一元二次方程的应用1

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专题02 一元二次方程的应用(1)

专题02 一元二次方程的应用例1．灵山大佛2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，在景区内，一家素食面馆，希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，一碗面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低2元，则平均每天多销售60碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护景区形象，物价部门规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？例2．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．（1）饲养场另一边BC＝米（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．例3．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．①如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？②如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？1．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（）A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm2．如图，若将正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设1a=，则b等于（）A B C D13．有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给（）A．9个人B．10个人C．11个人D．12个人4．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（）A．6B．8C．10D．125．如图，反比例函数kyx=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A B C D6．为提高学生足球水平，某市将开展足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参赛？7．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，则小路的宽度为．8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→Dcm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝秒时，S1＝2S2．9．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是．10．如图，A、B为反比例函数kyx（x＞0）图象上的两点，A、B两点坐标分别为（m，5﹣m）、（n，5﹣n）（m＜n），连接AB并延长交x轴于点C．若B为AC的中点，则k的值为．11．为鼓励市民节约用电，金老师所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这户居民这个月只需交15元的基础电费；如果超过了a度，则这个月除了仍要交15元的基础电费外，超过的部分还要按每度100a 元收费．已知金老师家1月份用电45度，交电费15元；2月份用电80度，交电费30元．求a 的值．12．商人金岳在敔山湾学校做微商销售某商品，该商品的进价为每件40元，为更好决策，金老板用计算机模拟销售，发现：如果售价为每件50元，每周可卖出100件；如果售价超过50元但不超过61元，每件商品的售价每上涨1元，则每周少卖2件；如果售价超过61元后，每涨1元，则每周少卖3件，直至销售量为0．设每件商品的售价为x 元（x ≥50且x 为整数），每周的销售量为y 件．（1）当售价为61元时，销售量为件；当售价为元时，销售量为0；（2）求y 与x 的函数关系式；（3）金老板欲每周获得的销售利润为1656元，商品的售价应定为多少？13．金氏集团旗下名思广告公司承接一批宣传画板，形状均为矩形，长、宽之比为1：0.6，且矩形长在10～30dm 之间．每张画板的成本价u （单位：元）与它的面积s （单位：dm 2）成正比例，每张画板的价格y（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的长（x）成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．画板的长（x）（dm）1020价格（y）（元/张）9001000（1）求一张画板的价格y与矩形的长x之间满足的函数关系式；（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为875元，若广告公司出售一张画板欲获取900元的利润，则需将画板的长设计为多少dm？（利润＝出售价﹣成本价）14．如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）在第6个图中，黑色瓷砖有块，白色瓷砖有块；（2）金老板新买的商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．且该商铺按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算总费用为15180元．请问两种瓷砖各需要买多少块？15．如图，正方形ABCD的边长为10cm，点P从A开始沿折线A→D→C以2cm/s的速度移动，点Q从D 开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，△PQB为直角三角形；（2）t为何值时，△PQB面积为正方形ABCD面积的14？。

一元二次方程的应用(优秀5篇)

一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。

教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。

3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。

事实上初中代数研究的主要对象是方程。

这部分内容从初一一直贯穿到初三。

到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。

如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。

(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

一元二次方程的应用

比赛和赠送问题：
参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少队参加比赛？
解：设有x个队，那么每个队要跟其余的x-1个队进行比赛，但是A对B和B对A只能算做一场比赛因此要除以2
( x 1) x 2
答：总共有10个队。
=45 x=10
浓度问题：
一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有 5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？
某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多
0.4m. （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？
解:设渠深的长度为 x m
则上口的长度为（x+2）m, 渠底长度为（x+0.4）m (1) 即（x+2+xx2++01..42）x-*1x.6*12=0=1.6
1、某超市进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500 件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的定价为每件多少元？
解：商品的定价在售价上上涨了x元则每件的利润为：（50+x-40）=（10+x）(元) 每天卖出的件数为：(500-10x)件
n*(n+1)=210 n2+n-210=0
(n-14)(n+15)=0 n=14或n=-15(舍)
所以：这两个连续的整数为14、15.
2、有一个两位数，它们的十位数与个位数字之和为8，
如果把十位数与个位数字调换后，所得的两位数乘以

