×(1-12)+(1-13)×12=12.8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是 .由已知每次打开家门的概率为18,则该人第三次打开家门的概率为(1-18)(1-18)×18=49512.9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率.A 为“答对第一题”,事件B 为“答对第二题”,事件C 为“答对第三题”,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,P (C )=0.6.(1)这名同学得300分这一事件可表示为(A B C )∪(A BC ),则P ((A B C )∪(A BC ))=P (A B C )+P (A BC )=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(A B C )∪(A BC )∪(ABC ), 则P ((A B C )∪(A BC )∪(ABC ))=P (A B C )+P (A BC )+P (ABC )=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.10.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为25,34,13,且各自能否被选中相互之间没有影响. (1)求三人都被选中的概率; (2)求只有两人被选中的概率.A ,B ,C ,则P (A )=25,P (B )=34,P (C )=13.(1)∵A ,B ,C 是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P 1=P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=25×34×13=110.(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P (A BC )=P (A )P (B )P (C )=(1-25)×34×13=320. ②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=25×(1-34)×13=130.③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P (AB C )=P (A )P (B )P (C )=25×34×(1-13)=15.以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P 2=320+130+15=2360. 能力提升1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( ) A.1320B.15C.14D.25(1-15)×(1-14)=35,则至少有一项合格的概率是1-35=25.2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X 荷叶上,则跳三次之后停在X 荷叶上的概率是( ) A.13B.29C.49D.827由题知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在X 上的概率为P 1=23×23×23=827,顺时针跳三次停在X 上的概率为P 2=13×13×13=127.所以跳三次之后停在X 上的概率为P=P 1+P 2=827+127=13.3.在电路图中(如图),开关a ,b ,c 闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78a ,b ,c 闭合的事件分别为A ,B ,C ,则灯亮这一事件E=ABC ∪AB A C ,且A ,B ,C 相互独立,ABC ,AB C ,A B C 互斥,则P (E )=P ((ABC )∪(AB C )∪(A B C ))=P (ABC )+P (AB C )+P (A B C )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )=12×12×12+12×12×(1-12)+12×(1-12)×12=38.4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ,则P (A|B )的值是 .20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A 包含的基本事件有10个,故P (A )=12;事件B 包含的基本事件有9个,P (B )=920,事件AB 包含的基本事件有5个,故P (AB )=14,故P (A|B )=P (AB )P (B )=59.5.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是12,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为13,23;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为35,25.记第n (n ∈N ,n ≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n . (1)求P 2的值;(2)当n ∈N ,n ≥2时,求用P n-1表示P n 的表达式.P 2=12×13+12×35=715.(2)P n =P n-1×13+(1-P n-1)×35 =-415P n-1+35(n ∈N ,n ≥2).6.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.A i表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,B j表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.A=(A3A4)∪(B3B4).由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P((A3A4)∪(B3B4))=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5),由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.。
人教A版高中数学必修第二册教学课件：第十章10.2事件的相互独立性(共16张PPT)
（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”
【解题提示】（1）利用独立性概念的直观解释进行判断. （2）计算概率判断两事件是否相互独立. （3）利用事件的独立性定义判断.
【解】 （1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以它们是相互独立事件. （2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是 ，若这一事件发生了， 则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是 ；若前一事件没 有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生 的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是
.
解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，预报不准确记为 A ， B ， C ，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，P（ A ）＝ 0.2，P（ B ）＝0.3，P（ C ）＝0.1，同一时刻至少有两颗预报准确的 事件有AB C ，A B C， A BC，ABC，这四个事件两两互斥且相互独立. ∴ 同一时刻至少有两颗预报准确的概率为 P（AB C ）+P（A B C）+P（ A BC）+P（ABC）＝0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9 +0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9＝0.056+0.216+0.126+0.504＝0.902.
小结
人教版高中数学必修第二册10.2 事件的相互独立性
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第十章 概率
27
解：(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为
1 4
，14
.
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A，则 P(A)＝14 ×12 ＋12 ×14
＋14 ×14 ＝156 .所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为156 .
