可分空间

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5.3 Lindeloff空间

§5.3Lindeloff空间本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．一 Lindeloff空间的概念定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果AAA=B，则称集族A是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．例5.3.1，包含着不可数多个点的可数补空间X 是一个Lindeloff 空间，且X 的每个子空间也是Lindeloff 空间．(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)证明设A 是X 的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A ．对于每一个x∈A ′，在A 中选取一个A x 使得x∈A x ，由于A ′是可数集，所以A 的子族{ A x ∈A | x∈A x ，x∈A ′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X ．所以包含着不可数多个点的可数补空间X 是Lindeloff 空间.设Y ⊂X ，下面证Y 也是Lindefoff 空间．设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族A 使A 1 = A |Y ．任取一个A ∈A ，则A ∪Y′是X 的一个开集（因为A ∪Y′的补可数），于是A ∪{A ∪Y′}是X 的一个开覆盖．由于X 是Lindefoff 空间，所以在A ∪{A ∪Y′}中有一个可数子集族B 是X 的覆盖，不妨设B ＝{A 1 ,A 2 ,…,A n ,…A ∪Y′}，其中A i ,A ∈A ，i=1,2,…（注A ∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y ＝{ A 1∩Y ,A 2∩Y ,…,A n ∩Y ,…A∩Y}⊂ A |Y =A1 ，即B |Y 是A 1的可数子覆盖．故Y 是Lindefoff 空间．二 Lindefoff 性与第二可数性的关系定理5.3.l[Lindeloff 定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间．（即A 2 空间一定是Lindeloff 空间）证明设拓扑空间X 是A 2 空间， B 是它的一个可数基．设A 是X 的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A ∈A ，由于A 是一个开集，所以存在B A ⊂B ，使得A=A B B ∈ B ，令B 1 =A A ∈ A B,由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族．并且1()A A A B B A B A B B B A X ∈∈∈∈∈∈==== A B BA B A故B 1也是X 的一个覆盖．如果B ∈B 1，则存在A ∈A 使得B ∈A B，（因为A =A B B ∈ B ）因此B ⊂ A ．于是对于每一个B ∈B 1；我们可以选定某一个A B ∈A 使得 B⊂A B ，记A 1 ={ A B | B ∈B 1}，它是A 的一个子族，并且111B A B B A A B X ∈∈∈=⊃=A B B ,所以A 1是A 的一个子覆盖．此外由于B 1是可数的，所以A 1也是可数的．于是开覆盖A 有一个可数子覆盖A 1 ．这证明X 是一个Lindefoff 空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff 空间．(即A 2空间的子空间仍然是A 2空间)特别，n 维欧氏空间R n 的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为R n 是A 2空间.说明 ⑴ 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X ，由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X 不是A 1空间，从而由定理5.1.3知X 也不是A 2空间.即：Lindeloff 空间 ⇒/ A 2空间 .⑵ 推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X 的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X 不是A 2空间.⑶ X 是Lindeloff 空间 ⇒/ A 1空间；（即⑴中所说） X 是A 1空间⇒/ X 是Lindeloff 空间.（因为任何一个离散空间是是A 1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff 空间）⑷ 对度量空间X ，X 是A 2空间⇔ X 是Lindeloff 空间.必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：定理5.3.3 每一个Lindeloff 的度量空间都是A 2空间.证明设（X ，d ）是一个Lindeloff 的度量空间．对于每一个k∈Z + ，集族 B ={B （x ，1/k ）|x∈ X }是X 的一个开覆盖．由于X 是一个Lindeloff 空间，所以 B 有一个可数子覆盖，设为1{(,)|}k k i B x i Z k +=∈B ,从而开集族k k Z +∈= B B是一个可数族．以下证明B 是X 的一个基．∀x∈X 和x 的任何一个邻域U ，∃ε 使得B(x,ε) ⊂U.由于k B是X 的一个覆盖，所以∃1(,)k i B x k ∈k B 使得x ∈1(,)k i B x k ，令k > 2/ε,则对任何y ∈1(,)k i B x k 有2(,)(,)(,)k i k i d x y d x x d x y k ε≤+<<，所以1(,)k i B x k ⊂ B(x,ε).于是x∈1(,)k i B x k ⊂U ．据定理2.6.2可见B 是X 的一个基．X 有一个可数的基B ，故为A 2空间．证毕．思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？三 Lindeloff 空间的性质１．Lindeloff 空间不具有遗传性．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子．设X 是一个不可数集，z∈X．令X 1 =X-{z}，T =P (X 1)∪{U ∈P (X) | z∈U,U ′是可数集 }.容易验证T 是X 的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X ，T )是一个Lindeloff 空间．因为如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是A ′是一个可数集．对于每一个x∈A ′，选取A x ∈A 使得x∈A x ．易见{A}∪{ A x | x ∈A ′}是A 的一个可数子覆盖．另外，由于T |X1= P (X 1)．因此X 1作为X 的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以X 1不是一个Lindeloff 空间．2. Lindeloff 空间对于闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间．证明设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间，A 是子空间Y 的一个开覆盖．则对于每一个A∈A ，存在X 中的一个开集U A 使得U A ∩Y=A．于是{U A |A∈A }∪{Y ′}是X 的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,…}∪{Y ′}（即使不包含Y ′，多加一个也无妨）.这时易见，{ A 1 , A 2 ,…}，其中A i = U Ai ∩Y, i ∈Z + ,便是A 的一个（关于子空间Y 的）可数子覆盖．证毕.3. Lindeloff 性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）命题 X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 是连续映射.如果X 是一个Lindeloff 空间，则f(X)也是一个Lindeloff 空间.证明因为f ：X →Y 是连续映射，由§3.1习题6知，f ：X →f(X)也连续.设B 是f(X)的一个开覆盖，由连续知B ∈B 时，f -1(B)∈T X ,又由定理1.6.4的①知111()()[()]B B f B f B f f X X ---∈∈===B B ，可知 A ={f -1(B) | B ∈B }是X 的开覆盖．因X 是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖A 1={f -1(B i ) | B i ∈B , i ∈Z + }，与此相应的，B 有可数子族B 1 = { B i ∈B | i ∈Z + }，因为11111[()][()]()i i i i i i B B B B f f B f f B f X --∈∈∈===B B B ，可见B 1是B 的（关于f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间——当然这时该空间本身也是Lindeloff空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A⊂X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即A∩d(A)≠Φ．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A⊂X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域U a，使得U a∩A={a},这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．四各类拓扑空间关系表作业:P149 1．本章总结掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质。

