3.4 函数的奇偶性
3.4函数的奇偶性
3、思想与方法：
形（图象对称） 点（点对称） 数
（坐标）相等
式相等（f (x) f (x)）。
课后练习 课后习题
YOU
请同学们考察：图象关于原点中心对称的函 数与函数式有怎样的关系？
奇函数及其性质
y 1 (x 0), y 2x.
xy
y
o
Байду номын сангаас
x
o
x
结合偶函数的定义，你能总结出奇函数的定义吗？
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内的任
意一个 x ，都有 f (x) f (x),那么称函数是奇
函数（odd function）；
【探究】
图象关于 y 轴对称的函数满足：对定义域
内的任意一个 x ,都有 f (x) f (x).
反之也成立吗？
从以上的讨论，你能够得到什么？ 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内的任意
一个x ，都有 f (x) f (x),那么称函数 y f (x)
是偶函数（even function）；
f ( 3)有意义，则f ( 3)有意义；
……
-----定义域关于数“0”对称.
例题展示
例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数：
(1) f ( x) x2 1;
(2) f ( x) x2 (1 x 1);
(3) f ( x) x 12 .
高中数学必修一 函数的基本性质—奇偶性(第一课时)
函数的基本性质—奇偶性
（第一课时）
3.4函数的基本性质—奇偶性
【教材分析】
本节的重点是偶函数与奇函数的概念.由熟悉的一次函数、反比例函数和二次函数的图像作为研究的起点，抓住图像的特征：关于原点中心对称和关于y 轴轴对称，初步形成函数图像具有这种对称的代数特征.从对图像的研究这一角度来理解奇偶性并不困难.“形”的这种特征可以从“数”的角度，即用数量关系来描述函数这一特性，形成对奇偶性概念的认识.从具体到一般情况的研究方法是遵循认识事物的一般规律，用准确的数学语言刻画出偶函数与奇函数的定义.
本小节的难点是理解定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件.突破难点的关键一是借助于图象对称的直观性，二是借助于)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-的数量关系的真实意义.利用数形结合的思想阐述满足条件的函数关系式：)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．
【教学目标】
1、理解偶函数与奇函数的概念; 掌握判断函数奇偶性的一般方法；明确定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件；知道奇函数与偶函数的图象特征.
2、通过对偶函数的学习，促进对奇函数的自我观察、比较、分析、概括等能力.发展运用数学语言进行表达、交流的能力.
3、从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图象的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。
3.4函数的奇偶性
【课题】3.4函数的奇偶性
【教学目标】
知识目标：
⑴理解函数奇偶性的概念；
（2）理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．
能力目标：
⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；
⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．
【教学重点】
⑴函数奇偶性的概念及其图像特征；
⑵简单函数奇偶性的判定．
【教学难点】
函数奇偶性的判断．
【教学设计】
（1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起；
（2）引导学生去感知数学的数形结合思想．通过图形认识特征，由此定义性质，再利用图形（或定义）进行性质的判断；
（3）在问题的思考、交流、解决中培养和发展学生的思维能力．【教学备品】
教学课件．
【教学过程】
P2
P3
P1
图（1）图
函数的奇偶性
3.4 函数的基本性质
3.4(1)函数的奇偶性
教学目标：
1、掌握偶函数与奇函数的概念
2、掌握偶函数与奇函数的图像的性质
3、能判断一些简单函数的奇偶性
4、培养学生由具体到抽象及数形结合的思维方法
教学重点难点;
重点：偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断；
难点：偶函数与奇函数的图像性质的证明
教学过程：
一、偶函数概念的引入与形成
（一）引入
1、画出2()3f x x =-的图像
2、自变量与函数值之间的对应关系的特征
对任意实数a,
222()()33,()3()()
f a a a f a a f a f a =--=-=-∴-= 由此发现的规律：
函数2()3f x x =-具有()(),f a f a a R -=∈的特征
3、定义：
具有上述特征的函数称为偶函数，那么怎样用精确的数学语言来定义偶函数呢？
定义：如果对与函数y=f(x)的定义域D 内的任意实数a,都有f(-a)=f(a)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数。
如果一个函数是偶函数，那么它的定义域D 关于原点对称
4、一个函数是偶函数的必要条件是：定义域关于原点对称
二、偶函数的图像具有关于y 轴对称的性质
（一）由前面的讨论我们知道偶函数2()2f x x =-的图像关于y 轴对称，是
不是所有的偶函数都关于y 轴对称？
（二）证明：偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形
证明：设偶函数y=f(x)的定义域为D.
