北京市中关村中学2021届高三十月月考测试数学试题(原题

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2021年高三10月月考试卷(数学)

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是（）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数．（I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

高三数学10月月考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校海淀区中国人民大学附属2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔〕A.{2x x <-或者}0x >B.{2x x <-或者}0x ≥C.{2x x ≤-或者}0x >D.{2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<，即{}|20A x x =-≤<，∵全集U =R ，∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔〕A. B.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-．应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔〕A.1y x=B.2x y = C.1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增，只有1y x x=-在(0,)+∞上递增．应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底． 4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔〕A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度C.向左平移23π个单位长度 D.向右平移23π个单位长度【答案】C 【解析】【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >>A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >>∴选A .考点：充分条件、必要条件. 6.假设实数集R 的子集X满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔〕A.任意开区间都不含有X中的元素B.存在开区间不含有X中的元素C.任意开区间都含有X的补集中的元素 D.存在开区间含有X的补集的元素【答案】B 【解析】【分析】X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X中的元素〞，应选：B ．【点睛】R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下列图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A. 【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题. 8.()2log f x x=，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔〕A. B.8C. D.16【答案】B 【解析】【分析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x x x x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x=的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=41111228m m ++-+=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕 9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =．故答案为：43．【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________. 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x=有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()ln f x x=的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图，那么()f x =__________．【答案】2sin(2)6x π-【解析】【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键．12.如下列图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k tk +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BGGO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是．【答案】65【解析】试题分析：因为所以.又CD ∥AG，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________．【答案】(1).2()f x (2).{|,}k k m m Z π=∈【解析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】〔1〕假设1()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M∉；假设2()f x M∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T=，2()f x M∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T=-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈．故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期；〔2〕求()f x 的单调递增区间．【答案】〔1〕3a =，Tπ=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==．〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下列图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值；〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕7；〔2〕【解析】【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEBα∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠. 于是，2πsin23sin 7CD EC α⋅===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+=在直角EAB中，BE == 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题. 17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论．试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积 S ＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x 2＋260x ，x∈(0，20)．因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋，故当x ＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x)x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab－4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ．当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f(x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x∈(0，30)．那么f′(x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ．〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程；〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(．【解析】【分析】〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=．〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-，假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意，假设0a ≠， 2ax <-或者2a x>时，()0f x '>，22a a x -<<时，()0f x '<，∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a a f x f ==-极小值，∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析．【解析】【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值．〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论．【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增，当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-，由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x ax-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-，设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值． 20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积.假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表；〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一.如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕，那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+；由130p =，得x z y w +=+；由230p =，得x w y z +=+.解方程组，，，，得52xy z w ====.这与,,,x y z w N ∈矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++=，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=.又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kln ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。

