高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(填空题：一般)

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人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中期末复习资料、补习资料：44【基础】直接证明与间接证明(文)

直接证明与间接证明【学习目标】1. 掌握用综合法证题的思路和特点。

2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．【要点梳理】要点一、综合法证题1．定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2．综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． 3．综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A 则D”的思考过程可表示为：故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．4．综合法证明不等式时常用的不等式（1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）；（2）（a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号）； P 1i Q i =（，2，3，...，n）Q 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒2a b+≥（3）a 2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0；（4）（a ，b 同号）；（a ，b 异号）；（5）a ，b ∈R ，，（6）不等式的性质定理1 对称性：a ＞b b ＜a 。

高中数学选修2-2同步练习题库：直接证明与间接证明(填空题：一般)

直接证明与间接证明（填空题：一般）1、若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是．2、给出下列命题：①定义在上的函数满足，则一定不是上的减函数；②用反证法证明命题“若实数，满足，则都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设都不为0”；③把函数的图象向右平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为；④“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．3、用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设_______；4、甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________．5、若下列两个方程中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是__________.6、已知，，那么，的大小关系为__________．（用“”连接）7、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________.8、和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________.9、若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，，a2＋b2，2ab中最大的是________．10、如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．11、设e1、e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.12、用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”时，应假设．13、用数学归纳法证明某命题时，左式为（n为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________．14、设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是（填所有正确条件的代号）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．15、如果a+b＞a+b，则a、b应满足的条件是．16、用反证法证明命题:“若，且，则全为0”时，应假设为_________________17、用反证法证明命题：“如果，可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为____________.18、（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.19、凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．20、请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12＋a22＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.根据上述证明方法，若n个正实数满足a12＋a22＋…＋a n2＝1时，你能得到的结论为________．21、若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的是________．22、比较大小：_______．23、完成反证法证题的全过程．设a1,a2, ,a7是1,2, ,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2) (a7-7)为偶数．证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2, ,a7-7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数===0．但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数．24、下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ ．25、－2与－的大小关系是______________．26、用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为______________．27、有下列各式：，……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：__ _______________________．28、已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是．29、利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_____________________ ；30、观察以下等式：可以推测 (用含有的式子表示，其中为自然数)．31、某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义,且,如果对于不同的,都有，求证：。

高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(简答题：较易)

直接证明与间接证明（简答题：较易）1、当时，证明。

2、已知，试证明至少有一个不小于1.3、已知，利用分析法证明：.4、证明不等式：5、设函数，.证明：（1）；（2）.6、如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（，2，3……）的横坐标构成数列．（1）试求与之间的关系，并证明：；（2）若，求证：．7、否存在常数使等式对一切正整数都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．8、已知，求证：．9、用“数学归纳法”证明：能被整除．10、用“分析法”证明：当，．11、选修4-5：不等式选讲如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明：.12、（1）求证：（2）13、用分析法证明：已知,求证14、已知：;通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明。

15、设函数，其中。

（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明不等式：16、选修4-5：不等式选讲（1）设，证明：；（2）已知，证明：。

17、已知x，y，z都是正整数，且；（1）求证：x，y，z不可能都是奇数；（2）求证：当时，18、选修4-5：不等式选讲已知．19、设均大于0，且．求证：对于每个，都有20、用反证法证明不可能成等差数列。

21、已知x，y，z都是正整数，且；（1）求证：x，y，z不可能都是奇数；（2）求证：当时，22、（1）已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2．（2）已知x＞0,y＞0,x≠y,试比较与的大小，并用分析法证明你的结论．23、已知函数且的解集为（1）求k的值；（2）若是正实数，且，求证：。

24、已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数，求实数的取值范围；（3）证明：函数.25、如果非零实数，，两两不相等，且，证明：不成立．（用反证法证明）26、（1）证明：（2）用数学归纳法证明：；27、设数列满足，.（1）求证：；（2）求证：.28、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为2．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．29、若。

人教A版高中数学选修直接证明与间接证明同步练习一新

高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1 ）Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．间接证法Ｄ．合情推理法答案：Ｂ2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（）Ａ．若能用分析法，必能用综合法Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立答案：Ｄ3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（）Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于2答案：Ｃ4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =，Q = ）Ａ．P Q ≥Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q <答案：Ｂ5．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（）Ａ．a b <Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >答案：Ａ6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤答案：Ａ二、填空题7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°的值为．答案：28．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是．答案：0a <9．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m = ．答案：8±10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．8a c a b b c ++=·，当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是．（综合法、分析法或反证法）答案：综合法11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件时，有m β∥，（2）当满足条件时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤，②⑤12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于．答案：12-三、解答题13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-，而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，()f x ∴在R 上是减函数．14．用分析法证明：若0a >12a a+-．12a a +≥ 0a >∵，∴两边均大于零．因此只需证2222111422a a a a a a ⎫++++++++⎪⎭，只需证1a a ⎫+⎪⎭，只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2c os sin sin A B C =．判断ABC △的形状．解：180A B C++=∵°，sin sin()C A B=+∴．又2cos sin sinA B C=，2cos sin sin cos cos sinA B A B A B=+∴，sin()0A B-=∴．又A与B均为ABC△的内角，A B=∴．又由()()3a b c a b c ab+++-=，得22()3a b c ab+-=，222a b c ab+-=，又由余弦定理2222cosc a b ab C=+-，得2222cosa b c ab C+-=，2cosab C ab=∴，1cos2C=，60C=∴°．又A B=∵，∴ABC△为等边三角形．。

直接证明与间接证明练习题(基础、经典、好用)

