数列综合应用(放缩法)教案资料

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数列放缩小专题复习的教学案例设计

郭㊀增

(浙江省金华市汤溪高级中学㊀３２１０７５)

摘㊀要:数列问题既是归纳推理的重要载体ꎬ也在考察演绎推理能力中占有重要的地位.证明数列型不等式ꎬ因其思维跨度大㊁构造性强ꎬ需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性ꎬ能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力ꎬ这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构ꎬ深入剖析其特征ꎬ抓住其规律进行恰当地放缩.

关键词:放缩尺度ꎻ项数ꎻ待定系数

中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００２９－０３

收稿日期:２０２２－０２－２５

作者简介:郭增(１９９１.２－)ꎬ男ꎬ浙江省金华人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.

１教学内容分析

本节安排在数列求和复习结束后ꎬ在学生充分了解并掌握数列常见的几种求和方法的前提下ꎬ更进一步对数列与不等式的放缩问题进行深入挖掘.教学内容分为三个方面:第一个方面是让学生学会识别不同类的数列放缩ꎬ第二个方面是掌握放缩的两大基本要素ꎬ第三个方面从构造方面让学生切实掌握有效可操作的方法解决数列放缩问题并领会其思想.

２学情分析

对于刚复习完数列的普通学生来说ꎬ对数列的基本知识与方法有了一定熟练度ꎬ尤其是求和公式也能熟练应用.但是对于数列不等式放缩ꎬ大部分学生都有一定程度的惧怕心理ꎬ苦于无方法ꎬ难操作ꎬ因此思维灵活性受到制约.

３设计思想

本节课采取探究式课堂教学模式ꎬ即课前讨论课上探究课后总结ꎬ在学案启发设计引导下ꎬ

以学生独立自主和合作交流为前提ꎬ以问题为导向设计教学情境ꎬ以数列放缩的方法和思想为基本探究内容ꎬ让学生通过个人㊁小组㊁集体等多种解决问题的尝试活动ꎬ在探究学习的过程中把放缩的思想融入到解决问题的方法中.

第五节数列的综合应用课件(共24张PPT)

所以Sn＝24（44－n－1 1）＝136（4n－1）. 答案：（1）C （2）136（4n－1）
数列与函数综合问题的主要类型及求解策略（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. （2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
（1）解：由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列.
所以an＝1·2n－1＝2n－1. 所以Sn＝2n－1. 设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1， b4＝1＋3d＝23－1＝7，所以d＝2，bn＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）证明：因为log2 a2n＋2＝log2 22n＋1＝2n＋1，
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
（2）由（1）得a1n＝21n，所以Tn＝12＋212＋…＋21n＝ 1211－－1212n＝1－21n，由|Tn－1|<1 0100，得1－21n－1<1 0100，即2n>1 000. 因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10. 于是，使|Tn－1|<1 0100成立的n的最小值为10.

数列放缩篇(万能的数列放缩法——数学归纳法)

万能的数列放缩法——数学归纳法无穷等比放缩关注两点

1、通项呈指数形式增大或减少；

2、无法通过裂项放缩

数学归纳法标准三部曲

第一步：验证首项1

n成立

第二步：假设当k

n=时成立

第三步：证明当1

n时也成立

什么时候使用归纳放缩？

1、递推式；

2、矛盾式；

3、求和式；

例1、（全国卷）设数列}{n a 满足，121+-=+n n

n na a a ， ,3,2,1=n （1）当21=a 时，求}{n a 的一个通项公式。

（2）当31≥a 时，证明对所有的11≥a ，有（i ）2+≥n a n ; （ii ）

111111111321≤++++++++n a a a a ;

例2（2018年浙江）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121•++∈=-+N n a a a n n n ．

记n n a a a S +++= 21．)

1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

例3、（全国卷）求证：2

)2()1(32212)1(+<+•++•+•<+n n n n n n

A a f a f a f n <++)()()(21 )()()()(21n g A a f a f a f n •<++ 如何求)(n g

（1）)1()1(g A f •<

（2）)1()()()1(+-<-+n g n g n f n f

2 数列求和(有放缩法)(教师版)

第二讲数列求和（用放缩法证明求和不等式）

知识回顾：

数列求和主要方法：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法：

222

(1)(21)

1236

k n n n k

n =++

=++++=

∑

33331

(1)1232n

k n n k

n =+⎡⎤

=+++

+=⎢⎥⎣⎦

∑ 3．错位相减法：比如{}{}1122为等差数列,为等比数列 ,求的和.n n n n a b a b a b a b +++

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：

1)1(1+-

=+n n n n

1111

()

(2)22

n n n n =-++

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

121121)12)(12(21

422+--=+-=

-n n n n n n

n n n 21121)12(21-

-=- 11211

2()(21)(21)2121

n n n n n --=-++++

1111[](n 1)(2)2(n

1)(n 1)(2)

=-+++

++n n n n =-

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．倒序相加法：

7．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

热身题：

一、裂项相消法求和

数列放缩教师版

教案

教师：__________ 科目; __________ 学生：________ 上课时间：________

数列放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩

例1. 求证:3

511

2<∑=n

k k .

