最新2019-第12章刚体的平移与绕定轴转动-PPT课件
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第12章刚体的平移与绕定轴转动
匀速转动 常数
0t
匀变速运动 a 常数
匀变速转动 常数
vv0at ss0v0t12at2
0t
00t12t2
12.21
§12.3 刚体绕定轴转动 12.3.4 定轴转动刚体上各点的速度、加速度
前面研究了刚体整体转动的规律，但在工程实际中，有时往往不仅 要知道刚体整体运动情况，而且还需要知道其上某些点的运动情况，如 滚轮传送器传送钢板时，若滚轮的尺寸，转速一定，且滚轮与钢板在接
12.13
§12.3 刚体绕定轴转动 对于转动的刚体,我们既要从整体上研究它的转动规律，又要从 局部上研究。先研究绕定轴转动刚体整体的转动规律。 12.3.1 转动方程
设坐标轴Oz与刚体的转轴相重合，为了描述刚体绕转轴整体转 动的情况，设想有一通过Oz轴的固定平面I，作为观察刚体转动的参 考面；另外设想有一通过Oz轴与转动刚体固连并随之一同转动的平
只要该质点的质量等于刚体的质量，则作用在该质点上的力等于作用
于刚体上所有外力的合力。
可以证明，以上结论也适用于质点系，即质点系的质量与质心加速
度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（或外力的主矢）。
这就是质心运动定理。
实际应用中常将质心运动定理写成投影式。即: ma cx F xi ma cy F yi ma cz F zi
力和约束力）与该惯性力系合力F I共同构成一个形式上的平衡力系。 12.8
§12.2 质心运动定理
即
F iF I 0
将 FI mac代入得
Fi mac （12.6）
将式（12.6）与质点动力学基本方程式（11.13）相比较，就可发
现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
人教版物理八年级下册 第十二章 简单机械 第1节 杠杆 课件
图是（ A）
6.某人用力F抬起放在水平地面上的一匀质杠杆AB的B端， F方向始终竖直向上，如图所示，则在抬起的过程中( C ) A.F逐渐变大 B.F逐渐变小 C.F保持不变 D.无法确定 7.当用镊子夹取物体时，镊子就相当于杠杆（选填“杠 杆”、“滑轮”或“斜面”） ，它是一个 费力（选填 “省力”或“费力”）的机械。 8.省力杠杆的动力臂 大于阻力臂。（选填“大于”、“小 于”或“等于”） 9.在①钳子；②起子；③镊子；④钓鱼竿；⑤筷子。属于 省力杠杆的是 ①② （填序号）；天平是等臂杠杆。
9.（2019·邵阳）小斌同学在做物理实验时，使用镊子夹取砝码， 镊子是 费力 杠杆。（选填“省力”、“费力”或“等臂”） 10.(2019·湖州)生活中我们常用开瓶器打开瓶盖，如图 所示使用开瓶器能省力的原因是动力臂大于阻力臂。
11.（2019·南京）如图所示为一拉杆旅行箱的示意图将 其视为杠杆，O为支点，B为重心，BC为竖直方向，A为拉 杆端点，已知箱重为250N，OA为120cm，OC为24cm。 （1）图中在A点沿图示方向施加动力F，箱子静止则动力F 的力臂为 60 cm，大小为 100 N。 （2）使拉杆箱在图示位置静止的最小 动力为 50 N。 （3）生活中，常把箱内较重物品靠近O 点摆放，这样使拉杆箱在图示位置静止 的最小动力将变小（选填“变大”、 “变小”或“不变”）。
方向转动，如图甲所示。则应将平衡螺母向 左 （选填“左”或
“右”）调节，直到杠杆在水平位置平衡； （2）如图乙所示，在A点挂3个重力均为0.5N的钩码，在B点用弹簧 测力计竖直向下拉杠杆，使其在水平位置平衡，弹簧测力计的示数
为 2 N；若在第（1）小题所描述的情形中未调节平衡螺母而直接 开展上述实验，弹簧测力计的示数会 偏小（选填“偏大”、“偏
理论力学第12章-动量矩定理
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
2-12刚体运动学和定轴转动
R)2
三、转动定律
作用在刚体上的轴的力矩
Z
F
f1
O r P f2
转动平面
Mz
r
F
Mz rF sin
转动定律
Fi
fi
mi ai
Fi sini fi sini miai
将切向分量式两边同乘以 变换得
ri
,
Firi sini firi sini miri2
Z
fi i
Fi
ri
故取正值。
M J
mg sin
1 mL2 3
3g sin
2L
N
Y
Z
XO
r
2）=？ 3g sin
2L
d d d dt d dt
mg d 3g sin( ) d 2L 2
d 3g cosd
2L
两边积分：
d
/2
3g
cosd
0
0 2L
2）=？
N
YZ
XO
r
d /2 3g cosd
2. 定转轴,找运动;
3. 分析力和力矩; 4. 定转向,列方程。
一般方法：对有质点和刚体参加的系统，应用隔离体 方法。对质点：受力分析，应用牛顿第二定律；对刚 体：进行受力矩分析，应用转动定律,并由角量与线量 关系,列出几何补充方程.
