2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题导数及应用(学生版)

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2012届高三二轮备考抓分点透析之数学(理)(升级版)专题2函数与导数

2012届高考数学二轮复习专题二函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）答案：B解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．A B C D2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ．当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或．故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =．当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<，因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．（1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．解析：（1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >，此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a --==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =--当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--，设1()22ax g xx =--，2221()1'()222a x a a g x x x-=-+=，令'()0g x =得x=或x =舍去)，当1>a时，101a <<，当(0,x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x 取得最大，最大值为g = 所以b ≥．当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4．定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为．5．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3．答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)f ff -<<，故选D ．4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=， (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++，由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-．（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-，故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-，令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --．②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x xx =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩，所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……②联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()g x '=有两个实数根1211(2(2x x ==+(),()g x gx '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=+x 时，()g x 有极小值．。

2012高考数学最后冲刺导数及其应用

最后冲刺【高考预测】 1.导数的概念与运算 2.导数几何意义的运用 3.导数的应用 4.利用导数的几何意义 5.利用导数探讨函数的单调性 6.利用导数求函数的极值勤最值易错点 1导数的概念与运算1．（2012精选模拟）设f 0(x)=sinx,f 1(x)=f ’0(x),f 2(x)=f ’1(x),…,f n+1(x)=f ’n (x),n ∈N,则f 2005(x) ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 【错误解答】选A 【错解分析】由f ’1(x)=f ’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…,f2005(x)=f ’2004(x)=…=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。

因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.【错误解答】选B ∵f(x)=2x+1,∴f ’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.【错解分析】上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。

【正确解答】选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f ’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f ’(1)=33.(2012精选模拟题) 已知f(3)=2f ’(3)=-2，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）A ．-4B ．0C ．8D ．不存在【错误解答】选D ∵x →3,x-3→0 ∴3)(32lim3--→x x f x x 不存在。

【错解分析】限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求的。

[对诊下药] 选C3)(32lim3--→x x f x x =326)]3()([3lim3-+---→x xf x f x =32]3)3()(32[lim 3-=---→x f x f x .8)2(32)3('32]3)3()([lim 3=-⨯-=-=--→f x f x f x【特别提醒】1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a 处可导，则)(')()(lima f a x a f x f n =--∞→ 的运用。

2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题数列(学生版)

数列一、高考预测数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．二、知识导学要点1：有关等差数列的基本问题1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；要点向3：等差、等比数列综合问题1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由n S求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。

2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题_概率与统计(理科)(学生版)

3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
要点 5 正态分布与线性回归
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012学年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题07_平面解析几何(学生版)

平面分析几何-无答案一、高考预测分析几何初步的内容主要是直线和方程、圆和方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个分析几何的基础，在分析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面分析几何的主要内容是圆锥曲线和方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高测试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线和方程、圆和方程的基本问题，偏向于考查直线和圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则和圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，分析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线和圆的基础知识和方法，而在分析几何解答题中考查该部分知识的使用．圆锥曲线和方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其使用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线和曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数和方程思想、等价转化思想、分类和整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线和方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．分析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习分析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．分析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在分析几何中的使用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在分析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数和方程思想、化归和转化思想，如分析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习分析几何时要充分重视数学思想方法的运用．二、知识导学(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+b y a x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行和相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程和参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）(五)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距和长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 和一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a c e =（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ和直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 和三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内和两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系和椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n m y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）和到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），和它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c a x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =和222b a c +=的关系，和椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题导数及应用(学生版)

导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2019年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数(教师版)