直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。

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直接证明与间接证明（选择题：较易）1、用反证法证明命题：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为A．中至少有一个正数B．全为正数C．全都大于等于0D．中至多有一个负数2、给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．①和②的假设都错误 B．①和②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确3、用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根4、在用反证法证明“自然数中恰有一个奇数”时，正确的反设是( )A．都是奇数 B．都是偶数C．中至少有两个偶数 D．都是偶数或至少有两个奇数5、用反证法证明“，如果、能被2017整除，那么中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（）A．不能被2017整除 B．不能被2017整除C．都不能被2017整除 D．中至多有一个能被2017整除6、(1)已知，求证，用反证法证明此命题时，可假设；(2)已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确，(2)的假设错误 D．(1)的假设错误，(2)的假设正确7、用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A．、至少有两个不小于2B．、至少有一个不小于2C．、都小于2D．、至少有一个小于28、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数9、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设()A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°10、用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A． B．C．且 D．或11、要证明，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法 B．分析法 C．类比法 D．归纳法12、分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件13、(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2;(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确14、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

高中数学选修1-2直接证明同步练习

直接证明同步练习1.已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( C )A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->02.对于10<<a ，给出下列四个不等式① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log a a a a +>+③ aaaa111++< ④aaaa111++>其中成立的是 ( D ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④3. 已知a ＞0, b ＞0时，若函数f (x )=ax –bx 2 ,对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b .4. 已知a 、b 、c 都是非负实数，求证：2222c bc b b ab a +++++≥a ＋b ＋c ．5. 已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l 的纵、横截距之和大1，求证这三角形面积的最小值为5＋26．6. 设842)(4+=+x x x f ．（1）求f(x)的最大值．（2）求证：对于任意实数a 、b ，恒有4213)(2+-<b b a f ．7. 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51．求证：tan A ＝2tan B ；8. 已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1,2a 7,3a 4 成等差数列.证明 12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列.9. 已知：a ，b 为不相等的正数，且3322a b a b -=-求证：413a b <+<10. 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1.求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤611.在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（Ⅱ）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….12. 设直线2-=x ay 与抛物线p y 22=交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）. 试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求a 的值，使圆H 的面积最小.13.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑14.已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n =⑴证明数列{lg(1)}n a +是等比数列； ⑵设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项；⑶记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项n S ，并证明2131n n S T +=-参考答案 1.C 2.D3. 证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1, ∵ba b a x b x f 4)2()(22+--=∴ba b a f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .4. 证明 ∵ a ≥0，b ≥0，c ≥0，∴ 43)2(2222b b a b ab a ++=++≥2)2(2b a b a +=+，同理22c bc b ++≥2bc +，两式相加得2222c bc b b ab a +++++≥22bc b a +++=a+b+c . 5. 证明设直线l 的方程1=+b y a x （a>0，b>0），则121++=b a ab ，∵a ＋b>2ab ， ∴ab 21≥12+ab ，即24)(2--ab ab ≥0，解得ab ≥62+， ∴ab 21≥2)62(21+，当a=b=2＋6时，三角形面积的最小值为5＋26．6. 82216842)(24+⋅=+=+x xx x x f x x 28216+=≤222416282216==⋅x x . 当且仅当xx 282=，即23=x 时取等号. （2）证明 3)23(421322+-=+-b b b ， ∴ 当23=b 时，42132+-b b 取最小值3 .由（1）知f(x)有最大值22.又f(x)的定义域为R ， ∴ 对任意的a ∈R ，有f(x)≤22恒成立. 又∵ 22<3，∴ 对任意的实数a 、b ，恒有f(a)≤22<3=min 2)4213(+-b b ≤42132+-b b . ∴f(x)<42132+-b b .7. 证明：∵sin(A+B)=53,sin(A －B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =BA，∴tanA=2tanB. 8. 证明由4713,2,a a a 成等差数列，得41734a a a +=，即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q所以14133=-=q q 或（舍去）.由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a q q a S S .1611111)1(1)1(166611216126612==-+=-----=-=-q q qq a q q a S S S S S 得 .12661236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.9.10. (1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1)=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］=31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］ =31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31 证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222cb ac b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3c b a ++ ∴a 2+b 2+c 2≥31证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ. ∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32(α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一 ∴原不等式成立. 证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.11. （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n . （Ⅱ）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ，所以n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .12. 解法一：设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22x y x ay消去x 得 0422=--ay y则 ⎩⎨⎧-=⋅=+.4,2BA B A y y a y y⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+44)(,24)(422B A B A B A B A y y x x a y y a x x 因此OB OA y y x x B A B A ⊥=+=⋅即,0. 故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H （H H y x ,）是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,222a y y y a x x x B A H B A H 由前已证，OH 应是圆H 的半径，且45||2422++=+=a a y x OH H H.从而当a=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小. 解法二：设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足⎩⎨⎧=-=.2,22x y x ay分别消去x ，y 得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--.04)2(2,042222x a x pky y 故得A 、B 所在圆的方程.02)2(2222=-+-+ay x a y x明显地，O （0，0）满足上面方程故A 、B 、O 三点均在上面方程的表示的圆上.又知A 、B 中点H 的坐标为),,2()2,2(2a a y y x x BA B A+=++ 故 222)2(||a a OH ++=而前面圆的方程可表示为222222)2()()]2([a a a y a x ++=-++-故|OH|为上面圆的半径R ，从而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）. 又45||2422++==a a OH R ，故当a=0时，R 2最小，从而圆的面积最小，解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-.44222222222=+≥+++=+++=B A B A B A B A B A B A x x x x x x x x y y x x上式当B A x x =时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 此时a =0.13. 【解】（I ）由 ,3,2,1,32231341=+⨯-=+n a S n n n ①得 3243134111+⨯-==a S a 所以 21=a 再由①有,3,2,322313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得,3,2),22(31)(34111=---=-=+--n a a S S a n n n n n n n 整理得 ,3,2),2(4211=+=++-n a a n n n n因而数列}{n n a 2+是首项为a 1 + 2 = 4，公比为4的等比数列，即,3,2,1n ,4442n 1n ==⨯=+-n n a 因而 ,3,2,1n ,24n =-=n n a （II ）将n n a 24n -=代入①得)12)(12(32)22)(12(3132231)2(434S n 1n 1n 1n 1n n --⨯=--⨯=+⨯--⨯=++++n n所以nnn S 2T =),121121(23)12)(12(2231n n n 1n n ---⨯=--⨯=++所以∑∑=+=---=n 1i 1i i n1i i )121121(23T.23)121121(231n 1<---⨯+14. 解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+12a =11n a ∴+>，两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg3lg3n n --=⋅= 1213n n a -∴+= （*）12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )012222333=⋅⋅⋅⋅n-12 (3)21223+++=n-1…+2=n 2-13 由（*）式得1231n n a -=-（Ⅲ）2102n n a a a +=+,1(2)n n n a a a +∴=+,11111()22n n n a a a +∴=-+ 11122n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =++,1112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11112()n a a +=- 1221131,2,31n n n n a a a -+=-==-22131n n S ∴=--, 又213n n T -= 2131n n S T ∴+=-.。

