2.3其他不等式的解法

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不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。

在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。

一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。

1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。

1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。

1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。

二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。

2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。

三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。

解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。

3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。

3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。

2.3不等式及不等式的解(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.3不等式及不等式的解（教案）
一ห้องสมุดไป่ตู้教学内容
本节课选自教材第二章第三节“不等式及不等式的解”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.不等式的定义：了解不等式的概念，掌握不等式的表示方法，区分不等式的类型（如：严格不等式、非严格不等式）。
2.不等式的性质：探讨不等式的基本性质，如：同加同减、同乘同除等，并学会运用这些性质简化不等式。
3.培养学生的数学运算能力：熟练掌握一元一次不等式及其不等式组的解法，提高运算速度和准确度。
4.培养学生的数据分析素养：通过对不等式问题的探讨，学会收集、整理和分析数据，形成对数据的敏锐洞察力。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决不等式问题的过程中，大胆尝试新方法，勇于突破传统思维，培养创新精神。
-难点二：不等式组中多个不等式的求解和交集的确定。在处理多个不等式组成的不等式组时，学生往往难以确定解集的交集。
-举例：对于不等式组x > 3和x < 5，学生需要理解解集是两个不等式解集的交集，即3 < x < 5。
-难点三：不等式在现实生活中的应用。学生可能难以将抽象的不等式与具体情境联系起来，解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

2.3分式不等式的解法1

2 < x <1 3
方法小结
• 本例提供的两种方法都是先移项，将不等式的一边变为零，另外一边经过通分后转化为形如 f ( x) < 0(或 > 0) 的形式。
g ( x) (x
• 方法一讨论f(x)和g(x)的正负，通过解整式不等式组 f(x) > 0(或 < 0) 求得解集。
g(x) < 0(或 > 0)
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x) ⋅ g ( x) > 0 ⇔ 或 g ( x) g ( x) > 0 g ( x) < 0
3、解含有字母的分式不等式必须分清：、解含有字母的分式不等式必须分清：必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。
其它不等式的解法（其它不等式的解法（一）
——分式不等式的解法分 Solving of Fractional Inequality
分式不等式的定义
• 型如
f ( x) f ( x) > 0或者 <0 g ( x) g ( x)
(其中f(x)、g(x)为整式且g(x) ≠0 ( f(x) g(x) g(x) ≠0）的不等式称为分式不等式（fractional nequality）
( x + 2)(2 x + 1) ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 ≠ 0
所以原不等式的解集为: 所以原不等式的解集为
1 { x | x > − 或 x ≤ − 2} 2
练习：练习：解不等式
1 解：当 2 x + 1 > 0，即 x > − 时 2 原不等式可化为 x −1 ≤ 2x +1 1 则 x ≥ −2 ∴x > − 2 此时，此时， 1 当 2 x + 1 < 0，即与X>-1/2 时 x x>-1/2与 x>-1/2与 X≥-2与 < − 2 x≤x≤-2是什是什么关系呢？是什么关系呢？么关系呢？原不等式可化为 x − 1 ≥ 2 x + 1么关系呢？

分式不等式和绝对值不等式

§2.3其它不等式的解法（1）---分式不等式的解法学习要求：1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.学习重难点简单的分式不等式的解法. 不等式的同解变形.课前预习1.分式不等式的概念_________________________________________________________2、分式不等式的解法一般地，分式不等式分为两类：（1）()()0f x g x >（0<）⇔()()0f x g x >（0<）；（2）()()0f x g x ≥（0≤）⇔()()()()000f xg x g x ≥≤⎧⎪⎨≠⎪⎩. 课堂互动：例1 解不等式：1232x x +>-. 解法一：（化分式不等式为一元一次不等式组）解法二：（利用两数的商与积同号（00a ab b >⇔>，00a ab b <⇔<）化为一元二次不等式）例2 解下列不等式（1）105x x -+>-. （2）2335x≥-. （3）28223x x x +<++.（两种解法）例3 当m 为何值时，关于x 的不等式()()132m x x -=+的解是（1）正数？（2）是负数？归纳总结分式不等式的求解通法：（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解. 学后反思作业：练习册第18页1、2、3题§2.3其它不等式的（2）---绝对值不等式的解法学习要求：1、掌握简单的绝对值不等式的解法.2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释。

