高段数学导学案设计
(完整word版)高中数学必修1第一章导学案
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理 元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示. 知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案 1是整数；12不是整数.没有.梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数答案B解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合. 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3为无理数，④错；0是自然数，⑤错.故选B.反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________.答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的.②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( ) A.a >－4 B.a ≤－2 C.－4<a <－2 D.－4<a ≤－2答案 D解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4<a ≤－2. 类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B .解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求. ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，54}≠B .故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值.解 方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零.当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去).当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.1.下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩D.方程x 2－1＝0的实数根 答案 D2.下面说法正确的是( ) A.所有在N 中的元素都在N *中 B.所有不在N *中的数都在Z 中 C.所有不在Q 中的实数都在R 中 D.方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 答案 C3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C4.下列结论不正确的是( ) A.0∈N B.2∉Q C.0∉Q D.－1∈Z 答案 C5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.课时作业一、选择题1.已知集合A由x<1的数构成，则有()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A答案C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式.2.由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素答案A解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.3.下列结论中，不正确的是()A.若a∈N，则－a∉NB.若a∈Z，则a2∈ZC.若a∈Q，则|a|∈QD.若a∈R，则3a∈R答案A解析 A 不对.反例：0∈N ，－0∈N .4.已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A.0∉MB.1∈MC.－2∉MD.2∈M答案 D解析 ①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y|y |的值为－2，所以集合M 的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5.已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D解析 由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等.6.已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A.－1∉A B.－11∈A C.3k 2－1∈A D.－34∉A 答案 C解析 令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A .令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ；∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A .令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A . 二、填空题7.在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素. 答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素.8.下列所给关系正确的个数是________.①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *. 答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.9.如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________. 答案 x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10.已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝____. 答案 －1解析 ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴ba ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}.∵1∈B ，∴a 2＝1，a ＝±1.由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1. 三、解答题11.已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去. 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意.∴实数a 的值为－32.12.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值.解 (1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0. 此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a －1，则a ＝－1. 此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为1.13.数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1).(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”. 解 (1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12.(2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，23.(3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1，所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a≠1， 进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解).故11－a≠a －1a ，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1.四、探究与拓展14.已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2}答案 B解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}.故选B.15.已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z )不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A . (2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立. ①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数， 所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾. ②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾.所以假设不成立.综上，4k －2∉A .第2课时集合的表示学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.知识点一列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案把它们一一列举出来.梳理把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.知识点二描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征.类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合.(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.跟踪训练1用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合.(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}.(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合.解{(x，y)|y＝x2－2}.反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.跟踪训练2用描述法表示下列集合.(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合.(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}.(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.答案{2 000,2 001,2 004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A.18B.17 D.16 D.15 答案B解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.跟踪训练4定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________. 答案6解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}答案B2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A.{1，－2}B.{x＝1，y＝－2}C.{(－2,1)}D.{(1，－2)}答案 D3.设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A 答案 D4.第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A.{(x ，y )|xy >0} B.{(x ，y )|xy ≥0} C.{(x ，y )|x >0且y >0} D.{(x ，y )|x >0或y >0} 答案 C5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A.{x |x ＝4k －1，k ∈Z } B.{x |x ＝2k －1，k ∈Z } C.{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z } D.{x |x ＝2k ＋3，k ∈Z }答案 A1.在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.课时作业一、选择题1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1} B.{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C.{1,2} D.{(1,2)} 答案 C解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合. 2.集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 因为A ＝{x ∈Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2. 3.集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A.方程y ＝2x －1 B.点(x ，y ) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D. 4.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3} 答案 C解析 当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1. 若x ，y 异号，不妨设x >0，y <0，则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1. 因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}. 5.下列选项中，集合M ，N 相等的是( )A.M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B.M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C.M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D.M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 答案 A解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等. 6.集合{3，52，73，94，…}用描述法可表示为( )A.{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B.{x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N *}C.{x |x ＝2n －1n ，n ∈N *}D.{x |x ＝2n ＋1n ，n ∈N *}答案 D解析 由3，52，73，94，即31，52，73，94，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为{x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *}. 二、填空题7.方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为______. 答案 {2,3} 解析 易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}. 8.集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________. 答案 {1} 解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.9.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________. 答案 3解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素. 10.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝{x |x －23<0}，则集合A －B ＝________. 答案 {x |x ≥2}解析 A ＝{x |x >－12}，B ＝{x |x <2}，A －B ＝{x |x >－12且x ≥2}＝{x |x ≥2}.三、解答题11.已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由.解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同， 所以它们是互不相同的集合.理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}. 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}. 12.用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }. (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}.13.设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3)，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值. 解 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2且a ≠－8，解得a ＝－4. 四、探究与拓展14.设正整数集N *，已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是()A.2 006＝a＋b＋cB.2 006＝abcC.2 006＝a＋bcD.2 006＝a(b＋c)答案C解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足.故选C.15.若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P ＋Q.解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}.1.1.2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马.梳理对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集.梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).知识点三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.梳理定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识点四思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________.答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15B.16C.31D.32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A.P ⊆N ⊆M ⊆QB.Q ⊆M ⊆N ⊆PC.P ⊆M ⊆N ⊆QD.Q ⊆N ⊆M ⊆P答案 B解析 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B. 反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N 、Z 、Q 、R 表示，用符号表示N 、Z 、Q 、R 的关系为________. 答案 NZ Q R命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x <2或x >3}，则A 与B 的关系为( ) A.A ∈B B.B ∈A C.A ⊆B D.B ⊆A 答案 C解析 ∵0<2，∴0∈B .又∵1<2，∴1∈B .∴A ⊆B . 反思与感悟 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}，则( ) A.A ∈B B.A B C.B A D.B ⊆A 答案 B解析 由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值. 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}. (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意.(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1.反思与感悟 集合A 的子集可分三类：∅、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅. 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围.解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意. (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.1.下列集合中，结果是空集的是( ) A.{x ∈R |x 2－1＝0} B.{x |x ＞6或x ＜1} C.{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D.{x |x ＞6且x ＜1}答案 D2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A.P T B.P ∈T C.P ＝T D.P ⊈T 答案 A3.下列关系错误的是( )A.∅⊆∅B.A ⊆AC.∅⊆AD.∅∈A 答案 D4.下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )答案 B5.若A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x >6}，且A ⊆B ，则实数a 可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.课时作业一、选择题1.在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A.1B.2C.3D.4答案B解析①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用属于来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.2.已知集合A＝{x|x＝19(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝49k±19，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为()A.A BB.B AC.A＝BD.A≠B 答案C解析A＝{x|x＝2k＋19，k∈Z}＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}，B＝{x|x＝4k±19，k∈Z}＝{…，－59，－39，－19，19，39，59，…}，故A＝B.3.已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()。
人教课标版(B版)高中数学必修5导学案-不等式的实际应用
3.4不等式的实际应用学习目标：1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
学习重点和难点：重点：不等式的实际应用难点：数学建模【预习达标】1.实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．2.实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．3.探究：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。
若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】例1.某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a 元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28％.问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（x x 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的28％解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
高一数学导学案电子版
高一数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子导学案的形式，为高一学生提供数学学科的系统学习指导。
教学内容涵盖高中数学一年级的主要知识点，如集合、函数、三角学等，注重培养学生数学思维能力、问题解决能力和自主学习能力。
通过精心设计的互动问题和丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高数学素养。
2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们对数学知识有一定的掌握，具备一定的逻辑思维能力和自主学习能力。
由于学生个体差异，教学过程中需关注不同学生的学习需求，充分调动他们的积极性，使他们在数学学习中找到适合自己的方法，提高学习效果。
同时，考虑到学生已适应电子产品的使用，采用电子版导学案有助于提高学生的学习兴趣和便捷性。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握集合、函数、三角学等基本数学概念、性质、定理和公式，形成完整的知识体系。
（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力。
（3）掌握数学基本技能，如运算、推理、证明等，提高数学思维能力和逻辑推理能力。
（4）学会使用电子版导学案，掌握网络资源和电子设备在数学学习中的应用。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生主动发现问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）运用比较、归纳、演绎等思维方法，提高学生的数学思维能力。
（3）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。
（4）借助电子版导学案，引导学生进行个性化学习，提高学习效率。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发他们探索数学奥秘的欲望。
（2）树立正确的数学观念，认识到数学在自然科学、社会科学等领域的重要地位和作用。
（3）培养良好的学习态度，使学生具备勤奋、自律、合作的精神品质。
（4）通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识对个人成长和社会发展的意义。
高中数学第4章框图4.1流程图课堂导学案
教学资料范本高中数学第4章框图4.1流程图课堂导学案编辑：__________________时间：__________________4.1 流程图课堂导学三点剖析各个击破一、画流程图【例1】公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年，其他的年份都不是闰年.将这个规则用程序框图表示.解析:首先根据公历规定画程序框图,再把1980和20xx代入所画的程序框中执行它,检验是否是闰年.这个规律用程序框图表示如下图所示.类题演练 1根据例1的框图,判断1980年是否是闰年.答案：解：执行过程如下图.因此,1980年是闰年.变式提升求一般一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0)的根的流程图.答案：解:二、有关计算机程序与流程图设计【例2】根据下列计算机程序画出其程序流程图.i=1n=i∧3WHILE n<10∧4PRINT ni=i+1n=i∧3WENDEND解析：由程序可知其为求所有立方小于104的正整数,画出程序流程图如下:类题演练 2根据下列计算机程序画出其程序流程图.i=1DOINPUT xIF x>40 THENPRINT xEND IFi=i+1LOOP UNTIL i>10END答案：解:流程图如下:三、有关实际问题的流程图【例3】考生参加某培训中心的考试需以下程序:考前咨询,若是新考生则需注册、编号、明确考试事宜、交费、考试、领取成绩单,最后发证,若不是新生,需出示考生编号,直接到明确考试事宜阶段,以下同新生程序,设计一个考试流程图.解析:由题意画出考试流程图如下:温馨提示在画流程图前,先将上述流程分解成若干比较明确的步骤,并确定这些步骤之间的关系.注意新考生与老考生的不同程序.画图中如果由上而下画因篇幅所限不便处理,可采用从左到右的方式灵活处理实际问题,但应注重简单明了与美观.类题演练 3零件加工过程的流程图工厂加工某种零件有三道工序:粗加工\,返修加工和精加工.每道工序完成时,都要对产品进行检验.粗加工的合格品进入精加工,不合格品进入返修加工;返修加工合格品进入精加工,不合格品作为废品处理;精加工合格品为成品,不合格品为废品.请用流程图表示这个零件的加工过程.答案：解:流程图表示如下：。
高中数学导入案例教案模板
高中数学导入案例教案模板
教学目标：
1. 了解导数的概念及意义
2. 掌握导数的计算方法
3. 能够应用导数解决实际问题
教学重点：
1. 导数的定义
2. 导数的计算方法
教学难点：
1. 利用导数求函数值的变化率
2. 利用导数解决相关问题
教学准备：
1. 教师准备：课件、教案、教学实验器材等
2. 学生准备：笔记本、书本、作业
教学过程：
1. 导入：引导学生回顾函数的概念，对函数的变化率是否有了解，如何求函数的平均变化率等。
2. 导学：通过例题引入导数的概念，讲解导数的定义及含义，并介绍导数的计算方法。
3. 练习：让学生在课堂上进行导数的计算练习，加深对导数的理解。
4. 实践：引导学生进行实际问题的应用，如最优化问题、曲线的切线方程等，让学生运用导数解决问题。
5. 总结：通过课堂讨论总结本节课的重点内容，强化学生对导数的理解。
6. 作业：布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念有了初步的了解，掌握了导数的计算方法及应用技巧。
在以后的教学中，可以通过更多的例题训练，加深学生对导数的理解和掌握。
高一数学导学案
高一数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案”为主题，旨在通过引导学生自主学习、合作探究和问题解决，帮助学生掌握高一数学的基本知识、技能和方法。
具体包括：理解数学概念，熟练运用数学公式，解决实际问题，培养逻辑思维和分析能力，提高数学素养。
2、教学对象教学对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中阶段的数学学习，具有一定的数学基础和逻辑思维能力。
在此基础上，他们对高中数学知识充满好奇，但可能在学习过程中遇到一定的困难。
因此，本教学设计将针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高数学能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，如函数、三角函数、数列、立体几何等；（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学运算能力和解决问题的能力；（3）培养逻辑思维和分析能力，能从多个角度审视问题，形成系统的数学知识体系；（4）掌握数学学习方法，如归纳总结、类比推理、演绎推理等，提高自学能力。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和问题解决，让学生在过程中体验数学知识的形成和发展；（2）运用启发式教学策略，引导学生主动提出问题、分析问题、解决问题，培养创新精神和实践能力；（3）采用多元化的教学手段，如实物演示、多媒体辅助、实际操作等，丰富教学过程，提高教学效果；（4）注重数学思想的渗透，培养学生的数学素养，提高学生对数学美的鉴赏能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，使他们热爱数学，树立学习数学的信心；（2）培养学生积极的学习态度，养成勤奋、严谨、求实的学风，形成良好的学习习惯；（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学技术、社会发展和人类文明中的重要作用，增强社会责任感和使命感；（4）引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达思想，提高数学素养；（5）培养学生团结协作、乐于助人的品质，使他们能够在集体中发挥个人优势，共同进步。
高中数学选修一《两条直线平行和垂直的判定》教案与导学案和同步练习
《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。
两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例 已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 【知识梳理】 一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】 一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究 已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】 知识梳理 二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究 解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例 思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1． 解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则 【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于 直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为， 的斜率，过点， ， 的斜率，， 与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，， ，，解得：，即： 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。
高中数学导学教案模板
高中数学导学教案模板
一、教学目标
1. 知识目标：学生能够掌握本节课所涉及的数学知识点。
2. 能力目标：通过练习和讨论，提高学生解决问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点和难点
1. 重点：本节课的重点是概念的讲解和相关例题的讲解。
2. 难点：难点在于一些抽象概念的理解和应用。
三、教学内容
本节课主要讲解【填写具体内容，如一次函数的性质】。
四、教学过程
1. 导入：通过简单的问题或案例引入本节课的主题。
2. 讲解：对本节课的重点知识点进行讲解，注意引导学生理解概念和方法。
3. 练习：组织学生进行相关练习，巩固所学知识。
4. 讨论：带领学生分组进行讨论或展示，促进学生之间的交流和学习。
5. 总结：对本节课的重点进行总结，梳理所学内容。
五、教学评价
本节课主要通过学生练习和讨论的表现来进行评价，关注学生对知识的理解和运用能力。
六、教学反馈
对学生在本节课中的表现进行适时的反馈，鼓励他们在数学学习中不断进步。
同时，也可以对教学过程进行总结和反思，为下一堂课的教学做好准备。
以上是本节课的教学设计模板，希望能够为您的教学工作提供一些帮助。
祝您教学顺利！。
高一数学导学案全套
