函数单调性在函数不等式证明中的运用探讨

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浅谈运用函数的单调性证明不等式的若干策略

令ｇ）１［ｌｘ１， ≥ ）（＝一一１ｎ一）（２＋（］
故ｇ（） — ≥ （２，＝ —等０ ≥ ）
设（Ｘ２＋ｌ＋，ｆ一，ｇ）２Ｘ（），－（）１０］＝１ｎ，
ｇ）２２（）ｆ］，＝（，一＝（一＋）＋ｇ吉０ｌｎ
函数的单调性是函数的一个重要性质，２００９年高考有很多省的压轴题都与函数的单调性有
・
．．
ｇｘ在［，ｏ上为增函数，ｆ）２＋。）
故当ｘ时，ｇｘ（）０２（）２＝，ｇ
・・・
关系，因此，利用函数的单调性解题是值得关注
４０
福建中学数学
２１年第１００期
情趣，更体验了自主探索问题的价值，培养了数学思维能力．
维方法，利用数学内容之间的内在联系，以及蕴
涵在实际生活中的实例，科学知识中的思想方及
法，用类比、推广、特殊化、化归等数学思考与维能力．“ 知道梨子的味道，就要亲口尝一下” 要要体验数学探究的情趣，体验数学的美，就要动手、动脑用心去探究、发现．同学们，学数学趁年轻，赶快融入到高中课标课程试验的优越平台中去磨练吧！
学习始于疑问，过“ 察” “ 通观、思考” “ 究” 、探
是高中数学课标课程的理念，学数学要探索自己的学习方法，充分发挥问题的作用，善于思考、探究，纵向比较，横向联系、类比，找出规律，

浅谈高中数学函数的单调性

浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是数学学习中一个重要的概念，本文将探讨函数的增减性及其判定方法、一阶导数与函数的单调性、函数单调性的应用举例、函数单调性的性质以及单调函数的图像特征。

通过这些内容，我们可以更好地理解函数的单调性在数学中的应用，以及单调性在数学学习中的重要性和深层意义。

通过学习函数的单调性，我们可以提高数学学习的效果，深化对数学知识的理解，从而更好地应对数学学习的挑战。

函数的单调性不仅是数学学习中的一个基础概念，更是我们理解数学世界中规律和关系的重要窗口。

通过本文的学习，我们将更深入地掌握高中数学函数的单调性，为提高数学学习效果提供有效的方法和思路。

【关键词】高中数学、函数、单调性、增减性、判定方法、一阶导数、应用举例、性质、图像特征、重要性、深层意义、提高学习效果1. 引言1.1 高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中非常重要的一个概念，它在数学领域中具有重要的应用和意义。

在高中数学课程中，函数是一个核心概念，贯穿于整个数学学习的过程中。

函数不仅是理解和掌握数学知识的基础，更是解决实际问题和进行数学推理的重要工具。

函数是数学分析和推理的基础。

通过研究函数的性质和变化规律，可以辅助我们解决各种数学问题，例如求解方程、不等式，进行极限计算等。

函数在数学建模和实际问题中具有重要作用。

通过建立数学模型，可以用函数来描述和分析各种现实生活中的问题，如物理运动问题、经济增长问题等。

函数的概念也是数学学习中对逻辑推理和数学思维能力的锻炼。

通过分析函数的性质和特点，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高他们的解决问题的能力。

1.2 单调性在数学中的应用单调性在数学中的应用十分广泛。

在数学中，函数的单调性直接关系到函数的增减性以及各种函数性质的研究和应用。

函数的单调性是判断函数增减性的基本方法之一。

通过研究函数在定义域内的单调性，我们可以轻松地确定函数在各个区间上是增函数还是减函数，从而更好地理解函数的变化规律。

浅谈数学中函数的单调性及其应用

浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。

下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。

关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。

同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。

不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。

但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。

那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。

针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。

函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。

它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。

函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。

而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。

通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。

高等数学课程中的不等式的证明

高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。

下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。

二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。

从而当x>O时，f（x）>f（O）。

由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。

即>0，亦即1+＞。

注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。

三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。

函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。

函数的单调性在解题中十个方面的应用举例

函数的单调性在解题中十个方面的应用举例函数的单调性是函数的一条重要性质，通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些数学问题，若解题中注意应用函数的单调性，可以使问题的解决简捷明快；它是历年高考重点考查的重要内容之一，它在中学数学的应用十分广泛。

