全等三角形的判定角边角公理

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全等三角形的判定边角边公理全解

例 1 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分
∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．
A
BDC
由△ABD≌△ACD ，还能证得∠B＝∠C，即证得等腰三角形的两个底角Βιβλιοθήκη 等这条定理．你还能证得哪些结论？
探究新知⑵
⑵边－边－角（角不夹在两边的中间，形成两边一对角）
做一做已知两
在等腰梯形ABCD中，AB∥DC
AD=BC ∠A＝∠B ∵点M是底边AB的中点 ∴ AM=BM 在△ADM和△BCM中 ∵ AD＝BC
∠A＝∠B AM＝BM ∴△AMD≌△BMC (SAS)
想一想：
星期天，小宇在家玩篮球，又不小心将一块三角形玻璃摔坏了（如图所示）。情急之中，小
宇量出了AB、BC的长，然后便去了玻璃店，他
2 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
3 换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论？
3cm 6cm
120°
从运动变换的角度来理解
C
C’
B
A
B’
A’
由此你能得出什么结论？具备什么条件的两个三角形一定全等？
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记为S.A.S（或边角边）
三个角对应相等三条边对应相等两边一角对应相等两角一边对应相等如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素边或角那么这两个三角形不一定全等
全等三角形的判定边角边公理全解
回顾
如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等．
如果两个三角形有三组对应相等的元素，那么会有哪几种可能情况？

全等三角形的判定---边边边公理(简称S.S.S.)

镇巴县中小学（幼儿园）
教学重点
让学生掌握边边边公理的内容公理利用边边边证明两个三角形全等教学难点
灵活运用SSS 识别两个三角形是否全等教学准备
PPT 课件教学方法
讲练结合
镇巴县中小学（幼儿园）
教学活动流程设计
修订与补充
_ huoyejiaoan
_
续页 1
_ 活页教案
【应用迁移】. 如下图，△ABC是
一个刚架，AB=AC，AD是连接A
与BC中点D的支架。

五、当堂训练
【学以致用】如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB, 试说明△ABC ≌△ADC.
镇巴县中小学（幼儿园）_huoyejiaoa
n _
_F
E
D C
B
A
六、小结
1、三个角对应相等的两个三角形，不一定全等。

2、三条边对应相等的两个三角形一定全等
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:
证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
七、作业
习题19.2 第一题
19.2.4 全等三角形的判定(s.s.s.)
如果两个三角形的三边对应相等，那么两个三角形全等。

简写为S.S.S. (或边边边）
数学符号表达式:
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF （S.S.S.）
教学反思与随笔
镇巴县中小学（幼儿园）
导学案设计
达成情况
续页
3
_活页教案。

三角形的全等判定

三角形的全等判定一、证明三角形全等的思路全等三角形的判定公理及推论（1）边角边公理（SAS ）（2）角边角公理（ASA ）（3）角角边推论（AAS ）（4）边边边公理（SSS ）（5）斜边、直角边公理（HL ）二、全等三角形的应用证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。

三、例题分析例1：如图，∆ABC 是一个屋顶钢架，AB=AC ，D 是BC 中点。

求证：AD BC ⊥ 分析：要证明AD BC ⊥，就必须证出∠1=∠2，才能知道∠1=∠2=90︒，可得AD BC ⊥。

怎么才能证出∠1=∠2呢，从题目条件可看出，只要证出∆ABD 和∆ACD 全等即可，分析一下这两个三角形全等条件够吗？显然可利用“边边边”公理可证。

证明：在∆ABD 和∆ACD 中()()()AB AC AD AD BD DC ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知公共边已知 ∴∆ABD ≌∆ACD （SSS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∴∠=∠=︒11290BDC （平角定义） ∴AD BC ⊥（垂直定义）例2：已知：如图，AB=AD ，BC=DC 。

