(完整word版)高二(文科)双曲线基础练习题

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双曲线综合大题高二数学必修第一册)(解析版)

专题12双曲线综合大题目录【题型一】轨迹：交轨法与代入法.................................................................................................1【题型二】常规韦达定理应用.........................................................................................................4【题型三】定点1：直线定点..........................................................................................................6【题型四】定点2：等角定点..........................................................................................................8【题型五】定点3：圆定点............................................................................................................10【题型六】定直线...........................................................................................................................13【题型七】定值...............................................................................................................................16【题型八】面积最值.......................................................................................................................18【题型九】参数最值与范围...........................................................................................................20【题型十】与双曲线有关的应用题...............................................................................................23培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................25培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................29培优第三阶——培优拔尖练.. (33)【题型一】轨迹：交轨法与代入法【典例分析】已知反比例函数1y x=的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设1A 、2A 为双曲线C 的两个顶点，点()00,M x y 、()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点.求直线1A M 与2A N 交点的轨迹E 的方程；【答案】(1)顶点坐标()1,1，()1,1--，焦点坐标、((2)()2221x y x +=≠±【分析】（1）分析可知双曲线C 的顶点和焦点均在=y x 上，联立直线=y x 与双曲线1y x=的方程，可求得双曲线C 的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标；（2）设点(),P x y ，利用向量共线的坐标表示结合001y x =化简可得出轨迹E 的方程.（1）解：因为反比例函数1y x=的图象在第一象限和第三象限，第一、三象限的角平分线所在直线的方程为=y x ，所以，双曲线C 的顶点和焦点均在直线=y x 上，联立1==y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩可得=1=1x y ⎧⎨⎩或=1=1x y --⎧⎨⎩，故双曲线C 的顶点坐标()1,1、()1,1--.所以该等轴双曲线的焦距为4=，设双曲线C 的焦点坐标为(),m m2=，解得m =，因此，双曲线C的焦点坐标为、(-.（2）解：因为点()00,M x y 、()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点，则01x ≠±且01y ≠±，设交点(),P x y ，11//A M A P ，且()100=1,1A M x y --，()1=1,1A P x y --，所以，()()()()0011=11x y y x ----，①22//A N A P ，且()2001,1A N y x =++，()21,1A P x y =++，所以，()()()()001111y y x x ++=++，②因为点()00,M x y 在双曲线C 上，则001y x =，且01x ≠±，将001y x =代入①式化简可得()011=1y x x ---，③将001y x =代入②式化简可得()011y x x +=+，④③式与④式相乘可得221=1y x --，可得222x y +=，因此，轨迹E 的方程为()22+=21x y x ≠±.【变式训练】1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为36=0x y --，点()11T -，在AD边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程；(3)若动圆P 过点()2,0N -，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．【答案】(1)320x y ++=；(2)()2228x y -+=；(3)(22122x y x -=≤.【分析】（1）根据AD 与AB 垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；（2）可得M 即为外接圆圆心，根据直线AB 和AD 方程可求出点A 坐标，即可求出半径，得出圆的方程；（3）由题可得PM PN =+.（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-，又因为点()11T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320x y ++=（2）由36=03++2=0x y x y --⎧⎨⎩，解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM =，从而矩形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=；（3）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M外切，所以PM PN =+4PM PN MN <=-=，故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为的双曲线的左支，可设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，因为实半轴长a ==2c ，所以虚半轴长b ==，从而动圆P 的圆心的轨迹方程为(22122x y x -=≤．2..已知曲线C 上任意一点(),P x y 2=.(1)求曲线C 的方程；(2)若过点()3,0的直线1l 与曲线C 在y 轴右侧交点为E 、F ，求线段EF 中点G 的轨迹方程.【答案】(1)2212y x -=；(2)()222601x x y x --=≥【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；（2）设点()11,E x y ，()22,F x y ，(),G x y ，得222212121,122y y x x -=-=，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有1212203y y x y y x x x --==--，即可求出G 的轨迹方程（1）设()1F，)2F2=，等价于12122PF PF FF -=<，∴曲线C 为以1F ，2F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为C 的方程为2212y x -=；（2）设点()11,E x y ，()22,F x y ，(),G x y 则222212121,122y y x x -=-=，两式作差得()()()()1212121202-+-+-=y y y y x x x x ，又G 为线段EF 中点，得12122,2x x y yx y ++==，则()()1212121220203y y x y x x x y y y y x x x -----=⇒==--，即()222601x x y x --=≥，故G 的轨迹方程为()222601x x y x --=≥.【题型二】常规韦达定理应用【典例分析】已知点21A （，）在双曲线222:102x y C b b-=>（）上.(1)求双曲线C 的渐近线方程;(2)设直线:1l y k x =-（）与双曲线C 交于不同的两点E F ，，直线AE AF ，分别交直线3x =于点M N ，.当AMN 时，求k 的值.【答案】(1)22y x =±(2)35-【分析】（1）由双曲线的性质求解，（2）由,E F 两点坐标表示||MN ，联立直线l 与双曲线方程，由韦达定理化简，再由AMN 列方程求解（1）将点(2,1)A 代入方程22212x yb -=，解得21b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=，渐近线方程为2y x =±；（2）联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222124220k x k x k -+--=，由题意2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，得21k <且212k ≠，设点E ，F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由韦达定理得22121222422,2121k k x x x x k k ++==--，直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--，令3x =，得11112y y x -=+-，即1113,12y M x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，同理可得2213,12y N x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，12221x x k -==-，()()211221122121121122||2222y y x y x y x x y y MN x x x x -----+=-=--+--()()()()()()122221111212112122kx x k x x kx x k x x x x ---+--+--=--()1221212|1||1|241x x k k x x x x k -=-=-=-++-所以AMN的面积1||122S MN=⨯⨯=|1|k =-，解得1k =或35k =-，又21k <且212k ≠，所以k 的值为35-.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4．点P在第一象限的双曲线上，过点P 作双曲线切线与直线12x =交于点Q ．(1)证明：22PF QF ⊥；(2)已知斜率为2-的直线l 与双曲线左支交于,A B 两点，若直线PA ，PB 的斜率互为相反数，求2PQF 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)94【分析】（1）由题知双曲线的标准方程为2213y x -=，进而设设0000(,),0,0P x y x y >>，在点P 的切线方程为00()y k x x y =-+，再与双曲线方程联立，结合位置关系得03x k y =，进而得00361,22x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据向量数量积的坐标表示证明220PF QF ⋅=uuu r uuu r 即可；（2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，直线l 的方程为2y x t =-+，进而与双曲线方程联立，结合韦达定理与0PA PB k k +=化简整理得00003260x y tx ty +--=，进而得002,3x y ==，此时结合（1）得1,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,3P ，()22,0F ，再计算面积即可.（1）解：因为双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为1F，2F ，焦距为4，所以，222242c c a c b a=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,c a b ===2213y x -=，因为过点P 作双曲线切线与直线12x =交于点Q ，故切线的斜率存在，所以，设0000(,),0,0P x y x y >>，在点P 的切线方程为00()y k x x y =-+，联立方程0022()13y k x x y y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222222000000(3)(22)230.k x k x ky x k x y kx y -+---+-=所以，0∆=，即22220000230.k x y kx y k +-+-=①因为220013y x =+，代入①式得202006930x k k y y -++=，解得003.x k y =所以，在点P 的切线方程为00003()x y x x y y =-+，所以点Q 的坐标为2200000331,22x y x Q y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即00361,22x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为020020633(2,),(,22x PF x y QF y -=--=，所以220033330,22PF QF x x ⋅=--+=所以，22.PF QF ⊥（2）解：由题，设直线l 的方程为2y x t =-+，与双曲线方程22213y x t y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩联立得22430x tx t -+--=，设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，所以212124,3x x t x x t +==+因为直线PA ，PB 的斜率互为相反数，所以0PA PB k k +=，所以，010201020.y y y y x x x x --+=--整理得：[]00012012121222()2()4()0.x y x x x t y x x x x t x x --++-+-++=②将212124,3x x t x x t +==+代入②整理得：00003260.x y tx ty +--=③结合2213y x -=可知002,3x y ==时，③式恒成立，所以，由（1）可知1,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,3P ，()22,0F ，所以，21393224PQF S =⨯⨯=所以2PQF 的面积94.【题型三】定点1：直线定点【典例分析】已知双曲线22:14x C y -=．(1)求双曲线C 的离心率；(2)若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)e =证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由双曲线标准方程得到,a c ，代入离心率公式即可.（2）联立双曲线与直线方程，根据以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，得到0AD BD ⋅=，再结合韦达定理即可求得m 与k 的关系，分别验算即可得到结果.（1）由双曲线的方程可知2a =，c ==2c e a ==．（2）设()11,A x y ()22,B x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()222148410k x mkx m ---+=，则()()22222140Δ64161410k m k k m ⎧-≠⎪⎨=+-+>⎪⎩，122814mkx x k +=-，()21224114m x x k -+=-()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=-，∵以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -，∴0AD BD ⋅=，∴()121212240y y x x x x ++++=，∴()2222224141640141414m m k mk k k k -+-++=---，∴22316200m mk k -+=，解得2m k =或103m k =．当2m k =时，直线l 的方程为()2y k x =+，直线l 过定点()2,0-，与已知矛盾；当103m k =时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，经检验符合题意∴直线l 过定点，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．.