数列综合应用(放缩法)教案资料

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数列放缩小专题复习的教学案例设计

数列放缩小专题复习的教学案例设计郭㊀增(浙江省金华市汤溪高级中学㊀３２１０７５)摘㊀要:数列问题既是归纳推理的重要载体ꎬ也在考察演绎推理能力中占有重要的地位.证明数列型不等式ꎬ因其思维跨度大㊁构造性强ꎬ需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性ꎬ能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力ꎬ这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构ꎬ深入剖析其特征ꎬ抓住其规律进行恰当地放缩.关键词:放缩尺度ꎻ项数ꎻ待定系数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００２９－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:郭增(１９９１.２－)ꎬ男ꎬ浙江省金华人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１教学内容分析本节安排在数列求和复习结束后ꎬ在学生充分了解并掌握数列常见的几种求和方法的前提下ꎬ更进一步对数列与不等式的放缩问题进行深入挖掘.教学内容分为三个方面:第一个方面是让学生学会识别不同类的数列放缩ꎬ第二个方面是掌握放缩的两大基本要素ꎬ第三个方面从构造方面让学生切实掌握有效可操作的方法解决数列放缩问题并领会其思想.２学情分析对于刚复习完数列的普通学生来说ꎬ对数列的基本知识与方法有了一定熟练度ꎬ尤其是求和公式也能熟练应用.但是对于数列不等式放缩ꎬ大部分学生都有一定程度的惧怕心理ꎬ苦于无方法ꎬ难操作ꎬ因此思维灵活性受到制约.３设计思想本节课采取探究式课堂教学模式ꎬ即课前讨论课上探究课后总结ꎬ在学案启发设计引导下ꎬ以学生独立自主和合作交流为前提ꎬ以问题为导向设计教学情境ꎬ以数列放缩的方法和思想为基本探究内容ꎬ让学生通过个人㊁小组㊁集体等多种解决问题的尝试活动ꎬ在探究学习的过程中把放缩的思想融入到解决问题的方法中.４教学目标(１)引导学生从已有的简单放缩问题出发ꎬ通过一道数列放缩小题的求解ꎬ由特殊到一般地对放缩技巧理解并归纳.(２)通过对实际问题的探索ꎬ培养学生观察问题㊁分析问题㊁解决问题的能力ꎬ增强学生的协作能力和交流能力ꎬ发展学生的创新意识ꎬ培养创造性思维的能力.(３)培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法ꎬ通过数列放缩技巧的归纳和整理提升学生逻辑推理与演绎推理的能力.５教学重点与难点教学重点:数列放缩的两大基本要素以及放缩９２的基本思路.教学难点:放缩技巧的实际应用:转化与计算６教学过程６.１回顾数列求和的基本内容以及数列放缩的问题教师:数列问题难度可分为以下三个层次:通项公式ꎬ求和公式都能求解ꎻ通项公式能求解ꎬ求和需要放缩ꎻ通项ꎬ求和都需要放缩.６.２例题讨论ꎬ分析放缩的两大基本要素问题一:数列放缩注意哪些点?(带着问题做例１)例１㊀证明:(１)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<２ｎɪＮ∗()(２)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<７４ｎɪＮ∗()(３)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<５３ｎɪＮ∗()设计意图:了解学生掌握放缩的程度以及技巧性的能力学生:讲解方法(让学生讲解放缩的过程)第一类是１ｎ２<１ｎｎ－１()＝１ｎ－１－１ｎｎȡ２()第二类是１ｎ２<１ｎ２－１＝１２１ｎ－１－１ｎ＋１æèçöø÷ｎȡ２()第三类是１ｎ２<１ｎ２－１４＝１ｎ－１２－１ｎ＋１２ｎȡ２()教师:三种不同的放缩方式可以观察出什么特点吗?学生:一类比一类更加贴近原式的值ꎬ也就是放缩的尺度更精准.教师:若是大部分同学想不到第二类或者第三类的放缩方式ꎬ只有第一类放缩的方式容易想到ꎬ是否就无法解决２ꎬ３两个问题?设计意图:通过参与学生的讨论ꎬ把放缩的项数问题渗透到学生的思想中.