单元二 正弦交流电路

O
1 = Um I m (1 − cos 2 ω t ) 2
结论: 结论
ωt
耗能元件） 且随时间变化。 p ≥ 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 平均功率(有功功率)
瞬时功率在一个周期内的平均值
T T
i
+ u _ R
1 1 P = ∫ p dt = ∫ u ⋅ i dt T 0 T 0 p p 大写 T1 1 = ∫ Um Im (1 − cos2 ω t ) dt T 0 2 1 T = ∫ UI (1 − cos2 ω t )d t = UI O T 0 U2 单位:瓦 单位 瓦（W） ） = I 2R = P = U× I R
jψ
相量的模= 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
注意: 注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i = Imsin (ω t + ψ ) = I m e jψ = I m ψ =
②只有正弦量才能用相量表示， 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上
I=
1 T 2 ∫0 i dt T
有效值都是正的啊！ 有效值都是正的啊！
Im 1 T 2 2 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 T Um Em 同理： 同理： U = E= 2 2 注意： 注意： 交流电压、 交流电压、电流表测量数据为有效值
交流设备名牌标注的电压、 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
单元二 正弦交流电路
主要内容
正弦交流电的三要素 正弦交流电的表示法 单一参数的正弦交流电路（纯电阻、 单一参数的正弦交流电路（纯电阻、纯 电容、纯电感） 电容、纯电感） RLC串联电路 串联电路 电路中的谐振
本章要求
1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。 会画相量图。 3.了解正弦交流电路的频率特性，串、并 3.了解正弦交流电路的频率特性 了解正弦交流电路的频率特性， 联谐振的条件及特征； 联谐振的条件及特征；
ϕ = ψ1 − ψ 2 = 180°
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: 注意: 同频率的正弦量之间的相位差为常数 的正弦量之间的相位差为常数， ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。 与计时的选择起点无关。
i i 1
i2
ωt
ϕ
O
不同频率的正弦量比较无意义。 ② 不同频率的正弦量比较无意义。 P26 例题 例题2-2
u i
_
ωt
R
正弦交流电的优越性： 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于传输；易于变换 便于运算； 便于运算； 有利于电器设备的运行。 有利于电器设备的运行。
正半周
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ _ _ _ _
+
⊕ + u _ _
+ u _
R
负半周
设正弦交流电流： 设正弦交流电流：
Im
Ψ
i
O π 2π π T
实质：用复数表示正弦量 实质： 设正弦量: 设正弦量 u = Umsin ( ω t + ψ ) 相量表示: 相量表示: b
+j
A
r ψ
0
a
+1
相量的模= & = Ue j ψ = U ψ 相量的模=正弦量的有效值 U 相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
或：
& Um = Ume = Um ψ
解: (1) 相量式
& U2
& U1
+1
& U1 = 220 + 20 °V & U2 = 110 + 45 °V
(2) 相量图
& & U 1 落后于U2
45° 20°
& U2
超前 U & ？ 落后 1
2.3 单一参数的交流电路
分析各种正弦交流电路， 分析各种正弦交流电路，不外乎要确定电路中电 压与电流之间的关系（大小与相位），并讨论电路中 压与电流之间的关系（大小与相位），并讨论电路中 ）， 能量的转换和功率问题。 能量的转换和功率问题。 分析各种交流电路时， 分析各种交流电路时，必须首先掌握单一参数 （电阻、电感、电容）元件电路中电压与电流之间 电阻、电感、电容） 的关系， 的关系，因为其他电路无非是一些单一参数元件的 组合而已。 组合而已。
-
= 2 U sin ( ω t + 90 °)
u i u i
90°
O
① 频率相同 ② U =Iω L 电压超前电流90° ③ 电压超前电流90° ωt 相位差 ϕ = ψu −ψi = 90 °
i = 2 I sin ω t u = 2I ωL⋅sin ( ωt + 90 °)
有效值: 有效值: U = I ⋅ ωL
一般取曲线由负值变为正值时的零点与坐标原点 间的角度作为初相角。规定不得超过+ 180° 间的角度作为初相角。规定不得超过+-180°
相位差△φ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 同频率的正弦量之间的初相位之差。 的正弦量之间的初相位之差 如： u
= U m sin( ω t + ϕ 1 ) i = I m sin(ωt + ϕ 2 ) ∆ϕ = (ω t + ϕ 1 ) − (ω t + ϕ 2 ) u i = ϕ1 − ϕ2
2.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的三种表示方法 波形图
O
u
ωt
解析式表达式 相量
u = U m siຫໍສະໝຸດ ( ω t + ψ )必须 小写
& U = U∠ψ
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2.正弦量用旋转相量表示 2.正弦量用旋转相量表示 设正弦量: 设正弦量 u = Umsin (ω t + ψ )
正误判断
u = 220 sin(ω t + 45°)V
220 U = 45 ° V ？ 2
• 有效值
1.已知： 1.已知： 已知
3.已知： 3.已知： 已知
& = 4 e j30 ° A I
瞬时值
复数
= 4 2 sin (ω t + 30 °)A ？
4.已知： 4.已知： 已知
2.已知： I = 10 60 ° A 已知： & 已知
O T
ωt
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz 电网频率： * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ 高频炉频率： * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz 中频炉频率： * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz 无线通信频率： 30
2.1.2 幅值与有效值
瞬时值：任一时刻的电压、电流值。 瞬时值：任一时刻的电压、电流值。用小写字 母表示， 母表示，如 i、u、e。
P
ωt
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
2.3.2 纯电感元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 设： = 2 I sin ω t i
di 基本关系式 u 关系式： 基本关系式： = −eL = L dt
i
+
L
u
eL +
d( Imsin ω t ) u= L dt = 2 Iω L sin ( ω t + 90 ° )
& U = 100 − 15 ° V
负号 U √ 100 V ？ = & = 100 e j15 o V ？ U
i = 10 sin ( ω t + 60° )A ？
最大值
例2: 将 u1、u2 用相量表示
u1 = 220 2 sin (ω t + 20° ) V
+j
P28 例题 例题2-3
u2 = 110 2 sin (ω t + 45°) V
有向线段以速度 ω 按逆时针方向旋转
参考方向可以选择坐标轴，也可以选择任意一相量 参考方向可以选择坐标轴， 表示方法 旋转向量法注意事项 只适用于同频率正弦交流电的加减 合成正弦量的瞬时值等于各正弦量瞬时值代数和， 合成正弦量的瞬时值等于各正弦量瞬时值代数和， 最大值等于各最大值相量和
正弦量的相量表示
定义： XL =ωL= 2 f L 定义： π 则:
U 或 I= ωL
感抗(Ω) 感抗(Ω) 相位差
ωt
i = Im sin(ω t +ψ )
初相角：决定正弦量起始位置 初相角： 角频率：决定正弦量变化快慢 角频率： 幅值：决定正弦量的大小 幅值：
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
2.1.1 频率与周期
周期T 周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 f= Hz） （Hz） 频率f 频率f： T 2 π 角频率： 角频率： ω= πf （rad/s） =2 rad/s） T i
2.1.3相位、初相位与相位差 相位、 相位
相位：ω t 相位：
+ϕ
i = Imsin ωt +ϕ) ( i