不等式常见题型辅导讲义
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1.不等式的倒数性质(1)a>b ,ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2.不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ,x ∈I ;f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ,x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时,f(x)的图象在g(x)的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1,则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p -m p -n <m n C .m -p <n -p D .log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax -b ≤0的解集是[2,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(3a -b)x -3b<0的解集是( )A .(-∞,-3)∪(2,+∞)B .(-3,2)C .(-∞,-2)∪(3,+∞)D .(-2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 3,x<12,1x ,x ≥12,则不等式x 2f(x)+x -2≤0的解集是________________. (2)若不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1≥0的解集是空集,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值.(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而利用基本不等式求最值.(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开,即化为y =m +A g x+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式求最值. 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A .若a ,b ∈R ,则b a +a b≥2b a ·a b =2 B .若a<0,则a +4a ≥-2a ·4a=-4 C .若a ,b ∈(0,+∞),则lg a +lg b ≥2lg a ·lg bD .若a ∈R ,则2a +2-a ≥22a ·2-a =2(2)(2019·天津)设x>0,y>0,x +2y =5,则x +12y +1xy 的最小值为________.【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0,b>0,且a -b =1,则2a +1b的最小值为________. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值是________. 专题训练一、单项选择题1.不等式(-x +3)(x -1)<0的解集是( )A .{x|-1<x<3}B .{x|1<x<3}C .{x|x<-1或x>3}D .{x|x<1或x >3}2.下列命题中正确的是( )A .若a>b ,则ac 2>bc 2B .若a>b ,c<d ,则a c >b dC .若a>b ,c>d ,则a -c>b -dD .若ab>0,a>b ,则1a <1b 3.(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-2或x>3},则f(10x)>0的解集为( )A .{x|x<-2或x>lg 3}B .{x|-2<x<lg 3}C .{x|x>lg 3}D .{x|x<lg 3} 4.若a>b>0,且ab =1,则下列不等式成立的是( )A .a +1b <b 2a <log 2(a +b) B.b 2a <log 2(a +b)<a +1bC .a +1b <log 2(a +b)<b 2aD .log 2(a +b)<a +1b <b 2a 5.(2018·全国Ⅲ)设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b<ab<0B .ab<a +b<0C .a +b<0<abD .ab<0<a +b6.已知x>0,y>0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( )A .3B .4 C.92 D.1127.已知a>-1,b>-2,(a +1)(b +2)=16,则a +b 的最小值是( )A .4B .5C .6D .78.已知正实数a ,b ,c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0,则当ab c 取得最大值时,3a +1b -12c的最大值为( )A .3 B.94C .1D .0 二、多项选择题9.设f(x)=ln x,0<a<b ,若p =f(ab),q =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,r =12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( )A .q =rB .p<qC .p =rD .p>q10.已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( )A .6B .7C .8D .911.(2020·威海模拟)若a ,b 为正实数,则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB .ln a>ln bC .aln a<bln bD .a -b<e a -e b12.(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0,b>0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2 D.a +b ≤ 2三、填空题 13.对于0<a<1,给出下列四个不等式:①log a (1+a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;②log a (1+a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;③a 1+a <11a a +;④a 1+a >a1+1a.其中正确的是________.(填序号) 14.当x ∈(0,+∞)时,关于x 的不等式mx 2-(m +1)x +m>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.15.已知函数f(x)=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数,若f(a -1)+f(2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.16.已知实数x ,y 满足x>1,y>0且x +4y +1x -1+1y =11,则1x -1+1y 的最大值为________.。
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义(解析版)
专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义【典例解析】题型一、不等式及其性质【例1】(2020·嵊州市期中)式子:①35;②450x +>;③3x =;④2x x +;⑤4x ≠-;⑥21x x +≥+.其中是不等式的有( ). A .2个 B .3个C .4个D .5个【答案】C.【解析】解:①3<5;②4x+5>0;⑤x≠-4;⑥x+2≥x+1是不等式, ∴共4个不等式. 故答案为:C .【例2-1】(2021·浙江杭州模拟)若x y >,则( ) A .22x y < B .1x y >+C .2222x y --<--D .11x y -<-【答案】C.【解析】解:A .∵x>y ,∴2x>2y , A 不正确;B .∵x>y ,∴x+1>y+1, B 不正确;C .∵x>y ,∴-2x-2<-2y-2, C 正确;D .∵x>y ,∴x-1>y-1, D 不正确; 故答案为:C .【例2-2】(2019·云南玉溪期末)已知a <b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .20182018a b< B .﹣2a <﹣2b C .a ﹣2018>b ﹣2018 D .a+2018>b+2018【答案】A.【解析】解:A 、∵a<b ,2018>0, ∴20182018a b<,正确; B 、∵a<b ,-2<0,∴ -2a>-2b ,错误; C 、∵a<b ,∴a-2018<b-2018,错误; D 、∵a<b ,∴a+2018<b+2018,错误; 故答案为:A .【例3】若不等式(2)2a x a ->-的解是1x <,则a 的取值范围是( ) A .0a < B .2a >C .2a <D .2a <-【答案】C.【解析】解:不等式(a -2)x >a -2的解集为x <1, ∴a -2<0, 解得:a <2, 故答案为:C .【例4】(2020·山西期中)李明乘车驶入地下车库时,发现车库入口处有几个标志码(如图1),其中第一个标志(如图2)表示“限高2m”.若设车的高度为x m ,则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 ( )A .2x ≥B .2x >C .2x ≤D .2x <【答案】C.【例5】(2020·成武县期中)关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤1,则a 的值是( ) A .4B .3C .2D .1【答案】B.【解析】解:2x−a≤−1,2x≤a−1,x≤12a -, ∵x≤1, ∴12a -=1, 解得:a =3, 故答案为:B .【例6】(2020·哈尔滨月考)若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >,则m 的取值范围是( ) A .1m B .1m <C .1m ≠D .1m =【答案】B.【解析】解:∵不等式(m-1)x <m-1的解集为x >1, ∴m-1<0,即m <1, 故答案为:B . 题型二、含参数类【例7-1】(2020·湖南株洲市)关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解,则a 的取值范围是_______ 【答案】6≤a <9.【解析】解:原不等式解得x≤3a, 解集中只有两个正整数解,这两个正整数解是1,2, ∴2≤3a<3, 解得:6≤a <9. 故答案为:6≤a <9.【例7-2】(2020·广西南宁市期末)若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解,则a 的取值范围是( ) A .﹣6≤a ≤﹣4 B .﹣6<a ≤﹣4C .﹣6≤a <﹣4D .﹣6<a <﹣4【答案】B.【解析】解:解不等式2x +a ≤0,得:x ≤﹣2a,不等式只有两个正整数解,这两个正整数解为1、2, 则2≤﹣2a<3, 解得:﹣6<a ≤﹣4, 故答案为:B .【变式7-1】(2021·北京专题练习)已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1,2,3,则m 的取值范围是( ) A .34m < B .34m <C .811m <D .811m <【答案】C.【解析】解原不等式得:13m x +<不等式的正整数解为1,2,3,∴1343m +<解得:8<m≤11 故答案为:C.【变式7-2】(2021·中山大学附属中学)若关于x 的不等式3x +1<m 的正整数解是1,2,3,则整数m 的最大值是_____. 【答案】13.【解析】解:解不等式3x +1<m ,得13m x -<. ∵关于x 的不等式3x +1<m 的正整数解是1,2,3, ∴1343m -<≤, ∴1013m <≤,∴整数m 的最大值是13. 故答案为:13.【变式7-3】(2020·海淀区期中)已知关于x 的不等式2x ﹣k >3x 只有两个正整数解,则k的取值范围为_____. 【答案】-3≤k <-2. 【解析】解:∵2x -k >3x , ∴2x -3x >k , ∴x <-k ,因为只有两个正整数解,则2<-k ≤3, ∴-3≤k <-2, 故答案为:-3≤k <-2.【变式7-4】若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解,则a 的取值范围为( ) A .74a -<<- B .74a -≤≤-C .74a -≤<-D .74a -<≤-【答案】D.【例8-1】(2021·陕西西安市月考)不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A .2m B .1mC .1mD .1m <【答案】C.【解析】解:解不等式①得x>2,解不等式②得:x>m+1, ∵不等式组的解集是x>2, ∴m+1≤2 解得:m≤1, 故答案为:C .【例8-2】(2020·浙江期末)若关于x 的不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解,则m 的取值范围是( )A .2m <B .2m >C .2m ≥D .2m ≤【答案】C.【解析】解:∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解,∴m -1≥1, 解得:m ≥2, 故答案为:C .【例8-3】若不等式组5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解.则实数m 的取值范围是 ( )A .53m ≤B .5<3m C .53m >D .53m ≥【答案】A.【解析】解:5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩①②由①,得x 53≤;由②,得x ≥m , ∵不等式组有实数解, ∴m 53≤. 故答案为:A .【例8-4】(2020·宁波市期末)若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个,则m 的取值范围是( ) A .68m << B .67≤<mC .67m ≤≤D .67m <≤【答案】D. 