北京市海淀区中关村中学高三(上)10月月考数.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015-2016学年北京市海淀区中关村中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞03．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．1684．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B．C．y=x3D．y=tanx5．在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），，则的值为（）A．1 B．C．D．6．“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．要得到函数y=sinx﹣cosx的图象，只需将函数y=cosx﹣sinx的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移π个单位长度 D．向左平移个单位长度8．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列3个集合：①②M={（x，y）|y=cosx}③M={（x，y）|y=e x﹣2}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③二、填空题：9．cosxdx=．10．已知a=log25，2b=3，c=log32，则a，b，c的大小关系为．11．已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是．12．函数f（x）=lnx﹣2x的极值点为．13．如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是．14．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}（n∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，2}，T2=1+3，S2=1+3+1×3=7．则当n=3时，S3=；试写出S n=．三、解答题15．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．=．16．在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．17．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；+log2a n（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n+118．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣k在区间[﹣3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．20．已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2015-2016学年北京市海淀区中关村中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，做出集合A，由并集的定义分析可得，若A∪B=R，必有m＜1，分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，必有m＞1，分析选项可得，D符合；故选D．2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0【考点】命题的否定．【分析】全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．所以全称命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”．【解答】解：命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”故选B．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．168【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质化简已知等式的左边前两项，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，再利用等差数列的求和公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a5+a9﹣a7=10，∴（a5+a9）﹣a7=2a7﹣a7=a7=10，则S13==13a7=130．故选：A4．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B． C．y=x3D．y=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项．【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B5．在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出两个向量，然后求解它们的数量积即可．【解答】解：因为在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），，所以，==．故选B．6．“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】已知函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，根据方程有解，可以求出t的范围，再进行判断；【解答】解：函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，说明方程f（x）=x2+tx﹣t=0与x轴有交点，∴△≥0，可得t2﹣4（﹣t）≥0，解得t≥0或t≤﹣4，∴“t≥0”⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”，∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分而不必要条件，故选A；7．要得到函数y=sinx﹣cosx的图象，只需将函数y=cosx﹣sinx的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移π个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据三角函数的两角和公式，分别对两个函数进行化简，再根据左加右减的原则即可得到答案．【解答】解：由题意可得：y1=sinx﹣cosx=sin（x﹣），y2=cosx﹣sinx=sin（﹣x）==，平移图象时根据左加右减的原则可得：y2向右平移π个单位即可得到y1的图象．故选C．8．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列3个集合：①②M={（x，y）|y=cosx}③M={（x，y）|y=e x﹣2}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②B．②③C．③D．①②③【考点】元素与集合关系的判断；函数图象的作法．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=cosx}，如图（2）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以M是好集合；对于③M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（3）红线的直角始终存在，例如取M（0，﹣1），N （ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．故选B．二、填空题：9．cosxdx=．【考点】定积分的简单应用．【分析】结合导数公式，求出cosx的原函数，用微积分基本定理即可求解．【解答】解：=sin﹣sin0=．10．已知a=log25，2b=3，c=log32，则a，b，c的大小关系为a＞b＞c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数和指数的运算性质确定a，b，c的大小关系即可．【解答】解：∵2b=3，∴b=log23，∴log25＞log23＞1，即a＞b＞1，∵log32＜1，∴c＜1．∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．11．已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是（2，+∞）．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由于与向量的夹角大于90°，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵与向量的夹角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴实数λ的取值范围是λ＞2．故答案为（2，+∞）．12．函数f（x）=lnx﹣2x的极值点为．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．【解答】解：因为f'（x）=﹣2==0⇒x=．又∵x＞0，∴0＜x＜时，f'（x）＞0⇒f（x）为增函数；x＞时，f'（x）＜0，的f（x）为减函数．故是函数的极值点．故答案为：．13．如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是②③．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故②正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确故答案为：②③．14．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合A n={1，3，7，…，2n﹣1}（n∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，2}，T2=1+3，S2=1+3+1×3=7．则当n=3时，S3=；试写出S n=．【考点】等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理．【分析】根据S n =T 1+T 2+…+T n 的意义即可求得n=3时S 3．根据S 1，S 2，S 3，猜想﹣1，然后利用数学归纳法证明即可．【解答】解：当n=3时，A 3={1，3，7}，T 1=1+3+7=11，T 2=1×3+1×7+3×7=31，T 3=1×3×7=21，所以S 3=11+31+21=63；由S 1=1=21﹣1=﹣1，S 2=7=23﹣1=﹣1，S 3=63=26﹣1=﹣1，猜想﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立；（2）假设n=k 时﹣1，则n=k +1时，S k +1=T 1+T 2+T 3+…+T k +1=[T 1′+（2k +1﹣1）]+[T 2′+（2k +1﹣1）T 1′]+[T 3′+（2k +1﹣1）T 2′]+…+[T k ′+（2k +1﹣1）]（其中T i ′，i=1，2，…，k ，为n=k 时可能的k 个数的乘积的和为T k ），=（）+（2k +1﹣1）+（2k +1﹣1）（）=S k +（2k +1﹣1）+（2k +1﹣1）S k=2k +1（﹣1）+（2k +1﹣1）=﹣1=﹣1，即n=k 时﹣1也成立，综合（1）（2）知对n ∈N *﹣1成立．所以﹣1．故答案为：63；﹣1．三、解答题15．已知函数f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x ，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到f（x）=1+，由T=求得周期．（2）当时，求出2x+的范围，进而得到sin（2x+）的范围，从而得到函数f（x）的范围，从而求得函数f（x）的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+，故最小正周期为T===π．（2）当时，∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴0≤1+≤1+，故函数f（x）的最大值为1+．此时，2x+=，x=．=．16．在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由A=60°和，利用面积公式，可得bc=6，结合3b=2c求b的值；（Ⅱ）由余弦定理可得a，再利用正弦定理可求sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）由A=60°和可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以bc=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又3b=2c，所以b=2，c=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为b=2，c=3，A=60°，由余弦定理a2=c2+b2﹣2bccosA可得a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由正弦定理可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以sinB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；+log2a n（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n+1【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）求数列{a n}的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求．（II）若数列{b n}满足b n=a n+log2a n（n=1，2，3…），由（I）知求数列{b n}的前n项和S n+1要用分组求和的技巧．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q．由a1a3=4可得a22=4，因为a n＞0，所以a2=2依题意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q因为a3＞0，所以，q=2..所以数列{a n}通项为a n=2n﹣1+log2a n=2n+n﹣1（II）b n=a n+1可得=18．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣k在区间[﹣3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求出y=f'（x ），因为导函数图象经过（﹣2，0），代入即可求出a 、b 之间的关系式，再根据f （x ）极小值为﹣8可得f （﹣2）=﹣8，解出即可得到a 、b 的值；（2）将函数g （x ）=f （x ）﹣k 在区间[﹣3，2]上有两个不同的零点，转化成k=f （x ）在区间[﹣3，2]上有两个不同的根，即y=k 与y=f （x ）的图象在区间[﹣3，2]上有两个不同的交点，列出表格，即可求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8 f ′（x ）=3ax 2+2bx +4∴解得：a=﹣1，b=﹣2∴f （x ）=﹣x 3﹣2x 2+4x ，（2）∵函数g （x ）=f （x ）﹣k 在区间[﹣3，2]上有两个不同的零点， ∴k=f （x ）在区间[﹣3，2]上有两个不同的根即y=k 与y=f （x ）的图象在区间[﹣3，2]上有两个不同的交点 f'（x ）=﹣3x 2﹣4x +4，令f ′（x ）=0，解得x=﹣2或x=，可列表： x﹣3（﹣3，﹣2） ﹣2（﹣2，）（）2f ′（x ）﹣ 0+ 0 ﹣ f （x ） ﹣3↘极小值﹣8↗极大值↘﹣8由表可知，当时，方程k=f （x ）在区间[﹣3，2]上有两个不同的根，即函数y=f （x ）﹣k 在区间[﹣3，2]上有两个不同的零点．19．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0）在x=1处取得极值．（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）在（0，e ]上的最大值为1，求a 的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f （x ）的一个极值点f ′（1）=0，可构造关于a ，b 的方程，根据a=1求出b 值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x 的范围，可得函数f （x ）的单调区间；（II ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x 的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a 的方程求得结果．【解答】解：（I ）因为f （x ）=lnx +ax 2+bx 所以f ′（x ）=+2ax +b ，…因为函数f （x ）=lnx +ax 2+bx 在x=1处取得极值 f ′（1）=1+2a +b=0… 当a=1时，b=﹣3，f ′（x ）=，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x1 （1，+∞）（0，）（，1）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增…所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）单调递减区间为（，1）…（II）因为f′（x）=令f′（x）=0，x1=1，x2=…因为f（x）在x=1处取得极值，所以x2=≠x1=1，当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=﹣2…当a＞0，x2=＞0当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x=或x=e处取得而f（）=ln+a（）2﹣（2a+1）=ln﹣＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=…当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=，与1＜x2=＜e矛盾…当x2=≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾综上所述，a=或a=﹣2．…20．已知函数f （x ）=其中P ，M 是非空数集，且P ∩M=∅，设f （P ）={y |y=f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y=f （x ），x ∈M }．（I ）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f （P ）∪f （M ）；（II ）是否存在实数a ＞﹣3，使得P ∪M=[﹣3，a ]，且f （P ）∪f （M ）=[﹣3，2a ﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由；（III ）若P ∪M=R ，且0∈M ，I ∈P ，f （x ）是单调递增函数，求集合P ，M ．【考点】分段函数的应用；子集与交集、并集运算的转换．【分析】（I ）利用y=|x |的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II ）抓住线索﹣3∈P ∪M ，逐层深入，先判断﹣3∈P ，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a 的值；（III ）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M ，（1，+∞）⊆P ，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P ，M 【解答】解：（I ）∵P=（﹣∞，0），∴f （P ）={y |y=|x |，x ∈（﹣∞，0）}=（0，+∞）， ∵M=[0，4]，∴f （M ）={y |y=﹣x 2+2x ，x ∈[0，4]}=[﹣8，1]． ∴f （P ）∪f （M ）=[﹣8，+∞）（II ）若﹣3∈M ，则f （﹣3）=﹣15∉[﹣3，2a ﹣3]，不符合要求 ∴﹣3∈P ，从而f （﹣3）=3 ∵f （﹣3）=3∈[﹣3，2a ﹣3] ∴2a ﹣3≥3，得a ≥3若a ＞3，则2a ﹣3＞3＞﹣（x ﹣1）2+1=﹣x 2+2x ∵P ∩M=∅，∴2a ﹣3的原象x 0∈P 且3＜x 0≤a ∴x 0=2a ﹣3≤a ，得a ≤3，与前提矛盾 ∴a=3此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意（III ）∵f （x ）是单调递增函数，∴对任意x ＜0，有f （x ）＜f （0）=0，∴x ∈M ∴（﹣∞，0）⊆M ，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x 0＜1，使得x 0∈M ，则1＞f （x 0）=﹣+2x 0＞x 0，于是[x 0，﹣ +2x 0]⊆M记x 1=﹣+2x 0∈（0，1），x 2=﹣+2x 1，…∴[x 0，x 1]∈M ，同理可知[x 1，x 2]∈M ，…由x n +1=﹣+2x n ，得1﹣x n +1=1+﹣2x n =（1﹣）2；∴1﹣x n =（1﹣）2=（1﹣x n ﹣2）22=…=（1﹣x 0）2n对于任意x ∈[x 0，1]，取[log 2log （1﹣x 0）（1﹣x ）﹣1，log 2log （1﹣x 0）（1﹣x ）]中的自然数n x ，则x ∈[xn x ，xn x +1]⊆M ∴[x 0，1）⊆M综上所述，满足要求的P ，M 必有如下表示：P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1 或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]2016年10月15日。

2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析)

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

北京市中关村中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 A ．{}0,1 B ．{}13， C ．{}1,1- D ．{}0,5【答案】A【分析】利用子集概念即可作出判断. 【详解】∵{}{}002102x x x x ∈≤≤∈≤≤，∴{}{}0,102x x ⊆≤≤ 故选A【点睛】本题考查了子集的概念，考查了元素与集合的关系，属于基础题. 2．下列函数中，图像关于坐标原点对称的是（） A ．lg y x = B ．sin y x = C ．e x y = D ．1=y x x-【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数，三角函数，幂函数的解析式直接判断即可. 【详解】解：对于A 选项，函数lg y x =定义域为()0,+∞，不满足；对于B 选项，函数sin y x =为偶函数，关于y 轴对称，不关于原点对称，不满足；对于C 选项，函数e x y =图像不关于原点对称，不满足；对于D 选项，定义域为()(),00,+-∞⋃∞，()()11===f x x x f x x x -------⎛⎫ ⎪⎝⎭，是奇函数，故图像关于原点对称. 故选：D3．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2πα+的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2πα+的值．【详解】角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+；故选：B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23S =，418S =，则6S =（） A ．36 B ．45C ．63D ．75【答案】B【分析】由等差数列的前n 项和性质可得24264,,S S S S S --成等差数列，进而可得结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，所以24264,,S S S S S --成等差数列，即63,15,18S -成等差数列，所以()631830S +-=，解得645S =，故选：B.5．已知复数z ＝a +i （a ∈R ），则下面结论正确的是（） A ．z a i =-+ B ．|z |≥1C ．z 一定不是纯虚数D ．在复平面上，z 对应的点可能在第三象限【答案】B【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．【详解】解：()z a i a R =+∈，∴z a i =-，故A 错误；||1z ，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．6．设{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，则“1n a >对任意*n N ∈成立”是“1q ≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：11n n a a q -=，因为11a >，所以1n a >对任意*n N ∈成立，必有1q ≥，反过来，若1q ≥，又因为11a >，所以，11n n a a q -=＞1对任意*n N ∈成立，所以是充分必要条件，故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好等比数列的性质是解决本题的关键．7．已知函数()[][]()0011sin ,0,,cos 0,33f x x x x x x ππ=-∈=∈，那么下面结论正确的是（）A ．()f x 在[]00,x 上是减函数B ．()f x 在[]0,x π上是减函数C ．[]()()00,,x f x f x π∃∈>D ．[]()()00,,x f x f x π∀∈≥【答案】B【分析】利用导函数研究()f x 的单调性最值即可.【详解】由题意得()1cos 3f x x '=-，因为01cos 3x =，所以当[]00,x x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，当[]0,x x π∈时()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 在[]00,x x ∈上是增函数，在[]0,x x π∈上是减函数，A 错误，B 正确；()f x 在0x x =处取得最大值，即[]()()00,,x f x f x π∀∈≤，CD 错误.故选：B.8．已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞【答案】A【分析】根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（）整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-．故选：A ．【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．9．在ABC 中，=6AC ，=8BC ，90C ∠=︒.P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（） A ．[]11,9- B ．[]9,11- C ．[]10,11- D ．[]11,10-【答案】B【分析】由已知，根据题意，以C 为坐标原点，建立平面直角坐标系，分别表示出各点坐标，设出P 点坐标，利用坐标表示出PA PB ⋅，再根据1PC =，利用三角换元即可完成范围求解.【详解】由已知，以C 为坐标原点，分别以CB ，CA 为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,0)C ，(8,0)B ，(0,6)A ，设(,)P x y ，由1PC =可知，22+=1(0,0)x y x y ≥≥， =(,6)PA x y --，=(8,)PB x y --，所以22=+86=186PA PB x y x y x y ⋅----，因为22+=1x y ，可令=cos ,=sin x y θθ，所以=186=18cos 6sin =110sin(+)PA PB x y ⋅---θ-θ-θϕ，其中43sin =,cos =55ϕϕ，因为]]sin(+)1,1,10sin(+)10,10θϕ∈-θϕ∈-⎡⎡⎣⎣，所以PA PB ⋅的取值范围为：[]9,11-. 故选：B.10．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．43 B ．53C ．83D ．2【答案】B【分析】根据题意可得2020n C =⋅，3010n C =⋅，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.【详解】解：根据题意可得2020n C =⋅，3010n C =⋅，两式相比得202013010n n ⋅=⋅，即2132n⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以23321lg 2lg 20.35log log 232lg3lg 20.480.33lg 2n ====≈=--. 故选：B.二、填空题11．已知向量(1,2)a =，(2,)b t =-，若//a b r r，则实数t 的值是___________. 【答案】4-【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数．【详解】因为//a b r r ，所以212t-=，解得t =-4 ．故答案为：4-12．能使命题“若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形”为假命题的一组A ，B 的值是___________.【答案】60,30A B ==（不唯一）【分析】根据题意得A B =或2A B π+=，进而只需使得2A B π+=即可.【详解】解：因为在ABC 中，(),0,A B π∈，sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以要使“若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形”为假命题，则需2A B π+=.所以,A B 的值可以是：60,30A B ==，此时满足sin 2sin 2A B =，但不ABC 为等腰三角形故答案为：60,30A B ==13．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为82m 的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25m ，左右各空0.25m ，相邻宣传栏之间也空0.25m .设三个宣传栏的面积之和为S （单位：2m ），则S 的最大值为___________.【答案】4.52m【分析】根据题意设矩形展示区的长为x m ，则宽为8xm ，进而结合题意得88.50.5S x x=--，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：设矩形展示区的长为x m ，则宽为8xm ，因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25m ，左右各空0.25m ，相邻宣传栏之间也空0.25m ，所以()880.2540.2528.50.58.5 4.5S x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯=--≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当80.5x x=，即4x =时等号成立，所以S 的最大值为4.52m 故答案为：4.52m14．已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a-=，2bx e -=，3b x e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，则1231ln ln ax x x b +=-==，所以11b x a-=，2b x e -=，3b x e =，所以231b bx x e e -⋅=⋅=，令111b x a-==-即1b a =-+，当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意；当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意；故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.三、双空题15．在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____. 【答案】【解析】在ABD △中用正弦定理求解AD ，在ACD △用面积公式可得. 【详解】2,3ADC π∠=,3ADB π∴∠=在ABD △中由正弦定理得：sinB sin AD AB ADB=∠，sinB4sin sin3AB AD ADBππ===∠在ACD △中，11sin 222ACDSAD DC CDA =⨯∠=⨯=故答案为：;【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．四、解答题16．设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围【答案】（1）y bx c =+（2）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()0f '，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c 的取值范围试题解析：解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．17．已知函数()()22cos cos 0,f x x x x a a ωωωω=++>∈R .且()f x 的最大值为2，()f x 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)5π11π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）由已知，先对函数()f x 进行化简，然后根据()f x 的最大值为2，即可确定a 的值，再根据相邻两条对称轴之间的距离为π2，即可确定周期，从而求得ω，最终得到函数解析式；（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出π26x +满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.【详解】(1)由已知，()()22cos cos 0,f x x x x a a ωωωω=++>∈R ，所以()()22cos 121f x x x a ωω=-++2cos 21x x a ωω+++π2sin 216x a ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭∵()f x 的最大值为2，∴32a +=，即1a =- ∵()f x 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴2ππ2T ω== 又∵0ω>，∴1ω=则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)当()0,x m ∈时，πππ2,2666x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则ππ22π6m <+≤，所以5π11π,1212m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a =-，*n ∈N . (1)求1a ，2a ；(2)若数列{}n b 是等差数列，且11b a =，53b a =，求数列{}n b 的通项公式； (3)设n n b c a =，求12n c c c ++⋅⋅⋅+. 【答案】(1)14a =；28a =； (2)*31,n b n n N =+∈(3)352327n +-【分析】（1）直接令1,2n n ==求解即可；（2）结合（1）令3n =得316a =，进而求得{}n b 的公差为3d =，再根据通项公式求解即可；（3）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得数列{}n a 的通项公式，再结合（2）得32248n n n c +==⨯，进而根据等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】(1)解：令1n =，则11124S a a =-=，解得14a =，令2n =，则221224S a a a =-=+，解得2148a a =+=. 所以14a =；28a =；(2)解：由（1）知14a =；28a =，所以令3n =，则3312324S a a a a =-=++，解得316a =. 所以114b a ==，5316b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则5144416b b d d =+=+=，解得3d =所以数列{}n b 的通项公式为()*1131,n b b n d n n N =+-=+∈(3)解：由（1）知，1n =时，14a =，当2n ≥时，()()112424n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2q =，首项为14a =所以1112n n n a a q -+==.由（2）知*31,n b n n N =+∈，所以1322248n n b n n n b c a ++====⨯，所以18n nc c +=，即数列{}n c 是等比数列，公比为8，首项为32，所以()35123218232187n n n c c c +--++⋅⋅⋅+==- 19．在ABC 中，角,,A B C的对边分别为,,,cos a b c a B c =. (1)求A 的大小；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长.条件①：cos 1B b ==；条件②：2,a c ==3,b c ==注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】(1)6π. (2)；条件③：32.【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得3b =条件，条件①：根据sin sin()C A B =+，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.【详解】(1)在ABC 中因为cos a B c +=，由正弦定理得sin cos sin A B B C =，所以sin cos sin()sin cos sin cos A B B A B A B B A =+=+，i n s i n c o s B BA =，又因为,(0,)A B π∈，sin 0B ≠，所以cos A =6A π=.(2)设BC 边上的高为h ，条件①：因为cos B =，所以(0,)2B π∈ ，sin B =所以0A B π<+<，根据三角形全等（角角边）可知ABC 存在且唯一确定.所以sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=则11sin 22ha ab C =，解得h BC .条件②：由余弦定理得222cos2b c a A bc +-=2=解得3b =ABC 的三角形有两个，条件②不符合题意. 条件③：根据三角形全等（边角边）可得ABC 存在且唯一确定，由余弦定理得222cos2b c a A bc +-=2=a = 则11sin 22ha bc A =，解得32h =，即BC 边上的高为32.20．已知函数()()e 1xf x a x =-+(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围(2)证明：当=0a 时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方【答案】(1)[]0,1 (2)证明见解析【分析】（1）对函数求导后，分=0a ，0a <和0a >讨论求函数最小值，使其大于等于0，从而可求出结果，（2）令()()()()2l n e l n 20x h x f x x x x =-+=-->，利用导数求出其单调区间和极小值，可得其极小值大于零即可.【详解】(1)由()()e 1xf x a x =-+，得()()e x f x a x =-'∈R①当=0a 时，()e 0xf x =>符合题意；②当0a <时，取011x a =-+，则()111101e 11e 10a a f x a a -+-+⎛⎫=--++=-< ⎪⎝⎭，不符合题意.③当0a >时，令()=0f x '，得ln x a =.ln x a <时，()0f x '<；ln x a >时，()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增所以当ln x a =时，()f x 有最小值()()ln 1ln ln f a a a a a a =-+=- “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 的最小值大于等于0”，即ln 0a a -…因为0a >，所以01a <≤综上，若()0f x ≥对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是[]0,1(2)证明：当=0a 时，令()()()()2ln e ln 20xh x f x x x x =-+=-->，可求()1e x h x x='-，因为121e 202h ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，()1e 10h ='->，且()1e xh x x ='-在()0,+∞上单调递增，所以在()0,+∞上存在唯一的0x ，使得()0001e 0x h x x '=-=，即001e x x =，且0112x <<，当x 变化时，()h x '，()h x 在()0,+∞上的情况如下表.则当0x x =时，()h x 存在最小值()0h x ，()000001e ln 22x h x x x x =--=+- 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()0001220h x x x =+->= 所以当=0a 时，()2ln (0)f x x x >+>，所以当=0a 时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是构造函数()()()()2ln e ln 20xh x f x x x x =-+=-->，然后利用导数求得其最小值大于零即可，考查数学转化思想，属于较难题.21．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+. 将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =.5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =， 5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --.理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论：当i 、{}1,2,,1j n ∈+时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++.所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++- ()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 综上有：=i j i j m m x x --；（Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++= .当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=.当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-.当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥.下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥.所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+.当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意.所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.。

2021年高三上学期10月月考试卷(数学)

2021年高三上学期10月月考试卷（数学）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答．卷纸相应的位置．．．．．．．） 1．已知集合，，，则实数．2．命题“若，则”的否命题为．3．设函数，则．4．函数的定义域是．5．已知，则按从小到大依次为．6．设函数是定义在上的奇函数．若当时，，则满足的的取值范围是．7．已知为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时，则= ．8．函数的值域为．9．已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为．10．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．11．直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围是．12．已知函数且在上是减函数，则实数a 的取值范围是．13．设函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是．14．已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，．给出如下结论：①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得” ．其中所有正确结论的序号是．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）的定义域为A ，函数的定义域为 B ．（1）求A ；（2）若BA ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数．若p或q为真命题，p且q 为假命题，求实数a的取值范围．17．（本题满分14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？18．（本题满分16分）已知函数满足对任意实数都有，且．（1）求的值；（2）证明：对一切大于1的正整数，恒有；（3）试求满足的所有的整数，并说明理由．19．（本题满分16分）已知函数，，（其中）．（1）证明：；（2）问是否存在实数，使得自变量在定义域上取值时，该函数的值域恰好为，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知函数．（1）当时，若对任意都有，证明：；（2）当时，证明：对任意，成立的充要条件是；（3）当时，探求对任意，成立的充要条件．参考答案一、填空题（每小题5分）1．2；2．若，则；3．2；4．；5．6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．①②④；二、解答题15．（本题满分14分）解：（1）由，得，∴或，……4分即．……6分（2）由，得．∵，∴．∴．……8分∵，∴或，即或．……12分而，∴或．故当时，实数的取值范围是．……14分16．（本题满分14分）解：对命题p：∵函数的值域为R，∴可以取到上的每一个值，∴，即；……4分命题q：∵函数是减函数，∴，即．……8分∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴命题p与命题q一真一假，若p真q假，则且，无解，……10分若p假q真，则，……12分∴实数a的取值范围是……14分17．（本题满分14分）解：（1）由题意得+-⨯++⨯⨯x<y，……5分xx=x⨯1(10006.0)()1)]1(.01(2.1[<75)1整理得．……7分（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当……10分即解不等式得． ……13分答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．……14分18．（本题满分16分）解：（1）令，得；令，得，又，∴；令，得，∴． ……4分（2）令，得 ①∴当时，有，由知对有， ……7分∴当时，111)(2)()1(+>+++=++=+y y y f y y f y f ，于是对于一切大于1的正整数，恒有． ……9分（3）由①及（1）可知； ……11分下面证明当整数时，，∵，∴由① 得，即同理……将以上不等式相加得，∴当时，， ……15分综上，满足条件的整数只有． ……16分19．（本题满分16分）解：（1）或，∵定义域为且，∴． ……2分（2）∵，，∴，而∴， ……4分设，有，∴当时，在上单调递减． ……7分又在上的值域为，∴即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m ， ……10分即是方程大于3的两个不相等的实数根，…11分∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf mm m m m 解之得， ……15分因此，当时，满足题意条件的m 存在． ……16分20．（本题满分16分）证明：（1）由题意知对任意恒成立，∴，又，所以． ……2分（2）①先证充分性：∵，对任意，有1)()1(222-≥-≥--=--≥-x x x x b bx x b bx ax ，即； ……4分∵，对任意，有11)1(2222≤+--=-≤-x b bx x b bx ax ，即，充分性得证； ……6分 ②再证必要性：∵对任意，，∴，即； ……8分 ∵对任意，，而，∴，即，必要性得证． ……10分由①②可知，当时，对，成立的充要条件是； ……11分（3）∵当时，对任意，，即，由，即； ……13分而当时，， ……15分∴当时，对任意，成立的充要条件是． ……16分36533 8EB5 躵33577 8329 茩40274 9D52 鵒22499 57E3 埣35278 89CE 觎J31344 7A70 穰20182 4ED6 他34023 84E7 蓧:A=-Y=。

2020-2021年中关村中学高三年级第一学期开学数学测试(解析版)