求证：∠B=∠D 。

分析：要证∠B=∠D ，显然在∆ABC 和∆ADC 中。

若∆ABC ≌∆ADC ，就必然得出∠B=∠D 。

如何证明∆ABC 和∆ADC 全等呢，全等条件具备哪些呢？已知AB=AD ，BC=DC 只差一个条件，就可以用“边边边”公理了。

同学们自己想一想，为什么不选择“边角边”公理呢？这样只要连结AC 便是公共边。

证明：连结AC 在∆ABC 和∆ADC 中()()()AB AD BC DC AC AC ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已知公共边∴∆ABC ≌∆ADC （边边边）∴∠B=∠D 同学们想一想，能不能连结BD 两点呢，目前来说，还不行，等以后学习面多了，自然也是可证明的，只是我们在添加辅助线时，尽量保留下已知条件和要证明的结论的完整性。

全等三角形的判定三角边角概要

例1.如图，∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AB=AD，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
上，点E在AC上，
BE和CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C
求证：BD=CE
A
D O B
E
C
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢?
A
F B D E C
(3) 如图，AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证： (1)C B ( 2)OA OD
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中 D AD=DA（公共边） AC=DB（已知） DC=AB（已知） ∴△ADC≌△DAB （SSS） ∴∠C=∠B（全等三角形的对应角相等） A C
2
1
O B
(2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∴△DOC≌△AOB （AAS） ∠ B =∠ C （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） ∴OA=OD （全等三角形的对应边相等） DC=AB（已知）
课堂小结
知识要点：
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。

第十二章：第二节：全等三角形的判定

()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧HL AAS ASA SAS SSS 斜边、直角边角角边角边角边角边边边边第十二章全等三角形第二节三角形全等的判定☆要点回顾1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°。

2、平行线的性质及判定：内错角相等，两直线平行。

3、有一个角是90°的三角形为直角三角形。

概念图：三角形全等的条件知识点一：边边边公理（SSS ）1、三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”。

2、要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形三条边对应相等。

3、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

4、书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并且用大括号将它们括起来，如：在△ABC 和△A'B'C'中，∴△ABC ≌△C B A '''（SSS ）。

典型例题：【例1】如图，已知AD=CB,AB=CD.求证：AD ∥BC 。

解析：欲证AD ∥BC ⇒∠ADB=∠CBD ⇒△ABD ≌△CDB.⎪⎩⎪⎨⎧''=''=''=C B BC C A AC B A AB知识点二：边角边公理（ＳＡＳ）1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”2、“ＳＡＳ”指判定两个三角形全等的条件是两边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两已知边的夹角而不是其中一边的对角。

3、在列举两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等。

４、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：【例2】如图，已知Ｅ、Ｆ是线段ＡＢ上的两点，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ，求证，DF＝CE解析：先证明ＡＦ＝ＢＥ，在用“ＳＡＳ”证明两个三角形全等。

【例3】如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｂ在一条直线上，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＦ＝ＤＥ，（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ；（２）求证：ＡＥ∥ＣＦ。

数学人教版八年级上册全等三角形的判定边边边公理

A
解：要证明△ABC ≌△ FDE，还应该有AB=DF这个条件
D
∵AD=FB ∴ AD+DB=FB+DB
即 AB=FD
E
C B
F
思考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
A
E
B D FC
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD 的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C
解： ①∵E、F分别是AB，CD的中点（已知）
∴AE= 12AB CF= 12CD（线段中点的定义）
又∵AB=CD ∴AE=CF
∵AB=AC，BH=CH，AH=AH,
∴△ABH≌△ACH（SSS）；
A
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD, ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△DBH和△DCH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH, B
∴△DBH≌△DCH（SSS）.
D
H
C
练习2
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件 BF=DC 或 BD.=FC
证明：Q AD FB，
AD DB FB DB，
即AB FD.
在ABC和 FDB 中，
AB＝FD（已证），
BC＝DB（已知），
AC＝FB （已知），
ABC≌ FDB（SSS）.
A D
E

三角形全等的判定方法

三角形全等的判定方法一，知识内容2．不能判定三角形全等的条件（1）角角角（AAA ）有三角对应相等的两个三角形不一定全等。

如图(1),⊿ABC 中，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ,∠A ＝∠A 。

而⊿ADE 和⊿ABC 不全等（2）边边角（SSA ）有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形不一定全等如图(2),⊿ABC 和⊿ABD 中，AB ＝AB ，AC＝AD ，∠B ＝∠B ，而两个三角形不全等。