对任意的实数a D ∈
A(a,f(a)),B(-a,f(-a))都是函数y=f(x)的图像上的点，
因为f(-a)=f(a),所以B 点的坐标也为(-a,f(a))
3.4函数的奇偶性与周期性
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2) 证明f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立．
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1) f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；
课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业
(填“相同”、“相
高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
问题探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它 是函数具有奇偶性的什么条件？
提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝
f(x) ，那
么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期；如果在周期函数 f(x)的所有周期中 . 存在一个最小 最小正周期． 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
问题探究2：如果T是函数 y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z) 是否一定也是该函数的周期？
春考数学知识点总结3.4 函数的奇偶性
【答案】C
)
B.是偶函数
D.既是奇又是偶函数
4.已知函数f(x)在[-7,7]上是奇函数,且f(2)<f(1),则(
A.f(-1)<f(-2)
B.f(-2)>f(1)
C.f(-1)>f(-2)
D.f(2)<f(-1)
【答案】A
)
5.函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数;函数g(x)是偶
3.判断奇偶性的步骤
(1)写出定义域.(明确奇函数、偶函数定义域关于对称)
(2)求f(-x).
(3)对f(-x)与f(x)进行比较.
【例题精解】
【例 1】 判断下列函数的奇偶性:
3
6
2
(1)f(x)=x -2x
(2)f(x)=-3x -x
2
(3)f(x)=x +2x-5
( −)
(5)f(x)=
(2)偶函数:如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=f(x),那么这个函数叫偶函数.
2.图象特征
(1)奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形;反之,如
一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形,那么函数是
奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;反之,一个函数的
图象关于y轴成轴对称图形,那么函数是偶函数.
函数的奇偶性(教案)
3.4函数的奇偶性
教学目标：
1、理解并掌握偶函数、奇函数的概念；
2、熟悉掌握偶函数、奇函数的图像的特征；
3、会证明一些简单的函数的奇偶性。
教学重点：偶函数、奇函数的概念，判断函数的奇偶性；
教学难点：函数的奇偶性的定义的理解。
教学过程：
1、 创设情境，直观感受
（1） 请同学们欣赏图片，并根据图片说一说这些图片具有怎样的对称性。 这些图片展现了数学的对称美，他们是轴对称图形或者中心对称图形。我们熟知的函数中也有如此美的图像。函数的图像一般都是呈现在直角坐标系中的，而在我们直角坐标系中，有2条坐标轴以及一个点，今天我们所要研究的就是在坐标轴中的对称。有三种，关于y 轴对称，关于原点对称，关于x 轴对称。请问，一个函数图像可能关于x 轴对称吗？（这个学生应该比较好回答。）那么就只有2种关于y 轴对称和关于原点对称。（这里要复习一下一个点关于y 轴对称和关于原点对称的点的坐标特点。）
请同桌讨论一下，举出我们所学习的函数中图像是关于y 轴对称或者关于原点对称。
（请2组同学进行汇报，并且将函数的大致图像画到黑板上。）
2、 概念引入，理性分析
(1) 从函数图像上诠释研究奇偶函数的价值
根据同学举得例子，来探讨这2类函数研究的价值：因为这2类函数具有美丽的对称性，那么我们在画函数图像的时候只需要作出一半的图像，另外一半对称过去就可以；而且在研究函数性质的时候，只需要研究一半，另外一半的性质也可以相应的得出。
(2) 从符号语言、解析式来诠释奇偶函数
既然这2类函数具有特殊的对称性，那么如何证明这种对称性呢？
3.4函数的奇偶性
eg2.判断下列函数的奇偶性，并说明理由 1）f(x)=2x+ x 2) f ( x ) x 和g(x)=x 3) f ( x ) 2 x 3 x
2 2 3 3 2 3
注：和函数和积函数的 1. 奇偶特点 若两函数的和函数和积函数的定义域关于原点对称
2.常用函数的奇偶性: 一次函数：y=kx+b 二次函数：y =ax 2 bx c k 反比例函数：y x a 勾函数：y x x
3.4函数的性质（1）
———函数奇偶