7.2 距离空间的极限,抽密集,可分空间

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第2页 2)平面 R 2 按距离， ( x , y )
开球为 Sx0 , r x x R2 , x1 x012 x2 x02 2 r 2 --平面上不含边界的圆域 3）平面R2按距离

x1
y1 x 2 y 2
n n n
lim x n x lim ( x n , x ) 0 注：在距离空间中，n n
0, N ,当n N时， ( xn , x )
定理1 (极限的性质)设(X,d)是距离空间，{xn}X. 1) {xn}收敛其极限唯一 ( ( x, y) ( x, xn ) ( xn , y) ) 2) {xn}收敛{xn}一定是有界的 3) xn x n xn xn , xn x (k )
( x 0 , x 2 ) ( x 0 , x1 ) ( x1 , x 2 ) x 2 A S ( x 0 , ), x 2 x 0 x 0 是 A 的极限点
2
2
x 0 A ( A ) A A 是闭集 x0 ( A ) 0, x1 A S ( x0 , ) ( x0 , x1 ) , x1 x0 2 2
2 (1) 欧氏距离空间Rn, 1 x , y xi yi

n

1 2
i 1
(k ) (k ) xk x1(k ) , x2 ,, xn x x1, x2 ,, xn k
x k , x 0 k
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可分希尔伯特空间的定义

可分希尔伯特空间的定义
“哎呀，这数学怎么这么难呀！”我愁眉苦脸地对着同桌说。

今天上数学课的时候，老师提到了一个很陌生的概念——可分希尔伯特空间。

我当时就懵了，这是啥呀？下课后我就拉着同桌讨论。

我挠挠头问：“你说这可分希尔伯特空间到底是个啥玩意儿啊？”同桌也摇摇头说：“我也不太清楚呢，感觉好深奥啊。

”我们俩就在那苦思冥想。

这时候学霸走了过来，听到我们的谈话，笑着说：“嘿，这你们都不知道呀！可分希尔伯特空间呢，就像是一个超级大的房子，里面有很多很多的元素，这些元素都按照一定的规则排列着呢。

”我瞪大了眼睛，惊讶地说：“哇，这么神奇啊！那这些元素是干嘛的呀？”学霸耐心地解释道：“这些元素就像是房子里的各种宝贝呀，它们有着不同的作用和特点呢。

”
我还是有点似懂非懂，又问：“那它跟我们平常学的数学有啥关系呀？”学霸想了想说：“嗯……就好像我们平常做的数学题是小积木，而可分希尔伯特空间就是用这些小积木搭成的超级大城堡呀！”我和同桌对视了一眼，好像有点明白了。