八年级数学一元二次方程的应用(1)

如图所示，用一块长80cm，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长
解：设截去的小正方形的边长xcm.
则长和宽分别为(80－2x)cm、 (60－2x)cm
(80－2x)(60－2x)＝1500
得x1＝55，x2＝15
检验：当x1＝55时长为80－2x＝-30cm 宽为60－2x＝-50cm．
想想，这符合题意吗？不符合．舍去．
当x2＝15时长为80－2x＝50cm 宽为60－2x＝30cm．
符合题意
所以只能取x＝15．
答：截取的小正方形的边长是15cm
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
练习：一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？
①审题， ②找等量关系 ③列方程， ④解方程， ⑤答。
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能

一元二次方程的综合应用

一元二次方程的综合应用一元二次方程是数学中常见的方程形式，可以用来描述许多实际问题。

通过求解一元二次方程，我们可以解决一系列与面积、运动、优化等相关的应用问题。

在本文中，我们将探讨一元二次方程在实际问题中的综合应用。

一、面积应用1. 矩形的面积假设矩形的长为x+3，宽为x-2，则矩形的面积为：A = (x+3)(x-2)= x^2 + x - 6通过将面积表达式展开，我们得到一个一元二次方程。

可以通过求解该方程，求得矩形的长和宽。

2. 圆的面积圆的面积公式为A=πr^2，其中r为半径。

假设圆的面积为16π，我们可以建立以下一元二次方程：πr^2 = 16π通过化简方程，我们得到r^2=16。

进一步求解，可得半径r=±4。

注意到半径不能为负数，因此圆的半径为4。

二、运动应用1. 自由落体运动根据物理学的自由落体运动公式，下落物体的位置可以用一元二次方程来描述。

假设物体从高度为h的地方自由落下，则距离地面的高度与时间t的关系可以表示为：h = -16t^2 + vt + c其中，-16t^2表示加速度的作用，vt表示速度的增加，c为起始位置。

通过解一元二次方程，我们可以求得物体的下落轨迹和其他相关信息，如落地时间、最大高度等。

2. 弹射运动类似地，弹射物的运动也可以通过一元二次方程来描述。

假设一个弹射物在离地面h1的高度弹射，在离地面h2的高度着陆。

弹射物的运动轨迹可以表示为：h = -16t^2 + vt + c通过求解一元二次方程，在给定起始和结束高度的情况下，我们可以求得弹射物的弹射速度v和其他相关信息，如时间、最大高度等。

三、优化应用1. 箱子的最优设计假设我们要制作一个底面积固定的长方形盒子，我们需要优化盒子的高度，使得盒子的体积最大。

设盒子的底长为x，宽为y，高为h。

根据体积的计算公式V = lwh，我们可以得到盒子的体积表达式：V = x·y·h由于底面积固定，即xy = A，其中A为常数。

一元二次方程实际应用

一元二次方程实际应用一元二次方程实际应用方程的定义和形式•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中 a、b、c 是常数，且a≠0。

•一元二次方程可以表示为一条抛物线的方程，解是抛物线与 x 轴交点的 x 坐标。

•一元二次方程的解可以有 0 个、1 个或 2 个。

有 2 个解时，。

可以表示为解为：x=−b±√b2−4ac2a实际应用场景1.物体自由落体问题–当一个物体自由落体时，它的高度与时间之间的关系可以通过一元二次方程来表示。

–假设物体从初始高度 h0 自由落下，则物体在 t 秒的高度gt2，其中 g 是重力加速度。

可以表示为：ℎ(t)=ℎ0−12–如果要求物体何时着地，即求解 h(t)=0 的解，可以得到落地时间的解。

2.炮弹抛射问题–当一个炮弹从地面射出时，炮弹的飞行轨迹可以通过一元二次方程来表示。

–假设炮弹以角度θ 和初速度 v0 抛射，则炮弹的飞行轨迹可以表示为：y=xtanθ−gx 22v02cos2θ，其中 x 是水平方向的位移，y 是垂直方向的位移，g 是重力加速度。