在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.【答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，直线AP 方程为2x my =+，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线BD 的方程，令0y =求出x 为定值，即可得解.（1）54=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）解：设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.【题型四】定点2：等角定点【典例分析】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右焦点F与点(M 的连线与其一条渐近线平行.(1)求双曲线C 的方程；(2)经过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于点A ､B ，试问是否存在一定点P ，使OPA OPB ∠=∠P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214y x -=(2)存在，P 【分析】（1）根据题意列出关于a,b 的等式，结合离心率即可求得a,b ，可得双曲线方程；（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于x 轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合OPA OPB ∠=∠可得PA ､PB 的斜率之和为0，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.（1）设(F c ，0)，由条件知FM 的斜率等于ba -，即b a ，又ce a ==，222c a b =+,2b ∴=，1a =，∴双曲线C 的方程为：2214y x -=.（2）存在点P 满足OPA OPB ∠=∠恒成立，且点P 在x 轴上.理由如下:设点(,0)P t ，l过点)F ，∴设直线:l x my =,由2214x my y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩,消去x得22(41)160m y -++=,264(1)0m ∆=+>,设11(,)A x y ，22(,)B x y由韦达定理得12241y y m +=--，①,1221641y y m ⋅=-，②OPA OPB ∠=∠，PA ∴､PB 的斜率之和为0，即12120y y x t x t +=--，因为11x my =22x my =所以代入整理得：12122)()0my y t y y ⋅++=，③将①②代入③可得2232)04141m t m m -=-，即81)0m -=,④④式对任意实数m 都成立，t ∴=5(5P ∴,即存在点P 满足OPA OPB ∠=∠恒成立，且点P 在x 轴上.已知双曲线C ：()222210,0x y ab a b -=>>的右焦点为(),0Fc ，离心率为2，直线2a x c=与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，且PF (1)求双曲线C 的标准方程；(2)设Q 为双曲线右支上的一个动点，证明：在x 轴的负半轴上存在定点M ，使得2QFM QMF ∠=∠．【答案】(1)2213y x -=(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线by x a=，则可求出交点P 的坐标，结合PF =与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；（2）设()()000,1Q x y x ≥，讨论当90QFM ∠=︒时求出点M ；当90QFM ∠≠°，设出点M ，由2QFM QMF ∠=∠可知221QM QF QMk k k -=-，化简利用恒成立，即可求出点M 的坐标.（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线2a x c =与渐近线b y x a =的交点为P ，由2a x cb y xa ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PF =22203a ab c c c ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23b =，又离心率为2，所以222224c a b a a +==，故21a =．所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=．（2）由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ．设()()000,1Q x y x ≥，则22013y x -=．①当02x =时，03y =±．因为290QFM QMF ∠=∠=°，所以45QMF ∠=︒，所以03MF QF y ===，所以()1,0M -，符合题意．②当02x ≠时，设()(),00M t t <．00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM yQMF k x t ∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221y y x t x y x t ⨯--=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭（结合正切倍角公式）．（i ）当00y ≠时，上式化简为()22200034440x y t x t t --+++=，又220013y x -=，所以20(44)340t x t t -++++=，对任意001,2x x ≥≠恒成立.所以2(44)0340t t t -+=⎧⎨++=⎩，解得1t =-，即()1,0M -．（ii ）当00y =，1t =-时，即()1,0M -也能满足2QFM QMF ∠=∠．综上，在x 轴的负半轴上存在定点()1,0M -，使得2QFM QMF ∠=∠．【题型五】定点3：圆定点【典例分析】已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点()2,3-，两条渐近线的夹角为60，直线l 交双曲线于,A B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点【分析】（1）由渐近线夹角得b a ±=，结合双曲线所过点可求得22,a b ，由此可得双曲线方程；（2）假设存在点(),0M m 满足题意，可知0MA MB ⋅=；假设直线l 方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得m 的值.（1）两条渐近线的夹角为60，∴渐近线的斜率b a ±=，即b或b =；当b 时，由22491a b -=得：21a =，23b =，∴双曲线C 的方程为：2213y x -=；当b =时，方程22491a b -=无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：2213y x -=.（2）由题意得：()22,0F ，假设存在定点(),0M m 满足题意，则0MA MB ⋅=恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()22=2=13y k x y x ⎧-⎪⎨-⎪⎩得：()()222234430k x k x k -+-+=，()2230Δ=361+>0k k ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，212243k x x k ∴+=-，2122433k x x k +=-，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()()()()22222222212122243142124433kk k k m k x x k m x x k m k k k +++=+-+++=-++--=0，()()()()()222222243142430k k k k m m k k ∴++-+++-=，整理可得：()()22245330k m m m --+-=，由2245=033=0m m m ⎧--⎨-⎩得：1m =-；∴当1m =-时，0MA MB ⋅=恒成立；②当直线l 斜率不存在时，:2l x =，则()2,3A ，()2,3B -，当()1,0M -时，()3,3MA =，()3,3MB =-，0MA MB ∴⋅=成立；综上所述：存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，:0l y =，则()1,0A -，()1,0B ，(),0M m ，()1,0MA m ∴=--，()1,0MB m =-，210MA MB m ∴⋅=-=，解得：1m =±；②当直线l 斜率不为0时，设:2l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22=+2=13x ty y x ⎧⎪⎨-⎪⎩得：()22311290t y ty -++=，()22310Δ=123+3>0t t ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，1221231t y y t ∴+=--，122931y y t =-，()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ∴⋅=--+=-+++()()()21212122222ty ty m ty ty m y y =++-+++++()()()2212121244t y y t mt y y m m =++-++-+()()()()222222291122121594420313131t t t mt m t m m m t t t +--+=-+-+=+-=---；当1215931m -=-，即1m =-时，0MA MB ⋅=成立；综上所述：存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形.(1)求双曲线C 的离心率；(2)已知4AB =，若直线,AM AN 分别交直线2ax =于,P Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)以PQ 为直径的圆过定点()4,0或()2,0-【分析】（1）当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，故AF FM =，列出方程，得到220a ac b +-=，求出离心率；（2）直线l 的斜率存在时，设出直线()4y k x =-，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线()11:22y AM y x x =++，得到1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得到2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，求出以PQ 为直径的圆的圆心和半径，得到以PQ 为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线l 的斜率不存在时，是否满足.（1）由已知得：(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2b y a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2ba c a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2（2）因为4AB =，所以24a =，解得：2a =，故24c a ==，22216412b c a =-=-=，所以双曲线方程为22:1412x y C -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120k xk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以12120,0x x x x +>>，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()()()()1221121212123423423312222224k x x k x x y y x x x x x x -++-+⎛⎫+=⎪+++++⎝⎭()()22221212221212221612832216322163331612824824833k k k k x x x x k k k k x x x x k k k ⎡⎤+⋅-⋅-⎢⎥⎡⎤-+---⎣⎦⎣⎦===++++⋅+⋅+--，()()()()()()1221121212342342332222k x x k x x y y PQ x x x x -+--+=-=++++()()()()()12121221121212121232483248182424k x x x x k x x x x k x x x x x x x x x x +---+---==++++++其中12x x -===所以()()1212121824k x x PQ x x x x -===+++则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为31,k ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为31k k ，所以以PQ 为直径的圆的方程为：()()22229131k x y k k +⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，整理得：()22619y x y k-+-=，所以以PQ 为直径的圆过定点()4,0，()2,0-，当直线l 的斜率不存在时，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，.以PQ 为直径的圆的方程为()2219x y -+=，点()4,0，()2,0-在此圆上，综上：以PQ 为直径的圆过定点()4,0，()2,0-.【题型六】定直线【典例分析】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F ==的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.【答案】(1)y =(2)存在，在定直线方程12x =上【分析】（1）由已知条件可得12PF F △为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c ,然后由渐近线公式可得答案.（2）对直线l 的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线1A M 和直线2A N 的方程，并联立利用韦达定理求解即可.（1）由12OP OF ==得2c =，且12PF PF ⊥所以12122,1.32PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩()22221212124162PF PF c PF PF PF PF+===-+即241216a +=解得1,a =又2224,a b c b +===,故双曲线的渐近线方程为by x a=±=.（2）由（1）可知曲线的方程为2213y x -=.（i ）当直线l 的斜率不存在时，()()2,3,2,3M N -，直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，（ii ）当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程为()(()()112220,,,,,y k x k k M x y N x y =-≠≠，联立()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222234430,k xk x k -+--=221212224430,,33k k x x x x k k +∴∆>+==--∴直线1A M 的方程为()1111y y x x =++，直线2A N 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得：()()21121111y x x x y x ++=--，两边平方得()()2222122121111y x x x y x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，又()()1122,,,M x y N x y 满足2213y x -=，()()()()()()()()()()()()222221212112122222121212121231111111111311x x y x x x x x x x x x x x x x y x xx-+++++++∴===---++---.22222222222222434143433394344343133k k k k k k k k k k k k k k ++++++---===++-+--+--，2119,12x x x +⎛⎫∴=∴= ⎪-⎝⎭，或2x =，（舍去).综上，Q 在定直线上，且定直线方程为12x =.【变式训练】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，一个焦点到该渐近线(1)求C (2)设A ，B 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，直线()9y k x =+与C 交于M ，N 两点，证明：直线AM 与BN 的交点在定直线上.海南省海口中学2023届高三上学期9月摸底考试数学试题【答案】(1)221339x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据渐近线方程得到ba=c 222c a b =+求出22,a b ，写出双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM 与BN 的方程，联立后求得交点横坐标满足13x =-.