高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(选择题：一般)

直接证明与间接证明（选择题：一般）1、设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于22、①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确3、用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程有有理根，那么中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是A．假设都是奇数 B．假设至少有两个是奇数C．假设至多有一个是奇数 D．假设不都是奇数4、数学归纳法证明成立时，从到左边需增加的乘积因式是（）A． B． C． D．5、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设、、都是偶数B．假设、、都不是偶数C．假设、、中至多有一个是偶数D．加速、、中至多有两个是偶数6、用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（）A． B．C． D．7、设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．都小于28、用反证法证明“自然数中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A．没有偶数 B．恰好有一个偶数C．中至少有一个偶数 D．中至少有两个偶数9、用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（）A．假设有两个内角超过 B．假设有三个内角超过C．假设至多有两个内角超过 D．假设四个内角均超过10、用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．自然数都是奇数 B．自然数至少有两个偶数C．自然数都是偶数 D．自然数至少有两个偶数或都是奇数11、利用反证法证明“若，则且”时，下列假设正确的是（）A．且 B．且C．或 D．或12、已知，如果，，则( )A． B． C． D．13、有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个14、利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项 B．项 C．项 D．项15、设，，，，则、、三个数（）.A．都大于 B．至少有一个不大于C．都小于 D．至少有一个不小于16、已知a，b，c∈（0，1），则对于（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a说法正确的是（）A．不能都大于 B．都大于 C．都小于 D．至少有一个大于17、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（）A．假设三个内角都不大于 B．假设三个内角都大于C．假设三个内角至多有一个大于 D．假设三个内角至多有两个大于18、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数 D．假设至多有两个是偶数19、用反证法证明命题：“若a，b∈N，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除，或b不能被5整除20、若且，则和的值满足（）A．和都大于2 B．和都小于2C．和中至少有一个小于2 D．以上说法都不对21、设，，则三数( )A．都小于 B．都大于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于22、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数 B．都是偶数C．中至少有两个偶数 D．至少有两个偶数或都是奇数23、以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A．①—分析法，②—反证法 B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法 D．①—综合法，②—分析法24、若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25、要证，只要证（）A． B．C． D．26、一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字A．4，6 B．3，6 C．3，7 D．1，727、甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙28、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不小于60度 B．假设三内角都小于60度C．假设三内角至多有一个小于60度 D．假设三内角至多有两个小于60度29、设都是正数，则三个数 ( )A．都大于2 B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于230、用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（）A．假设是有理数 B．假设是有理数C．假设或是有理数 D．假设是有理数31、设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（）A．1≤ab≤ B．ab<1<C．ab<<1 D．<ab<132、已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件33、已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（－a）等于（）A．b B．－bC． D．34、已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（）A．x<<y<2xy B．2xy<x<<yC．x<<2xy<y D．x<2xy<<y35、用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（）A． B．C． D．36、设大于0，则3个数的值A．至多有一个不大于 1 B．都大于1C．至少有一个不大于1 D．都小于137、下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y>2，求证：x，y中至少有一个大于138、设a，b，c大于0，a＋b＋c＝3，则3个数：a＋，b＋，c＋的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于239、用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（）A． B．C． D．40、欲证，只需证（）A．B．C．D．41、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度42、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度43、用反证法证明命题：“已知a,b∈N*，如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a,b都能被5整除 B．a,b都不能被5整除C．a,b不都能被5整除 D．a不能被5整除44、用数学归纳法证明时，从“到”时，左边应添乘的式子是（）A． B． C． D．45、用反证法证明命题“若,则、全为、”其假设正确的是（）A．、至少有一个为 B．、至少有一个不为C．、全不为 D．、只有一个为46、利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项 B．项 C．项 D．项47、用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根48、用数学归纳法证明不等式“（n＞2）”过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了一项，又减少了一项D．增加了两项，又减少了一项49、用反证法证明命题：“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．至少有二个不小于2 B．中至少有一个不小于2C．都小于2 D．中至少有一个小于250、（2015•深圳校级模拟）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根51、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度52、用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．53、用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（）A． B．C． D．54、用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（）A．假设是有理数 B．假设是有理数C．假设或是有理数 D．假设是有理数55、用数学归纳法证明不等的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了一项C．增加了，又减少了D．增加了，又减少了56、数学归纳法证明成立时，从到左边需增加的乘积因式是（）A． B． C． D．57、用反证法证明“若，则”时，假设内容是（）A． B．C．或 D．或58、用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设（）A．三个内角都不大于60oB．三个内角至多有一个大于60oC．三个内角都大于60oD．三个内角至多有两个大于60o59、证明不等式（a≥2）所用的最适合的方法是（）A．间接证法 B．综合法 C．分析法 D．合情推理法60、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度61、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(简答题：一般)

