八年级数学四边形复习题

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【3套】人教版八年级下册数学第十八章平行四边形复习题(含答案)

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形复习题（含答案）一、选择题1.如图，在□ ABCD中，已知∠ ODA＝ 90°， AC＝ 10cm， BD＝ 6cm，则 BC的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2.如图，在平行四边形ABCD中，连结对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A. 1 对B. 对2C. 对3D. 对43.正方形的一条对角线长为 2 厘米，则正方形的面积（A. 2B. 3C. 4D.4.如图，矩形ABCD 的对角线AC、 BD 订交于点O， CE∥ BD， DE∥ AC，若 AC=4，则四边形CODE的周长（）A. 4B. 6C. 8D. 105.如图，将△ABC沿 BC 方向平移获得△DCE，连结AD，以下条件中能够判断四边形ACED为菱形的是 ( )A. AB＝ BC B∠. ACB＝ 60°C∠. B＝ 60° D. AC＝ BC6.如图，在菱形 ABCD中，∠ ABC=60°，AB=1，E为 BC的中点，则对角线BD 上的动点P 到 E、C 两点的距离之和的最小值为（）A. B. C. D.7.八个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P 点的一条直线l 将这八个正方形分红面积相等的两部分，则该直线l 的分析式为（）A. B. y=x+C. D.8.如图，在正方形 ABCD中， E，F 分别为 AD，CD 的中点， BF 与 CE订交于点 H，直线 EN 交CB 的延伸线于点 N，作 CM⊥ EN 于点 M ，交 BF 于点 G，且 CM=CD，有以下结论：① BF ⊥CE；② ED=EM ；③ tan ∠ ENC=；④S 四边形DEHF=4S△CHF，此中正确结论的个数为（）A. 1 个B. 个2C. 个3D. 个49.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、 CP的延伸线分别交AD 于点 E、 F，连结 BD、DP，BD 与 CF 订交于点H，给出以下结论：①BE=2AE；②△DFP∽△ BPH；③△PFD ∽△ PDB；④DP 2=PH?PC此中正确的选项是（）A. ①②③④B. ②③C. ①②④D.①③④10.如图， ?ABCD中， AB=4，BC=6，AC 的垂直均分线交 AD 于点 E，则△CDE的周长是（）A. 6B. 8C. 10D. 1211.如图，△ABC 周长为 1，连结△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2016 个三角形的周长为（）A. 22016B. 22017C.D.12.如图，将边长为2cm 的菱形ABCD 沿边AB 所在的直线l 翻折获得四边形ABEF，若∠DAB=30°，则四边形CDFE的面积为（）A. 2cm 2222B. 3cmC. 4cmD. 6cm13.如图，已知正方形ABCD边长为 1，连结 AC、BD,CE均分∠ ACD交 BD 于点 E，则 DE长为（）A. 2－2B.－1C.－1D. 2－14.如图，P 为正方形 ABCD的对角线 BD 上任一点，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，PF⊥ CD 于点 F，连结 EF．给出以下 4 个结论：① △FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；③AD=PD ；④∠ PFE=∠BAP．此中，全部正确的结论是（）A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①③④二、填空题15.在平行四边形ABCD中，∠ B=100°，则∠ A=________，∠ D= ________16.如图，已知△ABC 的三个极点的坐标分别为A（﹣ 2， 0），B（﹣ 1， 2）， C（ 2， 0）．请直接写出以A， B， C 为极点的平行四边形的第四个极点 D 的坐标 ________17.如图，在 ?ABCD中， DE 均分∠ ADC， AD=6， BE=2，则 ?ABCD的周长是 ________．18.如图，平行四边形ABCD 中， AF、 CE分别是∠ BAD 和∠ BCD 的角均分线，依据现有的图形，请增添一个条件，使四边形AECF为菱形，则增添的一个条件能够是________ ．（只要写出一个即可，图中不可以再增添其余“点”和“线”）19.如图，平行四边形的四个内角均分线订交，如能构成四边形，则这个四边形是________20.如图，正方形 ABCD被分红两个小正方形和两个长方形，假如两个小正方形的面积分别是18cm2和 10cm2，那么两个长方形的面积和为________cm 2．21.如图，在矩形ABCD中， AB=2，AD=4，点E是BC边上一个动点，连结AE，作 DF⊥AE 于点 F，当 BE的长为 ________时，△CDF是等腰三角形．三、解答题22.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、 F 是对角线AC 上的两点，∠ 1=∠ 2．（1）求证： AE=CF；（2）求证：四边形 EBFD是平行四边形．F， G 是 EF 的中点，连结CG．求证：① △ABM≌△ CBM；②CG⊥CM．24.如图，在矩形ABCD中， M 、N 分别是 AD、BC 的中点， P、 Q 分别是 BM、 DN 的中点．（1）求证：△MBA≌△ NDC；（2）求证：四边形 MPNQ 是菱形．25.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D， AN 是△ABC 外角∠ CAM 的平分线， CE⊥ AN，垂足为点E，（1）求证：四边形 ADCE为矩形；（2）当△ABC知足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26.如图，矩形 OABC的边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC在 y 轴正半轴上， B 点的坐标为（1，3）．矩形 O′ A′是BC矩′形 OABC绕 B 点逆时针旋转获得的．O′点恰幸亏x 轴的正半轴上，O′ C′交 AB 于点 D．（1）求点 O′的坐标，并判断△O′DB的形状（要说明原因）（2）求边 C′O所′在直线的分析式．（3）延伸 BA 到 M 使 AM=1，在（ 2）中求得的直线上能否存在点P，使得△POM 是以线段OM 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明原因．参照答案一、选择题1. A2.D3. A4.C5. D6. C7.B8.D9. C10. C11. D12. C13. C14. C二、填空题15.80 ；°100 °16.（ 3，2 ），（﹣ 5，2），（ 1，﹣ 2）17.2018.AC⊥ EF19.矩形20.21.2 或 2或 4﹣ 2三、解答题22.（ 1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC， AD∥ BC，∠ 3=∠4，∵∠ 1=∠ 3+∠5，∠ 2=∠4+∠ 6，∠ 1=∠ 2∴∠ 5=∠ 6∵在△ADE 与△CBF中，∴△ ADE≌△ CBF（ ASA），∴A E=CF（2）证明：∵∠ 1=∠ 2，∴DE∥BF．又∵由（ 1）知△ADE≌△ CBF，∴DE=BF，∴四边形 EBFD是平行四边形．23.证明：① ∵四边形ABCD是正方形，∴A B=CB，∠ ABM=∠ CBM，在△ABM 和△CBM 中，，∴△ ABM≌△ CBM（ SAS），② ∵△ ABM≌△ CBM，∴∠ BAM=∠ BCM，∵∠ ECF=90°， G 是 EF的中点，∴GC=GF，∴∠ GCF=∠F，又∵ AB∥ DF，∴∠ BAM=∠ F，∴∠ BCM=∠ GCF，∴∠ BCM+∠ GCE=∠ GCF+∠ GCE=90°，∴GC⊥ CM．24.（ 1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AB=CD， AD=BC，∠ A=∠ C=90°，∵在矩形 ABCD中， M、 N 分别是 AD、 BC的中点，∴AM=AD， CN=BC，∴AM=CN，在△MAB 和△NDC中，∵，∴△ MBA≌△ NDC（ SAS）（2）证明：四边形 MPNQ 是菱形．原因以下：连结 AP， MN ，则四边形 ABNM 是矩形，∵AN 和 BM 相互均分，则A，P，N 在同一条直线上，易证：△ABN≌△ BAM，∴AN=BM ，∵△ MAB≌△ NDC，∴BM=DN，∵P、 Q 分别是 BM、 DN 的中点，∴PM=NQ，∵，∴△ MQD≌△ NPB（ SAS）．∴四边形MPNQ 是平行四边形，∵M 是 AD 中点， Q 是 DN 中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∵MP=BM，∴MP=MQ ，∴平行四边形MQNP 是菱形．25.（1）证明：在△ABC中， AB=AC， AD⊥ BC，∴∠ BAD=∠ DAC，∵AN 是△ABC外角∠ CAM 的均分线，∴∠ MAE=∠ CAE，∴∠ DAE=∠ DAC+∠CAE=180°=90°，又∵ AD⊥ BC，CE⊥AN，∴∠ ADC=∠ CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形（2）当△ABC知足∠ BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．原因：∵ AB=AC，∴∠ ACB=∠ B=45°，∵AD⊥ BC，∴∠ CAD=∠ ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形 ADCE是正方形．∴当∠ BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形26.（1）解：如图，连结OB， O′B，则 OB=O′B，∵四边形OABC是矩形，∴AO=AO′，∵B 点的坐标为（ 1， 3），∴O A=1，∴A O′=1，∴点 O′的坐标是（ 2，0 ），△O′ DB为等腰三角形，原因以下：在△BC′D与△O′AD中，，∴△ BC′D≌△ O′AD（AAS），∴BD=O′D，∴△ O′DB是等腰三角形（2）解：设点 D 的坐标为（ 1， a），则 AD=a，∵点 B 的坐标是（ 1， 3），∴O′D=3﹣ a，222在 Rt△ADO′中， AD +AO′=O′D，∴a2+12=（ 3﹣ a）2，解得 a=，∴点 D 的坐标为（ 1，），设直线 C′O的′分析式为y=kx+b，则，解得，∴边 C′O所′在直线的分析式：y=﹣x+（3）解：∵ AM=1， AO=1，且 AM⊥AO，∴△ AOM 是等腰直角三角形，① PM 是另向来角边时，∠ PMA=45°，∴P A=AM=1，点P 与点O′重合，∴点 P 的坐标是（ 2， 0），② PO 是另向来角边，∠ POA=45°，则 PO 所在的直线为 y=x，∴，解得，∴点 P 的坐标为P（ 2， 0）或（，）．人教版八年级数学下单元测试题：第十八章平行四边形一、填空题 (每题 3 分，共 24 分 )1．如图， ?ABCD 中， AC，BD 订交于点O，若 AD ＝ 6，AC＋BD ＝ 16，则△BOC 的周长为________．2．如图，四边形ABCD 是对角线相互垂直的四边形，且OB＝ OD ，请你增添一个适合的条件____________，使四边形 ABCD 成为菱形 (只要增添一个即可 )．3．若以A(－ 0.5， 0)， B(2， 0)， C(0， 1)三点为极点画平行四边形，则第四个极点不行能在第________象限．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的极点 B 的坐标为 (8， 4)，则 C 点的坐标为________．5．如图， BD 为正方形ABCD 的对角线， BE 均分∠ DBC，交 DC 于点 E，延伸 BC 到 F ，使CF＝ CE，连结 DF .若 CE＝ 1 cm，则 BF＝ __________ ．6．矩形 ABCD 中， AB＝ 3， AD＝ 4， P 是 AD 上一动点， PE⊥ AC 于 E， PF⊥ BD 于 F，则PE＋ PF 的值为 ________．7．以正方形ABCD 的 AD 作等三角形ADE，∠ BEC 的度数是 __________．8．如，在 1 的菱形 ABCD 中，∠ DAB ＝ 60°.接角AC，以 AC 作第二个菱形 ACEF ，使∠ FAC＝ 60°.接 AE，再以 AE 作第三个菱形AEGH ，使∠ HAE ＝60°⋯⋯按此律所作的第n 个菱形的是________．二、 (每 3 分，共 30 分 )9．如，在 ?ABCD 中，已知 AC＝ 4 cm，若△ACD 的周13 cm， ?ABCD 的周 ()A ． 26 cm B． 24 cm C． 20 cm D． 18 cm10．如， ?ABCD 中，角AC ，BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若O E ＝3 cm，AB 的 ()A ． 12 cm B． 9 cm C． 6 cm D． 3 cm11．以下四条件中，不可以判断四形ABCD 是平行四形的是()A ． AB＝ DC ， AD＝ BC B． AB∥ DC ， AD∥ BCC．AB ∥DC ， AD＝ BC D．AB ∥DC ， AB＝ DC12．如，在平行四形ABCD 中，已知∠ ODA ＝ 90°，AC ＝10 cm ， BD ＝ 6 cm， AD 的()13．如图，在菱形ABCD 中，∠ B＝ 60°，AB＝ 4，则以 AC 为一边的正方形ACEF 的周长为()A ． 14B． 15C． 16D． 1714．以下说法中，正确的个数有()①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线相互垂直的四边形为菱形；④对角线相互垂直均分且相等的四边形为正方形．A ． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个15．如图，已知在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，∠ BAD ＝ 120 °，AC ＝4，则该菱形的面积是()A ． 16 3B ． 16C． 8 3D． 816．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，以下作法中错误的选项是()17．如图，在矩形ABCD 中， AD ＝3AB，点 G， H 分别在 AD，BC 上，连结BG，DH ，且AG＝()时，四边形 BHDG 为菱形．BG∥ DH ，当AD4B.343A. 55 C.9 D.818．如图，在 ?ABCD 中， CD ＝ 2AD， BE⊥ AD 于点 E，F 为 DC 的中点，连结EF ，BF ，以下结论：①∠ ABC＝ 2∠ ABF；② EF ＝ BF；③ S 四边形DEBC＝ 2S△EFB；④∠ CFE ＝ 3∠ DEF ，此中正确的结论有 ()A ． 1 个B ． 2 个C．3 个 D ． 4 个三、解答题 (19 题 8 分， 20～ 22 题每题 10 分，其余每题14 分，共 66 分 )19．如图，在 ?ABCD 中，点 E， F 分别在边CB， AD 的延伸线上，且BE＝ DF ， EF 分别与AB， CD 交于点 G，H .求证 AG ＝CH.20．如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连结 AE，过 B 点作 BH ⊥ AE，垂足为点 H ，延伸 BH 交 CD 于点 F，连结 AF .(1)求证 AE＝ BF；(2)若正方形的边长是5， BE＝ 2，求 AF 的长．21．如图，矩形A BCD 中， E 是 AD 的中点，连结CE 并延伸与BA 的延伸线交于点F，连接AC、 DF .(1)求证：四边形ACDF 是平行四边形；(2)当 CF 均分∠ BCD 时，写出BC 与 CD 的数目关系，并说明原因．22．在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交BE 的延伸线于点F，连结 CF .(1)求证 AF＝ DC ；(2)若 AB⊥ AC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．23．如图，△ABC 中，∠ ACB＝ 90°， D 为 AB 的中点，四边形BCED 为平行四边形，DE ，AC 订交于 F .连结 DC， AE.(1)试确立四边形ADCE 的形状，并说明原因．(2)若 AB＝ 16， AC＝ 12，求四边形ADCE 的面积．(3)当△ABC 知足什么条件时，四边形ADCE 为正方形？请赐予证明．24．我们给出以下定义：按序连结随意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图①，在四边形ABCD 中，点 E，F ， G，H 分别为边 AB， BC，CD ， DA 的中点，求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点 P 是四边形 ABCD 内一点，且知足点E，F ， G， H 分别为边 AB， BC， CD ，DA PA＝ PB，PC＝ PD，∠ APB ＝∠ CPD ，的中点，判断中点四边形 EFGH 的形状，并说明原因；(3)若改变 (2) 中的条件，使∠APB＝∠ CPD＝ 90°，其余条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状 (不用证明 )．答案一、 1．142．OA＝OC(答案不独一)3．三4．(3，4)5．(2＋2) cm126．57．30°或150°8．(3)n－1二、 9-18： DCCAC BCCCD三、 19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝ BC，AD∥ BC，∠ A＝∠ C.∴∠ F＝∠ E.∵BE＝ DF，∴AD＋ DF＝ CB＋BE，即 AF＝CE.在△AGF和△CHE中，∠ A＝∠ C，AF＝ CE，∠ F＝∠ E，∴△ AGF≌△ CHE(ASA)．∴AG＝ CH.20．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝ BC，∠ ABE＝∠ BCF＝ 90°.∴∠ BAE＋∠ AEB＝ 90°.∵BH⊥ AE，∴∠ BHE＝90°.∴∠ AEB＋∠ EBH＝ 90°.∴∠ BAE＝∠ EBH.在△ABE 和△BCF中，∠BAE＝∠ CBF，AB＝ BC，∠ABE＝∠ BCF，∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝ BF.∴BE＝ CF.∵正方形的边长是5， BE＝ 2，∴DF＝ CD－ CF＝ CD－ BE＝ 5－ 2＝3.在Rt△ADF 中，由勾股定理得： AF＝ AD2＋ DF2＝ 52＋ 32＝ 34. 21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥ CD.∴∠ FAE＝∠ CDE.∵E 是 AD 的中点，∴ AE＝ DE.又∵∠ FEA＝∠ CED，∴△ FAE≌△ CDE(ASA)．∴CD＝ FA.又∵ CD∥ FA，∴四边形 ACDF是平行四边形．(2)解： BC＝ 2CD.原因以下：∵CF均分∠BCD，∴∠ DCE＝ 45°.∵∠ CDE＝ 90°，∴△ CDE是等腰直角三角形．∴CD＝DE.∵E是AD 的中点，∴ AD＝ 2DE.∴AD＝ 2CD.∵AD＝ BC，∴ BC＝ 2CD.22．(1)证明：∵AF∥BC，∴∠ AFE＝∠ DBE.∵E 是 AD 的中点，∴ AE＝ DE.在△AFE 和△DBE 中，∠AFE＝∠ DBE，∠FEA＝∠ BED，AE＝ DE，∴△ AFE≌△ DBE(AAS)．∴A F＝BD.∵AD 是 BC边上的中线，∴DC＝ BD.∴A F＝ DC.(2)解：四边形ADCF是菱形．证明：由 (1)得 AF＝DC，又 AF∥ BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵ AC⊥ AB， AD 是斜边 BC 上的中线，1∴AD＝2BC＝ DC.∴?ADCF是菱形．23．解：(1)四边形ADCE是菱形．原因：∵四边形BCED为平行四边形，∴CE∥ BD， CE＝ BD， BC∥ DE.∵D 为 AB 的中点，∴ AD＝ BD.∴CE∥ AD， CE＝ AD.∴四边形ADCE为平行四边形．又∵ BC∥ DF，∴∠ AFD＝∠ ACB＝90°，即 AC⊥ DE.∴四边形ADCE为菱形．(2)在 Rt△ABC中，∵ AB＝ 16， AC＝12 ，∴ BC＝ 4 7.而 BC＝ DE，∴ DE＝4 7.1∴四边形ADCE的面积＝2AC·DE＝ 24 7.(3)当 AC＝ BC 时，四边形ADCE为正方形．证明：∵ AC＝ BC，D 为 AB 的中点，∴ CD⊥ AB，即∠ ADC＝90°.∴菱形 ADCE为正方形．24．(1)证明：如图①，连结BD.∵点 E， H 分别为边AB， DA 的中点，1∴EH∥ BD， EH＝2BD.∵点 F， G 分别为边BC，CD 的中点，1∴FG∥BD，FG＝2BD.∴EH∥ FG，EH＝ FG.∴中点四边形EFGH是平行四边形．(2)解：中点四边形EFGH是菱形．原因：如图②，连结AC，BD.∵∠ APB＝∠ CPD，∴∠ APB＋∠ APD＝∠ CPD＋∠ APD，即∠ BPD＝∠ APC.在△APC和△BPD 中，PA＝ PB，∠APC＝∠ BPD，PC＝ PD，∴△ APC≌△ BPD(SAS)．∴AC＝ BD.∵点 E， F， G 分别为边AB， BC， CD 的中点，11∴EF＝2AC， FG＝2BD.∴EF＝ FG.又由 (1)中结论知中点四边形EFGH是平行四边形，∴中点四边形EFGH是菱形．(3)解：中点四边形EFGH是正方形．人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形》检测卷一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )1. 平行四边形的周长为24 cm，相邻两边的差为 2 cm，则平行四边形的各边长为()A ． 4 cm， 8 cm， 4 cm， 8 cm B． 5 cm， 7 cm，5 cm， 7 cmC．5.5 cm ， 6.5 cm， 5.5 cm， 6.5 cm D． 3 cm， 9 cm，3 cm， 9 cm2. 如图，在? ABCD中，AB>AD，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB，AD 于点 E，F ；再分别以点E， F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG 交 CD 于点 H ，则以下结论中不可以由条件推理得出的是()A ． AG 均分∠ DAB B． AD＝ DHC．DH ＝ BC D． CH ＝ DH第 2 题第3题3.如图，在 ? ABCD 中， AB＝ 4，BC ＝6，AC 的垂直均分线交 AD 于点 E，则△ CDE 的周长是 ()A ． 7B ．10C． 11 D ． 124. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是()A ． 8B ．42C． 82D． 165.如图，? ABCD 的对角线 AC 的长为 10 cm，∠ CAB＝ 30°，AB 的长为 6 cm，则? ABCD 的面积为 ()A ． 60 cm2B． 30 cm2C． 20 cm2D． 16 cm2第 5 题第6题6.如图， ? ABCD 的对角线 AC 与 BD 订交于点 O，AE⊥ BC，垂足为 E， AB＝ 3， AC＝2， BD ＝ 4，则 AE 的长为 ()3321221A.2B. 2C.7D.77. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA， PC 为边作 ? PAQC，则对角线PQ 长度的最小值为 ()A ． 6B． 8C． 2 2 D ．4 2第 7 题第8题8.如图，在矩形 ABCD 中， E， F 分别是 AD， BC 中点，连结 AF， BE， CE， DF 分别交于点 M， N，四边形EMFN 是 ()A ．正方形B．菱形C．矩形D．没法确立9. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠ B＝ 90°时，如图 1，测得 AC＝ 2，当∠ B＝ 60°时，如图 2，AC 的长是 ()A.2 B ． 2 C. 6D． 22第 9 题第 10 题10.如图， ? ABCD 中， AB＝ 8 cm， AD＝ 12 cm，点 P 在 AD 边上以每秒 1 cm 的速度从点A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上以每秒 4 cm 的速度从点 C 出发，在 CB 间来回运动，两个点同时出发，当点P 抵达点 D 时停止 (同时点 Q 也停止 )，在运动此后，以P， D， Q，B 四点构成平行四边形的次数有()A ． 4 次B． 3 次C． 2 次D． 1 次二、填空题 (每题 3 分，共 24 分 )11. 若平行四边形中两个内角度数比为1∶ 2，则此中较大的内角是度．12. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD订交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝．第 12 题第13题13.如图， ? ABCD 与? DCFE 的周长相等，且∠ BAD ＝ 60°，∠ F＝ 110 °，则∠ DAE 的度数为．14.已知直角坐标系内有四个点O(0， 0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以 O， A，B，C 为极点的四边形是平行四边形，则x＝．15.如图，在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点， E， F 分别是 AB， CD 的中点，AD ＝BC，∠ PEF ＝ 18°，则∠ PFE 的度数是．第 15 题第16题16.如图，在 ? ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 E，∠ AEB＝ 45°，BD＝ 2，将△ ABC 沿 AC 所在直线翻折，若点 B 的落点记为B′，则 DB′的长为．17.如图，正方形 ABCO 的极点 C，A 分别在 x 轴、y 轴上， BC 是菱形 BDCE 的对角线，若∠ D＝ 60°， BC＝ 2，则点 D 的坐标是．第 17 题第18题18.如图，边长为 4 的正方形 ABCD，点 P 是对角线 BD 上一动点，点 E 在边 CD 上，EC＝ 1，则 PC＋ PE 的最小值是．三、解答题 (共 66 分 )19.(8 分)如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E， B，D ， F 在同向来线上，且BE＝ DF .求证： AE＝ CF .20.(8 分 )如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝ 60°，AB ＝ 8 cm，E，F 分别为边 AC，AB 的中点．(1)求∠ A 的度数；(2)求 EF 的长．21.(9 分)如图， ? ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 O， EF 过点 O 且与 BC， AD 分别交于点E，F.试猜想线段 AE， CF 的关系，并说明原因．22. (9分)如图，E是? ABCD的边CD的中点，延伸AE 交 BC 的延伸线于点 F.(1)求证：△ ADE≌△ FCE；(2)若∠ BAF ＝ 90°， BC ＝5， EF＝ 3，求 CD 的长．23. (10分)如图，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延伸线上一点，且DF ＝BE .(1)求证： CE＝ CF；(2)若点 G 在 AD 上，且∠ GCE ＝45°，则 GE＝ BE＋GD 建立吗？为何？24.(10 分 )如图， ? ABCD 的对角线 AC，BD 订交于点 O，EF 过点 O 且与 AB， CD 分别订交于点 E， F ，连结 EC.(1)求证： OE＝OF ；(2)若 EF ⊥ AC，△ BEC 的周长是10，求 ? ABCD 的周长．25.(12 分 )以下图，在四边形 ABCD 中， AD ∥BC ，AD＝ 24 cm， BC＝ 30 cm，点 P 从点A 向点 D 以 1 cm/ s 的速度运动，到点 D 即停止．点 Q 从点 C 向点 B 以 2 cm/ s 的速度运动，到点 B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形 PQCD ，则当 P，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，此中一个四边形为平行四边形？参照答案1. B2. D3. B4. A5. B6. D7. D8. B9. A10. B11.12012.35°13.25°14.4 或－ 215.18°16.217.(2＋ 3， 1)18.519.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥ CD，AB＝ CD . ∴∠ ABD ＝∠ CDB . ∴∠ ABE ＝∠ CDF .AB＝CD ，在△ ABE 和△CDF 中，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF (SAS)．∴AE＝CF .BE＝DF ，20.解： (1)∵∠ C＝ 90°，∴∠ A＋∠ B＝ 90°.∴∠ A＝90°－∠ B＝90°－ 60°＝ 30°.1(2) 在 Rt△ABC 中，∠ A＝30°， AB＝ 8 cm，∴ BC＝2AB＝ 4 cm. ∵ E， F 分别是 AC， AB 的中1点，∴ EF 是△ ABC 的中位线．∴EF＝2BC＝ 2 cm.21.解： AE＝ CF 且 AE∥ CF. 原因：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ OA＝ OC，AD ∥ BC.∠AFO ＝∠CEO ，∴∠ AFO ＝∠ CEO.在△ AOF和△ COE中，∠AOF ＝∠COE ，OA＝OC，∴△ AOF ≌△ COE(AAS) ．∴ OF＝ OE. 又∵ OA＝ OC，∴四边形 AECF 是平行四边形．∴ AE ＝C F 且 AE∥ CF .22. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF .∠DAE ＝∠ F，∵E是CD的中点，∴ DE＝CE.在△ ADE和△ FCE中，∠D＝∠ECF，DE ＝CE，∴△ ADE ≌△ FCE (AAS) ．(2) ∵△ ADE≌△ FCE ，∴ AE＝ EF ＝ 3.∵AB ∥CD，∴∠ AED＝∠ BAF＝ 90°. 在 ? ABCD 中，AD ＝BC＝ 5，∴ DE ＝ AD 2－ AE 2＝52－ 32＝ 4. ∴CD＝ 2DE ＝ 8.23.解： (1) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC＝ CD ，∠ B＝∠ CDF . 又∵ BE ＝ DF ，∴△ CBE≌△ CDF (SAS) ．∴ CE＝ CF .(2) GE＝ BE ＋ GD 建立．原因：由 (1) ，得△ CBE≌△ CDF ，∴∠ BCE ＝∠ DCF . ∴∠ BCE ＋∠ECD ＝∠ DCF ＋∠ ECD，即∠ BCD ＝∠ ECF ＝ 90°. 又∵∠ GCE ＝ 45°，∴∠ GCF＝∠ GCE ＝45°. ∵ CE＝ CF ，∠ GCE＝∠ GCF ，GC＝ GC，∴△ ECG≌△ FCG(SAS) ．∴GE＝ GF. ∴ GE ＝D F ＋ GD ＝ BE＋ GD.24.解：(1) 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OD ＝ OB，DC ∥ AB. ∴∠ FDO ＝∠ EBO.∠FDO ＝∠ EBO，在△ DFO 和△ BEO 中，OD ＝OB，∴△ DFO≌△ BEO(ASA)．∴ OE＝OF .∠FOD ＝∠ EOB，(2) ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，AD ＝ BC，OA＝ OC. ∵ EF ⊥ AC，∴ AE＝ CE.∵△ BEC 的周长是 10，∴ BC＋BE ＋ CE＝BC ＋BE＋ AE＝BC＋ AB＝10. ∴ C? ABCD＝ 2(BC＋ AB)＝20.25.略。