【解析】解:解不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②,由①式得,x<m ,由②式得x≥3,故m 的取值范围是:6<m≤7, 故答案为:D .【变式8-1】若关于x 的一元一次不等式组2132x x x m ->+⎧⎨<⎩的解集是3x <-,则m 的取值范围是( ) A .3m ≥- B .3m >-C .3m ≤-D .3m <-【答案】A.【解析】解:解不等式2x -1>3x +2,得:x <-3, ∵不等式组2132x x x m->+⎧⎨<⎩的解集为x <-3,∴m ≥-3. 故答案为:A .【变式8-2】若关于x 的一元一次不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解,则m 的取值范围为( )A .2m <B .2m ≤C .1m <D .12m ≤<【答案】A.【解析】解:∵不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩有解,∴m <2, 故答案为:A .【变式8-3】已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个,则m 的取值范围为_____________. 【答案】2≤m <3.【解析】解:由题意得:符合题意的整数解为5,4,3 ∴m 不能取值3,可以取值2 ∴2≤m <3故答案为:2≤m <3. 题型三、不等式组及其解法【例9】(2020·成都市锦江区月考)若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩(m 为常数),方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>,则m 的取值范围为______.【答案】m >2.【解析】解:方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩,可转换为1112221(2)21(2)2a x y b x y c a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩,∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为3x my m =⎧⎨=+⎩,∴方程组1112221(2)21(2)2a x yb x yc a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩的解为:1223x y m x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩①②,由②-①得:x=2把x=2代入①得:y=m -1, ∴x+y=m+1>3, ∴m>2, 故答案为:m>2.【例10】(2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模)不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是( ) A .B .C .D .【答案】A.【解析】解:1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩①②,由①得:x >-3,由②得:x ≤1, ∴不等式组的解为:-3<x ≤1,在数轴上表示如下:故答案为:A .【例11】(2020·山东枣庄月考)若关于,x y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足 3x y +>-,求出满足条件的m 的所有正整数数值.【答案】1、2、3、4.【解析】解:由23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② ①+②得:3x+3y=-3m+6即x+y=-m+2>-3 ∴m<5满足条件的m 的所有正整数数值是1、2、3、4. 【例12】(2021·天津河西区)解不等式组321251x x x ≤+⎧⎨+≥-⎩①②请结合题意填空,完成本题的解答. (1)解不等式①,得________; (2)解不等式②,得________;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(4)原不等式组的解集为______.【答案】(1)1x ≤;(2)3x ≥-;(3)见解析;(4)31x -≤≤【例13】(2021·江西模拟)解不等式组:3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨>-⎪⎩,并在数轴上表示它的解集.【答案】x ≤1.【解析】解:3(2)4?121?3x x x x --≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②,∵解不等式①得:x ≤1,解不等式②得:x <4, ∴不等式组的解集为:x ≤1, 在数轴上表示不等式组的解集为:.【例14】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解,则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程.如一元一次方程213x -=的解是2x =,一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的解集是132x <<,我们就说一元一次方程213x -=是一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的一个关联方程. (1)在方程①310x -=,②240x -=,③(21)7x x +-=-中,不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩的关联方程是 ;(填序号)(2)若不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是 ;(写出一个即可)(3)若方程92x x -=,132()2x x +=+都是关于x 的不等式组22x x mx m <-⎧⎨-⎩的关联方程,直接写出m 的取值范围.【答案】(1)②;(2)x-1=0;(3)1≤m <2. 【解析】解:(1)解不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩得:712x <<, ∵方程①的解为13x =;方程②的解为x=2;方程③的解为:x=-2,∴不等式组的关联方程是②,故答案为:②;(2)解不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩ 得:1342x <<, 所以不等式组的整数解为:x=1,故答案为:x-1=0;(3)解不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩ 得:2m x m <+.方程9-x=2x 的解为:x=3, 方程132()2x x +=+的解为:x=2, 其是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩的关联方程, ∴m 222m 323m m <⎧⎪+≥⎪⎨<⎪⎪+≥⎩, 解得:1≤m <2∴m 的取值范围是1≤m <2.题型四、实际应用【例15】(2020·安徽合肥)春节期间某商场为促销,将定价为50元/件的商品如下销售:一次性购买不超过5件按照原价销售;一次性购买超过5件则按原价的八折出售.旗旗现在有290元,则最多可购买这种商品( )件.A .6B .7C .8D .9【答案】B.【解析】解:设旗旗可以购买x 件商品,∵290>250,∴旗旗购买的商品超过5件,50×0.8x≤290,解得:x≤714. ∵x 为整数,∴x 的最大值为7.故答案为:B .【例16】(2021·合肥市期中)阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼,如图为蛋糕的价目表.已知阿慧共购买10盒蛋糕,花费的金额不超过500元.若他将蛋糕分给75位同事,每人至少能拿到一个蛋糕,则阿慧花多少元购买蛋糕?( )A .430B .450C .460D .490【答案】D. 【解析】解:设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕,则购买(10-x )盒金枣蛋糕,则()()7040105001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩, 解得:122≤x ≤133, ∵x 是整数,∴x =3,70×3+40×(10-3)=490(元).故答案为:D .【例17-1】(2020·河南驻马店期中)阅读以下结论:(1)若|x |=a (a ≥0),则x =±a . (2)若|x |>a (a >0),则x >a 或x <﹣a ;若|x |<a (a >0),则﹣a <x <a .(3)若(x ﹣a )(x ﹣b )>0(0<a <b ),则x >b 或x <a ;若(x ﹣a )(x ﹣b )<0(0<a <b ),则a <x <b .根据上述结论,解答下面问题:(1)解方程:|3x ﹣2|﹣4=0.(2)解不等式:|3x ﹣2|﹣4>0.(3)解不等式:|3x ﹣2|﹣4<0.(4)解不等式:(x ﹣2)(x ﹣5)>0.(5)解不等式:(2x ﹣3)(2x ﹣5)<0.【答案】(1)x =2或x =﹣23;(2)x >2或x <﹣23;(3)﹣23<x <2;(4)x >5或x <2;(5)32<x <52. 【解析】(1)解:|3x ﹣2|﹣4=0,3x ﹣2=4或3x ﹣2=﹣4,解得x =2或x =23-; (2)解:|3x ﹣2|﹣4>0,3x ﹣2>4或3x ﹣2<﹣4,解得x >2或x <23-; (3)解:|3x ﹣2|﹣4<0,﹣4<3x ﹣2<4, 解得23-<x <2; (4)解:(x ﹣2)(x ﹣5)>0,x ﹣5>0或x ﹣2<0,解得x >5或x <2;(5)解不等式:(2x ﹣3)(2x ﹣5)<0,3<2x <5, 解得32<x <52. 【例17-2】(2020·北京通州区期末)对于一个数x ,我们用(]x 表示小于x 的最大整数,例如: (](](]2.62,34,109=-=-=.(1)填空:(]2020___________-=,(]2.4___________-=,(]0.7___________=; (2)如果,a b 都是整数,(]a 和(]b 互为相反数,求代数式224a b b -+的值;(3)如果(]3x =,求x 的取值范围.【答案】(1)-2021,-3,0;(2)4;(3)-3<x ≤-2或3<x ≤4.【解析】解:(1)(-2020]=-2021,(-2.4]=-3,(0.7]=0;故答案为:-2021,-3,0.(2)∵a ,b 都是整数,且(a]和(b]互为相反数,∴a-1+b-1=0,∴a+b=2,∴a 2-b 2+4b=(a-b )(a+b )+4b=2(a-b )+4b=2(a+b )=2×2=4;(3)当x <0时,∵|(x]|=3,∴x >-3,∴-3<x≤-2;当x >0时,∵|(x]|=3,∴x >3,∴3<x≤4.故x 的范围取值为-3<x≤-2或3<x≤4.【例18】(2020·四川南充期末)已知方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩的解中,x 是非负数,y 是正数.(1)求k 的取值范围;(2)化简:21k k --+;(3)当k 为何整数时,不等式221x k kx +<+的解集为1x >.【答案】(1)425k -<≤;(2)-2k+1;(3)1或2.【解析】解:(1)解方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩①②①+②,得 22x k =-+ ∴12kx =-+①-②,得 254y k =+ ∴522ky =+ 已知102k x =-+,且5202ky =+>∴k 2≤且45k >- ∴425k -<≤(2)∵425k -<≤∴20k -≤且10k +>. ∴21k k --+(2)(1)k k =---+21k =-+ 即21k k --+21k =-+;(3)∵221x k kx +<+∴221kx x k ->-∴(21)21k x k ->-∵解集为 1x >,∴210k ->. ∴12k > 结合425k -<≤ 得122k <≤.∴整数k=1或k=2.【例19】某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进A ,B 两种树苗,共21棵,已知A 种树苗每棵90元,B 种树苗每棵70元.设购买A 种树苗x 棵,购买两种树苗所需费用为y 元.(1)求y 与x 的函数表达式,其中0≤x ≤21;(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.【答案】见解析.【解析】解:(1)根据题意,得:y =90x +70(21﹣x )=20x +1470,所以函数解析式为:y =20x +1470;(2)∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量,∴21﹣x <x ,解得:x >10.5,又∵y =20x +1470,且x 取整数,∴当x =11时,y 有最小值=1690,∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵,A 种树苗11棵,所需费用为1690元.【例20】(2021·河南郑州市期中)某班对期中考试进步的同学进行表彰,若购买百乐笔15支,晨光笔20支,需花费250元;若购买百乐笔10支,晨光笔25支,需花费225元. (1)求百乐笔、展光笔的单价;(2)如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支,并且购买两种笔的总费用不超过300元,求至多购买多少支百乐笔?【答案】见解析.【解析】解:(1)设百乐笔的单价为x 元/支、展光笔的单价为y 元/支,根据题意得,15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩,整理得:34502545x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×2-②×3得:y=5把y=5代入①得:x=10105x y =⎧∴⎨=⎩答:百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元.(2)设购买百乐笔m 支,则晨光笔(35-m )支,由题意得:()10535300m m +-≤,解得:m ≤25,答:至多购买25支百乐笔.【例21】某学校为了增强学生体质,加强体育锻炼,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元. (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元;(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根,通过计算说明共有哪几种购买方案.【答案】见解析.【解析】解:(1)设购买一根跳绳需要x 元,购买一个毽子需要y 元,依题意,得:25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得:64x y =⎧⎨=⎩. 答:购买一根跳绳需要6元,购买一个毽子需要4元;(2)设购买m 根跳绳,则购买(54−m )个毽子,由题意,得:()645426020m m m ⎧+-≤⎨>⎩,解得:20<m ≤22.∵m 为正整数,∴m 可以为21,22.∴共有2种购买方案,方案1:购买21根跳绳,33个毽子;方案2:购买22根跳绳,32个毽子.。
不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)
例题1证明 ∵x >0,y >0,z >0,∴y x +z x ≥2 yz x >0,x y +z y ≥2 xzy >0, x z +y z ≥2 xyz >0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x +z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z +y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz=8.当且仅当x =y =z 时等号成立.训练1解:∵x ,y 都是正数 ∴yx >0,x y >0,x 2>0,y 2>0,x 3>0,y 3>0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2=2即x y y x +≥2.(2)x +y ≥2xy >0 x 2+y 2≥222y x >0 x 3+y 3≥233y x >0∴(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥2xy ·222y x ·233y x =8x 3y 3即(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2-3xy +4y 2-z =0,得z =x 2-3xy +4y 2, ∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4yx -3. 又x ,y ,z 为正实数,∴x y +4yx ≥4, 当且仅当x =2y 时取等号,此时z =2y 2. ∴2x +1y -2z =22y +1y -22y 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2+2y=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y -12+1,当1y =1,即y =1时,上式有最大值1.(2)∵x >0,y >0,∴x +y =(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2y = 4+2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +y x ≥4+4x y ·yx =8.当且仅当x y =yx ,即x =y =4时取等号. 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x +3y =5xy 可得15y +35x =1,∴3x +4y =(3x +4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y +35x =95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x=1,y=12时,等号成立),∴3x+4y的最小值是5.(2)由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32+x+32+y=1可化为xy=8+x+y,∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2xy(当且仅当x=y时等号成立),即xy-2xy-8≥0,解得xy≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab>0,即ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2ba×ab=2.答案 C2、解析由题意1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba×ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=12时,取等号,所以最小值为4.答案 C3、解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得y=x+1+9x+1-5≥2(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.答案 C4、解析(1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+22ab=9.当且仅当2a=b,即a=1,b =2时取等号.答案9解析 ∵x >0,y >0且1=x 3+y4≥2xy 12,∴xy ≤3.当且仅当x 3=y 4,即当x =32,y=2时取等号. 答案 3解析 ∵y =a 1-x 恒过点A (1,1),又∵A 在直线上,∴m +n =1.而1m +1n =m +n m +m +n n =2+n m +m n ≥2+2=4,当且仅当m =n =12时,取“=”,∴1m +1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知,a <0,b a =-56,-1a =16,∴a =-6,b =5.∴x 2-5x +6<0的解是(2,3).3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x +y =40、x +2y =50的斜率分别为-2、-12,而3x +2y =0的斜率为-32,故线性目标函数的倾斜角大于2x +y =40的倾斜角而小于x +2y =50的倾斜角,由图知,3x +2y =z 经过点A (10,20)时,z 有最大值,z 的最大值为70.4、答案 A解析 x -1x ≥2⇔x -1x -2≥0⇔-x -1x≥0⇔x +1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x +1)≤0x ≠0⇔-1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab -(a +b )=1,ab ≤(a +b 2)2,∴(a +b 2)2-(a +b )≥1,它是关于a +b 的一元二次不等式,解得a +b ≥2(2+1)或a +b ≤2(1-2)(舍去). ∴a +b 有最小值2(2+1).又∵ab -(a +b )=1,a +b ≥2ab ,∴ab -2ab ≥1,它是关于ab 的一元二次不等式, 解得ab ≥2+1,或ab ≤1-2(舍去), ∴ab ≥3+22,即ab 有最小值3+2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线x -y +2=0与直线3x -y -6=0的交点(4,6)时,目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值12,即4a +6b =12,即2a +3b =6,而2a +3b =(2a +3b )·2a +3b 6=136+(b a +a b )≥136+2=256(a =b=65时取等号).7、答案 [-1,0]解析 由f (x )=2x 2-2ax -a -1的定义域为R .可知2x 2-2ax -a ≥1恒成立,即x 2-2ax -a ≥0恒成立,则Δ=4a 2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0.8答案 3解析 由x -2y +3z =0,得y =x +3z 2,将其代入y 2xz,得x 2+9z 2+6xz 4xz ≥6xz +6xz 4xz =3,当且仅当x =3z 时取“=”,∴y 2xz的最小值为3.。
不等式与不等式组专题复习讲义
不等式与不等式组专题复习讲义姓名:第一部分:考点一、不等式的概念1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立;考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号,它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型:1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系,比如大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b,则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c,则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0,则 ac > bc(c > 0)。
- 若 a > b 且 c < 0,则 ac < bc(c < 0)。
- 若 a > b 且c ≠ 0,则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加(减)相同的数,不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘(除)正数,不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘(除)负数,不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根,应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式,其中 a、b、c 为常数,x 为变量。
- 解法类似一元一次方程,通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式,其中 a、b、c 为常数,x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式,其中 a、b、c 为常数,x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式,通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式,其中 a、b、c 为常数,x 为变量。
不等式复习讲义1
不等式复习讲义(一)一.目的要求:1.理解不等式的性质及其证明,掌握证明不等式的常用方法;2.掌握常用基本不等式,并能用之证明不等式和求最值;3.掌握含绝对值的不等式的性质;4.会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。
学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题,形成良好的思维品质.二.知识要点:2.绝对值不等式的性质: ||||||||a b a b a b -≤±≤+;1212||||||||n n a a a a a a +++≤+++.三.证明不等式的常用方法:比较法,综合法,分析法,换元法,反证法等.四.运用基本不等式求最值的注意点:①常用的不等式:a b +≥2()2a b ab +≤,222a b ab +≥. ②注意点:和定积最大,积定和最小;一正、二定、三相等.五.常见不等式及其基本解法:1.一元二次不等式:(1)利用其与一元二次方程,二次函数的关系;(2)含字母系数的一元二次不等式大致分为两类:①∆的符号不确定,讨论∆的大小;②通过因式分解(或求根公式)得出两根,但根的大小不明确,则讨论根的大小.(3)一元二次不等式的应用:①已知一个不等式的解集,求另一个不等式的解集;②恒成立问题:通常可结合二次函数图象来考虑.2.分式不等式:移项,通分,再转化为不等式组或序轴标根;3.含有绝对值的不等式:用绝对值的定义去掉绝对值符号.4.高次不等式:序轴标根法;5.指数、对数不等式:利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化.六.例题分析:例1.已知0a b >>,0c d <<,0e <,求证:e e a c b d>--. 证明:∵0c d <<,∴0c d ->->,又0a b >>,∴0a c b d ->->,∴110a c b d <<--,又0e <,∴e e a c b d>--. 例2.已知,,,a b c d 都是实数,求证:22222()()()ac bd a b c d +≤++,并指出""=何时成立.比较法或综合法,""=成立的条件是ad bc =.例3.已知0a >,111b a ->>. 证明:∵111b a ->,∴111b a >+,又0a >,∴11b>,∴01b <<,>1>, 只要证(1)(1)1a b +->,即0a b ab -->,只要证a b ab ->,∵0ab >,∴只要证1a b ab ->,即111b a->, ∵111b a ->>. 例4.在ABC ∆中,,,a b c 为三条边的长,S 表示ABC ∆的面积,求证:222a b c ++≥,并说明“=”成立的条件.证明:由余弦定理,有2222cos c a b ab C =+-,又1sin 2S ab C =,∴22222222cos sin a b c a b a b ab C C ++-=+++--222()2(cos )a b ab C C =+-+44sin()4[1sin()]66ab ab C ab C ππ≥-+=-+, ∵sin()16C π+≤, ∴4[1sin()]06ab C π-+≥,∴222a b c ++≥, 当且仅当sin()16a b C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩,即3a b C π=⎧⎪⎨=⎪⎩,也就是ABC ∆是等边三角形时,“=”成立.七.课后作业:1.已知0x a <<,则下列不等式一定成立的是 ( ) 22()A x ax a << 22()B x a ax << 22()C x ax a >> 22()D x a ax >>2.下列命题中成立的是 ( ) ()2x y A y x+≥,当且仅当,x y R *∈时成立; 1()||2B a a+≥,当且仅当0a ≠时成立; ()tan cot 2C θθ+≥,当且仅当(0,)2πθ∈时成立;()log log 2a b D b a +≥,当且仅当,(1,)a b ∈+∞时成立。
第五讲 不等式(组)讲义
第五讲 不等式(组)及应用一、课标下复习指南 1.不等式用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式. 2.不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解:与方程类似,使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.(2)不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.它可以用最简单的不等式表示,也可以用数轴表示. 3.解不等式求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 4.不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 不等式的其他性质: (1)若a >b ,则b <a ;(2)若a >b ,b >c ,则a >c ; (3)若a ≥b ,b ≥a ,则a =b ; (4)若a 2≤0,则a =0. 5.一元一次不等式类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.它的一般形式为ax +b >0(a ≠0)或ax +b <0(a ≠0). 6.一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法,但要特别注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变.7.一元一次不等式组及其解集类似于方程组,把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一个一元一次不等式组,所有这些一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集. 8.一元一次不等式组的解法解 一元一次不等式组的基本步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴确定它们的公共部分; (3)表示出这个不等式组的解集. 9.一元一次不等式(组)的应用列一元一次不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤类似,即(1)审题,设出未知数;(2)列不等式(组);(3)解不等式(组);(4)结合不等式(组)的解集与未知数的限制条件确定符合题意的解或解集,并写出答案.10.一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数y =kx +b (k ≠0)当函数值y =0时,一次函数转化为一元一次方程;当函数值y >0或y <0时,一次函数转化为一元一次不等式,利用函数图象可以确定x 的取值范围. 二、例题分析例1 解不等式21687xx x +≤+-,并在数轴上表示它的解集.解 去分母,得6x -(7x +8)≤6+3x . 去括号,得6x -7x -8≤6+3x . 移项,得6x -7x -3x ≤6+8. 合并同类项,得-4x ≤14系数化1,得27-≥x .不等式的解集在数轴上表示为:图5-1说明 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似,只要特别注意在系数化1这一步时,两边同乘(除)以的数是正数还是负数,若是正数,不等号的方向不改变;若是负数,不等号的方向要改变.在数轴上表示不等式的解集的时候,一要定边界点,二是定方向,注意分清空心图和实心点的区别.例2 x 取何值时,代数式645+x 的值不小于代数式3.187x--的值?并求出x 的最小值. 解 由题意,得⋅--≥+3187645x x 解 得⋅-≥41x∴当41-≥x 时,代数式645+x 的值不小于代数式3187x --的值,x 的最小值为⋅-41说明 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“至少”、“至多”等描述不等关系的语言所对应的不等号分别是什么.例3 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集,并求它的整数解.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-②①.432,33)1(2x x x x由①得x ≥1.由②得x <5.不等式组的解集在数轴上表示如下:图5-2原不等式组的解集为1≤x <5.所以原不等式组的整数解为1,2,3,4.说明 不等式(组)的特殊解,在某个范围内是有限的,要求这些特殊解,首先要确定不等式(组)的解集,再根据要求写出相应的答案.例4 关于x 的方程,如果3(x +4)-4=2a +1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解,求a的取值范围.解 3(x +4)-4=2a +1的解为⋅-=372a x 3)43(414-=+x a x a 的解为.316a x -= 由题意得.316372a a ->-解得187>a .即a 的取值范围是187>a . 说明 本题是方程与不等式的结合.例5 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+0,1234a x xx 的解集为x <2,求a 的取值范围. 解 两个不等式的解集分别为x <2,x <-a .∵不等式的解集为x <2,∴-a ≥2, ∴a 的取值范围是a ≤-2.说明 先分别求出两个不等式的解集,再根据解集求出a 的取值范围,此处易遗漏-a =2,导致结果不完整,应特别注意.例6 某物流公司,要将300吨物资运往某地,现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨,B 型车每辆可装15吨,在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完.问:在已确定调用5辆A 型车的前提下,至少还需调用B 型车多少辆?解 设还需要B 型车x 辆.依题意得20×5+15x ≥300.解得3113≥x .由于x 是车的数量,应为整数,所以至少需要14台B 型车.例7 为改善办学条件,东海中学计划购买部分A 品牌电脑和B 品牌课桌.第一次,用9万元购买了A 品牌电脑10台和B 品牌课桌200张;第二次,用9万元购买了A 品牌电脑12台和B 品牌课桌120张.(1)每台A 品牌电脑与每张B 品牌课桌的价格各是多少元?(2)第三次购买时,销售商对一次购买量大的客户打折销售.规定:一次购买A 品牌电脑35台以上(含35台),按九折销售,一次购买B 品牌课桌600张以上(含600张),按八折销售.学校准备用27万元购买电脑和课桌,其中电脑不少于35台,课桌不少于600张,问有几种购买方案?解 (1)设每台A 品牌电脑m 元,每张B 品牌课桌n 元,则有⎩⎨⎧=+=+.9000012012,9000020010n m n m 解得⎩⎨⎧==.150,6000n m(2)有两种方案.设购电脑x 台,课桌y 张.则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+.600,35,2700001205400y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.675600,323635y xx =35时,y =675;x =36时,y =630. 方案①:购电脑35台,课桌675张; 方案②:购电脑36台,课桌630张. 三、课标下新题展示例8 如图5-3,要使输出值y 大于100,则输入的最小正整数x 是______.图5-3解 设n 为正整数,由题意得⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11.若x 为奇数,即x =21时,y =105;若x 为偶数,即x =22时,y =101.∴满足条件的最小正整数x 是21.例9 某工厂用如图5-4(a)所示的长方形和正方形纸板,做成如图5-4(b)所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.图5-4(a) 图5-4(b)(1)现有正方形纸板162张,长方形纸板340张.若要做两种纸盒共100个,设做竖式纸盒x 个.①根据题意完成以下表格:竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x 所用正方形纸板张数(张) 2(100-x )所用长方形纸板张数(张)4x②按两种纸盒的生产个数来分,有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张,长方形纸板n 张,做成上述两种纸盒,纸板恰好用完.已知290<n <306.则n 的值是______.(写出一个即可)解 (1)①根据题意完成表格如下:竖式纸盒(个)横式纸盒(个) x 100-x 所用正方形纸板张数(张) x 2(100-x ) 所用长方形纸板张数(张)4x3(100-x )⎩⎨⎧≤-+≤-+.340)100(34,162)100(2x x x x ② 解得38≤x ≤40. 又∵x 是整数,∴x =38,39,40.答:有三种方案:生产竖式纸盒38个,横式纸盒62个;或生产竖式纸盒39个,横式纸盒61个;或生产竖式纸盒40个,横式纸盒60个.(2)293或298或303.例10 用长度相等的100根火柴摆放一个三角形,使最大边的长度是最小边长度的3倍,求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数.解 设三角形三边分别为x ,y ,3x .依题意得⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=++③②①.3,3,1003x y x x y x x y x 由①、②得207100≤≤x 由①、③得⋅<350x因为x 为正整数,故x=15或16.所以满足条件的三角形各边所用火柴杆的根数为15,40,45或16,36,48. 四、课标考试达标题 (一)选择题1.若a >b ,且c 为有理数,则( ). A .ac >bc B .ac <bc C .ac 2>bc 2 D .ac 2≥bc 22.如图5-5,a ,b ,c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.若同类水果质量相等,则下列关系正确的是( ).图5-5A .a >c >bB .b >a >cC .a >b >cD .c >a >b 3.不等式x <3的解集在数轴上表示为( ).4.函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( ).5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<+x x x x 23821,148的解集在数轴上表示正确的是( ).6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解,则k 的取值范围是( ).A .k <2B .k ≥2C .k <1D .1≤k <27.若(x -2)2+|2x -3y -a |=0,y 是正数,则a 的取值范围是( ). A .a <2 B .a <3 C .a <4 D .a <5 (二)填空题8.若不等式组⎩⎨⎧>-<-32,12b x a x 的解集是-1<x <1,则(a +1)(b +1)的值是______.9.直线l 1:y =k 1x +b 与直线l 2:y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图5-6所示,则关于x 的不等式k 2x >k 1x +b 的解集为______.图5-610.k 满足______时,方程组⎩⎨⎧=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1,y 小于1.11.6月1日起,某超市开始有偿..提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克.6月7日,小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米,他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市______元. (三)解答题 12.求不等式8)1(3411-≥--x x 的非负整数解.13.解不等式组⎩⎨⎧≥+->+,33)1(2,03x x x 并判断23=x 是否是该不等式组的解.14.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解,求a 的取值范围.15.某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查,决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表:类别 电视机 洗衣机 进价(元/台) 1800 1500 售价(元/台)20001600计划购进电视机和洗衣机共100台,商店最多可筹集资金161800元. (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案? (不考虑除进价之外的其他费用)(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润.(利润=售价-进价)16.2008年北京奥运会的比赛已经圆满闭幕.当时某球迷打算用8000元预订10张下表中比赛项目的门票.(下表为当时北京奥运会官方票务网站公布的几种球类决赛的门票价格)(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票,问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张?(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下,他想预订下表中三种球类门票,其中男篮门票数与足球门票数相同,且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用,求他能预订三种球类门票各多少张?比赛项目票价(元/场)男篮1000足球800乒乓球500参考答案第五讲 不等式(组)及应用1.D . 2.C . 3.B . 4.B . 5.C . 6.A . 7.C . 8.-2. 9.x <-1. 10.-1<k <3. 11.8元.12.513≤x ,x =0,1,2. 13.-3<x ≤1,23=x 是该不等式组的解.14.解不等式得x <21,x >2-3a ,又∵只有4个整数解,∴16≤2-3a <17,解得3145-≤<-a . 15.解:(1)设商店购进电视机x 台,则购进洗衣机(100-x )台,根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥.161800)100(15001800),100(21x x x x 解不等式组,得⋅≤≤31393133x 即购进电视机最少34台,最多39台,商店有6种进货方案.(2)设商店销售完毕后获利为y 元,根据题意,得y =(2000-1800)x +(1600-1500)(100-x )=100x +10000.∵100>0,∴ 当x 最大时,y 的值最大.即 当x =39时,商店获利最多,为13900元.16.解:(1)设预订男篮门票x 张,则乒乓球门票(10-x )张.由题意得 1000x +500(10-x )=8000 解得x =6. ∴10-x =4.答:可订男篮门票6张,乒乓球门票4张.(2)设男篮门票与足球门票都订a 张,则乒乓球门票(10-2a )张.由题意得⎩⎨⎧≤-≤-++.1000)210(500,8000)210(5008001000a a a a a 解得⋅≤≤433212a 由a 为正整数,可得a =3.答:他能预订男篮门票3张,足球门票3张,乒乓球门票4张.。
不等式与不等式组复习讲义(共3课时)
不等式与不等式组复习讲义第1课时不等式概念、性质与解集一、知识要点:1、不等式和一元一次不等式的含义。
①如:-3﹥-5,b+1≤3,2x﹤y,-1﹤x≤3,x≠1等,含有不等号的式子可称作不等式;而:②如:y-3﹥-5,b+1≤2b-3,2x+1﹤4等,是不等式并只含有1个未知数,同时未知数的次数是1,则可称为一元一次不等式。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析:由a ﹤b ﹤0得,a 、b 同为负数并且︱a ︱﹥︱b ︱。
如取a =-2,b =-1代入式子中。
三、练习:1、下列式子:①-3﹤0,②4x +3y ﹥0,③x=3,④12+-y x ,⑤x ≠5,⑥x -3﹤y +2,其中是不等式的有( )。
A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 2、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示,用不等式表示:①a +b ____0,②a b ____0,③︱a ︱____︱b ︱。
3、若a ﹥b ,则下列式子一定成立的是( )。
A 、a +3﹥b +5,B 、a -9﹥b -9,C 、-10a ﹥-10b ,D 、a 2c ﹥b 2c 4、下列结论:①若a ﹤b ,则a 2c ﹤b 2c ;②若a c ﹥b c ,则a ﹥b ;③若a ﹥b 且若c =d , 则a c ﹥b d ;④若a 2c ﹤b 2c ,则a ﹤b 。
正确的有( )。
A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 5、若0﹤a ﹤1,则下列四个不等式中正确的是( )。
(1)2x -5﹥5x -11 (2)3x -2(1-2x )≥1(3)4x-7﹥3x-1 (4)2(x-6)﹤3-x7、已知m﹤0,n﹥0,m+n﹥0,用“﹥”号连接:m,n,-m,-n,m-n,n-m。
第2课时解一元一次不等式一、知识要点:1、解一元一次不等式的依据是不等式的三个性质。
二、应用举例:【例1】(07枣庄试题)不等式2x-7≤5的正整数解有()。
A、7个B、6个C、5个D、4个A、x≤1B、x≥1C、x≤-1D、x≥-1分析:非正数也就是:0和负数,即3)1(2x--≤0。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a +b |≤|a |+|b |(a ,b ∈R ).(2)|a -b |≤|a -c |+|c -b |(a ,b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax +b |≤c ,|ax +b |≥c ,|x -c |+|x -b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<-a ;(2)|f (x )|<a (a >0)⇔-a <f (x )<a ;(3)对形如|x -a |+|x -b |≤c ,|x -a |+|x -b |≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.2.含有绝对值的不等式的性质|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.问题探究:不等式|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |中,“=”成立的条件分别是什么?提示:不等式|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |,右侧“=”成立的条件是ab ≥0,左侧“=”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |;不等式|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |,右侧“=”成立的条件是ab ≤0,左侧“=”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3.基本不等式定理1:设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab .当且仅当a =b 时,等号成立.定理2:如果a 、b 为正数,则≥,当且仅当a =b 时,等号成立.a +b 2ab 定理3:如果a 、b 、c 为正数,则≥,当且仅当a =b =c 时,a +b +c 33abc 等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数,则≥,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.a 1+a 2+…+a nn n a 1a 2…a n 4.柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式:设a ,b ,c ,d 为实数,则(a 2+b 2)·(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立.(2)若a i ,b i (i ∈N *)为实数,则()()≥(i b i )2,当且仅当b i =0(i =n ∑i =1a 2i n ∑i =1b 2i n ∑i =1a 1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a +b |≥|a |-|b |当且仅当a >b >0时等号成立.( )(2)对|a -b |≤|a |+|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( )(3)|ax +b |≤c (c >0)的解等价于-c ≤ax +b ≤c .( )(4)不等式|x -1|+|x +2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1,x +y >-2,则x >0,y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2.不等式|2x -1|-x <1的解集是( )A .{x |0<x <2}B .{x |1<x <2}C .{x |0<x <1}D .{x |1<x <3}[解析] 解法一:x =1时,满足不等关系,排除C 、D 、B ,故选A.解法二:令f (x )=Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}.[答案] A3.设|a |<1,|b |<1,则|a +b |+|a -b |与2的大小关系是( )A .|a +b |+|a -b |>2B .|a +b |+|a -b |<2C .|a +b |+|a -b |=2D .不能比较大小[解析] |a +b |+|a -b |≤|2a |<2.[答案] B4.若a ,b ,c ∈(0,+∞),且a +b +c =1,则++的最大值为( )a b c A .1 B . 2C. D .23[解析] (++)2=(1×+1×+1×)2≤ (12+12+12)(a +b +c )a b c a b c =3.当且仅当a =b =c =时,等号成立.13∴(++)2≤3.a b c ++的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5.若存在实数x 使|x -a |+|x -1|≤3成立,则实数a 的取值范围是________.[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3,所以a 的取值范围为-2≤a ≤4.[答案] -2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x -a |+|x -b |≥c (或≤c )型不等式,其一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1)(2015·山东卷)不等式|x -1|-|x -5|<2的解集是( )A .(-∞,4)B .(-∞,1)C .(1,4)D .(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为Error!,则a =________.[解题指导] 切入点:“脱掉”绝对值符号;关键点:利用绝对值的性质进行分类讨论.[解析] (1)当x <1时,不等式可化为-(x -1)+(x -5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x -1+(x -5)<2,即2x -6<2,解得x <4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x >5时,不等式可化为(x -1)-(x -5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.(2)∵|ax -2|<3,∴-1<ax <5.当a >0时,-<x <,与已知条件不符;1a 5a当a =0时,x ∈R ,与已知条件不符;当a <0时,<x <-,又不等式的解集为Error!,故a =-3.5a 1a[答案] (1)A (2)-3用零点分段法解绝对值不等式的步骤:(1)求零点;(2)划区间、去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.对点训练已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|.(1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.[解] (1)当a =-3时,f (x )=Error!当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x +5≥3,解得x ≤1;当2<x <3时,f (x )≥3无解;当x ≥3时,由f (x )≥3得2x -5≥3,解得x ≥4;所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}.(2)f (x )≤|x -4|⇔|x -4|-|x -2|≥|x +a |.当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a |⇔4-x -(2-x )≥|x +a |⇔-2-a ≤x ≤2-a .由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x -a |+|x -b |>c 或|x -a |+|x -b |<c 的不等式,利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性.|x -a |+|x -b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和,应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x -1|+|x +2|≥a 2+a +2对任意实数x 恒成立,12则实数a 的取值范围是________.(2)不等式|x +1|-|x -2|>k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是__________.[解题指导] 切入点:绝对值的几何意义;关键点:把恒成立问题转化为最值问题.[解析] (1)∵|x -1|+|x +2|≥|(x -1)-(x -2)|=3,∴a 2+a +2≤3,解得≤a ≤.12-1174-1+174即实数a 的取值范围是.[-1-174,-1+174](2)解法一:根据绝对值的几何意义,设数x ,-1,2在数轴上对应的点分别为P ,A ,B ,则原不等式等价于PA -PB >k 恒成立.∵AB =3,即|x +1|-|x -2|≥-3.故当k <-3时,原不等式恒成立.解法二:令y =|x +1|-|x -2|,则y=Error!要使|x+1|-|x-2|>k恒成立,从图象中可以看出,只要k<-3即可.故k<-3满足题意.[答案] (1) (2)(-∞,-3)[-1-174,-1+174]解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的x即可;不等式的恒成立问题,可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+a,a∈R,g(x)=|2x-1|.(1)若当g(x)≤5时,恒有f(x)≤6,求a的最大值;(2)若当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[解] (1)g(x)≤5⇔|2x-1|≤5⇔-5≤2x-1≤5⇔-2≤x≤3;f(x)≤6⇔|2x-a|≤6-a⇔a-6≤2x-a≤6-a⇔a-3≤x≤3.依题意有,a-3≤-2,a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)+g(x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a=|a-1|+a,当且仅当(2x-a)(2x-1)≤0时等号成立.解不等式|a-1|+a≥3,得a的取值范围是[2,+∞).考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多,解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题目标,既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d ,证明:(1)若ab >cd ,则+>+;a b c d (2)+>+是|a -b |<|c -d |的充要条件.a b c d [解题指导] 切入点:不等式的性质;关键点:不等式的恒等变形.[证明] (1)因为(+)2=a +b +2,(+)2=c +d +2,a b ab c d cd 由题设a +b =c +d ,ab >cd 得(+)2>(+)2.a b c d +>+.a b c d (2)①若|a -b |<|c -d |,则(a -b )2<(c -d )2,即(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd .因为a +b =c +d ,所以ab >cd .由(1)得+>+.a b c d +>+,则(+)2>(+)2,即a b c d a b c d a +b +>c +d +2.ab cd 因为a +b =c +d ,所以ab >cd .于是(a -b )2=(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd =(c -d )2.因此|a -b |<|c -d |.+>+是|a -b |<|c -d |的充要条件.a b c d分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数,且a +b +c =1.证明:(1)ab +bc +ac ≤;13(2)++≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca .由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1.所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤.13(2)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,a 2b b 2c c 2a故+++(a +b +c )≥2(a +b +c ),a 2b b 2c c 2a即++≥a +b +c .a 2b b 2c c 2a所以++≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.2.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用,同时还要注意等号成立的条件.3.在证明不等式时,应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在使用柯西不等式时,要注意右边为常数.[易错点睛]1.对含有参数的不等式求解时,分类要完整.2.应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.课时跟踪训练(七十)一、填空题1.不等式|2x -1|<3的解集为__________.[解析] |2x -1|<3⇔-3<2x -1<3⇔-1<x <2.[答案] (-1,2)2.若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =__________.[解析] ∵|kx -4|≤2,∴-2≤kx -4≤2,∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3},∴k =2.[答案] 23.不等式|2x +1|+|x -1|<2的解集为________.[解析] 当x ≤-时,原不等式等价为-(2x +1)-(x -1)<2,即-3x <2,x >-12,此时-<x ≤-.当-<x <1时,原不等式等价为(2x +1)-(x -1)<2,即x <0,23231212此时-<x <0.当x ≥1时,原不等式等价为(2x +1)+(x -1)<2,即3x <2,x <,此1223时不等式无解,综上,原不等式的解为-<x <0,即原不等式的解集为.23(-23,0)[答案] (-23,0)4.已知关于x 的不等式|x -1|+|x |≤k 无解,则实数k 的取值范围是__________.[解析] ∵|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,∴当k <1时,不等式|x -1|+|x |≤k 无解,故k <1.[答案] (-∞,1)5.(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x -5|+|x +3|<a 无解,则实数a 的取值范围是________.[解析] |x -5|+|x +3|≥|(x -5)-(x +3)|=8,故a ≤8.[答案] (-∞,8]6.(2015·重庆卷)若函数f (x )=|x +1|+2|x -a |的最小值为5,则实数a =__________.[解析] 当a =-1时,f (x )=3|x +1|≥0,不满足题意;当a <-1时,f (x )=Error!f (x )min =f (a )=-3a -1+2a =5,解得a =-6;当a >-1时,f (x )=Error!f (x )min =f (a )=-a +1+2a =5,解得a =4.[答案] -6或47.若关于x 的不等式|a |≥|x +1|+|x -2|存在实数解,则实数a 的取值范围是__________.[解析] ∵f (x )=|x +1|+|x -2|=Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x +1|+|x -2|有解,∴|a |≥3,即a ≤-3或a ≥3.[答案] (-∞,-3]∪[3,+∞)8.已知关于x 的不等式|x -a |+1-x >0的解集为R ,则实数a 的取值范围是__________.[解析] 若x -1<0,则a ∈R ;若x -1≥0,则(x -a )2>(x -1)2对任意的x ∈[1,+∞)恒成立,即(a -1)[(a +1)-2x ]>0对任意的x ∈[1,+∞)恒成立,所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1,+∞]恒成立,解得a <1.综上,a <1.[答案] (-∞,1)9.设a ,b ,c 是正实数,且a +b +c =9,则++的最小值为__________.2a 2b 2c[解析] ∵(a +b +c )(2a +2b +2c )=[()2+()2+()2]a b c [(2a )2+(2b )2+(2c )2]≥2=18,(a ·2a +b ·2b +c ·2c )∴++≥2,∴++的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210.(2014·陕西卷)设a ,b ,m ,n ∈R ,且a 2+b 2=5,ma +nb =5,则 m 2+n 2的最小值为________.[解析] 由柯西不等式,得(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(am +bn )2,即5(m 2+n 2)≥25,∴m 2+n 2≥5,当且仅当an =bm 时,等号成立.∴的最小值为.m 2+n 25[答案] 511.对任意x ,y ∈R ,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为__________.[解析] ∵|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|=(|1-x |+|x |)+(|1-y |+|1+y |)≥|(1-x )+x |+|(1-y )+(1+y )|=1+2=3,当且仅当(1-x )·x ≥0,(1-y )·(1+y )≥0,即0≤x ≤1,-1≤y ≤1时等号成立,∴|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3.[答案] 312.若不等式|x +1|-|x -4|≥a +,对任意的x ∈R 恒成立,则实数a 的取4a值范围是________.[解析] 只要函数f (x )=|x +1|-|x -4|的最小值不小于a +即可.由于||x +1|4a-|x -4||≤|(x +1)-(x -4)|=5,所以-5≤|x +1|-|x -4|≤5,故只要-5≥a +即4a可.当a >0时,将不等式-5≥a +整理,得a 2+5a +4≤0,无解;当a <0时,4a将不等式-5≥a +整理,得a 2+5a +4≥0,则有a ≤-4或-1≤a <0.综上可知,4a实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,0).[答案] (-∞,-4]∪[-1,0)二、解答题13.已知不等式2|x -3|+|x -4|<2a .(1)若a =1,求不等式的解集;(2)若已知不等式的解集不是空集,求a 的取值范围.[解] (1)当a =1时,不等式即为2|x -3|+|x -4|<2,若x ≥4,则3x -10<2,x <4,∴舍去;若3<x <4,则x -2<2,∴3<x <4;若x ≤3,则10-3x <2,∴<x ≤3.83综上,不等式的解集为Error!.(2)设f (x )=2|x -3|+|x -4|,则f (x )=Error!作出函数f (x )的图象,如图所示.由图象可知,f (x )≥1,∴2a >1,a >,即a 的取值范围为.12(12,+∞)14.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.[解] (1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解;当-1<x <1时,不等式化为3x -2>0,解得<x <1;23当x ≥1时,不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得,f (x )=Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B (2a +1,0),C (a ,a +1),△ABC 的面积为(a +1)2.(2a -13,0)23由题设得(a +1)2>6,故a >2.23所以a 的取值范围为(2,+∞).15.设函数f (x )=|x -1|+|x -a |.(1)若a =-1,解不等式f (x )≥3;(2)如果∀x ∈R ,f (x )≥2,求a 的取值范围.[解] (1)当a =-1时,f (x )=|x -1|+|x +1|,f (x )=Error!作出函数f (x )=|x -1|+|x +1|的图象.由图象可知,不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a =1,f (x )=2|x -1|,不满足题设条件;若a <1,f (x )=Error!f (x )的最小值为1-a ;若a >1,f (x )=Error!f (x )的最小值为a -1.∴对于∀x ∈R ,f (x )≥2的充要条件是|a -1|≥2,∴a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).16.(2015·福建卷)已知a >0,b >0,c >0,函数f (x )=|x +a |+|x -b |+c 的最小值为4.(1)求a +b +c 的值;(2)求a 2+b 2+c 2的最小值.1419[解] (1)因为f (x )=|x +a |+|x -b |+c ≥|(x +a )-(x -b )|+c =|a +b |+c ,当且仅当-a ≤x ≤b 时,等号成立.又a >0,b >0,所以|a +b |=a +b ,所以f (x )的最小值为a +b +c .又已知f (x )的最小值为4,所以a +b +c =4.(2)由(1)知a +b +c =4,由柯西不等式得(4+9+1)≥(14a 2+19b 2+c 2)2=(a +b +c )2=16,(a 2×2+b 3×3+c ×1)即a 2+b 2+c 2≥.141987当且仅当==,12a 213b 3c 1即a =,b =,c =时等号成立.8718727故a 2+b 2+c 2的最小值为.141987。
高中数学:复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答
不等式的基本知识复习讲义一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集:设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各种情况如下表:有两相等实根2、标根法:其步骤是:1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。
()()()如:x x x +--<1120233、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。
解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数:关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x ,y )叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: 1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;3)依据线性目标函数作参照直线a x +b y =0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b+ 1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2、如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形: 有:a+b ≥ab 2;ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注:1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. 2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 4、常用不等式有: 12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2)a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号);3)若0,0a b m >>>,则b b ma a m+<+(糖水的浓度问题)。
不等式整理复习讲义
小巨人学科教师辅导讲义学生: 王广睿 教师: 赵常巨 日期: 2016/04/09 家长签名:课 题 不等式整理复习教学目标1.熟记不等式(组)的解法并能熟练解题。
2.关于不等式应用类问题的理解与解决。
重点、难点1. 无解与函数问题;2. 方案选择类问题。
考点及考试要求1.了解不等式的意义,理解不等式的基本性质;2.会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会解两个一元一次不等式组成的不等式组,会解两个不等号组成的简单连续不等式,会用数轴确定解集;3.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式、一元一次不等式组和简单连续不等式,解决简单的问题.教学内容1.如图1,有一块三角形田地,AB =AC =10m ,作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ,交AB 于E ,量得△BDC 的周长为17m ,则BC=_________________。
P′P CBA图 72.如图7,P 是正△ABC 内的一点,若将△PAB 绕点A 逆时针旋转到△P ′AC ,则∠PAP ′的度数为________.3. 已知关于x 的方程 3x -(2a -3)=5x +(3a+6)的解是负数,则a 的取值范围是________4.在△ABC 中,AB =AC =6 cm ,AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点,且△BCE 的周长为10 cm ,求BC 的长是多少。
AEBDC图1温故知新1、解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分,就得到不等式组的解集.2、由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表.3、列不等式解应用题的特征:列不等式解应用题,一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词,要正确理解这些词的含义.4、列不等式(组)解应用题的一般步骤:①审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系; ②找:找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系; ③设:设未知数(一般求什么,就设什么为x ;④列:根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出不等式(组); ⑤解:解所列出的不等式(组),写出未知数的值或范围; ⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位).不等式组 (其中a<b )图示解集口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩x ≥b 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 同小取小 x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小、小大中间找 x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集小小、大大找不到新知理解例1、(2013年佛山市)已知两个语句: ①式子12-x 的值在1(含1)与3(含3)之间; ②式子12-x 的值不小于1且不大于3. 请回答以下问题:(1) 两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)? (2) 把两个语句分别用数学式子表示出来.变式练习1:(2012•佛山)解不等式组,注:不等式(1)要给出详细的解答过程.例2、一群猴子,一天结伴去偷桃子,在分桃子时,如果每个猴子分了3个,那么还剩59个;如果每一个猴子分5个,就都能分得桃子,但剩下一个猴子分得的桃子不够5个,你能求出有几只猴子,几个桃子吗?变式练习2:若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件;若每人分4件,则最后一人得到的玩具不足3件,求小朋友的人数和玩具数。
不等式专题标准讲义
不等式专题讲义一、知识清理知识点:一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cbc a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cbc a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为abx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数 定义与定义式自变量x 和因变量y 有如下关系:y=kx+b ; 则此时称y 是x 的一次函数。
不等式与不等式组培优讲义
不等式与不等式组一、知识结构图不等式组数轴表示解集顺口溜x >b 大大取较大x <a 小小取较小a <x <b大小、小大中间找无解大大、小小解不了⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321x>ax>bx<ax<bx>ax<bx<ax>b练习题一1.已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1,2,3,则a 的取值范围是 。
2.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解,则a 的取值范围是 。
3.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4.如果关于x 的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解集相同,则a 的值为 。
5.已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x xx 的解集为2<x ,那么a 的取值范围是 。
6.当x 时,代数式52+x 的值不大于零7.若x <1,则22+-x 0(用“>”“=”或“”号填空) 8.不等式x 27->1,的正整数解是 9. 不等式x ->10-a 的解集为x <3,则a12.有解集2<x <3的不等式组是 (写出一个即可) 13.一罐饮料净重约为300g ,罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14. 若不等式组⎩⎨⎧3x ax 的解集为x >3,则a 的取值范围是 练习题二一、 判断题(每题1分,共6分)1、 a >b ,得a +m >b +m ( )2、 由a >3,得a >23( )3、 x = 2是不等式x +3>4的解 ( )4、 由-21>-1,得-2a>-a ( ) 5、 如果a >b ,c <0,则ac 2>bc 2 ( ) 6、 如果a <b <0,则ba<1 ( ) 二、 填空题(每题2分,共34分)1、若a <b ,用“>”号或“<”号填空:a -5 b -5; -2a -2b;-1+2a -1+2b ;6-a 6-b ; 2、x 与3的和不小于-6,用不等式表示为 ; 3、当x 时,代数式2x -3的值是正数; 4、代数式41+2x 的不大于8-2x的值,那么x 的正整数解是 ; 5、如果x -7<-5,则x ;如果-2x>0,那么x ; 6、不等式ax >b 的解集是x <ab,则a 的取值范围是 ; 7、一个长方形的长为x 米,宽为50米,如果它的周长不小于280米,那么x 应满足的不等式为 ; 练习题三 一、选择题1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是( )A .2,3x x >⎧⎨<-⎩ B .10,20x y +>⎧⎨-<⎩ C .320,(2)(3)0x x x ->⎧⎨-+>⎩D .320,11x x x ->⎧⎪⎨+>⎪⎩2.下列说法正确的是()A.不等式组3,5xx>⎧⎨>⎩的解集是5<x<3 B.2,3xx>-⎧⎨<-⎩的解集是-3<x<-2C.2,2xx≥⎧⎨≤⎩的解集是x=2 D.3,3xx<-⎧⎨>-⎩的解集是x≠33.不等式组2,3482xx x⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的最小整数解为()A.-1 B.0 C.1 D.44.在平面直角坐标系中,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围是()A.3<x<5 B.-3<x<5 C.-5<x<3 D.-5<x<-35.不等式组20,30xx->⎧⎨-<⎩的解集是()A.x>2 B.x<3 C.2<x<3 D.无解二、填空题6.若不等式组2,xx m<⎧⎨>⎩有解,则m的取值范围是______.7.已知三角形三边的长分别为2,3和a,则a的取值范围是_____.8.将一筐橘子分给若干个儿童,如果每人分4个橘子,则剩下9个橘子;•如果每人分6个橘子,则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个,由以上可推出,共有_____个儿童,分_____个橘子.9.若不等式组2,20x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是-1<x<1,则(a+b )2006=______.三、解答题 10.解不等式组(1)2(2)4,(1)10(2)32x x x x -≤-⎧⎪+⎨-<⎪⎩ (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x -3<1, ①x -12+2≥-x . ②11.若不等式组1,21x m x m <+⎧⎨>-⎩无解,求m 的取值范围.12、若关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5-2x ≥-1,x -a >2无解,则a 的取值范围是________________.13、已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -a ≥0,3-2x >-1的整数解共有5个,则 a 的取值范围是_________.模拟试卷一、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)1.(2002•昆明)将不等式组的解集在数轴上表示,正确的是()A.B.C.D.2.(2002•重庆)已知,关于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如图所示,则a的值等于()A.0 B.1 C.﹣1 D.23.(2004•日照)已知关于x的不等式组无解,则a的取值范围是()A.a≤﹣1 B.a≥2C.﹣1<a<2 D.a<﹣1,或a>24.不等式ax>a的解集为x>1,则a的取值范围是()A.a>0 B.a≥0C.a<0 D.a≤05.如果m<n<0,那么下列结论不正确的是()A.m﹣9<n﹣9 B.﹣m>﹣n C.D.6.关于x的方程5x+12=4a的解都是负数,则a的取值范围()A.a>3 B.a<﹣3 C.a<3 D.a>﹣37.若|3x﹣2|=2﹣3x,则()A.x=B.x C.x≤D.x≥8.(2011•菏泽)某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打()A.6折B.7折C.8折D.9折二、填空题(共9小题,每小题3分,满分27分)9.已知关于x的不等式组的整数解有5个,则a的取值范围是_________.10.某商品的售价是150元,这种商品可获利润10%~20%,设这种商品的进价为x元,则x的值范围是_________.11.满足x﹣5<3x+1的x的最小整数是_________.12.如果三个连续自然数的和不大于9,那么这样自然数共有_________组.13.已知2x﹣y=0且x﹣5>y,则x,y的取值范围分别是_________;_________.14.若a≠0,则不等式ax>b的解集是_________.15.若不等式组无解,则m的取值范围是_________.16.不等式组的整数解为_________.17.当a<0时,不等式组的解集是_________.三、解答题(共7小题,满分61分)18.解不等式,并把解集在数轴上表示出来.19.求不等式组的整数解.20.代数式的值是否能同时大于代数式2x+3和1﹣x的值?说明理由.21.若不等式5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解,求的值.22. (2001•陕西)某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费),达到或超过5千米后,每增加1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算),现某人乘这种出租车有甲地到乙地,支付车费17.2元.求甲、乙两地的路程.。
不等式常见题型辅导讲义设计
xb +xax -3不等式常见题型辅导讲义专题一:属性结合求不等式取值范围1.已知一次函数y =kx +b 的图像,如图所示,当x <0时,y 的取值范围是( •) A 、y >0 B 、y <0 C 、-2<y <0 D 、y <-22.直线1l :1y k x b =+与直线2l :2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为( )A 、x >-1B 、x <-1C 、x <-2D 、无法确定3.若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ,且x +y >0,则k 的取值范围是( )A 、k >4B 、k >-4C 、k <4D 、k <-44.如图,已知函数y =3x +b 和y =ax -3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x +b >ax -3的解集是_______________。
