长郡双语初三数学第一模拟
2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷及答案解析
2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9 4．（3分）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．两点的距离最短D．以上说法都不对5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（）A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对7．（3分）如图，AB是半圆O直径，C，D是圆上的两点，∠BAC＝38°，则∠D的度数为（）A．138°B．128°C．52°D．126°8．（3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断9．（3分）如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布：年龄（岁）13141516人数（名）1452则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（）A．极差是4B．中位数是14.5C．众数是15D．平均数是1510．（3分）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2（单位：m）需满足（）A．0＜L2≤4B．L2＜4C．L2＞4D．L2≥4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：3a﹣12ay2＝．12．（3分）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．13．（3分）若圆锥的底面半径是2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是．14．（3分）如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG＝50°，则∠DEF＝．15．（3分）一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是．16．（3分）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC＝45°，到A点的仰角∠ADC ＝60°，若BC＝3米，则旗杆的高度AC＝米．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣5．19．（6分）阅读材料，完成下面问题：如图，点A是直线EF外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．①在直线EF上任取一点B，画线段AB．②以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交直线BF于点N．③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点C，画射线BC．④以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BC于点D，画直线AD．（1）利用△MBC≌△NBC，可得到BC平分∠ABF．请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；（2）若∠ABF＝60°，AB＝4，求线段BD的长．20．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．21．（8分）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF 所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积．22．（9分）【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．【提出问题】实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：水平距离x/m0245689竖直高度x/m2 3.2 3.6 3.5 3.22 1.1根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．【解决问题】（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．23．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽MN所在的直线是圆O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，PC是圆O的直径时，解决下面的问题：（1）求证：∠BAP＝∠MPB；（2）求证：MP2＝MA•MB；（3）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转90°后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”，点N叫作点M的“后凡尔赛点”．（1）函数①y＝2x，②，③y＝x2，其中是“凡尔赛函数”的是；（填序号）（2）若一次函数y＝kx+2是“凡尔赛函数”，点P（m，n）（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；（3）若点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与x轴交于C、D两点，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围．25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝4，D是BC的中点．经过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，连接BE．（1）求AE和BE的长；（2）如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接PQ．①记AP＝x，当△PQC的面积最大时，求x的值；②如图3，连接BP并延长交⊙O于点F，连接AF、FE．当BE平分∠FBC时，求sin∠ABF的值．2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．【解答】解：∵，故选：C．【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．2．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．3．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．故选：B．【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．4．【分析】根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答．【解答】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，∴这样做的道理是：两点确定一条直线．故选：B．【点评】本题考查了直线的性质公理，确定出两点是利用公理的关键，是需要熟记的内容．5．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1，该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．6．【分析】由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出x表示规定的时间．【解答】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，∴表示慢马的速度，表示快马的速度；∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，∴x表示规定的时间．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出x的含义是解题的关键．7．【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝52°，然后利用圆内接四边形对角互补，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝38°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝52°，∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝128°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52＝25，∴这个三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及非负数的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．9．【分析】根据极差、中位数、众数和平均数的定义分别对各选项进行判断．【解答】解：观察图表可知：这12名队员的年龄的极差为16﹣13＝3．共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是15．人数最多的是5人，年龄是15岁，故众数是15．平均数为（13+14×4+15×5+16×2）÷12≈14.7．故选：C．【点评】本题考查了极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．也考查了中位数、众数和加权平均数．10．【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式，然后根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得到动力臂L2的取值范围．【解答】解：阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为F1＝，∵点（0.5，1200）在该函数图象上，∴1200＝，解得k＝600，∴阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为F1＝，∴F1L1＝600，∵F1L1＝F2L2＝600，∴当F2＝150时，L2＝4，∴小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2（单位：m）需满足L2≥4，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝3a（1﹣4y2）＝3a（1+2y）（1﹣2y）．故答案为：3a（1+2y）（1﹣2y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12．【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．故答案为：随机事件．【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．13．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．【分析】先根据翻折变换的性质求出∠EFB的度数，再由平行线的性质求出∠AEF的度数，根据平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵四边形HGFE由四边形ABEF翻折而成，∴∠EFB＝∠GFE，∵∠CFG＝50°，∴∠EFB+∠GFE＝180°+50°＝230°，∴∠EFB＝115°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝115°．故答案为：115°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．15．【分析】利用函数图象，写出直线y1＝4x+5在直线y2＝3x+10上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察函数图象得x＞5时，一次函数y1＝4x+5的图象在函数y2＝3x+10的图象的上方，故y1＞y2的解集是x＞5．故答案为：x＞5．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．16．【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC＝45°，求出DC＝BC＝3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC＝60°即可求出AC的高度．【解答】解：在Rt△BDC中，∵∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝3米，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝60°，∴AC＝DC tan60°＝3×＝3（米）．故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：原式＝1+（2﹣）+2×+4＝1+2﹣++4＝7．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】先用完全平方公式和平方差公式对整式进行化简，再将数值代入，即可求出结果．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y．当x＝3，y＝﹣5时，原式＝3﹣2×（﹣5）＝13．