我不禁感叹道：“数学的世界真是太奇妙了呀！”同桌也点头赞同：“是啊，每次接触到新的概念都觉得好有趣呢。

”我们又缠着学霸给我们多讲了一些关于可分希尔伯特空间的知识，越听越觉得有意思。

我觉得数学就像是一个充满神秘和惊喜的大宝藏，等待着我们去不断探索和发现。

虽然有时候会遇到难题，但只要我们努力去思考，去学习，总能找到答案，总能发现那些隐藏在深处的奇妙之处。

这可分希尔伯特空间不就是一个很好的例子嘛！。

可分空间定义

可分空间定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊可分空间这玩意儿。

你说啥是可分空间呀？这就好比一个大房间，里面可以被分成好多小块儿的地方。

咱平常生活的空间不也这样嘛，家里有客厅、卧室、厨房啥的，这每个地方都有它自己的功能，这就是一种分法呀。

可分空间在数学里可重要啦！就好像是搭积木，把一个大的整体拆分成一个个小部分，然后再去研究这些小部分的特点。

这多有意思呀！你想想看，要是没有这种可分的概念，那得乱成啥样呀。

比如说，咱去超市买东西，那超市不就是一个大空间嘛。

里面有食品区、日用品区、电器区等等，这就是把超市这个大空间给分了呀。

要是不分，那找个东西得多费劲呀，那不就跟无头苍蝇似的乱撞啦！再想想城市，不也是分成了好多不同的区域嘛，商业区、住宅区、工业区等等。

这也是一种可分空间呀。

如果没有这样的划分，那城市还不得乱套呀。

可分空间的用处可大了去了。

在数学研究里，它能帮助我们更好地理解和解决问题呢。

就好像我们有了一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门。

你说数学是不是很神奇呀？一个小小的概念，就能有这么大的用处。

咱平常可能觉得数学离咱挺远的，但其实它就在咱生活的方方面面呢。

就像咱走路，一步一步的，这每一步不也是把路程给分了嘛。

还有咱听音乐，那一首首歌不也是把时间给分成一段段的嘛。

可分空间不就是这样嘛，看似很抽象，但其实无处不在。

它就像空气一样，我们可能平时不太注意，但它一直都在那里，发挥着重要的作用呢。

所以啊，可别小看了这可分空间，它可真是个宝呀！它让我们的世界变得更有秩序，更有条理。

让我们能更好地去认识和理解周围的一切。

总之，可分空间真的很重要，很有趣，很神奇！你是不是也对它有了新的认识和感受呢？。

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间本节重点:掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；掌握稠密子集的定义及性质.定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义．定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|，则ε＞0．令＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有，f（y）=g（y）∈，矛盾．我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间．定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点∈B．令D={|B∈B，B≠}这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间．可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到：推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间．特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间．例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间．我们依次给出以下三个论断：（1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集．（2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理．事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的．（3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.根据这三个论断，我们可有以下两个结论：（A）可分空间可以不满足第二可数性公理．因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X*，T *）．（B）可分空间的子空间可以不是可分空间．因为如果选取（X，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X*，T *）以(X，T)为它的一个子空间．(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理．证明(略)根据定理5.2.4及推论5.2.3可知：推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间．有关可分性是拓扑不变性质，有限可积性质，可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中，由读者自己去研究.作业:P144 2.4。

空间分类

空间分类
开敞空间、封闭空间、流动空间、虚拟空间、交错空间、共享空间
●开敞式空间是外向型的，强调各功能空间的相互渗透和交流，对空间限定性小，使
人感觉开朗、活泼，有一定的趣味性
●封闭空间则是内向型的，它强调与外界的隔离，具有明显的安全感和私密性。

●流动空间可以保持最大限度的交融和连续性，视线通透、交通流畅。

以中间的水池
为中心，和周边的空间组合在一起
●虚拟空间没有明显界面空间，它的范围没有十分完整的隔离形态，也缺乏较强的限
定度，它依靠想象来划分空间
●共享空间含多种多样的空间要素和设施，是综合性、多功能的灵活空间。

其有大中
有小、外中有内、内中有外、相互穿插交错、富有流动性等特点
空间功能
●封闭的空间是内向的、安静的。

开敞空间则给人以自由、流通、豁达的气氛。

大空
间令人有开阔宏伟之感；底矮的空间则往往使人倍感亲切而具有温情等等。

度量空间的可分性与完备性

度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明由定理知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密．参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)．利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)．因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义 1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =)，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，1,2,.k =现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =，当k K >时，对于1,2,,i n =，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如10=2⨯=取1；⨯=取0；⨯=取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上(即1/2)，第二位为1则加上(1/4)，第三位为1则加上(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑，例如 2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）．定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间．例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例结论(,)X d 完备)证明设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d 下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-×√p 次幂可和的数列空间pl11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√ √p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√ √由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理．定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃．如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤．0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =，因此1n n x B ∞=∈．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□。

度量空间的可分性与完备性

1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；(4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密．参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)．利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)．因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=L L 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =L ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =L )，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =L ，1,2,.k =L现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =L取12max{,,,}n K K K K =L ，当k K >时，对于1,2,,i n =L ，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈L L L N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=U ，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)pn x x x x l ∀=∈L L ，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =L于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈L L L ，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑L ，例如 (0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==L L 为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===L L 或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）．定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N N N N M d x x d x x d x x +++=+L ，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？例1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间．例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =L ．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰111221112210|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√X 不可数×√ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√×有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理．定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ．如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =L ，因此1n n x B ∞=∈I ．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈I ，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃L L ，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈I ．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)．注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）编辑版word。

巴拿赫空间理论

巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。

⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。

数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。

甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。

还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。

拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性

拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性摘要拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

近年来，拓扑学思想愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，愈来愈显示出它的重要地位。

在一般拓扑学中，拓扑空间的连通性、可数性、分离性、可度量化、紧性等是整个学科的主要内容，拓扑空间在一些重要映射作用之后是否保持原有性质在拓扑学研究中具有很重要的理论意义和价值。