高一数学导学案第1课时向量的概念及表示数学建构(一)生成概念引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.(1)定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.(2)向量的表示方法1°几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如;2°字母表示法:如a.(3)模的概念:向量的大小称为向量的模,记作||,模是可以比较大小的.(4)两个特殊的向量1°零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.2°单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.(5)平行向量:方向相同或相反的非零．．向量叫做平行向量.向量a,b平行, 记作a∥b.规定:0与任一向量平行.(6)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a,b相等,记作a=b.规定:0=0.(7)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.(8)共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.如图3,=a,=b,=c,且a∥b∥c,则向量a,b,c可以平移到一条直线上.(图3)(二)理解概念(1)数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(2)0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.(3)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.数学运用【例1】下列命题中正确的是(填序号).①向量a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.[3]【例2】已知O为正六边形ABCDEF的中心,在下图所标出的向量中:(例2)(1)试找出与共线的向量;(2)确定与相等的向量;(3)与相等吗?[4](变式1在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个?变式2如图,在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以A为起点的不同向量,并求其大小.[5](变式2)课堂练习1.有下列命题:①向量的模是一个正实数;②两个相等向量必是两个平行向量;③坐标平面上的x轴和y轴都是向量;④温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是.2.设点O为正方形ABCD的中心,在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中,分别与,相等的向量是————————,3.某人从A点出发向东走了5m到达B点,然后改变方向往东北方向走了10m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点,求的模.课堂小结1.向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示)2.向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)3.两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.第2课时向量的加法数学建构一般地,如何定义向量的加法运算?1.向量的加法的含义如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫做a与b 的和,记作a+b.即a+b=+=.(图2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.说明三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.3.向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律.如图3,作▱OABC,使=a,=b,则==a,==b.因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.(图3)4.向量加法的平行四边形法则图3还表明,对于两个不共线的非零向量a,b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OABC,则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.说明平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.(图4)思考如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么?数学运用)【例2】如图,已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,求证:++ =0.(例2)【例3】在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?(例3)四、课堂练习1.在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于______2.化简:(1)++=_____-; (2)++++=___3.在正六边形ABCDEF中,=a,=b,则=________(用a,b表示).4.在Rt△ABC中,∠A=90°,若||=3,||=4,则|+|=_______.第3课时向量的减法数学建构问题1类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗?向量的减法是向量的加法的逆运算.若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.问题2类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗?作法:如图1、图2,在平面内任取一点O,作=a,=b.(图1)(图2)因为+=,即b+=a,所以=a-b.这就是说,当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.由向量加法结合律可知,[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a,所以a-b=a+(-b).这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.三、数学运用【例1】如图,已知向量a,b,求作a-b.[3](例1)(例2)【例2】如图,O是▱ABCD对角线的交点,若=a,=b,=c,试证明:b+c-a=.四、课堂练习【例3】证明:对于任意两个向量a,b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.1.在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD 的形状为____________2.下列各式中,能化简为的是__________(填序号).①+(-);②(-)+(-);③--;④-+.3.在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则-=_______4.设D是正三角形ABC的BC边中点,若|-|=1,则|-|=______.第4课时向量的数乘一、问题情境一艘船上午8点从某港口出发,以v km/h的速度向南偏东45°的方向航行,下午1点半该船到达何处?若设该船每小时的位移为a,则该船5.5小时的位移应如何表示?二、数学建构问题1位移为5.5a,它是向量吗,有什么特点?问题2向量5.5a可以看成什么运算的结果?问题3一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,叫做向量的数乘, 那它的方向、大小与向量a有什么关系?(1)|λa|=|λ‖a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0.问题4类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律?根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:(1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.三、数学运用【例1】如图(1),已知向量a,b,c,求作向量3a-2b+c.【例2】计算:(1) 3(a-b)-2(a+2b);(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).【例3】如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N在BD上且BN=BD, 求证:M,N,C三点共线.[4]一般地,对于两个向量a(a≠0)和b,有如下的向量共线定理:如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.证明根据向量数乘的定义可知,对于两个向量a(a≠0)和b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量.反过来,如果向量b与a是共线向量,当b与a同方向时,令λ=;当b与a反方向时,令λ=-;若b=0,则令λ=0.从而有一个实数λ,使b=λa.假设有两个实数λ,λ',使b=λa,b=λ'a,则b-b=(λ-λ')a=0,即|λ-λ'‖a|=0.因为|a|≠0,所以λ-λ'=0,即λ=λ'.从而有且只有一个实数λ,使b=λa.四、课堂练习1.计算:-3(4a-5b)=-_________,2(2a-3b)-4(3a-2b)= -_________,.2.若向量a,b,c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=-_________,.3.已知点R在线段PQ上,且=,设=λ,则λ=-_________,.4.已知向量a=e1-e2,b=-3(e2-2e1),求证:a与b是共线向量.五、课堂小结1.理解并掌握向量数乘的定义及运算律.2.理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.第5课时向量线性运算习题课问题情境梳理知识结构数学运用【例1】设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行?【例2】如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,试用a,b表示向量, .(例2)【例3】如图,在△OAB中,C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=.(例3)【例4】已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N 两点,且=x,=y,求+的值.四、课堂练习1.下列命题中真命题的个数为1.①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若=,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.2.在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则可用a,b 表示为________________3.设=x+y,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则x+y=_____-4.已知x,y∈R,向量a,b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=_____,y=_____.五、课堂小结1.平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解.2.通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.第6课时平面向量基本定理一、问题情境[3]1.情境:火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.(图1)2.问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示?二、数学建构设e1,e2是平面内两个不共线的向量.活动1请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]活动2a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1,e2表示呢?[5]如图2,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,则有且只有一对实数λ1,λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.因为=+,所以a=λ1e1+λ2e2.(图2)问题1是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量?这样的分解是否唯一?问题2对于平面上两个不共线的向量e1,e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示?[6]平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.定理理解(1)基底e1,e2必须不共线;(2)λ1,λ2是被e1,e2,a唯一确定的实数对.思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系?(平面向量基本定理是向量共线定理的推广)三、数学运用【例1】如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a,=b,试用基底a,b 表示,,和.(例1)变式在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ,μ∈R, 则λ+μ=___【例2】设e1,e2是平面内的一组基底,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2, 求证:A,B,D三点共线.[9]变式设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-k e2,且A,C,D三点共线,求k的值.【例3】如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN 相交于点P,求AP∶PM的值.(例3)(例4)【例4】如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.(1)用a,b表示;(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.四、 课堂练习 1. 在▱ABCD 中, =a ,=b ,=3, M 为BC 的中点,则=-_________, (用a , b 表示).2. 在△ABC 中,D 是AB 边上一点,若=2, =+λ,则λ=-_________,3. 设a , b 是不共线向量,且a +2b =(x-1)a +y b ,则x=-_________,,y=-_________,.4. 已知非零向量a , b 不共线,若m a +b 与a -n b 平行,则mn=.第7课时 平面向量的坐标运算(1)一、 问题情境我们知道,在平面直角坐标系内,点M 可以用坐标(x , y )表示.这种表示在确定点M 的同时也确定了的长度及的方向.换句话说,向量也可以用坐标来表示.二、 数学建构问题1平面向量基本定理的内容是什么?[2]问题2 如图1,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底,那么如何用i , j 表示呢?(=3i +4j )(图1)(图2)对于向量a ,如图2,根据平面向量基本定理又如何表示?(由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x , y ,使得a =x i +y j )归纳1 平面向量的坐标表示一般地,对于向量a ,如图2,当它的起点移至原点O 时,其终点坐标(x , y )称为向量a 的(直角)坐标,记作a =(x , y ).探究1 相等向量的坐标有关系吗?探究2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢?[3] 问题3 当向量用坐标表示时,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗?[4]设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),那么a +b =(x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(x 1i +y 1j )+(x 2i +y 2j )=(x 1+x 2)i +(y 1+y 2)j =(x 1+x 2, y 1+y 2).同理得a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1).归纳2 已知向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)和实数λ,那么a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2), λa =(λx 1,λy 1).问题4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系?如图3,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图3)归纳3一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.三、数学运用【例1】如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标.【例2】已知a=(2, 1),b=(-3, 4),求a+b,a-b, 3a+4b的坐标.变式已知a=(x, 2),A(1,-1),B(-2,y),且a=,求x,y的值.【例3】(1)已知a=(-1, 2),b=(1,-1),c=(3,-2),且有c=p a+q b,试求实数p,q的值;(2)已知a=(2, 1),b=(1,-3),c=(3, 5),把a,b作为一组基底,试用a,b表示c.变式已知a=(2,-4),b=(-1, 3),c=(6, 5),p=a+2b-c,试以a,b为基底求p.【例4】已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1), 求点P的坐标.[8]*【例5】已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求顶点D的坐标.(例5)变式已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.四、课堂练习1.已知向量a=(1, 1),b=(1,-1),则向量a-b=________.2.已知O是坐标原点,A(-2, 1),B(4,-3),且-3=0,则=_______3.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为____________.第8课时平面向量的坐标运算(2)一、问题情境前面我们如何判定向量a,b平行(或共线)?向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?二、数学建构活动1引导学生回顾平面向量共线定理.如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.活动2判断向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?[3]归纳一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.概念理解当a=0时,由于0与任意向量平行,故x1y2-x2y1=0恒成立.三、数学运用【例1】(教材第80页例5)已知a=(1, 0),b=(2, 1),当实数k为何值时,向量k a-b 与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向.[5]变式1已知a=(2, 3),b=(-1, 2).若k a-b与a-k b平行,求实数k的值.变式2已知点A(-1,-1),B(1, 3),C(1, 5),D(2, 7),向量与平行吗?直线AB平行与直线CD吗?【例2】已知点O,A,B,C的坐标分别为(0, 0),(3, 4),(-1, 2),(1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立?解释你所得结论的几何意义.[6]变式已知O(0, 0),A(1, 2),B(4, 5),点P坐标满足=+t(t∈R).(1)t为何值时,点P在x轴上?t为何值时,点P在y轴上?(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形?若能,求t的值;若不能,请说明理由.【例3】已知点A(x, 0),B(2x, 1),C(2,x),D(6, 2x).(1)求实数x的值,使向量与共线;(2)当向量与共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?[【例4】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(-2, 1),B(1, 3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q(点P靠近点A)的坐标.