直接证明与间接证明（简答题：一般）1、已知函数f(x)＝aln x＋ (a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n＋1)> ＋＋＋…＋ (n∈N*)．2、(1)已知，用分析法证明:；(2)已知，且，用反证法证明:都大于零．3、（1）已知，求证：；（2）已知非零实数满足，求证：.4、对于不等式，，，它们都是正确的.(1)根据上面不等式的规律，猜想与的大小并加以证明；(2)若不等式成立，请你写出所满足的一个等式和一个不等式，不必证明.5、设，，且.证明：与不可能同时成立.6、设为三角形的三边，求证：7、设非等腰的内角、、所对边的长分别为、、，且、、成等差数列，用分析法证明：.8、（1）已知正数满足，求证：；（2）求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项.9、已知，，且，试用分析法证明不等式成立.10、求证：11、已知数列满足，（1）求，，，；（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；（3）求证能被15整除．12、给出四个等式：；；；．猜测第个等式，并用数学归纳法证明．13、已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.14、（1）求证：（2）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积.15、证明下列不等式：(1) +> (2)16、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（3）根据你得到的关系式求的表达式17、（1）设a，b是两个不相等的正数，若，用综合法证明：a+b＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：．18、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（3）根据你得到的关系式求的表达式19、（1）求证： .（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．20、用反证法证明：在△中，若，则必为锐角21、求证：一个三角形中，最大的角不小于600..22、已知数列满足，（1）求，，，；（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；（3）求证能被15整除．23、已知函数，用反证法证明没有负实数根．24、(Ⅰ)请用分析法证明：(Ⅱ)已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2．25、在中，用综合法证明：是的充分不必要条件.26、设集合，在集合中定义一种运算“"，使得．（1）证明：；（2）证明：若，则.27、下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是1，从外到内，第个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为.（1）试写出与的递推关系式；（2）设，求的值.28、设非等腰的内角、、所对边的长分别为、、，且、、成等差数列，用分析法证明：.29、（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.30、（1）当时，试用分析法证明：；（2）已知，.求证：中至少有一个不小于0.31、证明下列不等式：（Ⅰ）用综合法证明：若，，求证：；（Ⅱ）用分析法证明：．32、若，，均为实数，且，，.求证：，，中至少有一个大于0.33、证明：若，，，则，，至少有一个不小于2.34、已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.35、【从下面两道题中任选一道作答，则只按第一道给分】（1）已知：为互不相等的实数，且，求证：（2）已知：，求证.36、证明: (1) （5分）已知，且求证：中至少有一个是负数。

2019-2020年高中数学苏教版选修1-2同步训练：2.2 直接证明与间接证明 Word版含答案

2.2 直接证明与间接证明1、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<2、若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内, 2l 在平面β内, l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A. l 至少与12,l l 中的一条相交B. l 与12,l l 都相交C. l 至多与12,l l 中的一条相交D. l 与12,l l 都不相交3、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ac ++≥++B. )0,0a b≥>>C.)3a <≥D. <4、设,,?a b m 都是正整数,且a b <,则下列不等式中恒不成立的是( )A.1a a m b b m+<<+ B. a a m b b m+≥+ C. 1a a m b b m+≤≤+ D. 1b m b a m a +≤≤+5、已知,,a b c 为不全相等的实数, ()2223,2,P a b c Q a b c =+++=++则P 与Q 的大小关系是( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤6、<(0)a ≥可选择的方法很多,其中最合理的是( )A.综合法B.类比法C.分析法D.归纳法7、用反证法证明“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时,应假设( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数8、已知0a b c ++>,0ab bc ac ++>,0abc >,用反证法求证0a >,0b >,0c >时的反设为( )A.0,0,0a b c <<<B.0,0,0a b c ≤>>C.,,a b c 不全是正数D.0abc <9、在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设;②已知条件; ③定义、公理、定理等;④原结论. A.①② B.②③C.①②③D.①②④ 10、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度11、设0,0,0a b c >>>且 1.a b c ++=则111a b c++的最小值为__________. 12、使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13、用反证法证明命题“,N a b ∈,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是__________.14、设,a b 是两个实数,给出下列条件:①1a b +>;②2a b +=;③2a b +>;④222a b +>;⑤1?ab >.其中能推出:" ,a b 中至少有一个实数大于1”的条件是__________.15、已知函数()f x 在R 上是增函数，,R a b ∈.(1)求证：如果0a b +≥，那么()()()()f a f b f a f b +≥-+-.(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .2答案及解析：答案：A解析：若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内, 2l 在平面β内, l 是平面α与平面β的交线,则l 至少与1l ,2l 中的一条相交,故选A.3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：B 解析：可证明a a m b b m +≤+成立,要证明a a m b b m+<+,由于,,?a b m 都是正整数,故只需证ab am ab bm +<+,即证()0a b m -<,因为a b <,所以()0a b m -<成立.5答案及解析：答案：A解析：要比较,?P Q 的大小,只需比较P Q -与0的关系.因为()()()()22222222232212121111P Q a b c a b c a a b b c c a b c -=+++-++=-++-++-+=-+-+-,又,,a b c 不全相等,所以0P Q ->,即.P Q >6答案及解析：答案：C解析：<,只需证明2727a a ++++只需证明227712a a a a +<++,只需证明012<,故选择分析法最合理.7答案及解析：答案：D解析：自然数,,a b c 的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以假设应为“,,a b c 中都是奇数或至少有两个是偶数”8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：除原结论不能作为推理条件外,其余均可.10答案及解析：答案：B解析：根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即"三内角都大于60度".故选B.11答案及解析：答案：9解析：因为0,0,0a b c >>>且1a b c ++=所以1113()()()b a c a c b a b c a b a c b c++=++++++32229≥+++=当且仅当a b c ==时等号成立.12答案及解析：答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13答案及解析：答案：,a b 都不能被5整除解析：反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。