3、体会化归、等价转换的数学思想方法.学习重难点简单的绝对值不等式的解法. 不等式的同解变形.课前预习（1）实数绝对值定义________________几何意义______________________________.（2）绝对值的性质1.任意x R ∈，0x ≥，等号成立⇔0x =.2.任意x R ∈x =⇔22x x =. 3.任意x 、y R ∈，x x x x x ±≤⇔-≤±≤.xy x y =⋅，x x y y=（0y ≠）. 含绝对值的不等式的解法（1）x a >（0>a ）的解集____________________________________________________. 数轴上表示（2）a x <（0>a ）的解集____________________________________________________. 数轴上表示想一想：a x b <<（0a b <<）上的解集.课堂互动例1 解下列不等式（1）235x -<.（2）1223x <-.（3）2325x <-<.例2 解下列不等式（1）11x x x x>++. （2）234x x ->. （3）2560x x -+>. （4）2312x x ->+. 议一议：解不等式：125x x ++->.归纳总结绝对值的不等式的解法（1）x a >（0>a ）的解集____________________________________________________. 数轴上表示（2）a x <（0>a ）的解集____________________________________________________. 数轴上表示学后反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________作业：练习册第18页4、5、6以及第19页1、2、3题（英文版）Two regulations promulgated for implementation is in the party in power for a long time and the rule of law conditions, the implementation of comprehensive strictly strategic plan, implementation in accordance with the rules and discipline to manage the party, strengthen inner-party supervision of major initiatives. The two regulations supporting each other, the < code > adhere to a positive advocate, focusing on morality is of Party members and Party leading cadres can see, enough to get a high standard; < rule > around the party discipline, disciplinary ruler requirements, listed as "negative list, focusing on vertical gauge, draw the party organizations and Party members do not touch the" bottom line ". Here, the main from four square face two party rules of interpretation: the first part introduces two party Revised regulations the necessity and the revision process; the second part is the interpretation of the two fundamental principles of the revision of laws and regulations in the party; the third part introduces two party regulations modified the main changes and needs to grasp several key problems; the fourth part on how to grasp the implementation of the two regulations of the party. < code > and < Regulations > revised the necessity and revised history of the CPC Central Committee the amendment to the Chinese CommunistParty members and leading cadres honest politics several guidelines > and < Chinese Communist Party discipline and Punishment Regulations > column 1 by 2015 to strengthen party laws and regulations focus. Two party regulations revision work lasted a Years, pooling the wisdom of the whole party, ideological consensus, draw historical experience, respect for the wisdom of our predecessors, which reflects the unity of inheritance and innovation; follow the correct direction, grasp the limited goals, adhere to the party's leadership, to solve the masses of the people reflect a focus on the problem. The new revision of the < code > and < rule >, reflects the party's 18 and the eighth session of the third, the spirit of the fourth plenary session, reflecting the experience of studying and implementing the General Secretary Xi Jinping series of important speech, reflects the party's eighteen years comprehensive strictly practice. (a) revised two regulations of the party need of < the ICAC guidelines > in < in 1997 Leaders as members of the Communist Party of China clean politics certain criteria (Trial) > based on revised, the promulgation and implementation of January 2010, to strengthen the construction of the contingent of leading cadres play an important role. But with the party to manage the party strictly administering the deepening, has not been able to fully meet the actual needs. Content is toocomplicated, "eight prohibition, 52 are not allowed to" hard to remember, and also difficult to put into practice; the second is concisely positive advocated by the lack of prohibited provisions excessive, no autonomy requirements; the third is banned terms and discipline law, both with the party discipline, disciplinary regulations repeat and Criminal law and other laws and regulations repeat; the fourth is to "clean" the theme is not prominent, not for the existing problems, and is narrow, only needle of county-level leading cadres above. < rule > is in 1997 < Chinese Communist Party disciplinary cases (Trial) > based on revision, in December 2003 the promulgation and implementation, to strengthen the construction of the party play very important role. Along with the development of the situation, which many provisions have been unable to fully meet the comprehensive strictly administering the practice needs. One is Ji law, more than half of the provisions and criminal law and other countries laws and regulations Repetition; two is the political discipline regulations is not prominent, not specific, for violation of the party constitution, damage the authority of Party Constitution of misconduct lack necessary and serious responsibility to pursue; third is the main discipline for the leading cadres, does not cover all Party members. Based on the above situation, need to < the criterion of a clean and honestadministration > and < rule > the two is likely to be more relevant regulations first amendment. By revising, really put the authority of Party discipline, the seriousness in the party tree and call up the majority of Party members and cadres of the party constitution of party compasses party consciousness. (II) two party regulations revision process the Central Committee of the Communist Party of China attaches great importance to two regulations revision . Xi Jinping, general books recorded in the Fifth Plenary Session of the eighth session of the Central Commission for Discipline Inspection, on the revised regulations < > made clear instructions. According to the central deployment, the Central Commission for Discipline Inspection from 2014 under six months begin study two regulations revision. The Standing Committee of the Central Commission for Discipline Inspection 4 review revised. Comrade Wang Qishan 14 times held a special meeting to study two regulations revision, amendment clarifies the direction, major issues of principle, path and target, respectively held a forum will listen to part of the province (area) secretary of the Party committee, Secretary of the Discipline Inspection Commission, part of the central ministries and state organs DepartmentThe first party committee is mainly responsible for people, views of experts and scholars and grassroots party organizations andParty members. Approved by the Central Committee of the Communist Party of China, on 7 September 2015, the general office of the Central Committee of the Party issued a notice to solicit the provinces (autonomous regions, municipalities) Party, the central ministries and commissions, state ministries and commissions of the Party (party), the General Political Department of the military, every 3 people organization of Party of two regulations revision opinion. Central Commission for Discipline Inspection of extensive solicitation of opinions, careful study, attracting, formed a revised sent reviewers. In October 8 and October 12, Central Committee Political Bureau Standing Committee and the Political Bureau of the Central Committee After consideration of the two regulations revised draft. On October 18, the Central Committee of the Communist Party of China formally issued two regulations. Can say, two laws amendment concentrated the wisdom of the whole party, embodies the party. Second, < code > and < Regulations > revision of the basic principles of two party regulations revision work and implement the party's eighteen, ten eight plenary, the spirit of the Fourth Plenary Session of the Eleventh Central Committee and General Secretary Xi Jinping important instructions on the revised < low political criterion > and < Regulations >, highlighting the ruling partycharacteristics, serious discipline, the discipline quite in front of the law, based on the current, a long-term, advance as a whole, with Bu Xiuding independent < rule > and < rule >. Main principle is: first, adhere to the party constitution to follow. The constitution about discipline and self-discipline required specific, awaken the party constitution of party compasses party consciousness, maintaining the authority of the constitution. General Secretary Xi Jinping pointed out that "no rules, no side round. Party constitution is the fundamental law, the party must follow the general rules. In early 2015 held the eighth session of the Central Commission for Discipline Inspection Fifth Plenary Session of the 16th Central Committee, Xi Jinping again pointed out that constitution is the party must follow the general rules, but also the general rules." the revision of the < code > and < rule > is Method in adhere to the regulations established for the purpose of combining rule of virtue is to adhere to the party constitution as a fundamental to follow, the constitution authority set up, wake up the party constitution and party rules the sense of discipline, the party constitution about discipline and self-discipline specific requirements. 4 second is to adhere to in accordance with the regulations governing the party and the party. The Party of rule of virtue "de", mainly refers to the party's ideals and beliefs, excellent traditional style. The revised the< code > closely linked to the "self-discipline", insisting on the positive initiative, for all members, highlight the "vital few", emphasized self-discipline, focusing on the morality, and the majority of Party members and the ideological and moral standards. The revised < > Ji method separately, Ji, Ji Yan to Method, as a "negative list", emphasizing the heteronomy, focusing on vertical gauge. Is this one high and one low, a positive reaction, the strict party discipline and practice results transformation for the integration of the whole party to observe moral and discipline requirements, for the majority of Party members and cadres provides benchmarking and ruler. Third, insist on to. In view of the problems existing in the party at the present stage, the main problems of Party members and cadres in the aspect of self-discipline and abide by the discipline to make clearly defined, especially the party's eighteen years strict political discipline and political rules, organization and discipline and to implement the central eight provisions of the spirit against the four winds and other requirements into Disciplinary provisions. Not one pace reachs the designated position, focusing on in line with reality, pragmatic and effective. After the revision of major changes, major changes in the < code > and < rule > modified and needs to grasp several key problems (a) < code > < code > adhere to according to regulationsgoverning the party and party with morals in combination, for at the present stage, the leadership of the party members and cadres and Party members in existing main problems of self-discipline, put forward principles, requirements and specifications, showing Communists noble moral pursuit, reflected at all times and in all over the world ethics from high from low 5 common requirements. One is closely linked to the "self-discipline", removal and no direct relation to the provisions of . the second is adhere to a positive advocate, "eight prohibition" 52 are not allowed to "about the content of the" negative list moved into synchronization amendment < cases >. Three is for all the party members, will apply object from the leadership of the party members and cadres to expand to all Party members, fully embodies the comprehensive strictly required. The fourth is prominent key minority, seize the leadership of the party members and cadres is the key, and put forward higher requirements than the ordinary Party members. Five is to simplify, and strive to achieve concise, easy to understand, easy to remember. The revised < code > is the ruling Party since the first insists on a positive advocate forAll Party members and the self-discipline norms, moral declaration issued to all members of the party and the National People's solemn commitment. > < criterion of a clean and honest administration consists of 4 parts, 18,more than 3600 words. After the revision of the < code >, a total of eight, 281 words, including lead, specification and Party member cadre clean fingered self-discipline norms, etc. Part 3 members low-cost clean and self-discipline, the main contents can be summarized as "four must" "eight code". Lead part, reiterated on ideal and faith, fundamental purpose, the fine traditions and work style, noble sentiments, such as "four must" the principle of requirements, strong tone of self-discipline, The higher request for 6 and supervised tenet, the foothold in permanent Bao the party's advanced nature and purity, to reflect the revised standards requirements. Members of self-discipline norms around the party members how to correctly treat and deal with the "public and private", "cheap and rot" thrifty and extravagance "bitter music", put forward the "four norms". Party leader cadre clean fingered self-discipline norms for the leadership of the party members and cadres of the "vital few", around the "clean politics", from civil servant of the color, the exercise of power, moral integrity, a good family tradition and other aspects of the leadership of the party members and cadres of the "four norms" < > < norm norm. "The Party member's self-discipline norms" and "party members and leading cadre clean fingered self-discipline norms," a total of eight, collectively referred to as the "eight". "Four must" and "eight" of thecontent from the party constitution and Party's several generation of leaders, especially Xi Jinping, general secretary of the important discussion, refer to the "three discipline and eight points for attention" statements, and reference some embody the Chinese nation excellent traditional culture essence of epigrams. (2) the revised regulations, the main changes in the revised Regulations > to fully adapt to the strictly requirements, reflects the according to the regulations governing the law of recognition of deepening, the realization of the discipline construction and Jin Ju. < rule > is party a ruler, members of the basic line and follow. And the majority of Party members and cadres of Party organizations at all levels should adhere to the bottom line of thinking, fear discipline, hold the bottom line, as a preventive measure, to keep the party's advanced nature and purity. 1, respect for the constitution, refinement and discipline. Revised < rule > from comprehensive comb physical constitution began, the party constitution and other regulations of the Party of Party organizations and Party discipline requirements refinement, clearly defined in violation of the party constitution will be in accordance with regulations to give the corresponding disciplinary action. The original 10 categories of misconduct, integration specification for political discipline, discipline, honesty and discipline masses Ji Law and discipline and discipline andother six categories, the content of < rule > real return to Party discipline, for the majority of Party members and listed a "negative list. 7 2, highlighting the political discipline and political rules. > < Regulations according to the stage of the discipline of outstanding performance, emphasizing political discipline and political rules, organization and discipline, in opposition to the party's leadership and the party's basic theory, basic line, basic program and basic experience, the basic requirement of behavior made prescribed punishment, increase the cliques, against the organization such as violation of the provisions, to ensure that the central government decrees and the Party of centralized and unified. 3, adhere to strict discipline in the law and discipline In front, Ji separated. Revised < Regulations > adhere to the problem oriented, do Ji separated. Any national law existing content, will not repeat the provisions, the total removal of 79 and criminal law, repeat the content of the public security management punishment law, and other laws and regulations. In the general reiterated that party organizations and Party members must conscientiously accept the party's discipline, die van comply with national laws and regulations; at the same time, to investigate violations of Party members and even criminal behavior of Party discipline and responsibility, > < Regulations distinguish five different conditions, with special provisions weremade provisions, so as to realize the connection of Party discipline and state law. 4, reflect Wind building and anti-corruption struggle of the latest achievements. < rule > the party's eighteen years implement the spirit of the central provisions of the eight, against the requirements of the "four winds" and transformation for disciplinary provisions, reflecting the style construction is always on the road, not a gust of wind. In the fight against corruption out of new problems, increase the trading rights, the use of authority relatives profit and other disciplinary terms. Prominent discipline of the masses, the new against the interests of the masses and ignore the demands of the masses and other disciplinary terms and make provisions of the disposition and the destruction of the party's close ties with the masses.Discipline to protect the party's purpose. 8 of these regulations, a total of three series, Chapter 15, 178, more than 24000 words, after the revision of the regulations a total of 3 series, Chapter 11, 133, 17000 words, divided into "general" and "special provisions" and "Supplementary Provisions" Part 3. Among them, add, delete, modify the provisions of the proportion of up to nearly 90%. 1, the general general is divided into five chapters. The first chapter to the regulations of the guiding ideology, principles and scope of application of the provisions, highlight the strengthening of the partyconstitution consciousness, maintenance the authority of Party Constitution, increase the party organizations and Party members must abide by the party constitution, Yan Centralized centralized, would examine at all levels of the amended provisions implementing and maintaining Party discipline, and consciously accept the party discipline, exemplary compliance with national laws and regulations. The second chapter of discipline concept, disciplinary action types and effects of the regulations, will be a serious warning from the original a year for a year and a half; increase the Party Congress representative, by leaving the party above (including leave probation) punishment, the party organization should be terminated its representative qualification provisions. The third chapter of the disciplinary rules of use prescribed in the discipline rectifying process, non convergence, not close hand classified as severely or heavier punishment. "Discipline straighten "At least eighteen years of five years, these five years is to pay close attention to the provisions of the central eight implementation and anti -" four winds ". The fourth chapter on suspicion of illegal party disciplinary distinguish five different conditions, with special provisions were made provisions, to achieve effective convergence of Party and country 9 method. < rule > the provisions of Article 27, Party organizations in thedisciplinary review found that party members have committed embezzlement, bribery, dereliction of duty dereliction of duty and other criminal law act is suspected of committing a crime shall give cancel party posts, probation or expelled from the party. The second is < Regulations > Article 28 the provisions of Party organizations in the disciplinary review But found that party members are stipulated in the criminal law, although not involved in a crime shall be investigated for Party discipline and responsibility should be depending on the specific circumstances shall be given a warning until expelled punishment. This situation and a difference is that the former regulation behavior has been suspected of a crime, the feeling is quite strict, and the latter for the behavior not involving crime, only the objective performance of the provisions of the criminal code of behavior, but the plot is a crime to slightly. < Regulations > the 29 provisions, Party organizations in the discipline review found that party members and other illegal behavior, affect the party's image, the damage to the party, the state and the people's interests, we should depend on the situation Seriousness given disciplinary action. The loss of Party members, seriously damaging the party's image of behavior, should be given expelled from the party. At this article is party member is in violation of the criminal law outside the other illegal acts, such as violatesthe public security administration punishment law, customs law, financial laws and regulations behavior. The fourth is < cases > Article 32 stipulates, minor party members and the circumstances of the crime, the people's Procuratorate shall make a decision not to initiate a prosecution, or the people's court shall make a conviction and exempted from criminal punishment shall be given within the party is removed from his post, probation or expelled from the party. Party members and crime, sheets were fined in accordance with For acts; the principal Ordinance amended the provisions of the preceding paragraph. This is the new content, in order to achieve Ji method effective convergence. Five is < > the thirty third article 10 of the provisions, the Party member due to an intentional crime is sentenced to criminal law (including probation) sheets or additional deprivation of political rights; due to negligence crime and was sentenced to three years or more (excluding three years) a penalty, shall give expelled punishment. Due to negligence crime is convicted and sentenced to three years (including three years) in prison or be sentenced to public surveillance, detention, shall in general be expelled from the party. For the individual may not be expelled from the party, should control Approval. This is followed and retained the original > < Regulations the provisions of punishment party authorization rules and report to a level partyorganizations. For is "party members with criminal acts, and by the criminal punishment, generally should be expelled from the party". The fifth chapter of probationary Party member of the discipline and discipline after missing members of the treatment and punishment decisions, such as the implementation of the provisions, clear the related party discipline and punishment decision made after, for duties, wages and other relevant alteration formalities for the longest time. 2, sub sub section will the original regulations of10 categories of acts of violation of discipline integration revised into 6 categories, respectively, in violation of the punishments for acts of political discipline "in violation of discipline behavior of punishment" in violation of integrity of disciplinary action points "of violation punishments for acts of mass discipline" "the violation of work discipline, punishment" in violation of discipline of life behavior punishment "6 chapters. 3, annex" Supplementary Provisions "clear authority making supplementary provisions of, cases of interpretative organ, as well as regulations implementation time and retroactivity etc.. 11 (3) learning understanding > < regulations needs to grasp several key problems The first problem -- about the violation of political discipline behavior > < new ordinance chapter 6 the political discipline column for the six disciplines, that is the main opposition to Party leadership and the opposition of the basictheory, basic line, basic program and basic experience, basic requirements of misconduct made provisions of the disposition, especially the eighteen since the CPC Central Committee put forward the Yan Mingzheng treatment of discipline and political rules requirements and practical achievements transformation for Discipline article, increase the false debate central policies, cliques, against the organization review, make no discipline of the principle of harmony terms. These are the party's eighteen years in comprehensive strictly Process combined with the practice of rich content. (1) false debate the central policies and undermine the Party of centralized and unified the problem is made in accordance with the provisions of the party constitution. Constitution in general programme requirements adhere to democratic centralism is one of the requirements of the construction of the party must adhere to the four cardinal. Application of this principle is not only the party the basic organization principle and is also the mass line in party life, it requires that we must fully develop inner-party democracy, respect for the dominant position of Party members, safeguarding the Party member democratic rights, give full play to the enthusiasm and creativity of the party organizations at all levels and Party members, at the same time, also must implement the right concentration, ensure the party's mission < the chaos in unity and concertedaction to ensure that the party's decision to get quickly and effectively implementing. The Party Central Committee formulated the major principles and policies, through different channels and ways, fully listen to the party organizations and Party members of the opinions and suggestions, but 12 is some people face to face not to say back blather "" will not say, after the meeting said, "" Taiwan does not say, and nonsense ", in fact, not only disrupt the people thought, some causing serious consequences, the damage to the Party of the centralized and unified, hinder the central policy implementation, but also a serious violation of the democratic system of principles. There is no doubt that shall, in accordance with the Regulations > 4 Specified in Article 6 to give the appropriate punishment. For did not cause serious consequences, to give criticism and education or the corresponding tissue processing. (2) about the destruction of the party's unity < New Regulations > the forty eighth to fifty second article, to damage Party's unity unified and violation of political discipline, punishment situation made explicit provisions. Article 52 of the new "in the party get round group, gangs seek private gain, cliques, cultivate private forces or through the exchange of interests, for their own to create momentum and other activities to gain political capital, given a serious warning or withdraw from their party posts disposition; if the。