三角函数一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。

解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。

成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。

图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。

3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

2012届高考数学一轮精品14.3导数的应用(考点疏理典型例题练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品：14.3导数的应用（考点疏理+典型例题+练习题和解析）14.3导数的应用【知识网络】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在解决实际问题中的作用．【典型例题】[例1]（1）函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )．(2,)+∞ Ｂ．(,2)-∞ Ｃ．(,0)-∞ Ｄ．(0,2)（2）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个（3）已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（）A ．极大值274，极小值0 B ．极大值0，极小值274C ．极小值－274，极大值0D ．极大值－274，极小值0 （4）设函数)(3x x a y -=的递减区间为)33,33(-，则a 的取值范围是．（5）函数]1,0[11)(22在x x x x x f -++-=上的最小值是 . [例2] 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.[例3] 已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.[例4] 已知,a R ∈函数2().f x x x a =-（Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.【课内练习】1．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A ．2B ．3C ．4D ．52．函数y=x 3－3x 的单调递增区间是（）A ．（－1，1）B ．（－∞，－1）C ．（－∞，－1）和（1，＋∞）D ．（1，＋∞）3．若函数y=x 3－2x 2＋mx ，当x=13时，函数取得极大值，则m 的值为（） A ．3B ．2C ．1D ．234．函数212xxy +=在（）A ．（－∞，+∞）内是增函数B ．（－∞，+∞）内是减函数C ．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数5．已知函数f(x)=x3－12x在区间（－∞，－2）与（2，＋∞）内是增函数，在（－2，2）内是减函数，那么这个函数的极大值是；极小值是．6．函数y=x4－2x3在[－2，3]上的最大值是；最小值是．7．已知函数y= 3x3＋2x2－1在区间（m,0）上为减函数，则m的取值范围是．8．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间．9．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?10．已知函数f(x)=d cx bx ax +++2331,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-0,2ab］上，'1()f x x 在处取得最大值，在处取得最小值2x ，将点依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C(I)求0x 的值(II)若△ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a ,d 的值14.3导数的应用【典型例题】[例1] （1）D ．提示：直接求导后看极大值点与极小值点．（2）A ．提示：给出的函数图象是导函数图象不是原函数图象．（3）A ．提示：据f(1)=0,f′(1)=0,求a,b,在通过求导得极值．（4）0>a 提示：与函数的极值点联系．（5）53．提示：先判断在给定区间上的单调性． [例2]. 解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭例3、解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在例4、解：（1）当a=2时,()22f x x x =-，则方程f(x)=x即为22x x x -=解方程得：1230,1,1x x x == （2）（I ）当a>0时,()32223,,x ax x af x x x a ax x x a⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩，作出其草图见右, 易知()f x 有两个极值点1220,3ax x ==借助于图像可知当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上为增函数，此时()()min 11f x f a ==- 当12a <≤时,显然此时函数的最小值为()0f a = 当23a <<时，42233a <<，此时()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴(){}min min (1),(2)f x f f =，又可得()()11,248f a f a =-=- ∴()()2137f f a -=- 则当733a ≤<时，()()210f f -≥，此时()min (1)1f x f a ==-x当723a <<时，()()210f f -<，此时()min (2)48f x f a ==- 当3a ≥时，223a≥,此时()f x 在区间[]1,2为增函数，故()min (1)1f x f a ==-(II)当0a =时，()2f x x x =，此时()f x 在区间[]1,2也为增函数，故()min (1)1f x f == （III ）当0a <时，其草图见右显然函数()f x 在区间[]1,2为增函数，故()min (1)1f x f a ==-【课内练习】1．B 提示：令导数等于0． 2．C ．提示：求导后找极值点． 3．C ．提示：f′（13）=0 4．D ．提示：求导后判断单调性． 5．16，－16．提示：利用极值定义． 6．32，－2716．提示：考虑区间端点函数值和极值的大小． 7． [－49，0）．提示：考虑导函数在（m,0）内恒为负． 8．(1)减；（2）－1≤a≤0,(－1,+∞) 减; a>0, 1(1,)a -减,1(,)a+∞增.9．设容器的高为x ，容器的体积为V ，则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24) =4x 3-276x 2+4320xx∵V′=12 x 2-552x+4320由V′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960 10． (I)解:2b a c =+22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++令()0f x '=,得1c x x a=-=-或 0,00a d a b c>>∴<<<1,1c ca a ∴>-<- 当1cx a-<<-时, ()0f x '<;当1x >-时, ()0f x '>所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =- (II)2()2(0)f x ax bx c a '=++>()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为bx a=-由1ba>知2|(1)()||0()|b b b a a a ---<--()f x '∴在2[1,0]ba-上的最大值为(0)f c '=即1x =0又由21,[1,0]b b b a a a>-∈-知 ∴当b x a=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3f x f a =-=- 21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2221,a =3(1)3d a d a-=-即又由三角形ABC 的面积为32+得1(1)()223b ac a -+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,得222(2)3d d a+=联立(1)(2)可得3,d a ==.解法2: 2()2(0)f x ax bx c a '=++> 2(1)0,(0)b f f c a''-== 又c>0知()f x 在2[1,0]b a -上的最大值为(0)f c '= 即: 1x =0又由21,[1,0]b b b a a a>-∈-知 ∴当b x a=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3f x f a =-=- 21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2221,a =3(1)3d a d a-=-即又由三角形ABC 的面积为32+得1(1)()223b ac a -+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,得222(2)3d d a+=联立(1)(2)可得3,d a ==．。

2012年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题08立体几何(学生版)

