初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题

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初中数学竞赛专题：不等式

初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组）

5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π

y 与

y 的大小. 解析首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π

<,所以110π

y y >

5.1.2★解关于x 的不等式

233122x x

a a

+-->

. 解析由题设知0a ≠,去分母并整理得

(23)(23)(1)a x a a +>+-.

当230a +>,即3

(0)2

a a >-≠时,1x a >-；当230a +=,即32

a =-时,无解；当230a +<,即32

a <-时,1x a <-.

评注对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.

5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-

x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知

20,

434.29a b b a a b -<⎧⎪

-⎨=⎪-⎩

所以 2,

7.8a b b a <⎧⎪⎨

=⎪⎩

由728a a <,可得0a <,从而0a <,78

b a =. 于是不等式(4)230a b x a b -+->等价于

721

()2028

a a x a a -+->,

即5528ax a ->,解得14

x >-. 所求的不等式解为14

x >-.

5.1.4★★如果关于x 的不等式

(2)50a b x a b -+->

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-定值与最值

初中数学竞赛辅导讲义---几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．

思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=

AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．

【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆

初中数学竞赛第十二讲几何不等式(含解答)

第十二讲几何不等式

一、选择题

1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b ; B．2b < a + c ; C．c – b > a; D．2b< ac

2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）

A．0°< ∠B < 64°; B．58°< ∠B < 64°

C．58°< ∠B < 122°; D．64°< ∠B < 122°

3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）

A．2 < c < 4; B．2 < c < 3; C．2 < c < 10; D．22< c < 10

4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，

即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）

A．x > y > z ; B．x = z > y

C．x = z < y; D．x < y = z

5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b<c，若b =

7，那么这样的三角形共有（）个。

A．21; B．28; C．49; D．14

二、解答题

1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。

求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]

最值问题求法

例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）

A．27 B、 18 C、15 D、 12

例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）

A、 1

B、 2

C、 3

D、 4

例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是

——————————

。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大

值的和是

————————

。

例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为

-------------------，最小值为

--------------------

。

（二）、直接运用a 2＋b 2

≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋3

＋21

X 的最小值。

例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2

＋d 2 =316

，求a 的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。

例题（9）、求函数Y = 12

初中数学竞赛辅导2021届人教版初中数学第17章《几何不等式与极值

初中数学竞赛辅导2021届人教版初中数学第17章《几何不等式

与极值

2021年初中数学竞赛辅导专题讲义

第17章几何不等式与极值问题

17.1.1★一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值．解析

考虑这个凸行边缘的n个外角，n？四角≥ 90?, 为什么？N4.90?? 360? （严格）

小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此n?8，n的最大值是7．易构造这样的例子。如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k?3.

17.1.2 ★ 在里面△ ABC，AB？AC，P是BC侧的高ad点。验证：ab？交流电？PB个人计算机

apcbd

分析

易知ab?ac?pb?pc，

又是AB2？ac2？bd2？cd2？pb2？pc2

故有ab?ac?pb?pc．

评论的读者可能希望考虑AD是角平分线和中线的情况。

17.1.3已知四边形abcd，ac、bd交于o，△ado和△bco的面积分别为3、12，求四边形abcd面积的最小值．

adobc

解析

易懂

s△abobos△bco??，故s△abo?s△cdo?s△ado?s△bco?36.s△adodos△dco从而

s△abo?s△cdo≥2s△abo?s△cdo?12，

什么时候△ 阿布？当s时，等号成立△ CDO（此时，四边形ABCD为梯形），因此四边形ABCD面积达到最小值27

17.1.4★已知：直角三角形abc中，斜边bc上的高h?6．（1）求证：bc?h?ab?ac；（2）求?bc?h?-?ab?ac?.解析

22? 卑诗省？H2.ab？交流电？

2?bc2?h2?2bc?h?ab2?ac2?2ab?ac，

初中数学竞赛辅导资料(七八年级部分)11-5最值问题6绝对值42

初中数学培优辅导资料

姓名：过关：成绩：

（五）最值问题

1. （本题7分）若x ,y 是实数，求19993322+--+-y x y xy x 的最小值。

2. （本题7分）若xy =1,求代数式

4411y x +的最小值。

3. （本题7分）设21、x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2

221x x + 有最小值，并求这个最小值。

（六）绝对值的几何意义（每小题5分）

1.已知a是有理数，则| a－2007|+| a－2008|的最小值是。

2.若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是。

3.不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是。

4. 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是。

5. 已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，则x+ y最大值是，最小值是．

（七）平面直角坐标系与一次函数（每小题6分）

1.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

2．在平面直角坐标系中，已知A（2，•－2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P 有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3.过点P（－1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）