本文通过利用函数的单调性解方程、解不等式、证明不等式等问题的例子，探讨函数单调性在解题中的应用。

1利用函数的单调性比较大小2利用函数的单调性解方程３利用函数的单调性解方程根的问题x2+x+1=0至多有一个实根。

４利用函数的单调性解不等式例4解不等式（2x-1）5+2x-1<x5+x解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f（t）=t5+t，则原不等式可写为f（2x-1）<f（x）∵f（t）=t5+t在（-∞，+∞）上是增函数，由f（2x-1）<f（x）得2x-1<x，解得x<1∴原不等式的解是x<1５利用函数的单调性求值６利用函数的单调性求最大（小）值例6 已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，点P坐标为（-3，0）。

求当D在轴上移动时，得最大值。

７利用函数的单调性求取值范围例7若关于x的方程cos2x+2asinx-3a-1=0有实数解，求a的取值范围。

故当sinx=1时，a最小=-1，因此，a的取值范围是-1,<a<0８利用函数的单调性证明条件等式９利用函数的单调性证明条件不等式10利用函数的单调性证明函数的性质例10试证函数f（x）=x-asinx（x∈R，０≤a，１）有反函数。

参考文献1谭森.函数单调性的应用花名册.高中数理化，2010（10）2胡岩火等.函数单调性在解题中的一些应用.数学通报，1993（02）3李国勤.巧用函数的单调性证明不等式./xxff/200510/gaoshu/42.htm4边锡栋.函数单调性的应用.学勉数学网5杨晓.函数的单调性在解题中的应用/wu51/keyan/shu15.doc2007-6-13。

数学分析中几类证明不等式的方法

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎɤｎａ１ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２，，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋＋１ａｎɤｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ａｎɤａ１＋ａ２＋＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２，，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２，，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ｘｉ－１ｘｉ＋１ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。

4.13 利用单调性证明不等式

单调性在证明不等式中的应用常见题型 Ⅰ (1) (2) (3) ()().g x h x <证明：令 f (x ) =“左边-右边”= g (x )- h (x ) ;对 f (x ) 求导，由导数的符号判断 f (x ) 的单调性 ;根据 f (x ) 的单调性证明不等式 .常见题型 Ⅱ ()().a x b c g x d ≤≤≤≤证明：直接对 g (x ) 求导，由导数的符号判断 g (x ) 的单调性，从而证明不等式 .证：（1） 22(1)ln (1).x x x ++<22()(1)ln (,0 1.1)f x x x x x =++-≤≤令则 2()ln (1)2ln(1)2f x x x x'=+++-2ln(1)2()211x f x x x +''=+-++[]2ln(1)1x x x =+-+0<()01x <<()[0,1]f x '故在上单调减01()(0)x f x f ''⇒<<<时，0=01()(0)x f x f ⇒<<<时，0=()[0,1]f x 故在上单调减即证！例1 01,x <<设则例1 证： 01,x <<设则11()ln(1),0 1.g x x xx =-<≤+令11111.ln 2ln(1)2x x -<-<+（2） 2211()(1)ln (1)g x x x x '=-+++0<01x ⇒<<时，()(0,1]g x 故在上单调减即证！ 2222(1)ln ((1)ln (1)1)x x x x x x ++=++-0(1)()lim ()g g x g x +→<<11ln 2-=0ln(1)1lim ,ln(1)2x x x x x +→-+==+01x <<则例2 分析：ln 0,1,.1x x x x >≠<-设且证明：ln (),1x f x x =--若令会使求导运算越来越复杂！ln 1x x <>-时，ln 01x x ><<-时，这时常考虑证明结论的等价形式：ln 1x x ⎧⎪<⇔⎨-⎪⎩例2 证：ln 0,1,.1x x x x >≠<-设且证明：()l ,0.n ,1f x x x x x x ⎛⎫=-- ⎝>≠⎪⎭令其中且1()22f x x x x x ⎛⎫'-+ ⎪⎝⎭0=⎧⇒⎨⎩()f x 故单调减化简即证！1121x x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭则 1112x x x<⋅⋅-()(1)f x f <0,=ln 1.x x x <-即()(1)f x f >0,=ln 1.x x x >-即1x >时，01x <<时，例3 分析： ,.b ab a e a b >>>设证明：本题是证明两个数的大小关系！没有更多的理论和工具。