八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析．（2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5．（2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形．（2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析．（2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ．同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13．（2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ．证明：连接AC ，如图．在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典复习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠D解析：D【分析】当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（）A．24 B．25 C．26 D．28C解析：C【分析】延长BN交AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．【详解】解：延长BN交AC于D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，∴AD=AB=6，BN=ND，又M是△ABC的边BC的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+DC=10，则△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，故选C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．3．下列命题是真命题的是（）A．三角形的三条高线相交于三角形内一点B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．对于所有自然数n，237-+的值都是质数n nD．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等D解析：D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A进行判断；根据平行四边形的判定对B进行判断；取n=6可对C进行判断；根据三角形全等的知识可对D进行判断．【详解】解：A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A选项错误；B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；C、当n=6时，n2-3n+7=25，25不是质数，所以C选项错误；D、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项准确．故选：D．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题． 5．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE B解析：B【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证△ABE ≌△CDE ，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，∵AD ∥BC'，∴∠EDB=∠DBC'，∴∠EDB=∠EBD ，故选项C 正确；∴BE=DE ，∵AD=BC ，∴AE=CE ，故选项A 正确；在△ABE 和△CDE 中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDE （SAS ），故选项D 正确；没有条件能够证明12AE BE =，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．AB ∥CD ，AD ∥BCB ．AD ∥BC ，AB ＝CD C ．OA ＝OC ，OB ＝ODD ．AB ＝CD ，AD ＝BC B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．【详解】A 、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；B 、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；C 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；D 、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．7．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（）A ．25B ．5C ．45D ．10A解析：A【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，根据已知条件得到AE=CE ，求得DE=12BC ，求得DF=12AH ，根据三角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD ，∵DE ∥BC ，∴AE=CE ，∴DE=12BC ， ∵DF ⊥BC ， ∴DF ∥AH ，DF ⊥DE ，∴BF=HF ，∴DF=12AH ， ∵△DFE 的面积为1，∴12DE•DF=1，∴DE•DF=2，∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，∴AB•AC=8，∵AB=CE ，∴AB=AE=CE=12AC ， ∴AB•2AB=8， ∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴BC=22222425AB AC +=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤D解析：D【分析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩，∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；∴EH ⊥GH ，④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．9．下列命题中，正确的命题是（）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．⊥于点10．如图，在Rt ABC中，90∠，30C=∠=，D是AC边的中点，DE ACAD，交AB于点E，若83AC=，则DE的长是（）A．8 B．6 C．4 D．2C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，∴(222=+，x x43解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，⊥，∵D是AC边的中点，DE AC∴DE=1BC=4，2故选C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾AE=，正方形ODCE的边长为1，则BD 股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法若5等于___________．【分析】设BD=x 正方形ODCE 的边长为1则CD=CE=1根据全等三角形的性质得到AF=AEBF=BD 根据勾股定理即可得到结论【详解】解：设正方形ODCE 的边长为1则CD=CE=1设BD=x ∵△AF 解析：32 【分析】设BD=x ，正方形ODCE 的边长为1，则CD=CE=1，根据全等三角形的性质得到AF=AE ，BF=BD ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：设正方形ODCE 的边长为1，则CD=CE=1，设BD=x ，∵△AFO ≌△AEO ，△BDO ≌△BFO ，∴AF=AE=5，BF=BD=x ，∴AB=x+5，AC=5+1=6，BC=x+1，∵在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x+1）2+62=（x+5）2，∴x=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103 【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴BD=22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103．故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．13．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．【分析】过点P 作PG ⊥CB 交CB 的延长线于点G 过点Q 作QF ⊥CB 运用AAS 定理证明△QBF ≌△BPG 根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC 为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC 的长然后结合全解析：10【分析】过点P 作PG ⊥CB ，交CB 的延长线于点G ，过点Q 作QF ⊥CB ，运用AAS 定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt△ABC中，8∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF⊥BC，∠ECB=45°∴△CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键14．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB= 解析：3【分析】过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．【详解】解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，∵150ABC ∠=︒，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=12×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，∴AM ∥EF ，∵//AE BC ，∴四边形AMFE 是平行四边形，∵AM ⊥CB ，∴四边形AMFE 是矩形，∴EF=AM=3，故答案为：3．．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．15．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是 10【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ， ∴152CD AE BE AB ====，取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线， ∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°，在Rt △BEF 中，根据勾股定理，2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF +=+= 10【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．16．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足解析：2【分析】画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG ，得到四边形EFGH 的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，过点G 作EH 的垂线，垂足为M ，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC 和BD 夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=233222=，∴四边形EFGH的面积=MG EH⋅=62，∴平行四边形ABCD的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．17．如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为_______．3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD∵∠A＝90°AP＝3∴点P到BD的距离等于AP的长为3解析：3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD 的距离即可．【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．【点睛】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则AB＝_______．【分析】利用矩形和折叠的性质证明∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA≌△DCA那么DC=DB设AB=DC=x在Rt△ADE中通过勾股定理可求出AB的长度【详解】解：3【分析】利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，∴∠AED=∠A'ED，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E，∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=1×180°=60°，3∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC=DB'，在Rt△AED中，∠ADE=30°，AD=2，23∴323设AB=DC=x，则∵AE2+AD2=DE2，∴2222323233x x +=+-（）（）解得，x 1=−33 （负值舍去），x 2=3 ，故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ，则AE 的长为_____．【分析】连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H设AE=x 则BE=8-xCE=AE=x 在根据勾股定理即可得到x 的值【详解】如图：连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H 平行四边形ABCD 中设AE=x 则BE= 解析：203【分析】连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，设AE=x ，则BE=8-x ，CE=AE=x ，在根据勾股定理，即可得到x 的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==，在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=，解得：203x =， AE ∴的长为203，故答案为：203．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．20．如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，作AE l ⊥于E ，连结CE ，若4BE =，3AE =，则BCE 的面积________．8【分析】过C 作于点F 根据正方形的性质找出对应相等的边和角求证出得到即可求三角形的面积【详解】如图所示过C 作于点F 四边形ABCD 是正方形又又在和中故答案为8【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等解析：8【分析】过C 作CF l ⊥于点F ，根据正方形的性质找出对应相等的边和角，求证出ABE BCF ≅得到 4CF BE ==即可求三角形的面积．【详解】如图所示，过C 作CF l ⊥于点F ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，又AE BE ⊥，CF BF ⊥，90AEB BFC ∴∠=∠=︒，又18090ABE CBF ABC ∠+∠=︒-∠=︒，18090ABE BAE AEB ∠+∠=︒-∠=︒，CBF BAE ∴∠=∠，∴在ABE △和BCF △中， AEB BFC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE BCF ∴≅，4CF BE ∴==， 12BCE S BE CF ∴=⨯⨯1442=⨯⨯8=，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等的判定，以及三角形面积的公式，难度一般．三、解答题21．如图所示，小明在测量旗杆AB 的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C 处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D 处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB 的高度是多少米？解析：旗杆AB 的高度为10.6米【分析】过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形BCDE 为长方形，∴ 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，即3.638.16x =，解得10.6x =．答：旗杆AB 的高度为10.6米．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．22．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．解析：（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP ＝AD ＝5，CP ＝BC ＝5，进而得出AB 的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB ＝QB ，再根据BP 平分∠ABQ ，即可得出BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，依据勾股定理得出AP 的长，进而得到△ABQ 的周长．【详解】解：（1）∵在□ABCD 中，AD ＝5，∴BC ＝5，∵AB ∥CD ，∴∠BAP ＝∠DPA ，∵AP 平分∠BAD ，∴∠BAP ＝∠DAP ，∴∠DAP ＝∠DPA ，∴DP ＝AD ＝5，同理可得，CP ＝BC ＝5，∴CD ＝10，∴AB ＝10；（2）①如图所示：②∵AD ∥BQ ，∴∠Q ＝∠DAP ，又∵∠DAP ＝∠BAP ，∴∠Q ＝∠BAP ，∴AB ＝QB ＝10，又∵BP 平分∠ABQ ，∴BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，∴Rt △ABP 中，22AB BP -， ∴AQ ＝16，∴△ABQ 的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．23．在ABC 中，AC BC =，点E 在边AB 所在的直线上，过点E 作//DE BC 交直线AC 于点D ，//EF AC 交直线BC 于点F ，构造出平行四边形CDEF ．（1）若点E 在线段AB 上时．①求证：FE FB =．②求证：DE EF BC +=．（2）点E 在边AB 所在的直线上，若8BC =，2EF =，请作出简单示意图并直接写出DE 的长度．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）10或6【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FEB=∠A，根据等边对等角得到∠B=∠A，可得∠FEB=∠B，从而可证；②证明四边形CDEF是平行四边形，得到CF=DE，结合FE=FB可得结论；（2）点E在边AB所在的直线上，分三种情况讨论，即可得出DE的长度．【详解】解：（1）①∵EF∥AC，∴∠FEB=∠A，又∵AC=BC，∴∠B=∠A，∴∠FEB=∠B，∴FE=FB；②∵EF∥AC，DE∥BC，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CF=DE，∵EF=BF，∴DE+EF=CF+BF=BC；（2）如图，同理可得：BF=EF，∴DE=BC+BF=BC+EF=8+2=10．如图，同理可得：BF=EF，DE=CF=BF-BC=EF-BC=2-8=-6（不合题意）．如图④，DE=BC-BF=BC-EF=8-2=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 24．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC ．【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形．（2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2．【点睛】本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．25．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．26．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：AE CF =；（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．解析：（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析【分析】（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，又AOE COF ∠=∠，AOE COF ∴≌，AE CF ∴=．（2）四边形AGCH 是菱形．理由：AOE COF ≌，EAO FCO ∴∠=∠，//AG CH ∴，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴四边形AGCH 是平行四边形，//AD BC ，HAC ACB ∠∠∴=，AC 平分HAG ∠，HAC GAC ∠∠∴=，∴GAC ACB ∠=∠，GA GC ∴=，∴平行四边形AGCH 是菱形．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若∠B =60°，BC =6，求菱形ADCE 的高．解析：（1）见解析；（2）3√3【分析】（1）先证明四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=AD ，即可得出四边形ADCE 为菱形；（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ；先证明△BCD 是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt △CDF 中，求出DF 即可．【详解】解：（1）证明：∵AE ∥CD ，CE ∥AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∴CD=12AB=AD ， ∴四边形ADCE 为菱形；（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，如图所示：DF 即为菱形ADCE 的高，∵∠B=60°，CD=BD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE ∥AB ，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt △CDF 中，DF=√CD 2−CF 2=3√3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）52或122【分析】（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．【详解】解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEFG 是正方形；（2）CE CF =，理由如下：过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，90BGA ∠=︒，90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，DAH ABG ∴∠=∠，在Rt ADH 和Rt BAG 中，90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，DH AG ∴=，∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°∴DH =GH =AG ∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =，EF BG =，2EF CE ∴=，CE CF ∴=；（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，∵四边形BEFG 是正方形，∴∠BAD =90°．∵DK ⊥AG ，∴∠K =90°．∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt △ADK ≌Rt BAG ，则AK =BG =12，DK =AG =5，∵AF +FK =AK =BG=GF=AG +AF∴FK =AG =5在R t △DFK 中，根据勾股定理可得，DF =2252DK FK +=②点F 在AB 左侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．方法同①，可得FK =AG =12，。