【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是运用公式法和代入法来解答．19．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）过点A作AH⊥BD，求得，进而得到，．【解答】（1）解：由作图得BM＝BN，CM＝CN，在△BCM和△BCN中，，∴△BCM≌△BCN（SSS），∴∠MBC＝∠NBC，∴BC平分∠ABF，故答案为：SSS；（2）证明：过点A作AH⊥BD，由作图得AB＝AD，∴BD＝2BH，∵BC平分∠ABF，∴，在Rt△ABH中，AB＝4，∠ABH＝30°，∴，∴．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．20．【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量，根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（2）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（3）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数；（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样的样本容量为＝60，C组的人数为40%×60＝24（人），统计图如下：故答案为：60；（2）A组所占的百分比为×100%＝20%，即a＝20，β＝40%×360°＝144°，故答案为：20，144°；（3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×（20%+30%）＝1000（名）；（4）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，∴恰好选中甲和乙的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得BO＝DO＝CO＝AO＝6，进而得到OF＝2，由四边形ABCD 是菱形得到EF＝4，AC⊥EF，菱形AFCE的面积＝24．【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴BO＝DO，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，∴AC•BD＝72，∴×4BO2＝72，∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，∴AC＝12，∵BF＝4，∴OF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面积＝AC•EF＝24．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．22．【分析】（1）根据图表即可求解；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，通过图表求出抛物线的顶点，再代入（0，2）即可求出解析式；（3）把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．【解答】解：（1）由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x＝0时y的值，通过图表可得当x＝0时，y＝2，得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，由当x＝2时，y＝3.2；当x＝6时，y＝3.2，可得对称轴为直线x＝4，则当x＝4时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当x＝4时，y＝3.6，得实心球在空中的最大高度是3.6米，故答案为：2，3.6；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由（1）得抛物线的顶点坐标为（4，3.6），则h＝4，k＝3.6，得抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把（0，2）代入，得a（0﹣4）2+3.6＝2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；（3）明明在此次考试中能得到满分，理由如下：把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去），∵10＞9.7，∴明明在此次考试中能得到满分．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．23．【分析】（1）先证明∠MPB＝∠BCP，再由同弧所对的圆周角相等可得∠BCP＝∠BAP，等量代换即可；（2）证明△MPB∽△MAP，即可求解；（3）由（2）可求MA＝18，则AB＝AP＝10，过点P作PG⊥AB交于G点，根据＝，求出BG＝，从而得到PG＝，再求BP＝＝．【解答】（1）证明：∵PC是圆O的直径，∴∠CBP＝90°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∵MP是圆O的切线，∴∠MPO＝90°，∴∠MPB+∠BPC＝90°，∴∠MPB＝∠BCP，∵＝，∴∠BCP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠MPB；（2）证明：∵∠MPB＝∠BAP，∠M＝∠M，∴△MPB∽△MAP，∴＝，∴MP2＝MA•MB；（3）解：∵MP2＝MA•MB，MB＝8，MP＝12，∴MA＝18，∴AB＝AM﹣MB＝10，∵AP＝AB，∴AP＝10，过点P作PG⊥AB交于G点，在Rt△PGM中，PG＝＝，在Rt△AGP中，PG＝＝，∴＝，解得BG＝，∴PG＝，∴BP＝＝．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握勾股定理，三角形相似的判定及性质，切线的定义，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．24．【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可；（2）根据点P（m，n）是一次函数y＝kx+2的“凡尔赛点”，点P（m，n）的“后凡尔＝m），解答即可；赛点”为（q甲（3）点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，解出a、b的值，代入y＝ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5令y＝0得ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5＝0，解答即可．【解答】解：（1）根据“凡尔赛函数y＝x2是凡尔赛函数，故答案为：③；（2）∵点P（m，n）是一次函数y＝kx+2的“凡尔赛点”，点P（m，n）的“后凡尔赛＝m），点”为（q甲∴，得mk2+2k+m+2＝0；当m＝0时，k＝﹣1，满足条件；当m≠0时，∵关于k的一元二次方程mk2+2k+m+2＝0有实数根，Δ＝22﹣4m（m+2）≥0，解得，又m为整数，∴m＝﹣1，﹣2，当m＝﹣1时，k2﹣2k﹣1＝0，解得；当m＝﹣2时，2k2﹣2k＝0解得k＝0（舍去），k2＝1．综上：k＝﹣1，1，．（3）∵点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，∴“后凡尔赛点”B的坐标为（3，﹣1），∴，解得，∴y＝ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5令y＝0得ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5＝0，∵．令，则CD＝2，∵c＞b＞a，∴3a+5＞﹣4a﹣2＞a，解得，∴，∴，．∴4．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解题关键．25．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理求得AB，BC，连接AD，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得CE，DE，则AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；过点E作EG ⊥BC于点G，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；（2）①当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B，则，代入数值求得CQ，过点Q作QH⊥AC于点H，利用含30°角的直角三角形的性质求得QH，再利用三角形的面积公式，配方法和二次函数的性质解答即可；②过点E作EM⊥BF，过点P作PN⊥AB，利用角平分线的性质定理得到，利用圆的有关性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得MF，BF，再利用相似三角形的判定与性质求得AP，BP，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，，∴AB＝4，AC＝8，连接AD，如图，∵∠ABC＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，又∵D是BC的中点，∴，在Rt△DEC中，∵∠C＝30°，，∴CE＝3，DE＝，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；过点E作EG⊥BC于点G，在Rt△DEG和Rt△CEG中，∵，∠EDG＝60°，∴DG＝DE＝，EG＝EC＝，在Rt△BEG中，∵BG＝BD+DG＝，∴BE＝＝＝；（2）①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B，∴，∵AP＝x，，AE＝5，∴，∴，过点Q作QH⊥AC于点H，如图，∵∠C＝30°，∴，∴△PQC的面积＝PC•QH＝（8﹣x）•x＝﹣（x2﹣8x）＝（x﹣4）2+．∵0＜x≤5，＜0，∴当x＝4时，△PQC的面积最大．∴当△PQC的面积最大时，x的值为4；②由（1）知：EG⊥BC，过点E作EM⊥BF，过点P作PN⊥AB，如图，∵BE平分∠FBC，EM⊥BF，EG⊥BC，∴，∵BE平分∠FBC，∴，∴，又∠BFE＝∠BAE＝60°，∴MF＝EF•cos60°＝，∵，，∴，∴．∵∠APB＝∠FPE，∠BAP＝∠PFE，∴△ABP∽△FEP，∴，∴，解得：，，在Rt△APN中，∵∠PAN＝60°，，∴．∴．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，二次函数的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键。
19-20长郡双语中学九年级数学第一次月考试卷
19-20学年度长郡双语中学初三第一次限时检测数学一．选择题（共12小题）1．下列各数是无理数的是( )A ． 0B ．πC ．38D ．17-2．下列运算，正确的是( ) A ．235x y xy += B ．()2239x x -=-C ．()2224xy x y =D ．632x x x ÷=3．如图，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．若代数式13x +有意义，则x 的取值是( ) A ．0x =B ．0x ≠C ．3x =D ．3x ≠-5．数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是( ) A ．3和2B ．3和3C ．3和5D ．0和56．多项式2315ma mab +的公因式是( ) A ．3mB ．23maC ．3maD ．3mab7．如图，能判定//AB CD 的是( )A ．14∠=∠B ．13∠=∠C ．12∠=∠D ．23∠=∠8．若关于x 的方程260x x a +-=无实数根，则a 的值可以是下列选项中的( ) A ．10-B ．9-C ．9D ．109．下列说法中，错误的是( ) A ． 平行四边形的对角线互相平分 B ． 五边形的内角和是540°C ． 菱形的对角线互相垂直D ． 对角线互相垂直的四边形是菱形10．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转α角(0180)α︒<<︒至'''A B C ∆，使得点A '恰好落在AB 边上，则α等于( )A ．149︒B ．69︒C ．62︒D ．31︒11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx ac =+在直角坐标系中的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．12．如图， 在正方形ABCD 中， 点O 为对角线AC 的中点， 过点O 作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且90EOF ∠=︒，BO 、EF 交于点P ，则下列结论中： ⑴OEF ∆是等腰直角三角形； ⑵图形中全等的三角形只有两对；⑶BE BF +=；⑷正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的 4 倍， 正确的结论有( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个二．填空题（共6小题）13．已知3y =，则x y -= ．14．如果点(4,5)P -和点(,)Q a b 关于原点对称，则a 的值为 ． 15．已知一等腰三角形有两边边长为6，8，则这个三角形的周长为 ． 16．已知a ，b 满足方程组3125a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，则4a b -的值为 ．