–如果要求炮弹的最大高度，即求解导数为 0 的点，可以得到最大高度的解。

3.面积问题–一些形状的面积可以通过一元二次方程来表示。

–例如，一个矩形的面积可以表示为A=x(2a−x)，其中a 是矩形的一条边的长度，x 是矩形的宽度。

–如果要求矩形的最大面积，即求解导数为 0 的点，可以得到最大面积的解。

4.投资问题–在某些投资问题中，一元二次方程可以用来模拟投资收益的走势。

–假设投资额为 P，年利率为 r，投资期限为 t 年，则投资收益可以表示为A=P(1+r)t。

–如果要求投资收益达到某一特定值 A0，即求解 A=P0 的解，可以得到所需的投资额。

结论一元二次方程在实际生活和工作中有广泛的应用，从物理问题到经济问题，都可以运用它来建立模型、解决实际问题。

通过理解和掌握一元二次方程的概念和解的方法，可以提高解决实际问题的能力。

一元二次方程的解法及实际应用

一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。

本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。

二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。

其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。

2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。

求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。

三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。

例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。

2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。

例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。

3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。

例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。

4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。

四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。

掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。

第05讲一元二次方程应用(一)(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第5讲一元二次方程应用（一）1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题知识点 1：变化率问题设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b ；增长率（下降率）为 x ，第一次增长（或下降）后为)1(a x ±⨯ ；第二次增长（或下降）后为 ()x a ±1²．可列方程为 ()x a ±1²=b 。

知识点2 ：传染、分裂问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人：知识点3：握手、比赛问题握手问题：n 个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握()21-n n 次手。

赠卡问题：n 个人相互之间送卡片，总共要送)1n (n -张卡片。

【题型 1变化率问题】【典例1】（2022秋•桂平市期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2019年图书借阅总量是7500本，2021年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2019年至2021年的年平均增长率；（2）已知2021年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2022年达到1440人．如果2021年至2022年图书借阅总量的增长率不低于2019年至2021年的年平均增长率，那么2022年的人均借阅量比2021年增长a%，求a的值至少是多少？【变式1-1】（2022秋•大连期末）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9月份该公众号关注人数为5000人，11月份该公众号关注人数达到7200人，若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【变式1-2】（2023春•华龙区校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？【变式1-3】（2023•黄山一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计2020年我国数字阅读用户规模达4.94亿人，2022年约为5.9774亿人．（1）求2020年到2022年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；（2）按照这个增长率，预计2023年我国数字阅读用户规模能否达到6.5亿人．【典例2】（2022秋•西峡县期中）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1000（1+x）×2＝1440B．1000（1+x）2＝1440C．1000（1+x2）＝1440D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期末）某化肥厂第一季度生产化肥50万吨，第二、第三季度平均增产的百分率是x，则二、三季度的总产量为（）万吨A．50（1+x）2B．[50+50（1+x）]C．[50（1+x）2+50（1+x）]D．[50+50（1+x）+50（1+x）2]【变式2-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（）A．4000（1+x）2=15000 B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000 D．4000+4000（1+x）2=15000【变式2-3】（2023•温江区校级模拟）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．2（1+x）＝6.62B．2（1+x）2＝6.62C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【题型2 传染、分裂问题】【典例3】（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【变式3-1】（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64【变式3-2】（2022秋•淮南月考）新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？【变式3-3】（2023•潮南区模拟）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【典例4】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【变式4-1】（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5【变式4-2】（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个【变式4-3】（2022秋•莆田期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【题型3 握手、比赛问题】【典例5】（2022秋•安定区期中）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，求共有多少个队参加比赛？【变式5-1】（2023春•滨江区校级期中）一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝15B．x（x+1）＝15C．D．【变式5-2】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（）A．8支B．9支C．10支D．11支【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）．（1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【典例6】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（）A．9人B．10人C．12人D．15人【变式6-1】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【变式6-2】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为．【变式6-3】为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个班．1．（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程正确的是（）A．250(1+x)2=900B．250(1+x%)2=900C．250(1+x)+250(1+x)2=900D．250+250(1+x)+250(1+x)2=9002．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝503．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．94．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.95．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．6．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？7．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？8.（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．9.（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同．（1）求进馆人次的日平均增长率；（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．10．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？1．（2021·乌鲁木齐期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．2.（2021秋•新市区校级期中）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝643.（2022·杭州开学考）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x(x−1)=45B．12x(x+1)=45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝454．（2021·朝阳期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（）A．12x(x−1)=10B．x(x−1)=10x(x+1)=10D．2x(x−1)=10 C．125．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人B．10人C．11人D．12人6.（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为．7．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参赛的每两个人之间都要比赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共有多少学生参加了冬运会乒乓球赛？7．（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？8．（2021·南浔期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问题：（1）求前三天生产量的日平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天.①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.9．（2021·余姚竞赛）随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩7200盒，若每天增长的百分率相同．（1）求每天增长的百分率.（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？10.（2021•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？。