四、课堂练习1.当x=_____时,向量a=(2,-3)与b=(x, 9)平行.2.已知向量a=(1, 1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是_______.3.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C构成三角形,则实数m的取值范围为____________第9课时向量的数量积(1)一、问题情境问题1前面已经学过向量加法、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢?问题2物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的?(图1)通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:(1)功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;(2)功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.二、数学建构1.平面向量数量积(内积)已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b 的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.可见,功W就是两个向量F和s的数量积.2.两个向量的夹角问题3向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢?从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b 的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直, 记作a⊥b.理解概念(1)当a≠0且b≠0时,a·b=|a‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.(3)向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”,a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.三、数学运用【例1】已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:(1)θ=135°;(2)a∥b;(3)a⊥b.问题1在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质?[3]由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:(1)当a与b同向时,a·b=|a‖b|;(2)当a与b反向时,a·b=-|a‖b|;(3)a·a=a2=|a|2,|a|=;(4)当a⊥b时,a·b=0.问题2定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢?即向量数量积的运算律是什么?设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.【例2】已知向量a与b的夹角为120°,|a|=2,|b|=3,求: (1)(a+b)·(a-b);(2)|a-b|.变式根据例2中的条件求|a+2b|.【例3】已知x=a+b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b.(1)求|x|,|y|;(2)若x与y的夹角为θ,求cosθ的值.四、课堂练习1.有下列命题:①若a·b=0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是_________.2.在▱ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,那么·=_____,·=________.3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.第10课时向量的数量积(2)二、数学建构1.投影的概念定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.(一)理解概念(图1)①投影也是一个数量,不是向量;②当θ为锐角时(图1),与a同向,投影为正值;当θ为钝角时(图2),与a反向,投影为负值;当θ为直角时(图3),投影为0;当θ=0°时,投影为|b|;当θ=180°时,投影为-|b|.(图2)(图3)问题2向量的数量积的几何意义是什么?数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.(二)巩固概念练习已知向量a,b满足|a|=8,|b|=3,它们的夹角为θ.当θ=30°时,a在b上的投影为_______;当θ=90°时,a在b上的投影为________;当θ=120°时,a在b上的投影为_____-.2.对上节课运算律的简要证明(1)交换律:a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.问题3向量的数量积是否满足结合律? (a·b)c=a(b·c)?三、数学运用【例1】已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,问:当k为何值时,(k a-b)⊥(a+2b)?【例2】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.【例3】若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0, 试判断△ABC的形状.变式用向量方法证明:菱形对角线互相垂直.四、课堂练习1.在△ABC中,已知||=||=4,且·=8,则△ABC的形状是________.2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=________.3.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.4.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与k a-b垂直,则k=________五、课堂小结1.向量数量积的几何意义.2.能运用向量数量积处理一些常见的问题,如①向量模的计算;②向量夹角的计算;③判断三角形的形状等.第11课时向量的数量积(3)一、问题情境问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?二、数学建构设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,∴|a|==.问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),∴||=|a|=.这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得cosθ==.(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]三、数学运用【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时: (1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.【例3】在△ABC中,设=(2, 3),=(1,k),且△ABC是直角三角形,求k的值变式将例3中△ABC是直角三角形改为钝角三角形,其他条件不变,求k的取值范围.四、课堂练习1.已知向量a=(-2, 1),b=(1,-3),则a·b=-5,向量a与b的夹角为________.2.已知a+b=(-4, 6),a-b=(2,-8),则a·b=________3.已知向量a=(-3, 2),b=(-1, 0).若λa+b与a-2b垂直,则实数λ=________4.已知平面内四点A(-1, 0),B(0, 2),C(4, 3),D(3, 1),则四边形ABCD________ (填序号,从①正方形,②矩形,③菱形,④平行四边形中选择).5.已知△ABC的3个顶点为A(1, 2),B(4, 1),C(0,-1),求证:△ABC是等腰直角三角形.。
高中数学《数列的性质及递推公式》导学案
第2课时数列的性质及递推公式1.数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项□01a n－1(n≥2，n∈N*)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的□02递推公式．2．通项公式与递推公式的区别与联系1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)仅由数列{a n}的关系式a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)数列{a n}中，a1＝－2，a n＋1＝a n－5，则a4＝________.(2)数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝na n，则a3＝________.(3)数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2020－a2019＝________.(4)(教材改编P33T4)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)，根据数列的前4项，归纳出通项公式为________．答案(1)－17(2)2(3)2019(4)a n＝(n－1)2探究1 由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 拓展提升根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【跟踪训练1】 设数列满足a 1＝1，a n ＝2＋1a n －1(n >1)，试写出这个数列的前4项．解 ∵a 1＝1，∴a n ＝2＋1a n －1(n >1)，∴a 2＝2＋1a 1＝3，a 3＝2＋1a 2＝2＋13＝73，∴a 4＝2＋1a 3＝2＋37＝177.探究2 由数列的递推公式求通项公式例2(1)已知a1＝1，a n＋1－a n＝2(n∈N*)，求{a n}的通项公式；(2)已知a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，求{a n}的通项公式．解(1)a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋1＝2n－1.(2)a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝2n－1.[条件探究]本例(2)中，把“a n＋1＝2a n”改为“a n＋1＝nn＋1a a n”，其他条件不变，该数列的通项公式又如何呢？解∵a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·…·12·1＝1n.拓展提升由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法：当a n＝a n－1＋f(n)时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．(2)累乘法：当a na n－1＝g(n)时，常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1求通项．【跟踪训练2】已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝a na n＋1.(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)∵a1＝1，且a n＋1＝a na n＋1，∴a2＝11＋1＝12，a3＝1212＋1＝13，a4＝1313＋1＝14，a5＝1414＋1＝15.(2)由a n＋1＝a na n＋1且a1＝1知a n>0，所以1a n＋1＝a n＋1a n＝1a n＋1，即1a n＋1－1a n＝1，于是1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a3－1a2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n－1＝1＋1＋1＋…＋1＝n，∴a n＝1n(n∈N*)．探究3周期数列问题例3在数列{a n}中，a1＝12，a n＝1－1a n－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：a n＋3＝a n；(2)求a2018.解(1)证明：a n＋3＝1－1a n＋2＝1－11－1a n＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1 ＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2018＝a 3×672＋2＝a 2＝－1，∴a 2018＝－1.拓展提升求周期数列周期的方法周期数列问题是数列中的一个重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中．解决周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．【跟踪训练3】 已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2018＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－6答案 B解析 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3， a 4＝a 3－a 2＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6， a 6＝a 5－a 4＝－6＋3＝－3， a 7＝3，a 8＝6，a 9＝a 3，a 10＝a 4， ∴数列{a n }的周期为6， ∴a 2018＝a 6×336＋2＝a 2＝6.故选B.探究4 数列的函数性质例4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n (n ∈N *)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由．解 解法一：作差比较a n ＋1与a n ，判断{a n }的单调性． 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1－(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ×5－n8.当n <5时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝5时，a 6－a 5＝0，即a 6＝a 5； 当n >5时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<a 4<a 5＝a 6>a 7>a 8>…，所以当n ＝5或n ＝6时，数列{a n }有最大值，即最大项a 5＝a 6＝7685. 解法二：作商比较a n ＋1与a n ，判断{a n }的单调性，a n ＋1a n ＝(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n＝7(n ＋3)8(n ＋2).令a n ＋1a n >1，解得n <5；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝5；令a n ＋1a n<1，解得n >5.故有a 1<a 2<a 3<a 4<a 5＝a 6>a 7>…，所以n ＝5 或6时，{a n }有最大项，且最大项为a 5＝a 6＝7685.解法三：解不等式．假设{a n }中有最大项，且最大项为第n 项，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，(n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，即5≤n ≤6.故当n ＝5或6时，{a n }有最大项a 5和a 6，且a 5＝a 6＝7685. 拓展提升判定数列单调性的方法(1)判断数列的单调性，作差比较a n ＋1与a n 的大小，即比较a n ＋1－a n 与0的大小；或作商比较a n ＋1与a n 的大小，即比较a n ＋1a n与1的大小关系．但要注意项的符号一定时，使用作商比较法才方便．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1)确定n 的取值范围，进而确定{a n }的最大项(或最小项)，也是通常的处理途径．【跟踪训练4】 一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途共有8站(包括A ，B )，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．解 将A ，B 之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数(a n )712151615127该数列的图象如图所示．它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．[规律小结]1.数列的函数特性数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，数列的通项公式就是函数的解析式，因此常用函数的思想方法去解决数列问题，但需注意函数的定义域．2.给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性、单调性等知识，即(1)a n －a n －1＝f (n )满足一定规律时，可以有a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加．(2)a n a n －1＝g (n )满足一定条件时， 可以有a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘．(3){a n }为周期数列，则周期为T (T 为正整数)时，a n ＝a n ＋T ，可将a n 转化为a 1，a 2，…，a T 处理．(4)单调性是数列的一个重要性质．若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N *)的大小．用作差(商)法判断数列增减性的步骤为：①作差(商)；②变形；③定号(与1比较)；④结论．[走出误区]易错点⊳混淆函数与数列的单调性致误[典例] 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋λn ，且{a n }满足a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，则实数λ的取值范围是________．[错解档案] 因为a n ＝n 2＋λn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋λ22－λ24，利用二次函数的图象易知图象的对称轴为n ＝－λ2，故当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．[误区警示] 错解仅考虑了数列{a n }为单调递增数列时的一种情形，事实上，n 的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且满足a 1<a 2时，也成立．