大学物理第3章 刚体力学基础
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第3章例题_刚体力学基础
第7页 共9页
刚体力学基础
解 （1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
第5页 共9页
刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
第1页 共9页
3g sin l
刚体力学基础
例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
第2页 共9页
2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件
5
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
第03章(刚体力学)习题答案
内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 32 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b
面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业
L2
−
L1
=
J 2ω2
−
J1ω1
质点的动量定理
dpr
=
r F
⋅
dt
∫ r
I
=
tr F ⋅ dt =
t0
pr − pr0 = mvr − mvr0
三、刚体的角动量守恒定律
1. 角动量守恒定律
∫ 由角动量定理
r M
当
r M外
=
0
时，
外
d
t r
ΔL
= =
Δ 0
r L
r L
=
恒矢量
P.6
1
区分两类冲击摆
(1)
大作业题解
刚体力学
第3章 刚体力学基础
一、对转轴的力矩
r M
=
rr
×
r F
单位：N·m
r M
=
rr
×
r F⊥
r M
=
rr
×
r F
大小: 方向:
M = Frsinϕ
rr
→
r F
右旋前进方向
二、定轴转动定律
M z = Jβ
P.2
转动惯量(moment of inertia)
∑ 1. 定义 J = iri2mi 单位: kg ⋅ m 2
l/4 O
[ A]
mg l = 1 Jω 2 J = 7 ml 2
22
48
⇒ ω = 4 3g 7l
P.11
9．如图所示，一人造卫星到地球中心C的最大距离和
最小距离分别为RA和RB。设人造卫星对应的角动量分
别为LA和LB，动能分别为EkA和EkB，则有
(A) LB > LA，EkB > EkA
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
大学物理教案-第3章 刚体力学基础
J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。
二、力矩的功
对于 i 质点，其受外力为 F i ，则
Wi Fi dsi Fi cos α i ridθ Fiτ ridθ
Mid 对 i 求和，当整个刚体转动 d ，则力矩
的元功
dW ( Mi )d Md
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
W 2 Md 1
对于单个质点 转动惯量
J mr2 ，
质点系 转动惯量
n
J miri2 ，式中 ri 为 i 质点到轴的矩离。 i 1
质量连续分布的刚体 转动惯量 I r2dm 。 m
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
刚体的转动惯量与
刚体的质量的有关, 刚体的质量分布有关, 。
轴的位置有关。
三、转动定律的应用
三、刚体定轴转动的动能定理
Md
J
d dt
d
J
d dt
dt
J
d
d
1 2
J2
2 1
M
d
1 2
J22
1 2
J12
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
§3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材 P40 §2.4）
1、质点对固定点的角动量
ani ri 2
质点（a =常数）
v v0 at
x
x0
v0t
1 at 2 2
v2 v02 2ax x0
刚体（ ＝常数）
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 0
1
大学物理学
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
上一页 下一页
右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
上一页 下一页
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
上一页 下一页
M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
第3章 刚体力学基础
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 （忽略质量） 同向 ∑ 而 解得
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
3
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
5
第二节
平 动
定轴转动
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
第三章 刚体力学基础 课后作业
第三章 刚体力学基础 课后作业班级 姓名 学号一、选择题1、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A , 且向x 轴正方向移动，代表此简谐振动的旋转矢量为( )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(1)是正确的 (B )(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C ) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确2、关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(2)是正确的 (B ) (1)、(2)是正确的(C )(2)、(3)是正确的 (D ) (1)、(2)、(3)都是正确的3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A ) 角速度从小到大，角加速度不变(B ) 角速度从小到大，角加速度从小到大(C ) 角速度从小到大，角加速度从大到小(D ) 角速度不变，角加速度为零4、 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定5、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒二、填空题1、有甲、乙两个飞轮，甲是木制的，周围镶上铁制的轮缘。
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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解： 对 M ： M ＝ T＝ R J
J＝ 1M2R 2
对 m :m T g ma a R
解方程a得 m ： m M2g
v 2ah 4mgh
mg
2mM
v 1 4mgh
R R 2mM
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例9. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）
z
O
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第3章 刚体力学基础
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
在描述刚体的定轴转动时，采用角量描述最简单。
3.2.1 定轴转动的角量描述
角位置：(t)
角位移：(t)(t0)
角速度： d
x
dt
角加速度：
d
dt
d2
dt2
O
r
P
v
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第3章 刚体力学基础
解： dM dF rdm rg
dm m R22rdr2m R2rdr dr r o R
dM
2mgr2dr
R2
MdM 0r2m R22 gdr r3 2mgR
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第3章 刚体力学基础
M J d
dt
2mgR1m2Rd
3
2 dt
dt 3R d 4 g
t
0
dt
3R d
对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；
注意利用角量与线量的关系。
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例5: 已知光滑桌面,滑轮半径R,质量为Mc,两物体质 量分别为m1 m2 ,求两物体的加速度和绳的张力.
m2
a
m1
g
m1 解:
m1 m 2
T m 1m 2 g
N 16.581720r261820 r
2π
2π
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第3章 刚体力学基础
§3.3 刚体绕定轴转动定律
质 点 或 刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩
刚体的转动定律
刚体的转动惯量
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
3.3.1、力对转轴的力矩 (2)
(1) Z Mz
OdrP f
转动平面
M zrf
Mz frsin 方向如图
Z
f
f1
O
f2
rP
转动平面
f f1f2
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第3章 刚体力学基础
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第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
F ir isi i n f ir isii n m ir i2
外力矩
内力矩
刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
Mij
rj
j
O
dri
i Fji
Fij
Mji
MijMji
一对内力的力 矩之和为零
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第3章 刚体力学基础
F ir isi i n f ir isii n m ir i2
I = m R2
匀质细圆环
转轴沿着
环的直径
I=
m R2 2
第3章 刚体力学基础
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
I
=
m 2
(R12 +
R22
)
匀质圆柱体
转轴通过中心
垂直于几何轴
I=
m 4
R2 +
m 12
L2
匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
2 m R2 3
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
3.3.4 刚体定轴转动定4 g
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第3章 刚体力学基础
§3.4 刚体绕定轴转动的功能关系
3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能
在刚体上任取一质点Pi
z
质点Pi的动能为 Eki 12Δmivi2 12Δmiri22
，
R3 sin3d
J ( 1 R5 sin5 )d 02
8 R5 2 mR2
15
5
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第3章 刚体力学基础
z r
y R O
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
*平行轴定理： 以JC表示相对通过质心的轴的转动惯 量，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，
00t12t2
2 0 2 2 0
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。 求 在这段时间内，转子转过的圈数。 解 根据题意，设 kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
3.3.2、刚体绕定轴转动定律
对 mi用牛顿第二 定律：
F ifim ia i
切向分量式为：
Fisini+fisini= miait
z
fi O ri i
mi
ait=ri 两边乘以ri
F ir isi i n f ir isii n m ir i2
Fi i
外力矩
内力矩
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第一篇 力学基础
用 M 表示合外力矩
则有 MJ
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
3.3.3 、转动惯量
定义： J Δmiri2 （质量离散分布）
i
若质量连续分布 J r2dm
质量为线分布
质量为面分布
1 3
mLL2
Jo
2 5
mo
R2
mO
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
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第一篇 力学基础
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匀质矩形薄板
转轴通过中
心垂直板面
I=
m 12
(a2 + b2
)
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
2.1 平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动 过程中始终保持方向不变。 特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加 速度。
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第3章 刚体力学基础
2.2 转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。 若转轴固定不变，则称为定轴转动。 特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和 角加速度。
质量为体分布
dm dl
dmds dmdV
为质量的线密度 为质量的面密度 为质量的体密度
线分布
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面分布
体分布
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
刚体的转动惯量与下列因素有关： （1）与刚体的体密度有关。
J r2dm
（2）与刚体的几何形状(即体密度的分布)有关。
（3）与转轴的位置有关。
单位 ∶ kg m2
则有：J＝JC＋md2。
d
C mO
这个结论称为平行轴定理。
*叠加原理：对某一转轴的总转动惯量＝各部分物 体对同一轴的转动惯量之和
J=JA+JB+JC＋…
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第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例4、 右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直的轴的转
mL
动惯量如何计算？(棒长为L、
圆半径为R）
JL1
第3章 刚体力学基础
第一类问题 —— 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d dt
d
dt
d2
dt2
第二类问题 —— 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
0
t dt
0
0
tdt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0t
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dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
0
0
t 时刻转子的角速度为
1 kt 3 3
当t =150s，转子的角速度为 2 π 12r0 a s0 -1 d 0 4π 0r 0 sa -1 d
60
则有
k
3 t3
3 145 30 πr00 as-d 41 3 0 ras-d 4
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➢ 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向 沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。
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第一篇 力学基础
3.2.2 角量和线量的关系
vr
at r
an 2rv
矢量表示：
x
v r
a r 2 r
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第3章 刚体力学基础
O
r
P
v
第一篇 力学基础
3.2.3 刚体定轴转动运动学的两类问题
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第3章 刚体力学基础
例6、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为ｍ的物 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物 mg 体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度 和此时滑轮的角速度。