专题二:含参数不等式5.若关于x 的不等式(2n -3)x <5的解集为x >-31,则n =6.不等式12xx ->与65ax x ->的解集相同,则a =______.7.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1,那么(a +1)(b -1)的值等于________.8.若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 .9.12{x a x >+<无解,则a 的取值范围 1041{x m x x n +≤-≥的解集为3x ≥,则n 的取值范围11若关于x 的不等式x -1≤a 有四个非负整数解,则整数a 的值为 12.若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ,求p 的取值范围.13.若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中,x 的值为负数,y 的值为正数,求m 的取值范围.专题三:应用题一、住宿剩余问题1、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人,那么有20人无法安排,如果每间8人,那么有一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。
基本不等式专题辅导完整版
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1)若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2)2(222b a b a ab +≤+≤ (5)若*,R b a ∈,则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+(2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a++>++2223、已知1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、6、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)22213x x y += (2))4(x x y -=(3))0(1>+=x x x y (4))0(1<+=x xx y题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值;变式1:已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值;变式2:已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最大值;练习:1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值;2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值;题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)1、当时,求(82)y x x =-的最大值;变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值;变式2:设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
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xb +xax -3不等式常见题型辅导讲义专题一:属性结合求不等式取值范围1.已知一次函数y =kx +b 的图像,如图所示,当x <0时,y 的取值范围是( •) A 、y >0 B 、y <0 C 、-2<y <0 D 、y <-22.直线1l :1y k x b =+与直线2l :2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为( )A 、x >-1B 、x <-1C 、x <-2D 、无法确定3.若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ,且x +y >0,则k 的取值范围是( )A 、k >4B 、k >-4C 、k <4D 、k <-44.如图,已知函数y =3x +b 和y =ax -3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x +b >ax -3的解集是_______________。
专题二:含参数不等式5.若关于x 的不等式(2n -3)x <5的解集为x >-31,则n =6.不等式12x x ->与65ax x ->的解集相同,则a =______.7.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1,那么(a +1)(b -1)的值等于________.8.若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 .9.12{x a x >+<无解,则a 的取值范围1041{x m x x n+≤-≥的解集为3x ≥,则n 的取值范围11若关于x 的不等式x -1≤a 有四个非负整数解,则整数a 的值为 12.若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ,求p 的取值范围.13.若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中,x 的值为负数,y 的值为正数,求m 的取值范围.专题三:应用题一、住宿剩余问题1、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人,那么有20人无法安排,如果每间8人,那么有一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。
2、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x 名学生获奖,请解答下列问题:(1)用含x的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.二、方案设计3. 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;(1)符合公司要求的购买方案有几种?请说明理由;(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上那种购买方案?4.一玩具厂生产甲、乙两种玩具,已知造一个甲种玩具需用金属80克,塑料140克,造一个乙种玩具需用金属100克,塑料120克.若工厂有金属4600克,塑料6440克,计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共50件,求甲种玩具件数的取值范围.5.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂在A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x 节,试定出用车厢节数x表示总费用y的公式.(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?6.某校师生积极为汶川地震灾区捐款,在得知灾区急需帐篷后,立即到当地的一家帐篷厂采购,帐篷有两种规格:可供3人居住的小帐篷,价格每顶160元;可供10人居住的大帐篷,价格每顶400元。
学校花去捐款96000元,正好可供2300人临时居住。
(1)求该校采购了多少顶3人小帐篷,多少顶10人大帐篷;(2)学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区,已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷,乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。
如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区?有哪几种方案?7.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月(1)请你设计该企业有几种购买方案;(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;(3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)二、调配类问题8.某公司在甲乙两座仓库分别停有农用车12辆和6辆,现需调往A县10辆调往B县8辆,已知从A仓库调运一辆农用车到A县和到B县的运费分别为40元和80元,从乙仓库调运一辆农用车到A县和到B县的运费分别为30元和50元。
(1)设从乙仓库调往A 县的农用车为x 辆,求总运费y 关于x 的函数关系式; (2)若要求总运费不超过900元,问共有几种方案; (3)总运费最低的方案是运费多少元?9、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨,桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?有几种方案?(2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案,使运输费最少?最少运费是多少?第一章 《一元一次不等式(组)》测试题一、选择题(10×3′=30′)1、若a ≤b ,则(1)a 2 ≤b2,(2)2c -a ≥2c -b ,上述两个结论中( )A 、只有(1)正确B 、只有(2)正确C 、(1)(2)都正确D 、(1)(2)都不正确2、下列各对不等式 (1)3x ≤9与x ≤-3;(2)2x-7≤6x 与4x ≤-7;(3)-4x<12与x>-3;(4)3.14x<0与x<0中是同解不等式的是( )A 、(1)(2)B 、(2)(4)C 、(1)(4)D 、(3)(4) 3、若|a|>-a,则a 的取值范围是( ).A 、a >0B 、a ≥0C 、a <0D 、自然数 4、一元一次不等式组⎩⎨⎧>>bx a x 的解集为x>a ,且a ≠b ,则a 与b 的关系是( )A 、a>bB 、a<bC 、a>b>0D 、a<b<0 3.下列命题中正确的是( ).A 、若m ≠n,则|m|≠|n|B 、若a+b=0,则ab >0C 、若ab <0,且a <b,则|a|<|b|D 、互为例数的两数之积必为正 4.无论x 取什么数,下列不等式总成立的是( ).A 、x+5>0B 、x+5<0C 、-(x+5)2<0D 、(x-5)2≥05.若11|1|-=--x x ,则x 的取值范围是( ).A 、x >1B 、x ≤1C 、x ≥1D 、x <16、已知三角形的两边长分别是3、5,则第三边上的中线a 的取值范围是( )A 、a>1B 、1≤a ≤ 4C 、1<a<4D 、a<4 7、函数xx y 21-=中自变量x 的取值范围是( )A 、x ≤1/2且x ≠0B 、x>-1/2且x ≠0C 、x ≠0D 、x<1/2且x ≠08、有含盐5%的盐水10千克,要用15千克的盐水和它混合,使混合后的盐水深度不低于8%,且不高于14%,则应选盐水的深度P 的范围是( )A 、10%≤P ≤14%B 、10%≤P ≤20%C 、5%≤P ≤8%D 、8%≤P ≤14%9、如果不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-a x x x 2123无解,则a 的取值范围是( )A 、a>1B 、a ≥1C 、a<1D 、a ≤1 10、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x ba x 的解集为3≤x<5,则ba 的值为( )A 、-2B 、-12C 、-4D 、-14二、填空题(10×3′=30′)11、使代数式x-1和x+2的值的符号相反的x 应为______________。
12、当0<<a x 时,2x 与ax 的大小关系是_______________。
13、如果a(x-1)>x+1-2a 的解集是x<-1,则a 的取值范围是_____________. 14、不等式x+52 -1>3x+23的解集为__________________.15、若点P (1-m ,m )在第二象限,则(m-1)x>1-m 的解集为_______________. 16、若不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为-1< x <1,那么(a+1)(b+1)的值等于 。
17、某种商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则至多可打 。
18、不等式3x -3m ≤-2m 的正整数解为1,2,3,4,则m 的取值范围是_____.19、已知一次函数y=(-3a+1)x+a 的图象上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当x 1 >x 2时,y 1> y 2,且图象不经过第四象限,则a 的取值范围是_________.20、已知0≤x ≤4,那么│x-2│-│3-x │的最大值为_________. 三、解答题(共60′) 21、(2×5′=10′)解下列不等式(组),并把解集表示在数轴上. (1)22x +≥312-x(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥-->+0521372x x x22、(10′)已知0253213≤-+++-b a b a ,求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--6)3(219)(72x b x a b x ax 的解集。
23、(10′)已知不等式组⎩⎨⎧-<->b x a x 11无解,求不等式组⎩⎨⎧<>b x ax 的解.24、(10′)某校需刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费);若学校自己刻录,除租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白光盘费),问刻录这批光盘到电脑公司刻录费用省,还是自己刻录省?请说明理由。