本论文从最基本的拓扑性质出发，讨论各种映射（连续映射，开映射，闭映射，商映射，同胚映射或几种映射复合）对主要拓扑性质是否保持，保持的给出了证明，不保持的给出了反例。

首先，论文中所涉及的拓扑性质都是拓扑不变性质；其次，在连续映射下保持的性质有连通性、道路连通性、可分、Lindeloff 、紧致、可数紧致、序列紧致，从而它们也都是可商性质，不保持的性质有局部连通性、第一可数性、第二可数性、分离性、可度量化、仿紧致；然后，除了前面所说的可商性质外，还有局部连通性是可商性质，而第一可数性、第二可数性、有关分离性、可度量化、仿紧致都不是可商性质；最后，在开映射和闭映射下，这些拓扑性质都未必能保持，而对于那些在连续映射下也不保持的性质，通过进一步加强映射，发现在连续开映射下保持的有局部连通性、正规和正则，在连续闭映射下保持的有局部连通性、1T 、 3.5T 、4T 和正规。

关键词连通性可数性分离性紧性映射To Preserve the Topological Properties by Mappings betweenTwo Topographical SpacesABSTRACTTopology, as a branch of mathematics, was introduced by mathematicians in the middle of the nineteenth century and developed in recent years. Its main purpose is to study some geometric problems originated from mathematical analysis. Invariants and invariant properties of a topological space under topological transformations are the main objects of study. In recent years, Topology becomes more and more important, as its ideas gradually infiltrated into the field of physics, chemistry and biology. In General Topology, connectivity, countability, Axioms of separation, metrizability, and compactness of a topological space are the main contents of the subject. Whether some important topological properties are preservedunder some main mappings has theoretical significance and value in the study of Topology. In this paper, based on the basic topological properties, we discuss whether the main topological properties are preserved under various mappings, such as continuous mapping, open mapping, closed mapping, quotient mappings, and homeomorphism mapping. We give the proofs for the affirmative ones and give counterexamples for the negative ones. First of all, all the topological properties involved in this article are topological invariant properties. Secondly, properties preserved under the continuous mappings are connectivity, path-connectivity, separability, Lindeloff, compactness, countable compact, and sequentially compact. Thus they are preserved under quotient mappings. Properties not preserved under the continuous mappings are the local connectivity, the first countability, the second countability, Axioms of separation, metrizability, and paracompactness. Then, besides the properties previously mentioned, the local connectivity is also preserved under quotient mappings. While the first countability, the second countability, Axioms of separation, measurability, and paracompactness are not preserved under quotient mappings. Finally, under open mappings and closed mapping, these topological properties may not be able to keep. For the properties which are neither preserved under open mappings and closed mapping nor preserved under continuous mappings, we can further consider whether they are preserved under the strengthened mappings. We find that under continuous open mappings, local connectivity, regularity and normality are preserved; under continuous closed mapping ,the local connectivity, 1T , 3.5T , 4T and regularity are preserved.KEY WORDS connectednesscountability Axioms of separationcompactness mapping目录第一章拓扑基本概念 (1)1.1 拓扑，邻域，开集，闭集，点列的极限，基，邻域基 (1)1.2 连续映射，同胚映射，开映射，闭映射 (2)1.3 商拓扑，商映射 (3)第二章连通性 (4)2.1 有关连通性 (4)2.2 局部连通空间 (5)2.3 道路连通空间 (7)第三章可数性 (9)3.1 第一与第二可数性 (9)3.2 可分空间 (10)3.3 Lindeloff 空间 (11)第四章分离性 (13)4.1 01,,ausdorff T T H 空间 (13)4.2 正则，正规，3T ，4T 空间 (14)4.3 完全正则空间，Tychonoff 空间 (16)4.4 分离性与商空间 (17)4.5 拓扑空间的可度量化 (19)第五章紧致性 (22)5.1 紧致空间 (22)5.2 可数紧致和序列紧致 (23)5.3 仿紧致空间 ............................................................................................................................ 24 参考文献 ....................................................................................................................................................26 致谢 . (27)第一章拓扑基本概念这一章主要介绍一些基本概念，由于我们对朴素集合论中关于集合的概念及运算关系等都比较熟悉，这里便不再赘述。

习题与参考答拓扑案

五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.…答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .^ 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.】答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .—答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=12、离散空间是否为2A 空间说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.）答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀，则所有的以x 为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基，从而X 满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.答案：对x X ∀∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ∉，即{}U x φ⋂=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域，并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.%答案：对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,y 都不是∞，则,x y X ∉.由于X 是一个1T 空间，从而,x y 各有一个开邻域,U V ,使得,x V y U ∉∉;若x ,y 中有一个是∞，不妨设x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集.】21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得(){}x U A x φ⋂-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.答案：考虑投射1:P X Y X ⨯→，由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射，从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.答案：考虑投射2:P X Y Y ⨯→，由于2:P X Y Y ⨯→是一个连续的满射，从而由X Y ⨯紧致知Y 是一个紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.答案：如果 A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '⋃B=A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.`六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. $又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分 &由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾，所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明：若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分 !由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.<于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集，而}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道：￥}{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集，而}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射，{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.证明：对y Y ∀∈,由于:f X Y →是一个满射，所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理，故在点x 处存在一个可数邻域基，设为 V x ,又由于:f X Y →是一个开映射，则{()|} V V y x f V V =∈是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分（下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域，则1()f U -是X 中点x 的一个邻域.因此存在 V x V ∈,使得1()V f U -⊂.因此()f V U ⊂,从而 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.这说明Y 也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分 12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