不等式的基本性质与解法

不等式的基本性质与解法不等式在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的大小关系。

解不等式是解决问题、推导结论的常用方法之一。

本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、不等式的基本性质1.1 传递性：若a>b，b>c，则a>c。

这个性质说明了不等式在数值之间的传递性，即如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，则第一个数一定大于第三个数。

1.2 加法性：若a>b，则a+c>b+c。

这个性质说明了不等式在两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向不变。

1.3 减法性：若a>b，则a-c>b-c。

与加法性类似，减法性说明了不等式在两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。

1.4 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

乘法性说明了不等式在两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。

1.5 除法性：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。

除法性说明了不等式在两边同时除以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。

二、不等式的解法2.1 图解法：对于一元一次不等式，可以通过图像来解决。

首先将不等式转换为等式，画出等式对应的直线，然后根据不等号的方向确定直线上的某一边的解集。

这种方法适用于简单的线性不等式。

2.2 求解法：对于更复杂的不等式，通常需要应用一些不等式性质和运算法则。

例如，可以通过加、减、乘、除等操作将不等式化简为简单的形式，再求解。

2.3 分类讨论法：对于一元高次不等式，可以将不等式中的变量分别取不同的值，然后根据不等式的性质进行分类讨论。

通过逐个排除不符合条件的情况，最终得到解集。

2.4 绝对值法：对于含有绝对值的不等式，可以通过拆分绝对值的定义，建立不等式的多种情况，然后分别求解。

高次不等式(xue)

x 2 x 3 0 x 2 x 3 0 或 x 4 x 1 0 x 4 x 1 0
（二）标根法
记：y=(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)把多项式各因式的根安从小到大的顺序标在数轴上
试一试
1 . (x+3)2(x-2)(x-5) ≤ 0 2 . x2-3x+2 x2-7x+12 ≥0
x 2x 3 3, 2 0 x 3x 2 1 4, x x
2
-4
-3
12Βιβλιοθήκη 各因式 X的取值范围的值
因式
-4
-3
1
2
X+4 X+3 x-1 X-2
Y的符号
x 2x 3x 4x 1 0.
+
-4
-
+
-3 1
-
+
2
所以原不等式的解集为：
(,4) (3,1) (2,)
例题：用数轴标根法解下列不等式
1.( x 7 x 12)( x x 6) 0
2 2
2.( x 2 x 3)( x 4 x 4) 0
2 2
3.( x 1) ( x 2)(3 x)( x 4) 0
2
小结: “数轴标根法” 用于解一元高次不等式非常方便, 其解题步骤如下: 1. 分解因式, 化成若干个因式的乘积; 2. 作等价变形, 处理如：
2.3其他不等式的解法
-----高次不等式的解法
一、一元高次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2次的整式不等式叫做一元高次不等式。
x 例如： 2x 3x 4x 1 0.

上海市高中数学教材目录

上海市【2 】高中数学教材目次高一上第一章聚集和命题一聚集1.1聚集及其表示法1.2聚集之间的关系1.3聚集的运算二四种命题的情势1.4命题的情势及等价关系三充分前提与必要前提1.5充分前提.必要前提1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的根本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4根本不等式及其运用*2.5不等式的证实第三章函数的根本性质3.1函数的概念3.2函数关系的树立3.3函数的运算3.4函数的根本性质第四章幂函数.指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的图像与性质*4.3借助盘算器不雅察函数递增的快慢高一下第四章幂函数.指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的图像与性质六指数方程和对数方程4.7简略的指数方程4.8简略的对数方程第五章三角比一随意率性角的三角比5.1随意率性角及其器量5.2随意率性角的是那叫比三三角恒等式5.3同角三角比的关系和引诱公式5.4两角和与差的余弦.正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦.余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理.余弦定理息争斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像与性质6.1正弦函数的和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的运用7.6归纳——猜想——证实三数列的极限7.7数列的极限7.8无限等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数目积8.3平面向量的分化定理8.4向量的运用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3盘算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的竖直角和斜率11.3两条直线的地位关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆的标准方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的标准方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的标准方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复数的概念13.2复数的坐标表示13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6练习数的一元二次方程高三第一学期第十四章空间直线与平面14.1平面及其根本性质14.2空间直线与直线的地位关系14.3空间直线与平面的地位关系14.4空间平面与平面的地位关系第十五章简略几何体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直不雅图二扭转体15.3扭转体的概念三几何体的表面积.体积和球面距离15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章分列组合与二项式定理16.1计数道理I——乘法道理16.2分列16.3计数道理II——加法道理16.4组合16.5二项式定理第二学期第十七章概率论初步17.1古典模子17.2频率与概率第十八章根本统计办法18.1总体和样本18.2抽样技巧18.3统计估量18.4实例剖析*18.5概率统计试验。

分式不等式

课题：2.3-其它不等式的解法(1)-分式不等式的解法(2课时)教学目标：1.熟练掌握分式不等式的解法。

2.理解分式不等式转化为整式不等式过程中的同解变形内涵。

3.培养分类讨论思想。

教学重点：分式不等式的解法教学难点：不等式的同解变形教学过程：第1课时：分式不等式的解法(1)引例：m为何值时，关于x的方程(m－2)x2－(2m＋6)x＋(m＋3)＝0的两根一正一负？解：设两根为x1、x2，显然⊿＝b2－4ac≥0成立x1x2＝m3m2＋－＜0 ——分式不等式解法1：m30m20+>⎧⎨-<⎩或m30m20+<⎧⎨->⎩——运用分类讨论思想求解即：m3m 2>-⎧⎨<⎩或m3m2<-⎧⎨>⎩得：－3＜m＜2或m无解∴不等式的解为－3＜m＜2解法2：m3m2＋－＜0 ⇔(m＋3)(m－2)＜0 ⇔－3＜m＜2——转化为熟悉的一元二次不等式求解(转化的依据：两个数的商与积同号)要防止负迁移：m3m2＋－＜1 ⇔(m＋3)(m－2)＜1反思：两种解法本质上是一样的，都要掌握。