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第十章 概率
9
探究点1 相互独立事件的判断
(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出
的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的
义．
公式判断事件的独立性，并能将古典概型
2．结合古典概型，利用独 与事件独立性相结合，计算简单问题的概
立性计算概率．
率．
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第十章 概率
3
相互独立事件
相互独立事件
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定义 性质
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝ __P_(_A_)_P_(B__)_________成立，则称事件 A 与事件 B 相互独 立 若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与_B___，－A 与－B 也都相互独立
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第十章 概率
26
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某 自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小 时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单 独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分 别为14 ，12 ，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12 ，14 ，两人租 车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和，求 P(ξ＝4)和 P(ξ＝6)的值．
人教A版高中数学必修第二册精品课件 第10章 概率 10.2 事件的相互独立性
分析:根据相互独立事件的定义判断,即P(AB)是否等于
P(A)P(B).
解:(1)家庭中有两个小孩,则试验的样本空间Ω={(男,男),(男,
女),(女,男),(女,女)},共有4个样本点,由等可能性知这4个样本
点的概率均为 .
由题意知A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},
=
.
易 错 辨 析
对题意理解不到位致错
【典例】 设事件 A 与 B 相互独立,若两个事件中只有 A 发生
的概率和只有 B
生的概率是
发生的概率都是 ,则事件
A 和事件 B 同时发
.
错解:因为事件 A 和 B 相互独立,且
所以 P(AB)=P(A)P(B)= .
答案:
P(A)=P(B)= ,
分析:根据题设条件,分析事件间的关系⇒将需要计算概率的
事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和⇒利用公式计
算.
解:用 A,B,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,
则 P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以 P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(1)由题意知 A,B,C 之间相互独立,
所以恰好有两列正点到达的概率为 P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
新教材人教A版必修第二册 10.2事件的相互独立性 课件(44张)
(5)A,B中至多有一个发生为事件A B + A B+ A B .它们之间的概率关系如表所 示:
A,B互斥
A,B相互独立
P(A+B)
P(A)+P(B)
1-P( A )P( B )
P(AB)
0
P(A)P(B)
P( A B )
1-[P(A)+P(B)]
P( A )P( B )
【定向训练】 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点
(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别? 提示:两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发 生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响.
1.相互独立事件的概率 对任意两个事件A,B,如果P(AB)=_P_(_A_)_·__P_(_B_)_成立,则称事件A与事件B相互独立. 简称独立. 2.相互独立事件的性质 如果事件A与B是相互独立事件,则A与 B，A 与B, A 与 B 也_相__互__独__立__.
【定向训练】 从一副拿走了大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽
得红牌”,判断事件A与B是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? 【解析】由于事件A为“抽得老K”,事件B为“抽得红牌”,故抽得红牌中有可 能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到老K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们 不是互斥事件,更不是对立事件.
到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响. 求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
探究点三 相互独立事件概率的实际应用 【典例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、 丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘 比赛结果相互独立.求: (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率. (2)红队至少两名队员获胜的概率.
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与B，A与B, A与B 都相互独立.
由已知得， P( A) 0.8，P(B) 0.9，P( A) 0.2，P(B) 0.1．
（1）“两人都中靶”=AB，由事件独立性定义，得 P(AB) P(A)P(B) 0.8 0.9 0.72．
特别地，因为必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生的影
响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.
当然，它们也不影响其他事件是否发生.
因此必然事件 、不可能事件 都与任意事件相互独立.
一、知识探究
（二）如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件 是否也相互独立？
我们先看事件 A与B 是否相互独立，即 P( AB) P( A)P(B) 是
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
分析： 设 Ai表示“甲两轮猜对 i 个成语”；Bi 表示“乙两轮中猜对 i 个成语”
则可列出如图所示树状图：
两轮活动猜对2个成语，相当于事件“甲猜对0个，乙猜对2个”、事件“甲 猜对1个，乙猜对1个”与事件“甲猜对2个，乙猜对0个”的和事件发生.
解：设A0 ,A1 , A2分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， B0，B1 , B2分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件.