（1）双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，所以b a =又焦点(),0c到直线y =的距离d =c 又222c a b =+，所以23a =，239=b ，所以双曲线C 的标准方程为221339x y -=.（2）证明：联立方程组()221,3399,x yy k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，并整理得()()()222221318327130130k xk x k k ---+=-≠.设()11,M x y ，()22,N x y ，则21221813kx x k +=-，()21223271313k x x k +=--.设()9,A t -，()9,B t --（0t ≠），则得直线AM 的方程为()1199y ty t x x --=++，直线BN 的方程为()2299y ty t x x ++=++，两个方程相减得()21212999y t y t t x x x ⎛⎫+-=-+ ⎪++⎝⎭，①因为()()()()2112212121121299189999981k x t k x tt x x y t y t x x x x x x x x +++-+++--=-=+++++++，把上式代入①得：()()1212121829981x x x x x x x ++=++++，所以()()2222121221223271318291313291181831813k k k k x x x x x k x x k ⎡⎤+⨯-+⋅⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦===-+++-，因此直线AM 与BN 的交点在直线13x =-上.【题型七】定值【典例分析】．已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为224x y λ-=，代入点A 坐标求解.（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，与双曲线2214x y -=联立，根据且0,DE DF DG EF ⋅=⊥，结合韦达定理求解；（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，同上求解.（1）解：因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为224x y λ-=代入点A 坐标，解得4λ=所以双曲线C 的标准方程为2214x y -=（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，设()()1122,,E x y F x y ，联立y kx m =+与双曲线2214x y -=，化简得()()222418410k x kmx m -+++=，()()222Δ(8)444410km m k =-+->，即22410k m --<，则有12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=，所以()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-⋅+++=，所以()()2222244812404141m kmk km m k k +-+⋅+-⋅++=--，化简，得22316200m km k ++=，即()()31020m k m k ++=，所以12102,3m k m k =-=-，且均满足22410k m --<，当12m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾，当2103m k =-时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，与双曲线C 方程联立解得103E F x x ==，此时EF 也过点10,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，综上，直线EF 过定点10,03M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点8,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使GH 为定值23.【变式训练】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，点()6,4A 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点()10B ,的直线l 与双曲线C 交于,D E 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PD PE ⋅为常数？若存在，求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y -=；(2)存在，常数为10516．【分析】（1）由离心率得出222a b =，再代入已知点坐标求得,a b 得双曲线方程；（2）设()()1122,,,D x y E x y ，直线l 的方程为(1)y k x =-，代入双曲线方程，消去y 得y 的一元二次方程，由相交可得k 的范围，由韦达定理得1212,x x x x +，设存在符合条件的定点(),0P t ，计算出PD PE ⋅并代入1212,x x x x +化为关于k 的分式，由它是常数可求得t ，得定点坐标．（1）因为双曲线C的离心率为，所以222612b a ⎛=+ ⎝⎭，化简得222a b =.将点()6,4A 的坐标代入222221x y b b-=，可得2218161b b -=，解得22b =，所以C 的方程为22142x y -=.（2）设()()1122,,,D x y E x y ，直线l 的方程为(1)y k x =-，联立方程组()221,1,42y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得（1-222)k x 224240k x k +--=，由题可知2120-≠k 且Δ0>，即223k <且212k ≠，所以22121222424,1212k k x x x x k k ++=-=---.设存在符合条件的定点(),0P t ，则()()1122,,,PD x t y PE x t y =-=-，所以()()()()()2222211212121PD PE x t x t y y k x x t kx x t k ⋅=--+=+-++++.所以()()()()()2222222212441212kk k t k t k k PD PE k +--++++-⋅=-，化简得()()2222245421k t t t PD PE k -+-+-⋅=-+.因为PD PE ⋅为常数，所以22245421tt t -+--=-，解得134t =.此时该常数的值为2105416t -=，所以，在x 轴上存在点13,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，使得PD PE ⋅为常数，该常数为10516.【题型八】面积最值【典例分析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点与它的左、右两个焦点1F ，2F的距离之和为它的离心率与双曲线222x y -=的离心率互为倒数．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ．①当直线AB 的斜率存在时，求证：直线AB 与BC 的斜率之积为定值；②求△ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程．【答案】(1)2212x y +=(2)10x +=．【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；（2）①设()(),,,A A B B A x y B x y ，BA 的方程为(1)y k x =+，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达AB BC k k 化简即可；②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得ABC S 的表达式，结合k 的范围求解面积范围即可.（1）由椭圆的定义知2a =，双曲线222x y -=，故椭圆22221x y a b +=的离心率2e =，故a 1c =，1b =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）①证明：设()(),,,A A B B A x y B x y ，则(),A A C x y --．设直线BA 的方程为(1)y k x =+，联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得，()2222214220k x k x k +++-=，∴22421A B k x x k +=-+，()22242222121A B A B k y y k x x k k k k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴222142B A AB BCB A y y k k k k x x k +=⋅==-+-；②当直线AB 的斜率不存在时，可知22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎪⎝⎭，21,2C ⎛- ⎝⎭，故ABCS =当直线AB 的斜率存在时，由①知，22421A B k x x k +=-+，222221A B k x x k -=+，A B x x ∴-=221k =，A B AB x ∴-221k =+，点C 到直线AB 的距离d ==故211221ABCS k ⎛⎫=⋅⎪ ⎪+⎝⎭△==<故△ABC AB 的方程为10x +=．椭圆22468x y +=上有两点()8,A A y 和(),4T Tx -，0,0A T y x ><．点A 关于椭圆中心O 的对称点为点B ，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，1F 是椭圆的左焦点，2F 是椭圆的右焦点．(1)若点P 在直线AT 上，求点P 坐标；(2)是否存在一个点P ，满足21PF PF -=，若满足求出点P 坐标，若不存在请说明理由；(3)设AOP 的面积为1S ，BTP 的面积为2S，求12S S 的取值范围．【答案】(1)612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)不存在，理由见解析；(3)170,6⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）先求得A T 、两点坐标，进而可得直线AT 的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点P 坐标；（2）假设存在符合条件21PF PF -=P ，列方程去求点P 坐标，再以点(),2P t t -在椭圆内部去判别是否存在；（3）先求得12S S 的表达式()f t ，再去求()f t 的值域，进而求得12S S 的取值范围．（1）由点()8,A A y 和点(),4T T x -()0,0A T y x ><在椭圆22468x y +=上可得()8,1A ，()2,4T --，则直线AT 方程为132y x =-，又点(),2P t t -()0t ≠在直线AT 上，则1232t t -=-，解之得65t =，则612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）椭圆22468x y +=的两焦点())120,0F F 假设存在一个点P，满足21PF PF -=则点P一定在双曲线(22213x y x b-=≤的左半支上，由2251a b +=，可得(221348x y x -=≤又(),2P t t -()0t ≠，则2241,2348t t t -=∴=±，又因为点P 在椭圆内部，所以()224268t t +-<，得()()2,00,2t ∈-所以满足条件的点P 不存在．（3）两点()8,1A 、()8,1B --和()2,4T --在椭圆22468x y +=上，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，()()2,00,2t ∈-则直线OA 的方程为80x y -=，点(),2P t t -到直线OA 的距离d ==则AOP S =△11117222S OA d t =⋅==，同理直线BT 的方程为2100x y ++=，点(),2P t t -到直线BT 的距离d '==则BTP S =△2309113092222t t S BT d --'=⋅==令()()()1217,2,00,2309t S f t t S t==∈--，则()()()1217,0,230917,2,0309tt S tf t t S t t ⎧∈⎪⎪-==⎨-⎪∈-⎪-⎩由02t <<，可得3015t >，3096t ->，171703069t <<-，即171703096t t <<-由20t -<<，可得3015t <-，30924t -<-，1717030249t-<<-，即1717030924t t -<<-综上，()f t 的取值范围为170,6⎛⎫ ⎪⎝⎭则12S S 的取值范围为170,6⎛⎫⎪⎝⎭【题型九】参数最值与范围【典例分析】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．(1)求双曲线C 的离心率；(2)已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】(1)2；(2){2t t <-或}4t >【分析】（1）当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，故AF FM =，列出方程，得到220a ac b +-=，求出离心率；（2）直线l 的斜率存在时，设出直线()4y k x =-，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线()11:22y AM y x x =++，得到1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得到2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，由PDQ ∠为锐角可得到0DP DQ ⋅>，代入数据可得答案；再验证当直线l 的斜率不存在时，求出点P()1,3，()1,3Q -，同样利用0DP DQ ⋅>求解即可（1）由双曲线C ：22221x y a b -=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2b y a =±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2ce a==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kx k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式训练】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；(1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】(1)2213y x -=(2)(],12-∞-【分析】（1）根据通径226b PQ a==，直接求得23b a =，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；（2）通过对MP NQ MQ NP ⋅⋅+转化为()2FP FQ MF NF ⋅+⋅，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a ==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =，因此2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即,033m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为,033m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【题型十】与双曲线有关的应用题【典例分析】某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A ，B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过点O 的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A 的信号比接收到点B 的信号晚一秒（注：信号每秒传播0v 米）．在0t 时，测得机器鼠距离点O 为4米.(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图)，求0t 时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【答案】(1)()4,0(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险【分析】（1）设机器鼠位置为点P ，结合双曲线的定义求得P 点的轨迹方程，从而求得0t 时机器鼠所在位置的坐标.（2）先求得与y x =平行的P 点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.（1）设机器鼠位置为点P ，由题意，()5,0A -，()5,0B ，由题意可得0008PA PB v v v -=，即810PA PB -=<，可得点P 的轨迹以A ，B 为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，则点P 的轨迹方程为C ：()2214169x y x -=≥，。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习新人教A版高二选修1-1数学试题