期末复习专题---四边形中最值问题2021-2022学年人教版数学八年级下册-

期末复习专题四边形中最值问题一、选择题如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45∘，AD=4，点M，N分别是边AB，BC上的动点，连接DN，MN，点E，F分别为DN，MN的中点，连接EF，则EF的最小值为( )A．1B．√2C．√22D．2√2如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是( )A．4B．6C．8D．10如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )A．54B．52C．53D．65如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是( )A．3B．4C．5D．6如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点Dʹ处，则CDʹ的最小值是( )A．4B．4√5C．4√5−4D．4√5+4如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60∘得到EG，连接BG，CG，则BG+CG的最小值为( )A．3√3B．2√7C．4√3D．2+2√3如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF最大值为( )A．8B．9C．10D．2√41如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120∘，AD=4，AB=2，点E是折线BC−CD−DA上的一个动点（不与A，B重合）．则△ABE的面积的最大值是( )B．1C．3√2D．2√3A．√32二、填空题如图，长方形ABCD中AB=2，BC=4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为．如图，已知平行四边形ABCO的顶点A，C分别在直线x=2和x=7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=8，顶点A，D分别在x轴，y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，C点坐标为(1,2)，点P是对角线OB上一动点，E点坐标为(0,−1)，则EP+AP最小值为．如图，平行四边形ABCO的边OC在直角坐标系的x轴上，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60∘，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M，点E与Eʹ关于x轴对称．则BP+PM+MEʹ的长度的最小值．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD 上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD=1，P是BC上一动点，则PM−PO的最大值为．三、解答题如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120∘，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．当点EF在BC，CD上滑动时，求△CEF面积的最大值．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，求PB的最小值．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60∘，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△AʹBʹDʹ，分别连接AʹC，AʹD，BʹC，求AʹC+BʹC的最小值．。

八年级数学第十九章《四边形》单元卷-最新,经典试题,通用

良存中学八年级数学第十九章《四边形》单元卷09.5班级姓名座号总分一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）1、如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于………………( ) A 、18° B、36° C、72° D、108°2、如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，AB=5，BC=3，则EC 的长…………………………………………………………………………………（） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、33、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是………………………（） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形4、正方形具有而菱形不一定具有的性质是………………………………………（）（A ）四条边相等（B ）对角线互相垂直平分（C ）对角线平分一组对角（D ）对角线相等5、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是………………………………………………………………（）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：26、下列命题中，真命题是……………………………………………………………（） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、有一个角是直角的四边形是直角梯形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形7、如图10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 度数比可能为）A 、3:4:5:6B 、4:5:4:5C 、2:3:3:2D 、2:4:3:3 8、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 、BF相交于点O,下列结论①AE=BF ;②AE ⊥BF;③AO=OE;④S △AOB =S 四边形DEOF 中，错误的有………………………………………………………………………（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C 第5题图E D C B A 第2题图 A BC DE 第8题图第1题图二、填空题（本大题7个小题，每小题4分，共28分）9、如图，□ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠B=55°，则∠DAE= °.10、如图，△ABC 、△ACE 、△ECD 都是等边三角形，则图中的平行四边形有个。

八年级下学期数学四边形专题复习试卷一(含答案)