性
一.偶函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D 若对于x D, 都有f ( x ) f ( x ) 则称函数y=f(x)为偶函数
问：函数y=x2 (1 x 1)是偶函数吗？为什么？
注： 1.定义域关于原点对称是函数为偶函数的
必要非充分 ____ ______条件
注： 1.定义域D关于原点对称也是函数为奇函 数的前提条件 2.奇函数的图像特征：图像关于原点对称 3.奇偶性为函数的整体特征，没有部分偶 部分奇的函数
问：有没有既是奇函数又是偶函数的函数？如 果有这样的函数的解析式有什么特点？
wenku.baidu.com
若函数y=f(x)为既奇又偶函数 f ( x) （ 0 x D,且定义域关于原点对称）
f ( x )为奇函数 f ( x ) f ( x ) 0 也可用比商法
3.4函数的奇偶性 教案-2021-2022学年人教版（山东专用）中职数学第一册
授课班级21机1、汽1 授课内容 3.4函数的奇偶性
授课地点835、803 授课时间12.8-12.9
教学目标
知识目标理解函数奇偶性的概念
能力目标能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性
素质目标通过函数奇偶性体会生活中关于数学的对称美
教学重难点教学重点能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性
教学难点理解函数奇偶性的概念
教学过程
教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图
一、
回顾旧知，做实铺垫
二、
引课示标，明确方向多媒体展示山东剪纸的相关图片
让学生仔细观察，并总结特点
通过对于图形的观察与分析
教师展示函数图像，让学生观察函数图像的特
点，从而引出本节课的学习目标
能根据函数的图像判断简单函数的奇偶性（重
点）
理解函数奇偶性的概念（难点）
自学范围：课本49-51
自学时间：10分钟
完成以下知识点内容补充及自测题：
让学生仔
细观察
总结特点
学生自读
学习目
标，明确
本节课的
学习任务
引导学生
又图片发
现对称图
形和中心
对称图形
教师强调
学习重
难点，提
醒学生上
课时的注
意方向
培养学生
的观察能
力及概况
能力
学生明确
学习目标
三、
自学质疑，合作探究判断一个函数f(x)的奇偶性，首先考虑函数的定义域是
否关于________对称．
(1)若不对称，则函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)若对称，则当f(－x)＝－f(x)时，函数f(x)为________．
当f(－x)＝f(x)时，函数f(x)为________．
当f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)时，函数f(x)既不是奇函
数也不是偶函数．
当f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)时，函数f(x)既是奇函
函数的奇偶性
轴对称图形
轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 那么这样的图形就叫做轴对称图形。
对称轴
A与A’ 称作对称点
A
A’
o
图1
f (x) x2 图2
偶函数
偶函数
图3
图4
不是偶函数
不是偶函数
下列函数哪些是偶函数？哪些不是偶函数
图1 图2 偶函数
图图33
偶函数
判断步骤：
解题步骤：
（1）定义域关于原点对称
解：定义域x∈（-∞，＋∞）,关于原点对称 (-x)2 =x 2
又 f (x) x2 ∴
∴ f (x) x2
例题
1、判断下列函数是否是偶函数 （2）f (x) 3x 2
判断步骤：
解题步骤：
（1）定义域关于原点对称
解一：定义域x∈（-∞，＋∞）,关于原点对称 3(－x)－2 =－3x－2
f (1) 12 1
f (2) 22 4 f (3) 32 9
… …
f (x) = f (x) ∵ f (x) (x)2 x2 3、结论： 当x取互为相反数时，它们所对应的函数值： 相等
f (x) x2
例题
1、判断下列函数是否是偶函数 (1) f (x) x2
又 f (x) 3x 2
函数的性质奇偶性省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第4页
问题2：结合函数f (x)＝x3图象回答以 下问题：
(1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上点P (x， f (x))关于原点对称点P'坐标是什么？点P'是 否也在函数f (x)图象上？由此可得到怎样结 论. (2)假如一个函数图象是以坐标原点为对称中 心中心对称图形，能否判断它 奇偶性？
偶函数
第22页
2/（1）函数
y
1 2x 1
m
为奇函数，求m值。
（2）函数
y
a 3x 4 4 3x 1
a
为奇函数，求a值。
第23页
3、已知y=f(x)是R 上偶函数,且方程2f(x)+1=0
有 则
x1+x2 +x1x、3 +xx24、+xx53、五 个x.4、不x一5 样实根,
第24页
课堂小结
第5页
2. 奇函数与偶函数图象对称性
假如一个函数是奇函数，则这个函 数图象以坐标原点为对称中心中心 对称图形. 反之，假如一个函数图象是 以坐标原点为对称中心中心对称图形， 则这个函数是奇函数.