2.2 双曲线（1）A 级基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。

高中数学双曲线练习题及答案

高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。

$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。

$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。

$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。

$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。

7 B。

23 C。

5 或 23 D。

7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。

A。

$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。

高二圆锥曲线基础练习题及答案

高二圆锥曲线基础练习题及答案一、选择题1. 下列关于椭圆的说法，正确的是：A. 所有椭圆都是对称图形。

B. 椭圆的离心率大于1。

C. 椭圆的长轴和短轴相等。

D. 椭圆的焦点个数与离心率有关。

答案：D2. 设椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，则该椭圆的离心率为：A. 3/5B. 1/2C. 2/3D. 5/6答案：C3. 下列关于双曲线的说法，正确的是：A. 所有双曲线都是开口向上的图形。

B. 双曲线的离心率等于1。

C. 双曲线的长轴和短轴相等。

D. 双曲线的焦点个数与离心率有关。

答案：D4. 设双曲线的长轴长度为8，短轴长度为4，则该双曲线的离心率为：A. 2B. 3/2C. 4/3D. 5/4答案：B5. 下列关于抛物线的说法，正确的是：A. 抛物线的焦点位于抛物线的顶点上。

B. 抛物线的离心率等于1。

C. 抛物线的长轴和短轴相等。

D. 抛物线的焦点个数与离心率有关。

答案：A二、填空题1. 设椭圆的长轴长度为12，短轴长度为8，则该椭圆的离心率为__________。

答案：2/32. 设直角双曲线的焦点到中心的距离为3，焦点到顶点的距离为5，则该直角双曲线的离心率为__________。

答案：4/53. 设抛物线的焦距为6，顶点到焦点的距离为4，则该抛物线的离心率为__________。

答案：3/2三、解答题1. 某椭圆的长轴长度为10，焦距为6，求离心率和短轴的长度。

解：设椭圆的离心率为e，短轴长度为b。

根据椭圆的定义，焦距的长度为ae，即6 = ae。

由此可以解得椭圆的离心率为e = 6/a。

又已知长轴长度为10，即2a = 10，解得a = 5。

将a = 5代入离心率的公式，可得e = 6/5。

由椭圆的定义可知，离心率e = √(1 - b²/a²)，代入已知的离心率和a的值，可得√(1 - b²/25) = 6/5。

将等式两边平方化简，得到1 - b²/25 = 36/25，即1 - b² = 36，解得b = √(1 - 36) = √(-35)。

高二(文科)双曲线基础练习题

高二〔文科〕双曲线练习题一、选择题1．a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，那么双曲线的标准程是〔〕A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，那么双曲线的标准方程是〔〕A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，那么P 到右焦点的距离是〔〕 A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是〔〕 A. 〔5，0〕、〔-5，0〕B. 〔0，5〕、〔0，-5〕 C. 〔0，5〕、〔5，0〕 D.〔0，-5〕、〔-5，0〕5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是〔〕A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A 〔1，0〕和B 〔)1,2的双曲线标准方程〔〕A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，那么三角形PAB 的面积为〔〕 A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是〔〕 A ．〔4，0〕、〔-4，0〕 B ．〔0，-4〕、〔0，4〕C ．〔0，3〕、〔0，-3〕 D ．〔3，0〕、〔-3，0〕10．双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，那么双曲线的标准方程是〔〕A ．1222=-y xB ．122=-y xC ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是〔〕 A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，那么双曲线标准方程是〔〕A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 13．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，那么k 的取值范围是〔〕 A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k14．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，那么2ABF ∆〔F 2为右焦点〕的周长〔〕 A ．28 B ．22 C ．14 D ．1215．方程x k y k22941--+=的曲线是双曲线，那么它的焦点坐标是 ( ) (A)(±13，0) (B)(0，±13) (C)(±13，0) (D)(0，±13)16．设双曲线2218y x -=的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,那么△PF 1 F 2的面积等于( )二、填空题17．双曲线虚轴长10，焦距是16，那么双曲线的标准方程是________________.18．双曲线焦距是12，离心率等于2，那么双曲线的标准方程是___________________.19．16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 20.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，那么椭圆的标准方程是___________________三、解答题21.求满足以下条件的标准方程(1)求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

新课标双曲线基础练习题

双曲线基础练习题题目：1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是题目：2．双曲线36x 2－49y 2＝1的渐近线方程是题目：3．双曲线5x 2－4y 2＝1与5x 2－4y 2＝k 始终有相同的（）（A ）焦点（B ）准线（C ）渐近线（D ）离心率题目：4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（）题目：5．设双曲线1by a x 2222=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是43c ，则双曲线的离心率是（）题目：6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（）。

题目：7．双曲线9x 2－7y 2＝1的离心率是。

题目：8．已知方程k 3x 2++k2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是。

题目：9．若双曲线2222k4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是。

题目：10. 曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（）。

（A ）焦点在x 轴上的椭圆（B ）焦点在y 轴上的双曲线（C ）焦点在x 轴上的双曲线（D ）焦点在y 轴上的椭圆题目：11. 双曲线4x 2－9y 2=1的渐近线方程是题目：12. 若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋3y=0，则此双曲线的标准方程是题目：13. 双曲线的两准线之间的距离是532，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是题目：14. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为题目：15. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±3x 的双曲线方程是（）。

题目：16. 方程m 3x 2-－2m y 2+=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）。

高二数学双曲线综合训练题.doc

双曲线综合训练题
1. 在双曲线113
122
2=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．
2. 已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？
3. 直线1+=kx y 与双曲线12
2=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
4.已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；
5. 如下图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．
6. 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．若4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为9
8，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．。

高二双曲线 - (答案)