可分空间

当我们在提到Hilbert space的时候，会首先联想到它是一个完备的内积空间，“完备"表示我们用“内积”定义的度量来定义收敛时，不用担心“跑出去”的问题，例如n维欧氏空间就是完备的内积空间。

但在机器学习中，我们更关心无穷维完备内积空间，换言之，函数构成的空间，如所谓square-integrable function space L2,这个空间中每个元素都由平方之后可积的函数，可以在这个空间中定义代数运算，使之成为一个内积空间，并且可以证明，在适当的条件下，这样的空间是完备的。

在这样的Hilbert 空间中，下一步关心的事情就是如何一般性的表示其中的元素，最简单的方法就是把任何一个元素唯一表示成关于正交基的线性组合。

可能造成麻烦的事情就在这里，你如何保证无穷维Hilbert空间中的正交基的个数是可数多个？答案是，该hilbert空间是可分的（separable）。

那么什么是可分？从字面上想像，一个空间可分，由于空间就是集合，因此大致是说这个集合可分成多个子集的并，其实完全不是这样trival. 数学中的定义，有时候很奇怪，实际上，空间可分与否，和是否compact一样，不是在说划分，而是在说它的“大小”！－－如果度量空间X和一个可数集合差不多大，则它是一个可分空间。

解释，1) 可数集(countable set)，是包含无穷多个元素的那类集合中最小的一种，比如自然数集，有理数集，整数集等，它们的大小是一样的，通常我们只会用到这类集合。

既然一个可分空间和一个可数集差不多大，那么这个空间也就大不到哪里去。

2) “差不多”是差多少？精确的说，只差一个“boundary”，注意，如果你往一杯水中撒一把沙子，则沙子集合与水集合的boundary是“无处不在” 的。

更精确的说，这个可数集是这个可分空间的稠密子集(dense set)。

稠密的意思是说，水与沙子就只差边界那么多，如果把边界填满，二者就一样，如同你把有理集之间的空隙用无理数填满，你得到实数集一样。

13度量空间的可分性与完备性

1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1)A在B中稠密；(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;n(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成R n 的一个可列稠密子集.｝证明设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下证Q n 在R n 中稠密.d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -a t b2因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口例1.3.3p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.证明由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在L p [a,b]中稠密.口例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.证明取 E 。

景观空间分类

一、构成形式容积空间：是指由实体围合而构成的空间形式，也叫做围合空间。

辐射空间：是指空间中的一个实体对其周围一定范围的空间产生凝聚力所界定的空间领域。

具有扩散、外射的特点，人可以感受到它主宰周围空间的辐射力。

立体空间：是指由数个实体组合而形成一个无边界，从而限定出一个空间范围，也就是在立体空间中，既有实体占领形成的局部空间，又有实体之间的张力相互作用而界定的复合空间。

二、景观空间类型1、按构成形式分：点状景观：点景是相对于整个环境而言的，其特点是景观空间的尺度较小且主体元素突出易被人感知与把握。

一般包括住宅的小花园、街头小绿地、小品、雕塑、十字路口、各种特色出入口。

线状景观：主要包括城市交通干道，步行街道及沿水岸的滨水休闲绿地。

面状景观：主要指尺度较大，空间形态较丰富的景观类型。

从城市公园、广场到部分城区，甚至整个城市都可作为一个整体面状景观进行综合设计。

2、按活动性质分休闲空间：是指供大家休息、放松的环境空间，如公园、居住区广场、游乐场、步行街等。

功能空间：是指据有不同的使用功能的公共场所，如交通广场、纪念性广场、高速公路等3、按人际关系分公共性空间：一般指尺度较大，开放性强，人们可以自由出入，周边有较完善的服务设施的空间，人们可以在其中进行各种休闲和娱乐活动，因此又被形象地称为“城市的客厅”。

半公共性空间：有空间领域感，对空间的使用有一定的限定。

半私密性空间：领域感更强，尺度相对较小，围合感较强，人在其中对空间有一定的控制和支配能力。

如门前开敞式花园、宅间空地、安静的小亭等地方。

私密性空间：是四种空间中个体领域感最强，对外开放性最小的空间，一般多是围合感强尺度小的空间，有时又是专门为特定人群服务的空间环境，如住宅庭院、公园里偏僻幽深的小亭等。