3. 判定方法的选择根据已知条件，选择准确的判定方法，见下表（1）ＢＣＡ。

4. 如何选择两个三角形证全等（1）从结论出发，看结论的线段或角（用等量代换后的线段或角）在那两个三角形中，可证它们全等。

（2）从题设出发，看题设条件能确定那两个三角形，可证它们全等。

（3）由题设和结论一起出发，看它们能确定那两个三角形，在证它们全等。

（4）分析问题时，可把相等的线段或角在图中标出记号（或不同颜色），使我们一眼就能看出那两个三角形全等，从而为我们证明三角形全等开了方便之门。

二，典例分析例一，已知，在Rt ⊿ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2, CE ⊥BD 的延长线于E.求证：BD ＝2CE分析：要证BD ＝2CE ，想到构造线段2CE 或取线段BD 的一半。

证明：证法一.分别延长BA ，CE 交于F 。

∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90°（垂直定义）在⊿BEF 和⊿BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠（已证）（已知）BEC BEF BEBE 21 ∴⊿BEF ≌⊿BEC(ASA)∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°，BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC=∠CAF=90° ∠1+∠BDA ＝90° ∠1+∠F=90°∴∠BDA=∠F在⊿ABD 和⊿AFC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠（已知）（已证）已证）AC AB F BDA CAF BAC ( ∴⊿ABD ≌⊿AFC （AAS ）∴BD=CF (全等三角形对应边相等) ∴BD=2CE说明：此引辅助线法，能够得到等腰三角形，起到加倍线段的作用，故以后如需加倍线段，可考虑此法。

三角形全等判定

三角形全等判定学习内容：全等三角形的判定公理及推论（1）边角边公理（SAS）（2）角边角公理（ASA）（3）角角边推论（AAS）（4）边边边公理（SSS）（5）斜边、直角边公理（HL）知识讲解：1.思想方法：在平面几何中，证明两条线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题，常常可以通过证明三角形全等来解决，而且在整个证明过程中，往往要完成多次的三角形全等的证明。

如果需要进行多次的全等三角形证明，可以按以下结构进行：题设△I≌△I'中间条件△II≌△II'结论。

2.这一部分内容几何的证明中，已经开始需要添加辅助线，而辅助线的添加是个难点，从这一章开始，同学们应逐步积累这方面的知识经验。

在第三部分我们专门对这种问题作了研究，以解决这一部分添加辅助线的问题。

例题分析：1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。

求证：AF=DE。

分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。

然后证明AF=DE。

证明：∵EB⊥AD（已知）例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。

分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。

（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。

全等三角形的判定(总复习)

8
8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。
解: 连接AC
在△ABC和△ADC中， AB=AD(已知) BC=DC(已知) AC=AC(公共边)
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴ ∠ABC=∠ADC (全等三角形的对应角相等)
2
一、挖掘“隐含条件”判全等
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则 △ABC≌△DCB吗?说说理由 B
A
D
2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与 A O BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 E ∠B=20°,CD=5cm，则 C 5cm 20 ° 图（2） ∠C= ,BE= .说说理由. A D 3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD， 3cm ∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= . O 说说理由. B C 图（3）
A D
B
E
C
F
5
三、熟练转化“间接条件”判全等 A
F 6如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？解答 7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？解答为什么？ E A B
D E C B D
C 8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解答
全等三角形的判定
1
三角形全等的4个种判定公理：
SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边）
有两角和及其中有三边对应相有两边和它们的有两角和它们的夹一个角所对的边对等的两个三角形夹角对应相等的边对应相等的两个应相等的两个三角全等. 两个三角形全等. 三角形全等. 形全等.