17．如图，在ABC ∆中，6AB =，将ABC ∆绕点B 按逆时针方向旋转30︒后得到△11A BC ，则阴影部分的面积为 ．18．如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆= ．三、解答题（共8小题）19.（6分）计算：()02233ππ----20.（6分）先化简，再求值：()()()222a b a b a b b --+--，其中1,2a b =-= .21.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB ∆的三个顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别为(3,2)、(1,3)．AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后得到△11A OB ． ⑴在网格中画出△11A OB ，并标上字母； ⑵点A 关于O 点中心对称的点的坐标为 ； ⑶点1A 的坐标为 ；⑷在旋转过程中，点B 经过的路径为弧1BB ，那么弧1BB 的长为 ．22.如图，在ABC ∆中，AE 是它的角平分线，90C ∠=︒，30B ∠=︒，D 在AB 边上，4AD =， 以AD 为直径的圆O 经过点E ． ⑴求证：BC 是O 的切线； ⑵求图中阴影部分的面积．23.某商店在2017年至2019年期间销售一种礼盒．2017年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年，这种礼盒的进价比2017年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2017年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．⑴2017年这种礼盒的进价是多少元/盒？⑵若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24.如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD AB⊥于点D，CG AE交BA的延长线于点G．CD交AE于点F，过C作//⑴求证：CG是O的切线．⑵求证：AF CF=．⑶若30CF=，求GA的长．EAB∠=︒，225.在直角坐标系中，1O 经过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ． ⑴如图，过点A 作1O 的切线与y 轴交于点C ，点O 到直线AB 的距离为125， 25:3:4,4OA OB BC ==，①求AB 的长；②求直线AC 的解析式 ⑵若1O 经过点(2,2)M ，设BOA ∆的内切圆的直径为d ，试判断d AB +的值是否会发生变 化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．26.已知抛物线的顶点坐标为(1,4)M，且经过点(2,3)N，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C、设直线CM与x轴交于点D．⑴求抛物线的解析式．⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD 相切？若存在，求出P的坐标；若不存在．请说明理由．⑶设直线2=+与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写y kx出k的取值范围．。
长郡初三数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x + 1的图象向右平移a个单位，得到的函数g(x)的解析式为（）A. g(x) = 2x + 1 - 2aB. g(x) = 2x + 1 + 2aC. g(x) = 2x - 1 + 2aD. g(x) = 2x - 1 - 2a2. 下列各组数中，能构成等差数列的是（）A. 1, 3, 6, 10B. 1, 4, 9, 16C. 1, 4, 7, 10D. 1, 3, 6, 93. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第5项an为（）A. 54B. 162C. 243D. 814. 在直角坐标系中，点A(-2, 3)，点B(4, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (1, 3)C. (2, 1)D. (2, 2)5. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 26. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°7. 若一个正方体的表面积为96cm^2，则它的体积为（）A. 8cm^3B. 16cm^3C. 24cm^3D. 36cm^38. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 2B. 3C. 5D. 69. 在等腰三角形ABC中，底边BC = 6cm，腰AB = AC = 8cm，则三角形ABC的面积为（）A. 24cm^2B. 30cm^2C. 32cm^2D. 36cm^210. 若一个函数的图像经过点(2, 3)，且该函数的斜率为-2，则该函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = -2x + 5C. y = -2x - 1D. y = 2x - 5二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 若等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项an为______。
2023届湖南省长沙市长郡集团九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A D B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ，下图是点P 运动时，PBC ∆的面积()2y cm 随时间()x s 变化的关系图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9π B ．4－89π C ．8－49π D ．8－89π 3．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．755．如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（14，1），（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）A ．14-≤b ≤1 B ．54-≤b ≤1 C ．94-≤b ≤12D ．94-≤b ≤1 6．如图所示的物体组合，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若:3:4a b =，且6a =，则2a b -的值是 （ ） A ．4B ．2C ．20D ．148．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A 、B 两点，C(m ，﹣3)是图象上的一点，且AC ⊥BC ，则a 的值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．139．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人10．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=1．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 1．则S 1﹣S 2+S 3+S 1等于（ ）A ．1B ．6C ．8D ．1211．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁 平均数（cm ） 181 186 181 186 方差3.53.56.57.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．下表是二次函数2y ax bx c =++的, x y 的部分对应值：x···12- 012132252···y···141-74- m74- 1-n···则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最小值； ②不等式14y >的解集是21x <-或52x >③方程232ax bx c ++=-的实数根分别位于102x <<和322x <<之间；④当0x >时，函数值y 随x 的增大而增大； 其中正确的是： A ．①②③B ．②③C ．①②D ．①③④二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知//a b ，175∠=︒，则2∠=_____.14．在平面直角坐标系中，将点A （﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A ′的坐标是_____．15．二次函数y ＝a （x +m ）2+n 的图象如图，则一次函数y ＝mx +n 的图象不经过第_____象限．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为2，若以小正形的顶点为圆心，4为半径作一个扇形围成一个圆锥，则所围成的圆锥的底面圆的半径为___________.17．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，1，5，9；乙：9，6，1，10，7，1． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表： 平均分 方差 众数 中位数 甲组 19 乙组5311（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________． 18．在函数y ＝42x x --+（x ﹣5）﹣1中，自变量x 的取值范围是_____． 三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与正方形ABCD 的顶点D 重合，三角板的一边交BC 于点G ，另一边交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DF DG =；（2）如图2，将三角板绕点D 旋转，当2ADB FDA ∠=∠时，连接FG 交AD 于点,H 求证：2DG DB DH =⋅；（3）如图3，将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且将三角板的直角顶点放于对角线BD (不与端点重合)上，使三角板的一边经过点A ，另一边交CB 于点G ，若AB m BC n ==,，求EGEA的值．20．（8分）如图，已知A （-1,0），一次函数122y x =-+的图像交坐标轴于点B 、C ，二次函数22y ax bx =++的图像经过点A 、C 、B ．点Q 是二次函数图像上一动点。
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期中第一次模拟试题(及答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．如果反比例函数y =k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） A ．（﹣12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12，12） D ．（1，﹣6） 2．已知反比例函数y ＝﹣6x，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点（﹣3，2）B ．函数图象分别位于第二、四象限C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3D ．y 随x 的增大而增大3．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在正方形ABCD 中，N 为边AD 上一点，连接BN ．过点A 作AP ⊥BN 于点P ，连接CP ，M 为边AB 上一点，连接PM ，∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ，有以下结论：①△PAM ∽△PBC ；②PM ⊥PC ；③M 、P 、C 、B 四点共圆；④AN ＝AM ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，ABC △与ADE V 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 6．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（ ）A ．（4，4）B ．（3，3）C ．（3，1）D ．（4，1）7．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP ,AQ 分别交于D ,E 点，则BD ∶DE ∶EM 等于A ．3∶2∶1B ．4∶2∶1C ．5∶3∶2D ．5∶2∶18．如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S ∆V ＝（ ）A ．2：3B ．3：2C ．9：4D ．4：99．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A ．33B ．55C ．233D ．25510．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）A ．8tan20°B ．C ．8sin20°D ．8cos20°11．