位参赛选手从所有卡片中随机抽取 20 张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得 5 分，投放错误得 0
分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的
箱子，得 5 分，放入其它箱子，得 0 分．从所有参赛选
手中随机抽取 20 人，将他们的得分按照 [0, 20] ，
④对于任意给定的正实数 m ，总存在实数 a ，使函数 f (x) 在区间 (1, m) 上单调递减.其中
所有正确结论的序号是______________. 【答案】① ② ④
三、解答题：本题共有 6 道小题，共 85 分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置.
16. （本小题 13 分）
在△ABC 中，sin A =
设 Q(m, 0,1) ，则有
DC (0,1, 0), DQ (m, 0,1), PB (1,1, 1) ，
4
设平面 QCD 的法向量为 n (x, y, z) ，
则
DC DQ
nn
0 0
，即
y 0 mx z
0
，
令
x
1
，则
z
m
，所以平面
QCD
的一个法向量为
n
(1,
0,
m)
，则
cos n, PB
(20, 40] ，(40,60] ， (60,80] ， (80,100] 分组，绘成频率分布直方图如下：
（Ⅰ）分别求出所抽取的 20 人中得分落在组 [0, 20] 和
(20, 40] 内的人数；
（Ⅱ）从所抽取的 20 人中得分落在组 [0, 40] 的选手中随机选取 3 名选手，以 X 表示这 3 名选

2021年高三10月月考数学文试题含答案

2021年高三10月月考数学文试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．63．（xx•烟台一模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=log a（x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，给出下列四个结论：①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{a n}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（）A．60 B．80 C．90 D．1208．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，0）D．（0，1]9．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a＝f(0)，b＝，c＝f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量的模为，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为a2e e(a e)a e⊥-．12．（xx•广东模拟）计算÷=_________．13．若，则=_________．14．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为_________．15．给出下列命题：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．（Ⅰ）求（∁U A）∪B；（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．19.20．（13分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．一、选择题：1-5 DBACC，6-10 BCDAB二、填空题11．12．-2013．7 14．{x|x＜﹣1或x＞1}15．①②④16.解（Ⅰ）：A={}={}={y|≤y≤2}，B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U A={y|y＞2或y＜}，（∁U A）∪B={x|x≤1或x＞2}．（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆C，∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，∴m2≥，∴m≥或m≤﹣∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．17．解：=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x==．（I）∵2sin（2x﹣）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）∵，∴，又﹣＜＜，∴=，，∵sinB=3sinA，∴b=3a，∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，∴S△ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．18．解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．20．解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．21．解：（I）f′（x）=，g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得a=﹣，b=﹣2．（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，∴F′（x）=﹣2x﹣（2﹣a）==，﹣﹣﹣﹣（6分）∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，则由F′（x）=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）F（x）与F′（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）F′（x）+0 ﹣F（x）↗极大值↘∴F（x）max=F（）=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=﹣2x﹣b由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…（11分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=﹣2x+1=，∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0 ∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）36070 8CE6 賦z38218 954A 镊=20527 502F 倯40451 9E03 鸃30350 768E 皎29904 74D0 瓐&28033 6D81 涁34200 8598 薘31243 7A0B 程@。

2021年高三10月月考试题数学文

2021年高三10月月考试题数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,，则为（ D ）A. B. C. D.2．已知1(,,),1abi a b i a b i=-+=+是实数是虚数单位则 (B)A ．—1B ．3C ．1D ．23.已知向量，，若，则(C )A. B. C.0 D.14．在等差数列中，若，，则 (A)A. B. C. D.5．已知函数的最小正周期为= (D) A ． B ． C ．1 D ．2 6．已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是 (C) A ．命题是真命题 B ．命题是真命题 C ．命题是真命题 D ．命题是假命题7.抛物线的焦点坐标为 (D)A. B. C. D.8.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，(C) 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为A ．B ．C ．D ．9．已知a ，b 是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是(C) A. ，，则 B. a ，，，，则 C. ，，则D.当，且时，若∥，则∥10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( A) A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) (一)必做题(11-13题)11.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .12已知三数x +log 272，x +log 92，x +log 32成等比数列，则公比为13，图中是一个算法流程图，则输出的n = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分） 14.(坐标系与参数方程选做题) 圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为，该圆的面积为． 15．（几何证明选讲）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为．2 2 2 侧（左）视2 2 2正（主）视俯视图 (第13题图)开始是输出n 否 n S <2011S ←S +2n n ←n +1结束三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．(1)求证：B≤；(2)若，且A为钝角，求A．解(1)由余弦定理，得．……………………………………3分因，．………………………………………………………6分由0＜B＜π，得，命题得证．……………………………………………7分(2)由正弦定理，得．…………………………………………10分因，故=1，于是．……………………………………12分因为A为钝角，所以．所以(，不合，舍)．解得．…………………14分17．(本题满分12分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；………………………………………………4分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；…………………………………8分1(第18题图)(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef } 共有15种．…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种． …………………………………………………………………………………12分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．18．(本题满分14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中．(1)若BB 1=BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C 平面A 1BC 1； (2)设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面 B 1DE ，求的值．解：(1)因为BB 1=BC ，所以侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1． …………………3分又因为B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1=B ，所以BC 1⊥平面A 1BC 1， …………………5分又B 1C 平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 ．……………………………7分 (2)设B 1D 交BC 1于点F ，连结EF ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF ．因为A 1B //平面B 1DE ， A 1B 平面A 1BC 1，所以A 1B //EF ． …………………11分所以＝．又因为＝，所以＝． ……………………………………… 19．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆(a ＞b ＞0)的离心率为，其焦点在圆x 2+y 2=1上． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使．(i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(ii)求OA 2+OB 2．解：(1)依题意，得 c =1．于是，a =，b =1． ……………………………………2分所以所求椭圆的方程为． ………………………………………………4分 (2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①，②．又设M (x ，y )，因，故 …………7分因M 在椭圆上，故221212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+++=．整理得22222212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222x x x x y y y y θθθθ+++++=．将①②代入上式，并注意，得．所以，为定值． ………………………………………………10分(ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=⋅=--=-++，故．又，故．所以，OA 2+OB 2==3． …………………………………………16分 20．(本题满分14分)已知数列{a n }满足：a 1=a 2=a 3=2，a n +1=a 1a 2…a n -1(n ≥3)，记 (n ≥3)．(1)求证数列{b n }为等差数列，并求其通项公式； (2)设，数列{}的前n 项和为S n ，求证：n <S n <n +1．解：(1)方法一当n ≥3时，因①，故②． ……………………………………2分 ②-①，得 b n -1-b n -2===1，为常数，所以，数列{b n }为等差数列． …………………………………………………………5分因 b 1==4，故 b n =n +3． ……………………………………8分方法二当n ≥3时，a 1a 2…a n =1+a n +1，a 1a 2…a n a n +1=1+a n +2，将上两式相除并变形，得．……………………………………2分于是，当n ∈N *时，2221235432122(1)(1)n n n a a a a a a a a a a +++=+++-+++-+-．又a 4=a 1a 2a 3-1=7，故b n =n +3(n ∈N *)．所以数列{b n }为等差数列，且b n =n +3． ………………………………………………8分 (2) 方法一因，…………………12分故．所以 111111(1)(1)(1)455634n S n n =+-++-+++-++， ………15分即 n ＜S n ＜n +1． ………………………………………………………………………16分方法二因，故>1，．……………………10分 22111111(3)(4)(2)(3)(3)(4)n c n n n n n n =++<++++++++=<<，故<，于是．…………………………………21．(本题满分14分)设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．(1)若=0，求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当0≤x≤1时，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)解：(1)由=0，得a=b．…………………………………………………………1分故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．由=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………………………………2分列表：4分(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3．①当时，则在上是单调函数，所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．所以||≤．………………………………………………………8分②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．(i) 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．所以＝＝≥＞0．所以||≤．……………………………………………………12分(ii) 当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2－＜0．所以=＞＞0，即＞．所以||≤．综上所述：当0≤x≤1时，||≤．………………………… 136107 8D0B 贋 )38339 95C3 闃33790 83FE 菾S6W25922 6542 敂32088 7D58 絘34683 877B 蝻20479 4FFF 俿23605 5C35 尵。