三、景观空间常见的形态下沉式空间和抬高式空间：下沉式空间具有隐蔽性、保护性、宁静感，属半私密性空间。

如下沉式广场；抬高式空间的特点类于舞台，突出醒目，较适于标志性物体。

证明连续函数空间是可分的

证明连续函数空间是可分的在数学中，连续函数空间是一个十分重要且广泛应用的研究领域。

在此篇文章中，我们将探讨证明连续函数空间可分的概念和方法。

我们将从简单的概念开始逐步深入，以便读者能够全面地理解这个主题。

一、连续函数空间的基本定义在了解如何证明连续函数空间可分之前，我们首先需要了解连续函数空间的基本定义。

连续函数空间指的是一组满足一定条件的函数的集合。

给定一个度量空间X和一个连续函数空间C(X)，该函数空间由所有从X到实数域的连续函数组成。

对于任意的x，y∈X，以及任意的实数ε>0，存在函数f∈C(X)，使得对于所有的z∈X，当|f(z)-f(x)|<ε时，有|z-x|<δ。

这里的δ是一个取决于ε和x的正实数。

二、连续函数空间的可分性概念一个函数空间被称为可分的，意味着存在一个可数的稠密子集，该子集中的元素可以用于逼近该函数空间中的任意元素。

简而言之，我们可以用函数空间中的某些函数来尽可能逼近其他的函数。

在证明连续函数空间的可分性时，我们可以采用两个重要的方法：构造和证明函数空间中的某些函数，使得它们可以逼近任意给定的函数。

三、证明连续函数空间的可分性我们现在来证明连续函数空间是可分的。

为了证明这一点，我们将使用一个重要的定理——Weierstrass逼近定理。

Weierstrass逼近定理指出，对于任意的闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，存在一个多项式序列pn(x)来逼近f(x)。

也就是说，对于任意的ε>0，存在一个多项式pn(x)，使得当n趋向于无穷大时，|f(x)-pn(x)|<ε对于区间[a，b]上的所有x都成立。

根据Weierstrass逼近定理，我们可以构造一个多项式函数的集合P，其中P包含了所有区间[a，b]上的多项式函数，而且可以证明P是可数的。

我们可以说连续函数空间是可分的，因为我们可以用这个可数的多项式函数集合来逼近连续函数空间中的任意函数。

浅谈室内设计中空间的分隔

摘要室内（interior）是指建筑物的内部，即建筑物的内部空间。

室内设计（interior design）就是对建筑物的内部空间进行设计。

室内设计作为独立的综合性学科，于20世纪60年代初形成，在世界范围内开始再现室内设计概念。

自古以来，室内设计从属于建筑设计，为建筑师主持，没有得到应有的重视。

人们对室内设计也看得很简单，没有认识到它是空间艺术、环境艺术的综合反映。

17世纪，因室内设计与建筑主体分离，室内装饰风格、样式逐渐发展变化。

19世纪以后，室内设计开始强调功能性、追求造型单纯化，并考虑经济、实用、耐久。

20世纪初室内装饰反趋向衰落，而强调使用功能以合理形态表现。

现代室内设计是根据建筑空间的使用性质和所处环境，运用物质技术手段和艺术处理手法，从内部把握空间，设计其形状和大小。

为了满足人们在室内环境中能舒适地生活和活动，而整体考虑环境和用具的布置设施。

那么，室内设计的根本目的，在于创造满足物质与精神两方面需要的空间环境。

关键词：室内设计；强调功能性；创造满足物质与精神两方面需要。

目录摘要 (1)目录 (2)一、引言 (3)二、室内设计的诠释 .................................................................................... 错误！未定义书签。

三、现代室内设计中空间的分隔的注重点 (3)（一）光环境 (4)（二）艺术材质 (4)四、现代室内设计中空间的分隔的方式 (4)（一）封闭式分隔 (4)（二）列柱分隔 (5)1.在大空间中设置列柱. ................................................................. 错误！未定义书签。

2.设置双列柱..................................................................................... 错误！未定义书签。

【精品】可数性公理

一、可数性公理从前面的讨论可知：拓扑基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证连续映射都有着重要的意义，它们的元素“个数”越少，讨论起来就越方便，因此对拓扑空间加以适当条件的一种想法就是对拓扑空间的基和邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如欧氏空间，度量空间等。

下面的讨论将表明，将基或邻域基的元素“个数“限定为可数是恰当的。

2A 空间一个拓扑空间如果有一个可数基，即X 有一个基由可数个开集构成，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数公理的空间．简称2A 空间．实例：实数空间R 满足第二可数公理．1A 空间一个拓扑空间如果在它的每一点处都有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数公理的空间．简称A 1空间．实例：每一个度量空间都满足第一可数公理。

设X 是包含着不可数多个点的可数补空间，则因为X 在它的任何一点处都没有可数邻域基，因此X 不满足第一可数公理。

每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。

但反之，不一定成立。

定理1、设X 和Y 是两个拓扑空间，Y X f →:是一个满的连续开映射。

如果X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）。

由上述定理可见，拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质。

拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质。

例如离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的。

拓扑空间的某种性质称为对于开子空间（或闭子空间）可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间（闭子空间）也具有这个性质。

例如，局部连通性虽然不是可遗传的性质，但对于开子空间却是可遗传的。

定理2、设X 1，X 2是两个满足第二可数公理(满足第一可数公理)的拓扑空间，则积空间21X X ⨯也满足第二可数公理(第一可数公理)．实例 n 维欧几里德空间的每一个子空间都满足第二可数公理。