1.2.4三角形全等的判定——边边边

C´
B
剪下 A´B´C´放在ABC上，可以看到 A´B´C´ ≌ ABC，由此可以得到判定两个三角形全等的又一个公理.
A´
B´
总结
1、文字语言有三边对应相等的两个三角形全等。 2、符号语言
B
3、图形语言
A
C A'
∵AB=A’B’ AC=A’C’ BC=B’C’
B'
C'
∴△ABC≌△A’B’C’
∴ C =90°(平角定义) 2
请同学们思考：通过这个例子发现并总结出什么结论？
A
B
D
C
等腰三角形底边上的中线，垂直于底边，并且平分顶角。
例2
已知：如图，AB=DC，AD=BC.
求证： ∠A= ∠C. 提示：要证明∠A= ∠C，可证明：连结BD 设法使它们分别在两个三角形在BAD 和DCB中，中，为此，只要连结BD即可
又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等） ∠A = ∠B ( 已证 ),
A
C
O
OC = OD（已知）
EB
∴ AOC ≌ BOD（AAS）
∴ AC = BD
在AEC 和BFD中， AC = BD(已证), ∴ CE = DF ∠A = ∠B ( 已证 ),
F
B
D
AE = BF（已知）.
∴ AEC ≌ BFD（ASA）
C
D
AB=AC（已知） BD=CD（已知） ④ B AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠ B=∠C（全等三角形的对应角相等）
小结
两个三角形中对应相等的边或角
三条边两边两边夹角一角两边与一边对角两角两角夹边一边两角与一角对边三个角

1.2.2三角形全等的判定——角边角

已知:AB ∥CD, AD ∥BC 已知求证: 求证 △ ABD ≌ △ CDB
A
4 2 1 3
C
D
解: ∵ AB ∥CD
∴ ∠1=∠2 ∵ AD ∥BC ∴ ∠3=∠4 在△ABD和△CDB中， ∠1=∠2 ∠ BD=DB ∠3=∠4 ∠ ∴ △ ABD ≌ △ CDB
B
已知:BECF在同一直线上, AB ∥DE, AC∥DF, 并且BE=CF,求证: △ ABC≌ △ DEF ≌
D
C
所以 △ABC ≌△ADC （A．S．A）
例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB = AC，∠B = ∠C （1）根据上述条件你能得到全等三角形吗？ A △ABE≌△ACD（ASA） D （2）AB=AC除外图中还有那些线段相等？ B AD = AE 、BE = CD BD = CE ？ O C E
AB是公共边，BC=BD，观察前后人眼睛与帽檐的角度不变也即∠BAC=∠BAD 所以△ABC≌△ 所以△ABC≌△ABD
C
AC=AD
B A
D
小结
（1）准确掌握和运用角边角公理。（2）由实践证明角边角是正确的真命题。（3）注意角边角公理中两角夹边的条件。
A B F C D E
（3）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CE 3 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1=∠2 ∵∠3=∠ （已知）证明：∵∠ ∠4（已知） ∴∠ 5=∠6（等角的补角相等） ∠ （等角的补角相等） ∵∠1=∠ （已知） ∵∠ ∠2（已知） ∴∠3－ ∴∠ －∠1=∠4－∠2 ∠ － ∴∠______=∠ ∴∠______=∠_____ 在△_____和△_____中和中 ______( ______( ______( ) ) )

苏教版初中数学八年级上册三角形全等知识点总结

一、全等三角形的定义
1、全等三角形：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、理解：
（1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
（2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
（3）三角形全等不因位置发生变化而改变。

二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：
（1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