（ B）四边形
（ C）五边形
（ D）六边形
（ 2）在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P、Q、R 分别是 BC 、 CC1 、 A1C1 的中点，作出过
三点 P、 Q、 R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，
答案：五边形。基本思想是平移，同时对
以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz( 如图 ) ，设 AB a ,
则 A( 2 a,0,0) , B(0, 2 a ,0) , C(
2
2
(I)
D 为 PC 的中点，
2 a,0,0) . 设 OP h , 则 P (0,0, h)
2
OD ＝ ( 2 a,0, 1 h) ，又 PA ( 2 a, 0, h ),
2
2
求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况
即可 .
4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算
. 两异面直线所成角、直线与
平面所成角的计算是重点 . 求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去
求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围
夹角大小这一重要方法 1、在三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB 2BB1 ，则 AB1与 C1B 所
成角的大小为（
） A、 600 B 、 900 C 、 1050 D 、 750
【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。
解析：如图 D1, D 分别为 B1C1, BC 中点，
连结 A D, 1D C，设

2012届高考数学二轮复习专题一第5讲导数及其应用

第5讲导数及其应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为____________．2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．6．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．11．函数f (x )＝2m cos 2x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．二、解答题13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)14.若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围．答案1．(1,0) 2.[32，2] 3．(－1，＋∞)4．(－∞，10) 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 6．[1，＋∞) 7.358．0<t <1或2<t <3 9．[1，＋∞)10．[－2，－1] 11．±1 12.12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e13．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．14．解因为f (x )图象过点P (0,1)，所以c ＝1，即f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，则f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ①由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，得a ＋b ＋1＝－1.②由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2＋1.15．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，－a ＋c －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527.又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增．又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b .依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立，当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求．当x ＝b6≤－2时，即b ≤－12时，[f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在．当－2<b 6<1即－12<b <6时，[f ′(x )]min ＝12b －b 212≥0，∴0≤b <6，综上所述b ≥0.。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题04 导数及应用(教师版)

导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。

2012届高考数学备考复习：导数及其应用

2012届高考数学备考复习：导数及其应用专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数及其应用【最新考纲透析】1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。

（2）理解导数的几何意义。

2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。

（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。

3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2）了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。

（2）了解微积分基本定理的含义。

【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。

2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。

考向链接：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，求得切线方程为。

注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。

例1：（2010 •海南高考•理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程【规范解答】选A因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。

2012年高考数学二轮专题复习专题1第5讲导数及其应用课件

k 的取值范围是－12，0.
题型三利用导数研究函数的极值或最值
例 3 已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，
且函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对称．
(1)求 m、n 的值及函数 y＝f(x)的单调区间；
(2)若 a>0，求函数 y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
(2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)；②求 f′(x)＝0 的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f′(x)； ②求 f′(x)＝0 的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．
考题分析本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对分类讨论思想的理解和应用．
易错提醒 (1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系． (2)易忽视函数的单调性与导函数的关系． (3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键． (4)易忽视分类讨论．
解 (1)所求切线的斜率为 y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切
线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
(2) 设曲线
y
＝
1 3
x3
＋
4 3
与
过
点
P(2,4) 的切线相切于点
Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为 k＝y′| x＝x0＝x20，切线方程为 y－13x30＋43 ＝x02(x－x0)，因为点 P(2,4)在切线上，
变式训练 1 已知曲线 C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.

广东省2012届高考数学理二轮专题复习课件专题1第05课时导数及其应用

x
x
x
6，a 7，
当且仅当x 3时，a 7.
所以a的最大值为 7.
1．对于由几类基本初等函数复合而成的函数的单调性、极值和最值问题运用导数这一工具来解决是便利的，正因为这样，作为大学“下放”的数学内容，这种方法的考查为命题的老师屡试不爽，而且考一些求导之后变为二次函数的问题，其中含参数的问题是参考点，分类讨论是重要方法与手段．
3 先变形，等价转化为证明xlnx

x ex

2 ，即 e
转化为函数的最值问题．
解析1 f x =lnx 1.
当x (0，1)时，f x 0，f x单调递减；
e
当x (1，+)时，f x 0，f x单调递增．
e
则①当0 t t 2 1时，t无解； e
故实数a的取值范围是(，4]．
3问题等价于证明xlnx

x ex

2，x (0，+)． e
由1可知f x xlnx，x (0，+)的最小值为
1，当且仅当x 1时取得．
e
e
设m x

x ex

2，x (0，+)，则m x
e

1 x， ex
易得 m xmax
2
所以当x ( 1 ，1)时，f x 0，f x单调递减．
22
当x (1 ， )时，f x 0，f x单调递增．
2
所以f x的最小值为f (1) 1 ln2.
24
考点3 导数在不等式问题中的应用
例3 已知f x xlnx，g x x2 ax 3.

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