第6讲双曲线随堂演练巩固1.已知双曲线2212yxa-=的一条渐近线为y=,则实数a的值为( )B.2D.4【答案】D【解析】由题意,=所以a=4.2.下列双曲线中,离心率为32的是( )A.2212x y-= B.2212yx-=C.22145yx-= D.22154yx-=【答案】C【解析】选项A1a b c,==,==所以e=ca==;选项B1a b c,=,===所以e=ca=选项C23a b c,=,===,所以32cea==;选项D23a b c,==,==,所以e=ca=.3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.22136yx-= B.22145yx-=C.22163yx-= D.22154yx-=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为22221(0yx aa b-=>,b>0),由题意知2239c a b=,+=,设1122()()A x yB x y,,,,则有:22112222222211x ya bx ya b⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=,⎪⎩两式作差得:22212122221212()124()155y y b x x b bx x a y y a a-+-===,-+-又直线AB的斜率是1501123--=,--所以将2245b a=代入229a b+=得2245a b=,=.所以双曲线的标准方程是22145y x -=. 4.(2011山东高考,文15)已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)和椭圆221169y x +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【答案】22143y x -= 【解析】由题意知22169a b +=-,即227a b +=, ①2=即22274a b a+=, ② 由①②得2243a b =,=.∴双曲线方程为22143y x -=.课后作业夯基基础巩固1.(2011安徽高考,文3)双曲线2228x y -=的实轴长是( )A.2B. C.4D.【答案】C【解析】双曲线方程2228x y -=化为标准形式为24x -218y =,∴24a =.∴a =2.∴实轴长2a =4.2.已知双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点2F ,|AB |1m F =,为左焦点,则△1ABF 的周长为( )A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【答案】B【解析】由双曲线的定义可知 |1AF |-|2AF |=2a ,|1BF |-|2BF |=2a , ∴|1AF |+|1BF |-(|2AF |+|2BF |)=4a . 又∵|2AF |+|2BF |=|AB |=m ,∴△1ABF 的周长为|1AF |+|1BF |+|AB |=4a +2m .3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.14-B.-4C.4D.14【答案】A【解析】∵221mx y +=可化为2211x y +=, 即2211x y -=,-∴2211a b m =,=-. 由题意22(2)b a ,=⋅,∴224b a =,即14m -=.∴14m =-.4.已知双曲线与椭圆221925y x +=的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为( )A.221124y x -= B.2214y x -= C.221412y x -= D.22112x y -= 【答案】C【解析】由于在椭圆221925y x +=中22259a b ,=,=,所以216c =,即c =4.又椭圆的焦点在y 轴上,所以其焦点坐标为(0,4)±,离心率45e =.根据题意知,双曲线的焦点也应在y 轴上,坐标为(04),±,且其离心率等于144255-=.故设双曲线的方程为22221(0y x a a b -=>,b >0),且c =4,所以a =12c =22222412a b c a ,=,=-=,于是双曲线的方程为221412y x -=.5.(2012山东临沂月考)若椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的离心率为则双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为( ) A.12y x =±B.2y x =±C.4y x =±D.14y x =±【答案】A=所以224a b =. 故双曲线的方程可化为222214y x b b-=, 故其渐近线方程为12y x =±.6.若在双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.e >B.1e <<C.eD.1<e <2 【答案】C【解析】由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上,其方程为2c x =,依题意,直线2c x =与双曲线的右支有两个交点,故应满足2c a >,即2c a >,得e >2,选C.7.双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率是2,则213b a +的最小值等于( )D.【答案】A【解析】依题意2c a =,所以2224a b a+=,得223b a =,于是221311333b a a a a a ++==+≥=当且仅当13a a=,即a ,故213b a+ 8.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(2),+∞D.[2),+∞ 【答案】D 【解析】过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于直线l 的倾斜角,已知直线l 的倾斜角是60,从而b a ≥故2c a≥.9.已知过点P (-2,0)的双曲线C 与椭圆221259y x +=有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程是 .【答案】y =【解析】由题意,双曲线C 的焦点在x 轴上且为12(40)(40)F F -,,,,∴c =4. 又双曲线过点P (-2,0),∴a =2.∴b ==∴其渐近线方程为b y x a=±=.10.已知圆C:22x y +-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案】221412y x -= 【解析】圆C:22648x y x y +--+=0与y 轴没有交点.由20680y x x =⇒-+=,得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a 22412c b =,=,=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=. 11.在直角坐标系xOy 中,过双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )交双曲线右支于点P ,若M 为FP 的中点,则|OM |-|MT |= .【答案】b -a【解析】设双曲线的右焦点为1F ,连接1PF ,在△1PFF 中,M 、O 分别是PF 、1FF 的中点,所以|OM |-|MT |=12|1PF |-1(2|PF |-|TF |1)(2=-|PF |-|1PF |)+|TF |=b -a .12.若双曲线的渐近线方程为34y x =±,求双曲线的离心率.【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a 、b 、c 、e .(1)若双曲线的焦点在x 轴上,则34b a =,b =34a ,c =54a ==.故5544ac e a a ===.(2)若双曲线的焦点在y 轴上,则34a b =,b =43a ,c =5a ==.故5353ac e a a ===.综上可知,双曲线的离心率为54或53.13.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上1F ,、2F 分别为其左、右焦点.双曲线的左支上有一点123P F PF π,∠=,且△12PF F 的面积为又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.【解】设此双曲线方程为22221(0yx a a b-=>,b >0),1200(0)(0)()F c F c P x y -,,,,,.在△12PF F 中,由余弦定理,得|12F F |2=|1PF |2+|2PF |22-|1PF |⋅|2PF |⋅c os 3π=(|1PF |-|2PF |2)+|1PF |⋅|2PF |, 即2244c a =+|1PF |⋅|2PF |.又∵12PF F S=∴1|1PF |⋅|2PF |⋅sin3π= ∴|1PF |⋅|2PF |=8.∴22448c a =+,即22b =. 又∵2c e a ==,∴223a =.∴双曲线的方程为223122y x -=. 14.已知双曲线C:221(01)1y x λλλ-=<<-的右焦点为B,过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使0OM ON ⋅=,点O 为坐标原点. 【解】设1122()()M x y N x y ,,,.由已知易求B(1,0),①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x =1, 设000(1)(1)(0)M y N y y ,,,->, 由0OM ON ⋅=,得01y =, ∴M (1,1),N (1,-1).又M (1,1),N (1,-1)在双曲线上,∴2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-.∵01λ<<,∴λ=②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为y =k(x -1).由 2211(1)y x y k x λλ⎧-=,⎪-⎨⎪=-,⎩得2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=. 由题意知:2(1)0k λλ--≠,∴221212222(1)(1)()(1)(1)k k x x x x k k λλλλλλλ----++=,=----. 于是22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=,-- ∵0OM ON ⋅=,且M 、N 在双曲线右支上.∴ 12121212000x x y y x x x x +=⎧⎪+>⎨⎪>⎩ ⇒ 222(1)11k k λλλλλλ-⎧=⎪+-.⎨⎪>-⎩⇒ 22(1)1110λλλλλλλλ-⎧>⎪-+-⎨⎪+->⎩23λ⇒<<.由①②,23λ≤<.拓展延伸15.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率e直线l 过A(a ,0)、B(0,-b )两点,原点O 到l.(1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若OM ⋅ON =-23,求直线m 的方程.【解】(1)依题意,直线l 的方程为1yx ab+=,-即bx -ay -ab =0,由原点O 到直线lab ==.又c e ==∴1b a =,=故所求双曲线的方程为2213x y -=.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设m 的方程为y =k x -1,则点M 、N 的坐标11()x y ,、22()x y ,是方程组22113y kx x y =-,⎧⎪⎨-=⎪⎩ 的解.消去y ,得22(13)660k x kx -+-=, ① 依题设2130k ,-≠,由根与系数的关系,知12x x +1222663131k x x k k =,=,--112212()()OM ON x y x y x x ⋅=,⋅,=+12y y =12x x +21212(1)(1)(1)kx kx k x x --=+-12()k x x ++1=22226(1)63131k k k k +-+--1=2631k +- 1. ∵23OM ON ⋅=-,∴2612331k +=-,-即12k =±. 当12k =±时,方程①有两个不等的实数根,故直线m 的方程为112y x =-或y =112x --.。

高考数学解答题双曲线斜率和积与四点共圆 Word版含答案

双曲线中的斜率和（积）问题例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．求l 的斜率.（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解法1：（设点解点）设直线AP 的方程为1)2(+-=x k y ，与双曲线C 的方程1222=-y x 联立，消去y 得到0488)12(4)21(222=-+--+-k k x k k x k ，根据韦达定理，得2221488k k k x x P A --+-=，故1224422-+-=k k k x P ，从而22211421)2(kk k x k y P P -+-=+-=.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，所以直线AQ 的方程为1)2(+--=x k y ，同理，可得：1224422-++=k k k x Q ，2221142k k k y Q -++=. 所以直线l 的斜率为11224412244211422114222222222-=-++--+--++--+-=--k k k k k k k k k k k k x x y y Q P Q P 解法2：设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得12,1222222121=-=-y x y x ，112222=-，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得： )1(22211111++=--=y x x y k PA ，)1(22212222++=--=y x x y k QA .因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA PA k k -=，所以，由)1(22212211++-=--y x x y 得)422()1(221212121--+-=--+x x x x y y y y . ② 由)1(22211122++=--y x x y 得)422()1(212211221--+-=--+x x x x y y y y . ③ 由②-③，得1221x x y y -=-，从而12121-=--=x x y y k PQ ，即l 的斜率为1-.解法3：（设而不求）将点A 代入双曲线方程得224111a a -=-，化简得42440a a -+=，22a ∴=，故双曲线方程为2212x y -=，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m km m k m k k ++-----=--，即(1)(21)0k m k ++-=，当012=-+k m 时，直线1)2(:+-=x k y l 过点A ，不合题意，舍去.,故1k =-.方法4.（同构双斜率）设过点A 的直线方程为1)2(+-=x k y ，直线l 的方程为m x k y +=0，联立解得00002,12k k mk k kk y k k k m x P P -+-=--+=，代入双曲线C 的方程1222=-y x 中，整理得0]4)1[(])2()1[(4]2)2(24[202000220=--++++-+-+-k m k k m k k m k m k ，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根21k k 、分别为直线AQ AP 、的斜率.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即021=+k k ，所以0)2()1(000=+++-k m k k m ，整理后分解得0)12)(1(00=-++m k k .因为直线l 不经过点A ，所以120≠+m k ，从而10-=k ，即l 的斜率为1-.方法5（齐次化联立）双曲线方程为2212x y -=，设()()1122,,,P x y Q x y ， ∵AP,AQ 的斜率之和为0，∴12121211022y y k k x x --+=+=--，故将双曲线方程为2212x y -=变形为：()()22221112x y -+--+=()*，且设直线()():211l m x n y -+-=，由()*式有：()()()()222214210x y x y ---+---=⎡⎤⎣⎦⇒()()()()()()22221421210x y x y m x n y ---+---⨯-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⇒()()()()()()()2241242144210m x n y m n x y +--+-----= ⇒()()()()()2211424441022y y n m n m x x --++--+=--,（两边同除以()22x -），即()()()24244410n k m n k m ++--+=，而12,k k 是此方程的两根. ∴1244042n m k k n -+==+m n ⇒=，故直线l 斜率为−1. 方法6：（曲线系）点A 处的切线方程为01=--y x ，设直线AP 的方程为)2(11-=-x k y ，AQ 的方程为)2(12-=-x k y ，PQ 的方程b kx y +=，则过这四条直线交点的二次曲线方程为0]1)1([]1)1([)1)((21=+--⋅+--+----y x k y x k y x b y kx λ.又因为双曲线过这些交点，比较xy 的系数得0)(121=--+--k k k λ.又由021=+k k ，所以1-=k .这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握. 但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法2和方法4也是不错的选择.方法5,6就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解，一些传统的几何问题正变着花样出现，比如2020年山东卷22题. 给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱.把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系xoy 中，已知点)0,17(),0,17(21F F -，且动点M 满足：2||||21=-MF MF ，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线21=x 上，过T 的两条直线分别交C 于B A ,两点和Q P ,两点，且满足 ||||||||TQ TP TB TA ⋅=⋅，求直线AB 与直线PQ 的斜率之和.解析：（1）因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F ，2F 为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设1(,)2T n ，设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=，则 22211112122*********,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】将双曲线的渐进线方程代如抛物线方程y=x2+1中化简得，由只有一公共点可知即，所以即，答案选C.【考点】1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系2.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】D【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C错．对于选项D:由外角平分线定理得：，故选D．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．3.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即。

