长沙市高一上学期期中数学试卷C卷新版
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( )A .1B .2C .3D .42.函数2y 34x x =--+的定义域为( )A .(41)--,B .(41)-,C .(11)-,D .(11]-, 3.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π,32π)内的图象是( ) A . B .C .D .4.不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[)2,+∞B .(]1,2C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5.设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .2B .4C .6D .86.若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称,则实数a 的值为( ) A .2B .2±C .4D .4±7.三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是( )A .a c b <<B .b a c <<C .a b c <<D .b c a <<8.已知函数y=f (x )定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是( ) A .50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[]1,4-C .1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]5,5-9.已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=( ) A .5 B .5-C .0D .201910.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A .B .C .D .11.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-,且在()0,1上()3xf x =,则()3log 54f =( )A .32B .23-C .23D .32-12.函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是( )A .5B .4C .3D .6二、填空题13.已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩,则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14.函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______. 15.已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________________.16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (919)=________.17.已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦,若()f x 有最大值或最小值,则m的取值范围为______.18.已知函数()log (4)a f x ax =-(0a >,且1a ≠)在[0,1]上是减函数,则a 取值范围是_________.19.定义在[3,3]-上的奇函数()f x ,已知当[0,3]x ∈时,()34()x x f x a a R =+⋅∈,则()f x 在[3,0]-上的解析式为______.20.已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21.已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值; (2)设()()2g x f x x =-,若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立,求实数k 的取值范围.22.已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. (1)判断()f x 的奇偶性;(2)若()f x 在[)2,+∞是增函数,求实数a 的范围. 23.设全集U=R ,集合A={x|1≤x <4},B={x|2a≤x <3-a}.(1)若a=-2,求B∩A ,B∩(∁U A);(2)若A∪B=A ,求实数a 的取值范围. 24.已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞,且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >. (1)求()1f 的值;(2)解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25.已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. (Ⅰ)当a=3时,求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值;(Ⅱ)求函数()f x 的定义域,并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域.(用a 表示)26.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |1≤x ≤5,x ∈Z},C ={x |2<x <9,x ∈Z}.求 (1)A ∪(B ∩C );(2)(∁U B )∪(∁U C ).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程,得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=,易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆,所以根据子集的定义, 集合C 必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4, 原题即求集合{}3,4的子集个数,即有224=个,故选D. 【点评】本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.2.C解析:C 【解析】要使函数有意义,需使210{340x x x +>--+>,即1{41x x >--<<,所以1 1.x -<< 故选C3.D解析:D 【解析】解:函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示, 故选D .4.C解析:C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件,根据对数函数的单调性性,对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a, 当1a >时,由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解,故舍去; 当01a <<时,()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立,所以12a ≤,解得112a ≤<. 故选:C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性,涉及到复合函数问题,属于中档题.5.C解析:C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式,代入求解;当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.6.B解析:B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数,得到()()f x f x =-,进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称,即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即:()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立,即:222141x a x +-=24a ∴=,解得:2a =±本题正确选项:B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题,关键是能够明确恒成立时,对应项的系数相同,属于常考题型.7.B解析:B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<,故选B.8.C解析:C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3], ∴由−2⩽2x −1⩽3, 解得−12⩽x ⩽2, 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,本题选择C 选项.9.A解析:A 【解析】 【分析】根据函数f (x )=ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3,2a ]上的偶函数,即可求出a ,b ,从而得出f (x )的解析式,进而求出f (a )+f (b )的值. 【详解】∵f (x )=ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3,2a ]上的偶函数; ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩;∴a =1,b =0; ∴f (x )=x 2+2;∴f (a )+f (b )=f (1)+f (0)=3+2=5. 故选:A . 【点睛】本题考查偶函数的定义,偶函数定义域的对称性,已知函数求值的方法.10.C解析:C 【解析】由题意知,函数sin 21cos xy x =-为奇函数,故排除B ;当πx =时,0y =,故排除D ;当1x =时,sin 201cos 2y =>-,故排除A .故选C . 点睛:函数图像问题首先关注定义域,从图像的对称性,分析函数的奇偶性,根据函数的奇偶性排除部分选择项,从图像的最高点、最低点,分析函数的最值、极值,利用特值检验,较难的需要研究单调性、极值等,从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.11.D解析:D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得:()354f log =()3log 23f +, 则()354f log =()31log 21f -+,且()()331log 21log 21f f +=--,由于()3log 211,0-∈-,故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-,据此可得:()()3312log 21log 213f f +=-=-,()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,函数的周期性及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.A解析:A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析,把求零点个数转化成求方程的根,结合图象,数形结合得到根的个数,即可得到零点个数. 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根, 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示:由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根, 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选:A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系,注意结合图象,利用数形结合求得结果时作图很关键,要标准.