一元二次方程的运用

一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。

通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。

2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。

例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。

3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。

例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。

4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。

通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。

5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。

通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。

一元二次方程的实际应用与解法

一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。

本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。

一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。

以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。

例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。

2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。

通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。

例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。

3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。

例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。

此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。

二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。

2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。

根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。

其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。

一元二次方程的应用

一元二次方程的应用
一元二次方程是代数学中常见且重要的内容，具有广泛的应用领域。

本文将从数学、物理和经济等方面介绍一元二次方程的应用。

一、数学应用
1. 解析几何：一元二次方程可以用于描述平面上的曲线，如抛物线。

通过求解方程，可以确定曲线的顶点、焦点等重要特征，进而进行几
何分析和解题。

2. 最值问题：一元二次方程可以用于求解最值问题，如求解抛物线
的最大值或最小值。

这种问题在最优化、经济学和物理学等领域中具
有很高的实际意义。

二、物理应用
1. 自由落体运动：当物体做自由落体运动时，其运动轨迹符合一元
二次方程。

通过求解方程，可以确定物体的运动速度、位移等重要参数，进而进行物理分析和解题。

2. 抛体运动：抛体运动也是一种常见的物体运动形式，其轨迹也是
抛物线。

一元二次方程可以用来描述抛体运动的高度、时间、速度等
相关问题。

三、经济应用
1. 成本和收益分析：在经济学中，一元二次方程可以用来建立成本和收益之间的关系。

通过求解方程，可以确定最佳利润点或成本控制的策略，对经济决策提供参考依据。

2. 市场需求预测：一元二次方程还可以用来进行市场需求的预测和分析。

通过建立需求函数，求解方程可以推测出市场规模、价格敏感度等相关指标，为企业决策提供参考依据。

综上所述，一元二次方程在数学、物理和经济等多个领域中具有广泛的应用。

通过求解方程，可以解决和分析与抛物线相关的问题，为相关学科的研究和实际应用提供支持。

对于学习者而言，掌握一元二次方程的应用，将有助于提高问题分析和解决能力，培养综合思考和创新能力。

一元二次方程的实际应用题

一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。

4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

一元二次方程实际运用

以下是一些一元二次方程在实际生活中的一些运用例子：
1. 商业: 在商业中，企业经常使用一元二次方程来预测销量、销售额或收入等指标。

2. 医疗: 在医疗领域，一元二次方程可用于预测疾病的发展趋势。

3. 工程: 工程师在设计桥梁、隧道和其他建筑结构时常常使用一元二次方程式来确定最优设计方案。