例1 一个质量为M、半径为R的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M＝ fr R NR J mR 2
NR mR 2
N mR
fr N
0
例3 一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作
用,同时又引起一阻力矩M 1，M 1 的大小与刚体转动的角 速度成正比,即 M1 a(Nm),( a为常数)。又已知刚体 对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。
《刚体绕定轴转动》课件
势能的定义
总结词
刚体绕定轴转动的势能是指刚体在转 动过程中相对于某一参考点所具有的 能量。
详细描述
刚体绕定轴转动的势能计算公式为$E_{p} = -mgh$，其中$m$为刚体的质量，$g$ 为重力加速度，$h$为刚体质心到旋转轴 的高度。势能的大小与参考点的选择有关 ，通常选择无穷远处作为参考点。
陀螺仪的工作原理
总结词
陀螺仪是利用刚体绕定轴转动的原理制成的 精密仪器，通过分析陀螺仪的工作原理，可 以深入了解刚体转动在导航、制导等领域的 应用。
详细描述
陀螺仪利用刚体绕定轴转动的特性，通过高 速旋转的转子来抵抗外力矩的作用，保持转 子轴线的方向不变。陀螺仪在导航、制导、 惯性制导等领域有着广泛的应用，通过对陀 螺仪工作原理的研究，可以进一步探索刚体 转动在精密仪器和导航系统中的重要价值。
动能与势能的关系
总结词
刚体绕定轴转动的动能与势能之间存在一定的关系，它们共同决定了刚体转动的总能量 。
详细描述
当刚体在转动过程中，其动能和势能会相互转化。当刚体加速转动时，其动能增加，同 时势能减小；当刚体减速转动时，其动能减小，同时势能增加。这种转化关系符合能量
守恒定律。
04
刚体绕定轴转动的转动定律与角动量守恒定律
扭矩与角加速度的关系
扭矩与角加速度成正比，即 M=Jα，其中M为扭矩，J为转 动惯量，α为角加速度。
02
刚体绕定轴转动的动量与角动量
动量的定义
总结词
动量是描述物体运动状态的一个重要物理量，表示物体运动时的冲量。
详细描述
动量定义为物体的质量与速度的乘积，即$p = mv$，其中$p$表示动量，$m$ 表示物体的质量，$v$表示物体的速度。动量是一个矢量，其方向与物体运动方 向相同。
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
二刚体的定轴转动PPT课件
(1) 线量不同，但角量相同。
(2) 角速度矢量 的方向均沿轴线。 刚体的一般运动
（如：运行的车轮）
+ 质心的平动 绕质心的转动
3
定轴转动的描述
组成刚体的质点在各自的转 动平面内作圆周运动，应用角量 描述定轴转动问题。
1) 角位移 :
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度
:
lim
线在各个时刻的位置都相互平行
任意质元运动都代表整体运动
A
刚体平动 质点运动
A
A
可利用质心
运动定理
刚体的平动
2
2.1.2 刚体定轴转动的运动学描述
组成刚体的各质点都绕某一直线做 圆周运动. 这条线为转轴。
若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 定轴转动的特点：
O r
F//
M rF
M z rF// sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和。
M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
Mij
O
rj
d ri
j
i Fi j Fj i
M ji
（4）对于质点
M rF
M r F sin
Mij M ji
解：设圆盘面密度为 ，在盘上 取半径为 r ，宽为 dr 的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
圆环对轴的转动惯量
OO
RR
r
dr
dJ r2dm 2 π r3dr
F 对转轴 Z 的力矩
M
M Fd Fr sin
d r sin : 力臂
r F
(2) 角速度矢量 的方向均沿轴线。 刚体的一般运动
（如：运行的车轮）
+ 质心的平动 绕质心的转动
3
定轴转动的描述
组成刚体的质点在各自的转 动平面内作圆周运动，应用角量 描述定轴转动问题。
1) 角位移 :
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度
:
lim
线在各个时刻的位置都相互平行
任意质元运动都代表整体运动
A
刚体平动 质点运动
A
A
可利用质心
运动定理
刚体的平动
2
2.1.2 刚体定轴转动的运动学描述
组成刚体的各质点都绕某一直线做 圆周运动. 这条线为转轴。
若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 定轴转动的特点：
O r
F//
M rF
M z rF// sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和。
M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
Mij
O
rj
d ri
j
i Fi j Fj i
M ji
（4）对于质点
M rF
M r F sin
Mij M ji
解：设圆盘面密度为 ，在盘上 取半径为 r ，宽为 dr 的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
圆环对轴的转动惯量
OO
RR
r
dr
dJ r2dm 2 π r3dr
F 对转轴 Z 的力矩
M
M Fd Fr sin
d r sin : 力臂
r F
吉林大学理论力学课件-第12章
i i i i
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯 性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。 对于刚体上的任意质点， 对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝ － m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章 达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章 达朗贝尔原理 12