学生:既然放缩的技巧达不到精度ꎬ我们可以尝试把放缩的项数减少ꎬ前几项用真实值.１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<１＋１２２＋１２－１３æèçöø÷＋＋１ｎ－１－１ｎæèçöø÷＝１＋３４－１ｎ<７４.发现只要从第三项开始放缩ꎬ用第一类放缩也可以解决第二类问题.以此类推让学生们尝试用第二类放缩技巧去解决第三类问题.教师:回顾第一个问题ꎬ数列放缩注意哪些点?学生:放缩的技巧以及项数归纳总结:尺度不够ꎬ项数来凑ꎬ项不过三ꎬ尺度再转设计意图:学生通过运算对比体会到放缩的技巧和项数同样重要.６.３探究放缩的技巧与方法教师:如何有效构造数列放缩?思考有哪些常见的求和式可以与常数比较大小?学生:裂项相消ꎬ等比数列错位相减问题二:如何构造裂项相消和等比数列才是问题难点ꎬ带着这个问题一起来做一下例２.例２㊀已知数列ａｎ{}的首项ａ１＝１ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ且ａｎ＋１＝Ｓｎ＋ｎ＋１ꎬｎɪＮ＋(１)求证数列ａｎ＋１{}为等比数列ꎻ(２)设数列１ａｎ{}的前ｎ项和是Ｔｎꎬ求证Ｔｎ<９５.(第一小问容易解决ａｎ＝２ｎ－１ꎬ重点分析第二小问)学生:用糖水公式ꎬ１２ｎ－１<２２ｎ＝１２ｎ－１让学生尝试运算可以发现ꎬ用这个放缩必须要从第四项开始放缩才能解决ꎬ且运算量大.设计意图:学生通过运算体会到放缩的尺度的把握的重要性.教师:若是把最后的９５改成５３ꎬ那放缩更加要往０３后推ꎬ运算量不言而喻了.回顾刚才方法还是要放缩成等比数列ꎬ问题在于这个尺度我们无法把握ꎬ所以如何在放缩过程中调整才是关键?学生:能不能试着用待定系数?目标就是等比数列求和.师生合作:１２ｎ－１ɤλ１２ｎꎬ通过计算放缩后的结果再限定参数λ的范围.ȵ１２ｎ－１ɤλ２ｎꎬʑＴｎ＝１＋１３＋１７＋＋１２ｎ－１ɤλ２＋λ２２＋λ２ｎ＝λ２１－１２æèçöø÷ｎæèçöø÷１－１２<λ＝９５.ʑλ＝９５ꎬ而此时２ｎ２ｎ－１ɤλ＝９５ꎬ当ｎ＝１时不成立ꎬ因而作调整.不等式调整为ꎬ当ｎȡ２时ꎬ１３＋１７＋＋１２ｎ－１<４５ꎬ同样的做法ꎬ不等式左边<λ２２＋λ２３＋λ２ｎ＝λ４１－１２æèçöø÷ｎ－１æèçöø÷１－１２<λ４１２＝λ２ɤ４５ꎬʑ取λ＝８５ꎬ此时２ｎ２ｎ－１ɤλ＝８５ꎬｎȡ２成立ꎬ故不等式成立.由此可得:１２ｎ－１ɤ８５１２ｎ(此类放缩优点在于尺度和项数可以在运算中进行调整ꎬ以满足不同程度的放缩)设计意图:通过师生共同合作体验待定系数可控式的放缩技巧.教师:前面的问题中提到常见的求和式可以与常数比较大小的除了等比数列的错位相减还有裂项相消ꎬ那在这个题目中能实现吗?学生:裂项关键在于分母因式分解ꎬ然后裂项观察相消ꎬ无法拼出.教师:对比之前的例１ꎬ同学们可以发现裂项的前后两项是可以通过项与项的关系来放缩的.结合待定系数ꎬ我们能不能试用一下?师生合作:可以对比等比设未知数来裂项ꎬ通过代入结果来实现参数的范围求解ꎬ对比前面的等比放缩可得:１２ｎ－１ɤλ１２ｎ－１－１２ｎ＋１－１æèçöø÷学生参照等比待定系数的过程自行操作ꎬ并挑部分学生进行展示.教师提供完整的思路供学生参考.设计意图:通过实践以及点评让学生体会数列放缩待定系数法的逻辑合理性ꎬ消除对于数列放缩技巧性的突兀感.６.４实践巩固课堂练习:(２０１２年广东理)１３－２＋１３２－２２＋＋１３ｎ－２ｎ<３２ꎬｎɪＮ＋()设计意图:通过实践让学生进一步体会两种放缩的技巧的关键.６.５课堂小结教师:提示引导学生总结本节课的主要内容学生:思考交流ꎬ归纳总结设计意图:通过学生的总结ꎬ培养学生的归纳总结能力和语言表达能力６.６作业设计已知Ｓｎ为数列ａｎ{}的前ｎ项和ꎬａ１＝２ꎬａｎ>０且２Ｓｎ＋１－ａｎ＋１２＝－２Ｓｎ其中ｎɪＮ＋ꎬ(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)若数列ｂｎ{}满足ｂｎ＝３ａｎ２ꎬＴｎ是数列ｂｎ{}的前ｎ项和ꎬ求证Ｔｎ<５４.参考文献:[１]刘巍.数列的最值问题专题复习教学案例[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１３(１１):１２－１４.[２]胡国兴ꎬ谭景宝.例析放缩法在数列敛散性求证中的应用[Ｊ].保山学院学报ꎬ２０１９ꎬ３８(００２):９－１２.[责任编辑:李㊀璟]１３。