利用导数证明不等式的四种常用方法

利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。

举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。

我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。

通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。

即e^x＞1+x。

方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。

举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。

我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。

令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。

我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。

当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。

所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。

同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。

方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。

举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。

我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。

计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。

函数单调性的判断和证明

02
余弦函数 $y = cos x$ 在区间 $[2kpi, pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减，在区间 $[pi + 2kpi, 2pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
03
正切函数 $y = tan x$ 在区间 $(kpi - frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
三角函数单调性
01
正弦函数 $y = sin x$ 在区间 $[-frac{pi}{2} + 2kpi, frac{pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增，在区间 $[frac{pi}{2} + 2kpi, frac{3pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减。
通过实例分析和数值计算，验证了所提方法的正确性和有效性，为实际应用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
进一步研究函数单调性的本质和判别条件，探索更加简洁、高效的判断方法。
02
将函数单调性的研究拓展到更广泛的数学领域，如复变函数、泛函分析等，推动相关理论的发展。
03
结合实际问题，研究函数单调性在优化算法、数值计算等领域的应用，为实际问题提供更加有效的解决方案。
导数法证明
01
利用导数与函数单调性的关系，通过求导来判断函数的单调性。
02
如果函数在某区间内可导，且导数在该区间内恒大于0，则函数在该区间内单调增加；如果导数恒小于0，则函数在该区间内单调减少。
03

函数单调性在解题中的应用

定理5（费马定理）
设函数在点的某领域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。
定理6（极值的第一充分条件）
设在点处连续，在某领域内可导。
（1）若时，，当时，则在点取得极小值；
（2）若时，，当时，则在处取得极大值。
例3判断函数在的单调性。
解：函数
有正有负，。
3.1.1 一次函数单调性的判别
一次函数的解析式：
在时，对应定义域内图像上升：
在时，对应定义域内图像降低；
在时，一次函数变成常数，不分析单调性。
3.1.2 二次函数单调性的判别
二次函数的解析式，其图形形式为抛物线。其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最小值，即在上为单调递减函数；其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最大值，即在上为单调递增函数。
结合的单调性可知：
当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上。
当的极小值－1>0即时，它的极大值也大于0，因此曲线 = 与轴仅有一个交点，它在上。
所以，当 ∪ 时，曲线 = 与轴仅有一个交点。
例2设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。
monotonicfunctiondistinguishderivativeapplication21函数单调性的基本概念211函数单调性的定义212函数单调性的意义213函数单调性的理解22函数单调性的常用定理和性质221最值定理222有界性定理223零点定理224介值性定理225极值的判定定理31初等数学中函数单调性的判别311一次函数单调性的判别312二次函数单调性的判别313指数函数单调性的判别314对数函数单调性的判别32高等数学中利用导数判别函数单调性41单调性在求极值最值中的应用411一元函数的极值412二元函数的极值

利用函数的单调性证明具有条件a+b=1的一些不等式

．
易求得）的导数为：）＝ｆ（
２［
令ｇ：（）
一巫
】
，０＜ｆ＜１，（）
例２已知ａｂ∈Ｒ且ａ＋６＝１求证：ａ＋，，，（
）＋）莩（ ≥ ６１
证明．构造函数）：（）１一＋＋（
求（的数：（：堑得ｇ）导为ｇ去ｆ，）
当０＜＜１时．ｆ）＞０＝ｆ＝＞当０＜￡＜ｌ时．
ｇ（）早碉远瑁，ｔ
例５设８６∈Ｒ且口＋６＝ｌ求证：＋１，，，
而号＜ｌ，１（＞（当＜时＞一ｇ一ｚ）１
，＝
口
Ｄ
ｒ
，
例３已知ａ６∈Ｒ且ａ＋ｂ＝１求证：ａ＋，，，（时，两边相等），
）＋（ ≥ ２６＋１）５
．
若口一：ｌ。寺＜≤ 令＝，６＞≥ ，６号１０
且ａ＋ｂ＝１时，不等式成立，原
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中学数学杂志
２１００年第３期
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利用函数的单调性证明具有条件
甘肃成县陇南师范高等专科学校数学系
一
＝１的一些不等式
７２０４５０东洪平
＋
易求得）的导数为：
，
＋＋（＋Ｉ） ≥ １一故当 ≥ １时（）。
，
易证＜＜时＞当＜验当ｌ（０丢）ｊ