二、填空题13.4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为:4【点睛】本题考查解析:4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时,令()3f x =,则2413x x --+=,解得22x =-±0x >时,()31xf x =>,1x =,做出函数()f x ,1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩,∴当0x ≤时,()()2241255f x x x x =--+=-++≤,令()3f x =,则2413x x --+=, 解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时,()31xf x =>,令()3f x =得1x =,作出函数()f x ,1,22,22y y y ==-=--由图像可知,()f x 与1y =有两个交点,与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为:4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数,考查了数形结合的思想,属于基础题.14.【解析】设()因为是增函数要求原函数的递减区间只需求()的递减区间由二次函数知故填解析:()-3∞-,【解析】设2log y t =,223t x x =+-,(0t >)因为2log y t =是增函数,要求原函数的递减区间,只需求223t x x =+-(0t >)的递减区间,由二次函数知(,3)x ∈-∞-,故填(,3)x ∈-∞-.15.【解析】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析:()3+∞,【解析】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示,要满足存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则24m m m -<,解得3m >,故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数,函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题,关键在于能利用数形结合思想,通过对函数图象的分析,转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16.6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析:6 【解析】 【分析】先求函数周期,再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-,再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用,考查基本求解能力.17.或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解:∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析:{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围,利用对数函数、二次函数的性质,进一步求出m 的范围. 【详解】解:∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦,若()f x 有最大值或最小值,则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值,且y 取最值时,0y >.当0m =时,22y x =--,由于y 没有最值,故()f x 也没有最值,不满足题意.当0m >时,函数y 有最小值,没有最大值,()f x 有最大值,没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---,且 24(2)(2)04m m m m--->, 求得 2m >;当0m <时,函数y 有最大值,没有最小值,()f x 有最小值,没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---,且 24(2)(2)04m m m m--->, 求得23m <-. 综上,m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为:{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、对数函数的性质,二次函数的最值,属于中档题. 18.;【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数(且)在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析:(1,4);【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论,利用复合函数的单调性,结合对数函数的性质求出a 取值范围.【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-(0a >,且1a ≠)在[0,1]上是减函数,当1a >时,故本题即求4t ax =-在满足0t >时,函数t 的减区间,∴40a ->,求得14a <<,当01a <<时,由于4t ax =-是减函数,故()f x 是增函数,不满足题意,综上可得a 取值范围为(1,4),故答案为:(1,4).【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,对数函数,理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键,属于中档题.19.f (x )=4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f (x )已知当x∈03时f(x )=3x+a4x (a∈R)当x =0时f (0)=0解得解析:f (x )=4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-,再设30x ≤≤﹣ ,代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3,3]上的奇函数f (x ),已知当x ∈[0,3]时,f (x )=3x +a 4x (a ∈R ), 当x =0时,f (0)=0,解得1+a =0,所以a =﹣1.故当x ∈[0,3]时,f (x )=3x ﹣4x .当﹣3≤x ≤0时,0≤﹣x ≤3,所以f (﹣x )=3﹣x ﹣4﹣x ,由于函数为奇函数,故f (﹣x )=﹣f (x ),所以f (x )=4﹣x ﹣3﹣x .故答案为:f (x )=4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,属于常考题型.20.3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得:【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析:3【解析】【分析】首先化简所给的指数式,然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则,整体数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21.(1)1,0a b ==;(2)4k <.【解析】【分析】(1)函数()g x 的对称轴方程为1x =,开口向上,则在[]2,3上单调递增,则可根据最值列出方程,可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <,则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值,然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解:(1)()g x Q 开口方向向上,且对称轴方程为 1x =,()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.(2)()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有(1)知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-,即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法,注意讨论对称轴和区间的位置关系,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和基本不等式的应用,属于中档题. 22.(1)当时,为偶函数,当时,既不是奇函数,也不是偶函数,;(2)(16]-∞,. 【解析】 【分析】【详解】(1)当时,,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ,,,,为偶函数. 当时,2()(00)a f x x a x x =+≠≠,, 取,得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠,, (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠,,函数既不是奇函数,也不是偶函数.(2)设122x x ≤<, ,要使函数在[2)x ∈+∞,上为增函数,必须恒成立. 121204x x x x -<>Q ,,即恒成立.又,.的取值范围是(16]-∞,. 23.(1)B ∩A =[1,4),B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5);(2)1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可;(2 )分类讨论B 是否是空集,列出不等式组求解即可.【详解】(1)∵A ={x |1≤x <4},∴∁U A ={x |x <1或x ≥4},∵B ={x |2a ≤x <3-a },∴a =-2时,B ={-4≤x <5},所以B ∩A =[1,4),B ∩(∁U A )={x |-4≤x <1或4≤x <5}=[-4,1)∪[4,5).(2)A ∪B =A ⇔B ⊆A ,①B =∅时,则有2a ≥3-a ,∴a ≥1,②B ≠∅时,则有,∴,综上所述,所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用,属于简答题.要解答本题,首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想,将并集问题转化为子集问题,其次分类讨论进行解答,解答集合子集过程中,一定要注意空集的讨论,这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方,一定不等掉以轻心.24.(1)()10f = (2){|10}x x -≤<.【解析】【分析】(1)根据()()()f xy f x f y =+,令1x y ==,即可得出()1f 的值;(2)由0x y <<,都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数,根据()f x 的单调性,结合函数的定义域,列出不等式解出x 的范围即可.【详解】(1)令1x y ==,则()()()111f f f =+,()10f =.(2)解法一:由x y <<,都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数,且030x x ->⎧⎨->⎩,即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+,(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭,即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩,解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法,属于中档题.定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ,则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25.(Ⅰ)max ()1f x =,min ()1f x =-;(Ⅱ)()f x 的定义域为(2,2)-,()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-.【解析】【分析】【详解】试题分析:(Ⅰ)当3a =时,求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值,令()22x u x x-=+,变形得到该函数的单调性,求出其值域,再由()()log a f x u x =为增函数,从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值;(Ⅱ)求函数()f x 的定义域,由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域,求函数()g x 的值域,函数()f x 的定义域,即()g x 的定义域,把()f x 的解析式代入()g x 后整理,化为关于x 的二次函数,对a 分类讨论,由二次函数的单调性求最值,从而得函数()g x 的值域.