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯 性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。 对于刚体上的任意质点， 对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝ － m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章 达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章 达朗贝尔原理 12
第12章——动量矩定理
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l m d x x2 1 ml2
0l
3
Jz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
ml 2
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
对点的：
LO MO(mv) ( miri )vC MO(mvC )
对轴的：
Lz M z (mvC )
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
i 1
12.2 动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
设作用在刚体上的外力可向质
心所在平面简化为一平面力系，由
y y'
质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得
D
C
x'
maC F (e)
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
第三章：刚体定轴转动-PPT课件
1、注意描述刚体定轴转动的运动学方法； 2、阅读附录1中矢量的乘法，力对转轴的力矩如 何计算； 3、 领会刚体定轴转动的动能定理的意义。注意区 分平动动能和转动动能以及他们的计算式。注意 力局的功的计算方法。 4、什么是转动惯量？转动惯量与哪些因素有关？ 5、刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何？ 学会运用
只是动能的表示形式不同而己，
A E E k 2 k 1
B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 三、刚体定轴转动的转动定律
1、几种常见的转动惯量：
转轴通过中点与棒垂直：
ml 2 J 12
ml J 3
2
转轴通过端点与棒垂直：
转轴通过中心与环面垂直：
第三章 刚体的定轴转动
转动是物体机械运动的一种基本的普遍的 形式。大到星系，小到原子等微观粒子都在不 停转动。工程中更是经常遇到转动问题。 本章内容：
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 §3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
本节知识学习要点：
x
1 2 ml 3 3
l/2 2
l3
J C x dm 1 2 ml 12
l / 2
x dx
2
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 三、刚体定轴转动的转动定律
2、转动定律： 定轴转动的刚体的角加速度α与刚体所受的和外力 的力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 J 成反比。 角加速度方向与力矩方向一致
α
A M z d
1
2
A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何 关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中， 用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。
只是动能的表示形式不同而己，
A E E k 2 k 1
B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 三、刚体定轴转动的转动定律
1、几种常见的转动惯量：
转轴通过中点与棒垂直：
ml 2 J 12
ml J 3
2
转轴通过端点与棒垂直：
转轴通过中心与环面垂直：
第三章 刚体的定轴转动
转动是物体机械运动的一种基本的普遍的 形式。大到星系，小到原子等微观粒子都在不 停转动。工程中更是经常遇到转动问题。 本章内容：
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 §3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
本节知识学习要点：
x
1 2 ml 3 3
l/2 2
l3
J C x dm 1 2 ml 12
l / 2
x dx
2
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 三、刚体定轴转动的转动定律
2、转动定律： 定轴转动的刚体的角加速度α与刚体所受的和外力 的力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 J 成反比。 角加速度方向与力矩方向一致
α
A M z d
1
2
A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何 关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中， 用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。
理论力学第12章 动量矩定理.