(完整word版)数列综合应用(放缩法)

(完整word 版)数列综合应用(放缩法)数列综合应用（1)—-——用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ，试求：(1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B2。

先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n a a S +=。

（1）求证：2214n n n a a S ++<;（2) 求证<⋅⋅⋅+②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N ＊，a ≥2，证明:n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2;(2)等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nnn a ab -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明:B n ＜13．③．放缩后为差比数列,再求和例4．已知数列{}n a 满足:11=a ，(完整word 版)数列综合应用(放缩法) )3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数)，则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式;(2）令nn n nn a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n ，n =1,2，…。

2 数列求和(有放缩法)(教师版)

第二讲数列求和（用放缩法证明求和不等式）知识回顾：数列求和主要方法：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nk n n n kn =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}1122为等差数列,为等比数列 ,求的和.n n n n a b a b a b a b +++4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n1111()(2)22n n n n =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n nn n n 21121)12(21--=- 112112()(21)(21)2121n n n n n --=-++++1111[](n 1)(2)2(n1)(n 1)(2)=-+++++n n n n =-5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．倒序相加法：7．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等热身题：一、裂项相消法求和例1、在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和．解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n2n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.二、错位相减法求和例2、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n}之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋ (3))，即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴，所以）因为，所以，所以；，证明：；中，，前成等差数列．设，数＜．，于是，．．）∵，，，∴公比．∴．．∴．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．例5．题1. 已知数列{}n a 中2n a n =，证明：22221233nS n =+++< 放缩一：21111(1)1n n n n n<=---(2)n ≥ 222222222111111111111111()()1231234556671n S n n n=+++<+++++-+-++-- ＝131211131212389240051111.3640036400360036003n ++-<++=+<+= 点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。