试题解析:(Ⅰ)令24122x u x x -==-++,显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减,故u ∈1[,3]3,故3log [1,1]y u =∈-,即当[1,1]x ∈-时,max ()1f x =,(在3u =即1x =-时取得) min ()1f x =-,(在13u =即1x =时取得) (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-,由题易得:2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-, 因为0,1a a >≠,故()g x 的开口向下,且对称轴10x a =>,于是: 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时,()g x 的值域为(11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+;2o当12a≥即1(0,]2a∈时,()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点:复合函数的单调性;函数的值域.26.(1)A∪(B∩C)={1,2,3,4,5}.(2)(∁U B)∪(∁U C)={1,2,6,7,8}.【解析】试题分析:(1)先求集合A,B,C;再求B∩C,最后求A∪(B∩C)(2)先求∁U B,∁U C;再求(∁U B)∪(∁U C).试题解析:解:(1)依题意有:A={1,2},B={1,2,3,4,5},C={3,4,5,6,7,8},∴B∩C={3,4,5},故有A∪(B∩C)={1,2}∪{3,4,5}={1,2,3,4,5}.(2)由∁U B={6,7,8},∁U C={1,2};故有(∁U B)∪(∁U C)={6,7,8}∪{1,2}={1,2,6,7,8}.。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(解析版)
2023年下学期高一期中考试数学(答案在最后)时量:120分钟满分:150分一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知U =R ,集合{A x y ==,{}N 12B x x =∈-≤,则图中阴影部分表示的集合为()A.{}1 B.{}0,1 C.{}1,2 D.{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】根据Venn 图表示的集合计算.【详解】由书已知|2}{A x x =≥,{0,1,2,3}B =,{|2}U A x x =<ð,阴影部分集合为(){0,1}U A B = ð,故选:B.2.命题“0x ∃<,使得22x x +>”的否定为()A.0x ∀<,22x x +> B.0x ∃≥,使得22x x +>C.0x ∀<,22x x +≤ D.0x ∃≥,使得22xx +≤【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词命题的否定形式,改量词、否结论即可判断出选项.【详解】由命题“0x ∃<,使得22x x +>”,则命题的否定为“0x ∀<,22x x +≤”.故选:C .3.函数()221xf x x =-的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项,再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论.【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±,且()()221xf x f x x --==--,故函数为奇函数,故排除BD ,由()4203f =>,1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-,故C 错误,故选:A.4.如图,把直截面半径为25cm 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料,如果矩形的一边长为x (单位:cm ),面积为y (单位:2cm ),则把y 表示为x 的函数的解析式为()A.y x =B.y x =,050x <<C.y x =D.y x =050x <<【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立函数关系即可.【详解】如图,圆的直径250cm AC OC ==,矩形的边 c m AB x =.∵90ABC ∠=︒,∴由勾股定理,得22500cm BC x =-,∴矩形ABCD 的面积222500cm y AB BC x x =⋅=⋅-,又∵050AB AC <<=,∴050x <<.故选:B.5.函数()r f p =的图象如图所示,则函数()r f p =的定义域、值域分别是()A.[]5,0-,[]2,5B.[]5,6-,[]2,5C.[][)5,02,6-⋃,[)0,∞+ D.[][)5,02,6-⋃,(),-∞+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和值域的定义,结合函数图象进行求解即可.【详解】自变量p 可取{50p p -≤≤或}26p ≤<内的任意值,∴定义域为{50p p -≤≤或}26p ≤<.函数值范围为{25r r ≤≤或}0r ≥,即{}0r r ≥,∴值域为{}0r r ≥.故选:C.6.镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别.则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为()A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学【答案】C 【解析】,的大小关系即可得出答案.【详解】102525==,105232==.∵2532<<又∵6339==,6328==><<.又因为镜片折射率越高,镜片越薄,故甲同学创作的镜片最厚,乙同学创作的镜片最薄.故选:C.7.函数2y x =+的值域为()A.(,8]-∞ B.(,8]-∞-C.[2,)+∞ D.[4,)+∞【答案】A 【解析】t =,化简函数为2246y t t =-++,结合二次函数的性质,即可求解.t =,则0t ≥,且23x t =-,则函数可化为2222(3)42462(1)88y t t t t t =⋅-+=-++=--+≤,所以函数的值域为(,8]-∞.故选:A.8.已知函数()f x 是定义在[)0,∞+的单调函数,且对于任意的[)0,x ∈+∞,都有()2f f x ⎡-=⎣,若关于x 的方程()2f x x k +=+恰有两个实数根,则实数k 的取值范围为()A.92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意,设()t f x =()f x t =,结合()2f t =,求得()1f x =+,把方程转化为y x =-和1y k =-有两个交点,设m ()22g m m m =-++,结合二次函数的性质,得到()max 94g m =和()02g =,即可求解.【详解】因为函数()f x 是[)0,∞+的单调函数,且对于任意的[)0,x ∈+∞,都有()2f f x ⎡-=⎣,所以()f x 为定值,设()t f x =,可得()f x t =,又由()2f t =2t +=,解得1t =或2t =-(舍去),所以()1f x =,则方程()2f x x k +=+1x k =+,即1x k +-=,则关于x 的方程()2f x x k +=+1x k =-,即函数y x =和1y k =-有两个交点,设m 22x m +=,即22x m =-且0m ≥,可得()22g m m m =-++,当1[0,]2m ∈时,函数()g m 单调递增;当1[,)2m ∈+∞时,函数()g m 单调递减,所以()max 19(24g m g ==,且()02g =,当x →+∞时,()g m →-∞,要使得方程()2f x x k +=+恰有两个实数根,可得9214k ≤-<,解得1334k ≤<,即实数k 的取值范围为133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选:C.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列说法正确的有()A.R x ∀∈,0x x +≥B.“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件C.“0ab ≠”是“220a b +≠”的充要条件D.“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件【答案】ABD【分析】按x 分类讨论去绝对值判断选项A ;先求得不等式2a a >的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B ;先将0ab ≠和220a b +≠化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C ;先将110a b<<化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D.【详解】选项A :当0x ≥时,20x x x +=≥;当0x <时,00x x +=≥,故有R x ∀∈,0x x +≥.判断正确;选项B :由2a a >,可得1a >或a<0,则由1a >可得2a a >成立,但由2a a >不能得到1a >.则“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件.判断正确;选项C :由0ab ≠可得0a ≠且0b ≠;由220a b +≠可得0a ≠或0b ≠;则“0ab ≠”是“220a b +≠”的充分不必要条件.判断错误;选项D :由110a b<<可得0a b >>,则“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件.判断正确.故选:ABD10.已知()221x x af x +=-是奇函数,则()A.1a = B.()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞D.()3xf f >的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A :根据奇函数的定义分析求解;对于B :利用分离常数法结合指数函数单调性分析判断;对于B :根据指数函数值域结合不等式性质分析判断;对于D :根据()f x 的单调性分析求解.【详解】令210x -≠,解得0x ≠,可知()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ,因为()221x x af x +=-是奇函数,则()()()()12122221102121212121----+++⋅++-=+=-==-=-----x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a ,可得1a =,故A 正确;因为()21212121x x xf x +==+--,可知21x y =-在(),0∞-上单调递增,且210x y =-<在(),0∞-上恒成立,所以()f x 在(),0∞-上单调递减,故B 错误;因为()()211,00,x-∈-+∞ ,则()()1,10,21∈-∞-+∞-U x,即()()2,20,21∈-∞-+∞-U x,可得()()21,11,21+∈-∞-+∞-U x 所以()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞,故C 正确;因为3x 均为正数,且()f x 在()0,∞+上单调递减,由()3xf f >,可得1233<=x,解得12x <,所以()3xf f >的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ,故D 正确;故选:ACD.11.若0a >,0b >,且41a b +=,则下列说法正确的是()A.ab 有最大值116B.+2C.1aa b+有最小值5 D.2216a b +有最小值2【答案】AC 【解析】【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A :因为()24111444416a b ab ab +=⨯≤⨯=,当且仅当142a b ==时,等号成立,所以ab 有最大值116,故A 正确;对于选项B:因为24442a b a b a b +=+++++=,当且仅当142a b ==+≤,+,故B 错误;对于选项C :144115a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+,当且仅当4b aa b =,即123a b ==时,等号成立,所以1aa b+有最小值5,故C 正确;对于选项D :因为221624a b ab ≥+⨯,则()()2222221616244a bab ab a b +≥++⨯=+,所以()222411622a b a b +≥+=,当且仅当142a b ==时,等号成立,所以2216a b +有最小值12,故D 错误.