2015届高考数学(理)考点巩固训练：25 平面向量的数量积及其应用

合集下载

2015届高三数学第一轮复习课件：5.3平面向量的数量积与综合应用

(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)； (2)设函数 f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)，求 f(x)
的最大值和最小值．由向量的数量积，根据向量的坐标运算，可得到相
应的三角函数式，然后化简三角函数式为只有一个函数符号的式子，然后根据三角函数的性质求得函数的最值及单调区间．
第二十一页，编辑于星期五：八点五十一分。
2．模：|a|＝ a·a＝ x21＋y21. 3．夹角：cos θ＝|aa·||bb|＝ x21＋x1yx212·＋y1yx222＋y22. 4．a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2 ＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22.
A.12 B．0 C．1 D．－12
由已知可得|O→A|＝|O→B|＝|O→C|＝1，故(O→A＋O→B)2＝(－O→C)2，展开将已知代入，即得O→A·O→B＝
－12. D
4．在△ABC 中，B→D＝2D→C，D→O＝O→A，设 xO→A＋O→B＋yO→C＝ 0(x，y∈R)，则 x－y＝________．
化简得：x＋2y＝0.
(2)
＝(x＋6，y＋1)，
＝(x－2，y－3)，
又
，则(x＋6)·(x－2)＋(y＋1)·(y－3)＝0，
化简有：x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
联立xx2＋＋2yy2＋＝40x，－2y－15＝0，
第十七页，编辑于星期五：八点五十一分。
解得yx＝＝3－，6，或xy＝＝2－，1.
根据向量的运算法则，b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0，即 ta·b＋(1－t)|b|2＝0，从而得到 t|a||b|cos 60°＋(1

2015届高三数学一轮总复习课件：5.3平面向量的数量积及应用

基础梳理
1-2
3-4
5
6
7
7.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向
量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即
W=F·
s=|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角).
基础梳理
=3λ×22-2×32=0.
3
2
∴λ= .
基础梳理
自我检测
第十二页，编辑于星期五：八点三十四分。
考点基础
自我检测
1
2
3
4
5
5.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 ·=4,则
点 P 的轨迹方程是
.
答案:x+2y-4=0
解析:由 ·=4,得(x,y)·(1,2)=4,即 x+2y=4.
(2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.
又 ka-b 与 a+b 垂直,
∴(a+b)·(ka-b)=0,
即 ka2+ka·b-a·b-b2=0.
∴k-1+ka·b-a·b=0.
即 k-1+kcos θ-cos θ=0(θ 为 a 与 b 的夹角).
∴(k-1)(1+cos θ)=0.
4
-
2
2
=-6 2,a2=9,b2=16,
∴(3a-2b)·(a-2b)=3a2-8a·b+4b2=3×9-8×(-6 2)+64=91+48 2.
(2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=9+2×(-6 2)+16=25-12 2,

【名师导学】2015高考数学一轮总复习 4.29 平面向量的数量积及应用课件理

π π 3 π π 又－ 4 <θ＋ 4 <4π，故 θ＋ 4 ＝0，∴θ＝－ 4 . (2)|a＋b|＝ a2＋b2＋2a· b ＝ sin2θ＋1＋cos2θ＋1＋2（sin θ＋cos θ） π ＝ 3＋2 2sinθ＋ 4 π ∴当 sinθ＋＝1 时，|a＋b|max＝ 3＋2 2＝ 2＋1. 4
3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当 θ 为锐角时，它是正值；当 θ 为钝角时， ____________ 它是负值；当 θ 为直角时，它是零． a·b 的几何意义：数量积 a· b 等于_____________ a的长度|a| 与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角. 结论几何表示坐标表示模数量积夹角 a⊥ b 的充要条件 |a· b|与 |a||b|的关系 |a|＝ a·a a· b＝|a|· |b|cos θ a· b cos θ ＝ |a|· |b| a· b＝ 0 |a· b|≤|a|· |b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)
5π 3 所以 sin C·sin －C＝ 4 ， 6 1 3 3 sin C· cos C＋ sin C＝ 4 . 2 2
因此 sin 2C－ 3cos2C＝0 即
π 2sin2C－＝0. 3
π 5π π π 4π 由 A＝ 6 知 0<C< 6 ，所以－ 3 <2C－ 3 < 3 ， π π π 2π 从而 2C－ 3 ＝0 或 2C－ 3 ＝π，即 C＝ 6 或 C＝ 3 ， π 2π π π π 2π 故 A＝ 6 ， B＝ 3 ， C＝ 6 或 A＝ 6 ， B＝ 6 ， C＝ 3 .

2015高考数学一轮总复习课件：4.3平面向量的数量积及应用

例题精编
(2)(2014·石家庄市高三质检)
在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1， E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内 (含边界)任意一点，则A→E·A→F的
最大值为________．
审题视点典例精讲类题通法变式训练
第十六页，编辑于星期五：十二点三十三分。
聚焦考向透析
考向一平面向量数量积的运算
基础知识梳理
梳理一平面向量的数量积
基础知识系统化1
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos_θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，规定零向量与任一向量的数量
积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向
－3
解析：依题意得(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝－3 ，(a＋b)2＝a2＋b2 ＋2a·b＝3，即|a＋b|＝ 3，向量 a－b 在向量 a＋b 方向上的投
（a－b）·（a＋b）－3
影是
＝＝－ 3.
|a＋b|
3
第二十一页，编辑于星期五：十二点三十三分。
聚焦考向透析
考向二利用数量积求向量夹角和模
第八页，编辑于星期五：十二点三十三分。
梳理二平面向量数量积的
基础知识梳理
坐标表示、性质及运算律
基础知识系统化3
(2)数量积的性质
①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝
|a|cos θ；
②当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－
|a||b|.特别地，a·a＝a2或|a|＝ ③a⊥b⇔a·b＝0；

2015高考数学一轮精品课件：5.3 平面向量的数量积及其应用

探究突破
探究突破
巩固提升
提醒:向量数量积与实数相关概念的区别:
1.表示方法的区别
数量积的记号是 a·b,不能写成 a×b,也不能写成 ab.
2.相关概念及运算的区别
(1)若 a,b 为实数,且 ab=0,则有 a=0 或 b=0,但 a·b=0 却不能得出 a=0
或 b=0.
(2)若 a,b,c∈R,则 a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量 a,b,c,而
5.3
平面向量的数量积及其应用
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法三:因为(a-c)·(b-c)=0,
所以 a-c 与 b-c 互相垂直.
又 a,b 是两个互相垂直的单位向量,
所以 a,b,a-c,b-c 构成的四边形是圆内接四边形,c 为其对角线.
所以当 c 是直径时,|c|达到最大值,这时圆内接四边形是以 a,b 为邻边的
上的投影为(
A.
3 2
2
)
B.
3 15
2
3 2
2
C.-
3 15
2
D.-
关闭
因为 =(2,1),=(5,5),所以向量在方向上的投影为
·
| |cos< , >=| |·
=
| || |
A
·
| |
=
(2,1)·(5,5)
52 +52
=
3 2
(2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)·
(2a+3b)和|a+2b|.
考点二
考点三
第十二页，编辑于星期五：十三点五分。

2015届高考数学一轮复习课件：第27讲平面向量的数量积与平面向量应用举例

返回目录第六页，编辑于星期五：十点一分。
第27讲平面向量的数量积与平面向量应用举例
•双向固基础
3．向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量O→A＝a＝(x1，y1)，O→B＝b＝(x2，y2)．
向量表示
坐标表示
向量 a 的模 |a|＝ a2
a，b 的数量 a·b＝|a||b|cos
积
θ
a 与 b 共线 a∥b⇔b＝λa
②a⊥b⇔__a_·b_＝__0__． ③当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时， a·b＝_－__|_a_||b_|__．特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝__a_·__a___．
a·b
④cos θ＝__|a_|_|b_|___． ⑤|a·b|____≤____|a||b|.
(2)向量的投影
设两个非零向量 a 与 b 的夹角为θ，|_a_|c_o_s__θ__称为向量 a 在 b 方向上的投影；|_b_|c_o_s__θ__称为向量 b 在 a 方向上的投
影．
返回目录
第三页，编辑于星期五：十点一分。
第27讲平面向量的数量积与平面向量应用举例
•双向固基础__数__量向 ___量_，a不在是向b 量方．向当上0(或°≤b θ在<9a0°方，向它上是)的__正投__数影__是__一；当个
第27讲平面向量的数量积与平面向量应用举例
•
•
点面讲考向
► 例探1究点(1)一[2013·平太原面调向研量] 已的知数O→A量＝(积2，的1)，运O→算B＝(1，
2)，将O→B绕点 O 逆时针旋转π6 得到O→C，则O→A·O→C＝(

2015高考数学配套课件：4-3 平面向量的数量积及平面向量的应用

东
么A→E·B→D＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B)＝2.
金太阳
[答案] (1)C (2)2
书业
有
限
公
司
菜单隐藏
第十五页，编辑于星期五：十五点八分。
抓主干考点解密研考向要点探究悟典题能力提升提素能高效训练
菜单隐藏
高考总复习 A 数学（理）
山东金太阳书业有限公司
金太
判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面阳
书
几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
业
有
限
公
司
菜单隐藏
第一页，编辑于星期五：十五点八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干考点解密
研考向要点探究
平面向量的数量积
悟典题
能力
提升
1．两个向量的夹角
提素能高效训练
π A.2
2π B. 3
3π C. 4
5π D. 6
解析：a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a2|＋|a||b|cos 〈a，b〉＝0，
山东
金
故cos
〈a，b〉＝－ 9 6
＝－ 3
23，故所求夹角为56π.
太阳书
答案：56π
业有
限
公
司
菜单隐藏
第五页，编辑于星期五：十五点八分。
限公
(3)对λ∈R，λ(a·b)＝
＝(λa)·b
a．·(λb)
司
菜单隐藏
第七页，编辑于星期五：十五点八分。
高考总复习 A 数学（理）

高考数学一轮复习专题训练—平面向量的数量积及平面向量的应用

平面向量的数量积及平面向量的应用考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识梳理1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 4．平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)，不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π]．(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,4)，则(a －b )·a ＝( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D ．14答案 B解析由题意得a －b ＝(－1，－3)，则(a －b )·a ＝－1－3＝－4. 3．设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3答案 C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.5．(2021·江南名校模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．2π3答案 C解析由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12，设向量a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以向量a 、b 的夹角为π3.6．(2020·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析因为a ⊥b ，所以1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.考点一平面向量的数量积运算1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.2．(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (2,1)，∴|PD →|＝2－02＋1－22＝ 5.易得PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)． ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.法二如图，在正方形ABCD 中，由AP →＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD →|＝12＋22＝ 5.PB →·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD →＝－PB →2＋0＝－1.3．(2019·天津卷)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________. 答案－1 解析如图，在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2. 则BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →) ＝AD →·AB →＋AD →·BE →－AB →2－AB →·BE →＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150° ＝15－10－12＋6＝－1.4．(2020·新高考山东卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)答案 A解析法一如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1＜x ＜3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．故选A.法二 AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影．结合几何图形，当点P 与F 重合时投影最小，当P 与点C 重合时，投影最大，又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6， AF →·AB →＝2×2cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内时，－2<AP →·AB →<6. 感悟升华 1.计算平面向量的数量积主要方法： (1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)活用平面向量数量积的几何意义．2．解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．考点二向量数量积的性质及应用角度1 夹角与垂直【例1】 (1)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案 (1)D (2)D解析 (1)易知a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，则b ·(a ＋2b )＝52≠0，b ·(2a ＋b )＝2≠0，b ·(a －2b )＝a ·b －2b 2＝－32≠0，b ·(2a －b )＝0.因此b ⊥(2a －b )．(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935.角度2 平面向量的模【例2】 (1)(2021·南昌模拟)设x ，y ∈R ，a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，c ＝(－2,2)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|2a ＋3b －c |＝( ) A ．234B ．26C ．12D ．210(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1,1)，因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2，则b ＝(2，－2)．所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a ＋3b －c |＝234. (2)法一由a ·b ＝0，得a ⊥b .如图所示，分别作OA →＝a ，OB →＝b ，作OC →＝a ＋b ，则四边形OACB 是边长为1的正方形，所以|OC →|＝ 2.作OP →＝c ，则|c －a －b |＝|OP →－OC →|＝|CP →|＝1. 所以点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点O ，C ，P 三点共线且点P 在点P 1处时，|OP →|取得最大值2＋1.故|c |的最大值是2＋1.法二由a ·b ＝0，得a ⊥b .建立如图所示的平面直角坐标系，则OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)．设c ＝OC →＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以点C 在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上．所以|c |max ＝2＋1.法三易知|a ＋b |＝2，|c －a －b |＝|c －(a ＋b )| ≥||c |－|a ＋b ||＝||c |－2|，由已知得||c |－2|≤1，所以|c |≤1＋2，故|c |max ＝2＋1.感悟升华 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解．没有坐标时可用公式cos θ＝a ·b|a ||b |.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π]．3．向量模的计算主要利用a 2＝|a |2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率．【训练1】 (1)(2021·太原质检)已知平面向量a ＝(4，－2)，b ＝(1，－3)，若a ＋λb 与b 垂直，则λ＝( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)(2020·河南部分重点中学联考)已知单位向量a ，b 的夹角为θ，且tan θ＝12，若向量m ＝5a －3b ，则|m |＝( ) A. 2B ． 3C ．26D ．2或26答案 (1)C (2)A解析 (1)a ＋λb 与b 垂直，∴(a ＋λb )·b ＝a ·b ＋λb 2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1. (2)依题意|a |＝|b |＝1，又θ为a ，b 的夹角，且tan θ＝12，∴θ为锐角，且cos θ＝2sin θ，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，从而cos θ＝255.由m ＝5a －3b ，∴m 2＝(5a －3b )2＝5a 2＋9b 2－65a ·b ＝2，因此|m |＝ 2. 考点三平面向量的综合应用【例3】 (1)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．答案 16 132解析因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.(2)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . ①求角C 的大小；②若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 ①m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12.又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.②由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟升华 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算． (2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决．2．解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．【训练2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线(2)(2019·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC的值是________．答案 (1)A (2) 3解析 (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a,0)，(a,0)(a >0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1.因此点C 的轨迹为圆．故选A. (2)法一如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，所以6AO →·EC →＝32(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫AC →－13AB →＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC＝ 3.法二以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．设E (1,0)，C (a ，b )，则B (3,0)，D ⎝⎛⎭⎫a ＋32，b 2.⎭⎬⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE ：y ＝ba －1x －1⇒O ⎝⎛⎭⎫a ＋34，b4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC →， ∴(3,0)·(a ，b )＝6⎝⎛⎭⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎡⎦⎤a ＋3a －14＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝ 3.∴AB AC ＝33＝ 3.平面向量与三角形的“四心”向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效率．设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 一、平面向量与三角形的“重心”【例1】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A ．△ABC 的内心 B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心 D ．AB 边的中点答案 C解析取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →，而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．二、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．6 2答案 B解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.三、平面向量与三角形的“外心”问题【例3】 (2021·长春质检)在△ABC 中，O 为其外心，OA →·OC →＝3，且3OA →＋7OB →＋OC →＝0，则边AC 的长是________．答案3－1解析设△ABC 外接圆的半径为R ， ∵O 为△ABC 的外心， ∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝R ，又3OA →＋7OB →＋OC →＝0，则3OA →＋OC →＝－7OB →，∴3OA →2＋OC →2＋23OA →·OC →＝7OB →2，从而OA →·OC →＝32R 2，又OA →·OC →＝3，所以R 2＝2，又OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3， ∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得 AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－2 3.所以AC ＝3－1.四、平面向量与三角形的“垂心”问题【例4】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心C ．外心D ．内心答案 B解析因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.A 级基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．152答案 C解析因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2．(2021·新乡质检)已知向量a ＝(0,2)，b ＝(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x ＝( )A ．－2B ．2C ．1D ．－1答案 B解析由题意得a ·b |a ||b |＝2x 2·12＋x 2＝12，则2x ＝12＋x 2，解之得x ＝2，x ＝－2(舍去)．3．(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )A ．11B ．10C ．－10D ．－11答案 D解析以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图．则A (0,0)，B (4,0)，E (1,4)，F (5,1)，所以AF →＝(5,1)，BE →＝(－3,4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11. 4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3 B ．2π3C ．5π6D ．π6答案 D解析设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·a ＋b |a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.5.在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.6．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|OC →|的最小值为( ) A ．1 B ．52C ． 2D ． 3答案 D解析 |OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2 ＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA →·OB →，因为OA →·OB →＝2，所以|OC →|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝⎛⎭⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC →|取得最小值 3. 二、填空题7．(2019·全国Ⅲ卷)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________. 答案 23解析由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·2a －5b|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.8．(2020·全国Ⅰ卷)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用平行四边形法则得OC →＝a ＋b ，∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴△OAC 为正三角形，∴|BA →|＝|a －b |＝2×32×|a |＝ 3.9．(2020·郑州模拟)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________．答案 3解析以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1.∴C (2,0)，D (1，a )．则MC →＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC →＋MD →＝(3，a －2b )．因此|MC →＋MD →|＝9＋a －2b2，∴当且仅当a ＝2b 时，|MC →＋MD →|取得最小值3. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.B 级能力提升11．(2021·石家庄调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a －b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角的最大值为( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 A解析设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a －b )⊥(3a －b )，所以(a －b )·(3a －b )＝0. 整理可得3a 2－4a ·b ＋b 2＝0，即3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0.将|a |＝1代入3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，可得3－4|b |cos θ＋|b |2＝0，整理可得cos θ＝34|b |＋|b |4≥234|b |×|b |4＝32，当且仅当34|b |＝|b |4，即|b |＝3时取等号，故cos θ≥32，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为π6.12．(2020·长沙联考)已知点O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2)，OB →＝(x ，y )，且OA →·OB →＝10，则|OB →|的最小值为________．答案 2 5 解析由题意知|OB →|＝x 2＋y 2，x ＋2y ＝10，∴点B 在直线x ＋2y －10＝0上，∴|OB →|的最小值为点O 到直线x ＋2y －10＝0的距离．则|OB →|min ＝|0＋0－10|12＋22＝105＝2 5. 13．(2020·浙江卷)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________．答案 2829解析因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34. 因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝a ·b 2|a |2|b |2＝[e 1＋e 2·3e 1＋e 2]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2＝4＋4e 1·e 222＋2e 1·e 210＋6e 1·e 2＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t，又y ＝4＋4t 5＋3t在⎣⎡⎭⎫34，＋∞上单调递增，所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos 2θ的最小值为2829. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2·5c ·⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。

2015高考数学二轮复习热点题型专题二十七平面向量的数量积及平面向量的应用

专题二十七平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【热点题型】题型一平面向量的数量积例1、已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6【提分秘籍】1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．两向量的夹角为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1.3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零．【举一反三】已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a －b 在向量a ＋b 方向上的投影是________．【热点题型】题型二数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD 中，若AB ＝2，CD ＝1，则(AC →＋DB →)·(AB →＋CD →)＝( )A ．－5B ．0C ．3D ．5【提分秘籍】1．在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b 却有|a ·b |≤|a |·|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|，而|cos θ|≤1.2．实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．【热点题型】题型三平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝( ) A.13 B ．2 3 C.15 D ．4解析：|a －b |2＝(a －b )·(a －b )＝|a |2＋|b|2－2a·b ＝1＋9－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝13，故|a －b |＝13. 答案：A 【提分秘籍】在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .【举一反三】若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6【热点题型】题型四平面向量的夹角与模例4、 (1)平面向量a 与b 的夹角为60°， |a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．10(2)(2013年高考江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．【提分秘籍】1．当a ·b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系． 2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )则|a |＝ x 2＋y 2.【举一反三】已知a ，b 都是单位向量，且|a ＋b |≥1，则a ，b 的夹角θ的取值范围是________．解析：∵|a ＋b |≥1，∴(a ＋b )2≥1，即a 2＋b 2＋2a·b ≥1，∵a ，b 都是单位向量，∴1＋1＋2cosθ≥1，∴cos θ≥－12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，2π3 【热点题型】题型五数量积研究垂直问题及应用例5、(2013年高考江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝ 2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【提分秘籍】1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式： (1)可用定义式a ·b ＝0⇔|a ||b |cos θ＝0； (2)可用坐标式a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．【举一反三】已知锐角三角形ABC 中的内角为A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1，cos 2B ，且m ⊥n . (1)求f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)如果b ＝4，求△ABC 面积的最大值．解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝0， ∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z)，∴B ＝k π2－π6(k ∈Z)，∵0<B <π2，∴B ＝π3.【热点题型】题型六函数思想与数形结合思想在数量积中的应用例6、(2013年高考浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |b的最大值等于________．【提分秘籍】向量夹角与模的范围问题是近几年来高考命题的热点内容，它不仅考查了数量积的应用，同时还考查了学生综合解题能力，常涉及函数思想与数形结合思想．模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用函数值域的方法确定最值．体现了函数思想的运用，多与二次函数与基本不等式相联系．【举一反三】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤π6，5π6 【高考风向标】1．（2014·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】5 【解析】∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.2．（2014·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．3．（2014·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．4．（2014·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22【答案】B 【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5【答案】A 【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712①－②得λ＋μ＝56.8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－31529．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2 C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．11． (2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.【随堂巩固】1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析：依题意得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a ·b ＝－12，选A.答案：A2．已知a ，b 满足|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，且a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( )A.13B.23C.12D ．14．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则cos B ＝( )A ．－32 B.32 C.34D ．05.如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．86．已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．7．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m OP→＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．8．已知向量e 1＝⎝⎛⎭⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝⎛⎭⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________. 解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2. 答案：29．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________.10．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．11．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.解析：(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝0，即4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝0,4sin (α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此，tan(α＋β)＝2.。

高三数学一轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习

高三数学一轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )A.12B.233 C ．2 D. 3解析：选A.c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝|a |2－12|a ||b |＝0，∴|a ||b |＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49 解析：选A.M 是BC 的中点，则 PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝PA →·A P →＝－(PA →)2＝－(23MA →)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA→|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，得a ·b ＝－2＋8＝6， ∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 25．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|＝________.解析：AP →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝－2 ∴|AC →|＝ 5. 答案： 56．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0. 16k －16(2k －1)－2×64＝0， ∴k ＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：选B.∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.2．共点力F 1(lg2，lg2)，F 2(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：选D.F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2) 又s ＝(2lg5,1)所以W ＝F ·s ＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．120°D ．150°解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c 所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b)b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·aa ·b)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．因此，AP →·BP →＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值1，此时P (3,0)．答案：(3,0)8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°， ∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30°10．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7， ∴|a ＋2b |＝7. (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.∴a·b ＝|a |2.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝32.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°， ∴〈a ，b 〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2，当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即co s(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A2)，n ＝(cos A 2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．。

2015高考数学一轮总复习课件：4.3 平面向量的数量积及平面向量应用举例

例 2. （1）已知 a＝（－2，1），b＝（0，2），若向量 a＋λb 与 2a＋b 垂
直，则实数 λ 的值为
；
（2）设向量 a，b 的夹角为 θ，且 a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则
cos θ＝
思路点拨：（1）把向量 a＋λb 与 2a＋b 用 a，b 的坐标表示出来，利用 a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0 列方程求解.（2）首先利用加减法的坐标运算求出向量 b，再求出向量的模和数量积，代入 cos 〈a，b〉公式求解.
（2）以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
则A→B＝（ 2，0）.设A→F＝（x，2），则由条件得 2x＝ 2，得 x＝1，从而 F（1，2），A→E＝（ 2，1），B→F＝（1－ 2，2），于是A→E·B→F＝ 2.
第二十页，编辑于星期五：十二点三十三分。
题型2 ·平面向量的垂直与夹角问题
拓展提升
向量与实数的相关概念及运算的区别设 a，b，c 是实数，p，q，r 为向量，则：（1）由 a·b＝0，可得 a＝0 或 b＝0；但 p·q＝0 却不能得出 p＝0 或 q＝0. （2）若 a≠0，则由 ab＝ac 可得 b＝c；但若 p≠0，由 p·q＝p·r 却不能推出 q ＝r. （3）a（bc）＝（ab）c（结合律）成立；但（p·q）·r 与 p·（q·r）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的. （4）|a·b|＝|a|·|b|，但|p·q|≤|p||q|，等号当且仅当 p∥q 时成立
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有（a＋2b）·（a－b）＝a2＋a·b－2b2
1
π
＝－7＋2cos θ＝－6，∴cos θ＝2，∵0≤θ≤π，∴θ＝3

平面向量的数量积及其应用

解析解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=

考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法