1.6度量空间的可分性和完备性

1.6 度量空间的可分性和完备性
1.6.1 度量空间的可分性
定义1.6.1（稠密集）设 X 是度量空间， A，B含于X，若 A 包含 B，则称 A 在 B
中稠密。
定义1.6.2(可分度量空间) 设 X 是一度量
空间，如果存在一个可数子集 M 在 X 中
稠密 ( M = X )，则称 X 为一个可分的度量空间，否则为不可分的。
1.6.2 序列的收敛和极限定义1.6.3(收敛序列) 设 ( xn )是度量空间
X 中的序列，若存在 x ∈ X，使得
lim d ( xn , x ) 0
n
则称序列 ( xn ) 在 X 中收敛，x 为序列 ( xn ) 在 X 中的极限，并记作
lim xn x
n
或者简记作 xn → x
引理1.6.4 设 ( X, d )为度量空间，则
（1）在 X 中收敛的序列是有界的；
（2）在 X 中收敛序列的极限是唯一的；
（3）若在 X 中 xn → x， yn → y，则 d (xn, yn ) → d ( x, y ) .
定义1.6.6（基本柯西序列）
设 ( X, d )为度量空间， ( xn ) 是 X 中的序
ρ ( Tx, Ty ) = d ( x, y )
则称 T 为等距映射。
定义1.6.11（等距空间）
如果存在一个从 X 到 Y 的等距映射 T，则称 X 与 Y 是等距空间。
1.6.3 度量空间的完备性
定义1.6.8（完备度量空间）如果度量空间 X 中的每个柯西序列均收敛于 X 中的点，则称 X 为完备的度量空间。
1.6.5 度量空间的完备化
定义1.6.11（等距映射）设( X, d )和( Y, ρ) 是

泛函分析——武大精品课1-7

B ⊃ A．
例1
c0 ， c ， l p (1 ≤ p < ∞) ， P[a, b] ， C[a, b] ， Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞) 都是可分空间． , rn ,0, ); ri ∈ Q , n ≥ 1} ，即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个
考虑集合 B = {( r1 ,
从而 x1 = x2 ， T 是一一的．若 xn , x ∈ X ， xn → x ，则
|| Txn − Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0 ， Txn → Tx ， T 是连续的．若 y n ， y ∈ Y ， y n → y ，不妨设 y n = Txn ， y = Tx ，则
a || T −1 y n − T −1 y ||= a || xn − x ||≤|| Txn − Tx ||=|| y n − y ||→ 0 ，
1≤i ≤ n0 i > n0
故 c 可分．对于 l p ，由于 x = ( x n ) ∈ l p 时， ∑ | xn | p < ∞ ，先取 n0 使得
i =1 ∞
i = n0 +1
∑| x
∞
n
| p < ε p ，再取有理数
r1 ,
外
, rn 使得 ∑ | xi − ri | p < ε p ，仍记 y = ( r1 ,
2 k =1 k =1
n
n
1 2
即
β || α || ≤ || F (α ) || ，
∀α ∈Φ n ．
由定理 1，F 是从 Φ n 到 Y 上的同构映射．由于 Φ n 完备，故 Y 完备．作为 X 的子空间，Y 是闭子空间．证毕．设 X ， Y 为线性赋范空间， dim X = dim Y = n ，则存在到上的一一映射 T : Φ n → X 和