1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的 快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零， 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
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2.若将式(12.4)中的分子、分母同乘以重力加速度g即得重心的坐标
公式。可见，在地球表面（均匀重力场），质点系的质心和重心的位置相 重合。 12.2.2 质心运动定理
设刚体在外力作用下作加速平移，某瞬时刚体上各质点的加速度 a i 均 相同，且等于质心的加速度为 a c。按照质点的动静法，在刚体内每个质点 上虚加质点的惯性力 F Ii m ia i m ia c，它和刚体内每个质点上作用的主 动力和约束力组成形式上的平衡力系。
第12章 刚体的平移与绕定轴转动 在许多工程实际问题中，有些情况下不能把运动物体看作为一个点，而 是需要考虑其本身的几何形状和尺寸，例如：汽缸中的活塞，摆式送料机的 送料槽以及传动机械中的带轮、齿轮等，此时应把物体抽象为刚体。 刚体运动的形式是多种多样的。本章研究刚体的两种最简单、也是最基 本的运动形式：平行移动（简称平移）和绕定轴转动，这两种运动一方面在 工程上有着广泛的应用；另一方面,其它一些较复杂的刚体运动都可看作这 两种运动的复合。因此，本章也是研究刚体其它运动的基础。
x M O cA o r sc o t s
点的速度、加速度分别为
vM
dxM dt
rωsinωt
aM
dvM dt
rω2 cosωt
12.5
§12.2 质心运动定理
12.2.1 质心的概念
由个
n质点组成的质点系中，设任一质点 M
i
的质量为 m
，它在空间的
i
位置以矢径 r i 表示,则由式
力和约束力）与该惯性力系合力F I共同构成一个形式上的平衡力系。 12.8
§12.2 质心运动定理
即
F iF I 0
将 FI mac代入得
Fi mac （12.6）
将式（12.6）与质点动力学基本方程式（11.13）相比较，就可发
现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。
求导杆在任一瞬时的速度和加速度。
12.4
§12.1 刚体的平移 解 1.分析： 由于导杆在水平直线导槽内运动，其上任一直线始终与它的最初位置相 平行，且其上各点的轨迹均为直线，故导杆作直线平移。导杆的运动可以用 其上任一点的运动来表示。
2.计算：
选取导杆上的Ｍ点研究，Ｍ点沿 x轴作直线运动，其运动方程为
只要该质点的质量等于刚体的质量，则作用在该质点上的力等于作用
于刚体上所有外力的合力。
可以证明，以上结论也适用于质点系，即质点系的质量与质心加速
度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（或外力的主矢）。
这就是质心运动定理。
实际应用中常将质心运动定理写成投影式。即: ma cx F xi ma cy F yi ma cz F zi
12.7
§12.2 质心运动定理
平移刚体上惯性力系组成空间平行力系。与重心计算相类似，该 惯性力系的简化结果为一个通过质心C的合力。即
F I F I i m i a i m i a c m a c （12.5） 式中，m为刚体总质量，于是，平移刚体上的外力 Fi（包括主动
刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具
有相同的速度和相同的加速度。
上述结论表明，刚体的平移可以用其上任一点的运动来代替，即刚体平
移可以归结为点的运动来研究。
例12.1 曲柄导杆机构如图所示，柄绕OA固定轴Ｏ转动，通过滑块A 带
动导杆BC在水平导槽内作直线往复运动。已知OAr,t （ 为常量），
12.1 刚体的平动 12.2 质心运动定理 12.3 刚体绕定轴转动 12.4 刚体定轴转动微分方程
12.1
§12.1 刚体的平移 1. 刚体平移的概念
刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这 种运动称为刚体的平行移动。（简称平移）