因为，由图形的对称性可知，即。

因为，所以，即。

因为，所以。

故B正确。

【考点】双曲线的简单几何性质。

4.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为，若（是坐标原点），则双曲线C的离心率为____;【答案】【解析】，结合图形可知，为等腰直角三角形，F为焦点.可得，即.【考点】双曲线的几何性质.5.是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）焦点在轴上的双曲线渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．【答案】存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【解析】先根据（1）的条件设出双曲线的方程，再设双曲线上的动点，然后利用两点间的距离公式得出，结合，最后化简得到，根据二次函数的图像与性质确定的最小值（含），并由计算出的值，如果有解并满足即可写出双曲线的方程；如果无解，则不存在满足要求的双曲线方程.试题解析：由（1）知，设双曲线为设在双曲线上，由双曲线焦点在轴上，，在双曲线上关于的二次函数的对称轴为即所以存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.6.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，△PQF1是等腰直角三角形，且被F1F2分成两个全等的等腰直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a=（-1）c，即可得到该双曲线的离心率．【考点】求双曲线的离心率问题.7.已知中心在原点且焦点在x轴的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为____________．【答案】【解析】设此双曲线方程为，所以解得，所以此双曲线方程为。

不等式抛物线双曲线练习题及期末卷子

不等式练习题1、若a<0，-1<b<0，则有（）A 、a>ab>ab 2B 、ab 2>ab>aC 、ab>a>ab 2D 、ab>ab 2>a 2、若a<b<0，则下面命题中正确的是（） A 、a b a 11>- B 、a b a 11=- C 、a b a 11<- D 、不能确定 3、若a>b ，下列不等式中一定成立的是（） A 、ba 11< B 、1<a b C 、2a >2b D 、lg(a-b)>04、若a+b>0且b<0，那么a 、b 、-a 、-b 的大小关系是（） A 、a>b>-b>-a B 、a>-b>-a>b C 、a>-b>b>-a D 、a>b>-a>-b5、若-1<a<b<1，则下列不等式中成立的是（）A 、-2<a-b<0B 、-2<a-b<-1C 、-1<a-b<0D 、-1<a-b<1 6、“a+b>2c ”成立的一个充分条件是（）A 、a>c ，或b>cB 、a>c ，且b<cC 、a>c ，且b>cD 、a>c ，或b<c7、与不等式1232≥--x x 同解的不等式是（） A 、01≥-x B 、0232≥+-x xC 、lg （232+-x x ）>0 D 、02123≥--+-x x x x 8、若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A 、ab b a b a ab <+<+22 B 、ab b a abb a <+<+22 C 、b a ab ab b a +<<+22 D 、22ba ab b a ab +<<+ 9、设a,b ∈R ，且a+b=3，则2a +2b 的最小值是 10、若x ∈R ，则x 2与x-1的大小关系是11、若a>0,b>0，则a 4+b 4 a 3b+ab 312、已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边，比较大小：(a+b+c)2 2 (ab+bc+ac) 13、不等式x x 283)31(2-->的解集是14、已知1>x ，则11-+x x 的最小值是 15、已知不等式ax 2-5x+b>0的解集是{}23-<<-x x ，求不等式bx 2-5x+a<0的解集16、解下列不等式（1）12<-x （2）04232>-+-x x x17、已知x>0，求2-3x-x4的最大值18、求证：72223+<+19、若a 、b 为互不相等的正数，且a+b=1，求证：411>+ba不等式练习题一、选择题1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(21)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--ba 的最小值为 ( )(A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 94、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R );(3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个5、f (n ) =12+n －n , ϕ(n )=n21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n ) (C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n )6、设x 2+y 2 = 1, 则x +y ( ) (A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2 (C )有最小值－1 (D ) 有最小值－27、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( ) (A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}(C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝ 8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( ) (A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2 (D)a ＋c ＞b ＋c9、设集合M={x|13-+x x ≤0},N={x|x 2+2x-3≤0},P={x|322)21(-+x x ≥1},则有 ( ) （A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 ( )（A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）2611、若关于x 的不等式ax 2＋bx －2＞0的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, ，则ab 等于( ) (A)－24 (B)24 (C)14 (D)－1412、如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) (A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2) 13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式0)()(>x g x f 的解集是 ( ) (A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R 14、22+>+x xx x 的解集是 ( ) (A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式3331>--x的解集是 ( ) (A ) (－∞,1) (B ) (43,1 ) (C ) (43,1) (D ) R 二、填空题1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xxx121log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.4、a ≥0,b ≥0,a 2＋22b=1,则a 21b +的最大值是________.5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________.6、x ＞1时，f(x)=x ＋11612++x x x 的最小值是________，此时x=________.7、不等式log 4(8x －2x )≤x 的解集是________.8、不等式321141-〉-x x 的解集是________. 9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1－3a －a 2)x是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________. 10、设A={x|x ≥x1,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________. 三、解答题1、解不等式：1211922+-+-x x x x ≥7.2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.3、解不等式：65592+--x x x ≥－2.4、解不等式：2269x x x -+-＞3.5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 .【答案】【解析】设抛物线方程为，由已知可得双曲线的右焦点坐标为（3，0），所以，抛物线方程为.【考点】双曲线的性质与抛物线的方程2.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，求．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：(1)设双曲线方程为：，点代入得：，所以所求双曲线方程为：（2）直线的方程为：，由得：，．【考点】(1)双曲线的方程；（2）直线与双曲线的综合问题．3.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】将双曲线的渐进线方程代如抛物线方程y=x2+1中化简得，由只有一公共点可知即，所以即，答案选C.【考点】1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系4.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】抛物线的准线为，它与双曲线交于两点，则坐标为，抛物线的焦点，因为为直角三角形，则有，从而有，，因此，故选择B.【考点】圆锥曲线的性质.5.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．【答案】【解析】由已知设已知双曲线的焦半径为c，则且左右两焦点的坐标分别为：，又抛物线的焦点坐标为，由已知有即：，故应填入：．【考点】双曲线的离心率．6.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．7.若双曲线的离心率为2,则等于（）A．B．C．D．1【答案】D.【解析】由，又∵.【考点】双曲线的标准方程.8.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．9.若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得和的关系，进而利用求得和的关系，则双曲线的离心率可求．【考点】双曲线的简单性质．10.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【答案】B【解析】由题意，得，所以离心率＝，故选B．【考点】双曲线的几何意义．11.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为·＝0，所以,则|＋|＝=|2|=|2|=,故选B.【考点】1.双曲线的性质；2.向量加法和数量积的几何意义.12.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.13.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程14.已知F1、F2为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由余弦定理得,所以即由三角形面积得解得，因此P到x轴的距离为.【考点】双曲线定义15.我们把离心率为e＝的双曲线(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，是双曲线的实轴顶点，是虚轴的顶点，是左右焦点，在双曲线上且过右焦点，并且轴，给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】D【解析】①由双曲线x2－＝1，可得离心率e=，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；②由b2=ac，可得c2-a2-ac=0，化为e2-e-1=0，又e＞1，解得e，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；③如图，由∠F1B1A2=90°，可得|B1F1|2+|B1A2|2＝|F1A2|2，可得b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2-ac-a2=0，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；④如图，由∠MON=90°，可得MN⊥x轴，|MF2|＝，可得△MOF2是等腰直角三角形，得到c=，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线．【考点】圆锥曲线的综合应用.16.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】【解析】根据正弦定理与题中等式，算出=e（e是椭圆的离心率）．作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得＝e，所以|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），将|PF1|、|PF2|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF2|+|PF1|=2a解出x=．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围．【考点】(1)正弦定理；（2）椭圆的定义；（3）椭圆的几何性质.17.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义，渐近线方程18.已知，，，则动点的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.19.过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .【答案】8【解析】由题可设双曲线方程为：，把代入得=1，所以双曲线方程为：，设双曲线右焦点为，∵P在双曲线右支上及由双曲线定义可知，∴，当点P为线段与双曲线交点时.【考点】1.双曲线的定义；2.双曲线的标准方程；3.双曲线的几何性质.20.已知，，，则动点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.21.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为双曲线的方程为，故，所以该双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】双曲线的性质.22.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这个方程相信读者一定可以化简出最终结论（无非就是移项平方去根号），但如果考虑到方程中各式子的几何意义的话，可能解法更好，此方程表示点与到点的距离比到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线，只不过是右支。

(word)《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例例1讨论= i表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 2\_k 9-k分析：由于R H9,R H25,贝IJR的取值范围为R <9, 9vRv25, k <25 , 分别进行讨论.解：（1）当R <9时，25-R >0,9-k >0,所给方程表示椭圆，此时a2 =25-k , b'=9-k, c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点（一4, 0）, （4, 0）.（2）当9vRv25时，25-《>0, 9-《<0,所给方程表示双曲线，此时，a2 =25-k , b~ =9-k , c2 =a2 4-Z?2 =16 ,这些双曲线也有共同的焦点（—4,0）,）（4, 0）.（3）Rv25, R = 9, k = 25吋，所给方程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线.称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些R值，画出其图形，体会一下儿何图形所带给人们的美感.典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）过点,且焦点在坐标轴上.（2）C=yf6 ,经过点（一5, 2）,焦点在X轴上.（3）与双曲线三—22 = 1有相同焦点，且经过点（3^2,2）解：（1）设双曲线方程为-4-^ = 1•・• P、。