八年级下学期数学四边形专题复习试卷一班级：姓名：学号：一、判断题：（每小题3分，共15分）1、n 边形的n 个外角中最多有三个钝角。

（）2、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形。

（）3、对角线平分相应的一组对角的平行四边形是菱形。

（）4、对角线垂直且相等的四边形是正方形。

（）5、菱形对角线交点到各边的距离相等。

（）二、填空题：（每小题3分，共18分）6、若n 边形的每个外角都等于200，则边数n ＝。

7、平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm 。

8、若矩形的对角线长为8，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为。

9、若边长为4cm 的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为 cm 2。

10、若菱形的两对角线之比为3∶4，对角线之差为2cm ，则该菱形的周长为 cm 。

11、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶7∶3，则∠D ＝度。

三、选择题：（每小题3分，共27分）12、n 边形的对角线总条数是（）A 、2n B 、)2(-n n C 、2)3(-n n D 、)3(-n n 13、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相平分C 、对角线互相垂直D 、对角线平分对角14、四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定该四边形是正方形的题设是（）A 、AB ＝CD ，AB ∥CD ，AC ＝BD B 、AB ＝CD ，BC ＝ADC 、OA ＝OB ＝OC ＝OD ，AB ＝BC D 、AC ＝BD ，AC ⊥BD15、已知一个四边形ABCD 的边长分别为a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足条件bd ac d c b a 222222+=+++，则该四边形ABCD 的对角线（）A 、相等B 、相互平分C 、相互垂直D 、垂直且相等16、正方形的边长是2cm ，则它的一个顶点和另两边中点所构成三角形的面积为（）A 、21cm 2 B 、1cm 2 C 、23cm 2 D 、2cm 2 17、一个正方形的边长为4cm ，顺次连结它的各边中点所得的四边形的面积是（） A 、4cm 2 B 、8cm 2 C 、12cm 2 D 、16cm 218、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必然是（）A 、菱形B 、对角线相互垂直的四边形C 、正方形D 、对角线相等的四边形19、以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、等腰梯形20、如果矩形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是（）A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形四、解答题：（每小题10分，共60分）21、如图，E 、F 为平行四边形ABCD 对角线AC 延长线上的点，且AE ＝CF ，连结BF 、BE 、DF 、DE 。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题二(含答案) (45)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题二（含答案）如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD 边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．【答案】20【解析】分析：平行四边形中对角线互相平分，则点O是BD的中点，而E是CD 边中点，根据三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半可得AD=6，进一步即可求得▱ABCD的周长．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，又∵点E是CD边中点∴AD=2OE，即AD=6，∴▱ABCD的周长为（6+4）×2=20．故答案为：20．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三、解答题82．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）当m＝-12时，PQ最长，最大值为94；（3）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．【解析】【分析】（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案【详解】解：（1）将A （1，0），B （﹣3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：309330a b a b +-=⎧⎨--=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3，当x ＝﹣2时，y ＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D （﹣2，﹣3），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，将A （1，0），D （﹣2，﹣3）代入得： 023k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得：11k b =⎧⎨=-⎩∴直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1；因此直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵点P 在直线AD 上，Q 抛物线上，P （m ，n ），∴n ＝m ﹣1 Q （m ，m 2+2m ﹣3）∴PQ 的长l ＝（m ﹣1）﹣（m 2+2m ﹣3）＝﹣m 2﹣m +2 （﹣2≤m ≤1） ∴当m ＝-11-=--122⨯ 时，PQ 的长l 最大＝﹣（1-2 ）2﹣（1-2）+2＝94．答：线段PQ 的长度l 与m 的关系式为：l ＝﹣m 2﹣m +2 （﹣2≤m ≤1）当m ＝1-2时，PQ 最长，最大值为94．（3）①若PQ 为平行四边形的一边，则R 一定在直线x ＝﹣2上，如图： ∵PQ 的长为0＜PQ ≤94的整数， ∴PQ ＝1或PQ ＝2，当PQ ＝1时，则DR ＝1，此时，在点D 上方有R 1（﹣2，﹣2），在点D 下方有R 2（﹣2，﹣4）；当PQ ＝2时，则DR ＝2，此时，在点D 上方有R 3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣3）综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．【点睛】此题考查一元二次方程-用待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式83．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A 出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是，AB的长是．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．时，【答案】（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=103四边形AEFD为菱形【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD 时，求出t的值，进而得出答案．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB，根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴3AB2=75，∴AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，AC=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，．即t=10﹣2t，解得：t=103时，四边形AEFD为菱形．即当t=103故答案为：（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=103时，四边形AEFD为菱形．【点睛】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．84．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC12==(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===，∴CE 365====7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．85．按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用．．直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE．．．（不带刻度）（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺．．．．作出菱形ABCD的边AB上的高DF．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形，找到对称中心——即对角线的交点，；连接EO并延长交边AD于点F即可得DF BE（2）根据菱形是关于对角线对称的轴对称图形，根据轴对称的性质作出线段BF关于AC对称的DF即可．【详解】解：（1）如图所示：①连接AC、BD交于O，②连接EO并延长交AD于F点，（2）如图所示：①连接AC、BD交于点G；②连接DG并延长交AB于点F，由轴对称可知，DF⊥AB，【点睛】本题考查了作图复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形的对角线所在直线是菱形的对称轴．86．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=12BC•PF+12AD•PE=12BC（PF+PE）=12BC•EF=12S矩形ABCD．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．【答案】（1）证明见解析；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，证明见解析.【解析】【分析】分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+1S矩形ABCD，2S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．而S△PAC+S△PCD=S△PAD+12【详解】S矩形ABCD,（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=12∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=12BC•PF=12BC•PE+12BC•EF=1 2AD•PE+12BC•EF=S△PAD+12S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．【点睛】本题利用了三角形的面积公式，以及图形面积的整合等知识．87．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）【答案】（1）是，详见解析；（2）是，详见解析；（3）90°；（4）是，详见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 与DEFG 是正方形，可得AD CD =，DG DE =，90ADC GDE ∠∠︒＝＝，进而得出ADG CDE ∠∠＝，然后由边角边即可判定ADG CDE ≌；（2）根据全等三角形的性质则可证得AG CE =；（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90︒；（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：（1）结论：成立证明：∵ABCD 和DEFG 是正方形∴AD CD =，DG DE =，且90ADC GDE ∠∠︒＝＝∴ADG CDE ∠∠＝在ADG 与CDE △中AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADG CDE SAS ≌；（2）结论：AG CE =证明：∵ADG CDE ≌∴AG CE =；（3）CE 与DG 交点为O ，如图：∵ADG CDE ≌∴DEC AGD ∠∠＝∵90DEC DOE ∠+∠︒＝∴90AGD DOE AGD GOH ∠+∠︒∠+∠＝＝∴90GHE ∠︒＝∴AG 和CE 的夹角为90︒；（4）结论：HD 平分AHE ∠证明：过点D 作MD AG ⊥，DN CE ⊥，如图：∵ADG CDE ≌∴DCE ADG S S ＝ ∴22CE DN AG DM ⋅⋅= ∵AG CE =∴DM DN ＝∵MD AG ⊥，DN CE ⊥∴HD 平分AHE ∠．由勾股定理可得：AC 2+GE 2=AE 2+CG 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、角的和差、三角形的面积、角平分线的判定、三角形的内角和等知识点，体现了逻辑推理的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．88．如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若BC =10，cos ∠ABF 45=，求菱形CEFG 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）174．【解析】【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE ≌△BFE ，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，设EF=x ，则CE=x ，DE=6-x ，得出22+（6-x ）2=x 2，可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得：△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC =∠BEF ，FE =CE ．∵FG ∥CE ，∴∠FGE =∠CEB ，∴∠FGE =∠FEG ，∴FG =FE ，∴FG =EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE =FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，BC =10，cos ∠ABF 45AB BF ==，由翻折可知： BF =BC =10，∴AB =8，AD =10，∴∠BAF =90°，AD =BC =BF =10，∴AF =6，∴DF =4，设EF =x ，则CE =x ，DE =8﹣x ．∵∠FDE =90°，∴22+(8﹣x )2=x 2，解得：x174=，∴CE174 =．【点睛】本题考查了翻折变换、菱形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．89．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，BC=12cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C 点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动. 当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动. 设点P、Q同时出发，并运动了t秒.（1）求梯形ABCD的面积.（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？（3）是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC（如图(2)所示）？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）48cm2（2）t=49(3) t=74【解析】（1）作DH∥AB交BC于H，利用勾股定理说明DH∥BC再求得面积为；（2）若四边形PQCD成为平行四边形，则PD=CQ，即可得到结果；（3）连接DQ，根据面积相等得PQ=3t，即得CQ="5t," PC=14－4t，再根据勾股定理即可求得结果。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (59)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E，点F 在CD 上，CF =AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若AF 平分∠BAD，交DE与H点，且AB=3AE，BF=6，求AH 的长．【答案】（1）证明见解析; （2）4.【解析】【分析】（1）由CF =AE易得BE=DF．根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）由AF 平分∠BAD，结合平行四边形性质可知AD=DF，而AB=3AE，即可知AD=DF=2AE，推出∠ADE=30°，由此可以解题.【详解】（1）证明：∵在□ABCD中，AB∠CD，AB=CD，∵CF=AE，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，∵BE∠DF，∴四边形DEBF是□DEBF，∵DE∠AB，∴∠DEB＝90º，∴四边形BFDE 是矩形. （2）解：∵AF 平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∠CD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD=DF，∵AB=3AE∴BD=2AE∵BD=DF，AD=DF∴AD=2AE，又∠AED=90º∴∠4=30º，∠DAE=60º在矩形DEBF中DE=BF=6∴在 Rt ΔAEH 中，∵∠AEH=90º，∠1=12∠DAE=30º ∴AH=cos30AE= 4 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是通过线段比转化得出∠HAE=30°．102．如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一直线上,AC 、DF 相交于G,AB ⊥BE,垂足为B,DE ⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE.(1)求证:△ABC ≌△DEF;(2)如果GF=4,求GC 的长.【答案】（1）见解析；（2）GC ＝4【解析】【分析】(1)要证明三角形ABC 和DEF 全等．这两个三角形中已知的条件有一组直角，AB=DE ，那么只需证得BC=EF 即可得出两三角形全等的结论，已知了BF=CE ，等式两边都加上FC 后，就可得出BC=EF ，那么这两三角形也就全等了（SAS ）；(2)根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE ，再根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明:AB BE DE BE ，，⊥⊥90ABC DEF ∴∠=∠=︒，BF CE =，BC EF ∴=，ABC DEF ∆∆在与中，AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC DEF SAS ∴∆∆≌（）(2)ABC DEF ∆∆≌，ACB DFE ∴∠=∠，4GC GF ∴==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质．利用全等三角形来得出角相等或线段相等是解此类题的关键．103．如图，平行四边形,,ABCD AD AC AD AC =⊥．（1）如图，点E 在AD 延长线上，//CE BD ，求证：点D 为AE 中点．（2）如图，点E 在AB 中点，F 是AC 延长线上一点，且ED EF ⊥，求证：ED EF =．（3）在（2）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（先补全图形再解答）．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）四边形ACPE是平行四边形，补图与证明见详解．【解析】【分析】（1）先由平行四边形ABCD可得AD∠BC，AD＝BC，再证四边形BDEC 为平行四边形可得BC＝DE，再等量代换即可得证；（2）连接CE，根据三线合一可证得∠AEC＝90°，结合∠DEF＝90°，可得∠AED＝∠CEF，根据∠ACB＝90°，E为AB中点可得CE＝AE，再结合∠DAE ＝∠ECF＝135°即可证得∠DAE∠∠ECF进而得证；（3）四边形ACPE是平行四边形，理由如下：先证得∠CEB＝∠EBP＝∠ECP ＝90°可得矩形BECP，进而得CP＝BE等量代换得AE＝CP，再结合AE∥CP 即可得证．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∠BC，AD＝BC，∵AD∠BC，CE∥BD，∴四边形BDEC为平行四边形，∴BC＝DE，又∵AD＝BC，∴AD＝DE，∴点D为AE中点．（2）如图，连接CE，∵AD∠AC，AD∠BC，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∵AD＝BC，AD＝AC，∴BC＝AC，∵BC＝AC，点E为AB中点，∴CE∠AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∴∠AED＋∠DEC＝90°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＋∠DEC＝∠DEF＝90°，∴∠CEF ＝∠AED ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAB ＝135°，∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 中点，∴CE ＝AE ＝12AB ， ∴∠ACE ＝∠CAB ＝45°，∴∠FCE ＝180°－∠ACE ＝135°，∴∠FCE ＝∠DAE ，在△DAE 和△FCE 中，DAE FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DAE ≌△FCE （ASA ），∴DE ＝EF ．（3）如图，四边形ACPE 是平行四边形，理由如下：∵△DAE ≌△FCE ，∴AD ＝CF ，∵AD ＝BC ，∴BC＝CF，又∵∠FCB＝180°－∠ACB＝90°，∴∠CBF＝∠CFB＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠CBF＋∠CBA＝90°，∵AB∠CD，∠BEC＝90°，∴∠ECP＝180°－∠BEC＝90°，∴∠ECP＝∠BEC＝∠EBF＝90°，∴四边形BECP为矩形，∴BE＝CP，又∠AE＝BE，∴AE＝CP，∠AE＝CP，AE∥CP，∴四边形ACPE是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形等图形的判定与性质，是一道四边形的综合题，熟练运用相关图形的性质，作出正确的辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．104．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD 面积相等的三角形（不包含△ACD ）．【答案】（1）见解析；（2）与△ACD 面积相等的三角形有：△ABD ，△ACF ，△AFB【解析】【分析】（1）首先由E 是AD 的中点，AF ∥BC ，易证得△AFE ≌△DBE ，即可得AF ＝BD ，又由在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，可得AD ＝BD ＝CD ＝AF ，证得四边形ADCF 是平行四边形，继而判定四边形ADCF 是菱形；（2）根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE ＝DE ，BD ＝CD ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝12 BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）∵BD=CD，而△ABD的边BD上的高即为△ACD的边CD上的高∴S△ACD=S△ABD；∵四边形ADCF是菱形∴S△ACD=S△ACF；∵AF∥CD∴△ACD的边CD上的高等于△BAF的边AF上的高∵AF=CD∴S△ACD=S△AFB综上：与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质和三角形的面积，掌握全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键．105．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC．【答案】见解析【解析】试题分析：()1根据菱形的定义即可证得；()2根据平行四边形的对边相等即可证得．，，试题解析：()1DE AC CE BD∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴⊥AC BD.DOC∴∠=︒90.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴=BC CD.∵四边形OCED是矩形，∴=，OE CD∴=.OE BC106．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E、F分别是线段AO、BO的中点.若32AC BD+=厘米，OAB∆的周长是24厘米，求EF的长.【答案】4EF=【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知OA=12AC，OB=12BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF 的长．【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=32厘米，∴OB+0A=16厘米，∵△OAB的周长是24厘米，∴AB=24-16=8厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=12AB=4厘米，故答案为:4cm．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解题的关键是求出AB的长．107．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．易证：CE＝CF．（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°．试猜想GE，BE，GD 三线段之间的数量关系，并证明你的结论．（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2，在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD＝α，∠ECG＝β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y 轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．【答案】（1）GE=GD+DF，证明见解析；（2）β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由见解析；（3）△BMN的周长没有变化，周长为2．【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，由∠CEG=45°可得∠BCE+∠DCG=45°，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，即可得出∠FCG=45°，可得∠FCG=∠GCE，利用SAS 可证明△CEG≌△CFG，可得EG=FG，根据BE=DF即可得出GE=GD+BE；（2）①如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，利用SAS可证明△BCE≌△DCF，可得∠BCE=∠DCF，CE=CF，根据GE=GD+BE可得EG=GF，利用SSS可证明△CEG≌△CFG，可得∠GCF=∠GCE，由∠GCF=∠GCD+∠DCF可得∠GCE=∠GCD+∠BCE，即可得出∠BCD=2∠GCE，可得答案；②如图，延长BA，交y轴于H，由旋转的性质可得∠HOA=∠NOC，利用ASA可证明△HOA≌△NOC，可得AH=CN，OH=ON，由直线OM的解析式可得∠HAM=∠MON=45°，利用SAS可证明△HOM≌△NOM，可得HM=MN，可得MN=AM+CN，即可得出△MBN的周长p=AB+BC=2，即可证明△MBN的周长没有变化．【详解】（1）GE=GD+DF，理由如下：∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠B=∠ADC=90°，BC=CD，在△BCE和△DCF中，BC CDEBC FDC BE=DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴△BCE≌△DCF，∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠GCF=45°，∴∠GCF=∠GCE，在△CEG和△CFG中，CE CFGCE GCF CG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEG≌△CFG，∴GE=GF=GD+DF．（2）当β=2α时，GE=GD+DF仍然成立，理由如下：如图，延长AD到F，使DF=BE，连接CF，在△BCE和△DCF中，BC CDEBC FDC=90 BE=DF=⎧⎪∠=∠︒⎨⎪⎩，∴△BCE≌△DCF，∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵EG=GD+BE，∴EG=GD+DF=GF，在△CEG和△CFG中，CE CF EG GF CG CG=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△CEG≌△CFG，∴∠ECG=∠FCG，∴∠ECG=∠DCF+∠DCG=∠BCE+∠DCG，∴∠BCD=2∠ECG，即β=2α，∴当β=2α时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立．（3）如图，延长BA，交y轴于H，∵将正方形OABC绕O点顺时针旋转，∴∠HOA=∠NOC，在△HOA和△NOC中，HOA NOC OA OCOAH OCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△HOA≌△NOC，∴AH=CN，OH=ON，∵直线OM的解析式为y=x，∴∠HOM=∠MON=45°，在△HOM和△NOM中，OH ONHOM MON OM OM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴HM=MN，∴MN=AM+AH=AM+CN，∴△BMN的周长p=BM+MN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+BC=2，∴△BMN的周长没有变化，周长为2．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及正比例函数的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．108．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．（1）如图①，当点H与点C重合时，可得FG FD．（大小关系）（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．（3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长．【答案】（1）＝；（2）FD=FG，理由见解析；（3）4811【解析】（1）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．（2）连接AF，根据图形猜想FD=FG，由折叠的性质可得AB=AG=AD，再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．（3）设FG=x，则FC=8-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．解：（1）连接AF，由折叠的性质可得AB=AG=AD，在Rt△AGF和Rt△ADF中，，∴△AGF≌△ADF．∴FG=FD．（2）猜想FD=FG．证明：连接AF，由折叠的性质可得AB=AG=AD，在Rt△AGF和Rt△ADF中，，∴△AGF≌△ADF．∴FG=FD．（3）设FG=x，∵AB=8，BE=3，∴BC=CD=8，∴FC=8﹣x，FE=3+x，EC=8﹣3=5，在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（8﹣x）2+52，解得x=．∴CF=8﹣=，即FG的长为．点睛：本题主要考查折叠、正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理，是一道四边形综合问题.解题的关键在于要利用折叠及正方形的性质找出相等的线段，为全等的证明作好铺垫.109．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连OH接，求证：∠DHO=∠DCO.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．试题解析：∠四边形ABCD是菱形，∠OD=OB，∠COD=90°，∠DH∠AB，∠OH=12BD=OB，∠∠OHB=∠OBH，又∠AB∠CD，∠∠OBH=∠ODC，在Rt∠COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt∠DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∠∠DHO=∠DCO．考点：菱形的性质．110．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解析】【分析】（1）由△AEF ≌△CED ，推出EF ＝DE ，又AE ＝EC ，推出四边形ADCF 是平行四边形，只要证明∠ADC ＝90°，即可推出四边形ADCF 是矩形．（2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形．【详解】（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠EDC ，∵E 是AC 中点，∴AE ＝EC ，在△AEF 和△CED 中，AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CED ，∴EF ＝DE ，∵AE ＝EC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCF 是矩形．（2）∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是△ABC 的中位线，又AF ∥BC ， ∴AB ∥DE ，DG ∥AC ，EG ∥BC ，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE 都是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