例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，摆式振动筛中筛子 ABCD的运动，都具有上述特征，都属平动，车厢作平动时，其上各点的 运动轨迹为直线，称为直线平动；筛子平动时，各点的运动轨迹为曲线， 称为曲线平动，由此可见，平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线。
即 rArBBA
对时间 求导得
drA drB dBA dt dt dt
由于 BA 是常矢量，因此 dBA 0 ，于是
dt
vA vB
（12.1）
12.3
§12.1 刚体的平移
再对时间 t求一次导得
aA aB
（12.2）
因为 A, B是刚体上任意两点，因此上述结论对刚体上所有点都成立。即
rc
miri miri mi m
（12.3）
所确定的点C称为质点系的质量中心，
简称质心。式中 mmi 为质点系的总质量
。质心位置的直角坐标形式为
x cm m ix i,y cm m iy i,z cm m iz i
（12.4）
12.6
§12.2 质心运动定理 说明： 1.质心与重心是两个不同的概念，质心反映了构成质点系的各质点质 量的大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系 的中心，只有当质点系处于重力场时重心才有意义，而质心则与该质点系 是否在重力场中无关。
你能否再举出些实例来说明刚体平移的概念呢？
12.2
§12.1 刚体的平移
2. 平移刚体上各点的轨迹、速度、加速度特征 在平移刚体上任取两点A，B，作矢量 BA，如图12.2所示。根据刚
体不变形的性质和刚体平移的特征，矢量 BA的长度和方向始终不变，故 BA是常矢量。 动点 A, B位置的变化可用矢径的变化表示
转子质心 O 2 的坐标为
xy22
ecost esint
12.9
§12.2 质心运动定理
例12.2
设电动机外壳和定子的质量为 m
，转子质量为
1
m
2
，而转子的
质心因制造和安装误差不在轴线上，如图所示。设偏心距O1O2 e ，转子
以匀角速 度 转动。如电动机固定在机座上，求机座对电动机的约束力。
解：1.取整个电动机为研究对象。 设机座对电动机的约束力为 Fx , Fy ， 取图示坐标系。 则外壳与定子的质心坐标在原点处，
公式。可见，在地球表面（均匀重力场），质点系的质心和重心的位置相 重合。 12.2.2 质心运动定理
设刚体在外力作用下作加速平移，某瞬时刚体上各质点的加速度 a i 均 相同，且等于质心的加速度为 a c。按照质点的动静法，在刚体内每个质点 上虚加质点的惯性力 F Ii m ia i m ia c，它和刚体内每个质点上作用的主 动力和约束力组成形式上的平衡力系。
第12章 刚体的平移与绕定轴转动 在许多工程实际问题中，有些情况下不能把运动物体看作为一个点，而 是需要考虑其本身的几何形状和尺寸，例如：汽缸中的活塞，摆式送料机的 送料槽以及传动机械中的带轮、齿轮等，此时应把物体抽象为刚体。 刚体运动的形式是多种多样的。本章研究刚体的两种最简单、也是最基 本的运动形式：平行移动（简称平移）和绕定轴转动，这两种运动一方面在 工程上有着广泛的应用；另一方面,其它一些较复杂的刚体运动都可看作这 两种运动的复合。因此，本章也是研究刚体其它运动的基础。
x M O cA o r sc o t s
点的速度、加速度分别为
vM
dxM dt
rωsinωt
aM
dvM dt
rω2 cosωt
12.5
§12.2 质心运动定理
12.2.1 质心的概念
由个
n质点组成的质点系中，设任一质点 M
i
的质量为 m
，它在空间的
i
位置以矢径 r i 表示,则由式
力和约束力）与该惯性力系合力F I共同构成一个形式上的平衡力系。 12.8
§12.2 质心运动定理
即
F iF I 0
将 FI mac代入得
Fi mac （12.6）
将式（12.6）与质点动力学基本方程式（11.13）相比较，就可发
现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。
求导杆在任一瞬时的速度和加速度。
12.4