高中数学 必修2(人教版)10.2事件的相互独立性
题型二 相互独立事件同时发生的概率——师生共研
例1 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越
多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小
时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按
一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一
次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
(4)方法一 至多有1人投中，即事件A －B 或事件 －A B或事件 －A －B 发生，由于两人各投篮一次，事件A－B 、事件－A B、事件－A －B 不 可能同时发生，为互斥事件，所以至多有1人投中的概率为P(－A －B ) ＋P(A－B )＋P(－A B)＝P(－A )P(－B )＋0.48＝0.4×0.4＋0.48＝0.64.
方法二 “至多有1人投中”的对立事件为“两人都投中”， 所以至多有1人投中的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.6×0.6 ＝1－0.36＝0.64.
方法归纳
求较复杂事件概率的一般步骤如下 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相 互独立的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地 计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[教材答疑]
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事 件∅都与任意事件相互独立．这是因为必然事件Ω总会发生，不会 受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也 不受任何事件是否发生的影响．当然，它们也不影响其他事件是 否发生．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( × ) (4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条 件．( √ )
新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性素养课件新人教A版必修第二册
【思维导引】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两 名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应 概率公式求值.
【类题通法】求复杂事件的概率的三个步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们. (2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件. (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响. 求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
探究点三 相互独立事件概率的实际应用 【典例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、 丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘 比赛结果相互独立.求: (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率. (2)红队至少两名队员获胜的概率.
5.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随便地拨号,假设拨过了的号 码不再重复,试求下列事件的概率: (1)第3次拨号才接通电话; (2)拨号不超过3次而接通电话.
【思维导引】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断. (2)计算“从8个球中任取一球是白球”的概率,再计算“从剩下的7个球中任意 取出一球还是白球”的概率,由两概率是否相同进行判断. (3)利用事件的独立性定义式判断.
【类题通法】判断两个事件独立性的方法 (1)利用相互独立事件的定义:即P(AB)=P(A)·P(B),可以准确地判断两个事件 是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确. (2)从定性的角度进行分析:看一个事件的产生对另一个事件的产生是否有影 响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
高中数学第10章概率10-2事件的相互独立性课件新人教A版必修第二册
有三个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
1
由等可能性知这8个基本事件的概率均为 ，这时A含有6个基本事
8
6
件，B含有4个基本事件，A∩B含有3个基本事件，于是P(A)＝ ＝
8
3
4
10
2
3
1
2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为 ， ， ”变为“甲、
5
4
3
11
3
乙两人恰有一人被选中的概率为 ，两人都被选中的概率为 ，丙
20
10
1
被选中的概率为 ”，求恰好有2人被选中的概率．
3
[解]
设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A，甲、乙都被选中为事
件B，丙被选中为事件C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋
3．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这
次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，
乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各
胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
[解] 记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3，4，5，
Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3，4，5．
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立
的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其
对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
2020_2021学年新教材高中数学第10章概率10.2事件的相互独立性课件新人教A版必修第二册
[归纳提升] 两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【对点练习】❶ (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件
A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
(A )
A．相互独立但不互斥
说明：①(A－B )∪(－A B)，表示的是 A－B 与－A B 的和，实际意义是：A 发生且 B 不发生，或者 A 不发生且 B 发生，换句话说就是 A 与 B 中恰有 一个发生.
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先 级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A－B )∪(－A B)可简 写为 A－B ∪－A B.
3．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率
A，B 互斥
A，B 相互独立
P(A∪B)
P(A)＋P(B)
1－P(－A )P(－B )
P(AB) －－
P( A B )
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)P(B) －－
P( A )P( B )
P(A－B ∪－A B)
P(A)＋P(B)
－－ P(A)P( B )P( A )P(B)
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：
“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是
(B)
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影 响的，所以事件 A 与事件 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手 可能同时击中目标，也就是说事件 A 与事件 B 可能同时发生，所以事件 A 与事件 B 不是互斥事件.