2、全等三角形的周长相等、面积相等。

3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

三、全等三角形的判定
1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。

5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

四、证明两个三角形全等的基本思路
1、已知两边：
（1）找第三边（SSS）；
（2）找夹角（SAS）；
（3）找是否有直角（HL）。

2、已知一边一角：
（1）找一角（AAS或ASA）；
（2）找夹边（SAS）。

3、已知两角：
（1）找夹边（ASA）；（2）找其它边（AAS）。

1.2.3三角形全等的判定——角角边

已知， AB的中点的中点， 1=∠2， C=∠D， MC=MD吗已知，M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，问MC=MD吗？说明理由。说明理由。
解：因为 M是AB的中点（已知）， AB的中点（已知），所以 AM = BM （中点的意义）. （中点的意义）. 1 A M 2 在△AMC与△BMD中在△AMC与△BMD中, ∠C=∠D （已知）, （已知）, ∠1=∠2 （已知）, （已知）, C
全等三角形的判定3 全等三角形的判定3：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边” 形全等（简写成“角角边”或“AAS”） ”
例如：
已知如图，已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D ，求证：求证：AC = AD
证明：在△ABC和△ABD中 ∠1 = ∠2 ∠C = ∠D AB = AB
┐
┐ B D C
A´
AB= A ´ B ´
C´
B´
D´
AAS） ∴△ABD≌△A ´ B ´ D ´ （AAS） ABD≌△ 全等三角形的对应边相等） ∴AD= A ´D ´ （全等三角形的对应边相等）
已知:如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，已知:如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CE ∠1=∠2 求证：求证：AB=AC ∵∠3=∠4（已知）证明：∵∠3=∠4（已知） 5=∠6（等角的补角相等） ∴∠ 5=∠6（等角的补角相等）在△ABD和△ACE中 ABD和 ACE中 ∠1=∠2 ∠ 5=∠6 BD=CE ∴△ ABD ≌ △ ACE( AAS)
课堂练习
A
已知: ABC≌△ 已知:△ABC≌△A ´ B ´ C ´，AD, A ´ D´ 分别的高求证: 是△ABC, A ´ B ´ C ´的高求证: AD=A ´ D´ ABC≌△ 证明： ∵ △ABC≌△ A ´ B ´ C ´ ∴AB= A ´ B ´ 全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） ∠B=∠B ´ 全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）又∵AD┴BC A ´D ´┴B ´C ´ =90° ∴ ∠ADB=∠A ´D ´B ´=90° ABD和在△ABD和△A ´ B ´ D ´中中公共角） ∠B=∠B ´ （公共角） ∠ADB=∠A ´D ´B ´

2019年八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结(新版)新人教版

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识清单：1.全等图形与全等三角形：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点；全等三角形中互相重合的边叫做对应边；全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定公理：⑴边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等.（简记为“边边边”或“SSS”）⑵边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简记为“边角边”或“SAS”）⑶角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角边角”或“ASA”）⑷角角边推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角角边”或“AAS”）⑸斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简记为“斜边、直角边”或“HL”）4.角平分线：把一个角平均分成两个等角的射线称为角的平分线.⑴角平分线的画法：a.以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两个点；b.分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的1/2的相同长度为半径画弧，在角内交于一点；c.过角的顶点和b中的交点做射线.射线即为角的平分线.⑵角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点称为三角形的内心）5.证明的基本步骤：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。

全等三角形

第四讲全等三角形一．【知识点归纳】1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等；对应线段（对应中线、对应角平分线、对应高）相等.3.判定：（1）边边边公理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”. （2）边角边公理(SAS ）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（3）角边角公理（ASA ）：有两对角和一条夹边对应相等的两个三角形全等，简称“ASA ”. （4）角角边公理（AAS ）：有两对角和一条边对应相等的两个三角形全等，简称“AAS ”. 4．判定两个直角三角形全等时应先考虑利用斜边、直角边条件（即HL ）来证，如不行再考虑用其他四种方法二．【典型例题】例1.已知：如图，AC AB =，BE CD =，21∠=∠，求证：ACE ABD ∆≅∆例2．已知，如图AD=AE ，∠ACD=∠ABE ，求证：BD=CEACDE B12A BCDE例3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD ，AE=BC ，DE=DC ，求证：DE ⊥AB例4. 已知如图，AE=CF ，AD ∥BC ，AD=CB ，问△ADF 与△CBE 全等吗？并说明理由.例5. 如图：已知AE AB =，ED BC =，E B ∠=∠，CD AF ⊥，F 是垂足，试判断CF 与DF有什么特殊的数量关系？并说明理由．例6．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点，且BD=BC ，DE ⊥AB 交AC 于E.求证:CD ⊥BE.例7.如图，BD ⊥DE ，CE ⊥DE ，D 、E 为垂足，点A 在DE 上，且AB=AC ，∠BAC=90°.求证：DE=BD ＋CEADFECBAEDBCABCDEAFDCB EADE三．【基础过关】1.已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的周长是30cm ，AB=8cm ，BC=12cm ，则DF= ，EF=2.三角形具有性，即三角形三边长度确定，则这个三角形的、就完全确定了.3.如图1，B 、C 、D 、E 在一条直线上，且BC=DE ，AC=FD ，AE=FB ，则△ACE ≌ ，理由是，∠ACE= ，理由是 .4.如图2，若∠1= ∠2，加上条件，得出△ABC ≌△BAD ，其依据是“SAS ”5.如图3，已知AD ∥BC ，欲证△ABD ≌△CDB ，根据“SAS ”知，须补充条件6.如图4，已知AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，则∠BOE 的度数为7．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（） A 、一锐角对应相等 B 、两锐角对应相等 C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等8．如图5，P 到AB 、AC 的距离PE PF =，则PAF PAE ∆≅∆的理由是（） A 、HL B 、AAS C 、SSS D 、ASA9．如图6中，90=∠C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若cm AB 6=，则DEB ∆的周长（）ACD E F B 图11 2ABDC图2ADC B图3B EAF CO图4A 、cm 5B 、cm 6C 、cm 7D 、cm 810.如图，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AD=BC ，ED=BF ，AF=EC ，求证：ED ∥BF ．11.已知：如图，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上。