4. 科学研究: 一元二次方程在科学研究中广泛应用，包括物理学、生物学、经济学等多个学科。

5. 土壤科学: 一元二次方程可以用来模拟土壤侵蚀过程，帮助科学家预测和防止土地流失。

总之，一元二次方程在许多方面都发挥着重要作用，可以说是我们日常生活中不可或缺的一部分。

九年级数学一元二次方程的应用

九年级数学一元二次方程的应用一、引言数学作为一门基础学科，一直以来都是人们学习的重点和难点。

其中，一元二次方程作为数学中的一种重要内容，更是被广泛应用于生活中的各个领域。

本文将结合数学知识和实际案例，探讨一元二次方程在各个领域中的应用。

二、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数且a≠0。

解一元二次方程可以通过配方法、公式法等多种方法进行求解。

而一元二次方程的根可以通过判别式Δ=b²-4ac的符号来判断方程有一个实根、两个实根或者无实根。

三、一元二次方程在日常生活中的应用1.物体自由落体运动物体自由落体运动的位移s与时间t之间的关系可以用一元二次方程来表示，即s=gt²/2，其中g为重力加速度。

通过一元二次方程的求解，可以计算出物体自由落体运动的最大高度、最大速度等重要参数。

2.抛物线的建筑在建筑学中，抛物线形状的拱形结构被广泛应用。

而抛物线就是一元二次方程的图像，因此在设计拱形结构时，需要利用一元二次方程来计算出拱形结构的高度、宽度等重要尺寸参数。

3.金融领域中的应用在金融领域中，一元二次方程也被广泛应用。

例如，通过一元二次方程可以计算出一笔投资的未来价值、资金的回报率等关键指标。

同时，一元二次方程也可以用于研究货币的通胀率、利率等关键宏观经济指标。

4.自然界中的应用在自然界中，一元二次方程也有着广泛的应用。

例如，植物的生长、动物的繁殖等现象都可以通过一元二次方程来描述和分析。

通过一元二次方程的求解，可以得到一些重要的生物学参数，如生长速率、繁殖率等。

四、案例分析1.汽车刹车距离的计算假设一辆汽车以初始速度v0匀速行驶，当刹车后的减速度为a时，汽车的刹车距离可以用一元二次方程来描述。

刹车距离s与刹车时间t 之间的关系可以表示为s=v0t+1/2at²。

通过求解一元二次方程，可以计算出汽车的刹车距离，并根据计算结果来制定行车安全规范。

一元二次方程的应用题

一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

解设这两个月的平均增长率是x。

，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。

答这两个月的平均增长率是10%。

说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。

对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。

二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。

答需要进货100件，每件商品应定价25元。

说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。

三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。

（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。

一元二次方程的应用(1)

教案教学内容一元二次方程——一元二次方程的应用（一）一、学习目标：1．会列出一元二次方程解应用题；2.学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；3.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、知识回顾：1．解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）验：检验方程的解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）．三、新知讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：认真审题，分析题意，弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系；（2）设：设未知数，用一个字母来表示题目中的未知量，有直接设未知数和间接设未知数两种方法；（3）列：根据题目中的数量关系列出一元二次方程；（4）解：指解方程，即求出所列方程的解；（5）验：必须检验求出的每个节是否符合题意，不符合题意的应舍去；（6）答：书写答案，注意题目中的单位．注意：（1）设未知数时，必须写清单位，用对单位；（2）列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位；（3）一定要检验根是否符合实际意义。

2．列一元二次方程解应用题的常见题型传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、数字问题、营销问题、利息问题等．（1）传播问题：传播问题要抓住两点：一是传播源；二是传播速度。

若传播源是a，传播速度是x，则一轮传染后，被传染的总数是a+ax；二轮传染的传染源是a+ax，传染速度是x，被传染总数为a+ax+x(a+ax)，即a（1+x）2；注意：每轮的传染源数量改变，传染速度不变。