高中数学新教材《10.2事件的相互独立性》
10.2事件的相互独立性
1.相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P（AB）= P（A）P（B） 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立。
2.相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，事件A与事件 B 相互独立 ， 事件 A与事件B相互独立 ，事件A 与事件B 相互独立 。
以同时发生，因此，A，B不是互斥事件。
【内化·悟】 如何判断两个事件是否为相互独立事件？
提示：两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B） 成立，则事件A与事件B相互独立。
【类题·通】 判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB） =P（A）·P（B）。 （2）利用性质：A与B相互独立，则A与 B ，A 与B，A 与 B 也都相互独立。
P（AB）+P（ AB）=P（A）·P（B）+P（ A）·P（B） =0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9=0.08+0.18=0.26。
（3）“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有 1人射中”2种情况，其概率为P=P（AB）+[P（A B）+P （ A B）]=0.72+0.26=0.98。
【解析】（1）因为二者不可能同时发生，所以M 与N是互斥事件。 （2）样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，事件 A={2，4，6}， 事件B={3，6}，事件AB={6}，
所以P（A）=
3＝1 62
，P（B）=
62＝13，P（AB）=
1＝1 62
13，
即P（AB）=P（A）P（B）。
故事件A与B相互独立。当“出现6点”时，事件A，B可
数学人教A版必修二第十章概率10.2事件的相互独立性
P( A)P(B),
A 与 B相互独立
提示：B BA B A,
A AB AB
二、相互独立事件的性质
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
A 与 B； A 与 B； A 与 B.
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立
22
2 2 2112 4
P(B1)
3
(1
) 3
(1
) 3
3
3
3
3
3
9
P(B2 )
2 3
2 3
4 9
设A=两轮活动“星队”猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,
且A1B2与A2B1互斥， A1与B2,A2与B1分别相互独立，
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，
B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
探究新知
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面
朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？ 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点. A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)}, 所以AB={(1,0)}. 由古典概型概率计算公式， 得P(A)=P(B)=½, P(AB)=¼. 于是P(AB)=P(A)P(B). 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
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从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是
．
1 2
[由题意知P＝8＋8 4×6＋6 6＋8＋4 4×6＋6 6＝12.]
合作探究 提素养
相互独立事件的判断
【例1】 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立 事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件 N：“出现的点数为偶数”．
队至少得3分”为B ∪C，
则P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝31×1－41＋14×1－13＋31×14＝152＋112 ＝21.
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系； (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件 的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； (4)利用乘法公式计算概率．
相互独立事件的概率的综合应用
[探究问题] 1．如果事件A，B相互独立时，那么事件A与事件 B ，事件 A 与 事件B，事件 A 与事件 B 各是什么关系？ [提示] 事件A与事件 B 相互独立，事件 A 与事件B相互独立， 事件 A 与事件 B 相互独立．
思考：(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形 吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
[提示] (1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事 件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1， A2，…，An相互独立．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1， A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
第十章 概 率
10.2 事件的相互独立性
学习目标
核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个 1.通过学习两个随机事件独立性
随机事件独立性的含义．(重点、 的含义，培养学生数学抽象素
易混点)
养．
2．结合古典概型，利用独立性计 2．通过利用随机事件的独立性计
算概率．(重点、难点)
算概率，培养学生数学运算素养.
1 6
＝
1 2
×
1 3
，即P(AB)＝
P(A)P(B)．故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可
以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (2)利用性质：A与B相互独立，则A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相 互独立．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现 3点或6点”．
[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝
{3,6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝
3 6
＝
1 2
，P(B)＝
2 6
＝
1 3
，P(AB)＝
1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表
示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
D [由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1 与A2是不相互独立事件．]
相互独立事件概率的计算
【例2】 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环 赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0 分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率 为14，乙胜丙的概率为13.
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示 “第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为 C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A 与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D以第一次摸球的结果对第二 次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与 B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]
自主预习 探新知
1．相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 件A与事件B相互独立，简称为独立．
成立，则称事
2．相互独立事件的性质
当事件 A，B 相互独立时，则事件_A_与事件_－B__相互独立，事件 _－A__与事件_B_相互独立，事件_－A__与事件_－B__相互独立．
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他
连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64
B．0.56
C．0.81
D．0.99
C [Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝ 0.9×0.9＝0.81.]
3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲 对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分 别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员 获胜的概率．
[解] 记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜 A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件－D ，－E ，－F .根据各盘比赛结果相 互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为
P＝P(D∩E∩－F )＋P(D∩－E ∩F)＋P(－D ∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝ P(D)P(E)P(－F )＋P(D)P(－E )P(F)＋P(－D )P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)
＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5 ＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解]
(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝
1 3
×
1 4
×1－13＝118. (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事
件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