三角形全等

解：在CMO和CNO中，
（已知） OM＝ON， C O ， CM＝CN（已知） N CO＝CO， B （公共边） CMO ≌CNO （SSS） . （全等三角形对应角相等） COM ＝CON .
M
A
OC是AOB的平分线 .
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
A C
D B
E
F
思考
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明： AD FB， Q AD DB FB DB，即AB FD. 在ABC和 FDB 中，
C C’
B
B’
ABC A’B’C’ ∴△______≌△______（ASA）
全等三角形判定方法4：
有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。
(简写成“角角边”或“AAS”）
在两个三角形中,如果有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 用符号语言表达为：在△ABC和△ A′B′C′中，
A
D A B C
则AB边的对应边为 DE
∠C的对应角为
∠F
E
D
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
A A
B
D
C
B
C
D
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.

全等三角形的判定-综合讲解

全等三角形的判定-综合讲解【当堂训练】1.如图，已知△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △DCB ，判定方法为（写出所有可能的情况）,并总结该题类型和思路。

注意:公共边这一隐含条件思路1：已知两边→找第三边 AC=DB （SSS ） →找夹角∠ ABC=∠DCB （SAS ）… 2.如图，已知AB 和CD 交于O ，AD=CB ，请补充一个条件，能直接判定△AOD ≌ △COB ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:对顶角这一隐含条件思路2：已知一边一对角→找任一角 ∠A=∠C 或 ∠B=∠D （AAS ）3、如图，已知∠1= ∠2，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △CDA ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

思路3：已知一边一邻角 →找夹这个角的另一边AD=CB （SAS）→找任一角∠ACD=∠CAB （ASA ）或 ∠D=∠B （AAS ）4、如图，已知∠B= ∠E ，请补充一个条件，能直接判定△ABC ≌ △AED ，判定方法为（写出所有可能的情况），并总结该题类型和思路。

注意:公共角这一隐含条件思路4：已知两角→找任一边 AB=AE （ASA) 或AC=AD (AAS)或 DE=BC (AAS)例题讲解：1．已知：如图1，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ，求证：△EAD ≌△CAB ．解：提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由SAS 即可证明．（学生完成）ACBED2．已知，如图2，D 是△ABC 的边AB上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB,求证：AD=CF ．解：提示：由ASA 或AAS ，证明△ADE ≌△CFE ．．（学生完成）3．阅读下题及证明过程：已知：如图3， D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE ．证明：在△AEB 和△AEC 中， ∵EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，AE=AE ，∴△AEB ≌△AEC ……第一步∴∠BAE=∠CAE ……第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．解：上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中，∵BE=CE ， ∴∠EBC=∠ECB ，又∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC, ∠BAE=∠CAE.4．如图4所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．解：如图5所示，过B 点作BH ⊥BC 交CE 的延长线于H 点． ∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中,∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°，∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ， ∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°∴在△BED 和BEH 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=BE,BE EBH,EBD ,＝＝BH BD ，∴△BED ≌△BEH ．∴∠BDE ＝∠H ， ② 由①②得，∠ADC ＝∠BDE ．二．直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。