放缩法教案(精).doc

第三节放缩法(教案)知识梳理1.放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A2B,需通过B<B b Bi<B2<- <Bi<A(si( A>A!,A I>A2>-^>6),再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有：%1不等式的传递性；%1等量加不等量为不等量；%1同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；%1基本不等式与绝对值不等式的基本性质；%1三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项，减项，利用分式的性质,利用不等式的性质, 利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如：13 1舍去或加上一些项:(a+^ )2+ —>(a+-)2;将分了或分母放大(缩小)：4 < —-—,4 > —-—A < r- ------------------------------------ ,k~ k(k-i)k- *佐+1)4k1 2~~j=〉~~j= / (k u R,k> 1)等.,y k+ 1典题精讲【例1】设n是正整数+-1—+■■■+-n<l.2〃 + 1 n + 2 2思路分析：要求一个n项分式— + —的范围，它的和又求不出，可以采用“化整〃 + 1 〃 + 2 2n1"SI) 进行放为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.证明：由 2n>n+k>n(k=l,2,…,n),得」—-—< —.2n n + k n当 k=l 0t, —<——< —; 2n 〃 +1 n当 k=2 0t, —<—-— < —；； 2n n + 2 n、□ 工 1 1 1当 k=n 时,一< ----- < —,2n 〃 +1 n2 2n n + 1 n + 2 2n n思路整理：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明{ + A + .•. +」？ <7,由」T< ——［，如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2 1~ 2- tr 4 k~ k-1 k项放缩，可得小于2,当放缩方式不同时，结果也在变化.放缩法一般包括:用缩小分母，扩大分子,分式值增大；缩小分子，扩大分母,分式值缩小; 全量不少于部分.每一次缩小其和变小，但需大于所求;每一次扩大其和变大，但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.【变式训练】若 neN +,n>2,求证：-+ • • •< 1 --. 2 〃 +1 22 32 n~ n思路分析：利用一-—<上< k(k + l) k- 证明：,•* ^7 + ^7 + • • 2- 32 1 1 1• + 〉 ++ 1 ,. + -------- n(ji +1) 1 1 1 1 =( — - — )+( — -—)+•• 2 3 3 4j_ _J_ 2 n + 1 1 1 •+( ) n n + 11 1 ------- 1 ------- ... + 2x1 3x2 n(n -1)11111 12 〃 + 1 22 32 n 2 n【例2】(经曲回放)求证：耕3>*思路分析：利用|a+bg|+|b|进行放缩，但需对a,b 的几种情况进行讨论，如a=b=O 时等. 证明：若a+b=O 或a=b=O 时显然成立.1 1 1 1若a+l#O且a,b不同时为0时，1 1+|。

数列放缩法1

放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>=+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)n n n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

（6）裂项放缩:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r nr n r n n C T rr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n(5)nn nn 21121)12(21--=-(6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i一、放缩后转化为等比数列。

数列与不等式的放缩法(教师版)

数列与不等式的放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的后三题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．（本小题满分14分）（2013广东文数）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦点拔：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．练习1、（本小题满分14分）（2014汕头金山中学）已知数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+)n N *∈（．（1）求证：数列}1{na 为等差数列；（2）设211n n b a =+ ，数列}{2+n n b b 的前n 项和n T ，求证：43<n T ．解：（1）由121n n n a a a +=+得：1112n n a a +-=且111a =， …………2分k$s#5u 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列， …………3分（2）由（1）得：1112(1)21,21n n n n a a n =+-=-=-得：； ------------5分由211n nb a =+得：212112,n n n n b b n =-+=∴= ， ------------7分从而：)211(21)2(12+-=+=+n n n n b b n n ------------9分则 24231++++=n n n b b b b b b T=)]211()4121()311[(21+-++-+-n n --------12分=)2111211(21+-+-+n n 31113()42124n n =-+<++ ------14分练习2、正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知平方去根号得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以=-+-+--+111111(1)23352121n B n n =-<+11122(21)2n （减项放缩法）练习3、已知函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，且1()()()0n n n n a a g a f a +-+=．（1）试探究数列{1}n a -是否是等比数列？（2）试证明11nii an =≥+∑.解：（1）由1()()()0n n n n a a g a f a +-+=得214()(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=，即1(1)(441)0n n n n a a a a +--+-=∴10n a -=或14410n n n a a a +-+-= ∵12a =，∴10n a -=不合舍去. 由14410n n n a a a +-+-=得1431n n a a +=+，13144n n a a -=+，（2n ≥） ∴1113111344114n n n n a a a a ---+--==--， ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列.（2）证明：由（1）知数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列 ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+，∴2113331()()444nn i i a n -==+++++∑＝3[1()]344[1()]3414n n n n -+=-+-∵对n N ∀∈*有33()44n ≤，∴3311()1444n -≥-=∴34[1()]14nn n -+≥+，即11n i i a n =≥+∑二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n na a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有21112n n n a a S ++++=，上述两式相减，注意到nn n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S += 所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （基本不等式222a b ab +≤放缩法）法二：44)1(412222)1(2122222++=++=++<+=+=n n n a a n n n n n n n n S （添项放大）（2）因为1)1(+<+<n n n n ，（不等式性质放缩法）所以212)1(2+<+<n n n n ，n S +(2n n ⨯=+212322++++<n2122312-=+=+n S n n ；(放缩后成等差数列)n S+2n>+++==放缩后成等差数列) 综上, <⋅⋅⋅2．放缩后成等比数列，再求和例3． (本小题满分14分)（2012广东高考理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版

放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。

数列的综合应用经典教案【强烈推荐】

第5讲数列的综合应用一、考点、热点回顾1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。

2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。

【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。

基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。

(3)求解——求出该问题的数学解。

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。

3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。

一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。

两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10解析由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2＝15. 答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4解析由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大．答案 10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .考向二数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 考向三数列与不等式的综合应用【例3】►(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n ＞9时，S nn＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞50.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．一、数列与解析几何交汇【示例】► (·陕西)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.二、数列与三角交汇【示例】►(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。

数列综合应用教案

数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。

检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。

二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。

等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

(完整版)高三数学数列放缩法

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。

数列与不等式---“放缩法”导学案DOC

数列与不等式---“放缩法”导学案【学习目标】通过例题的分析讲解，能判断并利用“裂项放缩法”、“伪等比放缩法”、“拆项放缩”等方法解决数列中的不等式问题.【学习重点】“裂项放缩法”、“伪等比放缩法” 、“拆项放缩”解决数列中的不等式问题.【学习过程】一、裂项放缩法例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =，它的前n 项和为n S ，求证：2n S <.变式1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =，它的前n 项和为n S ，求证：74n S <.变式2：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =，它的前n 项和为n S ，求证：53n S <.变式3：求证：3331112912324n ++++<；例2、21(21)n a n =+，求证：14n S <；总结提升：放缩法：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()n S f n <.我们构造一个新数列{}n b ，满足n n a b ≤，而新数列{}n b 的前n 项和n T 我们是有办法求解的，那么只需证明()n T f n <即可. 形如1n ka n =(类似“幂函数”)的数列{}n a 的不等式问题，一般可采用裂项放缩的思想来解决.前面介绍的“裂项放缩法”是将通项变形或放缩后进行裂项求和，其中用到了等差数列的思想，那么我们能否将通项变形或放缩后得到一个等比数列呢？你能总结出哪种类型的数列不等式可以采用这种方法进行放缩----“伪等比放缩法”.二、伪等比放缩法例3：已知数列{}n a 的通项公式为312n n a -=，求证：1211132n a a a +++<. 此问题能用“裂项放缩法”来解决吗？变式：已知数列{}n a 的通项公式为312n n a -=，求证：121117152n a a a +++<.三、拆项放缩 1、将和拆开例4：求证：111111ln(1)123123n n n +++<+<+++++.变式1：（2010湖北）求证：1111ln(1)(1)232(1)n n n n n ++++>++≥+.变式2：求证：对任意的正整数n ，均有1111ln 23!n e n n ++++>2、将积拆开例5：求证：ln 2ln 3ln 4ln 1(2)234n n n n ⋅⋅⋅⋅<≥3、迭代型例6：若数列2112,n n n a a a a +==+，求证：1211111112n a a a +++<+++变式：已知正项数列{}n a 满足21(),n n n a a a n N *+≤-∈证明1n a n<课后作业：已知数列{}n a 的通项公式如下，其前n 项和为n S . (1) 21(31)n a n =-，求证：1336n S <；(2) 121n n a =-，求证：53n S <；(3) 11(21)(21)n n n a +=--，求证：1942n S <.(4)（2008陕西）22．已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：2121n n a a a n +++>+．。

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

高中数学放缩法教案人教版

高中数学放缩法教案人教版课题：数学放缩法教材：人教版高中数学教材教学目标：学生能够掌握数学放缩法的基本原理、方法和应用技巧，能够灵活运用放缩法解决实际问题。

教学重点：数学放缩法的基本原理和方法教学难点：如何灵活运用数学放缩法解决实际问题教学准备：黑板、彩色粉笔、教案、教材教学过程：一、导入（5分钟）1.教师引入放缩法的概念和作用，引导学生思考在解决数学问题中如何应用放缩法。