（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条

4.若k、b是一元二次方程x2+px－│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增

初中数学竞赛：平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB ∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R 的最大值即可．

解作DE⊥AB于E，则

x2=BD2=AB·BE

＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，

所以

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有

所以2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．

例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有

2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则

把①代入②有

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

珍藏初中数学竞赛中最值问题求法应用举例

初中数学竞赛辅导专题（三）

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例

最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：（一）根据非负数的性质求最值。

1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。

2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。

3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。

【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】

例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2

= 9，则代数式（a － b ）2 +

（b —c ）2 +（c － a ）2

的最大值是（）

A ．27

B 、 18

C 、15

D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)

=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2

= 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。】例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +

初中几何第07讲几何不等式(1)

第七讲几何不等式（1）

几何问题中出现的不等式称为几何不等式．解数学竞赛中出现的几何不等式，需要熟悉几何中有关的基本不等式和常用的定理，还要掌握代数方法和三角方法．

1．有关证明线段不等的公理和定理

(1) 在联结两点的所有线中，线段最短．

(2) 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3) 定点P到定直线的最短距离，是从P向定直线所作的垂线段的长．

(4) 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的所对的第三边也大．

(5) 托勒密不等式：在四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．

(6) 欧拉定理,欧拉不等式

若△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，两圆心间的距离为d，则d=)2

R-，当且仅当△ABC为正三角形时，d=0. R≥2r

(7) 埃德斯——莫德尔不等式

设P为△ABC内任意一点，Ra, R b, Rc分别表示P到顶点A、B、C的距离，

d a, d b, d c分别表示P到三边BC，CA，AB的距离，则R a+ R b+ R c≥2(d a+ d b+ d c)

(8) 费尔马点

在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的点成为费尔马点，当∠BAC≥120°时，A点即为费尔马点，当△ABC内任一内角均小于120°时，则与三边张角均为120°时的P点即为费尔马点.

2．有关证明角不等的定理

(1)三角形的任何一个外角大于和它不相邻的任意一个内角．

(2)在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．

初中数学竞赛知识点和真题第24讲几何极值

第24讲几何极值

代数不过是书写的几何，而几何不过是图形的代数。 ——索菲娅·格梅茵知识方法扫描

求几何量（如线段的长度，角的度数，平面图形的面积，立体图形的体积）的最大最小值的问题，或确定某些几何元素（如点）的位置，几何量有最大最小的问题称为几何极值问题。处理几何极值问题一般有两种方法：几何方法和代数方法。

1．几何方法：利用几何量之间的不等关系如

两点之间线段最短；过直线外一点向直线引的线段中、垂线段最短；三角形任何两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边；三角形中大角对大边；同一圆中, 弦心距越小, 它所对的弦越大等结论来求几何极值的方法。

另外，在用几何方法求几何极值时，几何变换是重要的方法。

2．代数方法：先将几何图形中量的计算转化为代数的问题, 然后通过代数式的恒等变形, 利用一次函数、二次函数的有关性质或构造二次方程, 利用根的判别式, 或利用不等式的性质来处理等方法。数形结合是一种重要的数学解题策略。

经典例题解析

例1(1998年北京市竞赛试题)如图, 矩形ABCD 中, AB ＝20cm, BC ＝10cm, 若在AC 、AB 上各取一点M 、N, 使BM ＋MN 的值最小, 求这个最小值.

解取B 点关于AC 的对称点B′, 连结AB′, AB′交CD 于P, 则N 点关于AC 的对称点N′必在AB′上, 连结MN′, 则MN′＝MN, 问题转化为求BM ＋MN′的最小值.