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．在△ABC 中，若|sinA-3|+(1-tanB)2=0，则∠C 的度数是( ) A ．45° B ．60°C ．75°D ．105° 二、填空题13．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________．14．如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．15．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面23米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=k x(k>0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F ．当F 为BC 的中点，且S △AOF =123时，OA 的长为__________．18．如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为_______．19．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B'C′与CD 交于点M ，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为_____．20．近视眼镜的度数(y 度)与镜片焦距(x 米)呈反比例，其函数关系式为120.y x=如果近似眼镜镜片的焦距0.3x =米，那么近视眼镜的度数y 为______． 三、解答题21．计算：cos45tan45sin60cot60cot452sin30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒．22．某天上午7：30，小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8：30的动车．记汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过60千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：V（千米/小时）2030405060T（小时）0.60.40.30.250.2（1）根据表中的数据描点，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）若小芳从开始打车到上车用了10分钟，小芳想在动车出发前半小时到达动车站，若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳能否在预定的时间内到达动车站？请说明理由；（3）若汽车到达动车站的行驶时间t满足0.3＜t＜0.5，求平均速度v的取值范围．23．如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．求证：∽；求线段CD的长．24．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD=2，AB=3，求的值．25．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−3,2)，∴k=−3×2=−6，∵−12×8=−4≠−6，−3×(−2)=6≠−6，12×12=6≠−6，1×(−6)=−6，则它一定还经过(1,−6).故答案选D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.2．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 、∵当x ＝﹣3时，y ＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B 、∵k ＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C 、∵当x ＝﹣2时，y ＝3，∴当x ＜﹣2时，0＜y ＜3，故本选项正确；D 、∵k ＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，故本选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．D解析：D【解析】 因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 4．A解析：A【解析】【分析】 根据互余角性质得∠PAM ＝∠PBC ，进而得△PAM ∽△PBC ，可以判断①；由相似三角形得∠APM ＝∠BPC ，进而得∠CPM ＝∠APB ，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；由△APB ∽△NAB 得AP AN BP AB=，再结合△PAM ∽△PBC 便可判断④．解：∵AP⊥BN，∴∠PAM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠PAM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△PAM∽△PBC，故①正确；∵△PAM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠PAN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠PAN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BPA＝90°，∴△PAN∽△PBA，∴AN PA BA PB=，∵△PAM∽△PBC，∴Al AP BC BP=，∴AN AM AB BC=，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM ⊥PC 是解题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC=， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '. 6．A解析：A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C 点坐标．【详解】∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ， ∴A 点与C 点是对应点，∵C 点的对应点A 的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C 的坐标为：（4，4）故选A ．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．7．C解析：C【解析】【分析】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．【详解】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，则BP PQ QC a ===；∵AM CM =，AF ∥BC ， ∴1AF AM BC CM==， ∴3AF BC a ==，∵AF ∥BP ， ∴133BD BP a DF AF a ===， ∴34DF BF BD ==， ∵AF ∥BQ ， ∴2233BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a===， ∴BM MF =，即2BF BM =， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010BF BF BF BD DE EM ==：：． 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．8．D解析：D【解析】【分析】先设出DE x =，进而得出3AD x =，再用平行四边形的性质得出3BC x =，进而求出CF ，最后用相似三角形的性质即可得出结论．解：设DE x =，∵:1:3DE AD =，∴3AD x =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，BC AD 3x ==，∵点F 是BC 的中点， ∴1322CF BC x ==， ∵//ADBC ，∴DEG CFG ∆∆∽，∴224392DEGCFG S DE x S CF x ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭V V ， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF 是解本题的关键．9．D解析：D【解析】【分析】【详解】过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=AD AB =2210=25， 故选D ．10．A解析：A【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h 米，∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°故选B. 11．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE12．C解析：C【解析】【分析】先根据非负数的性质求出sinA 及tanB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵|sin A B )2=0，∴tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.二、填空题13．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y 随x 的增大而增大∵A （-4y1）B （-1y2）解析：y 1＜y 2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 2的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵A （-4，y 1），B （-1，y 2）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 2，故答案为：y 1＜y 2．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答． 14．3:2【解析】因为DE∥BC 所以因为EF∥AB 所以所以故答案为:3:2 解析：3:2【解析】因为DE ∥BC,所以32AD AE DB EC ==,因为EF ∥AB ,所以23CE CF EA BF ==,所以32BF FC =,故答案为: 3:2. 15．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；在Rt ACD ∆中，10AD =，AC =∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=，∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．16．【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分再加起来即可先在直角三角形ABC 中用正切和正弦分别求出BC 和AC （即梯子的长度）然后再在直角三角形DCE 中用∠DCE 的余弦求出DC 然后把BC 和DC 加解析：222+【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC 中，用正切和正弦，分别求出BC 和AC （即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE 中，用∠DCE 的余弦求出DC ，然后把BC 和DC 加起来即为巷子的宽度．【详解】解：如图所示：3米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.则在直角三角形ABC 中,AB BC＝tan ∠ACB ＝tan60°3 AB AC ＝sin ∠ACB ＝sin60°3∴BC＝2，AC＝4， ∴直角三角形DCE 中，CE=AC=4， ∴CD CE ＝cos45°＝2， ∴CD ＝CE×2＝4×2＝， ∴BD ＝,故答案为：【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．17．8【解析】分析：过点A 作AH⊥OB 于点H 过点F 作FM⊥OB 于点M 设OA=x 在由已知易得：AH=OH=由此可得S△AOH=由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点可得BF=BM=FM=由此可得S△B解析：8【解析】分析：过点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，在由已知易得：，OH=12x ，由此可得S △AOH2x 由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点，可得BF=12x ，BM=14x ，FM=x ，由此可得S △BMF2x ，由S △OAF=可得S △OBF=S △OMF=232x +，由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上可得S △AOH =S △BMF ，由此即可列出关于x 的方程，解方程即可求得OA 的值. 详解：如下图，点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，∵四边形AOBC 是平行四边形，∠AOB=60°，点F 是BC 的中点，S △OAF= ∴，OH=12x ，BF=12x ，∠FBM=60°，S △OBF= ∴S △AOH2x ，BM=14x ，x ， ∴S △BMF2x ， ∴S △OMF=2x ，∵由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上， ∴S △AOH =S △BMF ，∴238x =236332x +， 化简得：23192x =，解得：1288x x ==-，（不合题意，舍去），∴OA=8.