解析:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-

<1211212144

111222

n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n

例2.(1)求证:)2()12(21

67)

12(1513

112

2≥-->-+

+++n n n (2)求证:n

412

14136

116

-<++++

解析:(1)因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以 )

2131(211)12131(211)

12(1

--+>+-+>-∑=n n i n

i (2))111(4

1)12

11(4

14136

116

22n

-+<+++=++++

例3. 求证:

191411)

12)(1(62<++++

≤++n n n n 解析:一方面:因为

数列中的放缩法

n ? 1)
6.
2n (2n ? 1)2
?
(2n
2n ? 1)(2n
? 1)
?
2n (2n ? 1)(2n ?
2)
?
(2n
2n?1 ? 1)(2n?1 ? 1)
?
2n
1
?1
?
1
?
1 2n ?
1
(n
?
2)
例3 (2009珠海二模理20第(2)问)
求S ? 1? 1 ? 1 ? L ? 1 的整数部分.
(2n ? 1)(2n ? 1) 2
变式1
求证：1 ?
1 22
?1 32
?L
?
1 n2
?2
(n ? N? )
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1 ?
1 22
?
1 32
?L
?
1 n2
?
7 4
(n ? N?)
变式3
求证：1 ?
1 22
?
1 32
?
L
?
1 n2
?
5 3
(n ?
N? )
例2 (2013广东文19第(3)问)
法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，
放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！

放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版

放缩法在解答数列题中的应用技巧

(十一种放缩方法全归纳)

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.

一、放缩技巧

(1)1

4n2

4n2-1

=21

2n-1

-1

2n+1

(2)

C1n+1C2n

(n+1)n(n-1)

n(n-1)

-1

n(n+1)

(3)T r+1=C r n⋅1

n r

=n!

r!(n-r)!

⋅1

n r

r(r-1)

r-1

-1

(r≥2)

(4)1+1 n

n<1+1+12×1+13×2+⋯+1

n(n-1)

(5)

2n(2n-1)

2n-1

-1

(6)

n+2

<n+2-n

(7)2(n+1-n)<1

<2(n-n-1)

(8)

2n+1

-1

2n+3

⋅12n=1

(2n+1)⋅2n-1

-1

(2n+3)⋅2n

(9)

k(n+1-k)

n+1-k

1n+1,1

n(n+1+k)

k+1

-1

n+1+k

(10)

(n+1)!

-1

(n+1)!

(11)1

<2(2n+1-2n-1)=22

2n+1+2n-1

n+1

+n-1

(11)

(2n-1)2

=2n

(2n-1)(2n-1)

<2n

(2n-1)(2n-2)

=2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

放缩法教案

第三节放缩法（教案）

知识梳理

1.放缩法

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

知识导学

1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B 1,B 1≤B 2≤…≤B i ≤A(或A≥A 1,A 1≥A 2≥…≥A i ≥B)，再利用传递性，达到证明的目的. 疑难突破

1.放缩法的尺度把握等问题

(1)放缩法的理论依据主要有:

①不等式的传递性;

②等量加不等量为不等量;

③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;

④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;

⑤三角函数的有界性等.

(2)放缩法使用的主要方法:

放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如:

舍去或加上一些项:(a+21)2+43>(a+2

1)2; 将分子或分母放大(缩小):

,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k k k k k k k k 121++>k k k (k ∈R ,k>1)等.

典题精讲

【例1】设n 是正整数,求证:

21≤2111+++n n +…+2

1n<1. 思路分析：要求一个n 项分式2111+++n n +…+n 21的范围,它的和又求不出,可以采用“化整

为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.

2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解

专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．

3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．

【知识点展示】

（一）数列与函数

数列与函数的综合问题主要有以下两类：

（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；

（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（二）数列与不等式

1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．

放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.

(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜

＜2(n －n －1)．

2.数列中不等式恒成立的问题

数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．

（三）解答数列实际应用问题的步骤

(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：

等差数列模型：均匀增加或者减少

等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题

放缩法教案

第三节放缩法（教案）

知识梳理

1.放缩法

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

知识导学

1.放缩法的尺度把握等问题

(1)放缩法的理论依据主要有:

①不等式的传递性;

②等量加不等量为不等量;

③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;

④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;

⑤三角函数的有界性等.

(2)放缩法使用的主要方法:

舍去或加上一些项:(a+21)2+43>(a+2

1)2; 将分子或分母放大(缩小):

,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k k k k k k k k 121++>k k k (k∈R ,k>1)等.

典题精讲

【例1】设n 是正整数,求证:

21≤2111+++n n +…+2

1n<1. 思路分析：要求一个n 项分式2111+++n n +…+n 21的范围,它的和又求不出,可以采用“化

整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.