自B 作BH ⊥AB′于H, 则BH 为BM ＋MN′的最小值, 也即BM ＋MN 的最小值.

连结PB, 则S △PAB ＝2

初中数学竞赛：几何的定值与最值(附练习题及答案)

初中数学竞赛：几何的定值与最值

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．

思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

(2)端点处、临界位置等．

【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（）

人教版初中数学竞赛专题复习第17章几何不等式与极值问题(含答案)

第17章几何不等式与极值问题

17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值．解析

考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90︒≥,故有()490360n -⨯︒<︒（严格小

于是由于4个钝角的外角和大于0︒）,因此8n <,n 的最大值是7．易构造这样的例子。如果恰好有k 个钝角,则n 的最大值是3k +.

17.1.2★ 在ABC △中,AB AC >,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-.

B A

解析

易知AB AC PB PC +>+,

又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-,

故有AB AC PB PC -<-．评注读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．

17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值．

B O

解析

易知

ABO BCO

ADO DCO

S S BO S DO S ==△△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.

从而12ABO CDO S S +△△≥,

且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.

17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =．（1）求证：BC h AB AC +>+；（2）求()()2

BC h AB AC ++-. 解析

七年级数学竞赛题：最大值与最小值

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量，或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题．在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：。

1．通过枚举选取；

2．利用完全平方式性质；

3．运用不等式(组)逼近求解；

4．借用几何中的不等量性质、定理等．

解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大(或更小)，另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子．

例1 若c为正整数，且a＋b＝ｃ，ｂ＋ｃ＝ｄ，ｄ＋ａ＝ｂ，则（ａ＋ｂ）·（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ｄ）（ｄ＋ａ）的最小值是________．

(北京市竞赛题) 解题思路条件中关于c的信息最多，应突出c的作用，把a、b、d及待求式用c的代数式表示．

例2 多项式5ｘ2一4xy＋4y2＋12x＋25的最小值为( )．

(“五羊杯”竞赛题) (A)4 (B)5 (C)16 (D)25

解题思路由多项式的特点联想到完全平方式，关键是正确地拆项与恰当地组合，以便得到完全平方式并利用其性质求最小值．

例3 如图，设A、B、C、D是四个居民小区，现要在四边形ABCD内部建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离总和最小?

(全国“数学知识应用”夏令营试题) 解题思路先确定购物中心所建位置，然后从反面说明此点能满足要求．．

例4某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表

七年级数学最大值最小值题型

七年级数学中，最大值和最小值的题型是比较常见的。以下是一些常见的题型：1.代数式求最值：给定一个代数式，求其最大值或最小值。例如，已知x、y、z均为非负数，且满足x+y+z=30，求M=5x+4y+2z的最小值和最大值。

2.实际应用题：在解决实际问题时，经常需要求最值。例如，求一个几何图

形中最大面积或最小周长等问题。

3.最大（小）值点问题：给定一个函数，求其最大（小）值点。例如，求二

次函数y=ax²+bx+c的最大（小）值点。

4.利用不等式求最值：通过不等式的性质，将代数式进行适当变形，然后利

用不等式求解。例如，已知x、y、z均为正数，且满足x+y+z=3，求xy+yz+zx 的最小值。

5.利用函数的单调性求最值：通过函数的单调性来判断函数的最值。例如，

求一个二次函数在指定区间内的最大（小）值。

以上是一些常见的最大值和最小值的题型，需要学生掌握相应的解题方法和技巧。同时，还需要多做练习题，加深对知识的理解和掌握。

初中数学竞赛：几何不等式

平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．

几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．

定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．

定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．

定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．

定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．

定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．

说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，

由勾股定理知

PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，

所以

PA2-PB2=HA2-HB2．

从而定理容易得证．

定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有

PA≤max｛AB，AC｝，

当点P为A或B时等号成立．

说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题25 平面几何的最值问题

专题25平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．

求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．

2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．

3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解

【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M 作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）

解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．

a )，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延

【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b(b

长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）

解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab