集合的概念及其运算专题复习

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集合的概念及运算总复习-2022年学习资料

四、有限廉合的子廉个数公式-1.设有限集合A中有n个元素，则A的子-集个数有：2个，其中真子集的个-数为2 .1个，非空子集个数为2m.1个-非空真子集个数为2n.2个-2.对任意两个有限集合A、B有-cardA B=cardA+cardB-cardAnB
初狱牛刀-1若-则a2002+b2003=1-2已知集合M={-1,1,2}-集合N=yy=x2,x∈M} 则M∩N是B-A{1,2,4}-B{1}-C{1,4-D-Φ
2.集合的分类-集合按元素多少可分为：-有限集（元素个数是有限个），-无限集（元素个数是无限个），-空集（含任何元素）。-也可按元素的属性分-如：数集（元素是数）-点集（元素是点）等。
3.集合中元素的特征-确定性、互异性、无序性。-4.集合的表示方法-①列举法；-②描述法；-③图示法：-④ 间法；-⑤字母法
3已知集合M={12,a},-M∩P={0},若MUP=U.则集合U的-真子集个数是D-A-0B-C-16 15
4集合U,M,N,P如图所示，则图-中阴影部分所-表示的集合是D-S-AM∩NUP-BMnCNOP-CMU N∩P-DM∩C,NUP
5集合P={x,12={y,1,2}其中-x,y∈{1,2，Λ，9}且PcQ,把满足上-述条件的一对有序整 x,y作为一个点，-这样的点的个数是B-A9B14C15D-21
三、集合之间的运算关系-①交集-由所有属于集合A且属于集合B的元素-所组成的集合叫做集合A与B的交集-记为 ∩B,-即A∩B={xx∈A,且X∈B}
②并集-由所有属于集合A或属于集合B的元素-所组成的集合叫做集合A与B的并集，-记为AUB-即AUB={x x∈A,或x∈B}。
③补集：-般地设U是一个集合，A是U的一个-子集（即AcU,由U中所有不属于A的-元素组成的集合，叫做集A 全集U中的-补集（或余集）-记为：CyA-CA={x|x∈U,但xEA}。

高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算

的属性(是点集、数集或其他情形),从研究集合中元素的构成入手是解决集合问题的前提.
2.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子集. 3.正确理解交、并、补集的含义是解决集合的运算问题的关键.数轴和 Venn 图是进行集合交、并、补运算的有力工具.
12
核心考点
(4)空集: 不含任何元素的集合
叫做空集,记作: ⌀
.
规定:空集是任何集合的子集 .
4
知识梳理
双击自测
知识梳理
-5-
3.集合的基本运算
并集
符号表示
A∪B
图形表示
交集 A∩B
补集
设全集为 U,集合 A 的补集∁UA
含义
A∪
B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B={x|x∈A,且 x∈B}
∁UA={x|x∈U,且 x∉ A}
-13-
考点一
考点二
考点三
考点一集合的基本概念
1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
关闭
由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此,集合 M 共有 4 个元素.故选 B.
关闭
B
13 解析答案
核心考点
-14-
考点一
考点二
考点三
2.若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( )
(6)设全集为 R,函数 y= 1-��2的定义域为 M,则∁RM={x|x>1,或 x<1}.( )

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。

本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。

2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。

3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。

- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。

4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。

二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。

2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。

3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。

4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。

5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。

三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。

2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。

3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。

4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。

四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。

2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。

3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。

4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。

总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。

职中数学《集合的概念及基本运算》复习(单招用 )

又由A=B,
即aab2
1b或aab2
b， 1
解得a
1, b
0.
解：根据题意可知：
U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以：
A={4，5，6，7，8}，
B={1，2，7，8}．
练习
1、设U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}， A={1，2，3 }，B={3，4，5，6}，
求 Cu A ，Cu B ，Cu ( A B),Cu ( A B),
2、设U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求 A B，
A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为__4___.
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16}
∴
a a
2 16 4
,
∴a=4,故答案为4.
拓展练习
2.设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B, 则实数
a=__-_1,b=__0_.
解析由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0,
CU ( A B)
3、设U=R,A={x|-1＜x ≤ 2}，求 Cu A
2004年甘肃卷
感受高考
已知集合 M＝{0,1,2}, N={x︱x=2a,a∈M}
则集合M∩ N =（ D ）
A . {0}
B .{0,1}
C. {1，2}
D. {0,2}
拓展练习
1.集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若
练习：
设A={a,b,c},B={b,c,d,e}, 求A ∩ B.
例2. 设集合A={x|－1＜x＜2},集合 B={x|x＜3},求A ∩ B,A ∪B.

集合知识点总结题目

集合知识点总结题目一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是具有某种特定性质的事物的整体，可以简单地理解为一组对象的集合。

2. 元素：构成集合的个体称为元素，通常用小写字母表示。

3. 集合表示法：通常用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

4. 空集合：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

二、集合的运算1. 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起的集合称为并集，通常用符号∪表示。

2. 交集：两个集合中共同的元素所组成的集合称为交集，通常用符号∩表示。

3. 补集：一个集合中不属于另一个集合中的元素组成的集合称为补集，通常用符号表示。

4. 差集：一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合称为差集，通常用符号表示。

三、集合的特性1. 子集：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

2. 幂集：一个集合所有子集构成的集合称为幂集，通常用符号2^A表示。

3. 互斥集合：两个集合没有共同的元素的集合称为互斥集合。

4. 相等集合：两个集合中的元素完全相同，则称两个集合相等，记作A=B。

四、集合的应用1. 概率论：集合论是概率论的基础之一，通过集合的交集、并集等计算方法可以确定随机事件的概率。

2. 数据分析：在数据分析中，常常需要对数据进行分类和整合，这时就会用到集合的运算及特性。

3. 计算机科学：在计算机领域，集合论的概念被广泛应用于数据库查询、数据结构等方面。

五、集合的扩展1. 无限集合：含有无限个元素的集合称为无限集合，如自然数集合N、整数集合Z等。

2. 有限集合：只含有有限个元素的集合称为有限集合。

3. 等势集合：含有相同数量元素的集合称为等势集合，通常用符号|A|=|B|表示。

4. 空间中的集合：空间中的集合可以是点、线、面等几何图形，集合论也被广泛应用于几何学中。

经过以上的集合知识点总结，我们对集合的基本概念、运算、特性、应用以及扩展有了更加深入的了解。

集合论作为数学的一部分，不仅对数学本身具有重要意义，也在其他学科领域起着重要的作用。

集合知识点总结复习

集合知识点总结复习一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体。

一个集合通常用大写字母A、B、C等表示，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。

2. 集合的表示方法（1）列举法：直接列出集合中的所有元素，用大括号{}括起来。

例如：A={1, 2, 3, 4, 5}。

（2）描述法：通过一个性质或条件来描述集合中的元素。

例如：A={x|x是正整数，且x<6}。

3. 包含关系若集合A中所有的元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。

若A是B 的子集，且A≠B，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。

4. 互斥和互补两个集合没有共同的元素，则称它们是互斥的。

若集合A与集合B的交集为空集，则称A 与B互斥。

若全集S中的元素中除了属于集合A的元素外，其他的都属于A的补集，记作A'。

5. 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作{}或∅。

二、集合的运算1. 交集若元素x同时属于集合A和集合B，则x是A与B的交集，记作A∩B。

即A∩B={x|x∈A 且x∈B}。

2. 并集将属于集合A或集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。

即A∪B={x|x∈A 或x∈B}。

3. 差集集合A中所有属于A但不属于B的元素所组成的集合称为A与B的差集，记作A-B。

即A-B={x|x∈A 且x∉B}。

4. 补集全集S中除了属于A的元素外，其他都属于A的补集，记作A'。

5. 幂集集合A所有子集所构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

例如：A={1,2}，则P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。

三、集合运算的性质1. 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4. 吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。

集合的概念及运算复习讲义

集合的概念及运算五年高考考点一集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C2.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C3.(2013山东,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9答案C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.答案1考点二集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案D2.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案A2.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案B3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案B4.(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A. B. C. D.答案D5.(2016课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C6.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案D7.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案A教师用书专用(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案A9.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案A10.(2017山东,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D11.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案D12.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案C13.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案B14.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案C15.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案A16.(2015天津,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案A17.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案C18.(2015四川,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案A19.(2015广东,1,5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=()A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D.⌀答案D20.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案D21.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案D22.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.答案524.(2016江苏,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B=()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,1)若集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则集合B=中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D考点二集合间的基本关系3.(2018四川成都龙泉一中月考,2)已知集合A=,B={x|ax+1=0},且B⊆A,则a的取值组成的集合为()A.{-3,2}B.{-3,0,2}C.{3,-2}D.{3,0,-2}答案D4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是()A.0B.1C.2D.4答案C考点三集合的基本运算5.(2018豫南豫北第二次联考,1)已知集合A={y|y=2x},B={x|y=},则A∩B=()A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}答案B6.(2018江西重点中学第一次联考,1)已知集合M=,则∁R M=()A.{x|-1<x<1}B.{x|-1<x≤1}C.{x|x<-1或x≥1}D.{x|x≤-1或x≥1}答案C7.(2017广东惠州第三次调研,1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{1}答案D8.(2017河南濮阳第二次检测,13)已知集合A={-1,a},B={3a,b},若A∪B={-1,0,1},则a=.答案0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018广东茂名化州二模,1)若集合A={0,1},B={y|y=2x,x∈A},则(∁R A)∩B=()A.{0}B.{2}C.{2,4}D.{0,1,2}答案B2.(2018吉林榆树第一高级中学第三次模拟,1)设全集U={1,3,5,6,9},A={3,6,9},则图中阴影部分表示的集合是()A.{1,3,5}B.{1,5,6}C.{6,9}D.{1,5}答案D3.(2018四川南充一诊,2)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中的元素有()A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上答案C4.(2017湖南永州二模,2)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={a},若P∩M=⌀,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案D5.(2017河北唐山摸底,1)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数为()A.2B.4C.8D.16答案B6.(2016江西南昌十所省重点中学二模,2)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A二、填空题(共5分)7.(2017江西九江地区七校联考,14)设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M⊗N=.答案∪(1,+∞)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1与集合元素有关问题的解题方略1.(2016湖南衡阳八中一模,1)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集个数为()A.3B.4C.7D.8答案D方法2集合间的基本关系的解题方法2.(2017河北衡水中学七调,1)已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c},若A∪B=B,则c的取值范围是()A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)答案D3.(2018河北衡水中学模拟,13)已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2017+b2017等于.答案-1方法3集合的基本运算的解题方法4.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为()A.a=B.a≤C.a=-D.a≥答案C5.(人教A必1,一,1-1A,7,变式)设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=()A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}答案C方法4求解集合新定义问题的技巧6.(2018陕西西安长安质检,2)若x∈A,且∈A,则称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.31B.7C.3D.1答案B7.(2017湖北武昌一模,1)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案D。

集合的概念与运算知识点总结

集合的概念与运算知识点总结一、集合的概念集合是数学中最基础的概念之一，它是由一些对象组成的整体。

集合内的每个对象称为集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

集合的描述方式有两种常见方法：列举法和描述法。

列举法是指通过将集合中的元素一一列举出来来描述集合的方法，例如集合A={1, 2, 3}；描述法是指通过某些条件来描述集合的方法，例如集合B={x|x是正整数}。

二、集合的关系1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。

若集合A既是集合B的子集，又有至少一个元素不是集合B的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

2. 相等关系：如果一个集合A是另一个集合B的子集并且B是A的子集，则称集合A和集合B相等，记作A=B。

3. 并集关系：集合A和集合B的并集，表示由所有属于A或属于B的元素组成的新集合，记作A∪B。

4. 交集关系：集合A和集合B的交集，表示由同时属于A和属于B的元素组成的新集合，记作A∩B。

5. 差集关系：集合A和集合B的差集，表示由属于A但不属于B的元素组成的新集合，记作A-B。

三、集合的运算规则1. 交换律：集合的并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律：集合的并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 吸收律：集合的并集和交集满足吸收律，即A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。

4. 分配律：集合的交集对并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

5. 补集运算：集合A与它的全集U的差集被称为集合A的补集，记作A'。

补集运算满足以下规则：A∪A'=U，A∩A'=∅。

四、集合的应用场景1. 数学中的集合论可以用于解决排列组合、概率论等问题。

数学高考总复习集合的概念和运算

数学高考总复习：集合的概念和运算【考纲要求】1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}，A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，C U A=｛x|x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集；（2）运算律，如A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）， C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）等。

【典型例题】集合集合表示法集合的关系集合的运算描述法图示法列举法相等包含交集并集补集子集、真子集类型一：集合的概念、性质与运算例1.（2015 陕西高考）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 答案：A 【解析】 ,所以故选A.举一反三：【变式】（2015福建高考）若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 答案：C 【解析】因为, 所以故选C.类型二：集合的两种关系例2、已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈，22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈ （1）若[1,3]A B ⋂=，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

(完整版)集合知识点点总结

集合概念一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有A⊆（或B⊇Ａ）包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。

集合的概念及运算复习

求：A B, A B, A (CU B), A (CU B)
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
1 2
x

1
1Hale Waihona Puke 2x1A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
4.集合与元素的性质对于一个给定的集合，它的元素具有: 确定性、互异性、无序性
5.集合的表示方法 ①列举法； ②描述法； ③韦恩图法； ④文字法； ⑤字母法.
例1:已知数集 1, a, a2 a ,求实数a应满足的条件.
解: 根据集合中元素的互异性,得
a 1
a2 a 1 .
P ðU A, 则集合P的个数是 D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
五、集合的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A ＝A，A∩Φ＝Φ，A BA∩B＝A 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A，A∪B A，A∪B B， A∪A＝A，A∪Φ＝A，A BA∪B＝B 3.补集的运算的性质 CU(CUA)=A，CUΦ=U，A∩CUA＝Φ， A∪CUA＝U CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)， CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)
a2 a a
解得a 1, a
2,
a

0,
a

1

5
2
a 1且a 2且a 0且a 1 5 2
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1. 元素与集合是 “∈” 或 “ ” 的关系元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系.

集合的概念及其运算专题复习

集合的概念及其运算专题复习【基本概念】1．集合与元素(1) 对集合，一定要抓住集合的代表元素，及集合元素的三个特征：、、．{}{}{}C|)(,，lg，如：集合lg===中元素各表示什么？=，lg|=|=、xCyxBAxyxyyA、yBx(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.＋(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为、、．★注意空集的特殊性(1)空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．(2)正确区分∅，{0}，{∅}: ∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则．∅A；A A；A⊆B，B⊆C⇒A C.若A中含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有，A的非空真子集有个．(2)集合相等：若A⊆B且B⊆A，则 .3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝；补集：∁U A＝．U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝；A∪A＝；A∪B＝；A∪B＝A⇔.交集的性质：A∩∅＝；A∩A＝；A∩B＝；A∩B＝A⇔ .补集的性质：A∪(∁U A)＝；A∩(∁U A)＝；∁U(∁U A)＝ .【基础自测】1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________. 2．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．3．已知集合A＝{－1，0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 .4．已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a}，若A∩B≠∅，则实数a 的取值范围是______．【例题讲解】题型一集合的基本概念例1 定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．变式训练1 设a ，b ∈R，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2011＋b 2012的值为________．题型二集合与集合的基本关系例2 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．变式训练2 设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，(1)若B ⊆A ，求a 的值；(2)若A ⊆B ，求a 的值．题型三集合的基本运算例3 若集合A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．变式训练3 设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.变式训练4 已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x|ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为____．【限时训练】一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |0<x <2}，则集合A ∩B ＝____________.2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M ＝____________.3．集合I ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，A ＝{－1,1,2}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∪(∁I B )＝__________.4．如果全集U ＝R ，A ＝{x |2<x ≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁U B )＝______________.5．设集合A ＝{x |－12<x <2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝__________. 6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝ __________.7．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.8．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝____________.9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．二、解答题(本大题共4小题，共55分)10．(13分)已知集合S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋2x －5<0，P ＝{x |a ＋1<x <2a ＋15}．(1)求集合S ；(2)若S ⊆P ，求实数a 的取值范围．11．(14分)已知集合A ＝{x |6x ＋1≥1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．12．(14分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．13．(14分)已知集合A＝{x|y＝x2－5x－14}，集合B＝{x|y＝lg(－x2－7x－12)}，集合C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)求A∩B；(2)若A∪C＝A，求实数m的取值范围．。

集合必背知识点总结

集合必背知识点总结一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象叫做集合的元素。

在数学中，我们常用大写字母表示集合，用{}表示集合，例如A={a,b,c,d,e}表示由元素a,b,c,d,e组成的集合。

集合中不同元素的个数称为该集合的基数（或基数）。

二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A和B的并集，记作A∪B。

表示如下：A∪B={x|x∈A或者x∈B}并集的性质：交换律：A∪B=B∪A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)2. 交集设A和B是两个集合，所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A 和B的交集，记作A∩B。

表示如下：A∩B={x|x∈A并且x∈B}交集的性质：交换律：A∩B=B∩A结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)3. 补集设U是一个集合，A是U的一个子集，所有属于U而不属于A的元素组成的集合叫做集合A对于集合U的补集，记作A' 或者Ac4. 差集设A和B是两个集合，所有属于A而不属于B的元素所组成的集合叫做集合A和B的差集，记作A-B。

表示如下：A-B={x|x∈A并且x∉B}三、集合的表示方法1. 列举法直接将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，中间用逗号隔开。

例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法把确定集合中元素的某种性质加以说明，用x∈U，x满足某种性质P来描述集合，大括号中的元素x都具有性质P。

例如：B={x|x是偶数，x∈Z}四、集合的基本定理1. 并集与交集之间的关系设A，B是集合，那么有如下的基本定理：A∪B = A∪(A∩B)A∩B = A∩(A∪B)2. 对于任意集合A,B和C有如下关系：交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)五、集合的应用集合常用于解决排列组合、概率统计等问题，在实际生活中也有广泛的应用。

专题01 集合的概念与运算-2021年新高考数学基础考点一轮复习

专题01 集合的概念与运算【考点总结】1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.A B(或B A)3.∁A＝{x|x∈U，且x∉1．三种集合运用的性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身． (3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若AB ，BC ，则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n －2个非空真子集．【易错总结】(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．例1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或3例2．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或12例3．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}， (∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 【考点解析】【考点】一、集合的概念例1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．无数个解析：选C.依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．例2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________．解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.答案：0或98例3.已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16.答案：(16，＋∞)例4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．【考点】二、集合的基本关系例1、(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( )A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．ABD ．BA(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C.(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3] 【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若BA ，求m 的取值范围？解：因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围．解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m 的取值范围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． (1)判断两集合关系的方法①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． (2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．例1．(2020·河北唐山第一次模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1x <1，则( ) A ．M N B ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R解析：选C.集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故答案为C.例2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A.由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．例3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)．答案：[－2，2)【考点】三、集合的基本运算角度一集合的运算例1、(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(2)(2020·河南焦作模拟)若集合A ＝{x |2x 2－9x >0}，B ＝{y |y ≥2}，则(∁R A )∪B ＝( ) A.⎣⎡⎦⎤2，92 B ．∅C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 (1)通解：因为N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 优解：由题可得N ＝{x |－2<x <3}．因为－3∉N ，所以－3∉M ∩N ，排除A ，B ；因为2.5∉M ，所以2.5∉M ∩N ，排除D.故选C.(2)因为A ＝{x |2x 2－9x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >92或x <0，所以∁RA ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以(∁R A )∪B ＝[0，＋∞)．故选C.【答案】 (1)C (2)C 角度二利用集合的运算求参数例2、(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0，3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)(2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．(3)已知集合A ＝{x |x 2－x －12＞0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x ＞4}，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的数值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.故选C. (2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.(3)集合A ＝{x |x ＜－3或x ＞4}，因为A ∩B ＝{x |x ＞4}，所以－3≤m ≤4. 【答案】 (1)C (2)4 (3)[－3，4] (1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．例1．(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．[－1，1]C ．[0，1)D ．(0，1]解析：选A.由于M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，所以N ＝[0，1]，所以M ∩N ＝[0，1]．故选A. 例2.(2020·安徽宣城八校联考)如图，设全集U ＝N ，集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2，4}B ．{7，8}C ．{1，3，5}D ．{1，2，3，4，5}解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，因为集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，U ＝N ，所以(∁U A )∩B ＝{2，4}．故选A.例3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |y ＝－x 2－2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1＜x ＜0}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}解析：选B.因为函数y ＝－x 2－2x 有意义，所以－x 2－2x ≥0，解得－2≤x ≤0，所以集合B ＝{x |－2≤x ≤0}．又集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ≤0}．故选B. 【技巧总结】集合新定义问题中的核心素养例1、(1)(2020·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A ⊙B ＝{Z |Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．1B ．0C．－1 D．sin α＋cos α(2)(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝()A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}【解析】(1)因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.故选B.(2)由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0<x<1}．故选D.【答案】(1)B(2)D(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(2)解决集合的新定义问题的两个切入点①正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．。

集合高考必考知识点总结

集合高考必考知识点总结高考是中国学生人生中最重要的考试之一，集合作为数学必考的重要知识点，在高考中占据着很大的比重。

本文将对高考数学中集合的必考知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是一个由确定的对象所构成的整体。

常用大写字母A、B、C 等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}，其中的元素1、2、3和4都属于集合A。

二、集合的运算1. 交集运算：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示A和B 共有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

2. 并集运算：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B 所有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

3. 补集运算：集合A相对于集合B的补集，表示为A-B，表示A 中除去B中的所有元素所组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 包含关系：集合A包含集合B的情况，即A⊇B，表示A中的所有元素都属于B。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，则A⊇B。

5. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集是指讨论问题所涉及的全部元素组成的集合。

三、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律。

即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律。

即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。

3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律。

即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

四、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：根据元素的性质进行描述。

高三集合运算知识点

高三集合运算知识点高三学生在学习数学时，集合运算是一个重要的知识点。

本文将向您介绍高三集合运算的相关概念、符号以及运算规则。

一、集合运算的基本概念集合是由一组确定元素所组成的整体。

常用的符号表示集合，例如大写字母A、B、C等。

集合中的元素可以是数字、字母、词语等。

在集合运算中，常用的术语及符号包括：1.1 并集：由两个或多个集合的所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

1.2 交集：包含两个或多个集合共有元素的集合，用符号“∩”表示。

1.3 差集：从一个集合中去除另一个集合的元素，用符号“-”表示。

1.4 互斥：两个集合没有共同的元素，用来表示两个集合之间没有交集。

1.5 子集：一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，则称该集合为另一个集合的子集。

二、集合运算的规则在进行集合运算时，需要根据不同的情况选择合适的运算规则。

下面是常用的集合运算规则：2.1 并集的运算规则：- 若A∪B=B∪A，表示并集满足交换律；- 若(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，表示并集满足结合律；- 若A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，表示并集与交集满足分配律。

2.2 交集的运算规则：- 若A∩B=B∩A，表示交集满足交换律；- 若(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，表示交集满足结合律；- 若A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，表示交集与并集满足分配律。

2.3 差集的运算规则：- A-B表示从集合A中去掉集合B的元素，即A-B={x|x∈A，x∉B}；- 若A-B≠B-A，则两个集合的差集不满足交换律。

三、集合运算的应用高三学生在解决实际问题时，可以运用集合运算的知识点，例如：3.1 判断元素是否属于某个集合：可以通过判断元素是否在集合中进行。

3.2 求多个集合的并集或交集：将多个集合合并在一起，或者找到多个集合中共有的元素。

3.3 解决排列组合问题：在计算排列组合问题中，可以将所有可能的元素组合放入集合中，利用集合运算来计算结果。

集合概念与集合的运算复习回顾

集合概念与集合的运算复习回顾湖南祁东育贤中学周友良彭铁军 421600（一）知识归纳：1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

①集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉。

②集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性。

③表示一个集合可用列举法、描述法或图示法。

2．集合的包含关系：①集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B ；若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B.②简单性质：1）A ⊆A ；2） Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）。

3．全集与补集：①包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；②若S 是一个集合，A ⊆S ，则， S =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集。

③简单性质：1）S(S A)=A ；2）S S=Φ，S Φ=S 。

4．交集与并集：①交集}|{},|{B x A x x B A B x A x x B A ∈∈=⋃∈∈=⋂或并集且.②简单性质：1）,,;A A A A A B B A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ 2）,;A A A B B A ⋃Φ=⋃=⋃3）);()(B A B A ⋃⊆⋂4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;5）U （A ∩B ）=（U A ）∪（U B ），U （A ∪B ）=（U A ）∩（U B ）。

（二）学习要点：1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如如∈、∉、⊆、、=、S A 、∪，∩等等； 2．解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“文氏图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

专题1集合的含义与集合的运算

专题1 集合的含义与集合的运算【预备知识】一、集合概念的理解 1、已知集合}1|{-==x y x A ，集合}1|{-==x y y B ，请说明两个集合的含义。

2、请问：已知集合}1|{x y x A ==与集合}1|),{(xy y x B ==，则=⋂B A 。

3、已知集合}12|),{(+==x y y x A 与}1|),{(2-+==x x y y x B ，则=⋂B A4、若集合A 中有n 个元素，则A 有个子集，个真子集，个非空真子集。

5、已知集合}42|{<<-=x x A ，}23|{<<-=x x B ，}11|{≥-≤=x x x C 或，请在数轴上画出这三个集合，并求B A ⋂、C A ⋂、)(C B C R ⋂、C B A ⋂⋂。

6、B B A =⋂⇒ ；B B A =⋃⇒ ；【例1】已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则集合B 中所含元素的个数是个A 、3B 、6C 、8D 、10【例2】若集合}02|{2>+-=a x x x A ，且A ∉1，则实数a 的取值范围是。

【例3】已知实数b a ,，集合}0,,{}1,,{2b a a aba +=，则20142014b a +的值为。

【例4】已知集合},13|{Z k k x x A ∈-==，},23|{Z n n x x B ∈+==，则集合A 与B 的关系是【例5】已知集合}4,3,2,1{=A ，若对任意B x ∈，都有A x ∈，且B ∈2，则符合条件的集合B 的个数有个。

【例6】设集合}62|{≤≤=x x A ，}32|{+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是。

【例7】已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（）A ．{0}B ．{-1,,0}C ．{0,1}D ．{-1,,0,1}【例8】已知全集U 为实数集R ，集合M={ x|1-x 3x +<0}，N={x| -1≤x ≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是。