故答案为：8.点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.18．cm 【解析】【分析】将杯子侧面展开建立A 关于EF 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】解:如答图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A′连接A′B 则A′B 即为最短距离根据勾股解析：cm ．【解析】【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离．根据勾股定理，得（cm ）．故答案为：20cm.【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．70°【解析】【分析】设∠BEF=α则∠EFC=180°﹣α∠DFE=∠BEF=α∠CFE=40°+α依据∠EFC=∠EFC 即可得到180°﹣α=40°+α进而得出∠BEF 的度数【详解】∵∠C=∠C解析：70°【解析】【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF 的度数．【详解】∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，∴∠C'FM=40°，设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，∴180°﹣α=40°+α，∴α=70°，∴∠BEF=70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.20．400【解析】分析：把代入即可算出y 的值详解：把代入故答案为400点睛：此题主要考查了反比例函数的定义本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题比较简单解析：400【解析】分析：把0.3x =代入120y x =，即可算出y 的值． 详解：把0.3x =代入120x， 400y =，故答案为400．点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．三、解答题21．14- ． 【解析】试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可.试题解析：原式23321121 22322.124122=⋅-⋅--==+⨯22．（1）v=12t；（2）若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）平均速度v的取值范围是24＜v＜40【解析】【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=kt，利用待定系数法求出k即可；（2）根据时间t=13小时，求出速度，即可判断；（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可．【详解】（1）根据表格中数据，可知v=kt，∵v=20时，t=0.6，∴k=20×0.6=12，∴v=12t（t≥0.2）．（2）∵1﹣16-12=13，∴t=13时，v=1213=36＞32，∴若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）∵0.3＜t＜0.5，∴24＜v＜40，答：平均速度v的取值范围是24＜v＜40．【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．23．（1）参见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．【详解】（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），∴△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，∵相似三角形的对应线段成比例，∴=，即＝，解得：CD＝5．24．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】(1)证明：∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵AC2=AB•AD，∴=，∴△ADC∽△ACB；(2)∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB=∠ADC=90°，∵点 E 为 AB 的中点，∴CE=AE= AB= ，∴∠EAC=∠ECA，∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；∴==，∴=．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；【解析】【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．。
长郡双语2020一模
2020初三数学第一次中考模拟考试试卷数学出卷人：王灿一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3B．|﹣4|C．﹣D．2．以下是中国四大银行（工、农、中、建）标志，其中仅是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a6÷a3＝a34．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD 的正切值是（）A．B．C．D．6．如图所示，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（）A．48°B．58°C．60°D．64°8．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB＝105°，那么∠B的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A ．47mB ．51mC ．53mD ．54m11．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）A ．5.45尺B ．4.55尺C ．5.8尺D ．4.2尺12.已知抛物线()02>++=a c bx ax y 与直线()412k x k y --=，无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( )A ． 2x y =B ． x x y 22-=C ． 122+-=x x yD ． 2422+-=x x y二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．函数y ＝中自变量x 的取值范围是14．因式分解：x 3﹣4x 2y +4xy 2＝15．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为16．圆内接正六边形的边心距为2cm ，则这个正六边形的面积为17．如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，若∠1＝56°，则∠2的度数为18.如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN⊥AQ 交BC 于点N ，作NP⊥BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：⊥AM=MN ；⊥MP=21BD ；⊥BN+DQ=NQ ；⊥BMBN AB +为定值2． 一定成立的是三、解答题(共66分)19．计算：﹣12020+（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入．21．王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，其中C类女生有名，D类男生有名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22.准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将ABE∆沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将CDF∆沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，2AB，求菱形BFDE的边长．=23．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）24.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．25．定义：（i ）如果两个函数y 1，y 2，存在x 取同一个值，使得y 1＝y 2，那么称y 1，y 2为“合作函数”，称对应x 的值为y 1，y 2的“合作点”；（ii ）如果两个函数为y 1，y 2为“合作函数”，那么y 1+y 2的最大值称为y 1，y 2的“共赢值”．（1）判断函数y ＝x +m 与y ＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m ＝2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y ＝x +m 与y ＝3x ﹣1（|x |≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y ＝x +m 与y ＝x 2﹣（2m +1）x +（m 2+3m ﹣3）（0≤x ≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m 的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m 的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若⊥ACE 的面积的最大值为45，求a 的值； （3）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．。
2024年湖南省长郡教育集团中考数学一模试题含答案解析
2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×1073．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，66．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．188．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为cm．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为．（结果保留π）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝202419．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；②与；③y＝x2﹣x+1与y＝x．（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，∴﹣2023的倒数是﹣，故选：B．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×107【解答】解：150万＝1500000＝1.5×105．故选：C．3．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a【解答】解：＝＝﹣＝﹣7，故选：B．4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，6【解答】解：A、4+2＝5＜7；B、3+6＝6；C、5+5＝7＜8；D、3+5＝9＞7．故选：D．6．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体【解答】解：A、此次调查属于抽样调查；B、样本容量是300；C、2000名学生的视力情况是总体；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体；故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：由基本作图得到AE平分∠BAC，∴点E为AC和AB的距离相等，∴点E到AB的距离等于AC，即点E到AB的距离为3，∴S△ABE＝×6×3＝3．故选：B．8．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，∴图象经过一、二、四象限，故A，B不符合题意；当y＝0时，﹣7x+4＝0，∴图象与x轴交于（7，0）；当x＝0时，y＝3，∴图象与y轴交于（0，4）；故选：C．10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D，显然不合题意，同理，当B进入前三强时，所以应从C开始进入前三强，D，E．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x3﹣4x，＝x（x4﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．12．（3分）不等式组的解集是﹣≤x＜5．【解答】解：由x﹣1＜得：x＜5，由2x+3≥0得：x≥﹣，则不等式组的解集为﹣≤x＜4，故答案为：﹣≤x＜5．