机械能守恒定律及其应用典型例题

机械能守恒定律及其应用·典型例题精析
链，则当铁链刚挂直时速度多大？
[思路点拨] 以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N 不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒．铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算．选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解．
[解题过程] 初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能
mv2，又有重力势能
根据机械能守恒定律有E1＝E2．所以E p1＋E p2＝E k2＋E p2，故
[小结] (1)应用机械能守恒定律解题的基本步骤由本题可见一斑．①根据题意，选取研究对象．②明确研究对象在运动过程中受力情况，并弄清各力做功情况，分析是否满足机械能守恒条件．③恰当地选取重力势能的零势能参考平面，确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况．④应用机械能守恒定律列方程、求解．
(2)本题也可从线性变力求平均力做功的角度，应用动能定理求解，也可应用F－h图线(示功图)揭示的功能关系求解，请同学们尽可发挥练习．
[例题2] 如图8－54所示，长l的细绳一端系质量m的小球，另一端固定于O点，细绳所能承受拉力的最大值是7mg．现将小球拉至水平并由静止释放，又知图中O′点有一小钉，为使小球可绕O′点做竖直面内的圆周运动．试求OO′的长度d与θ角的关系(设绳与小钉O′相互作用中无能量损失)．
[思路点拨] 本题所涉及问题层面较多．除涉及机械能守恒定律之外，还涉及圆周运动向心力公式．另外还应特别注意两个临界条件：①要保证小球能绕O′完成圆周运动，圆周半径就不得太长，即OO′不得太短；②还必须保证细绳不会被拉断，故圆周半径又不能太短，也就是OO′不能太长．本题的研究中应以两个特殊点即最高点D和最低点C入手，依上述两临界条件，按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解．
[解题过程] 设小球能绕O′点完成圆周运动，如图8－54所示．其最高点为D，最低点为C．对于D点，依向心力公式有
(1)
其中v D为D点速度，v D可由机械能守恒定律求知，取O点为重力势能的零势能位置，则
(2)
将(1)式与(2)式联立，解之可得
另依题意细绳上能承受的最大拉力不能超过7mg，由于在最低点C，绳所受拉力最大，故应以C点为研究对象，并有
(3)
其中v C是C点速度，v C可由机械能守恒定律求知
(4)
将(3)式与(4)式联立，解之可得
[小结] (1)本题中小球在圆运动中，由于绳的拉力与运动方向相互垂直不会做功，只有重力做功，故机械能守恒．求解竖直面内的圆周运动问题是机械能守恒定律的重要应用之一，并由此可以推导出些有价值的结论．例如：从光滑斜面滑下的小球，进入竖直光滑的圆环(半径为R)，
在细绳作用下在竖直面内做圆周运动，在最低点和最高点，绳上拉力的差，应等于6mg，等等．
(2)从本题的结论入手，我们还可以对本题进行挖掘，请考虑如果我们改变一下绳上所承受拉力的最大值，原题是否还一定有解呢？答案应是否定的．当T m＝6mg时，O′点的位置将不再是范围，而是一个定点；当T m＝5mg 时，本题将根本无解．
[例题3] 如图8－55所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的右边缘固定
的小球B，放开盘让其自由转动．问：
(1)当A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A球转到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
[思路点拨] 两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算．由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角．[解题过程] (1)以通过转轴O的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为
当A球转至最低点时两球重力势能之和为
E p2＝E pA＋E pB＝－mgr＋0＝－mgr，
故两球重力势能之和减少了
(2)由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加，设A球转至最低点，A、B两球的线速度分别为v A，v B，则
因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度ω相同．由
(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，如图8－56，该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为
由系统机械能守恒定律E1＝E3，即
两边平方得 4(1－sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ，
所以 5sin2θ＋2sinθ－3＝0，
[小结] 系统的始态、末态的重力势能，因参考平面的选取会有所不同，但是重力势能的变化却是绝对的，不会因参考平面的选取而异．机械能守恒的表达方式可以记为
E k1＋E p1＝E k2＋E p2，
也可以写作：ΔE k增＝ΔE p减．本题采用的就是这种形式．
[例题4] 如图8－57所示，A、B两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时弹簧呈自然状态，A、B的质量均为M＝0.1kg，一颗质量m＝25g的子弹，以v0＝45m/s的速度水平射入A物体，并留在其中．求在以后的运动过程中，
(1)弹簧能够具有的最大弹性势能；
(2)B物体的最大速度．
[思路点拨] 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：其一，子弹击中物体A的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹簧对A的作用力远远小于子弹与A之间的相互作用力，因此可认为由子弹与A物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞)．其二，弹簧压缩阶段，子弹留在木块A内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩．在这一压缩过程中，A在弹力作用下做减速运动，B在弹力作用下做加速运动．A的速度逐渐减小，B的速度逐渐增大，但v A＞v B．当v A＝v B时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值．以后随着B的加速，A的
减速，则有v A＜v B，弹簧将逐渐恢复原长．其三，弹簧恢复阶段．在此过程中v B＞v A，且v B不断增大而v A不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，A与B的加速度也刚好为零，此时B的速度将达到最大值，而A的速度为最小值．
根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究A、B的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可．同时由于A、B受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解．[解题过程] (1)子弹击中木块A，系统动量守恒．由
弹簧压缩过程．由子弹A、B组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒．
选取子弹与A一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为E pm，此时子弹A、B有共同速度v共，则有
代入数据可解得 v共＝5m／s，Epm＝2.25J．
(2)弹簧恢复原长时，v B最大，取子弹和A一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有
＝10m／s．
代入数据可解出B物体的最大速度 v
Bm
[小结] 本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用．A、B运动过程中受变力作用，除不断进行动能与弹性势能的相互转化外，还始终遵循系统动量守恒．选取特殊状态，建立两守恒方程是解决本题的关键．关于这两个守恒之间的关系应加以注意，初学者常有人将两守恒的条件混淆、等同或企图用一个代替另一个．
例如有人认为：系统动量守恒，则系统的合外力为零；而合外力为零，合外力的功也为零，故系统的机械能也守恒．类似错误还可列举很多．实际上它们是完全不同的守恒问题，各自具有严格的成立条件，绝不可等同或替代，请同学们在学习中认真理解．。