练习：解下列不等式：(1)2m1m2－＋＞0 ⇔(2m－1)(m＋2)＞0 ⇔m＜－2或m＞12(2)m1m2＋＋≥0 ⇔(m1)(m2)0m20++>⎧⎨+≠⎩⇔m＜－2或m≥－1——估计学生会认为：m1m2＋＋≥0 ⇔(m＋1)(m＋2)≥0或(m＋1)(m＋2)＞0(3)4k1－k－＞0 ⇔4k1k－－＜0 ⇔(k－4)(k－1)＜0 ⇔1＜k＜4——估计学生会认为：4k1－k－＞0 ⇔(4－k)(k－1)＞0 ⇔k＜1或k＞4反思：(1)是否看清未知数前系数；(2) 是否看清含“＝”；(3) 是否看清“＞”还是“＜”。

解题策略：(1)使未知数前系数为正(注意代数式和不等式的变号)；(2)含“＝”要注意分子为零，分母不能为零；(3) 看清“＞”还是“＜”。

[例1] 解下列不等式：(1) 2x 4x 3－－＞1解1：2x 4x 3－－－1＞0，即x 1x 3－－＞0 ⇔(x －1)(x －3)＞0∴不等式的解为x ＜1或x ＞3解2：x 30 2x 4x 3->⎧⎨->-⎩ 或x 30 2x 4x 3-<⎧⎨-<-⎩ 得x 3x 1>⎧⎨>⎩ 或 x 3x 1<⎧⎨<⎩，即x ＞3或x ＜1 ∴不等式的解为x ＞3或x ＜1反思：比较两种不同的解题思想方法，揭示“不能随便去分母”的原因：可能要改变不等号的方向。

新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册课件

分式不等式的解法其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.

高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.3 其他不等式的解法-分式不等式课件

例1.解下列不等式
(1) x 2 0 x3
(4) x 1 2 3x 2
(2) x 1 0 5 x
(5) 3 ห้องสมุดไป่ตู้x 2x
(3) 2x 1 0 (6) 1 1
x3
x
例1.解下列不等式
(1) x 2 0 (x 2)(x 3) 0 x3 x (, 3) (2, )
(2) x 1 0 (x 1)(5 x) 0 5 x (x 1)(x 5) 0 x (1,5)
例3.解关于 x 的不等式 ax a2 0 x2
解：ax a2 0 a(x a)(x 2) 0 x2
③ a 0 时，转化为 (x a)(x 2) 0
(i) a 2 时，解集为 (2, a) (ii) a 2 时，解集为
(iii) a 2 时，解集为 (a, 2) 解毕
第二章不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
2.3.1 其他不等式的解法
分式不等式
一、分式不等式
型如 f (x) 0 或 f (x) 0 的不等式，
(x)
(x)
其中 f (x),(x) 为整式.
你曾经解过的分式方程，如何解的？
例 2x 1 1 2x 11 0 x 4 0
x3
x3
x3
(x 4)(x 3) 0 x (, 3) (4, )
例3.解关于 x 的不等式 ax a2 0 x2
解：ax a2 0 a(x a)(x 2) 0 x2
分析：优先讨论二次项系数正负，再讨论根的大小，如果根的大小不易判定，作差比较后划分讨论区间.
讨论区间时注意不重不漏，划分清晰.
(选用)例4. 解关于 x 的不等式 mx 1 0 mx 1

初高中数学衔接教材 §2.3 方程与不等式(含答案)

同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x ＜－2，或 x＞3；
一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是－2＜x＜3。上例表明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集。那么，怎样解一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)。为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a＞0 时的一元二次不等式的解。我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3－2 所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与 ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解。
x2
y2
2, 5;
（3）
x
5 3
,
y
4 3
.
（4）
x1 y1
2, 2,
x2 y2
2, 2.
2.3.2 一元二次不等式解法
练习 1．（1）x＜－1，或 x＞4 ；（2）－3≤x≤4；（3）x＜－4，或 x＞1；（4）x＝4。 3
2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，（1）当－1－a＜－1＋a，即 a＞0 时，∴－1－a≤x≤－1＋a；（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0 时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；（3）当－1－a＞－1＋a，即 a＜0 时，∴－1＋a≤x≤－1－a。

高一数学上册(其它不等式的解法)练习沪教版试题

上海理工大学附属中学高一数学上册《其它不等式的解法》练习沪教版2.3其它不等式的解法1.掌握分式不等式的解法，其基本步骤是：移项、通分、转化成整式不等式，利用标根法加以解决；（高次不等式）2.掌握绝对值不等式的解法，其解法关键就是消绝对值，化绝对值不等式为一般普通不等式，消绝对值的一般方法有分类讨论法和平方法；3.无理不等式高考不做具体要求，仅作一般的等价处理即可。

4.体会转化思想什么是分式不等式？答：分式不等式是指分母上带有未知数的不等式。

形如：1111,2121x x x x x -+>≥+-等什么是高次不等式？答：高次不等式一般指未知数的次数大于2的整式不等式。

形如23(2)(1)(3)0x x x -+-≤等例1.解下列不等式：（1）2102x x +≤-；（2）321x >+；（3）1121x x ->+；练：2132x x->-例2.解下列不等式：（1）(51)(2)(1)0x x x +--≤；（2）2231414168x x x x -+≥-+；（3）21712x x x ≥-+（练习）（4）23(2)(1)(3)0x x x -+-≤；（拓展）例3.当m 为何值时，关于x 的方程(1)3(2)m x x -=+的解是正数？是负数？例4．解关于x 的不等式：12x x a+≤-（a R ∈）什么是绝对值不等式？答：绝对值不等式一般指绝对值符号中含有未知数的不等式。

如：2122x x +-<，125x x -++<等认知：,(0)0,(0),(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，及绝对值的几何意义。

(0)(,)(0)(,)(,)x a a x a a x a a x a a ⎧<>⇒∈-⎪⇒⎨>>⇒∈-∞-+∞⎪⎩例5.解下列不等式：（1）235x -<；（2）234x x ->；（3）2312x x ->+例6．解下列不等式：（1）2122x x +-<；（2）312x x -≤+；（3）125x x -++<；（4）2131x x x --<++例7.（1）不等式12x x a ++-<的解集非空，求实数a 的范围；（2）不等式12x x a ++->的解集为一切实数，求实数a 的取值范围。

高一数学基本概念——第2章不等式

第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法二、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。

2.3其他不等式的解法一、分式不等式二、绝对值不等式1、|x|的含义2、小结3、零点分段法把每个绝对值对应的零点求出然后放入数轴上，分区间讨论转化为整式不等式或不等式组来求解，这种方法叫做零点分段法。

高中数学基本概念2.4基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小22(1),,2,a b R a b ab a b ∈+≥=对任意有当且仅当时等号成立。

(2),,2a b a b R a b ++∈≥=对任意有当且仅当是等号成立。

高中数学基本概念作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>12.分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.3.综合法了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式.*4. 放缩法这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性.我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法".*5.数形结合法数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.*6.反证法先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.*7.穷举法对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.。

2.3.3其他不等式的解法(含答案)

【课堂例题】例1.解下列不等式x x;(1) |3||5|4x x;(2) |2||3|4x x.(3) |1||2|2x x a的解集不是空集，求参数a的取值范围. 例2.如果关于x的不等式|3||4|x x.例3.解不等式|5||3|10【知识再现】解||||x a x b c 或||||x a x b c 型不等式主要利用：①绝对值的几何意义；②分区间分类讨论；③构造函数，利用函数图像,体现了函数与方程的思想. 当然它们互有利弊，其中方法①、③比较直观，但只适用于数据比较简单的情况，方法②具有普遍性，但是较为繁琐. 【基础训练】1.用含绝对值符号的不等式表示下列语句：(1)数轴上，x 与2的距离不超过5：；(2)数轴上，x 与y 的距离不大于,x y 分别到原点的距离之和： . 2.用分类讨论的方式解不等式：(1)|||2|4x x ; (2)|3||1|5x x ;3.利用绝对值的几何意义解下列不等式：(1)|3||1|6x x ; (2)|1||2|3x x .4.解下列不等式：(1)|3|||3x x ; (2)|1||1|1x x .5.构造一个形如||||x a x b c 的不等式，要求解集为R ：.6.解不等式：|3||21|7x x .7.设函数()|1||4|f x x x ；(1)把函数()f x 化为分段函数的形式并作出大致图像；(2)解不等式()2f x ；(3)求函数()y f x 的最小值.【巩固提高】8.不等式||||||x a x b a b 恒成立吗？能简单说明理由或证明吗？提示：利用绝对值的几何意义9.已知适合不等式2|4||3|5x x a x 的x 的最大值为3,求实数a 的值.提示：3x 是相应方程的一个解.(选做)10.已知一条公路附近有6户人家，现在需在公路上设立一个公交车站，如果希望每户人家到车站的距离(即从家到车站的实际路程)之和最小，请问车站应设立在哪里，为什么？(公路不考虑宽度)【温故知新】11.方程|3||1|5x x 的解1注是 . 注1：求解可以写集合也可以不写，但是求解集则必须用描述法、列举法或区间的形式表述.住户1住户2住户3住户4住户5住户6A BCD EF 公路【课堂例题答案】例1.(1)(,2][6,);(2)(,);(3)15(,)22. 例2.1a. 例3.【习题答案】1.(1)|(2)|5x;(2)||||||x y x y 2.(1)(3,1)x ;(2).3.(1)(4,2);(2)R .4.(1)[3,0];(2)1(,)2. 5.|1||1|2xx ,答案不唯一. 6.5(,3][,)3.提示：用分类讨论，如果使用几何意义注意1|3||22|7x x. 7.(1)5,4()23,145,1xf x x x x (2)5(,)2; (3)min 5y .8.恒成立. 证：|()()|()()x a b x xa b x 2222()2|()()|()()2()()()xa x ab x b x x a x a b x b x 22(||||)[()()]x a b x x a b x ||||||xa b x b a ||||||x a x b a b 证毕9.8a 提示：3x 时，2|4||3|5x x a x ，解得2,8a，当2a 时，4x 也满足条件，故舍去；当8a 时，解不等式，符合条件.10.CD 上任意一点，含,C D提示：AF 上任意一点到住户1和6距离最短；BE 上任意一点到住户3和4距离最短；CD 上任意一点到住户2和5距离最短；这三段的公共部分到六户距离之和最短，即CD 上任意一点，含,C D . 11.73{,}22x y O 54-5-1。