假如一个函数是偶函数，则它图 形是以y轴为对称轴轴对称图形；反之， 假如一个函数图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
第8页
例1 判断以下函数奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
3.4函数的奇偶性yqy
例5、试判断分段函数f (x)的奇偶性 并说明理由
0.5x2+1 ,(x>0) f (x)= -0.5x2-1,(x<0)
当x>0时， 图像是抛物线 y=0.5x2+1的右半支；
当x<0时， 图像是抛物线 y=-0.5x2-1的左半支；
1
y
o -1
x
0.5x2+1 ,(x>0) f (x)= -0.5x2-1,(x<0)
例8、已知奇函数 f (x) 的定义域为R，
f 当 x (0 ,) 时， ( x) x(1
求函数f (x) 的解析式
3
x)
a 1 (x 例9、已知 f ( x) x ， R) 2 2 1 f 当实数a 为何值时， (x)具有奇偶性？
并证明它的奇偶性。
例10、已知奇函数 f (x)和偶函数 g (x) 的定义域均为R， ⑴判断F ( x) [ f ( x)] 3g ( x) 的奇偶性
例12、设 f (x) 是定义域关于原点对称的 任意函数，判断下列函数的奇偶性。
1 ⑴ F ( x) [ f ( x) f ( x)] 2 1 ⑵ G( x) [ f ( x) f ( x)] 拓展： 2
定义域关于原点对称的任意函数， 可否表示成一个奇函数与一个偶 函数之和？
思考1、
函数的奇偶性
§3.4 函数的奇偶性
§3.4.1 偶函数
在初中，我们曾经见过许多对称图形，也研究过轴对称、中心对称这两种平面上最常见的对称现象．
我们知道，如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形称为轴对称图形，这条直线则称为对称轴．下图给出了一些常见的轴对称图形．
（照片、图片）
在我们所见过的函数图像中，也有一些是轴对称图形．例如：函数y=x 2的图像就是轴对称图形.
探究
观察图3-14，回答下面的问题：
（1） 这条抛物线的对称轴是哪条直线？
（2） 用垂直于对称轴的直线截抛物线，你能发现什么？
（3） 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系？
在上面的研究过程中，我们发现：如果函数y=f ()x 的图像关于y 轴成轴对称（即y 轴是它的对称轴），那么：
① 其图像上的任意一点A （x 0，f ()0x ）（x 0∈定义域D ）关于y 轴对称的点A ，（-x 0，f ()0x ）一定也在这个图像上；
② 由于A ，是函数图像上的点，所以它的坐标也可以写成（-x 0，f ()0x -），因此，f ()0x -= f ()0x ；
③ 由于点（x 0，f ()0x ）与（-x 0，f ()0x -）总是同时存在于函数的图像上，所以x 0与- x 0也同时存在于定义域D 内，因此，函数y=f ()x 的定义域D 关于原点O 对称．
图3-14
反过来，我们可以证明：如果函数y=f ()x 的定义域D 关于原点O 对称，而且对定义域内的任意一个值x 0，f ()0x = f ()0x -，那么，函数y=f ()x 的图像关于y 轴对称．
3.4函数的奇偶性
y
1
f (x)Fra Baidu bibliotek= x3
1
-1 O -1
x
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
奇函数的定义 如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.
y f (-x) = -f (x)
1 1
y=f(x) (x，f(x)) x
-1 O -1 (-x，f(-x))
解: （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称． f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7 = - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ． 所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数．
解: （1）函数 f（x）=
所以定义域关于坐标原点对称． 1 1 因为 f（-x）= == - f（x）， x - x 所以函数 f（x）= 1 是奇函数． x
例1 判断下列函数是不是奇函数： 1 （1）f（x）= x ； （3）f（x）= x +1 ； （2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．