[规范解答] (－3，＋∞)解法一：因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，显然，当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧1<－λ2<2，a 1<a 2时，数列{a n }也是单调递增的，此时－3<λ<－2.故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>－3}，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．解法二：直接根据定义来处理．∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0，又a n ＝n 2＋λn ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn >0，∴2n ＋1＋λ>0，λ>－(2n ＋1)，又n ∈N *，∴λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．[名师点津] 数列是特殊的函数，但数列的单调性与函数的单调性又有区别．一般来说，函数的定义域是连续的实数区间，而数列的定义域则是离散的正整数集.1．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.12n －1D.12n －1答案 B解析 ∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴当n ＝1时，a 2＝13a 1＝13，当n ＝2时，a 3＝24a 2＝16，将n ＝1，n ＝2，n ＝3代入四个选项检验可知B 正确．2．下列说法中不正确的是( )A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1,2,3，…，n }上的函数值C ．数列{n 2－4n }的最小项是－3D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列 答案 C解析 C 项中a n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，a 2最小且a 2＝－4.A ，B ，D 都正确．故选C.3．已知数列{a n }满足a 1＝14，a n ＋a n －1＝1(n ∈N *，n ≥2)，那么a 2019的值等于( )A.14B.34 C ．0 D.12答案 A解析 由a n ＋a n －1＝1得a n ＝1－a n －1.又a 1＝14，∴a 2＝34，a 3＝14，a 4＝34，…，由此可知数列{a n }的项以2为周期重复出现，a 2019＝a 1＝14.故选A.4．数列1,3,6,10,15，…的递推关系是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析 a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，a 5＝a 4＋5，…，∴a n ＝a n －1＋n (n ≥2)． 5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋n ，求a 5. 解 由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋n 知，a 2＝2a 1＋1＝5， a 3＝2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3＋3＝27，a 5＝2a 4＋4＝58.A 级：基础巩固练一、选择题1．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A ．1,2,3,4，… B ．1，2，2,22，… C.2，2，2，2，… D ．0，2，2,22，…答案 B解析 逐个验证，故选B.2．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是( ) A ．5－3n B ．3·2n －1－1 C ．5－3n 2 D ．5·2n －1－3答案 D解析 由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3可得a 2＝7，当n ＝2时，经验证只有D 适合． 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10(x ≤6)，a x －7(x ＞6)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫56，1 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＜0，0＜a ＜1，f (7)＜f (6)，解得13<a <56.4．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2021＝( )A ．2006 B.12 C.14 D ．－4答案 B解析 由f (x )为偶函数得0≤x ≤2时，f (x )＝2－x . 又f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于x ＝2对称． 又f (x )的图象关于x ＝0对称，∴f (x ＋4)＝f (x )． ∴a n ＋4＝a n .∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝f (1)＝f (－1)＝12. 二、填空题5．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112解析 由分子中根号下的数比分母大2，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.6．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)． ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断．②中a 1＝a 2，④是摆动数列． 7．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n ，则a 6＝________.答案 －143解析 ∵a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25， a 5＝107，a 6＝－143. 三、解答题8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n .(1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象． 解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a3＝21＋2×12＝13，a4＝31＋3×13＝14，a5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n＝1n.(3)图象如图所示：9．设{a n}是首项为1的正项数列且na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)a n a n＋1＝0(n∈N*)，求a n.解由na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)a n a n＋1＝0，可得(a n＋1－a n)[na n＋1－(n＋1)a n]＝0.当a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n时，a n＝a1＝1.当na n＋1－(n＋1)a n＝0时，a n＋1a n＝n＋1n，所以a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝1·21·32·…·nn－1＝n.综上可知，a n＝1(n∈N*)或a n＝n(n∈N*)．10．已知a n＝9n(n＋1)10n(n∈N*)，试问：数列{a n}有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由．解假设存在a n为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n≥a n－1，a n≥a n＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧9n(n＋1)10n≥9n－1n10n－1，9n(n＋1)10n≥9n＋1(n＋2)10n＋1.解之即得8≤n≤9，故a8＝a9＝99108均为最大项．B级：能力提升练1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列满足a n＋1>a n(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案A解析据题意，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}，满足a n＋1>a n，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.2．已知函数f(x)＝x－1x，数列{a n}满足f(a n)＝－2n，且a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的增减性．解(1)∵f(x)＝x－1x，f(a n)＝－2n，∴a n－1a n＝－2n，即a2n＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±n2＋1.∵a n>0，∴a n＝n2＋1－n.(2)a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)<1.∵a n>0，∴a n＋1<a n，∴数列{a n}是递减数列．。
【人教A版】高中数学必修一：第1章《集合与函数概念》导学案设计(含答案) 1.3.1 第2课时
第2课时 函数的最值[学习目标] 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值.知识点 函数的最大(小)值及几何意义答 不一定.函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素.若仅有对定义域内的任意实数x ，都有f (x )≤M ，但M 不在函数值域内，则M 不能称为函数的最值.例如函数y ＝1x (0<x <1)，对于任意x ∈(0,1)，0<y <1成立，由于0,1不在值域(0,1)内，因此0,1都不是这个函数的最值，这个函数既没有最大值也没有最小值.题型一 利用函数的图象求最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解 作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.反思与感悟 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值.2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.跟踪训练1 (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A.f (－2)，f (3)B.0,2C.f (－2)，2D.f (2)，2答案 C解析 由图象可知，x ＝－2时，f (x )取得最小值为f (－2)＝－1， x ＝1时，f (x )取得最大值为f (1)＝2.(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值.解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.题型二 利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值.解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)，∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0.∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数.∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 反思与感悟 1.当函数图象不易作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值. 2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求证：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数. (2)解 由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2， 当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174. 综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是174，最小值是2.题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，x ∈[－1,1]. (1)若a ＝1，求函数f (x )的最值； (2)若a ∈R ，求函数f (x )的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114，故函数在[－1，－12]上单调递减，在[－12，1]上单调递增，又f (－1)＝3，f (－12)＝114，f (1)＝5，∴函数f (x )的最大值为5，最小值为114.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝－a2.当－a2<－1，即a >2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝4－a .当－1≤－a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )min ＝f (－a 2)＝a 24－a 22＋3＝3－a 24.当－a2>1，即a <－2时，f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝4＋a .综上可知，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，a >2，3－a24，－2≤a ≤2，4＋a ，a <－2.反思与感悟 1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴上取到.2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.3.对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论： (1)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p ). (2)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k . 当p ≤h <p ＋q2时，f (x )max ＝f (q )；当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )；当p ＋q 2<h ≤q 时，f (x )max ＝f (p ).(3)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时， f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ). 当a <0时，可类似得到结论.跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调函数， 故－a ≤－5，或－a ≥5.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}. 题型四 函数最值的实际应用例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.反思与感悟 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.2.实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.跟踪训练4 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销售量减少10(x －50)个.∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元.利用函数最值或分离参数求解恒成立问题例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)，∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2， ∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立 ⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立.设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数.所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.反思与感悟 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .跟踪训练5 设f (x )＝x 2＋4x ＋3，不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3＝(x ＋2)2－1， 由f (x )≥a 恒成立，知f (x )min ≥a ， ∴a ≤－1.1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( ) A.f (2)，f (－2) B.f (12)，f (－1)C.f (12)，f (－32)D.f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32).2.已知函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B.－12 C.1 D.－1 答案 A解析 可知函数f (x )＝1x 在[1,2]上单调递减.∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12.3.函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( )A.0B.32 C.2 D.3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数， 函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数.当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.4.f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________. 答案 9解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1,2]上递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝9.5.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________.