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有解，∴b6﹣4ac＝1﹣5m≥0，解得：k≤，∴满足条件的m的值有﹣1，0，∴关于x的方程x3﹣x+m＝0有解的概率为．故答案为：．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称3．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，∴S△ABO＝，∵点B，C关于原点对称，∴BO＝CO，∴S△ABC＝2S△ABO＝2×＝3．故答案为：3．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为4cm．【解答】解：连接DA，如图所示则∠DAC＝90°，∵AB⊥CD，∠C＝30°，∴cos30°＝＝，∴AC＝5cm，∴CD＝4cm，故答案为：4．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为3π．（结果保留π）【解答】解：l＝＝＝3π．故答案为：7π．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）【解答】解：＝．18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝2024【解答】解：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣6b）＝a2﹣2ab+b7+a2﹣b2﹣3a2+4ab＝3ab，当a＝2024，b＝﹣1时，原式＝2×2024×（﹣7）＝﹣4048．19．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）由题意得：DB⊥AB，在Rt△ABC中，AB＝30m，∴BC＝AB•tan27°≈30×0.510＝15.3（m），∴大厦BC的高度约为15.2m；（2）在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，∴BD＝AB•tan30°＝30×＝10，∵BC＝15.3m，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣15.6≈2（m），∴广告牌CD的高度约为2m．20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为100名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是144度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【解答】解：（1）（名），D的人数＝100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名），（2），故答案为：144；（3）3000×＝600（人），答：估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数约为600人；（4）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有7种、CC，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE＝90°﹣∠ACB，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．（2）解：∵△ABC≌△CDE，AB＝2，∴AC＝CE，AB＝CD＝2，∴∠D＝90°，∴CE4＝CD2+DE2＝22+42＝20，∵∠ACE＝90°，∴S△ACE＝AC•CE＝2＝×20＝10，∴△ACE的面积为10．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元【解答】解：（1）设A种文具的单价是x元，则B种文具的单价是（x﹣8）元，根据题意得：＝，解得：x＝24，经检验，x＝24是所列方程的解，∴x﹣6＝24﹣8＝16，答：A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元；（2）设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具（100﹣m）件，根据题意得：24（100﹣m）+16m≤2080，解得：m≥40，答：年级组至少购买B种文具40件．23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，E是AD的中点，∴BD＝CD，AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴F A＝CD，∴F A∥BD，F A＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形．（2）解：作FG⊥CB交CB的延长线于点G，则∠G＝90°，∵四边形ADBF是菱形，∴AF＝BF＝AD＝BD，∠ADB＝∠AFB＝60°，∴△ADB和△AFB都是等边三角形，∴CD＝BD＝BF＝AB＝3，∠ABF＝∠ABD＝60°，∴∠GBF＝180°﹣∠ABF＝∠ABD＝60°，∴＝sin∠GBF＝sin60°＝，，∴FG＝BF＝，BG＝×2＝5，∴CG＝CD+BD+BG＝2+2+6＝5，∴CF＝＝＝2，∴CF的长是2．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；√②与；×③y＝x2﹣x+1与y＝x．√（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1与y＝﹣x+2有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；②∵y＝与y＝，∴这两个函数不是“亲密函数”，故答案为：×；③y＝x2﹣x+5与y＝x有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（其中k，k＞3是“亲密函数”，∴方程kx+b＝﹣有且只有一个实数根，∴kx2+bx+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b5﹣4k2＝3，∴b＝2k或＝2k，当b＝7k时，kx2+2kx+k＝6，解得x＝﹣1，∴P（﹣1，k），∵“密接点”P到原点的距离等于6，∴＝3（负值舍去），∴b＝5；当b＝﹣2k时，kx8﹣2kx+k＝0，解得x＝4，∴P（1，﹣k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝8（负值舍去），∴b＝﹣4；当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，∴P（﹣5，k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝3（负值舍去），∴b＝4；综上，b的值为5；（3）m+n＝3c．证明：设直线l1：y＝k1x+b3，直线l2：y＝k2x+b4，∵两条直线l1与l2都是二次函数y＝x4+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b7＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝8，∴b1＝，∴x8＝x2＝，∴M（，+c），同理：b6＝，N（，，设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，∴k3+b8＝+c①，k4+b3＝+c②，①k1×﹣②×k5得k1b3﹣k6b3＝（k2﹣k8）+（k1﹣k1）c，∴b7＝﹣+c，令x＝0，则n＝b3＝﹣+c，∵m＝k5x m+b1＝k2x m+b3，∴x m＝＝，∴＝，∴m＝+c，∴m+n＝+c+（﹣．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．【解答】（1）证明：∵∠DMC＝∠DAC+∠ADB，∠DAB＝∠DAC+∠CAB，∴∠CAB＝∠ADB，∴，（2）解：①由（1）知：∠CAB＝∠ADB，∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴，∴AB2＝DB•BM．∵＝k，，∴＝，∴设DM＝3a，AB＝2a，BM＝x，∴（2a）8＝x（x+3a），∴x＝﹣4a（不合题意，舍去）或x＝a．∴BM＝a．∴t＝＝．②∵，∴DM＝kAB，∵AB3＝DB•BM，∴AB2＝（BM+DM）•BM＝（BM+kAB）•BM．∴BM＝AB（负数不合题意，∴BM＝AB．∴t＝＝＝＝，∵k≥1，∴当k＝1时，t取得最大值为．（3）由（1）知：，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∴DC⊥AC，∴OB∥DC．∴△BEM∽△DCM，∴，∴＝．∵＝，∴＝，∴（3m+n）（4m﹣n）＝9，∵m，n均为正整数，∴或或，∴或（不合题意（不合题意，∴S△BEM＝1，S△DCM＝9．∴S△BEC＝7．∴＝，∴＝，设BE＝b，则DC＝3b．∵OB∥DC，OA＝OD，∴OE＝DC＝b，∴OA＝OB＝OE+BE＝b．∵BE•EM，∴b•EM＝5，∴EM＝，∴CM＝，∴AE＝CE＝．∵OA2＝AE2+OE5，∴，∴b8＝16，∵b＞0，∴b＝2，∴OA＝＝5．∴⊙O的半径r的值为5．。
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初三数学下期末第一次模拟试题(及答案)
坐标相等或互为相反数．
4．D
解析：D 【解析】 如图，连接 BE， ∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°． ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
＞0）的图象上，AC∥BD∥y 轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1；2，△OAC 与△CBD 的 面积之和为 ，则 k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
8．如图，正比例函数 y=k1x
与反比例函数
y=
k2 x
的图象相交于点
A、B 两点，若点
A的
坐标为（2，1），则点 B 的坐标是（ ）
A．（1，2）
2020-2021 长沙市长郡双语实验学校初三数学下期末第一次模拟试题(及答案)
一、选择题
1．九年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：90 分，95 分，96 分，96 分，95 分，89
分，则该同学这 6 次成绩的中位数是（ ）
A．94
B．95 分
C．95.5 分
D．96 分
2．点 P（m + 3，m + 1）在 x 轴上，则 P 点坐标为（ ）
A．（0，﹣2）
B．（0，﹣4）
C．（4，0）
D．（2，0）
3．已知平面内不同的两点 A（a+2，4）和 B（3，2a+2）到 x 轴的距离相等，则 a 的值为
() A．﹣3
B．﹣5
C．1 或﹣3
D．1 或﹣5
长郡中学初三数学模拟试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 0C. 1D. -22. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. 2a > 2bD. a - 2 < b - 23. 下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 2x^2 + 1C. y = 3x + 2D. y = x^3 + 14. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，那么这个三角形的面积是（）A. 40cm²B. 48cm²C. 50cm²D. 60cm²5. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 长方形D. 等腰梯形6. 如果sinα = 0.6，那么cosα的值是（）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. -0.87. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（3，-2）D.（-3，2）8. 下列方程中，只有一个解的是（）A. x + 2 = 5B. x^2 - 4 = 0C. 2x + 3 = 7D. x^2 + 4x + 4 = 09. 下列数列中，第10项是正数的是（）A. 1, 2, 4, 8, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 1, -1, 1, -1, ...D. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...10. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底边等于腰长B. 直角三角形的斜边长度小于两直角边之和C. 对顶角相等的三角形一定是等腰三角形D. 平行四边形的对角线互相垂直二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a² + b² = 25，且a - b = 3，那么ab的值是______。
长郡初三模拟数学试卷