人教A版选修一数学：2.2《直接证明与间接证明》测试1(新人教A版选修1—2).docx

高中数学学习材料唐玲出品高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1．证明不等式2736+<+的最适合的方法是（）Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．间接证法Ｄ．合情推理法答案：Ｂ2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（）Ａ．若能用分析法，必能用综合法Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立答案：Ｄ3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（）Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于2答案：Ｃ4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b d Q ma nc m n=++·，则有（）Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <答案：Ｂ5．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（）Ａ．a b <Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >答案：Ａ6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤答案：Ａ二、填空题7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°的值为．答案：23-8．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是．答案：0a <9．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m = ．答案：8±10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 2228a c a b bc ac ab b c abc++=···≥，当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是．（综合法、分析法或反证法）答案：综合法11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件时，有m β∥，（2）当满足条件时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤，②⑤12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于．答案：12-三、解答题13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-，而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，()f x ∴在R 上是减函数．14．用分析法证明：若0a >，则221122a a a a+-+-≥．解：要证原不等式，只需证221122a a a a ++++≥． 0a >∵，∴两边均大于零．因此只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++ ⎪⎝⎭≥，只需证221122a a a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C =．判断ABC △的形状．解：180A B C ++=∵°，sin sin()C A B =+∴．又2cos sin sin A B C =，2cos sin sin cos cos sin A B A B A B =+∴， sin()0A B -=∴．又A 与B 均为ABC △的内角，A B =∴．又由()()3a b c a b c ab +++-=，得22()3a b c ab +-=，222a b c ab +-=，又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，2cos ab C ab =∴，1cos 2C =，60C =∴°．又A B =∵，∴ABC △为等边三角形．。

高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(容易)

直接证明与间接证明（容易）1、用反证法证明命题：“已知a,b∈N*，如果可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a,b都能被5整除 B．a,b都不能被5整除C．a,b不都能被5整除 D．a,b不能被5整除2、用反证法证明命题“若，则全为”，其反设正确的是（）A．至少有一个不为 B．至少有一个为C．全不为 D．中只有一个为3、用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设，，不都是偶数 B．假设，，至多有两个是偶数C．假设，，至多有一个是偶数 D．假设，，都不是偶数4、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设，，都是偶数 B．假设，，都不是偶数C．假设，，至少有一个是偶数 D．假设，，至多有两个是偶数5、用反证法证明命题“若，则全为”，其反设正确的是（）A．至少有一个不为 B．至少有一个为C．全不为 D．中只有一个为6、命题：“对于任意角，”的证明过程：“”应用了( )A．分析法 B．综合法 C．综合法与分析法结合使用 D．演绎法7、用反证法证明“，，中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A．假设，，都大于0 B．假设，，中都不大于0C．假设，，中都小于0 D．假设，，至多有一个大于08、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设，，都是偶数 B．假设，，都不是偶数C．假设，，至少有一个是偶数 D．假设，，至多有两个是偶数9、用反证法证明命题“若自然数，，的积为偶数，则，，中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．，，中至多有一个偶数 B．，，都是奇数C．，，至多有一个奇数 D．，，都是偶数10、利用反证法证明：“若，则”时，假设为（）A．，都不为0 B．且，都不为0C．且，不都为0 D．，不都为011、设表示要证明的结论，表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（）A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．比较法12、若， ()，则P，Q的大小关系是()A． B． C． D．由的取值确定13、用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A．三个内角都不大于B．三个内角都大于C．三个内角至多有一个大于D．三个内角至多有两个大于14、用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（）A． B．C． D．15、用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A．三个内角都不大于B．三个内角都大于C．三个内角至多有一个大于D．三个内角至多有两个大于16、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度17、用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数"时，应假设（）A．中至多一个是偶数B．中至少一个是奇数C．中全是奇数D．中恰有一个偶数18、用反证法证明命题：“三角形内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有一个大于19、用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。

人教A版高中数学选修直接证明与间接证明同步练习(2)

高中数学选修1-2第二章单元训练题及答案一:选择题1．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-2．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值 3．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 4．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 5．设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母A F 共16个计数例如，用十六进制表示,则（） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B二、填空题7．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

8．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

9．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____=。

三、解答题10)n 是正整数11．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。

求证：0)(=x f 无整数根。

参考答案:一:选择题:1.D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A二:填空题:7: 2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈8: x y <,2222()2a b y a b x +==+=>= 9．4 2222lg()lg(2),(2),540,,4xy x y xy x y x xy y x y x y =-=--+===或而20,444x y x y >>∴==三:解答题: 10===311...133...3nn==⨯=11．证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数‘ 或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。