2.通过一个简单的例题，让学生体会放缩法的作用和优势。

二、讲解放缩法的原理和方法（15分钟）1.教师向学生介绍数学放缩法的基本原理和方法，包括放大和缩小的概念以及如何选择适当的放缩因子。

2.通过几个典型的例题，详细讲解放缩法的具体步骤和注意事项。

三、讨论和练习（20分钟）1.教师布置一些练习题，让学生在小组内进行讨论和解答，提高学生对放缩法的理解和运用能力。

2.教师引导学生分享解题思路和方法，让学生能够相互学习和提高。

四、总结和拓展（10分钟）1.教师总结本节课的重点和难点，帮助学生理清放缩法的要点和应用技巧。

2.教师指导学生思考如何运用放缩法解决更复杂的数学问题，拓展学生的思维和能力。

五、作业布置（5分钟）1.布置作业：完成课后练习册中相关的题目，以巩固和深化对数学放缩法的理解和运用。

2.鼓励学生在课外积极应用数学放缩法，提高解题的速度和准确性。

教学反思：本节课主要围绕数学放缩法展开，通过讲解、练习和讨论等环节，帮助学生掌握放缩法的基本原理和方法，提高解题的能力和效率。

在教学过程中，教师要注重引导学生思考和互动，激发学生的学习兴趣和动力，让学生能够主动思考和解决问题，不断提高学生的数学素养和能力。

《数列中的放缩法》课件

面临的挑战
未来发展放缩法，需要解决的关键问题包括如何提高放缩法的适用性和可靠性，如何克服其局限性，以及如何与其他数学工具或算法更好地结合。此外，如何将放缩法的理论
应用于实际问题的解决也是一大挑战。
放缩法的挑战
在使用放缩法时，需要具备深厚的数学基础和敏锐的观察力，以选择合适的放缩策略。此外，如何掌握好放缩的尺度，避免过度或不足的放缩，也是一大挑战。
放缩法的未来发展
发展方向
随着数学理论和计算机技术的发展，放缩法有望在更多领域得到应用。例如，结合机器学习算法，可以自动寻找最优的放缩策略。此外，随着数学与其他学科的交叉融合，放缩法有望在解决实际问题中发挥更大的作用。
洛必达法则
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，它可以用来计算某些极限。当一个极限的分子和分母都趋于零时，洛必达法则可以用来求极限。
在数列中，洛必达法则可以用来研究数列的收敛性和发散性。通过应用洛必达法则，我们可以对数列的项进行放缩，从而证明一些数学命题。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它说明了一个函数在两个点之间的值与这两点之间某点的导数之间的关系。
解决导数问题
总结词
在解决与导数相关的问题时，放缩法可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
VS
详细描述
在导数问题中，放缩法可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。通过放缩法，可以将函数的导数进行放大或缩小，从而更好地理解函数的增减性、极值点等性质。此外，放缩法还可以用于解决一些与导数相关的不等式问题，例如证明函数的导数满足某种不等式关系。
泰勒级数展开
泰勒级数展开是数学分析中的一个重要概念，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式。通过泰勒级数展开，我们可以更好地理解函数的性质和行为。

初中数学放缩问题教案

初中数学放缩问题教案教案标题：初中数学放缩问题教案教学目标：1. 理解放缩问题的概念和基本原理。

2. 掌握放缩问题的解题方法和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 理解放缩问题的概念和基本原理。

2. 掌握放缩问题的解题方法和技巧。

教学难点：1. 运用放缩问题的解题方法和技巧解决实际问题。

2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、放缩问题的练习题、实物或图片等教具。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等学习工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入放缩问题：通过展示一张图片或实物，向学生提出一个放缩问题，引起学生的兴趣和思考。

2. 学生回答问题：鼓励学生积极参与，提出自己的想法和解决方法。

二、概念讲解与示例分析（10分钟）1. 讲解放缩问题的定义和基本原理：解释放缩的概念，以及放缩问题的基本原理和特点。

2. 分析示例问题：通过一个或多个示例问题，详细分析放缩问题的解题思路和步骤。

三、解题方法与技巧讲解（15分钟）1. 介绍常见的放缩问题解题方法：如倍数放缩法、比例放缩法等。

2. 分析解题技巧：讲解解题时常用的技巧，如找规律、化简问题等。

四、练习与讨论（20分钟）1. 给学生分发放缩问题的练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流和讨论解题思路和方法。