函数的单调性和极值在不等式证明中的运用

／＝ｂ－６ｃ２＝６一）＋２ｂ（ ∈ｆ１１ｘｃ（＋＋一）（ｃ】（一一一，１
‘ （）ｂ一１由ｂｆ。＝（ｅ）、ｃ∈（１）ｂ＜１一，有ｃ１厂’ ）（＜０．．（）格递减 ’ 厂严．若在定义域内厂 ’ ）≥０或ｆ）（（ ’ ＞０），厂（．１＝ｂ — — ＋１６１ｃ１＞０ｆ）ｃｂｃ＝（—） —）（（则／在定义域递增（＿（）调递减）（）或厂单；对Ｖｘ∈（１）／（）一，有１＞０，反之同样讨论。即ｆａ：ａｃａ＋ｂ一２＞０（）ｂ一（＋ｃ）当（廿一）。＜０，厂（）时／在点Ｐ不ｐ。要在ｘａ证明ｆｘ ≥ｇｘ（（）＞下ｉ）（） ≤ｇＶａ、ｃ∈（Ｌ）ａｃ＞ａ＋ｂ＋ｃ一２、ｂ一１ｂ能取得极值；），）做辅助函数Ｆｘ＝ｆｘ一（）相当于（）（）ｇｘ，当（厶一））时，能确定／（＝０不要证明Ｆ（）（ ≤０， ≥０或）如果能得到Ｆｄ：０（）成立。［】此方法可应用于以下类似的一类题目：在Ｐ点是否取得极值。３且，’ ）０或＜０，由Ｆ（）单调性可ｘ＞（）则的（表示对中的ｘ偏导，表示对求 ① 当ｘ＞０时，４４ｘ一３成立。提示：（用得）Ｆａ＝０或 ≤ ，（） ≥ （）（口＝０）对于严格。中的Ｙ求偏导，表示对中的Ｙ求偏阶导数判断Ｆ（１一４＋３的单调性）＝ｘ大干或小于也同样讨论。殊情况：：对特ｇ０１．导）所给的不等式做适当变形，把不等式两或 ② 当＞０，＞＋ ÷ 成立。提时Ｐ１＋（边所含的共同变量看作辅助函数的自变量例４：约束条件＋Ｙ＝２下，明在证用如）后，把不等式转化为符合题设的函数，就此示：二阶导数，例２时可以利用函数的单调性进行讨论，即对 ③求证当ａ＞１，，ｂ＞Ｏｃ＞０时，ｏ＋）ｌｇ６＞辅助函数求导并判断符号。ｌｇ “（ｏ＋ｂ）＋ｃ。证明：由约束条件ｘ＋Ｙ＝２Ｙ＝２一，得例１在约束条件１ ≤ １下，证： ≤ｘ３求（示：Ｆ（）ｏ＋ｂ＞１，一提设ｘ＝ｌｇ）用厢十历 ≤１０阶导数）再入Ｈ＋＋从设，＋一代而朋＝ＪＹ．Ｊ ∞Ｊ证明：厂） √ ＋＋３一 — Ｏ则设（＝ｘ３４ｘ３１用函数的单调性解题的主要步骤是：１３１，１３、八一一八２３－ ‘ （）造辅助函数，用：项，不等１构常移令￣ｘ３了又令令２即：式的一端为零，另一端即为辅助函数；能不厂（）。＞０．ｆｘ单调递增 ‘ （）．直接移项构造则观察不等式能否把不等式１５又由于１≤ ≤ ｌ则ｆｘ ≤ ｆ（３＝０成３，（）１） ’

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 引言在高中数学学习中，函数单调性是一个重要的概念。

它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解决实际问题中也具有很大的应用价值。

本文将从函数单调性的概念入手，探讨在高中数学中函数单调性的学习与运用。

函数单调性是指函数在定义域上的增减性质。

在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

了解这些函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决各种数学问题。

在学习函数单调性时，我们需要掌握如何判断一个函数的单调性。

一般来说，可以通过求导数或者利用函数的增减性质来确定一个函数的单调性。

我们还需要注意函数在定义域上的特殊点，如奇点和间断点，这些点可能影响函数的单调性。

函数单调性在高中数学中有着广泛的应用。

比如在求函数的最值、解不等式、证明不等式等问题中，函数的单调性往往能起到关键作用。

在物理、化学等自然科学中，函数的单调性也常常被用来描述物理规律和现象。

2. 正文2.1 函数单调性的概念函数单调性是函数在定义域内具有特定的增减规律的性质。

简单来说，就是函数随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小。

在数学中，函数单调性是对函数变化规律的一种重要描述，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

具体来说，函数的单调性分为严格单调和非严格单调两种。

严格单调是指函数在整个定义域内严格递增或严格递减，即任意两个不同的自变量对应的函数值之间的大小关系是确定的。

非严格单调则是指函数在整个定义域内递增或递减，但可以存在相等的情况。

函数单调性的概念为我们提供了研究函数的新视角，通过研究函数的单调性，我们可以得到函数图像的大致形状和变化规律。

这对于解题和分析问题都有重要意义。

在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，通过对函数单调性的学习和理解，我们可以更深入地掌握函数的性质和特点。