两点在双曲线上,*> r・•・所求双曲线方程为菩+辱=116 9说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求啲目的.（2） T 焦点在x 轴上，c = V6 ,・••设所求双曲线方程为：—-^- = 1 （其中Ov 久V6） A 6 —A•・•双曲线经过点（一5, 2）, -一 =1 2 6-2・・・/1 = 5或久=30 （舍去）・・・所求双曲线方程是—-r = 1 5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.（3）设所求双曲线方程为：丄——=1（0</1<16）16-A 4 + 2•・•双曲线过点（3屁）,•••几=4或久=一14 （舍）・・・所求双曲线方程为器违“ 说明：（1）注意到了与双曲线二-二=i 有公共焦点的双曲线系方程为16 4-」一=1后，便有了以上巧妙的设法.16-X 4 + X（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方而.典型例题三例3已知双曲线卫-匸=1的右焦点分别为什、化，点P 在双曲线上的左9 16 -支上且『斤『耳| = 32,求牛PF,的大小.9 225 —I ----- /n = -16n = 9分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：•・•点P在双曲线的左支上・・・|昭-啓1 = 6:.\PF l[+\PF2『一2『引P可=36・・・|耐+啓『=100・.•応=4C2= 4（a2 +矿）=100・•・ ZFfF, = 90°说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题冃的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.典型例题四*7例4已知仟、化是双曲线= 1的两个焦点，点p在双曲线上且满足ZFfF. = 90°,求山/代的面积.分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积.解:VP为双曲线—-F = l上的一个点且尸「化为焦点.4 ・・••阳 - |P 坊 || =加=4,応耳 | = 2c = 245I ZFfF： = 90°・••在RZF化中，『斤f+『览『=応&『=20・・・㈣-阿『=附+阿-2|P引P鬥=16・•・20_2|呵阴=16・・・|卩斤卜『耳| = 2・・・Sw耳弓阿|・|P可=1说明；双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.典型例题五例5已知两点斤（-5,0）、化（5,0）,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.*•' c = 5 > a = 3h~ =c2_a2 =52 -32 =42 = 16・••所求方程乂-乂=1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.9 16说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带來的繁琐运算.（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.典型例题六例 6 在^ABC中，BC=2,且sinC-sinB = 1sinA ,求点 A 的轨迹.2分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题, 如何建系呢？解，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 则〃（一1,0）, C（LO）・设A（x, y）,由sinC-sinB = gsin A及止弦定理可得：\AB\-\AC[ = ^\BC\ = 1I BC=2・••点A在以3、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：•>r二-匚= l（a>0・b>0）4・•・所求双曲线方程为4x2-^ = l3•・・网_阳=1>0/. x > —2・••点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7求下列动圆圆心M的轨迹方程：(1)与OC：(x+2)2 + y2 = 2 内切,且过点A(2,0)(2)与G)G： x2+(y-l)2=l#OC:： F + (y + l)：=4 茴］夕卜切.(3)与ocXx+s^ + r=9外切,且与©c2：(x-3)2+r = 1 内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的OC^ OC,的半径为/;、□且/;>/;,则当它们外切时，|qoJ = /; + i当它们内切时，解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为广(1) 与OM内切，点A在OC外\MC\ = r-41^ \M/\ = r t \M^-\MC\ = j2・••点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：a = , c = 2 »b2 =c2 -a2 =—2 2- •>・•・双曲线方程为2x2 -竽=心<-V2)(2)・・・0M与Oq、(DC,都外切|A/q| = r + l, |A/G| = r+2,|A/G|-|A/CJ = 1・••点M的轨迹是以q为焦点的双曲线的上支，且有：1 ，厂、r 3a = — , c = l, =—2 4・•・所求的双曲线的方程为：.r 4x2（、3）4y --------- = 1 y > —3 I/4 丿（3） TOM与OC\外切，且与（DC,内切|A/q| = r + 3, |MG| = r-l, |A/q|-|MG| = 4・••点M的轨迹是以C\、C,为焦点的双曲线的右支，且有：a = 2, c = 3, b2 =c2 -a2 = 5・・・所求双曲线方程为：4 5 V 7说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.（3）通过以上题日的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.典型例题八例8 在周长为48的直角三角形A/PN中，ZMPN=90。

高二双曲线习题及答案典藏

双曲线习题及答案典藏1．有一凸透镜其剖面图〔如图〕是由椭圆22221x ya b+=和双曲线22221(0)x ya mm n-=>>的实线局部组成，两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两局部实线上运动，那么周长的最小值为: 〔〕A.2()a m- B.()a m- C.2()b n- D.2()a m+2．双曲线2221(0)2x ybb-=>的两条渐近线互相垂直，那么e=〔〕3．椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点P对两公共焦点1F，2F张的角为123F PFπ∠=.椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，那么〔〕A.221231144e e+= B.221213144e e+= C.22124413ee+= D.22214413ee+=4．双曲线2222:1x yEa b-=的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，ABM为等腰三角形，且外接圆面积为23aπ，那么双曲线E的离心率为〔〕115．P为双曲线()2222:1,0x yC a ba b-=>上一点，12,F F分别为C的左、右焦点，212PF F F⊥，假设12PF F∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，那么C的离心率为〔〕B.2D.2或36．点F 1、F 2分别是双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，那么ΔPF 1F 2的内切圆半径r 的取值范围是〔〕A ．(0,√3)B ．(0,2)C ．(0,√2)D ．(0,1)7．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，假设对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，那么t 的最大值是〔〕A B C ．2 D 8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，假设22::3:4:5AB BF AF =，那么双曲线C 的离心率为〔〕A ．2B ．4C D 9．0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的2C 的渐近线方程为〕A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．如下图，直线l 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，那么双曲线C 的离心率为〔〕A.2B.3C.2D.311．以椭圆22195x y+=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别是12,F F，点M的坐标为(2,1)，双曲线C上的点00(,)P x y00(0,0)x y>>，满足11211121PF MF F F MFPF F F⋅⋅=，那么12PMF PMFS S∆∆-=〔〕A．2B．4C．1D．1-12．双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF=，那么此双曲线的离心率e的最大值为〔〕A.43B.53D.7313．椭圆()222210x ya ba b+=>>，与双曲线()222210,0x ym nm n-=>>具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，假设∠F1PF2＝3π，那么2212e e+的最小值是A B．2C D14．12F F，是双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左，右焦点，P是双曲线上一点，且12PF PF⊥，假设∠12PF F的内切圆半径为2a，那么该双曲线的离心率为1115．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB ＝，那么双曲线的离心率为〔〕A ．3B C D ．216．12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，假设双曲线右支上存在点A ，使1230F AF ∠=，且线段1AF 的中点在y 轴上，那么双曲线的离心率是〔〕C.2D.17．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点,A B ，假设2AB BF =，那么C 的离心率为A B ．5+C D 18．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2221(0)4x y a a -=>上的一点C 作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，假设平行四边形OACB 的面积为3，那么该双曲线的离心率为〔〕A ．3BC D 19．1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，假设122r r =，那么直线l 的斜率为〔〕A.1C.2D.20．F 1,F 2是双曲线2222C :1(00)x y a b a b-=>>，的左右焦点，假设直线y =与双曲线C 交于P,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，那么双曲线的离心率为〔〕A1B 1C ．5-D ．5+21．双曲线2221(0)4x y b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直，假设12F PF ∠的角平分线恰好过点()1,0，那么12PF F △的面积为 A ．12 B ．24 C ．36 D ．4822．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，假设点A 平分线段1F B ，那么该双曲线的离心率是( )B.2+C.2123．设A ，B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，假设向量()0,2n =，3AB =且1AB n n⋅=-，那么双曲线的离心率为〔〕A.2或4B.3或4C.3D.324．点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心〔三角形12PF F 内切圆的圆心〕，假设121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥〔1212,,IPF IPF IF F S S S ∆∆∆分别表示1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆的面积〕恒成立，那么双曲线的离心率的取值范围为〔〕 A.(]1,2B.()1,2C.()2,3D.(]2,325．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得那么该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．326．图∠∠∠中的多边形均为正多边形，M ，N 分别是所在边的中点，双曲线均以图中1F ，2F 为焦点.设图∠∠∠中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，那么〔〕A.123e e e >>B.321e e e >>C.213e e e >=D.132e e e =>27．,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=〔O 为坐标原点〕，直线,PA PB 的斜率记为,m n ，那么224n m +的最小值为〔〕A ．8B ．4C ．2D ．128．双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．假设|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF 与FB 反向，那么该双曲线的离心率为( )A.2C.22115y x -= D.5 229．过双曲线的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，那么22PM PN -的最小值为〔〕 A ．10B ．13C ．16D ．1930．椭圆C 1：=1〔a ＞b ＞0〕与双曲线C 2：x 2﹣=1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么〔〕 A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=231．12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A.3B.3C.D.32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,假设双曲线上存在点P ,使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠,那么该双曲线的离心率e 范围为( )A.〔1,1B.〔1,1C.〔1,1D.〔1,133．12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,那么该双曲线的离心率为D.234．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，那么〔〕A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+= 35．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，假设四边形AOBF 的面积为()2212a b +，那么双曲线C 的渐近线方程为〔〕A．2y x =±B．y =C ．y x =±D ．2y x =±36．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点1F 的直线l 的倾斜角θ满足tan 13θ=，假设直线l 分别与双曲线的两条渐近线相交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点2F ，那么该双曲线的离心率为( )37．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，假设以线段12A A 为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，O 为坐标原点，230PF O ︒∠=，那么双曲线的离心率为〔〕AB ．2CD38．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，那么双曲线C 的离心率是〔〕A.2或3B.22D.3239．过双曲线()222210,0x y a b a b-＝＞＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，那么双曲线离心率的取值范围为〔〕A.(B.(C.D.40．双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=，假设01230PF F ∠=，那么双曲线的离心率为〔〕B.2C. D.341．设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，两条渐近线分别为l 1、l 2，过F 作平行于l 1的直线依次交双曲线C 和直线l 2于点A 、B ，假设FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(2,3)，那么双曲线离心率的取值范围是 A.(1,√2) B.(√62,√2)C.(√2,√3)D.(√62,√3)二、填空题42．点12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，假设2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2[,)3PQF ππ∠∈，那么双曲线离心率e 的取值范围为______.43．1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.44．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点, AB 为过1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),假设11||3||BF AF =,223||||||AB AF BF =+,那么此双曲线的离心率为______．45．设F 为双曲线2222:1x y C a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2||AF BF =，那么双曲线C 的离心率____.46．点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，那么线段长的最小值是__________．47．过双曲线x 2a2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，那么双曲线的离心率为______．48．设P 为双曲线2213625x y -=右支上的任意一点， O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A , B 两点，那么平行四边形PAOB 的面积为__________．49．以下关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号___________．〔写出所有真命题的序号〕。