2021年高三10月月考数学试题

2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。

2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案

2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。

2021年高三10月月考数学试题(理科)

2021年高三10月月考数学试题（理科）一、选择题：（本大题共12小题。

每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知全集，集合11|20},|24x A x x B x -⎧⎫=-≤∠=<⎨⎬⎩⎭｛，则 A. B. C. D.2由下列条件解，其中有两解的是（）A. B.C. D. 3. 在△ABC 中，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设函数，则（）A ．在区间内均有零点B ．在区间内均无零点C ．在区间内有零点，在区间内无零点D ．在区间内无零点，在区间内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B ．“若，则，互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“，使得”的否定是：“，均有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题6、已知是实数，则函数的图象不可能是（）7.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度8.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。

给出下列函数①；②；③；④其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④D．②④9、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴。

其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3C 10、设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数f(x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x＋2)的图象关于轴对称，则A.f(－1)＜f (3)B.f(0)＞f(3)C.f(－1)＝f(3)D.f(0)＝f(3)12.若对任意的，函数满足，且，则（）A.1B.-1C.xxD.-xx第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2021年高三10月月考数学文试卷

2021年高三10月月考数学文试卷g3wsx(a10) xx.10一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．设集合A =，则( )A． B． C． D．2.已知等差数列{an }中,a2+a8＝8,则该数列前9项和S9等于( )A.18B.27C.36D.45 3．下列命题正确的是( )A．当x>0且x≠1时，B．当x∈(0,2]时，无最大值C．当x≥2时，的最大值为2.D．当x>0时，x＋≥24．下列说法中，正确的是：A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“，”的否定是：“，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件5．已知函数，则是（）A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．则a，b，c的大小关系是( )．A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ． b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b 8.如图,点P 在正方形ABCD 所在的平面外,PD⊥平面ABCD,PD ＝AD, 则PA 与BD 所成角的度数为( )A 60° B.45° C30°. D.90°9.设为等比数列的前项和，已知5ln 520112012201320122log 3,2ln 3-=+=S a a S ，则公比（）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知是定义在R 上的偶函数，且对于任意的R 都有若当时，则有（）二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共计25分）11．已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___ ___12．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2 的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为．13．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是________.14.由图(1)有面积关系: ,则图(2)有体积关系: ＝_________.15.等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,S 6＜S 7,S 7＞S 8,则①数列公差d ＜0,②S 9＜S 6,③a 7最大,④S 7是S n 中的最大值.其中正确的是_________. 三、解答题。

北京市中关村中学2024-2025学年学高三上学期10月月考数学试题

北京市中关村中学2024-2025学年学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，A B =I （）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．()2,3D ．()0,32．若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC V 是（） A ．钝角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形4．已知0a b c <<<，则下列不等式正确的是（） A ．b a a b> B ．22a c > C ．()()log log c c a b ->-D ．1122ac⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．如图，在ABC V 中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=u u u r u u u r，则错误的是（）A ．1122AD AB AE =+u u u ru u ur u u u rB ．2133AE AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．4AB AC ⋅=-u u u r u u u rD ．2228AB AC +=u u u r u u u r6．已知函数()2e xf x a x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围（）A ．20ea <<B ．0ln2a <<C ．e a <D ．e 0ln2a << 7．已知无穷数列{an }满足an +1＝an +t （t 为常数），Sn 为{an }的前n 项和，则“t ≥0”是“{an }和{Sn }都有最小项”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min 3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．若函数()33,014,03x x x f x x x a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩　在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．163a < B ．163a ≤ C ．163a > D ．163a ≥10．设函数()cos f x x = ）A ．函数()f x 的一个周期为π；B ．函数()f x的值域是2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； C ．函数()f x 的图象上存在点(),P x y ，使得其到点()1,0；D ．当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点.二、填空题 11．函数()f x =. 12．若i 为虚数单位，复数满足()1i 34i z -=-，则z 的虚部为.13．已知数列{}n a 满足12a =，且()*11n n a S n +=+∈N ，则5a =，n S =.14．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为，12PA PF ⋅u u u r u u u u r最小值为.15．已知函数()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x -+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩给出下列四个结论：①若()f x 有最小值，则a 的取值范围是1,0π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②当0a >时，若()f x t =无实根，则t 的取值范围是[][)π,441,a a a ++∞U ； ③当12a ≤-时，不等式()()224f x f x +>+的解集为()2,2-；④当1a ≥时，若存在12x x <，满足()()1210f x f x -<=<，则120x x +>. 其中，所有正确结论的序号为.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，满足11a =，0d >，且1a ，2a ，3S 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．如图，ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ππs i n 063B B ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求角B 的大小； (2)若3a =，ABC S △. （i ）求sin A 的值；（ii ）求ABC ∠的角平分线BD 的长.18．某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA 、OB 、AC 及曲线段BC 围成.经测量， 90AOB ∠=︒，100OA OB ==米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D在曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米.(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程； (2)求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =； (3)试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.19．已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω>>=．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定． (1)求()f x 的解析式； (2)设2()()2cos 1g x f x x ω=-+，求函数()gx 在()0,π上的单调递增区间．条件①：14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：()f x 为偶函数；条件③：()f x 的最大值为1；条件④：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．20．已知函数()()21x f x e x ax =++.(1)若0a =，求f (x )在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若f (x )在()1,1-上恰有一个极小值点，求实数a 的取值范围；(3)若对于任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()2cos 1x f x e x x >+恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知{}1,2,,S n =K ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（I ）若5n =，{}1,2,5A =，12A A =∅I ，求T ；（II ）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅I ？说明理由；（III ）若5A =，对于任意的A ，都存在T ，使得12A A =∅I ，求n 的最小值.。

2021年高三10月月考数学(理)试卷含解析

2021年高三10月月考数学（理）试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．2．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．5．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为．6．已知函数，则的值为．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．8．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为．9．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．13．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．16．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．17．（15分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（15分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．19．（15分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．xx学年江苏省连云港市灌南县华侨双语学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（xx•江苏模拟）已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（xx•江苏三模）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（xx•江苏模拟）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．（xx•江苏四模）已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5．（xx秋•仪征市期末）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．【解答】解：因为f（x）==，所以f（）=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．7．（xx•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（xx春•姜堰市期中）求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．9．（xx•江苏模拟）如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=﹣（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．（2011•江苏二模）若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．【专题】计算题；分类讨论．【分析】讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．【解答】解：设x＜0，则f（x）=2x∈（0，1）∴y=f（f（x））=f（2x）当x∈（0，1）时f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，﹣）设x＞0，则f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，0）∴y=f（f（x））=f（﹣2﹣x）当x∈（﹣1，0）时f（x）=2x∈（，1）综上所述：y=f（f（x））的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．11．（xx•徐州三模）已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（﹣∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a，即0＜a，故答案为：（0，）【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．12．（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．13．（xx•崇川区校级一模）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf （x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，xx）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．14．（xx•泰州二模）若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）（xx•河南校级二模）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．16．（15分）（xx秋•徐州期中）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（15分）（xx•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】应用题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，=MN•AQ可求进而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次入三角形的面积公式S△PMN函数的最值求解【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）=MN•AQ=××（1+）=…（6分）S△PMN（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（15分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．19．（15分）（2011•江苏二模）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．【解答】解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．【点评】本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a ＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．（15分）（xx•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．28094 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北京中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学试题含解析