Lindeloff空间

§5.3Lindeloff空间本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．一 Lindeloff空间的概念定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果A AA=B，则称集族A是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．例5.3.1，包含着不可数多个点的可数补空间X 是一个Lindeloff 空间，且X 的每个子空间也是Lindeloff 空间．(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)证明设A 是X 的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A ．对于每一个x∈A ′，在A 中选取一个A x 使得x∈A x ，由于A ′是可数集，所以A 的子族{ A x ∈A | x∈A x ，x∈A ′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X ．所以包含着不可数多个点的可数补空间X 是Lindeloff 空间.设Y ⊂X ，下面证Y 也是Lindefoff 空间．设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族A 使A 1 = A |Y ．任取一个A ∈A ，则A ∪Y′是X 的一个开集（因为A ∪Y′的补可数），于是A ∪{A ∪Y′}是X 的一个开覆盖．由于X 是Lindefoff 空间，所以在A ∪{A ∪Y′}中有一个可数子集族B 是X 的覆盖，不妨设B ＝{A 1 ,A 2 ,…,A n ,…A ∪Y′}，其中A i ,A ∈A ，i=1,2,…（注A ∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y ＝{ A 1∩Y ,A 2∩Y ,…,A n ∩Y ,…A∩Y}⊂ A |Y =A1 ，即B |Y 是A 1的可数子覆盖．故Y 是Lindefoff 空间．二 Lindefoff 性与第二可数性的关系定理5.3.l[Lindeloff 定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间．（即A 2 空间一定是Lindeloff 空间）证明设拓扑空间X 是A 2 空间， B 是它的一个可数基．设A 是X 的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A ∈A ，由于A 是一个开集，所以存在B A ⊂B ，使得A=A B B ∈B ，令B 1 =A A ∈A B ,由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族．并且1()A A A B B A B A B B B A X ∈∈∈∈∈∈====A B B A B A故B 1也是X 的一个覆盖．如果B ∈B 1，则存在A ∈A 使得B ∈A B ，（因为A =A B B ∈B ）因此B ⊂ A ．于是对于每一个B ∈B 1；我们可以选定某一个A B ∈A 使得 B ⊂A B ，记A 1 ={ A B | B ∈B 1}，它是A 的一个子族，并且111B A B B A A B X ∈∈∈=⊃=A B B ,所以A 1是A 的一个子覆盖．此外由于B 1是可数的，所以A 1也是可数的．于是开覆盖A 有一个可数子覆盖A 1 ．这证明X 是一个Lindefoff 空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff 空间．(即A 2空间的子空间仍然是A 2空间)特别，n 维欧氏空间R n 的每一个子空间都是Lindeloff 空间.证明由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为R n 是A 2空间.说明 ⑴ 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X ，由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X 不是A 1空间，从而由定理5.1.3知X 也不是A 2空间.即：Lindeloff 空间 ⇒/ A 2空间 .⑵ 推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X 的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X 不是A 2空间.⑶ X 是Lindeloff 空间 ⇒/ A 1空间；（即⑴中所说）X 是A 1空间⇒/ X 是Lindeloff 空间.（因为任何一个离散空间是是A 1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff 空间）⑷ 对度量空间X ，X 是A 2空间⇔ X 是Lindeloff 空间.必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：定理5.3.3 每一个Lindeloff 的度量空间都是A 2空间.证明设（X ，d ）是一个Lindeloff 的度量空间．对于每一个k∈Z + ，集族B ={B （x ，1/k ）|x∈ X }是X 的一个开覆盖．由于X 是一个Lindeloff 空间，所以B 有一个可数子覆盖，设为1{(,)|}k ki B x i Z k+=∈B ,从而开集族k k Z +∈=B B 是一个可数族．以下证明B 是X 的一个基．∀x∈X 和x 的任何一个邻域U ，∃ε 使得B(x,ε) ⊂U.由于k B 是X 的一个覆盖，所以∃1(,)ki B x k ∈k B 使得x ∈1(,)ki B x k，令k > 2/ε,则对任何y ∈1(,)ki B x k 有2(,)(,)(,)ki ki d x y d x x d x y k ε≤+<<，所以1(,)ki B x k⊂ B(x,ε).于是x∈1(,)ki B x k⊂U ．据定理2.6.2可见B 是X 的一个基．X 有一个可数的基B ，故为A 2空间．证毕．思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？三 Lindeloff 空间的性质１．Lindeloff 空间不具有遗传性．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子．设X 是一个不可数集，z∈X．令X 1 =X-{z}，T =P (X 1)∪{U ∈P (X) | z∈U,U ′是可数集 }.容易验证T 是X 的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X ，T )是一个Lindeloff 空间．因为如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是A ′是一个可数集．对于每一个x∈A ′，选取A x ∈A 使得x∈A x ．易见{A}∪{ A x | x ∈A ′}是A 的一个可数子覆盖．另外，由于T |X1= P (X 1)．因此X 1作为X 的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以X 1不是一个Lindeloff 空间．2. Lindeloff 空间对于闭子空间是可遗传的定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间．证明设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间，A 是子空间Y 的一个开覆盖．则对于每一个A∈A ，存在X 中的一个开集U A 使得U A ∩Y=A．于是{U A |A∈A }∪{Y ′}是X 的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,…}∪{Y ′}（即使不包含Y ′，多加一个也无妨）.这时易见，{ A 1 , A 2 ,…}，其中A i = U Ai ∩Y, i ∈Z + ,便是A 的一个（关于子空间Y 的）可数子覆盖．证毕.3. Lindeloff 性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）命题 X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 是连续映射.如果X 是一个Lindeloff 空间，则f(X)也是一个Lindeloff 空间.证明因为f ：X →Y 是连续映射，由§3.1习题6知，f ：X →f(X)也连续.设B 是f(X)的一个开覆盖，由连续知B ∈B 时，f -1(B)∈T X ,又由定理1.6.4的①知111()()[()]B B f B f B f f X X ---∈∈===B B ，可知 A ={f -1(B) | B ∈B }是X 的开覆盖．因X 是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖A 1={f -1(B i ) | B i ∈B , i ∈Z + }，与此相应的，B 有可数子族B 1 = { B i ∈B | i ∈Z + }，因为11111[()][()]()i i i i i i B B B B f f B f f B f X --∈∈∈===B B B ，可见B 1是B 的（关于f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.*4. Lindeloff空间不具有有限可积性结论见习4* .以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间——当然这时该空间本身也是Lindeloff空间的一个性质定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A⊂X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即A∩d(A)≠Φ．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A⊂X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域U a，使得U a∩A={a},这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．四各类拓扑空间关系表作业:P149 1．本章总结掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质。