苏教选修1-2直接证明同步练习21

直接证明和间接证明同步练习一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的. 1.已知三个不等式：ab bc ad c a db>->->000，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D2.若,011<；③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有 ( ) A. 1个 B.2个 C.3个D.4个【答案】B3.数列{}n x 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥≥总有,2, （2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有．4. 设函数f(x)=|lgx|，若0<af （b ）．证明：ab<1．5. 已知函数),0(,12)(+∞∈++=x x x x f ，数列{}n x 满足.1),,2,1)((11===+x n x f x n n 且（Ⅰ）设|2|-=n n x a ，证明：n n a a <+1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的数列{}n a 的前n 项和为S n ，证明.22<n S6. 已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7. 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425.8.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列．12.如图，双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的离心率为25，21F F 、分别为左、右焦点，M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且4121-=⋅F F .（1）求双曲线的方程；（2）设A （0，m ）和B （01，m）（10<<m ）是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C 、D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E ，证明直线DE 垂直于x 轴.10.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.11.如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n n B s t ．（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+.参考答案一、选择题： 1.D 2.B3. （1）)()(21,0)(210111*∈=⋅≥+=>+=>=++N n a x a x x a x x x x a x x a x nn nn n n nn n 从而知及成立时当a x n n ≥≥∴2（2）当2≥n 时，)(21),(21,011n nn n nn n n x x a x x x a x x a x -=-∴+=>≥++=成立时12,2.021+≥≥∴≤-⋅n n nn x x n x x a 4. 证明方法一：由已知⎩⎨⎧-=x x x f lg lg )( ).10(),1(<<≥x x∵ 0<af(b)，∴ a ，b 不能同时在区间（1，+∞）上 .又∵ 0<a-b f a f ，有 0lg lg >--b a ，故 lgab<0 .从而 ab<1.方法二：由f(a)>f(b)，知|lga|>|lgb|.即lg 2a>lg 2b.从而 )lg )(lg lg (lg lg lg 22b a b a b a -+=-0lg )lg(>⋅=baab∵ 0<a++∴<-<-=<又由条件可知故（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）证明过程可知，21111212121)|1)|(21)|1),|2|(21)(21)|11)(21)1)]2n n n n n nn n nn n a x x x S a a a x ++-<<<<-=∴=+++<-+-++-=+++-==-<=6. ①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111, 从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列. 7. 证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立.证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即证法五：(三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π) .425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα8. （I ）证明：2132,n n n a a a ++=-21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列．（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈（III ）证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b nb +++∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列．9. （1）解：根据题设条件，)0,(1c F -，)0,(2c F ，设点M （y x ,），则y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x a b y c a x 2 因25==a c e ，解得)52,52(b a M -，故)52,52()52,52(21b c a b c a F F --⋅+-=⋅415454222-=+-=b c a 利用222c b a =+，得452=c ，于是12=a ，412=b ，因此，所求双曲线方程为1422=-y x（2）解：设C （11,y x ），D （22,y x ），E （33,y x ），则直线l 的方程为)(11m x mx y y --=于是C ),(11y x 、D ),(22y x 两点坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧=---=)2(14)1)((2211y x m x m x y y 将（1）代入（2）得由142121=-y x 0)2(8)12()(0248)42(212121212122121221212212121=+--++-=-+--+-+-x m mx x x my x m x m ，C m mx x m y x my x y m m x x 上面方程可化简为在双曲线上点由已知，显然01212≠+-m x m ．于是1221221212121+-+--=m x m x m mx x x x ．因为01≠x ，得122121212+-+--=m x m x m m x x同理，C （11,y x ）、E （33,y x ）两点坐标满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=14)1(12211y x m x m x y y可解得21112121213212112)1()1(12m m x x m x m mx m x m m x x +-+--=+-+--= 所以32x x =，故直线DE 垂直于x 轴．10. （I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为.(**)*),1(.(*)*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x 1>0，所以a >b.猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1. 而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1.下证当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2), 则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是1.11. 证明：（1）对任意固定的1n ≥，因为焦点F （0，1），所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=，将它与抛物线方程24x y =联立得2440n x k x --= 由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-（2）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率2n n A x k =，故24x y =在n A 处的切线方程为()()2n n n x y y x x i -=- 类似地可求得24x y =在n B 处的切线方程为()()2n n n s y t x s ii -=-由（ii ）－（i ）得2222n n n n n n x s x s y t x ---=-+ 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+ 2224n n n n x s x s x --= ()2n n x s x iii += 将(iii)代入(i)并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2n n x s +- 由两点间的距离公式得 2222||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++222422()42n n n n x x x x =++=+ 从而||2||2||n n n x FC x =+ 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得， 12||||FC FC ++n +|FC |1212111(||||||)2()||||||n n x x x x x x +++++++1=2 221111(222)2()2222n n =+++++++11(21)(22)221n n n n -+-+=-+-=-+。

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2第二章2.2 直接证明与间接证明同步课时作业(含解析)