鲁教版五四制初中数学八年级上册第五章平行四边形复习习题 (含答案解析)

鲁教版五四制初中数学八年级上册第五章平行四边形复习习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．102．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．183．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=25，BD=4，则OE的长为（）A．6 B．5 C．25D．44．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的内角的度数是（）A．1080°B．1440°C．1260°D．1080°5．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10B．11C．12D．136．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD 是平行四边形的条件是（）A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BCC．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO7．（题文）（2018•徐州一模）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不能得出BE∥DF的是（）A．AE=CF B．BE=DF C．∠EBF=∠FDE D．∠BED=∠BFD8．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF9．如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是A．AB＝2EF B．AB＝2EF C．AB＝3EF D．AB＝5EF10．已知△ABC的∠A=60°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )A．270°B．240°C．200°D．180°11．如图所示，△ABC中，已知AB=7，∠C=90°，∠B=60°，MN是中位线，则MN的长为（）C．23D．25A．2 B．7412．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y 13．如图，函数y＝－x与函数y＝－4x轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为( )A．2B．4C．6D．814．如图，在正六边形ABCDEF中，若△ACD的面积为12，则该正六边形的面积为( )A．30B．36C．48D．6015．一个n边形的内角和比它的外角和大180°，则n等于（）A．3B．4C．5D．616．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱ABCD的周长为( )A．4＋22B．12＋62C．2＋22D．2＋2或12＋6217．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五连形BCDEF，则∠l与∠2的和为（）A．60°B．108°C．120°D．240°18．顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（）A．5种B．4种C．3种D．1种19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180∘，这个多边形的边数是() A．5B．6C．7D．820．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠AED的度数是（）A．120°B．110°C．115°D．100°21．如图,在▱ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE,BF相交于H,BF与AD 的延长线相交于点G,下面给出四个结论:①BD=2BE;②∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BCF≌△DCE.其中正确的结论是( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④22．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2016°，则n等于（）A．11B．12C．13D．1423．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．2C．4－22D．32－424．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=14AD⑤S△APO=312，正确的个数是（）A．2B．3C．4D．525．如图，在梯形A B C D中，A B//C D，中位线E F与对角线A C,B D交于M,N两点，若E F=18cm, M N=8cm，则A B的长等于( )A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm26．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=( )A．4B．5C．D．627．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C．23D．328．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－33），则D点的坐标是 ( )A．(4,0)B．(92,0)C．(5,0)D．(112,0)29．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE=3∠CEF．中一定成立的是（）A．①②④B．①③C．②③④D．①②③④30．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为两个全等的等腰直角三角形，且这条对角线长为6cm，则另一条对角线长（）cm．A．B．8 C．8 D．6或31．如图,已知在▱ABCD中,分别以AB,AD为边分别向外作等边三角形ABE和等边三角形ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE,CF,EF,则下列结论不一定正确的是( )A．△CDF≌△EBC B．∠CDF=∠EAFC．△ECF是等边三角形D．CG⊥AE32．如图，▱ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE 的周长为（）A．24cm B．16cmC．8cm D．10cm33．如图，在四边形ABCD中，∠A=90∘，A B=32，A D=7，点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为()A．7B．3.5C．5D．2.534．如图，平行四边形ABCD的面积为acm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，连接AC1交BD于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO n﹣1C n B的面积为（）cm2．A．112n-⎛⎫⎪⎝⎭a B．12n⎛⎫⎪⎝⎭a C．112n+⎛⎫⎪⎝⎭a D．13n⎛⎫⎪⎝⎭a35．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点.已知两底之差是6，两腰之和是12，则△EFG的周长是( )A．8 B．9 C．10 D．1236．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，过点A作直线CD的垂线交直线CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为( )A．B．C．D．37．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C 2，C 3，…分别在直线y=x+1和x 轴上，则点Bn 的坐标是( )A ． ()121,2n n --B ． ()12,21n n --C ． ()122n n -，D ． ()122n n -，38．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD ，E 为CD 中点，连接AE ，且AE⊥AF 交BC 于F ，则BF=（）A ． 1B ． 3C ． 1D ． 4﹣39．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过G 作GE⊥AD 于点E ，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（）①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S 四边形BFGC 1.A ． 1B ． 2C ． 3D ． 440．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 1，A 2，A 3，A 4和C 1，C 2，C 3，C 4分别是ABCD 的五等分点，点B 1，B 2和D 1，D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为2，则平行四边形ABCD 的面积为（）A ． 4B ．C ．D ． 30二、填空题41．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为_____．42．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．43．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB 于点D，连接CD，则CD=_____．44．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=_____°．45．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD 的中点，则PQ的的长度为________.46．如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是_____．47．一个正n边形的内角是外角的2倍，则n=_____．48．如图是由射线A B, B C, C D, D E, E A组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．49．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．50．若一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数是_______；51．如图l所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °52．如果一个n边形的内角和，减去一个内角，等于860°，则n=_____．53．如图1是长方形纸袋，将纸袋沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若∠DEF=α，用α表示图3中∠CFE的大小为_________ ．54．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形共有______条对角线．倍，则这个多边形的边数是________．55．已知一个多边形的内角和是外角和的5256．如图，在△MBN中，已知：BM=6，BN=7，MN=10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是_____．57．如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE 交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．A．36°B．52°C．48°D．30°58．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小值是______.59．如图，平行四边形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果AB=4，OE=3，则平行四边形ABCD的周长为_____．60．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，BF⊥AE，垂足为F，AD=AE=1，∠DAE=30°，EF=_____．61．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_____．62．平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(a,b)，B(n，,m)，则m的值是_________2n-1)，C(-a,-b)，D ( −3263．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为_____．64．若菱形的两条对角线长分别为10 cm和24 cm，则顺次连接这个菱形四条边的中点所得的四边形的对角线长是__________cm．65．如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=6，点E，F分别是AB，BC边上沿某一方向运动的点，且DE=DF，当点E从A运动到B时，线段EF的中点O运动的路程为_____.66．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠ 3的度数等于______________．67．如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，连接BE ，点F 、G 分别为AD 、AC 的中点，连接FG ．在△ADE 绕A 旋转的过程中，当B 、D 、E 三点共线时，AB= 5，AD=1，则线段FG 的长为___．68．如图， E 、F 是ABCD 的边AD 上的两点， EOF ∆的面积为4， BOC ∆的面积为9，四边形ABOE 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______________.69．如图，点A 、B 在双曲线上，连接OA 、AB ，以OA 、AB 为边作□OABC ，若点C 恰落在双曲线上，此时□OABC 的面积为_____．70．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，G ，H 分别是AF 和CD 的中点，P 是GH 上的动点，连接AP ，BP ，则AP ＋BP 的值最小时，BP 与HG 的夹角(锐角)度数为________．71．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 是BC 中点，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，将AD 折叠，使AD 与DF 重合，折痕交AB 于G ，连接BF ，CF ，现在有如下4个结论：①G 、F 、E 三点共线；②BG=4；③△BEF ∽△CDF ；④S △BFG =125，在以上4个结论中，正确的有__________（填序号）．72．如图，在平行四边形ABCD 中， 2AB AD ==， 60A ∠=︒， M 是AD 边的中点，若线段MA 绕点M 旋转得到线段MA '，如图，连接A C '，则A C '长度的最小值是__________．73．如图,已知AB=10,点C,D 在线段AB 上,且AC=DB=2;点P 是线段CD 上的动点,分别以AP ,PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB,连接EF,设EF 的中点为G;当点P 从点C 运动到点D 时,点G 移动路径的长是_____.74．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为．75．如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在AC 上，要使四边形BFDE 是平行四边形，还需要增加的一个条件是__________________(只要填写一种情况).76．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2015=________ ．77．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE 交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）78．如图,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,且AB=CD．下列结论:①EG⊥FH,②四边形EFGH是矩形,③HF平分∠EHG,④(BC-AD),⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上).79．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x,y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________.80．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．三、解答题81．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．82．如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．83．83．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．84．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．85．如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC.（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形.86．如图,在六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠F的度数.87．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的一点，BE=DF.（1）求证：AE=CF.（2）若∠B C D=2∠B，求∠B的度数.88．88．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF .89．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．90．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．91．如图①，已知线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于M、N.试解答下列问题：(1)仔细观察，在图②中有___个以线段AC为边的“8字形”；(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；(3)在图②中，若∠CAP BAC，∠CDP BDC，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，并说明理由；(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为____．92．如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，求∠COD的度数．93．如图，互相垂直的两条射线OE与OF的端点O在三角板的内部，与三角板两条直角边的交点分别为点D、B．（1）填空：若∠ABO=50°，则∠ADO=；（2）若DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，如图1．求证：DC⊥BP；（3）若DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，如图2．猜想DC与BP的位置关系，并说明理由．94．94．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论．95．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．96．已知：如图，在□ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD 于点E、F，连接BD、EF.（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A=600，AE=2EB，AD=4，求四边形DEBF的周长和面积.97．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．98．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．99．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？100．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．(1)求∠FCD的度数；(2)求证：AF∥CD．101．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．102．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (55)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题（含答案）已知：平行四边形ABCD ，对角线,9,12,AC AB AB AC ⊥==点P 为射线BC 上一点，AP PM ⊥，（点M 与点B 分别在直线AP 的两侧），且,PAM CAD ∠=∠联结MD ．（1）当点M 在ABCD 内时，如图一，设,,BP x AP y ==求y 关于x 的函数解析式.（2）请在图二中画出符合题意得示意图，并探究：图中是否存在与ADM ∆相似的三角形？若存在，请写出证明过程，若不存在，请说明理由（3）当AMD ∆为等腰三角形时，求PB 的长.【答案】（1）27155y x ⎫=<<⎪⎭；（2）~APC AMD ∆∆，证明见解析；（3）7.5或3或27.【解析】【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，先在Rt △ABC 中运用勾股定理求出BC=15，再解Rt △ABE ，得到AE=365，BE=275，然后在Rt △AEP 中，利用勾股定理得AP 2=PE 2+AE 2，即可求出y 关于x 的函数关系式；（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM ∽△ACD ，则AP ：AC=AM ：AD ，即AP ：AM=AC ：AD ，又由∠PAM=∠CAD ，得出∠PAC=∠MAD ，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC ∽△MAD ；（3）先由相似三角形的形状相同，由（2）得出△APC 为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M 在平行四边形内；②点M 在平行四边形外；又分两种情况：（i ）P 在BC 上，（ii ）P 在BC 的延长线上．【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABC 中，∵AB=9，AC=12，∴BC=15，∵△ABE ∽△CBA ，∴BE=275，AE=365∵BP=x ，∴PE=275x -，在Rt △AEP 中，222AE EP AP +=∴27155y x ⎫=<<⎪⎭ (2) 存在，APC AMD ∆∆∽，∵∠PAM=∠CAD ，∠APM=∠ACD=90°，∴△APM ∽△ACD ， ∴AP AM AC AD= ∴AP AC AM AD = ∵PAM CAD ∠=∠，∴∠PAC=∠MAD ，∴~APC AMD ∆∆（3）∵△PAC ∽△MAD ，∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形，①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上, ∵∠APC为钝角，∴∠PAC=∠PCA，∴PC=PA，又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，∴∠PAB=∠B，∴PA=PB，∴PA=PB=PC=12BC=115=752.，即BP=7.5；②当点M在平行四边形外时，（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上,∵AP＜AC，AP＜PC，∴CA=CP=12，则BP=15-12=3；（ii）若P在BC的延长线上，如图3,∵AP＞AC，AP＞PC，∴CA=CP=12，则BP=15+12=27．综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为7.5或3或27．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．82．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的中点，连接DE ，并延长DE 至点F ，使EF=ED ，连接AD ，AF ，BF ，CF ，线段AD 与BF 相交于点O ，过点D 作DG ⊥BF ，垂足为点G.(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；(2)当12AE DF 时，试判断四边形ADCF 的形状，并说明理由； (3)若∠CBF=2∠ABF ，求证：AF=2OG ．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形ADCF 是矩形，理由见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）欲证明四边形ABDF 是平行四边形，只要证明AF ∥BD ，AF=BD 即可．（2）结论：四边形ADCF是矩形，只要证明∠DAF=90°即可．（3）作AM⊥DG 于M，连接BM，先证明AM=2OG，再证明AM=AF 即可解决问题．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AC上的中点，∴ED∥AB，AE=CE，∵EF=ED，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）四边形ADCF是矩形．理由：∵AE=12DF，EF=ED，∴AE=EF=DE，∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=12×180°=90°，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形；∴四边形ADCF是矩形；（3）证明：作AM⊥DG 于M，连接BM．∵四边形ABDF是平行四边形，∴OA=OD，∵OG∥AM，∴GM=GD，∴AM=2OG，∵BG⊥DM，GM=GD，∴BM=BD，∴∠CBF=∠MBG，∵∠CBF=2∠ABF，∴∠ABM=∠ABF，∵AM∥BF，∴∠MAB=∠ABF，∴∠MAB=∠MBA，∴AM=BM=BD=AF=2OG，∴AF=2OG．【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线.83．如图，已知AB //CD ，BE 丄AD ，垂足为点E ，CF 丄AD ，垂足为点F ，并且AF =DE ．求证：四边形是BECF 平行四边形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】通过全等三角形（AEB DFC ≌）的对应边相等证得BE=CF ，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE ∥CF ．则四边形BECF 是平行四边形．【详解】证明：BE AD ⊥，CF AD ⊥，90AEB DFC ∴∠=∠=︒，//AB CD ，A D ∴∠=∠，AF DE =，即AE EF DF EF +=+，AE DF ∴=在AEB △与DFC △中，AEB DFC AE DFA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEB DFC ∴≌()ASA ，BE CF ∴=．BE AD ⊥，CF AD ⊥，//BE CF ∴，∴四边形BECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键．84．在四边形ABDC 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．（1）试说明：DE DF =；（2）在图中，若点G 在AB 上，且60EDG ∠=︒，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系，并证明所归纳结论．【答案】（1）见解析；（2）EG CE BG =+，证明见解析【解析】【分析】（1）通过角的计算得出∠C=∠DBF ，结合CD=BD 、CE=BF 即可证出△CDE ≌△BDF （SAS ），由此即可得出DE=DF ；（2）连接AD ，结合AC=AB 、DC=DB 即可证出△ABD ≌△ACD （SSS ），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根据∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG ，∠ADE=∠BDG ，由（1）可知△CDE ≌△BDF ，进而得知∠CDE=∠BDF ，根据角的计算即可得出∠EDG=∠FDG ，结合DE=DF 即可证出△DEG ≌△DFG（SAS ），即得出EG=FG ，由相等的边与边之间的关系即可证出CE+BG=EG ．【详解】（1）∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°， ∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF+∠ABD=180°，∴∠C=∠DBF ，在△CDE 和△BDF 中，CD BD C DBF CE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△BDF(SAS)，∴DE=DF ；（2）如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE+BG=EG ．证明：在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠BDA=∠CDA=12∠CDB=1120602⨯︒=︒，又∵∠EDG=60°， ∴∠CDE=∠ADG ，∠ADE=∠BDG ，由（1），可得△CDE ≌△BDF ，∴∠CDE=∠BDF ，∴∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°，∴∠EDG=∠FDG ，在△DEG 和△DFG 中，DE DF EDG FDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DEG ≌△DFG ，∴EG=FG ，又∵CE=BF ，FG=BF+BG ，∴CE+BG=EG ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角的计算，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．85．如图所示，AE 是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，AB AC =，求证：AE BC ∥．【答案】见解析【解析】【分析】因为等腰三角形，则外角2DAC B ∠=∠；又AE 是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，即2DAC DAE ∠=∠，则∠B=∠DAE,根据内错角相等，两直线平行即可完成证明；【详解】证明：由等腰形外角关系图知：2DAC B ∠=∠，AE ∵是ABC ∆的外角DAC ∠的角平分线，2DAC DAE ∴∠=∠，B DAE ∴∠=∠，AE BC ∴∥.【点睛】本题是一道容易题，关键在于运用等腰三角形外角等于一个底角的二倍和角平分线的定义，找到相等的角.86．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是；（2）数轴上表示x 与2的两点之间的距离可以表示为；（3）同理|x +3|+|x ﹣1|表示数轴上有理数x 所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．【答案】（1）7；（2）|x﹣2|；（3）﹣3、﹣2、﹣1、0、1．【解析】【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）根据距离公式即可解答；（3）利用绝对值和数轴求解即可．【详解】（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是：5﹣（﹣2）＝7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，故：①当x＜-3时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：-x-3-x+1=4，解得，x=-3，所以，此方程无解；②当-3≤x＜1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3-x+1=4所以，4=4，此时，整数x=-3，-2，-1，0；③当x≥1时，方程|x+3|+|x﹣1|＝4变形为：x+3+x-1=4,解得，x=1；∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是会去绝对值符号，利用数轴的特点解答．87．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB 延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝18，根据勾股定理得到AC＝是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图，连接OE，∵AE＝12，AD＝13，∴AB＝13，∴BE＝5，∵AB＝BC＝13，∴CE＝18，∴AC∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝∴OE＝故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．88．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为144．【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质和BF平分∠ABC，可得∠AFB＝∠ABF，进而得出AB=AF，再证明△ABO≌△EBO得AB=BE，最后得出四边形ABEF是菱形；（2）作AG⊥BC于点G，根据勾股定理以及菱形的性质先求出BE的长，再利用菱形面积公式求出AG的长，最后即可求得四边形ABCD的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，又OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，∴△ABO≌△EBO（ASA），∴AB＝BE=AF，又AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形；（2）如图，作AG⊥BC于点G，∵四边形ABEF是菱形，∴OE＝12AE＝6，OB＝12BF＝8，∴在Rt△OBE中，BE＝10．又S菱形ABE F=12×AE×BF=BE×AG，∴12×12×16=10×AG，∴AG＝485．∴四边形ABCD的面积为：BC•AG＝（10+5）×485＝144．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积的求法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握基本性质是解题的关键．89．如图，在△ABC中，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件．（填上你认为正确的一个条件即可）【答案】（1）AD是△ABC的中线，证明见解析；（2）AB＝AC或∠ABC＝∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC【解析】【分析】（1）先证明△BDE≌△CDF，得出BD=CD，即可可以判断AD是△ABC的中线；（2）要使四边形BFCE是菱形，由BC与EF互相平分，只要BC与EF互相垂直即可，则添加的条件为∠ABC=∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC，答案不唯一．【详解】解：（1）AD是△ABC的中线，理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵BE=CF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF (AAS)，∴BD=CD，即AD 为△ABC 的中线.(2) ∠ABC =∠ACB 或AD ⊥BC 或AD 平分∠BAC 等（答案不唯一）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、菱形的判定. 找出两个三角形全等的条件及菱形的判定方法是解题的关键.90．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长度为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若∠C ＝60°，AE ＝ABEF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质和平行线的性质得出四边形ABEF 是平行四边形，再利用两邻边相等即可证明四边形ABEF 是菱形；（2）连结BF ，交AE 于G ,先利用菱形的性质和特殊角的三角函数值求出BF 的长度，然后利用菱形的面积公式12S AE BF =⋅即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝∠EAF ，∴∠EAB ＝∠AEB ．∴BE ＝AB ＝AF ．∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；（2）如图，连结BF ，交AE 于G ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD ＝∠C ＝60°，∵四边形ABEF 菱形，∴BF ⊥AE ，AG ＝EG ＝12AE = ∠BAG ＝∠FAG ＝12BAD ∠= 30°， ∴BG ＝FG ＝AG •tan30°＝2，∴BF ＝4，∴菱形ABEF 的面积＝11422AE BF ⋅=⨯= 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，解直角三角形，掌握平行四边形的性质，菱形的判定及性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．。