数列综合应用教案

【篇一：《数列的综合应用》教案】

个性化教案

授课时间年级

高三

备课时间学生姓名教师姓名

课题

数列的进一步认识

教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想

（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题

1、数列求和的几种常见方法

2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题

一、检查并点评学生的作业。检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并

当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容数列求和

数列求和的常用方法 1、公式法

（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：

∑

n(n+1)k=12

∑k

=16n(n+1)(2n+1)

k=1n

n2(n+1)2

k=1

2、倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一

个常数，那么求这个数列的

前n项和即可用倒序相加法。等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积

构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的

前n项和就是用此法推导的；

例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①

2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-

裂项相消与放缩法解数列专题电子教案

裂项相消与放缩法解

数列专题

数列专题3

一、裂项求和法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1

+•n n a a ， }{n a 是

0≠d 的等差数列。

常用裂项形式有：；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ； ])2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ；

)(1

1b a b

a b a --=+；

)(11n k n k n k n -+=++特别地：n n n n -+=++111

二、用放缩法证明数列中的不等式

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。

1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：

①1

n i i a k =<∑（k 为常数）；②1

()n i i a f n =<∑；③1

()n i i a f n =<∏；④1

i i a k =<∏（k 为常数）.

放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法

（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(

（2）将分子或分母放大（或缩小）

①n n n n n 111)1(112--=-< ； 11

1)1(112+-=+>n n n n n （程度大）

②)11

数列与不等式---“放缩法”导学案DOC

数列与不等式---“放缩法”导学案

【学习目标】

通过例题的分析讲解，能判断并利用“裂项放缩法”、“伪等比放缩法”、“拆项放缩”等方法解决数列中

的不等式问题.

【学习重点】

“裂项放缩法”、“伪等比放缩法” 、“拆项放缩”解决数列中的不等式问题.

【学习过程】

一、裂项放缩法

例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =

，它的前n 项和为n S ，求证：2n S <.

变式1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =

，它的前n 项和为n S ，求证：74n S <.

变式2：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =

，它的前n 项和为n S ，求证：53n S <.

变式3：求证：3331112912324n +

+++<；

例2、21(21)n a n =

+，求证：14

n S <；

总结提升：放缩法：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()n S f n <.我们构造一个新数列{}n b ，满足n n a b ≤，而新数列{}n b 的前n 项和n T 我们是有办法求解的，那么只需证明()n T f n <即可. 形如1n k

a n =(类似“幂函数”)的数列{}n a 的不等式问题，一般可采用裂项放缩的思想来解决.

前面介绍的“裂项放缩法”是将通项变形或放缩后进行裂项求和，其中用到了等差数列的思想，那么我们能否将通项变形或放缩后得到一个等比数列呢？你能总结出哪种类型的数列不等式可以采用这种方法进行放缩----“伪等比放缩法”.

数列综合应用放缩法)

数列综合应用 (1

)

------- 用放缩法证明与数列和有关的不等式

一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力•解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.

二、典例讲解

1.先求和后放缩例1 •正数数列"£n '的前n 项的和S n ，满足 2 S ；=日.7,试求：

(1)数列』的通项公式;

2.先放缩再求和

① .放缩后成等差数列，再求和

例2•已知各项均为正数的数列｛a .｝的前n 项和为S n ,

且 a

n a n = 2S

n • (1)求证： 2 2

S n ::: an an1 ；

⑵求证： < V S1 + j S2 + …

② .放缩后成等比数列，再求和例 3. (1)设 a, n € N *

，a> 2，证明: a 2n -(-a)n _(a 1) a n ;

(2)等比数列｛a n ｝中，Q = -一，前n 项的和为A n ， 2

, a n

且A 7，A 9, A 8成等差数列•设b n —，数列｛b n ｝

1 _a

前n 项的和为B n ，证明：B n V 一 .

③ •放缩后为差比数列，再求和

例4. 已知数列｛a n ｝满足：a 1 =1，

(2)设 b n --- ，数列、b n •啲前n 项的和

a n a

n 1

为B n ，求证:

B n

a n 1 =(1 伴)a n(n =1,2,3 ) •求证: 2n

a n 1 ■ a* _ 3 —n1

高考数学一轮复习第五章数列5.5数列综合教案

【教学目标】

1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 【重点难点】

1.教学重点：能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；

2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】考纲传真:

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 真题再现;

1.(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝

a n ＋1S n S n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

【解】 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得{ a 1＝1，a 4＝8或{ a 1＝8，a 4＝1(舍去)．

由a 4＝a 1q 3

得公比q ＝2，故a n ＝a 1q

n －1

＝2

n －1

(2)S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n

－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1

＝1

S n －

S n ＋1

，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪

⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

高中数学数列与不等式综

合问题放缩法

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数列与不等式综合问题一裂项放缩

放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：

例1求证（1）

变式训练

[2016·湖南怀化质

检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)证明：＋＋…＋<.

[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.

(1)求a 1的值；

(2)求数列{a n }的通项公式；

证明：对一切正整数n ，有＋＋…＋<. (3)

二等

比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）

例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]

已知数列{a n }满足

a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(2)证明＋＋…＋<.

变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=

（1）求{a n }的通项公式 2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n k a a a +++<231111+++......+12222n <

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