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2同步课时作业2.2直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度2.关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法3.用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．,a b 都能被3整除B ．,a b 都不能被3整除C ．,a b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件5.分析法又称执果索因法.若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证”索的因应是( )A.0a b ->B.0a c ->C.()()0a b a c -->D.()()0a b a c --<6.)2a <≥能用的最适合的方法是( )A.综合法B.分析法C.间接证明法D.合情推理法7.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角,,A B C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒.正确顺序的序号为( )A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②8.命题“任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法 9.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设,,,(0,)a b c d ∈+∞，若a d b c +=+且||||a d b c -<-，则有( )A.ad bc =B.ad bc <C.ad bc >D.ad bc ≥11.若,a b 应满足的条件是_____________.12.使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13.凸函数的性质定理：如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 的任意12,,,n x x x ⋅⋅⋅，有1212()()()n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.已知函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值为___________.14.用反证法证明命题“,,a b R ab ∈可以被5整除，那么a b 、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_________________.15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)答案以及解析1.答案：B解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选：B.2.答案：D解析：根据综合法的定义可得，综合法是由因导果法，是顺推证法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推证法，它们都是直接证法.故选D.3.答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.“,a b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“,a b 都不能被3整除”，故应假设,a b 都不能被3整除.故选B4.答案：A解析： —般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后.把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.故选A.5.答案：C解析：由a b c >>，且0a b c ++=可得b a c =--，0a >，0c <.<，只要证22()3a c ac a ---<，即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c -+->，即证()()0a c a b -->，故求证”索的因应是()()0a c a b -->，故选C.6.答案：B的大小，221a =-+221a =-+的大小.......以上证明不等式所用的方法是最适合的方法，该方法是分析法，故选B.7.答案：D解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，在推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.故选D.8.答案：B解析：综合法是由已知入手，利用基本定理进行的推理证明；分析法是从要证明的结论入手寻找思路.结合证明过程，可知是综合法.9.答案：A解析：∵分析法是逆向逐步找寻这个结论成立需要具备的充分条件，∴分析法是从要证得结论发出，寻求使它成立的充分条件，故选A.10.答案：C解析：∵222222||||()()22a d b c a d b c a d ad b c bc -<-⇔-<-⇔+-<+-.又22()()a d b c a d b c +=+⇔+=+，∴44ad bc ad bc -<-⇔>.11.答案：0,0a b a b ≠≥≥且解析：a b ⇔>⇔>2(0a b ⇔-⇔>，只需0,0a b a b ≠≥≥且.12.答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13. 解析：∵()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，且,,(0,)A B C ∈π，∴()()()333f A f B f C A B C f f ++++π⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=sin sin sin A B C ++. 14.答案：b a 、都不能被5整除解析：至少有一个的反面为一个都没有，所以应假设a b 、都不能被5整除.15.答案：AC BD ⊥解析：要证1BD AC ⊥，只需证BD ⊥平面1AAC . 因为1AA BD ⊥，只要再添加条件AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面1AAC ，从而有1BD AC ⊥.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

高中数学选修1-2同步练习题库：直接证明与间接证明(填空题：较易)

直接证明与间接证明（填空题：较易）1、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是______（填序号）．①假设三个角都不大于；②假设三个角都大于；③假设三个角至多有一个大于；④假设三个角至多有两个大于．2、用反证法证明命题“若中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是________.3、在用反证法证明“已知，求证：”时的反设为__________，得出的矛盾为________.4、用反证法证明命题“三角形的3个内角中至少有2个锐角”时，假设的内容是5、用反证法证明命题“设是实数，则方程至少有一个实根”时，要做的反设是（填序号）（1）．方程恰好有两个实根（2）．方程至多有一个实根（3）．方程至多有两个实根（4）．方程没有实根6、用反证法证明命题：“设实数满足则中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设。

7、（2008•浦东新区一模）用数学归纳法证明等式：（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边= ．8、用反证法证明命题：“设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于”时，第一步应写：假设．9、完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数===0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.10、若，则对于，．参考答案1、②2、假设两者都大于或等于23、（或）4、三角形的3个内角中至多有1个锐角5、（4）.6、都小于27、1+a+a28、都小于9、10、+ +【解析】1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内不大于”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于”的否定是：三角形的三个内角都大于，故答案为②.2、由于“，中至少有一个小于”的反面是: “，都大于或等于”,故用反证法证明命题: “若且 ,则，中至少有一个小于”时,应假设，都大于或等于 ,故答案为和都大于或等于 .3、解：由题意假设p+q＞2，则p＞2-q，p3＞(2-q)3，p3+q3＞8-12q+6q2，∵p3+q3=2，∴2＞8-12q+6q2，即q2-2q+1＜0，∴(q-1)2＜0，∵不论q为何值，(q-1)2都大于等于0，即假设不成立，∴p+q≤2；由以上分析过程可知：反设为p+q＞2，得出的矛盾为(q-1)2＜0，同理可得出矛盾(p-1)2＜0.综上：反设为p+q＞2，得出的矛盾为(q-1)2＜0，或(p-1)2＜0.4、试题分析：由题意可得，反证法证明命题成立就是求证其否命题不成立，故假设的内容为命题的否命题的内容，即“三角形的3个内角中至少有2个锐角”的否命题为“三角形的3个内角中至多有1个锐角”（注意至多和至少的对应）考点：1.否命题的写法；2.反证法证明思路；5、试题分析：反证法的步骤：第一步是假设命题反面成立，而“方程至少有一实根”的反面是“方程没有实根”，故选（4）.考点：综合法与分析法；反证法.6、试题分析：由题原命题的结论为：中至少有一个数不小于1，则运用反证法，可假设结论的反面为：都小于2 ，即原命题结论的补集。

