二次函数幂函数课件.ppt

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4．函数 y＝x 的图像是
()
解析 显然 f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 0＜x ＜1 时，x ＞x；当 x＞1 时，x ＜x，知只有 B 选项符合． 答案 B
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5．已知幂函数 y＝f(x)的图像过点2， 22，则此函数的解析式为 ________；在区间________上递减．
a－2，a＜1， 综上所述，f(x)min＝－1a，a≥1.
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规律方法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴 定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的 关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称 轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主 要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．
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规律方法 (1)识别二次函数的图像主要从开口方向、对称轴、 特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)而用数形结合法解决 与二次函数图像有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图像 的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样 在解题时才不易出错．
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在 x∈－2ba，＋∞上 单调递减
对称性
函数的图象关于 x＝－2ba对称
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2. 幂函数 (1)幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这 样的函数称为幂函数． (2)常见的5种幂函数的图像
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(3)常见的5种幂函数的性质
H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝ ( )
A．a2－2a－16
B．a2＋2a－16
C．－16
D．16
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解析 (1)由 A，C，D 知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知 A，C 错误，D 符合要求． 由 B 知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，B 错误．
a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两 种情况． 2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第 四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶 性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂 函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.
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(1,1)
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诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)幂函数的图像都经过点(1,1)和(0,0)．( × )
(2)幂函数的图像不经过第四象限．( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是
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【训练2】 若将例2中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应 如何求解？ 解 ∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为 x＝a. ①当 a＜0 时，f(x)在[0,1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝0. ②当 0≤a≤1 时，f(x)min＝f(a)＝－a2. ③当 a＞1 时，f(x)在[0,1]上是减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝1－2a，
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∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a. 当1a＞1，即 0＜a＜1 时，f(x)＝ax2－2x 的图像的对称轴在[0,1]的右 侧， ∴f(x)在[0,1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
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③当 a＜0 时，f(x)＝ax2－2x 的图像的开口方向向下，且对称轴 x ＝1a＜0，在 y 轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
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【训练 3】 (1)已知幂函数 f(x)＝(t2－t＋1)·x
(t∈N)是偶函数，
则实数 t 的值为( )
A．0
B．－1 或 1
C．1
D．0 或 1
(2)(2014·潍坊模拟)当 0＜x＜1 时，函数 f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，
h(x)＝x－2 的大小关系是________．
答案 B
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考点二 二次函数在给定区间上的最值问题 【例2】 已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
深度思考 本题是对称轴动而区间不动，你应该考虑对称轴 x＝1a与区间[0,1]的位置关系，结合图形分析确定分类讨论的 标准
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解 ①当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. ②当 a＞0 时，f(x)＝ax2－2x 的图像的开口方向向上，且对称轴为 x＝1a. 当1a≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 的图像的对称轴在[0,1]内，∴ f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增．
0，a＜0， 综上所述，f(x)min＝－a2，0≤a≤1，
1－2a，a＞1.
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考点三 幂函数的图像和性质 【例 3】 (1)(2014·宜春质检)已知点 33， 3在幂函数 f(x)的图像
上，则 f(x)是 A．奇函数
() B．偶函数
C．定义域内的减函数
的函数叫作二次函数．
(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
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(3)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象
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(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝ －x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即x2－2ax＋a2－4＝0， 解得x＝a＋2或x＝a－2. f(x)与g(x)的图像如图． 由图像及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)， H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2) ＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16. 答案 (1)D (2)C
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解析 (1)因为函数为幂函数，所以 t2－t＋1＝1，即 t2－t＝0，所 以 t＝0 或 t＝1.当 t＝0 时，函数为 f(x)＝x 为奇函数，不满足条件．当 t＝1 时，f(x)＝x85为偶函数，所以 t＝1. (2)如图所示为函数 f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像，由此可知， h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案 y＝x (0，＋∞)
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考点一 二次函数的图像及应用 【例1】 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是
()
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(2)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋
8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q} 表 示 p ， q 中 的 较 大 值 ， min{p ， q} 表 示 p ， q 中 的 较 小 值 ) ． 记
答案 (1)A (2)0.9 ＜1＜1.1
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规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形 式．(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．(3) 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性 质是解题的关键．
D．定义域内的增函数
(2)1.1 ，0.9 ，1 的大小关系为________．
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解析 (1)设 f(x)＝xα，由已知得 33α＝ 3，解得 α＝－1，因此 f(x) ＝x－1，易知该函数为奇函数． (2)把 1 看作 1 ，幂函数 y＝x 在(0，＋∞)上是增函数． ∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9 ＜1 ＜1.1 . 即 0.9 ＜1＜1.1 .
答案 (1)C (2)h(x)＞g(x)＞f(x)
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[思想方法] 1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数 的图像数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位 置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次 函数的图像和性质求解．
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2．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特征 α＞ 0 时 ， 图像过 原 点和 (1,1) 点， 在 第 一象限 的 部分 “上 升”；α＜0时，图像不过原点，经过(1,1)点在第一象限的部 分“下降”，反之也成立．
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[易错防范] 1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足
函数
特征
y＝x
性质
定义域 R
y＝x2 R