高中五星级同步题组(高一上)---第2章

第二章不等式2.1 不等式的基本性质（1）第一组 2-1——【完成本组需30分钟】1、"若0x y +＞且0xy ＞，则0x ＞且0y ＞" 是（填"真"或"假"）命题.2、"若x y ＞且0xy ＜，则0y x ＜＜" 是（填"真"或"假"）命题.3、"若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则a b c d＞" 是（填"真"或"假"）命题. 4、"1x ＞" 是 "11x＜" 的条件. 5、"22ac bc ＞" 是 "a b ＞" 的条件.6、命题 "若12x ＞，22x ＞，则12x x +＞4"的逆命题是，这是（填"真"或"假"）命题.7、比较大小：22x y + 222x y --.8、若24x ＜＜，36y ＜＜，则x y -的取值范围是 .9、若0a b ＞＞，0m ＞，则a b 与a m b m ++的大小关系是：a b a m b m++. 10、若角α、β满足°°9090αβ-＜＜＜，则2α-β的取值范围是 .11、若{}222,m y y x x x R ∈=-+∈，则11m +的取值范围是 . 12、观察以下四个不等式：①若a b ＞，则22a b ＞；②若a b ＞，则22a b ＞；③若a b ＞，则22a b ＞；④若a b ＞，则22a b ＞，其中正确结论的序号为 .第二组 2-2——【完成本组需30分钟】1、"若0x y +＜且0xy ＞，则0x ＜且0y ＜" 是（填"真"或"假"）命题.2、"若x y ＞且0xy ＞，则0x y ＞＞" 是（填"真"或"假"）命题.3、"若0a b ＞＞，c d ＞，则ac bd ＞" 是（填"真"或"假"）命题.4、"x y ＞" 是 "11x y＞" 的条件. 5、"221x y +＜" 是 "1xy x y ++＞" 的条件.6、"若a b ＞且c d ＞，则a c b d ++＞" 的逆否命题是，这是（填"真"或"假"）命题.7、比较大小：2221b b -+ 244ab a -（其中a 、b R ∈）.8、若13a ＜＜，42b --＜＜，则a b的取值范围是 . 9、若有实数a b ＜，0c ＜，且满足0a b +=. 请比较大小：11bc ac - 1abc . 10、若12a b -＜＜＜，则3a b -的取值范围是 .11、若有 "x R ∈⇒①2(2)0x -≥⇒②2(2)22x -+≥⇒③211(2)22x ≤-+"，以上推导过程中，正确的序号是 .12、已知三个不等式：①0ab ＞；②c d a b--＜；③bc ad ＞. 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么可以组成的真命题有 .2.1 不等式的基本性质（2）第一组 2-3——【完成本组需35分钟】1、x 、y R ∈，比较大小22x y + xy .2、若2m ＜，则关于x 的不等式()21m x m --＜的解集为 .3、若0a b ＞＞，0c d ＜＜，则下列命题恒成立的是 .①22bc ad ＜；②33bc ad ＜；③a b c d ＜；④a b d c＜. 4、命题A ："a b ＞" 是命题B ："22a b ＞" 的条件.5、"*)n N ∈，则a b ＞" 的否命题是，是（填"真"或"假"）命题.6、已知a 、+b R ∈. 若*()b b n n N a a n+∈+＜成立，则a b （填"＞"、"＜"或"="）. 7、"0302x y xy +⎧⎨⎩＜＜＜＜" 是 "0102x y ⎧⎨⎩＜＜＜＜" 的条件. 8、已知a 克糖水中含有b 克蔗糖，再向糖水中加入(0)m m ＞克蔗糖，完全溶解，结果糖水变甜了，从上述现象中提炼出一个不等式为 .9、已知x 、y 是实数，()0xy x y -＞成立的充要条件是（）.（A ）0x y ＞＞（B ）0y x ＜＜（C ）11y x ＞（D ）11x y＞ 10、若0x y ＜＜，则下列不等式中不成立的是（）.（A ）2211x y --＜（B ）22*()n n x y n N ∈＜（C ）2121*()n n x y n N ++∈＜（D ）11y x x-＞11、有四个条件如下：①0b a ＞＞；②0a b ＞＞；③a b ＞；④a b ＞. 其中是"11a b＜" 的充分不必要条件的有（）个（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412、若a 、b 、c 均为非零实数，且a c b -＜. 以下不等式中一定成立的是（）.（A ）a b c +＜（B ）a c b -＞（C ）a b c +＜（D ）a b c -＞第二组 2-4——【完成本组需35分钟】1、已知0a b c ＞＞＞c 从小到大的排列顺序是 .2、若2a ＜，则关于x 的不等式221ax x +-＞的解集为 .3、已知0a b ＞＞，0c d ＜＜，若e e a c b d--＞，则e 0（填"＞" 或 "＜"）. 4、命题A ："a b c ＞＞" 是命题B ："22ac bc ＞" 的条件.5、"若a b ＞，则*()n n a b n N ∈＞" 的逆否命题是，是（填"真"或"假"）命题.6、若2c -＞"＞"、"＜"或"="）.7、"22a b c c ＞" 是 "a b ＞" 的条件.8、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a ＜. 现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg （其中x y ＞）. 若以两种价格的平均数收购，对棉农（填 "公平" 或 "不公平"），其理由可用不等式表示为 .9、能使x y ＞与11x y＞同时成立的充要条件是（）. （A ）0x y ＞＞（B ）0x y ＞＞（C ）0x y ＞＞（D ）x y ＞10、下列命题中，不正确的是（）.（Aa b ＞（B ）若a b ＞，c d ＞，则a d b c --＞（C ）若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则a b d c＞（D ）若0a b ＞＞，ac bd ＞，则c d ＞ 11、"x y ＞"的充分不必要条件是（）.（A ）22x y ＞（B ）x y ＞（C （D ）11x y＞ 12、有以下4个命题：①若0a b ＞＞，则11a b＜；②若0a b ＜＜，则22a b ＞； ③若11a＞，则1a ＜；④若12a ＜＜，且03b ＜＜，则22a b --＜＜. 其中真命题的个数是（）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42.2 一元二次不等式的解法（1）第一组 2-5——【完成本组需30分钟】1、已知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=＞有两实根1x 、2x . 若12x x ＜，则一元二次不等式20 ax bx c ++＞的解集是 .2、关于x 的不等式()()21430x x --＜的解集为 .3、关于x 的不等式2760x x ++＜的解集为 .4、关于x 的不等式231080x x --＞的解集为 .5、关于x 的不等式42280x x +-＜的解集为 .6、若(,1)A =-∞-∪(5,)+∞,写出一个以A 为解集的一元二次不等式： .7、关于x 的不等式222(2)20x a x a +--＞的解集为 .8、当0a ＜时，关于x 的不等式22420x ax a +-＜的解集是 .9、若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++＜的解集为 .10、若函数221y ax ax =++的图像与x 轴无交点，则a 的取值范围是 .11、关于x 的二次函数24y kx x k =-+的图像全部在x 轴的上方，则实数k 的取值范围是 .12、已知集合{}2230A x x x =--＜，集合{}22(1)10B x x x a =-+-＜，若A B ⊆，则a 的取值范围是 .第二组 2-6——【完成本组需30分钟】1、已知一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞有两实数根1x 、2x . 若12x x ＜，则一元二次不等式20ax bx c ++＜的解集是 .2、关于x 的不等式()()2150x x --＜的解集是 .3、关于x 的不等式292350x x +-＞的解集是 .4、关于x 的不等式()()1212x x --＞的解集是 .5、关于x 的不等式42230x x --＜的解集是 .6、若(1,2)A =-，写出一个以A 为解集的一元二次不等式： .7、关于x 的不等式22(21)0x a x a a -+++＜的解集是 .8、关于x 的不等式222(10)2(1)x a x a a -+++＜（其中1a ≠）的解集是 .9、若关于x 的不等式20ax bx c ++＜的解集为(,3)-∞-∪(5,)+∞，则不等式 20cx bx a ++＞的解集是 .10、若函数2(1)2(1)1y a x a x =-+-+的图像与x 轴无交点，则a 的取值范围是 .11、若关于x 的二次函数24y kx x k =-+的图像全在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 .12、若同时满足不等式220x x --＞和22(52)50x a x a +++＜的x 的整数值只有 2-，则实数a 的取值范围是 .2.2 一元二次不等式的解法（2）第一组 2-7——【完成本组需30分钟】1、若一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞无实数解，则不等式20ax bx c ++＞的解集为 .2、不等式2450x x ++＞的解集为 .3、不等式221x x -＜的解集为 .4、不等式2210x x -+≤的解集为 .5、不等式2450x x --＜的解集为 .6、不等式42320x x ++≥的解集为 .7、不等式组2210560x x x ⎧-≥⎪⎨--≤⎪⎩的解集为 . 8、关于x 的一元二次不等式2410ax x -+≥的解集为R ，则a 的取值范围是 .9、若函数2(0)y ax bx c a =++＜的图像与x 轴只有一个公共点0() ,0x ，则使函数值0y ≥得所有x 值得集合是 .10、若关于x 的不等式2(1)0x a x a -++≤的解集包含2，则a 的取值范围是 .11、若不等式组2220(1)ax x x x a x ⎧--≤⎪⎨-≥-⎪⎩的解集为R ，则a 的取值范围是 . 12、已知集合{}2(3)0A x x a x a =+-+≤非空，且A R +，则实数a 的取值范围是 .第二组 2-8——【完成本组需30分钟】1、若一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞无实数解，则不等式20ax bx c ++＜的解集为 .2、下列不等式中，解集为全体实数的不等式是 .①241290x x -+＞；②241290x x -+＜；③2210x x ++＜；④23240x x -+＞3、不等式21x x -＞的解集为 .4、不等式210x x ++≤的解集是 .5、不等式23820x x --＜的解集是 .6、不等式4220x x -＜的解集是 .7、不等式组2234404120x x x x ⎧--≥⎪⎨--⎪⎩＜的解集是 . 8、若关于x 的一元二次不等式2410ax x -+＜的解集为∅，则a 的取值范围是 .9、若函数2(0)y ax bx c a =++＜的图像与x 轴只有一个公共点0() ,0x ，则使函数值0y ＜的所有x 值得集合是 .10、关于x 的不等式2230x kx k k -++＜的解集包含2，则实数k 的取值范围是 .11、已知全集U=R ，()f x 、()g x 均为x 的二次函数，集合{}()0P x f x =＜，集合{}()0Q x g x =≥，则不等式组()0()0f xg x ⎧⎨⎩＜＜，的解集用P 、Q 表为 . 12、若关于x 的不等式2260x mx m m +++＜的解集为A ，且区间(1,2)A ⊆，则实数m 的取值范围是 .2.2 一元二次不等式的解法（3）第一组 2-9——【完成本组需40分钟】1、若关于x 的不等式2(1)10ax a x -++＜的解集为∅，则a = .2、若关于x 的不等式240x ax -+＜的解集为(1,4)，则a = .3、若关于x 的不等式22(3)520a x x -+-＞的解集为1(,2)2，则a = . 4、如果对任意实数x ，二次函数2y ax x c =--的值恒为负，那么a 、c 应满足的条件是 .5、若关于x 的不等式2()()0x a x a --＞的解集为2(,)a -∞∪(,)a +∞，那么实数a 的取值范围是 .6、已知区间(1,2)中的所有元素都是不等式220x mx -+＜的解，则m 的取值范围是 .7、甲：1a ＞，乙：a ，则甲是乙的条件.8、设1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++＞与22a x + 220b x c +＞的解集分别是M 、N ，那么 "111222a b c a b c ==" 是 "M N =" 的条件.9、不等式(1)(2)(3)8x x x x +++＜的解集是 .10、某杂志以每册1.20元的价格可发行12万册. 若定价每提高0.10元/册，发行量将减小4万册；定价每降低0.10元/册，发行量将增加4万册，要使总收入不低于20万元，那么该杂志的最高定价为每册元.11、若关于x 的不等式22(1)210a x ax -++＞有实数解，则a 的取值范围是 .12、不等式2210x x --＞的解集为A ，集合{}(25)()0B x x x a =++＜. 设Z 为整数集，若A ∩B ∩Z=(1,2)--，则实数a 的取值范围是 .第二组 2-10——【完成本组需40分钟】1、若不等式202m x mx ++＞对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .2、已知不等式20x ax b --＜的解集为()2,3，则不等式210bx ax --＞的解集是 .3、已知不等式20ax bx c --＜的解集为()2,3，则不等式20cx bx a --＞的解集为 .4、如果对任意实数x ，二次函数2y ax x c =--的值恒为非负，那么a 、c 应满足的条件是 .5、已知{}2560A x x x =-+＜，下列集合中是A 的子集的是 . ① (){}22,21x y y x x -+-＜； ② {}2560x x x -+≤； ③ {}2560x x x -+=； ④ {}2440x x x -+＜.6、已知不等式22x a x ≤的解集为A ，{}22B y y =-≤≤.若A B ，则a 的取值范围是 .7、已知α：(2,2)x ∈-，β：{}42280x x x x ∈+-＜，则α是β的条件.8、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--＜对于x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 .9、不等式(2)(4)(6)(8)768x x x x ++++＜的解集是 .10、某超市计划在第四季度完成利润364万元. 如果10月份已完成100万元利润，那么在11月、12月这两个月中，该超市利润的月平均增长率至少要大于时，才能完成计划.11、若不等式222(1)2(1)9401m x m x m x x -+-++++＞对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是 .12、已知不等式20ax bx c ++＞的解集为(,)αβ，其中0βα＞＞，则不等式 20cx bx a ++＜的解集为 .2.3 其他不等式的解法（1）第一组 2-11——【完成本组需30分钟】1、在下列不等式中，与22x ＞同解的不等式是 .① 211233x x x ++--＞； ②22x + ③ 2(1)2(1)x x x ----＞； ④ 2(2)2(2)x x x --＞2、不等式11x＜的解集是 . 3、不等式302x x -≥+的解集用区间表示为 . 4、不等式22101x x ++＞的解集为 . 5、不等式2413x x +-＞的解集为 . 6、在平面直角坐标系内，若点311)1(2,a a a +--在第二象限内，则a 的取值范围是 .7、若定义运算 " * " 满足如下法则：21*a a b b-=，则不等式*(1)0x x +＜的解集是 .8、已知212111x x x x++=--，则x 的取值范围是 . 9、已知集合{}1A x ax ==，集合(){}221332B x x x x =+-+-＞. 若A B ，则a 的取值范围是 .10、已知211x y x -=-. 若0x ＞，则y 的取值范围是 .11、若0a ＞，0b ＞，则不等式1b a x-＜＜的解集是 . 12、若不等式2222463x kx k x x ++++＜1对于一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是 .第二组 2-12——【完成本组需30分钟】1、下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是 . ① ()3(2)0x x --≥； ② ()3(2)0x x --≤；③ 203x x -≥-； ④ 302x x -≤-. 2、下列不等式中，解集为R 的是 .① 2210x x ++＞； ② 2210x x ++＞；③ 0x ＞； ④ 3312x x-+＜ 3、不等式211x＜的解集为 . 4、若关于x 的方程12ax x a -=+的解不小于1，则a 的取值范围为 .5、不等式112121x x -+＜的解集为 .60的解集为 . 7、若关于x 的不等式0x a b x +-＞的解为31x --＜＜，则a b += .8、不等式()260(1)(5)x x x -≤+-的解集为 . 9、不等式302x x -≤-的解集为A ，不等式2(1)()0x x a +-＞的解集为B ，若 A ∩B=A ，则a 的取值范围是 .10、不等式11ax x -＜的解集为{}3 1x x x ＜或＞，则a = . 11、已知不等式24360ax ax a -++≥对一切实数x 恒成立，则关于x 的方程 421x a a =-++的根的取值范围是 . 12、不等式211x m x +-＞对满足11m -≤≤的一切实数m 恒成立，则x 的取值范围是 .2.3 其他不等式的解法（2）第一组 2-13——【完成本组需40分钟】1、不等式3 1x ≤的解集是 .2、不等式 31x -＞的解集是 .3、不等式257 11x x -+-＜的解集是 .4、不等式2211x x x x--＞的解集是 . 5、不等式21x x --＜的解集是 .6、不等式126x x --+＜的解集是 .7、若5x =是不等式4x a -≤的解中的最大值，则a 的值等于 .8、已知集合{}A x y x R ==∈，集合{}10,B x x a x R =--∈＞. 若 A ∩B=∅，则实数a 的取值范围是 .9、已知x 、y R ∈，且0xy ＜，则下列不等式中正确的是 .① x y x y +-＞；② x y x y +-＜；③ x y x y --＜；④ x y x y -+＜.10、已知不等式23x x a -++＜的解集为∅，则实数a 的取值范围是 . 11、已知不等式2ax b +＜的解集为(2,6)，则a 、b 的值为 . 12、关于实数x 的不等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤ ()a R ∈的解集依次记为A 与B ，则使A B ⊆得a 的取值范围是 .第二组 2-14——【完成本组需40分钟】1、不等式127x ≤-＜()x 为整数的解集为 .2、不等式12x＞的解集为 . 3、不等式 32x -＜的解集为 .4、不等式11223x x ---＜的解集为 . 5、不等式125x x --＜的解集为 .6、不等式234x x +--＜的解集为 .7、已知2x =是不等式3x a -≤的解集中的最小值，那么a = .8、已知0h ＞，甲：两实数a 、b 满足2a b h -＜；乙：两实数a 、b 满足1a h -＜且1b h -＜，则甲驶乙的条件.9、满足2x a -＜的实数x 也满足241x -＜，那么正数a 的取值范围是 .10、若关于x 的不等式43x x a -++＜有实数解，则a 的取值范围是 .11、已知关于x 的不等式1x ax -＜的解集为M ，Z 为整数集. 若M ∩Z={}1 ,2，则实数a 的取值范围是 .12、在一条笔直的街道上，住着7位小朋友，他们各家的门牌号分别是3，6， 15，19，20，30，39，这几位小朋友准备聚在一起玩游戏. 要使大家所走的路程总和最短，则地点应选在门牌号为的小朋友家（假定门牌号数字大小依次相连，且相邻的两个门牌号的房子间的距离相等）.2.4 基本不等式及其应用（1）第一组 2-15——【完成本组需35分钟】1、当a 、b 满足条件时，(2)(1)a b -+-≥.2、若正数a 、b 满足2ab =，则22a b +≥ .3、若0x ＞，则22x x+的取值范围是 . 4、"12x x+≥" 是命题（填"真" 或 "假"）. 5、已知a 、b R ∈，若0ab ≠，有下列不等式：①222a b ab +≥，②2b a a b+≥， ③2b a a b+≥，④222a b a b ++≥. 其中恒成立的不等式序号是 . 6、若1a ＞，1b ＞，且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中值最小的是 .7、设0x ≠，则22352x x--的最大值是 . 8、当1x ＜时，有2224(1)1x x a a x -++≤-≠--，且当0x x =时等号成立，则 a = ，0x = .9、设x R ∈，下列各式中，值恒大于或等于x 的是（）.（A ）214x + （B ）10x （C （D ）10x 10、设0x y ＞＞，则下列各式中正确的是（）.（A ）2x y x y +＞（B ）2x y x y +＞（C ）2x y x y +＞＞（D ）2x y x y +＞11、若实数x 、y 满足221x y +=，则x y +的取值范围是（）.（A ）[]1,1- （B ）[]2,2- （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎣12、在面积相等时，比较正方形与长方形的周长，正确的是（）.（A ）正方形较小（B ）长方形较小（C ）一样大（D ）无法确定第二组 2-16——【完成本组需35分钟】1、设a 、b R ∈且0ab ≠，那么 "a b =" 是 "2b a a b+≥" 的条件. 2、若正数a 、b 满足2ab =，则a b +≥ .3、已知x R -∈，则1x x+的取值范围是 . 4、已知x 、0y ＞且4x y +≤，那么下列不等式中成立的是 .①114x y ≤+；②111x y +≥2；④11xy ≥ 5、已知a 、b R ∈，且110a b＜＜，有①22a b ＞，②a b +＞2ab b ＜， ④22a b a b ++＞，其中恒成立的不等式序号是 .6、若01x ＜＜，01y ＜＜，则在22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 .7、若(),1x ∈-∞，则111x x ++-的最大值为 .8、已知不等式122x a x+＞对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 . 9、已知a 、b R +∈，则下列不等式中不成立的是（）.（A ）a b +≥ （B ）2b aa b+≥（C2a b +≥ （D ）2ab a b ≥+10、设x 为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）.（A ）210x x ++＜（B ）12x x+≥ （C ）2212x x +≥ （D ）12x +≥11、若x 、y 是不相等的两个正数且1xy ≠，则下列代数式中值最大的是（）.（A ）11x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （B ）1xy xy + （C ）11x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）11()()x y x y ++ 12、某种商品将进行提价，提价方案有三种，甲：先提价m %，再提价n %；乙：先提价2m n +%，再提价2m n +%；丙：一次性提价()m n +%. 