（2）平均增长率问题与平均降低率问题：1、平均增长率是指增长数与基数的比。

一元二次方程的实际应用

一元二次方程的实际应用一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是已知数且a ≠ 0。

这种方程在数学中具有广泛的应用，能够模拟和解决现实世界中许多实际问题。

本文将介绍一些常见的实际应用场景，并讨论如何利用一元二次方程进行求解。

1. 物体自由落体物体在重力作用下自由下落时，其位置与时间之间存在一元二次关系。

根据运动学公式，物体的下落距离S与下落时间t的关系可表示为S = gt^2 / 2，其中g为重力加速度。

将这个关系式改写为标准的一元二次方程形式，可以得到：gt^2 / 2 - S = 0。

通过解这个方程，我们可以计算出物体的下落时间或下落距离。

2. 抛物线轨迹抛体的运动轨迹往往是抛物线形状，而抛物线方程正是一元二次方程的典型形式。

例如，如果我们知道抛体的初始速度v0和抛射角度θ，那么在水平方向上的速度恒定，可以表示为v0 * cosθ。

在竖直方向上，速度随时间的变化受到重力的影响，可以表示为v0 * sinθ - gt。

通过将水平和竖直方向上的速度组合起来，可以推导出抛物线运动的方程。

3. 面积问题一些几何图形的面积计算也可以归结为一元二次方程的求解。

例如，一个长方形的面积S可以表示为S = x(2a - x)，其中x为长方形的宽度，2a为长方形的长度。

通过对方程进行展开，可以得到一个一元二次方程形式，通过求解方程可以获得长方形的最大面积。

4. 电子设备充电时间设备的充电时间通常与电池容量、充电电流和初始电量有关。

假设设备充电的时间为t，电池容量为C，充电电流为I，初始电量为E0。

根据充电定律，充电电量Q与时间的关系可以表示为Q = It。

同时，电池的容量可以表示为C = Q + E0。

将这两个关系组合起来，可以得到一个一元二次方程，通过求解可以计算出设备充电的时间。

在实际应用中，通过一元二次方程解题的过程通常如下：1. 确定问题中涉及的未知量和已知量。

一元二次方程的应用1-教师

一元二次方程根的应用知识精要1、一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）因式分解（3）配方法；（4）公式法；一元二次方程的求根公式是()042422≥--±-=ac b aac b b x2、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆．当0>∆时，•方程有两个不相等的实数根a ac b b x 2421-+-= ，aacb b x 2422---=；当0=∆时，方程有两个相等实数根ab x x 221-==；当0<∆时，方程没有实数根． 3、二次三项式的因式分解：（1）形如c bx ax ++2（a ，b ，c 都不为0）的多项式称为二次三项式。

（2）当042≥-=∆ac b ，先用公式法求出方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根1x 、2x ，再写出分解式()()212x x x x a c bx ax --=++．当042<-=∆ac b ，方程()002≠=++a c bx ax 没有实数根，c bx ax ++2在实数范围内不能分解因式。

4、一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．列一元一次方程解应用题的步骤： ○1审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.精解名题：1、在实数范围内因式分解例1．（1）3242-+x x （2）1262+--x x （3）()()2322+-x x （4）x x 53- （5）242--x x （6）624--x x （1）4x 2+2x －3 =4（x+4131-）（x+4131+） (2)-6 x 2-2x+1 =-6（x+671+）（x+671-）（3）（x 32-）（22+x ）=(x-3)(x+3)(22+x )（4）x 3-5x =x(x-5)(x+5)（5）x 2-4x-2 =(x-2-6)(x-2+6) （6）x 4－x 2－6=(x-3)(x+3)(22+x )2、增长率与降低率问题、利滚利问题解决增长率与降低率问题的公式()b x a n=±1,其中a 是原有量,x 增长（或降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b 为增长（或降低）后的量。

一元二次方程的应用

一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。

它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。

本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。

1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。

设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。

这就是一元二次方程的典型应用之一。

2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。

例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。

通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。

3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。

例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。

通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。

4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。

假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。

根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。

综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。

通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。

因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。

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