答案 6解析 由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤410－x ，x >4，作出函数f (x )的图象如图所示.易知f (x )max ＝f (4)＝6.1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ). 2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.一、选择题1.设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A.只有最大值 B.只有最小值C.既有最大值，又有最小值D.既无最大值，又无最小值 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，画出图象(图略)可知，既无最大值，又无最小值.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案 A解析 ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10， f (x )min ＝2×1＋6＝8.又x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8， f (x )min ＝－1＋7＝6，∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3.函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B. 4.函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.54B.45C.43D.34 答案 C解析 因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，所以11－x (1－x )≤43.故f (x )的最大值为43.5.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( ) A.为增函数，且最小值为－5 B.为增函数，且最大值为－5 C.为减函数，且最小值为－5 D.为减函数，且最大值为－5 答案 B解析 由题意画出示意图，如图所示，可以发现函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.6.已知关于x 的不等式x 2－x ＋a －1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，54)B.(－∞，54]C.(54，＋∞) D.[54，＋∞) 答案 D解析 设f (x )＝x 2－x ＋a －1，问题等价于f (x )的最小值大于或等于0，∵f (x )＝(x －12)2＋a －54，当x ＝12时，f (x )min ＝a －54，所以a －54≥0，解得a ≥54.故选D.二、填空题7.函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________.答案 1解析 函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1.8.函数y ＝－x 2＋x ＋2的最大值为________，最小值为________. 答案 32解析 令u ＝－x 2＋x ＋2，则u ≥0，且u ＝－(x －12)2＋94.所以当x ＝12时，u max ＝94，即y max ＝32.又因为u ≥0，所以y min ＝0. 9.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈(－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案 －5 0解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1,4]时，y min ＝－5，故最小值为－5.同理可得，最大值为0.10.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3和最小值2，则m 的取值范围是________. 答案 [1,2]解析 因为f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 所以f (0)＝f (2)＝3.又因为m >0，所以m ∈[1,2].三、解答题11.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值.解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ，a >1，2－a 2，－1≤a ≤1，3＋2a ，a <－1.12.若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意知x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立.令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.13.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地(如图所示的长方形ABCD )上规划出一块长方形地面建小区公园(公园的一边落在CD 上)，但不超过文物保护区△AEF 的边EF .如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB ＝CD ＝200 m ，BC ＝AD ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m).解 如图所示，设P 为EF 上一点，矩形CGPH 为规划出的公园，PH ＝x ，则PN ＝200－x . 又因为AE ＝60，AF ＝40，所以由△FNP ∽△F AE ，得FN AF ＝PN AE， 所以FN ＝PN AE ·AF ＝200－x 60·40＝23(200－x )， 所以AN ＝AF －NF ＝40－23(200－x )， 所以PG ＝160－AN ＝120＋23(200－x ). 故矩形CGPH 的面积为S ＝x [120＋23(200－x )] ＝－23(x －190)2＋23×1902(140≤x ≤200). 所以当x ＝190时，S max ＝23×1902＝24 06623(m 2). 答 当PH ＝190 m ，PG ＝126 23m 时，公园的面积最大，最大面积为24 066 23m 2.。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
高中数学精彩导入教案
高中数学精彩导入教案
教学目标：
1. 引导学生对数学产生兴趣，提高他们对数学的学习积极性；
2. 帮助学生认识到数学在现实生活中的应用；
3. 激发学生对数学的探索欲望，培养他们的数学思维能力。
导入活动：数学的奇妙世界
1. 观察合作（5分钟）
教师准备了一组数学题目，要求学生分组共同讨论并解决。
通过这些题目，引导学生体会数学的求解过程和探索乐趣，培养他们的合作意识。
2. 探索发现（10分钟）
教师给学生出示一道数学难题，并引导学生思考解决方法。
随着学生的讨论和思考，慢慢揭示出解题的妙处和方法，激发学生对数学的好奇心。
3. 案例分析（10分钟）
教师用一个生活案例来说明数学的应用，让学生认识到数学在现实中的重要性和必要性。
通过案例分析，引导学生理解数学知识的实际用途，激发他们对数学学习的兴趣。
4. 总结反思（5分钟）
学生将自己的学习感悟和体会进行总结，并举手分享。
教师总结本节课的重点和亮点，鼓励学生在日常生活中多多运用数学知识。
教学反思：
通过本节课的导入活动，我发现学生对数学的兴趣得到了有效激发，也更加认识到数学的重要性和实用性。
在以后的教学中，我会进一步引导学生探索数学之美，培养他们的数学思维能力和创造力。
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
§ 正弦定理课型：新讲课 编写人： 审查人：【学习目标和要点、难点】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习内容和学习过程】 一、新课导入 试验：固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着极点 C 转动． 思虑：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有如何的数目关系明显，边 AB 的长度跟着其对角C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来二、新课导学研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下边就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，∠ C=90° 依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a sin A ， bsin B ，又 sin C 1 c ，c c c进而在直角三角形 ABC 中， a b c．sin A sin B sin C研究 2：那么对于随意的三角形，以上关系式能否仍旧成立可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= asin B bsin A ，则 a b c bsin A，同理可得 sin C ，sin B sin B 进而 a b c ．sin A sin B sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立．请你试一试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即a bc．sin Asin Bsin C试一试：（ 1）在 ABC 中，必定成立的等式是（ ）．A ． a sin A b sinB B. a cosA b cosB C. asin B bsin A D. acosB b cosA（ 2）已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝ 8，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于．[ 理解定理 ]（ 1）正弦定理说明同一三角形中， 边与其对角的正弦成正比，且比率系数为同一正数，即存在正数 k 使 a k sin A ，， c k sinC ；（ 2） a b c， c b a c． 等价于sin C ，sin A sin C sin A sin B sin Csin B （ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如 ab sin A ；b ．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值， 如 sin Aasin B ； sinC．b（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作 解三角形 ．三、讲堂稳固例1.在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ， a 42 c m ，解三角形．变式：在 ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm ，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 ,c 1,求a和A, C ．【学习小结】1. 正弦定理：a b c sin A sin B sin C2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法 . 3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．【课后作业】基础部分1.在ABC 中，若sin A b，则 ABC 是（） . sin B aA．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ ABC中， A∶ B∶ C＝ 1∶ 1∶ 4，则 a∶ b∶ c 等于（） .A． 1∶1∶ 4B．1∶1∶2C．1∶ 1∶ 3D．2∶ 2∶ 3 3.在△ ABC中，若sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（） .A.A BB. A BC.A≥D.A、B 的大小关系不可以确立B4.已知ABC中，sin A :sin B :sinC1:3:3，则 a : b : c =．5.已知ABC中，A60， a 3 ，则a b c=．sin A sin B sin C1.已知△ ABC中， AB＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．提升部分2. 已知△ ABC中， sinA∶ sinB∶ sinC＝k∶ (k＋ 1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．§余弦定理课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【学习内容和学习过程】复习 1 ：在一个三角形中，各=．和它所对角的的相等，即=复习2：在△ABC中，已知c10 ，A=45，C=30，解此三角形．思虑：已知两边及夹角，如何解此三角形呢二、新课导学问题：在ABC 中， AB 、BC 、 CA 的长分别为c、a、 b .rC∵r b r，b a∴ b ? bA c B同理可得：2222bc cos A ，a b cc2 a 2b22abcos C ．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其余两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思虑：这个式子中有几个量从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b 2c2 a 2，，．2bc[ 理解定理 ]，这时 c2a2 b 2（ 1）若∠ C= 90，则cosC由此可知余弦定理是勾股定理的推行，勾股定理是余弦定理的特例．（ 2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角．试一试：（ 1）△ ABC中， a 3 3 ，c 2 ， B 150 ，求 b ．（ 2）△ ABC中，a2，b 2 ， c 3 1，求A．三、讲堂稳固例 1. 在△ ABC 中，已知 a 3 ， b 2 ，B45 ，求A, C 和 c ．变式：在△ ABC中，若 AB＝ 5 ， AC＝5，且 cosC＝9，则 BC＝________．10例 2. 在△ ABC 中，已知三边长 a 3 ， b 4 ，c37，求三角形的最大内角．变式：在ABC 中，若 a 2 b 2 c 2 bc ，求∠ A ．【学习小结】1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边． 知识拓展在△ ABC 中， 22若 a b22若 a b 若 a 2 b 2c 2，则角 c 2，则角 c 2，则角C 是直角； C 是钝角；C 是锐角．【课后作业】基础部分1. 已知 a ＝3 ， c ＝2，∠ B ＝ 150°，则边 b 的长为（） .34 B. 34C.13A.D. 13222. 已知三角形的三边长分别为3、 5、 7，则最大角为（）.A ． 60o °B ． 75o °C ． 120o °D ． 150o °3. 已知锐角三角形的边长分别为2、 3、x ，则 x 的取值范围是（ ） .A ． 5 x 13B ． 13 ＜ x ＜5C ． 2＜ x ＜ 5D ． 5 ＜ x ＜5uuuruuur uuur 4.uuur uuur uuur 在△ ABC 中， | AB | ＝3，| AC | ＝2， AB 与 AC 的夹角为 60°，则 | AB － AC | ＝ ________．5. 在△ ABC 中，已知三边 a 、 b 、 c 知足 b 2a 2 c 2 ab ，则∠ C 等于．1. 在△ ABC 中，已知 a ＝ 7， b ＝ 8， cosC ＝ 13，求最大角的余弦值．14提升部分uuur uuur2. 在△ ABC中， AB＝ 5， BC＝ 7， AC＝8，求 AB BC 的值 .§ 正弦定理和余弦定理（练习）课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.进一步熟习正、余弦定理内容；2.掌握在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情况．【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习 2：在△ ABC中，已知A＝，a＝252 ， b＝ 50 2 ，解此三角形．6二、新课导学研究：在△ ABC中，已知以下条件，解三角形.①A＝，a ＝25， b＝ 50 2 ； 6②A＝，a ＝50 6， b＝50 2 ；63③A＝，a ＝50， b＝ 50 2 . 6思虑：解的个数状况为什么会发生变化新知：用以以下图示剖析解的状况（A 为锐角时）．已知边 a,b 和AC C C Cb b b b aa a a aA A A AH B B1 H B2H Ba<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b a b无解仅有一个解有两个解仅有一个解试一试：1.用图示剖析（ A 为直角时）解的状况2．用图示剖析（ A 为钝角时）解的状况三、讲堂稳固例 1. 在ABC 中，已知a80 ， b 100 ， A 45 ，试判断此三角形的解的状况．变式：在ABC中，若a1，c 1， C40 ，则切合题意的 b 的值有_____个．2例2.在ABC 中，A60 ， b 1 ， c 2 ，求a b c的值．sin A sin B sin C【学习小结】1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4.已知三角形两边和此中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种状况）．在ABC中，已知 a,b, A ，议论三角形解的状况：①当A为钝角或直角时，一定a b 才能有且只有一解；不然无解；②当 A 为锐角时，假如 a ≥b，那么只有一解；假如 a b ，那么能够分下边三种状况来议论：（ 1）若a bsin A ，则有两解；（ 2）若a bsin A ，则只有一解；（ 3）若a b sin A ，则无解．【课后作业】基础部分1.已知 a、 b 为△ ABC 的边， A、 B 分别是 a、 b 的对角，且sin A2 ，则 ab的值 =） .sin B3b（1245A. B. C. D.33332.已知在△ ABC中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ 3∶ 5∶ 7，那么这个三角形的最大角是（）.A． 135°B．90°C． 120° D． 150°3.假如将直角三角形三边增添相同的长度，则新三角形形状为（） .A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添长度决定4.在△ ABC中， sinA:sinB:sinC＝ 4:5:6，则 cosB＝．5.已知△ ABC中，bcosC c cosB，试判断△ ABC的形状．1.在 ABC中， a xcm，b2cm ， B 45 ，假如利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围．提升部分a、b、 c，且知足1ab sin C2222. 在ABC中，其三边分别为a b c，求角 C．24§应用举例—①丈量距离课型：新讲课编写人：【学习目标和要点、难点】审查人：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关丈量距离的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1 在△ ABC中， b＝10， A＝ 30°，问 a 取何值时，此三角形有一个解两个解无解二、新课导学例 1. 