已知 0m n ＞＞，那么提价方案中最终提价幅度最大的是（）.（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）皆有可能2.4 基本不等式及其应用（2）第一组 2-17——【完成本组需45分钟】1、若x R +∈，则212x x+有最值，且此最值为 .2、若3a ＞，则13a a +-有最值，是，此时a = . 3、当0x ＜时，29x x +有最值，是，此时x = .4、若x R +∈，则821x x ++的最小值是 . 5、代数式(4)x x -有最值，是，此时x = . 6、若x R +∈，则21xx +的取值范围是 . 7、若长方形面积为S ，则其周长的最小值为 .8、设12x ＞，则代数式821x x +-的最小值为 .9、设x 、y R +∈，且4x y +=，则使不等式14k x y +≥恒成立的实数k 的取值范围是 . 10、x y z ＞＞，*11()n n N x y y z x z+≥∈---恒成立，则n 的最大值为 . 11、下列各式中，最小值是2的是（）. （A ）111x x +++ （B ）1sin ()sin x x x +为锐角（C ）1tan ()tan x x x +为锐角（D12、已知a 、b R ∈，且0ab ＞，则代数式22a b ab +的最值为（）.（A ）有最小值，但没有最大值（B ）有最大值，但没有最小值（C ）既有最大值，也有最小值（D ）没有最大值，也没有最小值第二组 2-18——【完成本组需45分钟】1、已知0x ＞，43x x++的最小值是 . 2、若4x ＞，则124x x +-的最小值是 . 3、已知0x ＞，43x x--的最大值是 .4、若x 、y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值是 .5、已知0x ＞，那么当x = 时，(13)x x -有最大值为 .6、设a 、b 、c R +∈，则b c c a a ba b c+++++的最小值为 . 7、已知直角三角形ABC 的三边之和为2，那么∆ABC 的面积的最大值是 .8、代数式)x R ∈的最大值是 .9、对所有x 、y R +∈都成立，则k 的最小值为 . 10、已知x R +∈，由不等式12x x +≥，2244322x x x x x+≥++≥，…，启发我们可以得出推广结论*1 ()n ax n n N x+≥+∈，则a = .11、函数2y =）.（A ）4 （B ）2 （C ）k （D ）不能确定 12、有下列四个命题：① 2=2的最小值是2；② 已知0x ＞，那么当1x =时，21x x ++取得最小值2；③ 由()222111x x ++≥+可得当0x =时，()222111x x +++取得最小值2；④ 若a 、0b ＞，则2a b +≥其中假命题的个数是（）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4整章综合测试第一组 2-19——【完成本组需75分钟】1、下列不等式中，恒成立的是 .①54a a ＞；②2243a a ＞；③12a a --＞；④5242a a --＞.2、若x 满足12x＜和13x -＞，则x 的取值范围是 .3、不等式()21(2)0(3)(4)x x x x -+≤--的解集是 .4、不等式2346x x --＜的解集是 .5、设a 、b 、c 、d 为实数，给出三个命题：①0ab cd ＞＞，则a dc b ＞；②若a b ＞，则11*()nna b n N ∈＞；③若11nna b ＞，则*()a b n N ∈＞.那么其中真命题的个数是 .6、如果a R ∈，且20a a +＜，那么a 、2a 、a -、2a -的大小关系是 .7、若0a ＞，0b ＞，且231a b +=，则ab 的最大值是 .8、已知集合214x a A a x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭有唯一实数解，则A= （用列举法表示）.9、若不等式1a xx b---＜的解集是{}3x x ＞，那么实数a 、b 的一组可能值为 . 10、不等式223221x x k x x ++++＞对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 . 11、设不等式23x -＞的解集为A ，不等式112377x x x -++--＞的解集为B ，则下列结论中正确的是（）.（A ）A B （B ）B A（C ）A=B （D ）以上结论都不对 12、若0ab ＞，则下列不等式不一定成立的是（）. （A ）22a b ab +≥ （B ）222a b ab +≥- （C）2a b +≥ （D ）2b aa b+≥ 13、"x y ＞" 的一个充分条件是（）.（A ）22x y ＞（B ）x y ＞（C（D ）11y x ＞14、下列命题中，真命题是（）.（A ）若a b ＞，则22a b ＞（B ）若a b ＞，则11a b ＜（C ）若a b ＞，则22a b ＞（D ）若a b ＞，则a b ＞ 15、试比较38a a +与254a +的大小.16、已知集合{}2(1)0,A x x a x a x R =-++∈＜，{}2310,B x x x x R =+∈＜. 若 A B ⊆，求a 的取值范围.17、若不等式2220x ax a a -+-＞在[]0,1x ∈时恒成立，求a 的取值范围.18、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm ²，画面的长与宽之比为，(01)λλ＜＜，画面的上、下各留8cm 空白，左右各留5cm 空白. 试问：当λ 为何值，宣传画所用纸张面积最小？第二组 2-20——【完成本组需75分钟】1、若0a b ＞＞，比较大小：3a b 3ab .2、若x 满足11x ＞和28x ＜，则x 的取值范围是 . 3、若不等式()0f x ≥的解集为[]2,4，不等式()0g x ≥的解集为∅，则()0()f xg x ＞的解集是 .4、使不等式23100x x --＞成立的负值x 的取值范围是 .5、若正整数a 、b 满足4432a b ⋅=，则3ab 的最大值是 .6、若x R ∈，则"11x +＜" 是 "2x ＜" 成立的条件.7、下列命题中，正确的个数是 .① 1xx +的最小值是2； ② 2的最小值是2；③2的最小值是2； ④ 423x x --的最小值是2.8、对任意实数x ，若不等式12x x m +--＞恒成立，则m 的取值范围是 .9、关于x 的不等式0ax b -＞的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +-＞的解集是 .10、已知a 、b 、c R +∈，则1a b +、1b c +、1c a +三个数与2的大小关系是 .11、与不等式24x ＞同解的不等式是（）. （A ）211444x x x ++--＞（B ）2114x x x++＞（C ）24x + （D ）2104x -＜ 12、下列不等式一定成立的是（）.（A ）x y +≥ （B ）x y +≥（C ）x y +≥ （D ）x y +≥ 13、若02a b ＜＜＜，则a b -的取值范围是（）. （A ）22a b --＜＜（B ）20a b --＜＜（C ）02a b -＜＜（D ）不能确定14、设a 、b 、c R ∈，有下列命题：①若22a b ＞，则a b ＞；②若22a b ＞，则11a b ＜；③若a b ＞，则22ac bc ＞；④若0a b ＞＞，0c ＞，则11ac bc a b--＜，其中假命题的个数是（）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 15、解不等式：(1)01ax a x +--＜.16、若{}231A x x =-≥，{}222(1)(1)0B x x a a x a a =-+-+-＜. 若B A ⊆，求实数a 的取值范围.17、已知不等式组22430680x x x x ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩＜＜的解集是不等式2290x x a -+＜的解集的子集，求实数a 的取值范围.18、是否存在实数p ，使适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3？如果存在，求出实数p 的值；如果不存在，请说明理由.第三组 2-21——【完成本组需75分钟】1、若a b ＞，0ab ≠，则21a b 与21ab的大小关系为 . 2、设全集U R =，集合41A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭＞，{}2230B x x x =--＜，则()U C A B = .3、若不等式()()0x a x b x c++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞，则a b +的值是 .4、甲离学校10公里，乙离学校a 公里，乙离甲3公里，那么实数a 的取值范围是 .5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]=3π，[]1.2=2 --，1=02 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则使21=3x ⎡⎤-⎣⎦成立的x 的取值范围是 . 6、若1a b c ＞＞＞，按从小到大排列顺序为 . 7、在等式191a b=+的a 、b 处各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，则a = ，b = .8、要使不等式22262x mx -≤-+≤恰有一解，则m = .9、若实数a 、b 、c 同时满足下列条件：①0abc ＞；②0a b c ++＞；③ab bc ++ 0ca ＜，则下列判断正确的是（将正确判断的序号都填上）. 10、若不等式221(1)x x m x x -+++＞对一切实数x 恒成立，那么m 的取值范围是 .11、下列各组不等式中，同解的一组为（）.（A ）20x x -＞与20x x -＜（B ）11x -＞与11x ＜（C 2与14x -＜（D ）111x x x++＜与1x ＜12、已知正实数a 、b 满足2a b +=，且a b ≠，则ab 、1、222a b +的大小关系正确的是（）.（A ）2212a b ab +＜＜（B ）2212a b ab +＜＜（C ）2212a b ab +＜＜（D ）2212a b ab +＜＜13、不等式(21)(1)0x x --＜成立的充要条件是（）.（A ）1x ＞或12x ＜（B ）1x ＞或112x -＜＜（C ）112x -＜＜（D ）1x -＜或12x ＞14、已知0a b ＜＜，下列结论中正确的是（）.（A ）不等式11a b ＞与11a b ＞均不能成立（B ）不等式11a b a -＞与2211a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞均不能成立（C ）不等式11a b a -＞与11a b ＞均不能成立（D ）不等式11a b ＞与2211a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞均不能成立15、解关于x 的不等式22ax a bx b --＞.16、已知集合{}22240A x x x =--＜，集合{}22430B x x ax a =-+＜. 若B A ⊆，求实数a 的取值范围.17、已知不等式2320ax x -+＞的解集为{}1x x x b ＜或＞.（1）求a 、b 的值；（2）解不等式：0 ()c x c ax b-+＞为常数18、是否存在2(0)y ax bx c a =++＞，它的图像经过点(1,2)，且对一切x R ∈，都有221ax bx c x ++≤+？若存在，试求出一组a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3一元二次不等式2.3.1一元二次不等式及其解法第1课时一

跟踪训练1 (1)不等式 x + 1 x − 2 ＜0的解集为( B )
A．{x|x＜－1或x＞2} B． x −1＜x＜2
C．{x|x＜－2或x＞1} D． x −2＜x＜1
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为( A )
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1}
{x|1 −
1－
3 ＜x＜1＋
3
3}
3
.
所以不
等
式
−3x2
＋
6x －
2
＞
0
的
解
集是
{x|1－
3 3
＜x＜1＋ 3}.
3
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12，
画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，
结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是 {x|x = 12}.
方法归纳
易错警示
易错原因
忽视a的范围致误，易错选C.
纠错心得
根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M ∩ N＝ ()
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2 对根的大小进行讨论例4 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0. (1)当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a； (2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0， ∴x＝－1； (3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a. 综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．

高中沪教版高一年级第一学期领航者第二章2.3其他不等式的解法(1)

沪教版高一年级第一学期领航者第二章2.3其他不等式的解法（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式()2702x x +≥-的解集是______．2．不等式101x x +≥-的解集是______． 3．不等式1223x x+≤-的解集是______．4．在平面直角坐标系内，若点3121,1a a a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭在第二象限内，则实数a 的取值范围是______．5．已知集合21A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}1B x x a =->，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是______．二、单选题 6．不等式321xx <-的解是（） A ．[)2,1- B ．(]2,1- C ．()2,1-D ．()1,2-7．“()20a a -<”是“21>a”成立的（） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件8．设0a >，0b >，不等式1b a x-<<的解集是（） A ．()10b x x a-<<≠ B ．()110x x a b-<<≠C ．1x b <-或1x a > D ．11x a b-<<三、解答题9．当m 为何值时，关于x 的方程()()132m x x -=+的解是：（1）正数；（2）负数．10．已知关于x 的不等式()()2211201k x k x x x -+-+>-+的解集是R ，求实数k 的取值范围．11．已知不等式()()230a b x a b ++-<的解为13x <-，求不等式()()320a b x b a -+->的解集．12．国家收购某种农副产品的价格是8000元/t ，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划收购m 万吨，决定税率降低x 个百分点（08x <<），预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．参考答案1．{}()72,-+∞【解析】【分析】分为7x =-和7x ≠-两种情形，解出不等式即可. 【详解】当7x =-时，显然满足题意；当7x ≠-时，()270x +>，原不等式等价于20x ->，即2x >，综上得原不等式的解为{}()72,-+∞，故答案为{}()72,-+∞.【点睛】本题主要考查了高次不等式的解法，分类讨论思想，同时该题还可以“采用穿针引线法”，属于基础题. 2．(](),11,-∞-+∞【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可. 【详解】原不等式等价于()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x ≤-或1x >，即原不等式的解为(](),11,-∞-+∞，故答案为(](),11,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，属于基础题. 3．32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【分析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可.∵1223xx+≤-，∴12023xx+-≤-，即7332xx-≥-，等价于()()73320320x xx⎧--≥⎨-≠⎩，解得37x≤或23x>即不等式的解集为32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞⎪⎥⎝⎦⎝⎭，故答案为32,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，考查转化思想，属于中档题．4．1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【分析】由第二象限点的特点列出不等式组，化简后求出解集，可得实数a的取值范围．【详解】∵点3121,1aaa+⎛⎫-⎪-⎝⎭在第二象限内，∴210311aaa-<⎧⎪+⎨>⎪-⎩，则12113aa a⎧<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或，解得13a<-，∴实数a的取值范围是1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，故答案为1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了各个象限内点的特征，分式不等式的化简及求解，考查转化思想，属于中档题．5．(),1-∞解分式不等式以及一元一次不等式得到集合A ，B ，根据集合的关系列出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】 ∵{}221002xA xx x x x x ⎧⎫-⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}11B x x a x x a =->=>+，又∵A B ⋂≠∅， ∴12a +<，解得1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞，故答案为(),1-∞. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，由集合的关系求参数的取值范围，属于中档题． 6．C 【分析】根据分式不等式的解法，将其等价转化为一元二次不等式，求出不等式的解集即可．【详解】∵321x x <-，∴3 201xx -<-， ∴32201x x x -+<-，即201x x -<+，解得：21x -<<，故不等式的解集是()2,1-，故选C. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，考查转化思想，属于中档题. 7．A 【分析】分别解出不等式，得到两不等式解集相等，得“()20a a -<”是“21>a”成立的充要条件. 【详解】∵“不等式()2002a a a -<⇒<<，不等式221002a a a a->⇒>⇒<<， ∴两不等式解集相等， ∴“()20a a -<”是“21>a”成立的充要条件，故选A ．【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式性质的合理运用． 8．C 【分析】由题意可知0b -<， 10a >，再分别解1b x -<和1a x<，取两不等式解集的交集即可. 【详解】∵0a >，0b >，∴0b -<， 10a>当1a x <时，得1x a>或0x <；当1b x-<，得0x >或1x b <-，∴不等式1b a x -<<的解集是1x x b ⎧<-⎨⎩或1x a ⎫>⎬⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，关键是判断与0的关系，属于中档题． 9．（1）6m <-或3m >（2）63m -<< 【分析】求解得出()633m x m m +=≠-，（1）令603mx m +=>-，解分式不等式得m 的取值范围；（2）令603mx m +=<-，解分式不等式得m 的取值范围. 【详解】∵()()132m x x -=+，∴()633mx m m +=≠-，（1）令603mx m +=>-，等价于()()630m m +->，解得6m <-或3m >，即m 的取值范围是6m <-或3m >.（2）令603mx m +=<-，等价于()()630m m +-<，解得63m -<<，即m 的取值范围是63m -<<.【点睛】本题考查了函数的零点，方程的根，不等式的求解问题，属于简单的综合题目，关键是确定不等式，求解即可． 10．19k ≤< 【分析】先判断分母恒为正，将不等式进行转化，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．【详解】∵210x x -+>恒成立，∴不等式()()2211201k x k x x x -+-+>-+等价为()()21120k x k x -+-+>恒成立，若1k =，则不等式等价为20>，满足条件．若1k ≠，则要使不等式恒成立，则满足()()2101810k k k ->⎧⎪⎨=---<⎪⎩，即()()1190k k k >⎧⎨--<⎩，即119k k >⎧⎨<<⎩，解得19k <<，综上19k ≤<，即实数k 的取值范围是[)1,9．【点睛】本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，属于中档题.11．(),3-∞- 【分析】先根据不等式()()230a b x a b ++-<的解集求出系数a ，b 的关系式，再利用a ，b 的关系式解不等式()()320a b x b a -+->即可．【详解】∵()()230a b x a b ++-<的解集是13|x x ⎧<-⎫⎨⎬⎩⎭，∴()()1()230 30a b a b a b ⎧+-+-=⎪⎨⎪+>⎩，于是20a b =>，0b >，不等式()()320a b x b a -+->，即为30bx b -->，亦即3bx b ->， ∴3x <-，故所求不等式的解集为(),3-∞-．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，根据不等式的解集得到,a b 的关系是解题的关键，属于中档题． 12．(]0,2 【分析】先得原来税收80008%m ⨯⨯，降低后的税收为()()800012%8%%m x x ⨯⋅+⨯-，列出不等式242880x x +-≤，解不等式即可．【详解】原来的税收为80008%m ⨯⨯万元．降低税率后的税收为()()800012%8%%m x x ⨯⋅+⨯-万元．则()()800012%8%%80008%78%m x x m ⨯⋅+⨯-≥⨯⨯⨯．化简后，得到242880x x +-≤．方程242880x x +-=的解是144x =-，22x =， ∴242880x x +-≤的解集[]44,2-，0,2所以x的取值范围为(]【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的应用，准确阅读题意，建立条件关系式，是解决应用题的基本要求，属于中档题.。