人教版八年级数学第十九章四边形测试题

人教版八年级数学第十九章四边形测试题人教版八年级数学第十九章四边形试题一、多项选择题（本大题共有10个子题，每个子题得3分，共计30分）1.□abcd中，∠a比∠b大40°，则∠c的度数为（）a、60°b.70°c.100°d.110°2.□abcd的周长为40cm，△abc的周长为25cm，则对角线ac长为（）a.5cmb.6cmc.8cmd.10cm3.在□ ABCD，∠ a＝43°，交叉点a作为BC和CD的垂直线，则这两条垂直线的夹角为（）a.113°b.115°c.137°d.90°4，如图所示，在□ ABCD，EF穿过对角线o的交点，ab=4，ad=3，of=1.3，则四边形bcef的周长为（）deca.8.3b.9.6c.12.6d.13.6o5.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形ab是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；f第4题图③在四边形abcd中，ab＝ad，bc＝dc，那么这个四边形abcd是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（）a.0个b.1个c.3个d.4个6.四边形的三个内角的度数如下，其中平行四边形的度数为（）a.88°、108°、88°b.88°、104°、108°c.88°、92°、92°d.88°、92°、88°7矩形具有一般平行四边形不一定具有的特征（）a.对角相等b.对角线互相平分c.对角线相等d.对边相等8.如图，矩形abcd沿ae折叠，使d点落在bc边上的f点处，如果∠ BFA=30°，则∠ C EF等于20°b.30°c.45°d.60°9.菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（）ea。

【精品】人教版八年级数学下册第十八章平行四边形复习检测题(含答案)【3套】试题

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形复习检测题（含答案）一、选择题。

1．下列命题中，错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等2．在▱ABCD中，已知AB＝(x＋1)cm，BC＝(x－2)cm，CD＝4 cm，则▱ABCD的周长为()A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．28 cm3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是()A．34 B．26 C．8.5 D．6.54．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 35．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．166.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．167．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于()A.245B.125C ．5D ．48．如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，设重叠部分为△EBD ，则下列说法错误的是( )A ．AB ＝CD B ．∠BAE ＝∠DCEC ．EB ＝ED D ．∠ABE 一定等于30°9．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点，连接AF ，BE ，CE ，DF 分别交于点M ，N ，四边形EMFN 是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2二、填空题11．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，若∠BCO ＝55°，则∠ADO ＝____________．12．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为____________．13．如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD ＝8，AB＝4，则DE的长为____________．14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________．(写出一个即可)15．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是____________．16．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是____________．三、解答题(共52分)17．(10分)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)请写出图中两对全等的三角形；(2)求证：四边形BCEF是平行四边形．18．(10分)如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；(2)若AB＝2，AC＝23，求▱ABCD的面积．19．(10分)如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．20．(10分)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？21．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：AB＝CG＋CE.(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图2)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图3)，直接写出AB，CG，CE之间的关系．参考答案一、选择题1.C2.B3.D4.A5.A6.A7.A8.D9.B 10.A 二、填空题。

八年级数学下册《四边形》练习题与答案(湘教版)

八年级数学下册《四边形》练习题与答案(湘教版)一、选择题1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.113.在四边形ABCD中，AD∥BC，若ABCD是平行四边形，则还应满足( )A.∠A＋∠C＝180°B.∠B＋∠D＝180°C.∠A＋∠B＝180°D.∠A＋∠D＝180°4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC＝BDC.AC⊥BDD.OA＝OC5.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是( )A.S△ABC ＝S△ADCB.S矩形NFGD＝S矩形EFMBC.S△ANF＝S矩形NFGDD.S△AEF＝S△ANF6.顶点为A(6，6)，B(﹣4，3)，C(﹣1，﹣7)，D(9，﹣4)的正方形在第一象限的面积是( )A.25B.36C.49D.307.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠A＝65°，则∠DFE＝( )A.60°B.62°C.64°D.65°8.如图，已知在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为( )A.8B.6C.4D.39.如图，E，F分别是ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为( )A.6B.12C.18D.2410.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB＝BEB.BE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE11.如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF 交于点H，连接DH交AG于点O.则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③AH＋CH＝DH中.正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③12.如图，点E是矩形ABCD边AD上的一个动点，且与点A、点D不重合，连结BE、CE，过点B作BF∥CE，过点C作CF∥BE，交点为F点，连接AF、DF分别交BC于点G、H，则下列结论错误的是( )A.GH＝12BC B.S△BGF＋S△CHF＝13S△BCFC.S四边形BFCE＝AB•AD D.当点E为AD中点时，四边形BECF为菱形二、填空题13.如果点A（1﹣x，y﹣1）在第二象限，那么点B（x﹣1，y﹣1）关于原点对称的点C在第象限．14.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点.若AC＋BD ＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝厘米.15.如图，五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2，则∠1-∠2＝.16.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.17.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 .18.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为____.三、作图题19.正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉)四、解答题20.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.21.如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BC＝3BE，AD＝3DF，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.22.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.23.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．24.如图，已知△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．25.如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

人教版八年级数学下册第十八章：平行四边综合复习训练

八年级数学下册第十八章：平行四边形综合复习训练一、选择题。

1、如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140° B．110° C．70° D．无法确定1题图 2题图 4题图2、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为（）A．24 B．40 C．20 D．123、若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（）A．110° B．120° C．100° D．135°4、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝5，BC＝9，则EF长为（）A．1 B．2 C．3 D．45、菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分6、如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A． B．2 C．2 D．46题图 7题图 8题图7、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，下列说法正确的是（）A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形B. 当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形C. 当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形D. 当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形8、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH9题图 10题图9、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③五边形DAGEC的周长是44，其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310、如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④D．②③④二、填空题。