3. 教师巡回指导和解答学生的疑问。

五、拓展应用（10分钟）1. 提出一个拓展应用问题，要求学生运用放缩问题的方法解决。

2. 学生独立思考和解答问题，教师引导学生总结解题思路和方法。

六、小结与反思（5分钟）1. 总结放缩问题的基本概念、解题方法和技巧。

2. 学生回答问题：请学生回答一些小结性问题，检查学生对教学内容的掌握情况。

3. 反思教学过程：教师和学生共同反思本节课的教学过程，提出改进意见。

教学延伸：1. 布置放缩问题的作业，要求学生进一步巩固和应用所学知识。

2. 鼓励学生在日常生活中发现和解决放缩问题，培养实际应用能力。

高中数学放缩讲解教案设计

高中数学放缩讲解教案设计
教案名称：放缩讲解
教学目标：
1. 了解放缩理论的基本概念和原理；
2. 掌握利用放缩方法解决实际问题的技巧；
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学重点：
1. 放缩理论的基本概念和原理；
2. 放缩方法在解决实际问题中的应用。

教学难点：
1. 如何灵活运用放缩方法解决问题。

教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等；
3. 教学素材：放缩理论的例题。

教学过程：
一、引入（5分钟）
1. 通过一个生活中的实际问题引入放缩理论的概念，并探讨问题的解决方法。

二、讲解放缩理论（15分钟）
1. 简单介绍放缩理论的定义和基本原理；
2. 讲解放缩方法在解决实际问题中的应用。

三、示范演练（20分钟）
1. 教师通过几个不同难度的例题演示放缩方法的应用；
2. 学生跟随教师一起进行练习，掌握放缩方法的基本步骤。

四、练习题讲解（15分钟）
1. 教师对学生提供的练习题进行讲解，并解析解题思路；
2. 学生可在解题过程中向教师提问，加深对放缩方法的理解。

五、课堂小结（5分钟）
1. 对本节课所学内容进行总结，并强调放缩方法的重要性；
2. 鼓励学生在日常学习中多运用放缩方法解决问题。

教学反思：
1. 本节课是否让学生充分理解放缩理论的基本原理和方法；
2. 学生在练习中是否能够熟练运用放缩方法解决问题；
3. 下节课如何进一步拓展学生的应用能力和思维深度。

高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案

高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案本文题目：高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求的值; (2)求证: .解析:(1)因为 ,所以(2)因为 ,所以技巧积累:(1) (2)(3)例2.(1)求证:(2)求证: (3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为 ,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先 ,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析: 一方面: 因为 ,所以另一方面:当时, ,当时, ,当时, ,所以综上有例4.(____年全国一卷)设函数 .数列满足 . . 设，整数 .证明: .解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列,故若存在正整数 , 使 , 则 ,若 ,则由知 , ,因为 ,于是例5.已知 ,求证: .解析:首先可以证明:所以要证只要证:故只要证 ,即等价于 ,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知 , ,求证: .解析:所以从而例7.已知 , ,求证:证明: ,因为 ,所以所以二、函数放缩例8.求证： .解析:先构造函数有 ,从而cause所以例9.求证:(1)解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,首先: ,从而,取有, ,所以有 , ,, , ,相加后可以得到:另一方面 ,从而有取有, ,所以有 ,所以综上有例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式: (加强命题)例13.证明:解析:构造函数 ,求导,可以得到:,令有 ,令有 ,所以 ,所以 ,令有,所以 ,所以例14. 已知证明 .解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。

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数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<nB 2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<； (2)<⋅⋅⋅+ ②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明： n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,…. 高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图）求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。

2.（06福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k-=L ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.（07湖北）已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时， (1)1m x mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =L ，，，；（III ）求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+L的所有正整数n ．5. （08辽宁）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++L .数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<nB2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,….高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图）求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。