故选:AC.12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数.对任意,R a b ∈,总有()()()f a b f a f b +=+,()213f -=,且0x <时,()0f x >恒成立.则()A.()423f =-B.()f x 是偶函数C.()f x 在()0,∞+上单调递减D.122023202320243339f f f ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(注:()1122n n n +++⋅⋅⋅+=)【答案】ACD 【解析】【分析】求得()2f 的值判断选项A ;利用函数奇偶性定义判断选项B ;利用函数单调性定义判断选项C ;求得122023333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值判断选项D.【详解】由对任意,R a b ∈,总有()()()f a b f a f b +=+,令==0a b ,则()()()0000f f f +=+,则()0=0f ,令,a x b x ==-,则()()()f x x f x f x -=+-,则有()()()00f x f x f +-==,故()()f x f x -=-则()f x 是奇函数,故选项B 判断错误;又由()213f -=,可得()213f =-,则()()()()22421111333f f f f ⎛⎫=+=+=-+-=- ⎪⎝⎭,故选项A 判断正确;设任意()12,0,x x ∈+∞,12x x <,则()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-,又120x x -<,则()120f x x ->,则()()12f x f x >,则()f x 在()0,∞+上单调递减.故选项C 判断正确;122023122023333333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122023120232024202310123323f f f ++⋅⋅⋅+⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1202310123f ⎛⎫=⨯⋅⎪⎝⎭,又由()111111213333333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,可得1239f ⎛⎫=-⎪⎝⎭则22023202420231012202310123991f ⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.集合{}0A =,{}0,1,2,3B =,A C B ≠⊆⊂,则符合条件的集合C 的个数为__________.【答案】7【解析】【分析】根据A C B ≠⊆⊂,列举求解.【详解】解:因为集合{}0A =,{}0,1,2,3B =,且A C B ≠⊆⊂,所以集合C 为:{}{}{}{}{}{}{}0,0,1,0,2,0,3,0,1,2,0,1,3,0,2,3,故答案为:714.若关于x 的不等式240x mx -+≥对[]1,4x ∈恒成立,则实数m 的范围是__________.【答案】(],4∞-【解析】【分析】根据题意,分离参数可得4m x x≤+在[]1,4x ∈恒成立,结合基本不等式即可得到结果.【详解】要使不等式240x mx -+≥对[]1,4x ∈恒成立,即4m x x≤+在[]1,4x ∈恒成立,因为44x x +≥=,当且仅当4x x =时,即2x =时取等号,所以4m ≤,即实数m 的范围是(],4∞-.故答案为:(],4∞-15.已知a ,0b >且3ab a b =++,则a b +的取值范围为________.【答案】[)6,+∞【解析】【分析】利用基本不等式变形,然后解不等式即可.【详解】由题意,0a b >,且232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭,当且仅当3a b ab a b =⎧⎨=++⎩时,即3a b ==时等号成立,令0t a b =+>,则上式为:232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,即24120t t --≥,解得6t ≥或2t ≤-(舍),所以a b +的取值范围为[)6,+∞.故答案为:[)6,+∞.16.已知函数()12,012,02x x x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩若存在实数k ,使得方程()f x k =有4个不同实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<,则k 的取值范围是_________;121234222x x x x x x +⋅+的值为__________.【答案】①.(]0,1②.14##0.25【解析】【分析】结合函数图像,即可求出k 的取值范围;12,x x 是方程122x k -=的两根,则可求得1211422x x +=,即112221224x x x x +=+,3x ,4x 是方程12x k x +-=的两个根,化简结合韦达定理得341x x =,进而可求121234222x x x x x x +⋅+的值.【详解】由()12,012,02xx x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩,即()12,012,10212,12x x x x x f x x x ⎧+->⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-≤-⎪⎩由结合()f x 图象可知k 的取值范围是(]0,1,12,x x 是方程122x k -=的两根,即12112222x x k -=-=,故1211422x x +=,即112221224x x x x +=+,由题意得3x ,4x 是方程12x k x+-=的两个根,即方程()2210x k x -++=的两个根,所以341x x =,则12123421112244x x x x x x +⋅=⋅=+故答案为:(]0,1,14.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)计算:()1202321270.3 1.548--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2)若11223x x-+=,求3317x x x x --+++的值.【答案】(1)12-;(2)23【解析】【分析】(1)进行指数式运算可得;(2)将11223x x-+=两边同时平方可得到1x x -+的值,再将1x x -+平方可求出22x x -+的值,再用立方和公式将33x x -+分解,代入1x x -+、22x x -+的值,即可求出3317x x x x --+++的值.【详解】(1)原式232223133133112222222----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)因为11223x x-+=,所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭,得17x x -+=.所以()2122249x x x x --+=++=,得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x xx x x x ---+=+-+=⨯-=,所以33132223777x x x x --+==+++.18.已知全集为R ,集合{}211A x m x m =-≤≤+,322B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭.(1)若12m =,求()R A B ð;(2)若x B ∀∈R ð,x A ∈R ð,求实数m 的取值范围.【答案】(1)102x x ⎧⎫≤<⎨⎩⎭(2)314m ≤<或m>2【解析】【分析】(1)解分式不等式得集合B ,再根据补集与交集的运算即可得;(2)由题意知A B ⊆,所以A =∅或A ≠∅,求出取值范围.【小问1详解】若12m =,则302A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,由322x -≥,解得122x ≤<,则122B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭,则122B x x x ⎧⎫=<≥⎨⎬⎩⎭R 或ð,则()R 102A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭ð.【小问2详解】由题意知A B ⊆,当211m m ->+,即>2m 时,A =∅,符合题意;当211m m -≤+,即2m ≤时,A ≠∅,要满足A B ⊆,可得121122m m ≤-≤+<,解得314m ≤<,综上,实数m 的取值范围为314m ≤<或>2m .19.已知函数()24ax bf x x +=+是定义在()2,2-上的奇函数,且()115f =.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在()2,2-上的单调性,并用定义证明.【答案】(1)()24xf x x =+(2)单调递增,证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义()2,2-奇函数特征,()00f =,求出b 的值,又()115f =,求出a 的值,得到()f x 的解析式,并检验.(2)利用定义法证明函数单调性.【小问1详解】函数24ax bx ++是定义在()2,2-上的奇函数,则()00f =,即有0b =,且()115f =,则1145a =+,解得1a =,则函数()f x 的解析式:()24xf x x =+,22x -<<,经检验,()f x 是奇函数.【小问2详解】证明:设22m n -<<<,则()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++,由于22m n -<<<,则0m n -<,4mn <,即40mn ->,又()()22440m n ++>,则有()()0f m f n -<,则()f x 在()2,2-上是增函数.20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍惜水果树的单株产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩,肥料成本投入为10x 元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为()f x (单位:元)(1)写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果单株利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩;(2)4千克,480元﹒【解析】【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式;(2)根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值即可.【小问1详解】依题意()15()1020f x W x x x =--,又()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩,∴()27530225,0275030,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩.【小问2详解】当02x ≤≤时,2()7530225f x x x =-+,开口向上,对称轴为15x =,()f x ∴在10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在1,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,()f x ∴在[]0,2上的最大值为()2465f =.当25x <≤时,()25780301780304801f x x x ⎛⎫=-++≤-⨯= ⎪+⎝⎭,当且仅当2511x x=++时,即4x =时等号成立.∵465480<,∴当4x =时,()max 480f x =.∴当投入的肥料费用为40元时,种植该果树获得的最大利润是480元.21.我们知道,函数()y f x =的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象是关于点(),P a b 的中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.(1)求函数()()121xf x x =∈+R 的对称中心;(2)函数()1g x m x=+,若对任意[]15,6x ∈,都存在[]20,2x ∈,使得()()12g x f x =,求实数m 的取值范围.