沪科版 四边形讲义

四边形四边形 讲义知识脉络：一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，二．中心对称图形：（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.做轴对称图形这条直线叫做对称轴这时,我们也说这个图形关于这条直线对称 （3）中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三． 常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -. 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴. n 边形的的性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ． （2）任意多边形的外角和等于 360 （3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线 （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。

（5）正多边形的每个内角等于nn 180).2(- 5．四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．6．顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。

顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形， 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。

顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形， 如菱形或图三中图形等。

顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。

证明类题型：1、在 □ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE ＝CF 求证：BF ∥DE 。

A D FE B C2、菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ， 求证：四边形OCED 是矩形。

3、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点。

求证：MN 和PQ 互相平分。

4.已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

5.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。

（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。

6.如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=21∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

A D E C BON M QPDCBA7.已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形。

8 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ，求证：四边形AFCE 是菱形。

9.已知：如图，C 是线段BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R 、F 、G 、H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形RFGH 是菱形。

10.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠B ，∠C 的平分线BD 、CE 相交于点M ，DF ∥CE ，EG ∥BD ，DF 与EG 交于N ，求证：四边形MDNE 是菱形。

RHGFE DCBA11.已知：如图所示，ABCD 为菱形，通过它的对角线的交点O 作AB 、BC 的垂线，与AB 、BC ，CD ，DA 分别相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 为矩形。

12.如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．(1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由；(3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．13、如图，正方形ABCD 中，过D 做DE ∥AC ，∠ACE =30°，CE 交AD 于点F ，求证：AE = AF ；14、如图，在⊿ABC 中，∠BAC = 90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形；15、如图，正方形ABCD 中，F 在CD 上，AE 平分∠BAF ，E 为BC 中点，求证：AF = BC + CFAB DC EF12题16、已知ΔABC 中，E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，CD 平分∠BCA 交EF 于 D ， 求证：AD ⊥DC17、如图所示，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论.18、已知：P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足. 求证：AP=EF.19、如图,△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE.(1)求证：△ACD ≌△CBF.(2)点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF=30°.20、如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，AH ⊥BD 于H ，CG ⊥BD 于G ，AE 为∠BAD 的平分线，交GC 的延长线于E ，求证：BD = CE ； 求值类： 1.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ：E DABE=1：3，OF=4，求∠ADB 的度数和BD 的长。

2. 如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。

3. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．4. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。

5. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。

过点C 作CG ∥EA交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

6. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上HG F EDCB A的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．7. 如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。

（2）若AB=12cm ，求菱形BDEF 的周长？8、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求∠MAN 的度数。

9、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；10、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；11、已知：平行四边形ABCD 中，AB+BC=11cm ，∠A=150°，平行四边形ABCD 的面积是15cm 2，求AB ，BC 。

CBA MF12、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = BC ，AB = 30，矩形DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若DG ：GF = 1：4，求矩形DEFG 的面积动点问题：1、如图，梯形ABCD 中，AD ＝18cm ，BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 边向D 以1m/s 的速度移动，点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以2m/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动时间为t 秒，求：（1）t 为何时，四边形ABQP 为矩形？（2）t 为何时，四边形PQCD 为等腰梯形？2、如图，梯形OABC 中,O 为直角坐标系的原点,A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动。

当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

(1)设从出发起运动了x 秒，且x ﹥2.5时，Q 点的坐标；(2)当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形？ (3)四边形OPQC 能否成为等腰梯形？说明理由。

(4)设四边形OPQC 的面积为y,求出当 x ﹥2.5时y 与x 的函数关系式；并求出y 的最大值；3、等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º． M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．（1）设ND 为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围． （2）设t=10-x,用t 表示△AMN 的面积．（3）求△AMN 的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN 的形状．A B C F G A P D B Q CPO A (14,0) x第10题图2第10题图14、如图(1)，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F.(1) 求证：BP=DP ； (2) 如图47(2)，若四边形PECF 绕点C 旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP ？若是，请证明之；若不是，请举出反例；(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.5.如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； (2) 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．6．如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。