1. 若方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $x_1 +x_2$ 的值为（）A. 2B. 3C. 1D. -22. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线 $y = x$ 的对称点B的坐标为（）A.（3，2）B.（-3，-2）C.（2，-3）D.（-2，3）3. 已知函数 $y = -x^2 + 4x - 3$，则该函数的对称轴为（）A. $x = 2$B. $x = -2$C. $y = 2$D. $y = -2$4. 若 $a^2 + b^2 = 10$，且 $a - b = 2$，则 $a + b$ 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°6. 已知一次函数 $y = kx + b$，若过点（1，2）和（3，4）的直线与x轴的交点坐标为（2，0），则k和b的值分别为（）A. k = 1，b = 1B. k = 1，b = -1C. k = -1，b = 1D. k = -1，b = -17. 若 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x^3 - 5x^2 + 6x$ 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线 $3x - 4y + 5 = 0$ 的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 若 $log_2(x + 1) = 3$，则 $x$ 的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1010. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠B = 40°，则∠C的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°11. 若 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^2 + b^2$ 的值为________。
长沙市长郡双语实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
长沙市长郡双语实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图1，与为等腰直角三角形，与重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2．（1）证明：；（2）当为何值时，是等腰三角形？2．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.（1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.3．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点． 4．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④． （探究）（1）证明：OBC ≌OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 7．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．（1）求m 关于t 的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．8．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．（1）求⊙O 的半径； （2）求AD 的长；（3）若E 为弦CD 上的一个动点，过点E 作EF//AC ，EG//AD ． EF 与AD 相交于点F ，EG 与AC 相交于点G ．试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE 交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝43时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）12．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由 15．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20ny n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； (III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.16．如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EGHF的值是否为定值，证明你的结论．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)my x x=>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)ny x x=>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．（1）当4m =，20n =时，①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．20．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析（2）当或或时，△AGH是等腰三角形【解析】试题分析：（1）根据∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，即可证出相似；（2）以∠GAH＝45º这个角为等腰三角形的底角还是顶角进行分类讨论，从而得到本题答案.试题解析：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∴∠B=∠EDF=45°在△AGC和△HAB中∵∠ACG=∠B=45°，∠HAB=∠BAG+∠GAH =∠BAG+45°=∠CGA∴△AGC∽△HAB（2）①当∠GAH＝45º是等腰三角形的底角时，如图可知：；②当∠GAH ＝45º是等腰三角形的顶角时，如图：在△HGA 和△AGC 中，∵∠AGH ＝∠CGA ，∠GAH ＝∠C ＝45º，∴△HGA ∽△AGC ，∵AG ＝AH ， ∴③如图，G 与B 重合时，符合要求，此时CG =BC =∴当或或时，△AGH 是等腰三角形．点晴：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形（等腰直角三角形）的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，在第（2）中，要利用在旋转的过程中，△AGH 中始终不变的角∠GAH ＝45º为切入点，以这个角是等腰三角形的底角还是顶角为分类点进行分类讨论，要注意当∠GAH ＝45º为底角时有两种情况，不要漏掉其中的任何一种，要做到不重不漏，才能做好分类讨论这一问题.2．（1）1；（2）①2225-；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤ 【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=， 解得：m=2-当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32， 解得：m=2综上所述：m=2m=2m=2②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．3．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，∵OAB 是等腰直角三角形，∴∠BOA =45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴DAC △是等腰直角三角形，∴DC=AC ．∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，∴抛物线1C 的对称轴为x=2，设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，∴x-2= x 2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A 的坐标为（5，3）；同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，x-2= -(x 2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点A 的坐标为（4，-2），综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，∴26y kx y x =⎧⎨=-⎩， ∴x 2-kx-6=0，设点E 的横坐标为x E ，点F 的横坐标为x F ，∴x E +x F =k ，∴中点M 的横坐标x M =2E F x x +=2k ， 中点M 的纵坐标y M =kx=22k ， ∴点M 的坐标为（2k ，22k ）； 同理可得：点N 的坐标为（2k -，28k）， 设直线MN 的解析式为y=ax+b （a ≠0），将M （2k ，22k ）、N （2k -，28k ）代入得： 222282k k a b a b k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：242k a k b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴直线MN 的解析式为y= 24k k-·x+2（0k ≠）， 不论k 取何值时（0k ≠），当x=0时，y=2，∴直线MN 经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A 、B 、O 、D 四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．4．（1）3,5m n =-=；（2）30ACE S =；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长【解析】【分析】（1）令2130,4y x x =--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入34y x m =-+，从而可得答案； （2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1.2ACE A C S BH x x =••-即可求解；（3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解．【详解】解：（1）令2130,4y x x =--= 24120,x x ∴--=()()260,x x ∴+-=122,6,x x ∴=-=∴ 点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程， 解得：()()214435,4n =⨯----= ()4,5C ∴-，把点B （0，-3）代入34y x m =-+， 解得：3m =-，则：直线l ：334y x =--，…① 3,5,m n ∴=-=（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、AC 中点为51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设AC 为：,y kx b =+6045k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ AC ∴所在的直线方程为：132y x =-+， 如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），()1161030.22ACE A C S BH x x ∴=••-=⨯⨯=（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时， 圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭其所在的直线与AC 垂直， 1,2AC k =- AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+ 把51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：52,2a =+ 1,2a ∴= 122y x ∴=+…②， 334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩①② 解得：1611,5322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩E 的坐标为1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当点P 落在AE 上时， 设点3,3,4E m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 则点P 的坐标633,282m m +⎛⎫--⎪⎝⎭， 则PA=PC ，2222633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得：64,11m =-故点6415,.1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭当点P 落在CE 上时， 则PC=PA ，同理可得：36,11m = 故点3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，则156,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,84P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时， 作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点，()()6,0,0,3,A B -AB ∴的中点为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设AB 为：y ex f =+， 603e f f +=⎧∴⎨=-⎩解得：123e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴ AB 直线方程为：132y x =-， 设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+1323,2b ∴-⨯+=- 192b ∴=，∴ AB 的垂直平分线方程为：92,2y x =-+ 122922y x y x ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩解得：152x y =⎧⎪⎨=⎪⎩251,,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭则圆心P 移动的路线长=221217515251 5.8248PP ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255 【点评】 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x 轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．