【答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2213,,353010⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】【分析】(1)构造函数()()h x f x a b =+-,由()()0h x h x -+=列方程组,从而求得对称中心.(2)先求得()f x 在区间[]0,2上的值域,根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式,从而求得m 的取值范围.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(),a b ,则()()121x a h x f x a b b +=+-=-+的图象关于原点中心对称,因为()h x 的定义域为R ,所以()()1102121x ax ah x h x b b -++-+=-+-=++恒成立,即()()2122222220x ax a a b b b +-+-++--⋅=恒成立,所以212022220ab b b -=⎧⎨--⋅=⎩,解得012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】函数()()121xf x x =∈+R 在区间[]0,2上单调递减,其在区间[]0,2上值域为11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由题可知[]15,6x ∀∈,()111,52g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即()1152g x ≤≤对[]5,6x ∈恒成立.由11152m x ≤+≤得11152m x ≤+≤或11125m x -≤+≤-;即111152m x x -≤≤-或111125m x x --≤≤--对[]5,6x ∈恒成立,所以133010m ≤≤或2235m -≤≤-,故m 的取值范围为2213,,353010⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【点睛】判断一个函数是否是奇函数,首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后利用定义:()()f x f x -=-,或()()0f x f x -+=来确定函数是否是奇函数.对于存在性、恒成立问题,可以转化为值域问题来进行求解.22.已知函数()()1f x x m x =+,m ∈R .(1)若1m =-,写出函数()f x 在[]1,1-上的单调区间,并求()f x 在[]1,1-内的最小值;(2)设关于对x 的不等式()()f x m f x -<的解集为A ,且[]1,1A -⊆,求实数m 的取值范围.【答案】(1)()f x 在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,在区间11,22⎡⎤-⎢⎣⎦递增;最小值为14-(2)m <或0m >【解析】【分析】(1)先求得()f x 的解析式,然后求得()f x 的单调区间,并求得最值.(2)对m 进行分类讨论,根据不等式()()f x m f x -<的解集以及[]1,1A -⊆,列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】若1m =-,则()()22,0,1,0,x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-=⎨+<⎩()f x 在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减,在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增;()10f =,1124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,故()f x 在[]1,1-的最小值为14-.【小问2详解】由题可知()()f x m f x -<在区间[]1,1-恒成立,显然0m ≠,且()()1f x x m x =+为R 上的奇函数,①当0m >时,()f x 为R 上的增函数,此时恒有()()f x m f x -<,符合题意;②当0m <时,令0x =得:()()0f m f -<,所以()10m m m --+<,解得:1m <-,或者0m >(舍去).(i )[)1,0x ∈-时,()()1f x x mx =-+,()()()2f x m m x m x m -=-+-,()()()()()22231220f x m f x m x m x m x mx mx m x m m --=-+---+=-+-<,又1m <-,所以222210x mx m -+->,令()22221h x x mx m =-+-,则()()2212110h m m m -=++=+>,()2010h m =->,所以当12m<-时,即2m <-时,()0h x >恒成立,当21m -≤<-时,只要21022m mh ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,得2m -≤<,所以m <.(ii )(]0,1x ∈时,()2f x mx x =+,()()2f x m m x m x m -=-+-,∴()()()()()222320f x m f x m x m x m mx x m x m m --=-+--+=-+-<,∴2210mx m -+->,显然恒成立.综上所述,m 的取值范围为m <或0m >.。
湖南省长沙市2019年高一上学期期中数学试卷C卷
湖南省长沙市2019年高一上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题;共20分)1. (2分)有如下结论:①m∈(P∪Q)⇒m∈P;②m∈(P∩Q)⇒m∈(P∪Q);③P⊆Q⇒P∪Q=Q;④P∪Q =P⇒P∩Q=Q.其中正确的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. (2分)(2017·黑龙江模拟) 已知函数f(x)= ,若存在x1、x2、…xn满足 = =…= = ,则x1+x2+…+xn的值为()A . 4B . 6C . 8D . 103. (2分) (2020高三上·泸县期末) 定义域为的函数对任意都有,且其导函数满足,则当时,有()A .B .C .D .4. (2分) (2016高一下·黄陵开学考) 函数f(x)=(x﹣)0+ 的定义域为()A .B . [﹣2,+∞)C .D .5. (2分)已知函数,关于f(x)的性质,有以下四个推断:①f(x)的定义域是(﹣∞,+∞);②f(x)的值域是[];③f(x)是奇函数;④f(x)是区间(0,2)上的增函数.其中推断正确的个数是()A . 1B . 2C . 3D . 46. (2分)等比数列的各项均为正数,且,则()A . 12B . 10C .D .7. (2分)已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则()A . [1,2)B . [1,2]C . (1,2)D . (1,2]8. (2分) (2016高一上·吉安期中) 定义在R的奇函数f(x),当x<0时,f(x)=﹣x2+x,则x>0时,f (x)等于()A . x2+xB . ﹣x2+xC . ﹣x2﹣xD . x2﹣x9. (2分)已知,且,则的值为()A .B .C .D .10. (2分)已知f(x)=log3x,则的大小是()A .B .C .D .二、填空题 (共5题;共5分)11. (1分) (2016高一上·安阳期中) 设集合A={x|x=2k﹣1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈N,且k<3},则A∩B=________.12. (1分) (2016高一上·福州期中) 下列说法:①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[﹣1,a])是偶函数,则实数b=﹣2;②f(x)= + 既是奇函数又是偶函数;③若f(x+2)= ,当x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则f(2015)=2;④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),则f (x)是奇函数.其中所有正确命题的序号是________.13. (1分) (2019高一上·安庆月考) 已知为R上的奇函数,当时, ,则的解析式为________.14. (1分) (2015高三上·河西期中) 函数f(x)= x3﹣ax2﹣4在(3,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为________15. (1分) (2016高一上·沈阳期中) 设函数f(x)=x|x|+bx+c(b,c∈R),给出如下四个命题:①若c=0,则f(x)为奇函数;②若b=0,则函数f(x)在R上是增函数;③函数y=f(x)的图象关于点(0,c)成中心对称图形;④关于x的方程f(x)=0最多有两个实根.其中正确的命题________三、解答题 (共7题;共50分)16. (10分) (2016高一上·扬州期末) 已知全集U=R,集合A={x|2≤x<7},B={x|0<log3x<2},C={x|a <x<a+1}.(1)求A∪B,(∁UA)∩B;(2)如果A∩C=∅,求实数a的取值范围.17. (5分)已知函数f(x)=|x2﹣1|+m|x+1|+a有最小值f(2)=﹣4,(a)作出函数y=f(x)的图象,(b)写出函数f(1﹣2x)的递增区间.18. (5分)已知函数f(x)=且f[f()]=(Ⅰ)求实数p的值;(Ⅱ)若方程f(x)﹣m=0有3个不同的解,求实数m的取值范围;(Ⅲ)若x∈[﹣1,16]时,f(x)≤n+1恒成立,求实数n的取值范围.19. (5分)已知函数f(x)=b•ax ,(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32)(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式+1﹣2m≥0在x∈(﹣∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.20. (10分) (2016高二下·南城期末) 已知函数f(x)= 是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上的最小值为﹣1,求实数a的取值范围.21. (5分)(2017·齐河模拟) 已知函数f(x)=ln(1+x)﹣ax,.(Ⅰ)当b=1时,求g(x)的最大值;(Ⅱ)若对∀x∈[0,+∞),f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)证明.22. (10分) (2016高一上·双鸭山期中) 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个正根,求m的取值范围.(2)若方程有两根,其中一根在区间(﹣1,0)内,另一根在区间(1,3)内,求m的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题;共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题;共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题;共50分) 16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、22-1、22-2、第13 页共13 页。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
27 8
ö÷ø
2 3
+ (1.5)-2 ;
试卷第41 页,共33 页
1
(2)若 x2
+
x
-
1 2
=
3 ,求
x3 + x-3 x + x-1 + 7
的值.
六、问答题
18.已知全集为 R
,集合
A
=
{x
2m
-1 £
x
£
m +1} , B
=
ì í
x
î
2
3 -
x
³
2üý . þ
(1)若
m
=
1 2
,求
A
I
(ðR B )
=
-2x x2 -1
=
-
f
(x)
,故函数为奇
函数,故排除 BD,
由
f
(2)
=
4 3
>
0
,
f
æ çè
1 2
ö ÷ø
=
1
-
3 4
=
-
4 3
,故
C
错误,
故选:A. 4.B 【分析】根据题意建立函数关系即可. 【详解】如图,
答案第11 页,共22 页
圆的直径 AC = 2OC = 50cm ,矩形的边 AB = x cm. ∵ ÐABC = 90° , ∴由勾股定理,得 BC = 2500 - x2cm , ∴矩形 ABCD 的面积 y = AB × BC = x × 2500 - x2 cm2 , 又∵ 0 < AB < AC = 50 , ∴ 0 < x < 50 . 故选:B. 5.C 【分析】根据函数的定义域和值域的定义,结合函数图象进行求解即可.