北京2023～2024学年度第一学期10月阶段性测试高三数学试卷（答案在最后）班级__________姓名__________学号__________考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知复数i1i z =-，则z =（）．A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先化简i 1i z =-得到1i22z =-+，再根据复数模的定义，即可求解.【详解】()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z +-====-+--+，2z ==.故选：B2.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1}A =，(){3}U C A B = ，则集合B 可能是（）A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】∵{1,2,3,4}U =，(){3}U C A B = ∴{1,2,4}A B ⋃=又∵{1}A =∴{2,4}B =故选：C.3.下列函数()f x 中，其图像上任意一点(),P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是（）．A.()3f x x= B.()f x =C.()e 1x f x =- D.()()ln 1f x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算，即可得到结果.【详解】当2x =时，38x =，2x =，3x x >，故A 错误；当14x =时，12=，14x =x >，故B 错误；当1x =时，e 1e 1x -=-，1x =，e 1xx ->，故C 错误；当10x -<<时，()0f x <，0x >，满足y x <，当0x ≥时，设()()ln 1g x x x =+-，则()11011x g x x x -=-=+'<+，则()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()00g x g ≤=，满足y x ≤，故D 正确；故选：D.4.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A.53 B.23C.13D.59【答案】A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-= .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.已知0.53a =，3log 2b =，2tan 3c π=，则（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.a c b>>【答案】A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a =>=，3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b <<，又2tan3c π==，所以a b c >>.故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx3π56πsin()A x ωϕ+055-0根据这些数据，要得到函数sin y A x ω=的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于ωϕ，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A =，325362ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26πωϕ==-，，所以()5sin(26f x x π=-，y =5sin 2x ，将()5sin(2)6f x x π=-=5sin[2()]12x π-图象向左平移12π单位后得到y =5sin 2x 的图象.7.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.()11f x --B.()11f x -+ C.()11f x +- D.()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知()sin f x x x =-，命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A.P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B.P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C.P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D.P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，【答案】D 【解析】【分析】求导分析()sin f x x x =-的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】∵()sin f x x x =-，∴()cos 10f x x '=-≤∴()f x 是定义域上的减函数，∴()()00f x f <=∴命题P ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，是真命题；∴该命题的否定是()00002P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，，.故选：D.9.已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④ B.①③C.①②D.③④【答案】A 【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确.甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为______．【答案】10-【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()5152155C 11C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令521r -=-，可得3r =，故1x的系数为()3351C 10-=-.故答案为：10-12.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.13.设函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足()(1)1f x f x ++>的x 的取值范围是___________.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】分1x ≤-、10-<≤x 和0x >三种情况解不等式即可求解.【详解】当10x +≤即1x ≤-时，()(1)1f x f x ++>即1(2)1x x +++>，可得1x >-，此时无解，当010x x ≤⎧⎨+>⎩即10-<≤x 时，()(1)1f x f x ++>即1121x x +++>，所以120x x ++>，令()12x g x x +=+，则()12x g x x +=+在(]1,0-上单调递增，()()10g x g >-=，所以120x x ++>恒成立，所以10-<≤x 符合题意，当010x x >⎧⎨+>⎩即0x >时，()(1)1f x f x ++>即1221x x ++>恒成立，所以0x >符合题意，综上所述：满足不等式的x 的取值范围是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若方程e 0x ax a -+=有根，则实数a 的取值范围是______．【答案】2e a ≥或a<0，【解析】【分析】构造函数()e 1xf x x =-，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0.【详解】由e 0x ax a -+=得()e 1xa x =-，当1x =，方程显然无根，故1x ≠时，e 1xa x =-，令()e1xf x x =-，则()()()2e 12x xf x x '-=-，令()()()2e 201x xf x x -'=>-，则2x >，故()f x 在()2,+∞单调递增，在()1,2以及(),1-∞单调递减，故2x =时，()f x 取极小值()22e f =，而当1x <时，()e 01xf x x =<-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以直线y a =与()f x 有交点时，2e a ≥或a<0，故答案为：2e a ≥或a<0，15.已知函数()f x 由下表给出：x1234()f x 0a 1a 2a 3a 4a 其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在0a ，1a ，2a ，3a ，4a 中k 所出现的次数，则4a =__________；0123a a a a +++=__________．【答案】①.0②.5【解析】【分析】假设k ＝4出现次数大于等于1次，即4a 的值大于等于1，推出矛盾，由此得4a ＜1，4a ＝0，同理可得30a =，由此可得02a ≥，从而讨论可得02a =，于是可以得到1a ，2a ∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.【详解】(0,1,2,3,4)k a k =等于在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中k 所出现的次数，则{}0,1,2,3,4k a ∈，若k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则4a ＝1.设0a ＝4，则k ＝0在“1a ，2a ，3a ”这3个数中出现4次，矛盾，同理k ＝4在“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”中出现过2、3、4次也不可能，即k ＝4不能出现，∴4a ＝0.同理，若k ＝3出现次数超过0次，不妨设k ＝3出现1次，即31a =，设0a ＝3，则k ＝0在“1a ，2a ”这2个数中出现3次，矛盾，故k ＝3不可能出现，∴30a =.∵30a =，4a ＝0，∴k ＝0在“0a ，1a ，2a ，30a =，40a =”中至少出现了2次，∴02a ≥.若0a ＝3或4，即k ＝3或k ＝4出现了1次，则3a 或4a 不为0，矛盾，∴02a =.∴02a =，30a =，40a =，∴1a ，2a ∈{1，2}，∴“0a ，1a ，2a ，3a ，4a ”仅有下列四种可能：①02a =，1a ＝1，2a ＝1，30a =，40a =，②02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =，③02a =，1a ＝2，2a ＝1，30a =，40a =，④02a =，1a ＝2，2a ＝2，30a =，40a =，其中：①中，k ＝1出现2次与1a ＝1矛盾，不可能；②满足题意；③k ＝2出现2次与2a ＝1矛盾；④中，k ＝2出现3次与2a ＝2矛盾；故仅有“02a =，1a ＝1，2a ＝2，30a =，40a =”满足题意，故0123a a a a +++=5.故答案为：0；5【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，4AB =，点E 在线段AB 上，且34AE AB =.（1）求证：CE ⊥平面PBD ；（2）求二面角P CE A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PD CE ⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BD CE ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,AD CD PD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系D xyz -，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE 和平面ACE 的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥.因为4AB =，34AE AB =，所以3AE =，1BE =.所以2AB BCAD BE==.所以Rt Rt CBE BAD △∽△，所以BD CE ⊥.又因为PD CE ⊥，PD BD D ⋂=，所以CE ⊥平面PBD .【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.又因为ABCD 是矩形，AD CD ⊥，所以,,AD CD PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,4,0C ，()002P ,,，()2,3,0E ，所以()0,4,2PC =-，()2,1,0CE =-.设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CE n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,420.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则2y =，4z =.于是()1,2,4n =.因为PD ⊥平面ABCD ，取平面ACE 的法向量为()0,0,1m =.则cos ,21m n m n m n ⋅〈〉==.由图可知二面角P CE A --为锐角，所以二面角P CE A --的余弦值是21.17.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题．（1）求ϕ的值；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，求m 的取值范围．条件①：π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；条件②：π12-是()f x 的一个零点；条件③：π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6f x x =+，由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：ππππ3sin cos 1si 63332f n ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭无意义，所以选条件①时()f x 不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ(sin()cos(01266f ϕ-=-++-=，所以πsin()6ϕ-=．因为ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，所以ππ63ϕ-=-．所以π6ϕ=-．选条件③，由题设2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++．整理得πsin()62ϕ-=-．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos 26f x x x =-+1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为ππ63x -≤≤，所以ππ5π2666≤≤x -+．于是，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值1；当且仅当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值12-．又π5π266x +=，即π3x =时，π5π1(sin362f ==．且当πππ2666x ≤≤-+时，()f x 单调递增，所以曲线()y f x =与直线y m =恰有一个公共点，则1122m ≤<-或1m =m 的取值范围是{}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭．18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]10,12(单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k = .当()20P k 最大时，写出k 的值.（只需写出结论）【答案】（1）0.10a =（2）分布列见解析（3）4k =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出a 的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得k 的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a ++++++++=，解得0.10a =．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为：5000.1050⨯=人，5000.0840⨯=人，5000.0210⨯=人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取：40104504010⨯=++人，现从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0，1，2，3，36310201(0)1206C P X C ====，1246310601(1)1202C C P X C ====，2146310363(2)12010C C P X C ====，3431041(3)12030C P X C ====，X ∴的分布列为：X0123P1612310130【小问3详解】解：由（1）可知(]10,12的概率0.120.2P =⨯=，所以()()20202020200.210.20.20.8kkk kk kP k C C --=-=依题意()()()()2020202011P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201121202020111920200.20.80.20.80.20.80.20.8k k k k k k kk k k k k C C C C -----++-⎧≥⎨≥⎩，即()2010.20.820110.80.21k k k k -+⎧⨯≥⎪⎪⎨-++⎪≥⨯⎪+⎩，解得162155k ≤≤，因为k 为非负整数，所以4k =即当20()P k 最大时，4k =．19.设函数()e a xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）1,1a b ==；（2）函数()f x 在R 上单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得()()11e 1xf x x -'=-+，令1x t -=，得到函数()f x '的最小值，即可得到()min 110ef x =-+>'.【小问1详解】因为()ea xf x x bx -=+，则()()1e a x f x x b -'=-+，由题意可得，()()1211f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即1e 21a b b -⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可知，()1exf x x x -=+，()()11e 1x f x x -'=-+，令1x t -=，令()e 1t p t t =⋅+，所以()()1e tp t t ='+，当(),1t ∞∈--时，()0p t '<，则函数()p x 单调递减；当()1,t ∞∈-+时，()0p t '>，则函数()p x 单调递增；当1t =-时，函数()e 1tp t t =⋅+有极小值，即最小值，最小值为11e-+，则()min 110ef x =-+>'，则函数()f x 在R 上单调递增.20.已知函数()3211132a f x x x ax +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]0,1的最大值为1，求实数a 的取值范围；（3）若对任意1x ，()20,x ∈+∞，当12x x <时，不等式()()()()121222f x f x a x a x -<---恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f =，极小值5(1)6f =；（2）(],0-∞（3）1a ≤-【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；（2）求导，得到()()()1f x x x a '=--，讨论a 与1的关系，利用导数，得出()f x 的最大值，进而求出a 的范围.（3）构造函数()()()2g x f x a x =+-，由()()12g x g x <可得到()g x 的单调性，进而可求得a 的范围.【小问1详解】当0a =，()3211132f x x x =-+，()2f x x x '=-，令()0f x '=，则0x =或1x =，则当(,0],[1,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以在0x =时，取得极大值(0)1f =；在1x =时，取得极小值5(1)6f =；【小问2详解】()()()1f x x x a '=--，令()0f x '=，得1x =或x a =.当0a ≤时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]0,1上单调递减，()max ()01;f x f ==成立当01a <<时，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>；当(),1x a ∈时，()0f x '<.故()f x 在()0,a 上单调递增，在(),1a 上单调递减；()()max ()01f x f a f =>=，不合题意；当1a ≥时，则[]0,1x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[]0,1上单调递增，()()max ()101f x f f =>=，不合题意.综上，实数a 的取值范围是(],0-∞.【小问3详解】设()()()2g x f x a x =+-，根据题意有，120x x <<，12()()<g x g x ，故()g x 单调递增，则()32112132a g x x x x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()g x 在()0,∞+上单调递增，则有0x >时，()0g x '≥恒成立.而()()212g x x a x =-++'，即()2120x a x -++≥恒成立，参变分离可得，则有21a x x+≤+，而2x x +≥x =时等号成立），所以min 2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即有1a ≤.21.已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,,1,N i i j T S i j S i j a a a i j j +==+++≤<∈ ．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,*∈i j N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，…，m b ，…．若2024m b ≤，求m 的最大值．【答案】（1）{3T =，5，6，7，9，10}；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根据题意给出的集合T 新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，进行计算检验，从而得出结论；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意得123a a +=，1231236a a a ++=++=，1234123410a a a a +++=+++=，23235a a +=+=，2342349a a a ++=++=，34347a a +=+=，{3T ∴=，5，6，7，9，10}；【小问2详解】假设存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，i j ∴+与1j i -+奇偶性不同，又3i j +≥ ，12j i -+≥，1024∴有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i ，*N j ∈，使得(,)1024S i j =；【小问3详解】由题意得(2222)(1)(2)(1)2j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故*{2|N T n n =∈，2k n ≠，*N }k ∈，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，∴2024910032m =-=，故m 的最大值为1003．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷一、单选题1．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（） A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 3．已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<4．设()()1i 21i z -=+，则z =（）A B ．1C D ．25．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（）A ．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=6．已知向量()3,4a =r ，()1,0b =r ，c a tb =+r r r ，若,,a c b c =r r r r 则实数t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．67．函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数 B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数 C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数8．已知函数()00x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1∞--B ．(],1-∞-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-9．已知a v 、b v 、e v 是平面向量，e v 是单位向量．若非零向量a v 与e v 的夹角为3π，向量b v 满足2430b e b -⋅+=v v v ，则a b -v v 的最小值是A 1B 1C ．2D ．210．已知函数()f x k =，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(1,0]-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦二、填空题11．已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =． 13．若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是14．若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =，()f x 的一个对称中心为 15．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈ ③()1f x x x=+，（x ∈ 0,+∞ ） ④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题16．在ABC V 中，sin A B ，b ①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题： (1)求角B 的大小； (2)求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17．已知n S 是等差数列 a n 的前n 项和，51120S a ==，数列 b n 是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； (2)设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值. 18．已知函数π3()6sin()62cos f x x x =-+．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19．1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20．已知函数()e sin 2xf x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；(3)设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由. 21．已知数列 a n 记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N L(1)对于数列 a n ：1,2,3，列出集合T 的所有元素；(2)若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b L L 若2020m b ≤，求m 的最大值.。

2021届北京市中关村中学高三十月月考测试数学试题(解析版)

x1 x2
x1 x2
x1
x2
x1 x1
x2
x2
2
x1
x2
x1
x2
2
，
f
x1 x2 2
2
x1 x2 2
2
x1
x
2
2
，满足
f
x1 f x2
x1 x2
f
x1 x2 2
，
故②为恒均变函数；
对于③，当 x1 1 ， x2
0 时，
f
x1 f x2 ex1 ex2
2
2
的，函数 y log1 x 在 0, 上为减函数，故②满足； 2
当 x 0,1 时， y x 1 1 x ，其在 x 0,1 单调递减，故③满足；
函数 y 2x1 的图象是由函数 y 2x 的图象向左平移 1 个单位长度得到的，函数 y 2x
在 R 上单调递增，故④不满足.
线 AB 上的一点 C（ ABC 中∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c），然后确定测
量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A，∠C，b； ②测量∠A，∠B，∠C；③测量 a，b，∠C；④测量∠A，∠B，a，则一定能确定 A、 B 间距离的所有方案的序号为（）
A．①③
【答案】 2
【解析】根据 | z || z | 以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.
【详解】
因为
z
2 1
i
，所以 |
z
||
z
||
2 1
i
|
2 |1
i
|
2 11
2.
故答案为： 2
【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.

北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。