§12.1 刚体的平移 解 1.分析： 由于导杆在水平直线导槽内运动，其上任一直线始终与它的最初位置相 平行，且其上各点的轨迹均为直线，故导杆作直线平移。导杆的运动可以用 其上任一点的运动来表示。
2.计算：
选取导杆上的Ｍ点研究，Ｍ点沿 x轴作直线运动，其运动方程为
只要该质点的质量等于刚体的质量，则作用在该质点上的力等于作用
于刚体上所有外力的合力。
可以证明，以上结论也适用于质点系，即质点系的质量与质心加速
度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（或外力的主矢）。
这就是质心运动定理。
实际应用中常将质心运动定理写成投影式。即: ma cx F xi ma cy F yi ma cz F zi
12.7
§12.2 质心运动定理
平移刚体上惯性力系组成空间平行力系。与重心计算相类似，该 惯性力系的简化结果为一个通过质心C的合力。即
F I F I i m i a i m i a c m a c （12.5） 式中，m为刚体总质量，于是，平移刚体上的外力 Fi（包括主动
刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具
有相同的速度和相同的加速度。
上述结论表明，刚体的平移可以用其上任一点的运动来代替，即刚体平
移可以归结为点的运动来研究。
例12.1 曲柄导杆机构如图所示，柄绕OA固定轴Ｏ转动，通过滑块A 带
动导杆BC在水平导槽内作直线往复运动。已知OAr,t （ 为常量），
12.1 刚体的平动 12.2 质心运动定理 12.3 刚体绕定轴转动 12.4 刚体定轴转动微分方程
12.1
§12.1 刚体的平移 1. 刚体平移的概念
刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这 种运动称为刚体的平行移动。（简称平移）
例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，摆式振动筛中筛子 ABCD的运动，都具有上述特征，都属平动，车厢作平动时，其上各点的 运动轨迹为直线，称为直线平动；筛子平动时，各点的运动轨迹为曲线， 称为曲线平动，由此可见，平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线。
即 rArBBA
对时间 求导得
drA drB dBA dt dt dt
由于 BA 是常矢量，因此 dBA 0 ，于是
dt
vA vB
（12.1）
12.3
§12.1 刚体的平移
再对时间 t求一次导得
aA aB
（12.2）
因为 A, B是刚体上任意两点，因此上述结论对刚体上所有点都成立。即
rc
miri miri mi m
（12.3）
所确定的点C称为质点系的质量中心，
简称质心。式中 mmi 为质点系的总质量
。质心位置的直角坐标形式为
x cm m ix i,y cm m iy i,z cm m iz i
（12.4）
12.6
§12.2 质心运动定理 说明： 1.质心与重心是两个不同的概念，质心反映了构成质点系的各质点质 量的大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系 的中心，只有当质点系处于重力场时重心才有意义，而质心则与该质点系 是否在重力场中无关。
你能否再举出些实例来说明刚体平移的概念呢？
12.2
§12.1 刚体的平移
2. 平移刚体上各点的轨迹、速度、加速度特征 在平移刚体上任取两点A，B，作矢量 BA，如图12.2所示。根据刚
体不变形的性质和刚体平移的特征，矢量 BA的长度和方向始终不变，故 BA是常矢量。 动点 A, B位置的变化可用矢径的变化表示
转子质心 O 2 的坐标为
xy22
ecost esint
12.9
§12.2 质心运动定理
例12.2
设电动机外壳和定子的质量为 m
，转子质量为
1
m
2
，而转子的
质心因制造和安装误差不在轴线上，如图所示。设偏心距O1O2 e ，转子
以匀角速 度 转动。如电动机固定在机座上，求机座对电动机的约束力。
解：1.取整个电动机为研究对象。 设机座对电动机的约束力为 Fx , Fy ， 取图示坐标系。 则外壳与定子的质心坐标在原点处，