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2=P x x x <,则()A.1P -∈B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集,则符合条件的实数a 的值共()A.1个B.2个C.3个D.无数个4.“12x >”是“12x <”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()f x x =-)A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞6.已知,,a b R a b ∈>,则下列不等式不恒成立的是()A .a b +> B.0a b -> C.22a b > D.11a b<7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===,则,,a b c 的大小关系正确的是()A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<8.设函数()y f x =的定义域为R ,对于任一给定的正数p ,定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()221f x x x =--,则下列结论:①()222f =;②()2f x 的值域为[]22-,;③()2f x 在[]1,1-上单调递减;④函数()21y f x =+为偶函数.其中正确的结论共有()A .4个B.3个C.2个D.1个二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列各组函数中,()f x 与()g x 是同一函数的是()A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xxf xg x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是()A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+--D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩11.下列命题中正确的是()A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题,则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题,则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题,则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题,则{}02M x x ⊆<<12.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“三角形型函数”.则下列函数中为“三角形型函数”的是()A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()xf x a-=(其中0,1a a >≠)在R 上递增,则a 的取值范围是__________.14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩,则使得()1f a =的a 的值为__________.15.函数()f x =A ,若3A ∈,则a 的取值范围是__________.16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为__________;(2)若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==,则实数a 的取值范围是__________.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭.(1)求集合,A B ;(2)求()()R RA B痧.18.从偶函数的定义出发,证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数.(1)求实数a 的值,并说明理由;(2)求函数()f x 的值域.20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x ([]0,10x ∈)(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服,A 公司在收到政府x (万元)补贴后,防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件),其中k 为工厂工人的复工率([]0.5,1k ∈),A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++(万元).(1)将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入);(2)当复工率0.8k =时,政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大?并求出最大值.21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =.(1)设0,0a b >>,求12a a b++的最小值;(2)若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立,求实数a 的取值范围.22.已知函数()1x f x x =-.(1)讨论函数()f x 的奇偶性和单调性,并说明理由;(2)若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点,求实数k 的取值范围.长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}2=P x x x <,则()A.1P-∈ B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠【答案】B 【解析】【分析】解不等式确定集合P ,然后根据集合的定义和包含关系判断.【详解】由已知{}2={|01}P x x x x x <=<<,因此只有0P ∉正确.故选:B .2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义,复合函数的单调性判断.【详解】11()22()22xxx x f x f x ---=+=+=,函数为偶函数,1()22x xf x =+是由函数1(0)y u u u=+>与函数2x u =复合所得,其中2x u =是R 上的增函数,且(0,)u ∈+∞,0x <时,01u <<,0x >时,1u >,但1y u u=+在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增,所以()f x 在(,0)-∞上递减,在(0,)+∞上递增,排除AB .故选:D .3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集,则符合条件的实数a 的值共()A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得{}1,1T =-,结合S T ⊆,则分类讨论当S =∅,{}1S =,{}1S =-三种情况,分别求出a 的值,即可得出结果.【详解】解:由题可知,集合{}1S x ax ==,集合{}{}2101,1T x x =-==-,S T ⊆ ,则当S =∅时,可知0a =显然成立;当{}1S =时,可得1a =,符合题意;当{}1S =-时,可得1a =-,符合题意;故满足条件的实数a 的值共3个.故选:C.4.“12x >”是“12x <”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】12x >时12x <成立,12x <时如112x =-<,则1x =-12<,因此只能是充分不必要条件,故选:A .5.函数()f x x =-)A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意10x -≥,利用换元法,令t =,得出0t ≥,21x t =-,则将原式转化为关于t 的二次函数,再根据二次函数的图象与性质,即可求出()f x 的最值,即可得出答案.【详解】解:由题可得10x -≥,令t =0t ≥,21x t =-,所以()22151,024f x t t t x t ⎛⎫==--=-++≥ ⎪⎝⎭,当0t =时,()f x 取得最大值为1,没有最小值,所以函数()f x x =-(],1-∞.故选:C.6.已知,,a b R a b ∈>,则下列不等式不恒成立的是()A.0a b +>B.0a b ->C.22a b > D.11a b<【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知0a >,在讨论b 的正负,一一判断即可.【详解】由题意可知,0a >.因0a b >≥,所以22a b >,即22a b >,故C 正确;当0b ≥时,a b >,此时0a b +>与0a b ->都成立,而当0b <时,a b >-,此时0a b +>与0a b ->也都成立,因此AB 正确;当0b <时,因0a >,所以11a b>,故D 错.故选:D.7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===,则,,a b c 的大小关系正确的是()A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】结合函数的单调性确定正确选项.【详解】函数0.1y x -=在()0,∞+上递减,所以a b <.函数0.1x y =在R 上递减,所以b c <.所以a b c <<.故选:A8.设函数()y f x =的定义域为R ,对于任一给定的正数p ,定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数()221f x x x =--,则下列结论:①()222f =;②()2f x 的值域为[]22-,;③()2f x 在[]1,1-上单调递减;④函数()21y f x =+为偶函数.其中正确的结论共有()A .4个B.3个C.2个D.1个【答案】B 【解析】【分析】根据题意,表示出函数()2f x 的解析式,再结合图像性质一一判断即可.【详解】由2212x x --≤,解得13x -≤≤,因此()2221,132,12,3x x x f x x x ⎧---≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩.对于①,()22222211f =-⨯-=-,故①错;对于②,当13x -≤≤时,22212x x -≤--≤,结合()2f x 的解析式可知,()2f x 的值域为[]22-,,故②正确;对于③,当11x -≤≤时,()()2221f x f x x x ==--,结合图像性质可知,()2f x 在[]1,1-上单调递减,故③正确;对于④,()222,2212,22,2x x y f x x x ⎧--≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩,结合图像可知函数()21y f x =+为偶函数,故④正确.故选:B.二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列各组函数中,()f x 与()g x 是同一函数的是()A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==【答案】BC【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可得.【详解】A 中()f x 定义域是[0,)+∞,()g x 的定义域是R ,不是同一函数;B 中1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,与()g x 定义域、对应法则都相同,是同一函数;C 中两个函数定义域都是[1,)+∞,且()f x ==,与()g x 的对应法则相同,是同一函数;D 中两个函数的对应法则不相同,不是同一函数.故选:BC .10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是()A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+-- D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性,化简函数式后,根据函数的表达式判断单调性.【详解】A .1()()f x x f x x-=--=-,是奇函数,由对勾函数性质知其在(0,1)上递减,B .1()()f x x f x x-=-+=-,是奇函数,y x =是R 上的增函数,1y x =在(0,)+∞上是减函数,因此1()f x x x=-在(0,)+∞上递增,B 正确;C .()1111()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,是奇函数,(0,1)x ∈时,()1(1)2f x x x x =+--=,是增函数,C 正确;D .0x >时,()1f x x =+是增函数,又0x >时,0x -<,()1()f x x f x -=--=-,0x <时,()1(1)()f x x x f x -=-+=--=-,所以()f x 是奇函数,D 正确.故选:BCD .11.