高中数学(选修1-2)2.2《直接证明与间接证明》同步测试题

高中苏教选修（1-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（） A ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B ．肯定条件，否定结论，推出矛盾C ．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件答案：B2．用反证法证明“如果a b >，则33a b >”假设的内容是（）A ．33a b =B ．33a b <C ．33a b =且33a b < D ．33a b =或33a b <答案：D3．使不等式11a b<成立的条件是（） A ．a b > B ．a b < C ．a b >且0ab <D ．a b >且0ab >答案：D4．若a b c ，，是不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca ++>++．证明过程如下：a b c ∈R ，，，222a b ab ∴+≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，又a b c ，，不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab bc ac ++>++，222a b c ab bc ca ∴++>++．此证法是（）A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法答案：B5．若01a <<，01b <<且a b ≠，则在a b +，22a b +和2ab 中最大的是（）A ．a b +B ．C ．22a b +D ．2ab答案：A6．若00a b >>，，那么必有（） A ．3322a b a b ab ++≥B ．3322a b a b ab +>+ C ．3322a b a b ab ++≤D ．3322a b a b ab +<+答案：A 二、填空题7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．答案：三个内角都小于608．已知00a b >>，，m =n =m 与n 的关系为．答案：m n ≤9．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；2aba b+．以上4个不等式恒成立的是．（填序号）答案：①②③10．设()(0)y f x x x =∈≠R ，对任意非零实数12x x ，均满足1212()()()f x x f x f x =+，则()f x 为函数．（填“奇”或“偶”）答案：偶三、解答题11．求证：以过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦为直径的圆必与2px =-相切（用分析法证）证明：（如右图）AB 过焦点F ，作AA BB ''，垂直准线，取AB 的中点M ，作MM '垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证12MM AB '=，由抛物线的定义：AA AF '=，BB BF '=，所以AB AA BB ''=+，因此只需证1()2MM AA BB '''=+．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以，以过焦点的弦为直径的圆必与2px =-相切．12．设函数()f x 对任意x y ∈R ，，都有()()()f x y f x f y +=+且0x >时，()0f x <．（Ⅰ）证明()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（Ⅰ）x y ∈R ，，且()()()f x y f x f y +=+．∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f ∴=．令y x =-代入()()()f x y f x f y +=+．得(0)()()f f x f x =+-（x ∈R ）．()f x ∴是奇函数．（Ⅱ）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->．21()()0f x f x x ∴∆=-<．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-．21()()()0f x f x f x ∴∆=-<．即21()()0y f x f x ∆=-<()f x ∴在R 上是减函数．13．若下列方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩，，，，即312a -<<-．所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根． 14．已知数列{}n a 为等差数列，公差1d =，数列{}n c 满足221()n n n c a a n *+=-∈N ．判断数列{}n c 是否为等差数列，并证明你的结论．是．证明：由条件1(1)n a a n =+-，则2211221n n n c a a n a +=-=--+．所以12n n c c +-=-，所以数列{}n c 为等差数列．高中苏教选修（1-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．已知αβ，是两个平面，直线l 不在平面α内，l 也不在平面β内，设①l α⊥；②l β∥；③αβ⊥．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C21>1>，即证75111+>+>3511>，∴原不等式成立．以上证明应用了（） A ．分析法 B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法答案：A3．设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有1(3)()f x f x +=-，且当[32]x ∈--，时，()2f x x =，则(113.5)f 的值为（） A ．27-B ．27C ．15-D ．15答案：D4．已知221a b +=，222b c +=，222c a +=，则ab bc ca ++的最小值为（） A12B．12- C．12-- D．12+答案：B 二、填空题5．设000a b c >>>，，，若1a b c ++=，则111a b c++≥ ．答案：96．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩≤，，若0()1f x >，则0x 的取值范围为．答案：(1)(1)--+∞，，∞三、解答题7．已知(01)a b c ∈，，，，求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．证明：假设三式同时大于14，即14b ab ->，14c bc ->，14a ac ->．三式同向相乘得1(1)(1)(1)64a ab bc c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤，同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 1(1)(1)(1)64a ab bc c ∴---≤． ②因①②矛盾，故原结论正确．8．已知()f x 对任意实数a b ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >．（1）求证：()f x ，且当0x >时，()1f x > （2）已知(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．（1）证明：设任意12x x ∈R ，，且21x x >，则210x x x ∆=->由已知得21()1f x x ->．而212111()()[()]()y f x f x f x x x f x ∆=-=-+-2111()()1()f x x f x f x =-+-- 21()10f x x =-->，所以()f x 是R 上的增函数．（2）解：由于(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f ∴=．由2(32)3f m m --<得2(32)(2)f m m f --<，()f x 是R 上的增函数，2322m m ∴--<，解得413m -<<． 9．已知12x a a y ，，，成等差数列，12x b b y ，，，成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是．答案：(][)04-+∞，，∞10．我们知道，在ABC △中，若222c a b =+，则ABC △是直角三角形，现在请你研究：若(2)nnnc a b n =+>，问ABC △为何种三角形？为什么？解：令311n a b ===，，，则 1.26c =≈，画以1，1，1.26为边的三角形草图，观察易知是锐角三角形．上述用特值试验的结果具有一般性，证明如下：因为(2)nnnc a b n =+>，所以c a c b >>，．由c 是ABC △的最大边，所以要证ABC △是锐角三角形，只需证C ∠为锐角，即证cos 0C >就行了．因为222cos 2a b c C ab+-=，所以要证cos 0C >，只要证222a b c +>． ①注意到条件：n n na b c +=，于是将①等价变形为：222()n n a b c c -+>． ②又因为c a >，c b >，2n >，所以22n n c a -->，22n n c b -->，即220n n ca --->，220n n cb --->，从而222222222222()()()()0n n n n n n n n n a b c c a b c a b a c a b c b ------+-=+--=-+->．这说明②式成立，从而①式也成立，故cos 0C >，即C 是锐角，ABC △为锐角三角形． 11．已知a b c ，，是不为1的正数，x y z +∈R ，，，且有xyza b c ==和112x z y+=．求证：a b c ，，成等比数列证明：令(01)x y z a b c k k k ===>≠，且，所以log a x k =，log b y k =，log c z k =．因为112x z y+=，所以112lg lg 2lg lg lg 2lg log log log lg lg lg a c b a c ba cb k k k k k k+=⇒+=⇒+=，故2b ac =，因为a b c ，，均不为0，所以a b c ，，成等比数列。