八年级数学下册《第二十二章四边形》练习题与答案(冀教版)

八年级数学下册《第二十二章四边形》练习题与答案(冀教版)一、选择题1.下列图形为正多边形的是( )A. B. C. D.2.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )A.8B.10C.12D.143.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝120°，∠CAD＝32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为( ).A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32°4.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.如图，已知点E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE度数为( )A.20°B.25°C.30°D.35°6.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm7.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )A.两组对边分别平行B.一组对边平行，另一组对边相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行且相等8.下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形9.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )10.如图， D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E 、F 、G 、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是( )A.7B.8C.11D.1011.如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，已知AB＝BC，BG＝BE，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠DCB＝∠GEF＝120°，则PG：PC＝( )A. 2B. 3C.22D.3312.如图，是△EBD以正方形ABCD的对角线BD为边的正三角形，EF⊥DF，垂足为F，则∠AEF 的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°二、填空题13.如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为m.14.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是边形.15.平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶3，那么∠A＝_____，∠B＝______，∠C＝_____，∠D＝______.16.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.17.如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC ＝3，则折痕CE的长为 .18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 .三、作图题19.如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中一个小长方形对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：(1)仅用无刻度直尺;(2)保留必要的画图痕迹.(1)在图(1)中画一个45°角，使点A 或点B 是这个角的顶点，且AB 为这个角的一边；(2)在图(2)中画出线段AB 的垂直平分线，并简要说明画图的方法(不要求证明)四、解答题20.如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连结CD 和EF.(1)求证：四边形CDEF 是平行四边形；(2)求四边形BDEF 的周长.21.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数.22.如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点.(1)求证：四边形ADCE是为平行四边形；(2)若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边.23.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.24.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF.求证：AF⊥DE.25.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，点D为边BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作正方形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，连接CF.求证：CF＋CD＝2AC.26.已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD＝2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF＝CD＋CF．(1)如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；(2)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．参考答案1.D2.C.3.B4.C.5.C.6.C7.B8.D.9.B.10.C.11.B.12.C.13.答案为：40.14.答案为：十三.15.答案为：45°，135°，45°，135°16.答案为：AB＝AD或AC⊥BD；17.答案为：2 3.18.答案为：41.19.解：(1) ∠BAC＝45°；(2)OH是AB的垂直平分线.20.解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC中点∴DE∥BC，DE＝12 BC∵CF＝12BC，∴DE＝CF∴四边形CDEF是平行四边形；(2)∵四边形DEFC是平行四边形∴DC＝EF∵D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2∴DC＝EF＝22－12＝ 3∴四边形BDEF的周长是1＋1＋2＋1＋3＝5＋ 3.21.解：设这个多边形的边数是，则(n﹣2)×180＝360×4，n﹣2＝8，n＝10.答：这个多边形的边数是10.22.(1)证明：∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD∵AE∥BC∴∠AEF＝∠DBF在△AFE和△DFB中∴△AFE≌△DFB(AAS)∴AE＝BD∴AE＝CD∵AE∥BC∴四边形ADCE是平行四边形；(2)图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC. 理由：∵四边形ADCE是平行四边形∴AE＝DC，AD∥EC∵BD＝DC∴AE＝BD∵BE平分∠AEC∴∠AEF＝∠CEF＝∠AFE∴AE＝AF∵△AFE≌△DFB∴AF＝DF∴AE＝AF＝DF＝CD＝BD.23.解：(1)∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AO＝OC∴OM＝ON.(2)∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6∴BO＝2 5∴BD＝2OB＝4 5∵DE∥AC，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∴DE＝AC＝8∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝45＋8＋(6＋6)＝20＋4 5. 即△BDE的周长是20＋ 5.24.证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°在Rt△ADF与Rt△DCE中AF＝DE，AD＝CD∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL)∴∠DAF＝∠EDC设AF与ED交于点G∴∠DGF＝∠DAF＋∠ADE＝∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°∴AF⊥DE.25.解：∵正方形ADEF∴AF＝AD，∠DAF＝90°∵△ABC是等腰直角三角形∴AB＝AC，BC＝2AC，∠BAC＝90°∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC即∠BAD＝∠CAF∵在△BAD和△CAF中AB＝AC，∠BAD＝∠CAF，AD＝AF∴△BAD≌△CAF(SAS)∴CF＝BD。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题六(含答案) (59)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题六（含答案）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为210海里．【解析】试题分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明∠ABE和∠ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明∠AEF和∠GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解；实际应用：先连接EF，延长AE、BF相交于点C，再求出∠EAF=1∠AOB，2判断出符合探索延伸的条件，最后根据探索延伸的结论解答．试题解析：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∠∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∠∠B=∠ADG，在∠ABE和∠ADG中，，∠∠ABE∠∠ADG（SAS），∠AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠∠EAF=∠BAD，∠∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∠∠EAF=∠GAF，在∠AEF和∠GAF中，，∠∠AEF∠∠GAF（SAS），∠EF=FG，∠FG=DG+DF=BE+DF，∠EF=BE+DF；实际应用：方法一：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∠∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∠∠EOF=∠AOB，又∠OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∠符合探索延伸中的条件，∠结论EF=AE+BF 成立，即EF=1．5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．考点：全等三角形的性质与判定102．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AB CD =．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】详见解析【解析】【分析】连接AC ，先利用HL 证明Rt Rt ABC CDA ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得出四边形ABCD 为平行四边形，进一步可得出四边形ABCD 为矩形．【详解】证明：连接AC∵90B D ∠=∠=︒∴ABC ∆和CDA ∆都是直角三角形∴在Rt ABC ∆和Rt CDA ∆中AB CD AC CA =⎧⎨=⎩∴在Rt Rt (H.L.)ABC CDA ∆∆≌∴BC AD =∵BC AD =，AB CD =∴四边形ABCD 为平行四边形∵90B ∠=︒∴ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，需要掌握平行四边形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质．103．如图，已知 Rt ABC ∆，90ACB ︒∠=，CD 是斜边AB 的中线，过点A 作AE CD ⊥，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，且2AH CH =，求sin B 的值．【解析】【分析】根据∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，可得出12CD AB BD ==，则DCB B ∠=∠，再由题意，可得∠B=∠CAH ，由AH=2CH ，根据三角函数即可可得出CH ：，即可得出sinB 的值；【详解】解：∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线， ∴12CD AB BD ==. ∴DCB B ∠=∠．又∵90ACD DCB ︒∠+∠=，90ACD CAH ︒∠+∠=，∴DCB CAH B ∠=∠=∠．在Rt ACH ∆中，2AH CH =．∴AC =．∴sin sinCH B CAH AC =∠===【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和三角函数，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和三角函数的计算.104．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE＝DA＝BC＝3，再求出CE即可．【详解】解：如图，（1）AE即为∠DAB的角平分线；（2）∵AE为∠DAB的角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．105．如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定. 已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离AC为24cm，求B、M之间的距离.【答案】B、M之间的距离是30cm.【解析】分析：连接AC，BD交于点O，根据四边形ABCD是菱形求出AO的长，然后根据勾股定理求出BO的长，于是可以求出B、M两点的距离．详解：连接AC，BD交于点O．AC=12厘米，AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=12∴BO=5厘米，∴BD=2BO=10厘米，∴BM=3BD=30厘米．点睛：本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，此题难度一般．106．图①，图②都是4×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，且点A，B均在格点上．（1）在图①中以AB为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上，且所画的矩形不是正方形；（2）在图②中以AB为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上，且所画的菱形不是正方形；（3）图①中所画的矩形的面积为；图②中所画的菱形的周长为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8，4．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质画图即可；（2）根据菱形的性质画图即可；（3）根据矩形的面积公式和菱形的周长公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图①所示，矩形ACBD即为所求；（2）如图②所示，菱形AFBE 即为所求；（3）矩形ACBD 的面积=2×4=8；菱形AFBE 的周长=4，故答案为：8，．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．107．已知ABC ∆中，D 是AB 上一点，AD AC =，AE CD ⊥，垂足是E ，F 是BC 的中点，试说明2BD EF =.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得E 为CD 中点，继而根据三角形中位线定理进行证明即可.【详解】∵AD=AC，AE⊥CD，∴E为CD中点，又∵F为BC中点，∴EF是∵CBD的中位线，∴BD=2EF.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键.注意数形结合思想的应用.108．已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，⊥1=⊥2．（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：1∠=∠．CEG AGE2【答案】（1）BE=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长．（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF 得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证．【详解】解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4．∵CE=CD，∴CD=4．∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4．∵AE⊥BC，AE=3，∴BE==．（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH．∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF．∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点．∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线．∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH．∴1CEG AGE2∠=∠．109．如图，在ABCD中，对角线,AC BD交于点O，且OA OB=．（1）求证：ABCD是矩形；=．（2）点E在BA延长线上，且,AE AB=连接,DE求证：DE AC 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；（2）证明四边形CAED是平行四边形即可证明．【详解】()1四边形ABCD是平行四边形∴==,OA OC OB OD=OA OB∴=DB AC∴是矩形．ABCD()2∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB即CD∥AE，CD=AB，=，AE AB∴AE=CD，∴四边形CAED是平行四边形，DE AC∴=．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定．熟练掌握相关定理，并能结合题意灵活运用是解决此题的关键．110．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且CE＝CF，（1）求证△ABE≌△ADF．（2）若∠B＝50°，AE⊥BC，求∠AEF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝65°【解析】【分析】（1）由“SAS”可证∵ABE∵∵ADF；（2）由菱形的性质可求∵C＝110°，由余角的性质可求∵CEF的值，即可求∵AEF的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∵AB＝AD＝BC＝CD，∵B＝∵D，AB∵CD．∵CE＝CF，∵BE＝DF，且∵B＝∵D，AB＝AD，∵∵ABE∵∵ADF（SAS）；（2）∵AB∵CD，∵∵B+∵C＝180°，且∵B＝50°，∵∵C＝130°，且CE＝CF，∵∵CEF＝25°．∵AE∵BC，∵∵AEF＝90°﹣25°＝65°．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，熟练运用菱形的性质是本题的关键．。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一(含答案) (44)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一（含答案）如图，四边形ABCD中，//,=．求⊥，点E是BC的中点，AD ECAD BC AB AC证：四边形ADCE是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证得AE＝CE，根据题意可证四边形AECD是平行四边形，继而求证结论．【详解】⊥，点E是BC的中点，证明：AB AC∴==AE BE EC∵AD∥EC，且AD＝EC∴四边形ADCE是平行四边形=又AE EC∴四边形ADCE是菱形【点睛】本题考查菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求证AE＝CE．92．如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ，求证：AC ＝DF ．【答案】见解析【解析】【分析】由BE ＝CF 可得BC ＝EF ，即可判定()ABC DEF SAS ∆∆≌，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE ＝CF ，∴BE EC EC CF ++＝，即BC ＝EF ，又∵AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，∴在ABC ∆与DEF ∆中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC DEF SAS ∆∆≌，∴AC ＝DF ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键.93．如图，在EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD BC 、分别交于点E F 、。