如图，设A、 B 两点在河的两岸，要丈量两点之间的距离，丈量者在在所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离是55m，BAC= 51，A 的同侧，ACB= 75 . 求 A、B 两点的距离 (精准到 0.1m).发问 1：ABC中，依据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适合发问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢剖析：这是一道对于丈量从一个可抵达的点到一个不行抵达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB 的对角， AC 为已知边，再依据三角形的内角和定理很简单依据两个已知角算出应用正弦定理算出AB边 .AC 的对角，新知 1：基线在丈量上，依据丈量需要适合确立的叫基线 .例 2. 如图， A、B 两点都在河的对岸（不行抵达），设计一种丈量 A、 B 两点间距离的方法 .剖析：这是例 1 的变式题，研究的是两个的点之间的距离丈量问题.第一需要结构三角形，因此需要确立C、D 两点 .依据正弦定理中已知三角形的随意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理能够计算出AB 的距离 .变式：如上图若在河岸选用相距40 米的 C、 D 两点， BCA=60°， ACD=30 ° CDB=45°，BDA =60°求 AB.练：两灯塔 A、B 与大海察看站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在察看站 C 的北偏东 30°，灯塔 B 在察看站 C南偏东 60°，则 A、 B 之间的距离为多少【学习小结】1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图（2）建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，成立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）查验：查验上述所求的解能否切合实质意义，进而得出实质问题的解.2．基线的选用：丈量过程中，要依据需要选用适合的基线长度，使丈量拥有较高的精准度.【课后作业】基础部分1.水平川面上有一个球，现用以下方法丈量球的大小，用锐角 45 的等腰直角三角板的斜边紧靠球面， P 为切点，一条直角边 AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，假如测得 PA=5cm，则球的半径P等于（） .A CA． 5cmB． 52cmC． 5( 2 1)cmD． 6cm2. 台风中心从 A 地以每小时20 千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30 千米内的地域为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处， B 城市处于危险区内的时间为（）.A．小时B． 1 小时C．小时D．2 小时3. 在ABC 中，已知(a2b2 )sin( A B) (a2b2 )sin( A B) ，则ABC 的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，已知a 4，b 6， C 120o，则sin A的值是．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60o，行驶４ h 后，船抵达C 处，看到这个灯塔在北偏东 15o，这时船与灯塔的距离为km ．1. 隔河能够看到两个目标，但不可以抵达，在岸边选用相距3 km 的C、D 两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠ BCD＝ 45°，∠ ADC＝ 30°，∠ ADB＝ 45°， A、 B、C、D 在同一个平面，求两目标 A、 B 间的距离 .提升部分2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里，且在北偏东30与 A 相距 15 6 海里，且在北偏西75 方向.船由 A 向正北方向航行到B 在南偏西60方向 . 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里方向；测得灯塔D 处，测得灯塔B§应用举例—②丈量高度课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题；2.丈量中的相关名称 .【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：在ABC中，cos Ab5 ，则ABC的形状是如何cos B a3复习 2：在 ABC中， a 、b、c 分别为 A、 B、 C的对边，若a : b: c =1:1: 3，求 A:B:C 的值 .二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方向角方向角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度 ---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角 ---视野与水平线的夹角当视野在水平线之上时，之下时，称为俯角.称为仰角；当视野在水平线研究：物高度AB 是底部 B 不行抵达的一个建筑物，AB 的方法 .A 为建筑物的最高点，设计一种丈量建筑剖析：选择基线HG，使 H、 G、 B 三点共线，要求 AB，先求 AE在ACE 中，可测得角，要点求AC在ACD 中，可测得角，线段，又有故可求得AC三、讲堂稳固例 1. 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点角=54 40，在塔底 C 处测得 A 处的俯角=50A 的俯1 .已知铁塔 BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精准到 1 m)例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15 的方向上，行驶5km 后抵达B处，测得此山顶在东偏南25 的方向上，仰角为8 ，求此山的高度CD.问题 1：欲求出 CD，思虑在哪个三角形中研究比较适合呢问题 2：在 BCD中，已知 BD 或 BC都可求出 CD，依据条件，易计算出哪条边的长变式：某人在山顶察看到地面上有相距2500西 57°，俯角是60°，测得目标 B 在南偏东米的A、B 两个目标，测得目标78°，俯角是 45°，试求山高.A 在南偏【学习小结】利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方向图，要懂得从所给的背景资猜中进行加工、抽取主要要素，进行适合的简化.在湖面上高h处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为hg sin() .sin()【课后作业】基础部分1. 在ABC中，以下关系中必定成立的是（） .A．a b sin A B．a bsin AC．a b sin A D．a bsin A2. 在ABC 中， AB=3，BC= 13 ， AC=4，则边 AC 上的高为（） .A ．3 2B ．3 3C ．3D ．3 32 2 23. D 、C 、B 在地面同向来线上， DC=100 米，从 D 、C 两地测得 A 的仰角分别为 30o 和 45o ，则 A 点离地面的高 AB 等于（ ）米．A ． 100B ． 50 3C ．50( 3 1)D ．50 (3 1)4. 在地面上 C 点，测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60 和 30 ，已知塔基 B 超出 地面 20m ，则塔身 AB 的高为 _________ m ．5. 在ABC 中， b 2 2 ， a 2 ，且三角形有两解， 则 A 的取值范围是 ．1. 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为30°，测得塔基 B 的俯角为 45°，则塔 AB 的高度为多少 m提升部分2. 在平川上有 A 、 B 两点， A 在山的正东， B 在山的东南，且在 A 的南偏西 15°距离300 米的地方，在 A 侧山顶的仰角是 30°，求山高 .§应用举例—③丈量角度课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关计算角度的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入.复习1：在△ABC中，已知c 2 ，C，且1absin C 3 ，求a，b .32二、新课导学例 1. 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75 的方向航行n mile 后抵达海岛 B，而后从 B 出发，沿北偏东32的方向航行n mile 后达到海岛 C.假以下次航行直接从 A 出发抵达 C，此船应当沿如何的方向航行，需要航行多少距离(角度精准到，距离精准到mile)剖析：第一由三角形的内角和定理求出角ABC，而后用余弦定理算出AC边，再依据正弦定理算出AC边和 AB 边的夹角CAB.例 2. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C处有一艘走私船，正沿南偏东 75 的方向以 10 海里 / 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立刻以 14 海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追需要多少时间才追追上该走私船手试一试练 1. 甲、乙两船同时从 B 点出发，甲船以每小时10( 3 ＋ 1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南偏东60°的方向航行， 1 小时后甲、乙两船分别抵达A、C 两点，求A、 C 两点的距离，以及在 A 点察看 C 点的方向角 .练 2. 某渔轮在 A 处测得在北偏东45°的 C 处有一鱼群，离渔轮9 海里，并发现鱼群正沿南偏东75°的方向以每小时10 海里的速度游去，渔轮立刻以每小时14 海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群【学习小结】1. 已知量与未知量所有集中在一个三角形中，挨次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量波及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐渐在其余的三角形中求出问题的解.拓展已知 ABC的三边长均为有理数， A= 3，B=2，则 cos5是有理数，仍是无理数由于 C5，由余弦定理知cosC a 2b2c2为有理数，2 ab)cosC 为有理数 .因此 cos5cos(5【课后作业】基础部分1.从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为（）.A．B．=C．+=90o D．+=180o2.已知两线段 a 2 ，b 2 2 ，若以 a 、b为边作三角形，则边 a 所对的角 A的取值范围是（） .A． (, )B． (0,]636C． (0,)D． (0,]2243.对于 x 的方程 sin Agx sin C0 有相等实根，且 A、B、C 是 ABC 的三个2sin Bgx内角，则三角形的三边a、 b、c 知足（） .A．b ac B．a bcC．c ab D． b2ac4.△ ABC 中，已知 a:b:c=( 3+1):( 3 -1): 10 ，则此三角形中最大角的度数为.5.在三角形中，已知 :A，a， b 给出以下说法 :(1)若 A≥ 90°，且 a≤ b，则此三角形不存在(2)若 A≥ 90°，则此三角形最多有一解(3)若 A＜ 90°，且 a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且(4)当 A＜ 90°， a<b 时三角形必定存在(5)当 A＜ 90°，且 bsinA<a<b 时，三角形有两解B=90°此中正确说法的序号是.提升部分1. 我舰在敌岛 A 南偏西50以 10 海里 / 小时的速度航行敌舰相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用10 的方向2 小时追上§应用举例—④解三角形课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决相关三角形的问题；2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3.能证明三角形中的简单的恒等式．【学习内容和学习过程】复习 1：在ABC 中（ 1）若 a1,b3, B120，则 A等于．（ 2）若 a 3 3 ，b2， C150 ，则c_____．复习 2：在 ABC 中，a33， b 2 ， C150，则高 BD=，三角形面积=．二、新课导学研究：在ABC中，边 BC上的高分别记为h a，那么它如何用已知边和角表示h a =bsinC=csinB依据从前学过的三角形面积公式S= 1ah，2S=1代入能够推导出下边的三角形面积公式，absinC，2或 S=，同理 S=．新知：三角形的面积等于三角形的随意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．三、讲堂稳固例 1. 在ABC 中，依据以下条件，求三角形的面积（ 1）已知 a=， c=， B= ；（ 2）已知 B= ， C= ， b=；（ 3）已知三边的长分别为a=，b=，S（精准到 2 ）：c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的地区改造成室内公园，经过测量获得这个三角形地区的三条边长分别为 68m， 88m， 127m，这个地区的面积是多少（精准到2）例 2. 在ABC 中，求证：（1） a 2b2sin2 A sin2 B ；c2sin2 C（2） a 2 + b 2 + c2 =2（ bccosA+cacosB+abcosC）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 着手试一试练1.在ABC 中，已知a，33cm，B45o，则ABC 的面积是．28cm c练 2. 在ABC 中，求证：c(a cos B b cos A) a 2b2．【学习小结】1. 三角形面积公式：S= 1absinC= = ．22. 证明三角形中的简单的恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理， “边”化“角”或“角”化“边”．识拓展三角形面积 Sp( p a)( p b)( p c) ，这里 p1( a b c) ，这就是着名的海伦公式．2【课后作业】 基础部分1. 在 ABC 中， a2,b 3, C 60 ，则 S ABC （ ）.A. 23B.3 C. 3D. 322 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为 3 ，面积为 9，那么这个三角形的两边长分） .5 2别是（A.3和5B.4和6C.6和 8D.5和 73. 在 ABC 中，若 2cosB sin AsinC ，则 ABC 必定是（ ）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4. ABC 三边长分别为3,4,6 ，它的较大锐角的均分线分三角形的面积比 是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为 a 54cm ， b 61cm ， c 71cm ，则ABC 的面积是 ．6. 已知在ABC 中， B=30，b=6， c=6 3 ，求 a 及 ABC 的面积 S ．提升部分2. 在△ ABC 中，若 sin A sin B sin C (cos A cos B) ，试判断△ ABC 的形状 .第一章解三角形（复习）课型：新讲课编写人：审查人：【学习目标和要点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关丈量距离的实质问题【学习内容和学习过程】一、新课导入复习 1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及此中一边所对的角解三角形（要议论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习 2：应用举例①距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为 2 公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变 . 则斜坡长变成 ___．二、新课导学例 1. 在ABC中 tan( A B) 1 ，且最长边为1，tan A tan B ，tan B 1，求角 C的大小及△ABC最短边的长．2例 2. 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等候营救．甲船立刻前去营救，同时把信息见告在甲船的南偏西30 o，相距 10 海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前去 B 处营救（角度精准到 1 o）北A2010C例3.在ABC 中，设tan A2c b, 求 A 的值．tan B bB手试一试练 1. 如图，某海轮以 60 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 60°，向北航行 40 min 后抵达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30°，海轮改为北偏东 60°的航向再行驶 80 min 抵达 C 点，求 P、 C 间的距离．北C60°B30°A60°P练 2. 在△ ABC 中， b＝ 10，A＝30°，问 a 取何值时，此三角形有一个解两个解无解【学习小结】1.应用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理解决实质问题（丈量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵巧运用正、余弦定理解决问题. （边角转变）．设在ABC 中，已知三边 a ，b， c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是abcRp( p a)( p b )( p c)【课后作业】 基础部分1. 已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A ＝ 30°，∠ B ＝ 120 ，则△ ABC 的面积为（）.A ． 9B ． 18C ．9D ．18 32.在△ ABC 中，若 c 2a 2b 2ab ，则∠ C=（ ） .A ． 60°B ． 90°C ．150°D ． 120°3. 在 ABC 中， a 80 ， b100 ，A=30°，则 B 的解的个数是（ ） .A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．不确立的4. 在△ ABC 中， a 32 ， b2 3 ， cosC1，则 S △ABC _______35. 在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、C 的对边，若 a 2b 2c 22bcsin A ，则 A=___ ____.1. 已知 A 、B 、C 为 ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos B cos C sin B sin C 1 ．2（ 1）求 A ；（ 2）若 a 2 3, b c 4 ，求 ABC 的面积．提升部分2. 在 △ ABC 中， a, b,c 分别为角 2228bc A 、B 、C 的对边， ac b ， a =3， △ ABC 的面积为 6，5（ 1）求角 A 的正弦值； （2）求边 b 、c.。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