高考数学专题14双曲线(基础篇 )解析版 Word版含解析

《2016艺体生文化课-百日突围系列》双曲线的定义与标准方程【背一背基础知识】1．双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．双曲线的定义用符号语言表示：()1212202MF MF a a F F -=<<． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -．(2) 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程：()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -．其中,,a b c 几何意义：a 表示实轴长的一半，b 表示虚轴长的一半，c 表示焦距长的一半．并且有222c a b =+．(3)当a b =时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为222x y a -=或222y x a -=．【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）高考中对于双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的定义、标准方程、焦点坐标、离心率以及渐近线方程等基础知识；（2）求双曲线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上．“定式”就是根据“形”设出双曲线的具体形式，若焦点在x 轴上，则设方程为()222210,0x y a b a b -=>>；若焦点在y 轴上，则设方程为()222210,0y x a b a b-=>>；若焦点位置不确定，可设方程为()2210Ax By AB +=<．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数,a b 或,A B ． 2．典型例题例1．设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点是()1,0，则C 的方程为．【答案】221x y -=【解析】由题意知：c =1a =，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=．例2．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．【分析】利用已知条件结合双曲线的定义与勾股定理求解．【方法总结】双曲线定义的应用：(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线；(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．【练一练趁热打铁】1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝ ( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对【答案】B【解析】由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17．2．已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =【考点定位】双曲线的焦点.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222c b a =+．3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ）A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48【答案】C ．双曲线的几何性质【背一背基础知识】双曲线的简单几何性质以()222210,0x y a b a b-=>>为例．(1)范围：,x a y R ≥∈；(2)对称性：对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为()0,0O ； (3)顶点：()()()()1212,0,,0,0,,0,,A a A a B b B b ---实轴长图1122A A a=，虚轴长122B B b=；(4)离心率cea=，1e>．e越小，双曲线越扁；e越大，双曲线越开阔．(5) 双曲线的渐近线方程：by xa=±．总结可得如下表格：【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有公共渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y a b λλ-=≠；（2）等轴双曲线的离心率e =y x =±．2．典型例题例1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.例2．双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C的焦距等于（）A ．2 B． C ．4 D ．【答案】C例3若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、3 B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22221x y a b-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a =可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 【方法总结】求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a ，c 的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．另外，需注意双曲线的离心率e 大于1，防止产生增解．【练一练趁热打铁】1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.2．若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（） A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【答案】D【解析】05k <<，则50k ->，160k ->，双曲线221165x y k-=-的实半轴长为4，，焦距为=4，双曲线221165x y k -=-=D ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x【答案】C ．4．过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（）A.112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 【答案】A【解析】因为12222=-b y a x C ：的渐近线为by x a =±，所以(,)A a b 或(,).A a b -因此OA=c=4,从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60,2,ba b a ===双曲线C 的方程为112422=-y x ．（一）选择题（12*5=60分）1．双曲线2221x y -=的离心率为（） ABCD【答案】B ．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：2222222222131,,1,,3,11222x y c a b c a b e e a -=∴===+=∴==∴=B ． 2．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y =D ．y x =±【答案】B3．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A B C D ．4【答案】A ．【解析】2222,b AB c b ac a==∴=，又222222,,10,b c a c a ac e e e =--=∴--=∴=． 4．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为（）A ．y =B ．y x =C ．13y x =±D ．3y x =± 【答案】A【解析】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为()20c c >，则c =线方程20x y a --=中，令0y =，解得2x a =，即直线20x y a --=与x 轴交于点()2,0a ，则有2a c =，b ∴===，故双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为by xa=±，即y x=±，即y=．5．若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线E上，且13PF=，则2PF等于（）A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．6．过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )【答案】D【解析】由题意，a＝1，b＝c＝2，渐近线方程为y将x＝2代入渐近线方程，得y1，2＝±故|AB|＝ D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )（A （B ）（C （D【答案】C8．设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）(A) 3 (B) (C) 73(D)【答案】A【解析】如下图所示，9．设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（） (A) 12±(B) 2± (C) 1± (D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c A a b a c A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙A A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-ab a b ac a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.10．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 12．双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在右支上，且PF 1与圆x 2＋y2＝a 2相切，切点为PF 1的中点，F 2到一条渐近线的距离为3，则的面积为（）A 、9B 、3CD 、1 【答案】A ．【解析】由题意知1221290,3,tan2F PF b F PF b S θθ∆=∠=︒==．故选A ．（二）填空题（4*5=20分）13．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x . 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a2a＝c 2a2－1＝e 2－1. 14.过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】2【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率. 本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为13x +=-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=116622⨯⨯⨯⨯【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.16．设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为．【答案】112322=-y x ；x y 2±=。

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高二（文科）双曲线练习题一、选择题1．已知 a=3,c=5 ，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（）A． x 2y21 B.x2y 2 1 C.x2y2 1 D . x 2y21 9169169161692．已知b4,c5,并且焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程是（）A． x 2y21 B.x 2y 21C. x 2y 21D. x 2y21 1691699169163． . 双曲线x2y2 1 上P点到左焦点的距离是6，则 P 到右焦点的距离是（）169A.12B. 14C. 16D. 184． . 双曲线x2y2 1 的焦点坐标是（）169A.（ 5， 0）、（ -5 ， 0）B. （ 0， 5）、（ 0， -5 ）C. （0， 5）、（5， 0）D. （ 0， -5 ）、（ -5 ， 0）5、方程( x5) 2y 2( x5) 2y26化简得：A． x 2y2 1 B.x 2y 21C. x 2y 2 1 D.x 2y 219161699161696．已知实轴长是6，焦距是10 的双曲线的标准方程是（）x 2y 21和x2y 21 B.x 2y 21 和x 2y2A． .1691691616199C. x 2y21和x2y2 1D.x2y2 1 和x2y 21169169251616257．过点 A（ 1， 0）和 B（2,1)的双曲线标准方程（）A．x2 2 y 2 1 B． x 2y2 1 C． x 2y2 1 D.x 22y 218． P 为双曲线x 2y 2 1 上一点， A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直 PB ，则三角形 PAB 的169面积为（）A．9B ．18C． 24 D ． 369．双曲线 x2y 2 1 的顶点坐标是（）169A ．（ 4， 0）、（ -4 ，0）B ．（ 0， -4 ）、（ 0， 4）C ．（ 0， 3）、（ 0， -3 ）D ．（3， 0）、（-3 ， 0）10．已知双曲线 a 1， e 2 且焦点在 x 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ． x 22 y 2 1 B ． x 2y 21 C ． x 2y 21 D.x 2 2y 2111．双曲线 x2y 2 1 的的渐近线方程是（）169A ． 4x 3 y 0B ． 3x 4 y 0C ． 9x 16 y 0D ． 16 x 9y 012．已知双曲线的渐近线为3x 4y0 ，且焦距为 10，则双曲线标准方程是（）A ． x 2y 21 B.x 2y 21 C.x 2 y 2 1 D. x 2 y 2 1916169916 16913．方程 x 2y 2 1表示双曲线，则k 的取值范围是（）1 k1 kA ． 1 k 1B ． k 0C ． k 0D ． k 1或 k 114．过双曲线 x2y 2 1左焦点 F 1 的弦 AB 长为 6，则 2为右焦点）的周长（）169ABF 2（ FA ． 28B．22C ． 14D ． 12 15．方程x 2y 21 的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是( )9 k4 k(A)( ± 13， 0) (B)(0，± 13) (C)(±13 ，0)(D)(0，± 13 )16．设双曲线 x 2y 2 1 的两个焦点为 F 1 , F 2 ，P 是双曲线上的一点，且 | PF 1 |:| PF 2 |=3: 4 , 则△8PF 1 F 2 的面积等于 ( )A.10 3B.8 3C.8 5D.16 5二、填空题17．已知双曲线虚轴长 10，焦距是 16，则双曲线的标准方程是 ________________.18．已知双曲线焦距是 12，离心率等于 2，则双曲线的标准方程是___________________.19．已知x 2y 2 1表示焦点在 y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是 ___________.5 tt620. 椭圆 C 以双曲线 x 2 y 2 1 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题21. 求满足下列条件的标准方程22(1) 求以椭圆xy1的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

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