（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若5,8ED BD ==，求菱形BFDE 的面积。

【答案】（1）见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质得到//,AD BC OB OD =，利用“ASA ”得到OED OFB ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等得到DE BF =，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形BEDF 是平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；（2）由菱形性质求得OD 的长度，利用勾股定理求得OE 的长度，进而求EF 的长，而BD 与EF 为菱形BFDE 的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//,AD BC OB OD =，∵,EDO FBO OED OFB ∠=∠∠=∠，∴OED OFB∆≅∆，∴DE BF=，又∵//ED BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF BD⊥，∴BEDF是菱形.（2）∵BEDF是菱形∴142OD BD==,EF BD⊥∴在Rt△EOD中，3OE==所以EF=6∴菱形BFDE的面积为：116824 22EF BD=⨯⨯=.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．94．请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC 于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG是矩形；（2）PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．理由：【答案】(1)详见解析；（2）90.【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形；（2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP＝GP，当∠CPG＝90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG＝GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四边形BEFG是正方形．【详解】解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∴∠EBG＝90°，∴▱BEFG是矩形；（2）90°；理由：延长GP交DC于点H，∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，∴DC∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，∵P是线段DF的中点，∴DP＝FP，∴△DHP≌△FGP，∴HP＝GP，当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG，∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG，∴CH＝CG，∵正方形ABCD中，DC＝BC，∴DH＝BG，∵△DHP≌△FGP，∴DH＝GF，∴BG＝GF，∴▱BEFG是菱形，由（1）知四边形BEFG是矩形，∴四边形BEFG是正方形．故答案为：90【点睛】此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．95．如图，已知EF∥GH，Rt∥ABC的两个顶点A、B分别在直线EF、GH 上，∥C=90°，AC交EF于点D，若BD平分∥ABC，∥BAH=28°．求∥BAC的度数．【答案】∴BAC=34°【解析】分析：根据平行线的性质可得∠BAH＝∠ABD，由角平分线的定义知ABC ＝2∠BAH，结合直角三角形中的两个锐角互余求解.详解：∵EF∥GH，∴∠BAH＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠BAH，∵∠BAH＝28°，∴∠ABC＝2×28°＝56°.∴∠BAC＝90°－56°＝34°.点睛：本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补.AB DC，96．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，//AB BC =，BD 平分ABC ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若AB =4BD =，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EO =．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质证得CDB CBD ∠=∠，由此得到BC=CD ，利用AB ∥CD 即可证得四边形ABCD 是平行四边形，由AB BC =即可证得结论；（2）先利用勾股定理求出OA ，再由CE AB ⊥根据直角三角形的性质得到斜边中线等于斜边一半求出OE ．【详解】解：（1）∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴CDB CBD ∠=∠，∴BC CD =，且AB BC =，∴CD AB =，且AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，且AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形．（2）∵四动形ABCD 是菱形，∴OA OC =，BD AC ⊥，2BO DO ==，∴ AO ===∵CE AB ⊥，AO CO =，∴EO AO CO ===．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键．97．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 交于点H ．（1）求证：四边形DEBC 是平行四边形；（2）若BD ＝9，求DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）结合题意，得出DC=BE ，利用平行四边形的判定定理，证明，即可．（2）结合三角形相似，得出DH 和BH 的长度关系，计算结果，即可．【详解】（1）证明：∵E是AB的中点，∴AB＝2EB，∵AB＝2CD，∴DC＝BE，又∵AB∥CD，即DC∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．（2）解：∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴△EDM∽△FBM，∴＝，∵BC＝DE，F为BC的中点，∴BF＝BC＝DE，∴＝＝2，∴DH＝2HB，又∵DH+HB＝9，∴DH＝6．【点睛】考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出DH和HB的长度关系，即可，难度中等．98．如图，已知BD是菱形ABCD的一条对角线，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.（1）如图，点E 在AB 上，连接DE ，在BC 上取点F ，使DE DF =；（2）如图，BDE 为等腰直角三角形，90BED ∠=︒，在菱形ABCD 内取点F ，使四边形BEDF 为正方形.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接CE ，交BD 于点O ；连接AO ，并延长交BC 于点F ；连接DF ，则DE DF =，点F 即为所求；（2）延长DE 交AB 于点M ，同（1）的方法作点N ，使得DM DN =，根据三角形全等的判定定理与性质可知点E 、F 在对角线AC 上，由此可知连接AC ，与DN 的交点F 即为所求.【详解】（1）连接CE ，交BD 于点O ；连接AO ，并延长交BC 于点F ；连接DF ，则DE DF =，如图1，点F 即为所求.理由如下：由菱形的性质可得：AB BC CD AD ===，BD 为ABC ∠的角平分线则ABO CBO ∠=∠BO BO =()ABO CBO SAS ∴∆≅∆BAO BCO ∴∠=∠ABF CBE ∠=∠()ABF CBE ASA ∴∆≅∆BF BE ∴=,BD BD DBE DBF =∠=∠()DEB DFB SAS ∴∆≅∆DE DF ∴=；（2）延长DE 交AB 于点M ，同（1）的方法作点N ，使得DM DN =；再连接AC ，与DN 的交点F 即为所求（如图2）.理由如下：BDE ∆∵为等腰直角三角形DE BE ∴=在ADE ∆和ABE ∆中，DE BE AD AB AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ADE ABE SSS ∴∆≅∆DAE BAE ∴∠=∠则点E 在对角线AC 上点F 也在AC 上，AC 与BD 互相垂直平分DF BF ∴=同（1）可知,DM DN MB NB ==AB MB CB NB ∴-=-，即AM CN =在ADM ∆和CDN ∆中，AD CD AM CN DM DN =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ADM CDN SSS ∴∆≅∆ADM CDN ∴∠=∠由菱形的性质得，ADB CDB ∠=∠ADB ADM CDB CDN ∴∠-∠=∠-∠，即MDB NDB ∠=∠9090DEF MDB DFE NDB ∠=︒-∠⎧⎨∠=︒-∠⎩DEF DFE ∴∠=∠DE DF ∴=在四边形BEDF 中，,90BE DE DF BF BED ===∠=︒故四边形BEDF 是正方形.【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、正方形的判定，灵活利用各定理与性质是解题关键.99．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AE ＝CF ．求证：DE ＝BF ．【答案】见解析【解析】【分析】由“平行四边形ABCD 的对边平行且相等”的性质推知AB=CD ，AB ∥CD ．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=DF ，易证四边形EBFD 是平行四边形，即可得出结论．【详解】解：∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=CD又∵AE ＝CF∴AB-AE=CD-CF∴BE=DF∴四边形EBFD 是平行四边形∴DE ＝BF ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．100．如图，APB 中，AB 2=，APB 90∠=，在AB 的同侧作正ABD 、正APE 和正BPC ，求四边形PCDE 面积的最大值．【答案】四边形PCDE 面积的最大值为1．【解析】【分析】先延长EP 交BC 于点F ，得出PF BC ⊥，再判定四边形CDEP 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=，最后根据22a b 4+=，判断1ab 2的最大值即可．【详解】延长EP 交BC 于点F ，APB 90∠=，APE BPC 60∠∠==，EPC 150∠∴=，CPF 18015030∠∴=-=，PF ∴平分BPC ∠，又PB PC =，PF BC ∴⊥，设Rt ABP 中，AP a =，BP b =，则11CF CP b 22==，222a b 24+==， APE 和ABD 都是等边三角形，AE AP ∴=，AD AB =，EAP DAB 60∠∠==，EAD PAB ∠∠∴=，EAD ∴≌()PAB SAS ，ED PB CP ∴==，同理可得：APB ≌()DCB SAS ，EP AP CD ∴==，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积11EP CF a b ab 22=⨯=⨯=，又222(a b)a 2ab b 0-=-+≥， 222ab a b 4∴≤+=，1ab 12∴≤，即四边形PCDE 面积的最大值为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．。

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (131)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF∥BC于F．DE∥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=12×BC×AF，S△BCD=12×BC×DE ．所以S△ABC=S△BCD由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD（3）应用拓展：如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是cm2．【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40 【解析】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD。

（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.试题解析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；故答案为：同底等高的两三角形面积相等.（2）△AB△CE，BE△AC，△四边形ABEC为平行四边形，△△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，△S△ABC=S△AEC，△S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，△S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=12×b×（a﹣b）+b×b+12×a×a﹣12×b×（b+a）=12ab﹣12b2+b2+12a2﹣12b2﹣12ab=12a2，△S△ACF=12S正方形ABCD=12×80cm2=40cm2.故答案为：40．102．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF 于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）想办法证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；（3）想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=103，即DF=103，则CF=10﹣103=203，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴BPAP=EPQP，即BPEP =AP QP，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°，∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．103．△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）【解析】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD 中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3,BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.本题解析：(1)AE=BD，AE⊥BD ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=△ECD=90°∴AC=BC, △ACE=△BCD，EC=DC∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, △EAC=△DBC∵△EAC+△AFC =90°，△AFC=△BFG∴△DBC+△BFG=90°, ∴△BGF=90°,∴AE△BD(3) 过B作BM△EC于M，则∠M=90°∵△ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=4=∵△ACB=△ECD=90°, ∴△CBE+△ACD=180°∵△CBE+△BCM=180°, ∴△BCM=△ACD∵△M=△ADC=90°, AC=BC∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4∵CE=CD=3，∴EM=6，∴B E=104．在正方形ABCD中，点E是直线CD上一动点，以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF ，连接AF ，试求线段AF 与DE 的数量关系．（1）小可同学进行探索：△将点E 的位置特殊化，发现DE= ___ AF ； △点E 运动过程中，△BAF= ___ ；(填度数)（2）如图1，当点E 在线段CD 上时，证明AF 与DE 的数量关系；（3）如图2，当边EF 被对角线BD 平分时，求DEM AFB S S 值．【答案】（1）△DE =；△45°或135°；（2）DE =；（3）34DMEABF S S = 【解析】【分析】（1）△当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，可证得AF ，△BAF=45°；△当点E 在CD 延长线上时，利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得△BAF=△BDE=135°；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得答案；（3）利用（2）的结论证得22EDB AFB S DE S AF==()，BF 2a =，则FE=2a ，BE=，求得BM =，证得△MBE ∽△EBD ，得到BE BM BD BE=，即可求得BD和MD 的长，从而求得答案．【详解】（1）△△四边形ABCD 是正方形，△OB=OC=12AC=12BD ，△BOC=90°，当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，如图：△BEF 等腰直角三角形，△AF ，△△BAF=45°；当点E 在CD 延长线上时，如图：连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 45BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△EBA =△DBE+△EBA =45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△△BAF=△BDE=△ADB+△ADE =45°+90°=135°，故答案为：△AF ，△△BAF=45°或135°；（2）连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 452BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△DBF =△DBE+△DBF=45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△DE BD AF AB==，△DE =；（3）△△ABF △△EBD ， △22EDB AFB S DE S AF==()，又△△MEB=△BDE=45°，△MBE=△EBD ， △△MBE △△EBD ，△BE BM BD BE=，令BF 2a =，△FE=2a ，BE=， △M 是FE 的中点，△FM=12FE a =， △==，=， △，△，△3588DME DBE SMD S BD ===， △34DMEABFSS =．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．105．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，DE 的延长线与AB 的延长线相交于点F.（1）求证：△CDE ≌△BFE ；（2）试连接BD 、CF ，判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论【答案】(1)证明见解析；（2）四边形CDBF 是平行四边形，证明见解析.【解析】【分析】（1）用AAS 证明△CDE ≌△BFE ；（2）根据全等三角形的对应边相等，得DE=FE ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得四边形DBFC为平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD即AF∥CD．∴∠F=∠CDE∵BE=CE，∠BEF=∠CED∴△CDE≌△BFE；（2）由（1）知：△CDE≌△BFE∴DE=FE又BE=CE，∴四边形DBFC为平行四边形．106．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少．【答案】（1）证明见解析；（2）18°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理求出∠AOB，从而可得到∠CDO，最后，依据∠BDE=90°-∠DOC求解即可．【详解】解：（1）∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵∠ADC=90°，∠ADB ：∠CDB=2：3，∴∠ADB=36°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠OAD=∠ADB=36°，∴∠DOC=72°，∵DE ⊥AC ，∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．107．如图所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的高，AF 平分CAB ∠交CE 于点F ，过点F 作//FD CB 交AB 于点D ．求证：AC AD =．【答案】见解析.【解析】【分析】由平行线的性质和直角三角形的性质可证明∠ADF＝∠B＝∠ACF，结合角平分线的定义可证明△ACF≌△ADF，可得AC＝AD．【详解】证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵AC⊥BC，CE⊥AB，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＋∠ECB＝∠ECB＋∠B＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF，在△ACF和△ADF中，CAF DAFACF ADF AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ADF（AAS），∴AC＝AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．108．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB 的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P 从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6t =，9t =;（2）见解析;（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t ≤3时，当3＜t ≤6时，当6＜t ≤9时，当9＜t ≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC 左侧，顶角为120°，交点都在BC 右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC 两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可.【详解】解：（1）当等边△PQF 的边PQ 恰好经过点D 时，如图1,AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF 的边QF 恰好经过点E 时，如图2,由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3,当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t ，可求：PG=12t ，，∴S=12PG ×AG=8t 2；当3＜t ≤6时，如图4,,AE=3，AP=t ，∴PE=t-3，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，由菱形ABCD 的边长为6，∠DAB=60°，可求：BH=3，EH=6，tan ∠KEB=2，过点K 作KM ⊥AB ，作CN ∥PK 交AB 的延长线于N ， ∵△EKP ∽△ECN ，可得EM CH =EB EN，可求，∴S △PEK 可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t ，可求∠AGQ=90°，DG=12t ，，∴S △AGQ 2，等边三角形APD 的面积为：24，∴S=24-8t 2-2t-36）=−2t 24t −2，当6＜t ≤9时，如图5，，与前同理可求：S△FQPS △GQN =28），S △KEP ，∴=2，当9＜t ≤12时，如图6，求出：S△PQFS △QGH =28），S △NEP =2t-36），S △KEF∴S=S △PQF -S △QGH -S △NEP +S △KEFt 2− （3）逆时针旋转：①α=150°，如图7，此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，可证△ACD ∽△APM ， ∴AD AM ＝AC AP，易求AP=12，，AD=6，解得：，所以，②α=105°，如图8,此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=6所以，；③α=60°，如图9,此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=6,所以：④α=15°，如图10,此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC ，．【点睛】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键.109．如图①，在半径为6的扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD AC ⊥、OE BC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）△当4BC =时，线段OE = ；△当BC 的度数= °时，四边形OACB 成为菱形；（2）试说明：四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上；（3）如图②，过点O 作OF DE ⊥，垂足为F ，连接AF ，随着点C 的运动，在△AOF 中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；（4）在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为．【答案】（1）①；②60；（2）证明见详解；（3）存在，60AOF ∠=︒；（4）3【解析】【分析】（1）△根据勾股定理即可求得线段OE ；△点C 为AC 中点，即BC =60°时，得△OBC ，△OAC 为等边三角形，可得四边形OACB 成为菱形；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD ，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半，证得EM CM OM DM ===，问题得证；（3）先求得∠EOD =60°，根据（2）的结论，进行角的转化，证明∠EOF =∠AOD ，进而求得60AOF EOD ∠=∠=︒；（4）根据60AOF ∠=︒不变，确定F 的运动轨迹是一条线段，当点C 与A 、B 重合时，OF 最小，当C 位于BC 的中点时，OF 最长，分别求出OF 长，计算可得．【详解】解：（1）△∵OB=OC , OE BC ⊥，∴BE =122BC =，∴在R t △OBE 中，OE ==故答案为：②当∠BOC=60°时，∠AOC =60°，△OBC ，△OAC 为等边三角形， ∴OA=AC=OC=BC=OB ，∴四边形OACB 成为菱形；故答案为：60；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD∵OD AC ⊥，OE BC ⊥∴EM CM OM ==，DM CM OM ==∴EM CM OM DM ===∴以M 为圆心，ME 为半径的圆过,,C D O 三点即四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上（3）答：AOF ∠不变，60AOF ∠=︒；证明：∵OB=OC=OA , OD AC ⊥、OE BC ⊥，∴∠COE =∠BOE =12BOC ∠,∠COD =∠AOD =12AOC ∠， ∴∠EOD =∠COE +∠COD =()111206022AOC BOC ∠+∠=⨯︒=︒， ∵四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上，∴=OD OD ，∴∠OED =∠OCD ，∵OF ⊥DE ，OD ⊥OC ，∴∠OEF +∠EOF =90°， ∠OCD +∠COD =90°，∴∠EOF=∠COD ，∵∠COD =∠AOD ，∴∠EOF =∠AOD ，∴60AOF AOD DOF EOF DOF EOD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（4）由（3）得，60AOF ∠=︒，∴点F 的运动轨迹在∠AOB 的平分线上，如图1，当点C 与A 重合时，F 与E 重合，∠OAB =30°，OF ⊥AB ， ∴OF =132OA =；如图2，当点C 运动到AB 中点时，∠AOD =∠DOC =30°，OD=OA ·cos ∠AOD =6= OF= OD ·cos ∠FOD =392； ∴933=22-；当点C 从点B 运动到AB 中点时，也运动了32， ∴在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为3．【点睛】本题考查了圆，直角三角形，菱形，圆内接四边形等数学知识，综合性较强，为几何题中压轴题，解题时要注意，每一步为后续解题提供了条件或方法上的帮助，这是解题关键．110．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=△DEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF△AB，DE△AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得△DEF=△BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得△DAH=△DHA，△FAH=△FHA，然后求出△DHF=△BAC，等量代换即可得到△DHF=△DEF．试题解析：证明：（1）△点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△DE、EF都是△ABC的中位线.△EF△AB，DE△AC，△四边形ADEF是平行四边形.（2）△四边形ADEF是平行四边形，△△DEF=△BAC.△D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，△DH=AD，FH=AF.△△DAH=△DHA，△FAH=△FHA.△△DAH+△FAH=△BAC，△DHA+△FHA=△DHF，△△DHF=△BAC.△△DHF=△DEF．考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．。