5．（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90°由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE∴∠DEF ＝90°又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°，∴四边形ADEF 是矩形又∵AD ＝DE ，∴四边形ADEF 是正方形∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45°∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45°∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ．∴OC ＝OD ．在△OBC 与△OED 中，BC DE BCO FDE OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；（2）连接EF 、BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8．由（1）知，BC ＝DE∵BC ＝x ，∴DE ＝x∴CE ＝8－x由（1）知△OBC ≌△OED∴OB ＝OE ，∠OED ＝∠OBC ．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．∴y＝x2－8x＋32∴当x=4时，y有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．6．（151或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m 51+或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得23≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩, (2) t=40时w 最大=13200，(3)a 的最大值是85=2a ． 【解析】【分析】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出, w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】 (1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则11112030180b k b =⎧⎨+=⎩①②, 解得112120k b =⎧⎨=⎩, m=2t+120,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上, 则22224022030180k b k b +=⎧⎨+=⎩③④, 解得22460k b =⎧⎨=⎩, m=4t+60,m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，w 1=()()1-60212021-604602t t t t ⎧⎛⎫++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩, 整理得w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩,w 2=()()1-302120320460t t t ⎧⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+⎩, 整理得w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩, 总销售w=w 1+w 2=22580108003-22904800t t t t ⎧-++⎪⎨⎪++⎩, 配方得w=()225-24117603145215312.52t t ⎧-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 当030t ≤≤，第一段w 最大=11760，而3040t <≤，145=2t >40,在第二段，w 随t 的增大而增大，t=40，w 最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w 最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)， 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，则Q-3600=-2t 2+(290-4a)t+1200-60a ，∵-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴为t=2904-24b a a -=只要3040t ≤≤, 290430404a -≤≤, 658522a ≤≤, a 的最大值是85=2a ．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．8．（1）⊙O的半径为10，（2）AD长为19.2，（3）存在，四边形AGEF的面积的最大值为34.56．【解析】【分析】（1）如图1利用垂径定理构造直角三角形解决问题．（2）如图2在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．（3）如图3以平行四边形AGEF 的面积为函数，以AG 边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．【详解】（1）如图1连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知 HC=1112622AC =⨯= 在RT △BCH 中 ∵210BC =∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =--=∴OH=OB-BH=OB-2又∵OB=OC所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：2222)6OC OC -+=（解得OC=10．（2）如图2，在⊙O 中：∵AC=CD，∴OC⊥AD（垂径定理）∴AD=2KD，∠HCK=∠DCK 又∵∠DKC=∠OHC=90°∴△OCH∽△DCK∴KD DC HO OC=∴DC1248KD=8105HOOC=⨯==9.6∴AD=2KD=19.2．（3）如图3本题与⊙O无关，但要运用前面数据．作FM⊥AC于M，作DN⊥AC于N，显然四边形AGEF为平行四边形，设平行四边形AGEF的面积为y、EM=x、DN=a（a为常量），先运用(2)的△OCH∽△DCK，得CK=7.2．易得△DFE∽△DAC，∴DN-EM EFDN AC=（相似三角形对应高之比等于相似比）∴DN EM AG=EF=ACDN-∴AG=12()a a x - ∴平行四边形AGEF 的面积y=212()1212a x x x x a a -=-+(0＜x ＜a ） 由二次函数知识得，当x=12a 1222a -=-⨯时，y 有最大值． 把x=2a 代入到中得，12EF AC = ∴此时EF 、EG 、FG 恰是△ADC 的中位线 ∴四边形AGEF 的面积y 最大=111S 34.56222ADC AD CK ∆=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得 1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③，当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝-4±6，故点E （-3，-4＋6）或（-3，-4−6）； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3，故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(346)--+，，或(346)---，或（1，−3）． ∴存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ---+----，，，，，，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）（2）证明见解析（3）P 1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级上学期第一次月考数学试题
2023-2024学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级上学期第一次月考数学试题1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.下列计算正确的是（）A．B．C．D．3.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O上或在⊙O外4.如图，在⊙O中，，若，则的度数是（）A．B．C．D．5.关于抛物线，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线D．当时，y随x的增大而减小6.某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（）A．35元B．45元C．55元D．65元7.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（）A．7B．8C．9D．108.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（）A．B．C．D．9.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4D．x＜﹣1或x＞3 10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．其中，正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．511.某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按计入总成绩，则他的总成绩为_________分．12.在二次函数y=x2-2x-3中，当0≦x≦3时，y的最大值是_______13.将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的表达式为_____．14.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm 2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm．15.如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为_____．16.在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为_____．17.计算：18.先化简：，再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值．19.如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．(1)以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出，写出点的坐标；(2)求面积20.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：EB=DC；（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．21.如图，已知抛物线经过点和点两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．22.某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？23.如图，是的直径，是的中点，于，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的半径．24.综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；(2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的总经过定点．(1)求a，b，c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；(3)设与x轴相交于两点，当是以为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．。