论文题目：过河问题

论文题目：过河问题及其扩展

姓名学号学院年级缺勤记录

朱本超2009221104120031 数计学院09级

陈凯2009221104120004 数计学院09级

张安龙2009221104120016 数计学院09级

课程论文自检报告

请回答以下问题，并在每题后打√确认。

1．除作者外，是否请过同事（同学）对论文进行挑剔性阅读？

2．“问题提出”或前言部分中的文献回顾是否完备？

3．是否对照过提供的“论文格式”逐项检查论文的各个部分？

4．文后参考文献与文中的文献引用是否一一对应？

5．文后参考文献的书写格式是否符合国家标准？（尤其注意著录符号、外国人的姓和名、有无漏项等）6．参考文献是否以近5年的文献为主？

7．作者信息是否完整？包括word文档属性中的作者与单位、学号等。

课程论文质量评价标准

评阅点评分标准分值得分

摘要基本写出论文大意且语言简练、文字组织合理20 基本写出论文大意且语言简练15 基本写出论文大意10 套话、虚话较多或字数不够或文不对题0-5

正文论证严谨、思路清晰、逻辑性强、有较强说服力，引文准确25 论证较严谨、思路较清晰、符合逻辑、有一定说服力，引文准确20 思路较清晰、引文较恰当15 有一定的说服力但论文紊乱、自相矛盾、大段抄袭他人文章0-10

结构结构严谨、逻辑严密、层次清晰20 结构合理、符合逻辑、层次分明18 结构基本合理、层次比较清楚、文理通顺15 有不合理部分，逻辑性不强0-10

深度和广度见解独特，对问题分析透彻，且非常全面25 有自主的见解，对问题的分析比较深入全面20 能提出自己的见解，分析的深度、广度一般15 分析比较深入全面10 对问题的分析既无深度，又无广度0-5

规范化格式完全符合规范，字数完全符合要求10 格式比较规范，字数偏少8

格式基本符合规范，但有个别地方不合规，字数较少 5

格式规范性尚可，但不足之处较多，字数太少0-3 备注：以上评分标准仅供参考。总分

过河问题

[摘要]

[关键词] 过河允许状态决策

1、问题的提出

人狗鸡米过河问题。人、狗、鸡、米乘船过河；人要划船，而船小，除人之外最多只能运一物，且没人时狗要吃鸡，鸡要吃米；试基于状态转移模型、图论方法或动态规划方法（至少采用两种不同方法）编制matlab程序，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽可能少。进一步地，基于类似思想解决商人过河问题和夫妻过河问题。

（a）商人过河问题。三名商人各带一名随从过河，而河边只有一只能容纳两人的小船，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从人数比商人多，他们就杀人越货。如何乘船渡河的权利掌握在商人手上。试问商人的安全渡河策略。进一步地，4名商人能否安全过河？

（b）夫妻过河问题，三对夫妻过河，船最多载2人，任一女子不能在其丈夫不在时与其他男子在一起。试求最佳安全渡河方案。若船最多载三人，五对夫妻能否安全过河？

2、问题分析

安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人和物做出决策，在保证安全的前提下，在有限布内使全部人和物过河。用状态（变量）表示某一岸的人和物的状况，决策（变量）表示船上的人和物的状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。

3、模型假设

1、人、狗、鸡、米乘船过河。人要划船，而船小，除人之外对多只能运载一物，且没人时狗要吃鸡、鸡要吃米。

2、人、狗、鸡、米分别记为i=1，2，3，4，当i在此岸时记为x i=1，否则x i=0，则此岸的

状态的状态可用s=（x1，x2，x3，x4）表示。记s的反状态为s'=(1—x1，1—x2，1—x3，1—x4)。决策为乘船方案，记为d=（u1，u2，u3，u4），当i在船上时记为u i=1，否则记u i=0。

则问题变为系统如何在满足上述条件下，实现从（1，1，1，1）到（0，0，0，0）的状态转移。

4、模型构造

方案一：

允许状态集合S={（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0）及他们的5个反状态}。

允许决策集合D={（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0）}。

记地k次渡河前此岸的状态为s k，第k次渡河决策为d k，则状态转移方程为

s k+1=s k+（-1）k d k

5个允许状态及其反状态表示10个点，当且仅当某个允许状态经过一个允许决策后仍为允许状态时，这两个状态之间存在连线。根据路径图很容易得到渡河方案。

状态转移图

状态反状态

（1，1，1，1）（0，0，0，0）

1

（1，1，1，0）（0，0，0，1）

2

（1，1，0，1）（0，0，1，0）

（1，0，1，1） 3 （0，1，0，0）

4

（1，0，1，0）（0，1，0，1）

由图可知，至少需要四次渡河（其中3个来回），才能成功。

方案二：

建立（人、狗、鸡、米）的4维0/1向量；如（1010）——表示狗、米已过河，人、鸡没有等；可取状态：10种——（1111）（1110）（1101）（1011）（1010）（0000）（0001）（0010）（0100）（0101）。可取过河方式：4种——（1100）（1010）（1001）（1000）。

按照计算机语言的位运算：异或运算（xor）等。运算方式：例（1111）xor（1100）=（0011）。

（1100）（0011）X （判断是否为可取状态，下同）开始状态（1111）xor（1010）（4种过河方式）=（0101）O

（1001）（0110）X

（1000）（0111）X

取上一步异或运算后的可取状态，再做异或。（去掉上一种过河方式）（下同）

（1100）（1001）X (1100) （0001）O ⑴

（0101）xor（1001）=（1100）X (1101)xor(1010）=（0111）X

（1000）（1101）O (1001) （0100）O ⑵

（1010）（1011）O （1100）（0111）X

⑴（0001）xor（1001）=（1000）X （1011）xor（1001）=（0010）O

（1000）（1001）X （1000）（0011）X

（1010）（1110）O （1100）（0010）O

⑵ (0100) xor（1100）=（1000）X (1110) xor（1001）=（0111）X

（1000）（1100）X （1000）（0110）X

（1100）（1110）O ①（1100）（0110）X

（0010）xor（1010）=（1000）X ②（1010）xor（1010）=（0000）O

（1000）（1010）O ②（1001）（0011）X

根据题目要求，最少步骤，有①继续下去，步骤明显多于②，所以过河方案即为上述所列。两种：（1111）—（0101）—(1101) —(0001)—（1011）—（0010）—（1010）（1111）—（0101）—(1101) —(0100) —(1110) —（0010）—（1010）

5、模型扩展