高二数学选择性必修一导学案1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 班级： 姓名：【学习目标】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象)3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理)4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大.牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?阅读反馈（阅读课本，完成反馈内容）一、空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 来表示.我们把向量OP 称为点P 的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取a AB =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得ta AP =,即AB t AP =.如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使ta OA OP +=，①或AB t OA OP +=. ②。
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.微练习1.下列说法中正确的是( )A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数y x ,,使AC y AB x OA OP ++=.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线α⊥l ,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合}0|{=⋅AP a P . 微练习2.若直线l 过点)1,2,1(),4,3,1(B A -,则直线l 的一个方向向量可以是( ))23,21,1.(--A )23,21,1.(--B )23,21,1.(C )1,31,32.(-D 微练习3 .若两个向量)1,2,3(),3,2,1(==AC AB ,则平面ABC 的一个法向量为( ))1,2,1.(--A )1,2,1.(B )1,2,1.(-C )1,2,1.(-D位置关系向量表示 线线平行 设21,μμ分别是直线21,l l 的方向向量,则 R l l ∈∃⇔⇔λμμ2121////,使得21μμ=.线面平行 设μ是直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 0//,=•⇔⊥⇔⊄n n l l μμαα则.面面平行 设21,n n 分别是平面βα,的法向量,则 2121,////n n R n n λλβα=∈∃⇔⇔使得平面法向量及其求法例1如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是正方形,侧棱ABCD PD 底面⊥,1==DC PD ,E 是PC 的中点,求平面EDB 的一个法向量.利用向量方法证明线线平行例2在长方体1111D C B A ABCD -中,2,3,41===AA AD AB ,点S R Q P ,,,分别是1111,,,CC AB C D AA 的中点.求证:RS PQ //.利用向量方法证明线面平行例3如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,N M ,分别是111,C B C C 的中点.求证:BD A MN 1//平面利用向量方法证明面面平行例4如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,O 为底面ABCD 的中心,P是1DD 的中点,设Q 是1CC 上的点,问:当点Q 在什么位置时,PAO BQ D 平面平面//1?精讲1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为()z y x n ,,=.(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标()()222111,,,,,c b a b c b a a ==.(3)根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎩⎨⎧=•=•00b n a n(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.2.要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.3.利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量P 与平面内的两个不共线向量b a ,是共面向量,即满足),(R y x yb xa p ∈+=,则b a P ,,共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量P 与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.4.利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.5.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量21//μμ.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.6.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.7.空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合.8.设O 是空间任一点,M 是线段AB 的中点,则)(21OB OA OM +=. 9.若()()()z y x M z y x B z y x A ,,,,,,,,222111为线段AB 中点,则2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=. 课堂练习 1.若不重合的直线21,l l 的方向向量分别为)6,6,3(),2,2,1(--=-=b a ,则( )A.21//l lB.21l l ⊥C.21,l l 相交但不垂直D.不能确定 2.已知线段AB 的两端点坐标为)1,2,9(),4,3,9(=-=B A ,则直线AB ( )A.与坐标平面xoy 平行B.与坐标平面yoz 平行C.与坐标平面xoz 平行D.与坐标平面yoz 相交3.若βα平面平面//,则下面可以是这两个平面法向量的是( )A.)1,2,3(),3,2,1(21-==n nB.)1,2,2(),2,2,1(21-==n nC.)1,2,2(),1,1,1(21-==n nD.)2,2,2(),1,1,1(21---==n n4.已知α//l ,且l 的方向向量为()1,,2m ,平面α的法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21,1,则m = . 5.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,F E ,分别是11,DD BB 的中点,求证:(1)ADE FC 平面//1;(2)F C B ADE 11//平面平面.。
高中数学导学案电子版
高中数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高中数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子版导学案的运用，提高学生对高中数学知识的理解和应用能力。
教学内容涉及高中数学的核心概念、原理和方法，强调学生的主动探索和实践操作，培养他们的问题解决能力和创新思维。
通过引导学生利用电子版导学案进行自主学习，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，使学生在有限的课堂时间内掌握更多的数学知识。
2、教学对象本教学设计的对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和基本的计算机操作技能。
在这个阶段，学生正处于青春期，思维活跃，求知欲强，但同时也存在注意力分散、学习耐心不足等问题。
因此，针对这一年龄段的学生，教师需要运用生动、有趣的教学方法，激发他们的学习兴趣，引导他们主动参与到数学学习中来。
此外，由于学生个体差异，教学过程中还需关注学生的个性化需求，因材施教，使每个学生都能在数学学习中找到适合自己的方法。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，能够运用这些知识解决实际问题；（2）学会运用电子版导学案进行自主学习，提高信息素养和数字化学习能力；（3）掌握数学解题方法和技巧，提高运算速度和准确性；（4）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等；（5）提高数学语言表达和交流能力，能够清晰、准确地阐述自己的观点。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，让学生在探索中发现问题、解决问题，培养独立思考的能力；（2）运用电子版导学案，实现个性化学习，使学生在学习过程中能够根据自己的需求调整学习进度和方法；（3）设计丰富的教学活动，如小组讨论、课堂展示等，提高学生的课堂参与度和积极性；（4）采用启发式、情境式等教学方法，激发学生的创新思维和问题解决能力；（5）注重课后总结与反思，引导学生学会自我评价，培养自我监控和自我调整的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、追求卓越的情感态度；（2）引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，树立正确的数学价值观；（3）培养学生勇于面对困难、积极进取的精神风貌，增强自信心；（4）通过数学学习，培养学生的团队合作意识、责任感和使命感；（5）引导学生形成严谨、求实的学术态度，培养良好的学习习惯和道德品质。
数学导学案及教案
南营中学数学组导学案设计人：李劲松学习内容：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质学习过程：一、导：（4分钟）（一）导入新课：1.二次函数2)3(22---=x y 的开口 、对称轴是 、顶点坐标是 、当x 、y 随x 的增大而增大，当x 、y 随x 的增大而减小.2.将二次函数2)3(22---=x y 化成一般形式是 ，反过来怎样将一般形式化为2)3(22---=x y 的形式？3.对于一般形式的二次函数怎样画函数图像？它的性质又如何？（二）导入目标：本节课的学习目标是：1．通过配方把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象；3．会用公式确定y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)对称轴和顶点坐标.（三）学法指导：本节课的学习方法是——自主学习、合作交流、师生共析、当堂检测二、学：(11分钟)（一）自学：根据学习目标自学教材P 14—P 15的内容，完成下列问题：（1）二次函数y=2x 2-12x+16转化成已经学过的函数y ＝a(x －h)2＋k 的形式是 .（2）由上面变形后的形式写出二次函数y=2x 2-12x+16的图像性质。
①开口方向是、对称轴是、顶点坐标是；②当x= 时，y有最值，是；③当x 、y随x的增大而增大，当x 、y随x的增大而减小.④抛物线y=2x2-12x+16可看着抛物线，先向平移个单位，再向平移个单位而得到的.（3）怎样画二次函数y=2x2-12x+16的图像？（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条，开口方向由a的值确定，当a＞0时，开口，当a＜0时，开口；对称轴是直线；顶点坐标是（）；（二）互学：各小组交流自学结果，相互帮助解决自学中存在的问题.三、析：（10分钟）（一）学生评析：各小组长对本小组自学结果在交流的基础上进行评析，并将结果展示在黑板上.（二）教师评析：教师对学生展示的结果进行综合评析，结合目标引导学生归纳本节所学知识点.四、练：（20分钟）1．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得_____ ，它的对称轴是直线______，顶点的坐标为_____ _．2．抛物线y＝2x2－3x－5的对称轴是直线____ ，顶点坐标为（______）．当x＝______时，y有最______值是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．3．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y有最值______，当x______时，函数y随x的增大而增大，当x＝______时，y＝0．4．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．6．抛物线y＝x2+bx＋c的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像解析式为y＝x2--2x＋3，则b= 、c= .7．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，最大值是．8．配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的对称轴及顶点坐标南营中学数学组教学案执教人：李劲松教学内容：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质教学目标：1．通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；3．会用公式确定y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴和顶点坐标.教学方法：自主学习，合作交流教学过程：一、导：1.导入新课：前几节课我们学习了几种不同形式的的二次函数的图像和性质，请同学们完成导学案中的三个问题.教师结合导学案中的三个问题引入新课——二次函数y ＝ax2＋bx＋c的图象与性质2.导入目标：通过本节课的学习我们将达到以下目标（多媒体展示）3.学法指导：本节课的学习方法是——自主学习、合作交流、师生共析、当堂检测二、学：1.自学：学生依据导学案中的问题自学教材P14—P15的内容，教师到学生中巡视指导，关注每位学生，在巡查中发现学生的问题，进行“第二次备课”.2.互学：各小组交流自学结果，相互帮助，教师各小组巡视指导.三、析：1.学生评析：各小组长对本小组自学结果在交流的基础上进行评析，并将结果展示在黑板上.2.教师评析：教师对学生展示的结果进行综合评析，结合目标引导学生归纳本节所学知识点.四、练：学生自主完成练习，教师给小组巡视。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题用待定系数法求一次函数解析式课型新授课
主备
人
罗吉坤年级八年级学期第二学期授课时间2014.5.21
学习目标
知识与能力过程与方法情感、态度与价值
1、用待定系数法求一次函数
的解析式.
2、培养学生自主探究能力，
培养学生“数形结合”的数学思
想
通过自主探究、合作学习等方
式，并联系实际生活，让学生在学
习中“寻找快乐”，获取成功解决问
题后的“成就感”
让学生会学数学、乐学数学，同
时也充分体现了学生的主体地位。
重点能在不同的条件下运用待定系数法求出一次函数的解
析式
突破
方法
讨论法、练习法
难点明白求解析式实质就是求出待定系数k和b
突破
方法
探究法、合作法
教学
用具
多媒体
导学过程设计意图课堂生成
激趣导入练习一：
1、正比例函数的解析式是________ ____;一次函
数的解析式是_________ ___.
2、根据下列条件写出一次函数的解析式：
（1）k=3, b=4
（2）k=2, b=－1
3、正比例函数图像经过点（1，-2），则k=___,其解析
式为_________
4、函数y=2x 向上平移2个单位得到直线
_______________;函数y= -2x向上平移3个单位
得到直线_______________.
结论：对于一次函数y kx b
=+，当,k b确定，解析式
也就确定
让学生知道：不同的k与
b，确定不同的一次函数
解析式，求解析式，实
质就是求出k,b的值，只
要求出k和b，函数解析
式就知道了。
引入例：（只是提出问题，后面再解决此问题）
如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指
尖的距离称为指距.，某项研究表明，一般情
况下人的身高y是指距x的一次函数. 下表是
互 动 探 究 精 讲 点 拔
测得的指距与身高的一组数据：
（1） 求出y 与x 之间的函数关系式
（不要求写出自变量x 的取值范围）
（2）某人身高为196cm ，一般情况下他的指距
应是多少？
问题探究：
探究1：
如果知道一个一次函数的图象过点（3，5）与（4,9--），那么可以求出这个一次函数的解析式吗？试一试，并与邻近同学交流你的想法。
解：设这条直线的解析式为 y=kx ＋b
由题意得：5=3k+b
94+b k ⎧⎨-=-⎩， 解得k 21b =⎧⎨=-⎩
所以解析式是y=2x －1．
探究2：
若直线y=kx ＋b 平行于直线y=3x+2，且与y 轴交于点（0，-3），求此直线的解析式。
解：∵直线平行于直线y=3x+2
∴k=3
将（0，-3）代入y=3x+b 得：-3=0+b, ∴b=-3
∴此直线为y=3x-3
指距x(cm) … 20 21 … 身高y(cm) …
160
169
…
引入例的解答过程不在这里解决，设计的
目的意在将数学与实际生活联系起来，激发学
生的学习兴趣，也可以给学生制造点“悬念”，让学生有继续学习，想
要解决此问题的欲望。
（1）通过上面的学习提示，进行思维跳跃，通过小组合作交流去解决“探究1”，并从中掌握待定系数法求一次函数的方法和步骤。
y=kx+b
B A
y
x
-3
-2-1
321
3
2
1
-3
-2
-1O
通过此题总结：
（1）若直线平行，则k 相等；
(2)直线与y 轴的交点的纵坐标，即为b 的值。
(对应练习) 1、 一条直线过点（1，4）与（－1，2），求这
条直线的解析式. 2、若直线y=kx+b 平行于y=-2x+1，则k=____________.
3、直线y=2x-4与y 轴的交点坐标是____________ 师生共同小结：
一、待定系数法定义。
二、一般地，用待定系数法求一次函数解
析式有四个步骤：
探究3
如图，直线y kx b =+的图像如图所示：
（1）由图可知，直线的图像过点A （ ， ）和B （ ， ）
（2）求这个函数的解析式。
（3）求直线与两个坐标轴围成的三角形的面积。
解：
（2）初步理解k 、b 的几何意义，为今后的学习做好铺垫。
通过“对应练习”
让学生巩固“待定系数法”的解题过程。
初步
理解k 、b 的几何意义，为今后的学习做好铺垫。
结合“问题探究”
中的探究1、探究2和“对应练习”，说明“待定系
数法”的定义，并引导
学生归纳过程。
初步理解k 、b 的意义
（1）让学生明白要求一
次函数解析式关键是要找出“点的坐标”,并进一步掌握坐标轴标特点
收获
与困惑
迁移应用达标练习分层测试
板书设计作业设计
教学反思。