下列命题中正确的是()A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题,则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题,则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题,则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题,则{}02M x x ⊆<<【答案】AD 【解析】【分析】结合命题的真假性对选项进行分析,由此确定正确选项.【详解】A ,“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题,21x x =,则M P ⊆,A 正确.B ,“()()2212121212,,0x M x P x x x x x x ∀∈∃∈-=+-=”为真命题,21x x =或21x x =-,所以,M P 不一定有包含关系,B 错误.C ,“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题,()()22210,12x x x x x --=-+<-<<,如RM =符合,所以C 错误.D ,“,11x M x ∃∈-≥”为假命题,“,11x M x ∀∈-<”为真命题,111x -<-<,02x <<,则{}02M x x ⊆<<,D 正确.故选:AD12.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“三角形型函数”.则下列函数中为“三角形型函数”的是()A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意,要使()f x 为“三角形型函数”,只需满足两边之和大于第三边,结合函数单调性与不等式的性质,一一判断即可.【详解】根据题意,设0a b c <≤≤,且a b c +>.对于选项A ,易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增,因此()()()22a b cf a f b f c ++=>=,故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,故A 正确;对于选项B ,易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增,因此()()f a f b +=,()f c =,因2a b c =++,所以()()()f a f b f c +>,故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,故B 正确;对于选项C ,当2a b ==,3c =时,()()()8f a f b f c +==,因此不满足题意,故C 错;对于选项D ,()1111f x x x =++-+,结合对勾函数易知()f x 在()0,∞+上单调递增,因()()()111111f a f b a b c f c a b c +=+++>+=+++,所以()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长,故D 正确.故选:ABD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()xf x a -=(其中0,1a a >≠)在R 上递增,则a 的取值范围是__________.【答案】(0,1)【解析】【分析】根据指数函数的单调性求解.【详解】1()xxf x aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭是增函数,则11a >,01a <<.故答案为:(0,1).14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩,则使得()1f a =的a 的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数定义分类讨论可得.【详解】0a <时,()1f a ==,0a =舍去,0a ≥时,2()1f a a ==,1a =,故答案为:1.15.函数()f x =A ,若3A ∈,则a 的取值范围是__________.【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】对a 进行分类讨论,结合函数定义域求得a 的取值范围.【详解】当0a =时,()(),0f x x =∈-∞,()3,0∉-∞,所以0a =不符合题意.所以0a ≠.由于3A ∈,所以()()3160310,,660a a a a a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩解得6a <-或13a ≥.()()12010,220ax x a ax x a x a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩①,当6a <-时,①解得1x a ≤或2ax >-,6,32aa ->->,3A ∉,所以6a <-不符合题意.当13a ≥时,①解得2a x <-或1x a≥,(]10,3a∈,3A ∈,符合题意.综上所述,a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩(1)若1a =,则()f x 的最小值为__________;(2)若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==,则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.1-②.()0,∞+【解析】【分析】(1)1a =时,结合指数函数、绝对值的知识求得()f x 的最小值.(2)对a 进行分类讨论,结合“存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==”求得a 的取值范围.【详解】(1)1a =时,()21,011,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩,()()0,20,1,211,0x x x <∈-∈-,0x ≥,11,10,111x x x -≥--≥--≥-,所以()f x 的最小值为1-.(2)()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩,0x <,021,21x x a a a <<-<-<-,10,1x a x a --==+或1x a =-.若0a ≤,则20x a ->,而10x a =-<,()f x 至多只有1个零点,不符合题意.当01a <<时,()f x 在区间(),0-∞上,()220,log ,0xa x a -==∈-∞,()10,11,2x a x a =-<=+∈,符合题意.当1a =时,()211,0x-∈-,()()00,20f f ==,符合题意.当1a >时,210x a a -<-<,10,12x a x a =->=+>,符合题意.综上所述,a 的取值范围是()0,∞+.故答案为:1-;()0,∞+四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭.(1)求集合,A B ;(2)求()()R RA B痧.【答案】(1)1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭,2,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭;(2)[)2,2⎛∞+∞ ⎝⎦ -,.【解析】【分析】(1)直接解指数型不等式即可得出集合A ,由A 的结果可求出幂函数()12f x x =的值域,从而得出集合B ;(2)根据补集的运算分别求出A R ð和B R ð,再由并集的运算即可求出()()R RA B痧的结果.【小问1详解】解:由题可知,32222112=222=,442x xA x x ---⎧⎫⎧⎛⎫=<<<<⎨⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎩⎭,()()12,B f x f x x x A ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,可知当1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,得12,22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,即(),22f x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,所以,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解:由(1)得1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭,,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则[)1=4,2R A ⎛⎤∞+∞ ⎥⎝⎦ -,ð,[)=2,2R B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -,ð,所以()()[)=2,2R R A B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -,痧.18.从偶函数的定义出发,证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【答案】证明见详解.【解析】【分析】根据()f x 是偶函数的定义,从充分性和必要性两个方面进行推导即可.【详解】不妨设()f x 的定义域为D ,先证,若函数()y f x =是偶函数,则它的图象关于y 轴对称.因为()f x 是偶函数,即()()f x f x =-对任意的x D ∈恒成立,任取()f x 上的一点为()(),x f x ,因为()()f x f x =-,故点()(),x f x -均在()f x 的图象上,又该两点关于y 轴对称,且x 具有任意性,即对函数()f x 上的任意一点,其关于y 轴对称的点也一定在()f x 上,即()f x 的图象关于y 轴对称,即证;再证:若()f x 的图象关于y 轴对称,则()f x 是偶函数.因为()f x 的图象关于y 轴对称,故对图象上的任意一点()(),x f x ,其关于y 轴的对称点()(),x f x -一定也在()f x 上.故点()(),x f x -满足()f x 的解析式,也即()()f x f x -=,又因为x 具有任意性,故()()f x f x -=对任意的x D ∈恒成立.也即()f x 是偶函数.即证.综上所述:函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【点睛】本题考查充要条件的证明,涉及函数奇偶性,属综合基础题.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数.(1)求实数a 的值,并说明理由;(2)求函数()f x 的值域.【答案】(1)a =1-,理由见解析.(2)(,1)(1,)-∞-+∞ 【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义求解;(2)利用指数函数性质和不等式性质求解.【小问1详解】由题意22232()()222031313131x x x x x f x f x a a a a -⨯-+=-+-=+=+=----,1a =-,【小问2详解】由(1)2()131x f x =---2113x=-+-,30x >且31x ≠,031x <<时,0131x <-<,2213x>-,所以()1f x >,31x >时,130x -<.2013x<-,所以()1f x <-,综上,()f x 的值域是(,1)(1,)-∞-+∞ .20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x ([]0,10x ∈)(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服,A 公司在收到政府x (万元)补贴后,防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件),其中k 为工厂工人的复工率([]0.5,1k ∈),A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++(万元).(1)将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入);(2)当复工率0.8k =时,政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大?并求出最大值.【答案】(1)3601808204ky k x x =---+,[]0,10x ∈,[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时,政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】【分析】(1)根据题意得()8020950y x t x t =+-+-,代入1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭化简即可;(2)根据题意,代入0.8k =,再结合均值不等式即可求解.【小问1详解】由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭,即3601808204ky k x x =---+,[]0,10x ∈,[]0.5,1k ∈.【小问2详解】由0.8k =,得288288144820812444y x x x x =---=--+++,因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++,当且仅当2x =时取等号,所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时,政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =.(1)设0,0a b >>,求12a a b++的最小值;(2)若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)3;(2)2,2⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】(1)根据题意可得()1a a b ++=,利用整体代换,从而可得()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭,再利用基本不等式求最值,即可得出结果;(2)由题得出12b a =-,从而得()()212f x ax a x =+-,结合条件可知()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立,分类讨论0a ≥和0a <两种情况,可知当0a ≥时,易知满足题意;当0a <时,可知当0x =或2x =时,()2201a x x x -=≤+恒成立,再通过分离参数法将问题转化为212x a x x +≥-在()0,2上恒成立,令()212x g x x x +=-,()0,2x ∈,化简运算得出()()()13141g x x x =++-+,利用基本不等式求出3141x x ++-+的最小值,从而得出()g x 的最大值,从而得出a 的范围;最后综合即可得出结果.【小问1详解】解:已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =,得422a b +=,则21a b +=,即()1a a b ++=,又因为0,0a b >>,()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫∴+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭33+=≥+,即123a a b +≥++,当且仅当2a b a a a b+=+时,取等号,得12a a b++的最小值为3.【小问2详解】解:已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =,得422a b +=,所以12b a =-,则()()212f x ax a x =+-,又因为对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立,则()()21221f x ax a x x =+-≤+,即()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立,又因为当[]0,2x ∈时,()()2220x x x x -=-≤,10x +>,可知当0a ≥时,()221a x x x -≤+在[]0,2x ∈恒成立,符合题意;当0a <时,可知当0x =或2x =时,()2201a x x x -=≤+恒成立,则212x a x x+≥-在()0,2上恒成立,令()212x g x x x+=-,()0,2x ∈,则()()()()()222211112214114431413x x x x g x x x x x x x x x x ++++====-++--+-+++-++()()()()()()2111331413141411x x x x x x x +===+-+++-+++-++,02x << ,113x ∴<+<,则31441x x ++-≥-+,当且仅当311x x +=+时,即()11,3x +=时,取等号,此时3141x x ++-+的最小值为4,则()max 22g x +==-,所以22a ≥+-,又0a <,解得:202a +-≤<,综上得:实数a的取值范围为2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.22.已知函数()1xf x x =-.(1)讨论函数()f x 的奇偶性和单调性,并说明理由;(2)若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点,求实数k 的取值范围.【答案】(1)()f x 为奇函数,减区间是(,1)-∞-,(1,1)-,(1,)+∞;(2)(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】(1)先确定奇偶性,然后通过分类讨论0x ≥的单调性,利用奇偶性得出单调性;()结合函数图象得出结论.【小问1详解】10x -≠,1x ≠±,函数定义域是{|1}x x ≠±,()()11x xf x f x x x --==-=----,函数是奇函数,0x ≥时,111()1111x x f x x x x -+===+---,[0,1)x ∈时,在[0,1)和(1,)+∞上函数递减,又()f x 是奇函数,所以()f x 在(,1)-∞-和(1,0]-上也是递减,即()f x 在(,1)-∞-同,(1,1)-,(1,)+∞上都是递减函数.【小问2详解】2()g x kx =是偶函数,首先原点是它们图象的一个交点,作出函数图象,()f x 是奇函数,由图象知在(,1)-∞-和(1,)+∞上两个图象总共有且只有一个交点:0k >时在(1,)+∞上有一个交点,在(,1)-∞-上无交点,0k <时,在(,1)-∞-上有一个交点,在(1,)+∞上无交点,因此由题意,在(1,1)-上两个函数图象除原点外还有两个交点.即21xkx x =-在(1,1)-上除0外还有两个不等实根,0x ≠,1(1)x x k=-,0x >时,22111(1)(24x x x x x k =-=-=--,所以1104k -<<,4k <-,0x <时,22111(1)(24x x x x x k =--=--=-++,所以1104k <<,4k >,综上k 的取值范围是(,4)(4,)-∞-⋃+∞.。
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长沙市高一上学期期中数学试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题;共24分)
1. (2分) (2016高三上·怀化期中) 已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0},则A∩B为()
A . (1,3)
B . (1,4)
C . (2,3)
D . (2,4)
2. (2分)下列说法正确的个数是()
(1 )线性回归方程y=bx+a必过
(2)在一个列联表中,由计算得=4.235,则有95%的把握确认这两个变量间没有关系
(3)复数
(4)若随机变量,且p(<4)=p,则p(0<<2)=2p-1
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
3. (2分)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为()
A . 0.95
B . 0.97
C . 0.92
D . 0.08
4. (2分)已知一组数据x,y,30,29,31的平均数为30,方差为2,则的值()
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
5. (2分) (2016高一上·思南期中) 已知a=log20.3,b=20.3 , c=0.30.2 ,则a,b,c三者的大小关系是()
A . c>b>a
B . b>c>a
C . a>b>c
D . b>a>c
6. (2分)某一考场有64个试室,试室编号为001﹣064,现根据试室号,采用系统抽样法,抽取8个试室进行监控抽查,已抽看了005,021试室号,则下列可能被抽到的试室号是()
A . 029,051
B . 036,052
C . 037,053
D . 045,054
7. (2分) (2016高一上·西城期末) 如图,半径为1的圆M,切直线AB于点O,射线OC从OA出发,绕O 点顺时针方向旋转到OB,旋转过程中OC交⊙M于P,记∠PMO为x,弓形PNO的面积S=f(x),那么f (x)的图象是()
A .
B .
C .
D .
8. (2分) (2019高二上·水富期中) 设全集,,()
A .
B .
C .
D .
9. (2分) (2017高二下·乾安期末) 下表是考生甲(600分)、乙(605分)、丙(598分)填写的第一批
段3个平行志愿,而且均服从调剂,如果3人之前批次均未被录取,且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先,遵循志愿”,即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿,按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图,则考生甲、乙、丙被录取院校分别是()
A . 天津大学、中山大学、中山大学
B . 中山大学、天津大学、中山大学
C . 天津大学、厦门大学、中山大学
D . 中山大学、天津大学、厦门大学
10. (2分)函数的反函数是()
A .
B .
C .
D .
11. (2分)已知函数是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数,不等式
恒成立,则不等式的解集为()
A .
B .
C .
D .
12. (2分) (2016高一上·宁波期中) 给定函数:① ,② ,③y=|x2﹣2x|,④y=x+ ,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()
A . ②④
B . ②③
C . ①③
D . ①④
二、填空题 (共4题;共4分)
13. (1分)采取系统抽样的方法从1000名学生中抽出20名学生,将这1000名学生随机编号000~999号并分组:第一组000~049号,第二组050~099号,…,第二十组950~999号,若在第三组中抽得号码为122的学生,则在第十八组中抽得号码为:________的学生.
14. (1分)(2017·宿州模拟) 已知函数,则=________.
15. (1分)(2018·南阳模拟) 若向区域内投点,则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为________.
16. (1分) (2017高二下·长春期末) 函数,则 ________.
三、解答题 (共6题;共75分)
17. (10分) (2016高一上·南充期中) 计算:
(1)(﹣)0+ + ;
(2)+lg22+lg5•lg2+lg5.
18. (15分) (2015高一下·普宁期中) 某中学刚搬迁到新校区,学校考虑,若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟,则学校推迟5分钟上课.为此,校方随机抽取100个非住校生,调查其上学路上单程所需时间(单位:分钟),根据所得数据绘制成如下频率分布直方图,其中时间分组为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课;
(3)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中,随机抽取2人,求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率.
19. (15分) (2016高一下·宝坻期末) 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3,1,2名运动员参加某次比赛,甲协会运动员编号分别为A1 , A2 , A3 ,乙协会编号为A4 ,丙协会编号分别为A5 , A6 ,若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)用所给编号列出所有可能抽取的结果;
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率;
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
20. (5分) (2015高一下·太平期中) 某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料分别为A、B两种规格的金属板,每张面积分别为2m2与3m2 .用A种规格的金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格的金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?
21. (15分) (2016高一上·虹口期中) 已知函数f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)和g(x)的图象与y轴的交点重合.
(1)求a实数的值
(2)若h(x)=f(x)+b (b为常数)试讨论函数h(x)的奇偶性;
(3)若关于x的不等式f(x)﹣2 >a有解,求实数a的取值范围.
22. (15分) (2018高一上·黑龙江期中) 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[﹣1,2]时,求函数的最大值和最小值.
(3)若函数g(x)=f(x)﹣mx的两个零点分别在区间(﹣1,2)和(2,4)内,求m的取值范围.
参考答案一、选择题 (共12题;共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题;共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题;共75分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、19-3、
20-1、
21-1、21-2、
21-3、22-1、22-2、
22-3、。