函数单调性是数学中一个基础而重要的概念，它在高中数学中具有重要的教学意义和应用价值。

《函数单调性》教学研讨

函数单调性教学研讨教学内容：《函数的单调性》教材分析：教材的地位和作用《函数的单调性》它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。

研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

三.教学流程学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．“图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y 也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．四.教学目标陈述根据新课标的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课教学目标如下：知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。

函数单调性的应用教案

函数单调性的应用教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，解释函数单调递增和单调递减的定义。

通过图形和实例来说明函数单调性的直观含义。

1.2 函数单调性的性质探讨函数单调性的几个基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。

通过例题和练习题来巩固对函数单调性性质的理解。

第二章：利用函数单调性解不等式2.1 单调性在不等式解中的应用解释如何利用函数单调性来解决不等式问题，如求解函数的定义域、值域等。

提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解不等式的方法。

2.2 单调性在函数最值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。

通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决最值问题中的应用。

第三章：函数单调性与方程的解3.1 单调性在函数零点问题中的应用讲解如何利用函数单调性来寻找函数的零点，即解方程f(x)=0。

提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性求解零点的方法。

3.2 单调性在函数不等式问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决函数不等式问题，如求解f(x)>0或f(x)<0的解集。

通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决不等式问题中的应用。

第四章：函数单调性与数列极限4.1 单调性在数列极限问题中的应用解释如何利用函数单调性来求解数列极限问题，特别是涉及到函数极限的情况。

提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解决数列极限问题的方法。

4.2 单调性在函数极限问题中的应用讲解如何利用函数单调性来求解函数极限问题，即当x趋向于某个值时，函数的极限值。

通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决函数极限问题中的应用。

第五章：函数单调性与微分中值定理5.1 单调性在拉格朗日中值定理中的应用介绍如何利用函数单调性来证明拉格朗日中值定理，即导数存在性定理。

提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性证明拉格朗日中值定理的方法。

5.2 单调性在柯西中值定理中的应用讲解如何利用函数单调性来证明柯西中值定理，即两个函数的导数之间的关系。

函数的单调性在高中数学中的学习与应用

函数的单调性在高中数学中的学习与应用摘要：函数的单调性这一性质，学生在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数中曾经了解过,但只是从图象上观察图象的上升与下降，而现在要把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。

这种由图到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。

学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，而单调性的证明是学生在高中第一次接触到的代数论证内容，许多学生甚至还搞不清什么是证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。

在本文中，笔者结合具体例子谈谈函数单调性在高中数学中的学习与应用。

关键词：函数；单调性；单调区间；值域；最值一、函数单调性的定义二、判断函数的单调性判断函数的单调性通常有定义法、导数法、图象法，复合函数法。

1.定义法证明函数的单调性时，要严格按照函数单调性的定义证明，用定义判断函数的单调性通常有四个步骤：第一步：取值，设，是区间内任意两个值，且<，即>0第二步：作差，并变形；第三步：定号，确定的正负，当正负不确定时，可分类讨论；第四步：根据定义作出判断。

2.导数法设函数在区间内可导，如果，那么函数在区间上是单调递增函数；如果，那么函数在区间上是单调递减函数；如果，那么函数在区间上是常值函数。

注意：是定义域内的区间。

3.图象法在直角坐标系中，函数在某一区间上从左到右图象上升，则在该区间上是增函数；相反，图象下降，则是减函数。

简言为“升增降减”。

例如求二次函数的单调区间。

因为其图象是开口向下的抛物线，其对称轴为，在（－∞，2）上图象上升，在[2，+∞)上图象下降，所以其单调增区间是（－∞，2），单调减区间是[2，+∞).4.复合函数法当题目要求严格证明函数的单调性时，只能从定义出发来证明.而在判断、求值等题目中，可以运用后四种方法简单快速的得出答案.三、函数单调性的应用1.函数单调性在不等式中的应用函数和不等式是高中数学中相互交融、不分彼此的两章，利用不等式研究函数的性质本是司空见惯，而利用函数的性质研究不等式更是妙趣横生。

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高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。

利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。

有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。

证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调减少。

（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。

（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。

题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。

题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。